Modellbildung & Simulation WS 2006/07 Die Methode der Finiten Elemente (FEM) – ausgewählte Beispiele & Themen

Dr. Gerald Fischer [email protected]

Beispiel: Hochspannungsleitung – Elektromagnetisches Feld 25 kV-Leitung („Mittelspannungsebene“ in Tirol) symmetrisches Dreiphasenwechselstromsystem („Drehstrom“)

Ausleiterspannung: 25000V effektiv (50 Hz) Leiterströme: Größenordnung hundert bis tausend Ampere

gesucht: Magnetfeld & elektrisches Feld der Leitung

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Beispiel: Hochspannungsleitung – Annahme 2D Feldproblem Näherungen: lange gerade Leitung → keine Änderung der Feldgrößen in z-Richtung → vereinfachte Betrachtung als 2D Feldproblem „niedrige“ Frequenz (50 Hz) elektrisches und magnetisches Feld entkoppelt → quasistatisches Feldproblem (keine Zeitableitungen)

Abmessungen: gleichseitiges Dreieck y

L3 z

L1

L2

x

1.6 cm

180 cm

Beispiel: Hochspannungsleitung – Magnetfeld Vektorpotential Für 2D Feldprobleme kann die für die Membran entwickelte Software mit minimalen Modifikationen zur Berechnung von Magnetfeldern verwendet werden. Hierbei wird das Magnetfeld durch ein Vektorpotenzial A beschrieben. Da alle Ströme nur in zRichtung fließen besitzt das Vektorpotential nur ein z-Komponente a.

0  r   A = 0  a   

→ Es kann wie mit einer skalaren Größe gerechnet werden.

Es gelten folgende Beziehungen (kein Prüfungsstoff):

1/µ … Materialkonstante (magn. Reluktivität → analog zu c)

−

1

µ

div grad a = J

a … Vektorpotential in z-Richtung (analog zu u) J … Stromdichte in z-Richtung (analog zu q)

Achtung: Das Feldgebiet hat unendliche Ausdehnung. Mit Finiten Elementen kann nur ein endliches Feldgebiet nachgebildet werden. → Einführung eines fernen Randes. Da das Vektorpotential im Fernfeld kleine Werte annimmt wird mit einem homogenen Dirchletrand gerechnet.

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Beispiel: Hochspannungsleitung – Diskretisierung Feldgebiet

20 m

22 m

L1 Problemstellung: unterschiedliche Dimensionen Rand 20 m; Leiterabstand 1.8 m; Leiter Ø 0.016 m flexible Elemente & guter Netzgenerator erforderlich 4836 Knoten; 9574 Elemente; 4740 Gleichungen Material µ=µ0 = 1.2566 ×10-6 Vs/Am (Luft & Aluminium)

Bemerkung – Netzqualität & Konvergenz

Konvergenzbedingung lineare Dreiecke: Für alle Knoten muss gelten: Ein im aktuellen Knoten zentrierter Kreis mit dem Radius der größten zum Knoten gehörenden Seitenlänge darf nur die unmittelbaren Nachbarknoten umschließen.

R

Praktische Überprüfung der Netzqualität: Das oben beschriebene Kriterium ist aufwendig zu überprüfen und gilt speziell für Dreiecke. Die meisten kommerziellen Netzgeneratoren überprüfen daher die Innenwinkel (Grenzwerte z.B. 30° und 120°) und das Verhältnis der kürzesten und längsten Seite je Dreieck (z.B. max. 1:2).

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Beispiel: Hochspannungsleitung – Magnetfeld Quellverteilung Die Quellen des Magnetfeldes sind die Stromdichten J1 , J2 und J3 in den drei Leitern. In der Luft ist die Stromdichte gleich Null. Es gilt für ein symmetrisches Drehstromsystem (Formeln kein Prüfungsstoff):

2I cos(ϖt ) d 2π 2I 2π J 2 = 4 2 cos(ϖt + ) mit ϖ = 2πf d π 3 2I 4π J 3 = 4 2 cos(ϖt + ) d π 3 J1 = 4

I … Leiterstrom 500 A (effektiv) f … Netzfrequenz 50 Hz d … Leiterdurchmesser 1.6 cm

Beispiel: Hochspannungsleitung – Magnetfeld FEM-Code Eine Schwingungsperiode wird in N Zeitschritte (hier N=100) unterteilt → Gleichungssystem hat N rechte Seiten. Im Array CGsource (Zahl an Elementen, Zahl an Zeitschritten) wird die Quellverteilung für alle Elemente abgespeichert. Für das aktuelle Beispiel erhält man: Element 1-9556 (Luft): CGsourse ist Null Element 9557-9562: Phase L1: CGsourse ist J1(t) Element 9563-9568: Phase L2: CGsourse ist J2(t) Element 9569-9574: Phase L3: CGsourse ist J3(t) % lokale Steifigketismatrix und rechte Seite for j=1:3 for k=1:j Kel(j,k)=gradN(j,1)*gradN(k,1)+gradN(j,2)*gradN(k,2); if k0) Kstif(jp,kp)=Kstif(jp,kp)+Kel(j,k); elseif (kp==-1) Rstif(jp)=Rstif(jp)-Kel(j,k)*0.4e-6; end end end end

Beispiel: magnetisierbares Material – Lösung & Visualisierung 141 Unbekannte Konditionierung 529 (Materialwerte verschlechtern Konditionierung)

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Beispiel: magnetisierbares Material – Spiegelung Zusammensetzen des gesamten Feldbildes durch Spiegelung. Potentiallinien parallel zum (hom.) DirichletRand und normal zum Neumann-Rand.

Magnetfeld ist Wirbelfeld. → Potentiallinien entsprechen Feldlinien.

Beispiel: Hochspannungsleitung – Elektrisches Feld Im Gebiet Ω (Luft) gilt (φ … elektrisches Potential, ε0 … Dielektrizitätszahl Luft):

− ε 0 div grad ϕ = 0 Oberflächen der drei Leiter Li sind inhomogene Dirichlet-Ränder (U … elektr. Spg):

r

ϕ = U i (t ) für r ∈ ΓDi Ferner Rand ist homogener Dirichlet-Rand.

L3

L1

L2

1.6 cm

180 cm

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Übersicht – Besprochener FEM-Code Verallgemeinerte Poisson-Gleichung in 2D: Temperaturfeld, Membran, elektrostatisches Feld, elektrisches Strömungsfeld, Magnetfeld

variable Quellenverteilung variable Materialwerte gängige Randbedingungen

Bisher nur einfachster Elementtyp!

Übersicht – Elementtypen 2D Dreiseitige Elemente: Seitenmittelknoten

lineare Dreiecke Vierseitige Elemente:

Dreiecke quadratischer Ansatz

Elementmittelknoten

bilineares Element

höhere Ordnung:

mit EMK Lagrange ohne EMK Serendipity

Spezialfall kubischer Ansatz → Hermitsche Elemente

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Übersicht – Elementtypen 3D

Tetraeder

Prisma nicht empfohlen

„Würfel“

Von allen Geometrien gibt es auch Elemente 2. und höherer Ordnung.

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