Statistische Mechanik TU Berlin, WS 2014/2015

Prof. Dr. T. Brandes

6. Februar 2015

INHALTSVERZEICHNIS

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 p-V -Diagramm, Potentiale bei Koexistenz fl¨ ussig-gasf¨ormig 1.2 Das van–der–Waals–Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Die Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Der kritische Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Kritische Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Das Ising-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Mean-Field-Methode: Weiss’sche Molekularfeld-N¨aherung . 1.3.2 Diskussion der Selbstkonsistenzgleichung . . . . . . . . . . . 1.3.3 Kritische Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Mean-Field-Methode als ‘falsche’ Theorie . . . . . . . . . . 1.3.5 Mean-Field-L¨ osung aus Variationsprinzip . . . . . . . . . .

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2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Classical Electrolytes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Hubbard-Stratonovich Transformation . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mean-Field Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Poisson-Boltzmann Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Single, charged membrane and solution with M = 1 ion type 2.2 Landau–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Das Ising–Modell als Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Erste Analyse der Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Landau-Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gaußsche Flukuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Gaußsche Flukuationen im Ising–Modell . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Die Exponenten ν und η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Die Korrelationsfunktion als Greensche Funktion . . . . . . . 2.3.4 Korrekturen zur freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Die Divergenz der spezifischen W¨arme . . . . . . . . . . . . . 2.4 Jenseits von Mean–Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Das Ginsburg–Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Scheitern der St¨ orungstheorie f¨ ur T → TC . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

2.4.3

iii

‘Anomale Dimension’

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3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe . . . . . . . . . 3.1 Homogenit¨ atsannahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Skalengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Korrelationsl¨ ange und ‘Hyperscaling’ . . . . . . . . 3.2 Reparametrisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Blockspins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Approximation der neuen Wirkung . . . . . . . . . 3.2.3 Beispiel: Blockspins f¨ ur das Isingmodell (1) . . . . 3.2.4 Renormierte Parameter und Renormierungsgruppe 3.2.5 Skalentransformation als dynamisches System . . . 3.2.6 Skalenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Beispiel: Blockspins f¨ ur das Isingmodell (2) . . . . 3.3 Das Gaußsche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Exakte L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 L¨ osungs mittels Renormierungsgruppe . . . . . . . 3.4 St¨ orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Das Wicksche Theorem. Diagramme. . . . . . . . . 3.4.2 RG-Fluss in niedrigster Ordnung . . . . . . . . . . 3.4.3 RG-Fluss in zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . .

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49 49 50 51 53 53 55 56 57 59 60 62 63 63 65 66 68 69 71

4. Kontinuierliche Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Goldstone-Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Beispiel: Festk¨ orper als elastische Medien . . . . . 4.2.2 Mermin–Wagner–Theorem . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Das XY -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Der Grenzfall hoher Temperaturen . . . . . . . . . 4.3.2 Der Grenzfall tiefer Temperaturen . . . . . . . . . ¨ 4.3.3 Wirbel, Berezinskii–Kosterlitz–Thouless–Ubergang 4.4 Herleitung des Coulomb-Gas-Modells . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Analyse des Coulomb-Gas-Modells . . . . . . . . .

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72 72 72 74 76 76 76 77 79 80 82

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Die Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Einstein-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Langevin-Gleichung und Diffusionsgleichung . 5.2 Kritische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Zeitabh¨ angige Landau–Ginzburg–Gleichung . 5.2.2 Relaxation, Modell A und Modell B . . . . . 5.2.3 Dynamischer kritischer Exponent z . . . . . . 5.2.4 Skalierungsverhalten der Korrelationsfunktion

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85 85 86 86 88 89 89 91 91 92

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Inhaltsverzeichnis

5.3 5.4

iv

Der Kibble–Zurek–Mechanismus . . . . . . . . . . . . . Equilibrierung eines makroskopischen Quantensystems . 5.4.1 Zeitmittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Aufl¨ osungsgrenze bei Messungen . . . . . . . . . 5.4.4 Zusammenhang mit mikrokanonischem Ensemble

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6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories . . . . . . . . . . . . 6.1 Introduction, Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Single Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Double Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 The Influence Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Influence Functional for Coupling to Harmonic Oscillators . . 6.5.1 Time-evolution operator UB [q] ≡ UB (t) . . . . . . . . 6.5.2 Influence Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Linear Response, Fluctuation-Dissipation Theorem for 6.6 Applications: Linear Coupling, Damped Harmonic Oscillator 6.6.1 Linear Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Propagator for Damped Harmonic Oscillator . . . . . 6.7 Another Look at Influence Functionals for General Baths . . 6.7.1 ‘Re-Exponentiation’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 ‘Semiclassical’ Limit for Damped Single Particle Motion . . . 6.8.1 Expansion of the Influence Phase . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3 Wigner Distribution in ‘Semi-classical’ Limit . . . . . 6.8.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5 Linear Dissipation (‘Ohmic Bath’) . . . . . . . . . . . 6.8.6 Application: Polaron-Transport . . . . . . . . . . . . .

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93 94 95 96 97 98

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99 99 100 101 103 103 104 105 107 110 110 111 111 113 114 115 117 118 119 120 121

Anhang

122

A. Fourierraum-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Fourier-Reihen f¨ ur Bravaisgitter-periodische Funktionen A.2 Quadratische Form in Fourierdarstellung . . . . . . . . . A.3 Inverse und Spur einer Matrix im Fourierraum . . . . .

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123 123 125 125

B. Gaußintegral . . . . . . . . . . . B.1 Integrale . . . . . . . . . . B.2 Korrelationsfunktion . . . B.3 Fourierdarstellung f¨ ur Gij B.4 Wicksches Theorem . . .

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126 126 126 127 127

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v

C. Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 C.1 Variationsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 C.2 ‘Physiker-Notation’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

c

T. Brandes 2014

¨ 1. KLASSISCHE BEISPIELE FUR ¨ ¨ PHASENUBERG ANGE

Fig. 1.1: (aus N. Straumann, ‘Thermodynamik’). LINKS: Entropiefl¨ache f¨ ur Wasser als Beispiel f¨ ur einen ‘einfachen Stoff’. RECHTS: Entsprechendes p–T –Diagramm.

1.1

Einleitung

Die Thermodynamik eines einfachen Stoffes wird durch die Entropie S(U, V, N ) als Funktion ihrer nat¨ urlichen Variablen (Energie, Volumen, Teilchenzahl) beschrieben (SKRIPT THERMODYNAMIK). Im Gleichgewicht muss Stabilit¨at herrschen (deshalb ist S konkav). Es kann vorkommen, dass die Entropiefl¨ache S(U, V, N ) flache St¨ ucke enth¨alt, was immer noch konsistent mit der Konkavit¨at ist. In solchen F¨allen k¨onnen thermodynamische Gr¨oßen unstetig werden (z.B. das Volumen als Funktion des Drucks bei konstanter Temperatur). Experimentell stellt sich heraus, dass man es dann mit der Koexistenz mehrerer Phasen des Stoffes zu tun hat. Experimenteller Befund (Beispiel, vgl. SOMMERFELD Paragraph 16): Ein mit Wasser gef¨ ullter Zylinder im W¨ armebad mit konstanter Temperatur T , anfangs Kolben auf Wasseroberfl¨ ache. Wir vergr¨ oßern das Volumen durch Hochziehen des Kolbens: das f¨ uhrt zu Aufspalten in zwei Phasen (Wasser und Wasserdampf), so dass der Druck p unabh¨angig vom Volumen V konstant bleibt. Wenn wir das Volumen sehr stark vergr¨oßern wird alles zu Wasserdampf, der dann weiter expandiert wird. Wenn wir umgekehrt das Volumen sehr stark verkleinern, wird alles zu Wasser, das dann weiter komprimiert wird. Die flachen St¨ ucken der Entropiefl¨ache werden deshalb als Gemische von mehreren koexistierenden Phasen interpretiert (STRAUMANN): z.B. drei Phasen am sogenannten

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

2

Tripelpunkt im p–T –Phasendiagramm, bzw. zwei Phasen auf den jeweiligen Koexistenz– ¨ Kurven (z.B. der Dampfdruckkurve). Beim Uberqueren der Dampfdruckkurve im p–T – ¨ Diagramm findet der Ubergang (reines Wasser - Gemisch - reiner Wasserdampf) statt; er wird als Phasenu ¨ bergang 1. Ordnung bezeichnet. Wir erkennen weiterhin, dass die Dampfdruckkurve (im Gegensatz zur Schmelzkurve) im p–T –Diagramm an einem kritischen Punkt pc , Tc terminiert (entspricht dem Scheitel der Parabel in Fig. 1.1 links): Oberhalb der Temperatur Tc gibt es keine Phasen¨ uberg¨ange 1. Ordnung mehr, d.h. auch keine Gemische koexistierender Phasen. Im p–T –Diagramm kann man kontinuierlich von ‘Wasser’ (Fluid) zu ‘Dampf’ (Gas) gehen, aber nicht von ‘Eis’ zu ’Wasser’ oder von ‘Eis’ zu ‘Dampf’. (GOLDENFELD) Der Grund hierf¨ ur ist letztlich die Translationssymmetrie, die Fluid und Gas beide gemeinsam haben, w¨ ahrend sie im kristallinen Festk¨orper (‘Eis’) nicht vorhanden ist. FRAGE: Gibt es Modelle, die flache St¨ ucke in thermodynamischen Potentialen und damit Phasen¨ uberg¨ ange 1. Ordnung f¨ ur einen einfachen Stoff mikroskopisch aus einer Zustandssumme ableiten? 1.1.1

Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung ist einer der fr¨ uhen Erfolge der Thermodynamik und ein ‘Grundpfeiler der W¨ armelehre und der physikalischen Chemie’ (BECKER). Wir wollen die Kurve p(T ) im p-T -Diagramm finden, deren Punkte den Phasen¨ uberg¨angen 1. Ordnung, d.h. den horizontalen Abschnitte im p-V -Diagramm (Koexistenz fl¨ ussiggasf¨ormig) entspricht. Herleitung (BECKER): Wir betrachten das ‘System Fluid–Gas’ als Carnot-Maschine (reversible Dampfmaschine!) im p-V Diagramm auf horizontaler Abschnitte zwischen V2 (vollst¨andig fl¨ ussige Phase) und V1 (vollst¨andig gasf¨ormige Phase): isotherme Expansion bei T , Verdampfungsw¨ arme Q zuf¨ ugen. Adiabatische Expansion auf T − dT . Isotherme Kompression bei T −dT , dann wieder adiabatische Kompression zum Ausgangspunkt. Deshalb mit Carnot-Wirkungsgrad η, dT klein gegen¨ uber T , η = 1−

T − dT A (V1 − V2 )dp = = , T Q Q

(1.1)

was schließlich auf dp dT

=

Q , (V1 − V2 )T

Clausius-Clapeyron-Gleichung

(1.2)

f¨ uhrt. Wir finden nun eine N¨ aherungsl¨osung durch die Annahme Q = const, V1 − V2 ≈ V = Volumen der gasf¨ ormigen Phase, die als ideal (pV = N kB T ) angenommen wird. Dann dp dT

=

Q Qp = 2 VT N kB T 2

− N kQ

p(T ) = p0 e

BT

.

(1.3)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

3

Fig. 1.2: (Stanley, ’Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena’, Fig. 2.5)

1.1.2

p-V -Diagramm, Potentiale bei Koexistenz flu ormig ¨ ssig-gasf¨

Aus den experimentellen Befunden folgt weiterhin die Existenz horizontaler Abschnitte im p-V -Diagramm mit den entsprechenden Konsequenzen (z. B. Figure 1.2, aus STANLEY ’Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena’): lineares St¨ uck in der freien Energie F (V ), Knick im Gibbs-Potential G(p), Sprung im V -p-Diagramm. Im pV -Diagramm h¨ oren die horizontalen Abschnitte oberhalb einer kritischen Temperatur Tc ¨ auf (entspricht dem kritischen Punkt pc , Tc im p–T –Diagramm). Der Ubergang (Existenz horizontaler Abschnitte - Nichtexistenz horizontaler Abschnitte) wird als Kontinuierlicher Phasenu anomen)1 bezeichnet. Kritische Ph¨anomene ¨ bergang (kritisches Ph¨ geh¨oren mit zum Interessantesten, was die Physik zu bieten hat. AUFGABE: Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung aus den horizontalen p(V )Abschnitten im p-V -Diagramm und dem entsprechenden linearen Teil der freien Energie F (V, T ). Hinweis: Verdampfungsw¨arme Q als T ∆S, (∆S Entropiedifferenz) ausdr¨ ucken.

1.2

Das van–der–Waals–Gas

(SKRIPT THERMODYNAMIK) Das van–der–Waals–Gas ist ein fr¨ uher Erfolg (1873, Doktorarbeit von van–der–Waals) einer ph¨anomenologischen Theorie mit zwei Parametern (a und b), die (nach etwas Modifikation, s.u.) Phasen¨ uberg¨ange tausender von Systemen (gasf¨ ormig/fl¨ ussig) beschreibt. Als fr¨ uhes ‘Highlight’ der theoretischen Physik ist diese Theorie bedeutend als eine Theorie der ‘realen’ Gase sowie als Beispiel f¨ ur eine ‘universelle Theorie’, die ohne ‘wildes Herumfitten’ eine ganze Klasse von Materialsystemen beschreibt (‘Gesetz der korrespondierenden Zust¨ande’). Als Theorie erkl¨art sie ein 1 Manchmal auch als Phasen¨ ubergang zweiter Ordnung bezeichnet, was z.B. von GOLDENFELD als veraltete Terminologie bezeichnet wird

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

4

sogenanntes ‘kritisches Ph¨ anomen’, d.h. eine Singularit¨at in der Zustandssumme. Wie sich herausstellen wird, hat sie Schwachstellen z.B. in der Form falscher (mean-field) ‘kritischer Exponenten’. 1.2.1

Die Zustandsgleichung

Der Ausgangspunkt ist eine gegen¨ uber dem idealen Gas modifizierte Zustandsgleichung,   N2 p + a 2 (V − N b) = N kB T (1.4) V mit Konstanten a > 0, b > 0. Ph¨anomenologisch ist N b das durch die endliche Molek¨ ulgr¨oße ausgeschlossene Volumen, und der ‘Effektiv’-Druck im Innern ist gr¨oßer als Druck auf die Wand (Molek¨ ule werden durch attraktive, langreichweitige Wechselwir2 kungen ins Innere gezogen), deshalb spricht man von einem ‘Koh¨asionsterm’ a N > 0. V2 (NOLTING) Die Herleitung erfolgt u ¨ber das Ersetzen des Vielteilchen–Wechselwirkungspotentials zwischen den Molek¨ ulen (z.B. Lennard-Jones) durch ein effektives mittleres Einteilchenpotential, z. B. V (r < r0 ) = ∞ und V (r > r0 ) = −V0 < 0 mit abstoßendem ‘hard–core’ und einem anziehenden Term f¨ ur gr¨oßere Abst¨ande. Dies f¨ uhrt in der kanonischen Zustandssumme Z(N, V, T ) zu einer einfachen Modifikation (im Vergleich zur Zustandssumme des idealen Gases), und damit zur van–der–Waals–Gleichung. Instabile Bereiche im p-V -Diagramm (negative Kompressibilit¨at) verletzen die thermodynamische Stabilit¨ atsbedingung: Dort versagt die van–der–Waalssche Zustandsgleichung. In diesem Bereich wird die freie Energie F (T, V ) konkav im Volumen V im Widerspruch zum Minimalprinzip f¨ ur F . Weiterhin wird das Gibbs-Potential G(T, p) mehrdeutig in p im Widerspruch zur Eindeutigkeit einer Funktion. Die Mehrdeutigkeit von G(T, p) im instabilen Bereich l¨ aßt sich auf die Mehrdeutigkeit von V (p) zur¨ uckf¨ uhren (vg. CALLEN). Allgemein kann f¨ ur solche Instabilit¨aten ein Zusammenhang mit der Katastrophentheorie hergestellt werden, der u ¨ber die Thermodynamik und Statistik hinausgeht. Um trotz dieser Probleme thermodynamisch konsistent zu bleiben, wird eine Modifikation der Zustandsgleichung im instabilen Bereich ausgef¨ uhrt, die auf Maxwell zur¨ uckgeht. Dadurch wird eine thermodynamisch g¨ ultige Beschreibung im gesamten p-V -Diagramm m¨oglich Die Idee dabie ist, dass die so modifizierte van-der-Waalssche Zustandsgleichung dann einen Phasen¨ ubergang zwischen fl¨ ussiger und gasf¨ormiger Phase eines Fluids beschreiben kann. Hierf¨ ur gibt es zwei m¨ogliche Vorgehensweisen: 1. Ersetze die freie Energie F (V, T ) durch ihre konvexe H¨ ulle, d.h. St¨ utzgeraden von unten zwischen V2 und V1 an die Kurve F (V, T = const) im instabilen Bereich. Im p-V -Diagramm wird ein Teil der p(V )-Kurven dann durch eine Gerade (MaxwellGerade, siehe Bild). 2. Ersetze ein mehrdeutiges Gibbs-Potential G(T, p) durch den jeweils kleinsten Zweig im Einklang mit Minimalprinzip f¨ ur G(T, p). Dann hat G(T, p) f¨ ur festes T einen Knick bei einem bestimmten Druck p (Bild).

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

5

Mit der ersten Methode folgt f¨ ur die horizontalen St¨ ucke im p-V -Diagramm Z 2 Z 2 pdV dF = − p(V1 − V2 ) = F2 − F1 =

(1.5)

1

1

In der geometrischen Interpretation separiert die Maxwell-Gerade die urspr¨ ungliche vander-Waals-Kurve so, daß die Fl¨ achen oben und unten gleich sind. 1.2.2

Der kritische Punkt

Im p–V –Diagramm (SKIZZE in VL) existiert ein kritischer Punkt (pc , Vc , Tc ), der durch   ∂ 2 p ∂p −1 (−V κT ) ≡ = 0, T = Tc = 0 (1.6) ∂V T =Tc ∂V 2 charakterisiert ist. Dies folgt z.B. auch aus der Analyse der kubischen Gleichung (1.4), siehe z.B. NOLTING. Man findet durch Rechnung f¨ ur das van-der-Waals-Gas a , Vc = 3bN, 27b2 Eine Kombination der obigen Parameter ist pc =

Zc ≡

Wegen



∂p ∂V

 T =Tc

pc Vc Tc

kB Tc =

8a . 27b

3 = 0.375, v.-d.-Waals Gas 8 = 1, ideales Gas. =

(1.7)

(1.8) (1.9)

= 0 ist am kritischen Punkt bei der kritischen Temperatur Tc κT = ∞,

T = Tc ,

(1.10)

d.h. die isotherme Kompressibilit¨ at divergiert am kritischen Punkt. Aus der statistischen Mechanik der großkanonischen Zustandssumme (SKRIPT THERMODYNAMIK) wissen wir andererseits, dass sich κT durch die thermischen Fluktuationen der Teilchenzahl N im großkanonischen Ensemble ausdr¨ ucken l¨asst: κT =


V hN 2 i − hN i2 . 2 kB T hN i

(1.11)

Das bedeutet also, dass die Fluktuationen der Teilchenzahl N am kritischen Punkt divergiert. Experimentell beobachtbar ist das bei der Streuung von Licht an divergierenden Dichtefluktuationen als kritische Opaleszenz (STANLEY). F¨ ur T > Tc gibt es dar¨ uber hinaus keine Instabilit¨aten (keine Maxwell-Geraden) und deshalb u uberg¨ange 1. Ordnung mehr zwischen den zwei Phasen ¨berhaupt keine Phasen¨ (fl¨ ussig und gasf¨ ormig). Es gibt also keine Trennfl¨ache mehr zwischen zwei verschiedenen Bereichen des Fluids, w¨ ahrend sich f¨ ur T < Tc diese Bereiche durch ihre Dichtedifferenz ρfl − ρg unterscheiden. Diese Dichtedifferenz verschwindet also f¨ ur T > Tc , ist endlich f¨ ur T < Tc , und wird deshalb als Ordungsparameter bezeichnet. An der kritischen Temperatur tritt ein Phasen¨ ubergang 2. Ordnung ein. Wir definieren allgemein:

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

6

Definition Ein Ordungsparameter ist eine Funktion von thermodynamischen Variablen f (T, ...), die f¨ ur alle Temperaturen oberhalb einer kritischen Temperatur Tc verschwindet, f (T ≥ Tc , ...) = 0. Die kritischen Werte (pc , Vc , Tc ) charakterisieren das Fluid und folgen ‘mikroskopisch’ aus den Parametern a und b, Gl. (1.7). Das legt die Einf¨ uhrung dimensionsloser Parameter nahe; p/pc = P˜ ,

V /Vc = V˜ ,

T /Tc = T˜,

(1.12)

in denen sich die Zustandsgleichung schreibt als (P˜ + 3/V˜ 2 )(3V˜ − 1) = 8T˜,

Gesetz der korrespondierenden Zust¨ande .

(1.13)

In Einheiten der kritischen Parameter pc etc. haben alle van-der-Waals-Gase also die gleiche Zustandsgleichung, unabh¨angig vom Wert der Parameter a und b (Fluide mit denselben Werten P˜ , V˜ und T˜ sind in ‘korrespondierenden Zust¨anden’). Das ist die oben erw¨ ahnte ‘Universalit¨ at’ der van–der–Waals–Theorie. 1.2.3

Kritische Exponenten

Am kritischen Punkt divergiert die isotherme Kompressibilit¨at, Gl. (1.10). Was in der N¨ahe dieser Divergenz passiert, ist ein wesentlicher Bestandteil der ‘Theorie der kritischen Ph¨ anomene’ bzw. Phasen¨ uberg¨ange. Wie bei mathematischen Funktionen wie z.B. f (x) = 1/x2 werden solche Divergenzen durch sogenannte kritische Exponenten beschrieben. Diese beschreiben das Verhalten eines thermodynamischen Systems in der N¨ahe der kritischen Temperatur, d.h. f¨ ur kleine t≡

T − Tc . Tc

(1.14)

Exponenten sind wichtig f¨ ur den Vergleich zwischen Experiment und Theorie: h¨aufig sind sie nicht von Details eines Systems bestimmt, sondern nur von generellen Eigenschaften wie der System–Dimension und bestimmter Symmetrien. Diese ‘Universalit¨at’ erm¨oglicht ¨ es, Aquivalenzklassen (‘Universalit¨atsklassen’) mikroskopisch sehr unterschiedlicher physikalischer Systeme zu definieren, die bez¨ uglich ihres kritischen Verhaltens ¨aquivalent sind und z.B. dieselben kritischen Exponenten liefern. Die Gr¨ unde hierf¨ ur sind tiefliegend und werden im Rahmen der Theorie der kritischen Ph¨anomene (Skalenhypothese, Renormierungsgruppen-Theorie) untersucht. Die kritische Exponenten des van–der–Waals–Gases k¨onnen aus der Zustandsgleichung (P/Pc + 3/V /Vc 2 )(3V /Vc − 1) = 8T /Tc , Gl. (1.13), gewonnen werden. Dazu f¨ uhrt man neue Variablen in der N¨ ahe des kritischen Punktes ein, p0 ≡ P/Pc − 1,

˜ c − 1, v ≡ V /V

t ≡ T /Tc − 1.

(1.15)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

7

Im folgenden schreiben wir p statt p0 . Dann haben wir (p + 1 + 3/(v + 1)2 )(3v + 2) = 8(t + 1).

(1.16)

Wichtig ist hierbei das Auftreten der Bifurkation bei T < Tc im p–V Diagramm (SKIZZE), d.h. das Aufspalten in zwei unterschiedliche Phasen (fl¨ ussig/gasf¨ormig). F¨ ur T > Tc sind die folgenden Exponenten entlang der van-der-Waals p(V )-Kurve zu berechnen. F¨ ur T < Tc sind sie entlang der zwei Bifurkations-Zweige zu berechnen (BILD, vgl. auch NOLTING), und f¨ ur T = Tc entlang der kritischen Isotherme. Kritische Isotherme, Exponent δ Dieser Exponent ist definiert u ¨ber p = D|(ρ − ρc )/ρc |δ sgn((ρ − ρc )) T = Tc ,

v → 0, p → 0,

(1.17)

beschreibt dieser Exponent das Verhalten der kritischen Isotherme in der N¨ahe von ¨ (Vc , pc ). Ublicherweise benutzt man hier die Dichtedifferenz (ρ − ρc )/ρc , vgl. STANLEY, die man aber in die Volumen¨ anderung umrechnen kann, ρ − ρc ∝

1 1 1 1 − −1= − 1 = −v + O(v 2 ). ∝ ˜ V Vc v+1 V

(1.18)

F¨ ur T = Tc k¨ onnen wir die van-der-Waals-Gleichung ohne Maxwell-Konstruktion ver¨ wenden. Durch Entwickeln findet man (NACHPRUFEN!) 3 p = − v 3 + O(v 4 ), 2

Exponent δ = 3,

(1.19)

was bereits wegen der kubischen Form der van-der-Waals-Kurven zu erwarten war. Kompressibilit¨at, Exponenten γ, γ 0 Dieser Exponent ist definiert u ¨ber (vgl. STANLEY)  0 0 C (−t)−γ (1 + ...) T < Tc κT /κid ≡ T −γ Ct (1 + ...) T > Tc , V = Vc

(1.20)

mit der isothermen Kompressibilit¨ at des idealen Gases bei (p, T, V ) = (pc , Tc , Vc ), κid T ≡

1 . pc

(1.21)

F¨ ur T > Tc k¨ onnen wir wieder die van-der-Waals-Gleichung ohne Maxwell-Konstruktion verwenden. Dann ist   ∂ p ˜ 2 = −24T˜/4 + 6 P˜ = 8T˜/(3V˜ − 1) − 3/V˜ , ∂ V˜ T˜ V˜ =1   1 ∂V 1 κT ≡ − , κT /κid = t−1 , Exponent γ = 1. (1.22) T = V ∂p T 6(T˜ − 1)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

8

Ordnungsparameter ρfl − ρg , Exponent β Dieser Exponent ist definiert u ¨ber ρfl − ρg = Btβ ,

t → 0− .

(1.23)

Die Berechnung hier ist etwas komplizierter, da man jetzt unterhalb Tc ist und im Prinzip die Maxwell-Konstruktion durchf¨ uhren muß. Man kann aber wieder um kleine Abweichungen um den kritischen Punkt (pc , Tc , Vc ) herum entwickeln und findet (AUFGABE) Exponent β = 1/2.

(1.24)

Spezifische W¨arme, Exponenten α, α0 Dieser Exponent ist definiert u ¨ber (vgl. STANLEY)  0 0 A (−t)−α (1 + ...) T < Tc CV ≡ At−α (1 + ...) T > T c , V = Vc

(1.25)

F¨ ur T > Tc k¨ onnen wir wieder die van–der–Waals–Gleichung ohne Maxwell-Konstruktion verwenden. Dann ist Exponent α = α0 = 0.

(1.26)

Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen; α = α0 = 0,

1.3

1 β= , 2

γ = 1,

δ = 3.

(1.27)

Das Ising-Modell

Als zweites System betrachten wir wir ein Modell f¨ ur den Phasen¨ ubergang in magnetischen Systemen, wo eine ferromagnetische Phase T < Tc von einer paramagnetischen Phase T > Tc unterschieden wird. Das Ising–Modell beschreibt N Freiheitsgrade (Spins) σi = ±1 auf den Pl¨atzen i eines d-dimensionalen Gitters, wobei σi = ±1 den Eigenwerten der z-Komponente des Spin-1/2-Operators entspricht. Die Spins wechselwirken miteinander u ¨ber eine Austauschwechselwirkung Jij und mit einem Magnetfeld hi am Platz i. Der Hamiltonian ist definiert als X 1X 1 H=− Jij σi σj − gµB hi σi , Jij = Jji . (1.28) 2 2 ij

i

Die Matrix Jij ist hier noch beliebig, wird aber meist durch eine Konstante J und eine Summation u achste Nachbarn (benachbarte Gitterpl¨atze i) ersetzt, und man ¨ber n¨ schreibt h¨ aufig X X 1 hi σi (1.29) H = −J σi σj − gµB 2

i

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

9

mit dem Symbol < ij > f¨ ur die Summation u ¨ber n¨achste Nachbarn, wobei im Vergleich 1 mit Gl. (1.28) der Faktor 2 entf¨ allt. Im Folgenden setzen wir das Produkt aus g (LandeFaktor) und µB (Bohr-Magneton) der Einfachheit halber gleich eins. Die kanonische Zustandssumme des Isingmodells X X e−βH (1.30) ... e−βF = Z = σ1 =±1

σN =±1

l¨asst sich bis auf wenige Ausnahmen nicht exakt berechnen. Man beginnt am besten mit N¨aherungsmethoden, von denen man auch insgesamt mehr u ¨ber kritische Ph¨anomene lernt als nur aus exakten L¨ osungen. 1.3.1

Mean-Field-Methode: Weiss’sche Molekularfeld-N¨ aherung

F¨ ur Jij = 0 hat man nichtwechselwirkende Spins und das Modell ist exakt l¨osbar. F¨ ur Jij 6= 0 nehmen wir jetzt an, dass wir den Effekt der Spin-Spin-Wechselwirkungen durch ein effektives Magnetfeld heff onnen, das zus¨atzlich den Einfluss aller i beschreiben k¨ Spins auf einen gegebenen festen Spin i beschreibt. Man schreibt den Hamiltonian hierzu zun¨achst exakt um als X 1X Jij (δσi + hσi i) (δσj + hσj i) − hi σi , δσi ≡ σi − hσi i 2 ij i X 1X Jij (δσi δσj + δσj hσi i + δσi hσj i + hσi ihσj i) − hi σi = − 2 ij i X 1X = − Jij (δσi δσj + σj hσi i + σi hσj i − hσi ihσj i) − hi σi 2 ij i 1X ≡ H MF − Jij δσi δσj 2

H = −

(1.31)

ij

mit dem Mean–Field–Hamiltonian X 1X Jij hσi ihσj i, H MF = − heff i σi + 2 i

heff i ≡ hi +

ij

X

Jij hσj i.

(1.32)

j

Das ist zun¨ achst nichts weiter als eine exakte Umschreibung des Hamiltonians, wobei mi ≡ +hσi i Mittelwerte bez¨ uglich einer noch nicht definierten Verteilung sind. Sind nun die Flukuationsterme, δσi δσj , ‘klein’, so liegt es nahe, den vollen Hamiltonian H durch den Mean–Field–Hamiltonian H MF zu ersetzen. Entsprechend werden nun die Mittelwerte hσi i mit der kanonischen Verteilung bez¨ uglich dieses neuen Mean-Field-Hamiltonians berechnet, d.h. hσj i ≡

X 1 X MF ... σj e−βH . Z σ1 =±1

σN =±1

(1.33)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

10

Im Vergleich zum exakten Hamiltonian fehlen im Mean-Field-Hamiltonian also die Fluktuationsterme δσi δσj .

(1.34)

P Der Term 12 ij Jij hσi ihσj i in H MF ist eine Konstante und geht deshalb in die Dichtematrix selbst nicht ein. Er beschreibt eine Verschiebung der Grundzustandsenergie. Der Mean-Field-Hamiltonian beschreibt unabh¨angige Spins, wobei sich jeder Spin in einem effektiven, durch die anderen Spins erzeugten Magnetfeld heff i befindet,das selbst wieder von den Mittelwerten hσj i abh¨ angt und deshalb selbstkonsistent ausgerechnet werden muss. Wir nehmen jetzt ein homogenes ¨ausseres Magnetfeld und eine homogene Magnetisierung an, hi = h,

hσj i = m,

unabh¨angig vom Gitterplatz i.

Dann kann alles einfach gel¨ ost werden: P eff X X 1 X 1 X MF m = ... σj e−βH = ... σ1 e β i h σi Z Z σ1 =±1 σN =±1 σ1 =±1 σN =±1   P eff βh σ 1 eff X sinh βh σ =±1 σ1 e = tanh β(h + = J1j m) . = P1 eff σ eff βh 1 cosh βh e σ1 =±1

(1.35)

(1.36)

(1.37)

j

Die Magnetisierung hσj i = m folgt also aus der Selbstkonsistenzgleichung X m = tanh [β(h + J m)] , J ≡ J1j . (1.38) j

Die Selbstkonsistenzgleichung kann graphisch oder numerisch gel¨ost werden (s.u.), womit z.B. die Bedingungen f¨ ur die Existenz eines Phasen¨ ubergang und die kritische Temperatur im Rahmen dieser Mean-Field-N¨ aherung einfach hergeleitet werden k¨onnen. 1.3.2

Diskussion der Selbstkonsistenzgleichung

Zun¨achst hat man f¨ ur den trivialen Spezialfall J = 0, d.h. ohne Spin-Spin-Wechselwirkungen, m = tanh [βh] ,

Paramagnet ,

(1.39)

d.h. die Spins sind unabh¨ angig. Insbesondere gibt es nur f¨ ur endliches m 6= 0 eine endliche Magnetisierung, und man spricht von einem Paramagneten. Dieses Ergebnis bekommt man nat¨ urlich auch sofort aus P X X e−Ffree = Zfree = ... eβ i hi σi (1.40) σ1 =±1

=

N Y i=1

2 cosh βhi

σN =±1

mi = −

∂F = tanh βhi ∂hi

(1.41)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

11

und unter Beachtung von hi = h f¨ ur den homogenen Fall. Ohne Magnetfeld, d.h. f¨ ur h = 0, ist die Magnetisierung also Null. Das Bemerkenswerte an der Mean-Field-L¨osung m = tanh [β(h + J m)] f¨ ur J 6= 0 ist nun, das es selbst f¨ ur Magnetfeld h = 0 eine endliche, spontane Magnetisierung geben kann: Die Gleichung X m = tanh(βJ m), J ≡ J1j (1.42) j

hat unterhalb einer kritischen Temperatur Tc L¨osungen mit m 6= 0, n¨amlich genau eine positive und eine negative (SKIZZE). Hierbei bestimmt sich Tc aus der Steigung βJ des tanh am Ursprung: ist diese gr¨ osser als 1, so gibt es drei Schnittpunkte des tanh mit der Geraden y = m, ist sie kleiner als 1, so gibt es nur die ‘triviale’ paramagnetische L¨osung m = 0, d.h. wir finden X kB Tc = J = J1j , kritische Temperatur. (1.43) j

Die Mean-Field-Methode sagt also einen Phasenu ¨ bergang zweiter Ordnung von einer paramagnetischen Phase mit m = 0 f¨ ur h = 0 (T > Tc ) zu einer ferromagnetischen Phase m 6= 0 f¨ ur h = 0 (T < Tc ) voraus. F¨ ur T < Tc sind zwei endliche Magnetisierungen m¨oglich (positiv oder negativ). Man interpretiert das so, dass nur eine (positiv oder negativ) spontan vom System angenommen wird, abh¨angig z.B. von kleinen Magnetisierungs‘keimen’, um die sich dann die Gesamtmagnetisierung aufbaut. Die urspr¨ ungliche Symmetrie des Modells bez¨ uglich Vertauschung von Spin ↑ und ↓ ist also f¨ ur T < Tc verlorengegangen: man spricht von spontaner Symmetriebrechung , die charakteristisch f¨ ur das Auftreten eines Phasen¨ ubergangs ist. Im Fall des Ising-Modells bezieht sich diese Symmetriebrechung mathematisch gesprochen also auf die Symmetriegruppe Z2 . Allgemein definiert man: Definition Bei spontaner Symmetriebrechung befindet sich ein System ein einem thermischen Gleichgewichtszustand, dessen Symmetrie geringer ist als die des System–Hamiltonians. Auf den ersten Blick scheint so etwas paradox zu sein, da sich ja auch ein makroskopischer, thermischer Zustand zumindest im Prinzip aus einem mikroskopischen System– Hamiltonian herleiten lassen sollte. Wir werden sehen, dass ein entscheidender Faktor f¨ ur die spontane Symmetriebrechung die Grenzwertbildung ist, die in der Thermodynamik als ’thermodynamischer Limes’ bekannt ist: Aus der Mathematik ist bekannt, dass bei solchen Grenzprozessen ‘Dinge passieren k¨onnen’.

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

1.3.3

12

Kritische Exponenten

Wir k¨onnen nun die zugeh¨ origen kritischen Exponenten f¨ ur die berechnen: wir schreiben die Zustandsgleichung unseres magnetischen Systems als (Additionstheorem f¨ ur tanh) m = tanh [β(h + J m)] = tanh [βh + τ m)] , τ ≡ Tc /T tanh βh + tanh mτ m − tanh mτ = tanh βh = 1 + (tanh βh)(tanh mτ ) 1 − m tanh mτ

(1.44) (1.45)

Aus    1 3 3 1 3 3 βh + O(h ) = m(1 − τ ) − m τ + ... 1 + m(mτ − m τ + ...) 3 3   1 (1.46) = m(1 − τ ) + m3 τ − τ 2 + τ 3 + ... + ... 3 3

ergibt sich damit eine gen¨ aherte Zustandsgleichung   1 3 3 2 βh = m(1 − τ ) + m τ − τ + τ , h, m → 0. 3

(1.47)

Um die Exponenten definieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir zun¨achst Gr¨oßen wie die spezifische W¨ arme sowie Suszeptibilit¨aten. Wir greifen zun¨achst auf die Thermodynamik zur¨ uck: F¨ ur magnetische Systeme lautet die Differentialform der reversiblen Arbeit dW = HdM

(1.48)

mit den Betr¨ agen H des Magnetfelds und dem Betrag M der Magnetisierung, vgl. STANLEY, CALLEN. Wir haben also im Vergleich zu den bisher betrachteten Systemen (Fluiden/Gasen) die Analogie V → −M,

p → H.

(1.49)

Entsprechend lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik f¨ ur magnetische Systeme dU = δQ + HdM.

(1.50)

Die thermodynamischen Potentiale werden ebenso entsprechend modifiziert, z.B. F (T, M ) = U − T S freie Energie und G(T, H) = U − T S − HM Gibbs-Potential.

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

13

In Analogie zu den W¨ armekapazit¨aten, Kompressibilit¨at etc. hat man (wir schreiben jetzt E f¨ ur die Enthalpie) magnetische Response-Funktionen   ∂U CM ≡ , spez. W¨arme, M const (1.51) ∂T M   ∂E CH ≡ , spez. W¨arme, H const (1.52) ∂T H   ∂M χT ≡ , isotherme Suszeptibilit¨at (1.53) ∂H T   ∂M , adiabatische Suszeptibilit¨at (1.54) χS ≡ ∂H S   ∂M αH ≡ , (1.55) ∂T H die z.B. u ¨ber 2 χT (CH − CM ) = T αH

(1.56)

zusammenh¨ angen (beliebte AUFGABE in der THERMODYNAMIK). Phasen¨ uberg¨ ange bei magnetischen Systemen werden nun wiederum durch Nichtanalytizit¨aten in den thermodynamischen Potentialen beschrieben (BILD, Gibbs-Potential und M als Funktion von H f¨ ur T > Tc , T < Tc , Freie Energie und H als Funktion von M f¨ ur T > Tc , T < Tc .) Man hat also M (H → 0+ ) = 0, +

M (H → 0 ) 6= 0,

oberhalb Tc

unterhalb Tc : endliche Magnetisierung .

(1.57) (1.58)

Wir definieren nun die kritischen Exponenten mit der Analogie V → −M , p → H, Gl. (1.49), zum van–der–Waals–Gas. Um konsistent mit der Notation beim Ising–Modell zu bleiben, schreiben wir f¨ ur die Magnetisierung M nun m (Magnetisierung pro Gitterplatz) und statt H nun h. Mit t ≡ T /Tc − 1 = τ −1 − 1 sind dann die Definitionen m(T, h → 0) ∝ (−t)β , Ordnungs-Parameter  0 (−t)−γ T < Tc χT ∝ t−γ T > Tc  0 −α (−t) T < Tc Ch (h = 0) ∝ −α t T > Tc h ∝ mδ

T = Tc .

(1.59) (1.60) (1.61) (1.62)

Dass man hier dieselben Symbole α, β etc. f¨ ur die Exponenten benutzt, muss im Prinzip im Nachhinein gerechtfertigt werden (s.u.)

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

14

Exponent δ (kritische Isotherme) Wir setzen τ = 1 und finden h ∼ m3

δ = 3.

(1.63)

ε ≡ τ −1 − 1

(1.64)

wie im van-der-Waals Gas. Exponent β Wir setzen h = 0, also (AUFGABE) m2 = −3ε + ...,

und damit β = 1/2, wieder wie im van-der-Waals Gas. Exponenten γ,γ 0 Als AUFGABE. Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen; α = α0 = 0,

1 β= , 2

γ = 1,

δ = 3.

(1.65)

Der Vergleich mit Gl. (1.27), dass das dieselben Exponenten wie beim van–der–Waals– Gas sind. Das ist kein Zufall, sondern hat zwei Gr¨ unde: a) die Beschreibung von einfachen Fluiden, d.h. der ‘realen Gase’ durch die van–der–Waals–Gleichung ist nur n¨aherungsweise g¨ ultig und entspricht effektiv einer N¨aherung wie der Mean–Field–N¨aherung im Ising– Modell. Das ist nat¨ urlich an dieser Stelle nicht v¨ollig offensichtlich und muss aus einer Theorie der Fluide genauer gerechtfertigt werden, b) beide Systeme (van–der–Waals– Gas und Ising–Magnet) liegen in derselben Universalit¨atsklasse. Letzteres h¨angt mit der Natur des Ordnungsparameters zusammen, der in beiden F¨allen eine einfache skalare Funktion ist. Weitere Details hier in STANLEY. 1.3.4

Mean-Field-Methode als ‘falsche’ Theorie

Wesentliche Schwachpunkte der Mean-Field-Methode sind: • Falsche Voraussage von Phasen¨ uberg¨angen, z.B. in d = 1 Dimensionen f¨ ur das Ising-Modell, wo es in Wirklichkeit keinen Phasen¨ ubergang gibt (was man an der ¨ exakten L¨ osung des Ising-Modells in d = 1 sieht, s.u. bzw. UBUNGEN). • ‘Falsche’ Werte f¨ ur die kritischen Exponenten β etc., d.h. Werte, die z.B. f¨ ur d = 2 Dimensionen nicht mit denen der exakten L¨osung des Ising-Modells (Onsager 1944) u ¨bereinstimmen.

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

15

Allerdings gibt es kaum exakte L¨ osungen, z.B. ist das Ising-Modell schon in d = 3 Dimensionen nicht mehr exakt l¨ osbar. In der Tendenz ist die Mean-Field-Methode umso besser, je h¨oher die Dimension des Systems ist. Die Mean-Field-Methode ist allerdings h¨aufig ¨ gut als grobe, ‘vorl¨ aufige’ Beschreibung, um sich einen Uberblick zu verschaffen, erste qualitative Aussagen zu machen etc. - immer mit dem Vorbehalt, dass die Resultate sicherlich mit Vorbehalt betrachtet werden m¨ ussen. In wechselwirkenden Quantensystemen, z.B. wechselwirkende Elektronen, ist das Pendant zur Mean-Field-Methode die Hartree-Fock-Theorie. Eine bessere Vorstellung vom Stellenwert der Mean-Field-Methode gibt ihre Herleitung 1.) aus einem Variationsprinzip (wie bei Hartree-Fock), und wichtiger noch 2.) als Sattelpunktsl¨ osung der zum Modell zugeh¨origen Feldtheorie. 1.3.5

Mean-Field-L¨ osung aus Variationsprinzip

Wir benutzten hier ein Variationsverfahren, das dem Rayleigh–Ritz–Verfahren aus der Quantenmechanik entspricht: Satz 1. Sei H der Hamiltonian eines Systems im thermischen Gleichgewicht mit freier Energie F zur Temperatur T . F¨ ur Variationszust¨ ande (Dichtematrizen) ρ gilt dann F ≤ hH − T Si ≡ Tr [ρ(H + T ln ρ)] .

(1.66)

AUFGABE: Beweise diese Ungleichung in zwei Schritten: 1. Seien ρ und ρ0 zwei Zust¨ ande (Dichtematrizen) eines Systems. Beweise die Ungleichung Tr(ρ log ρ) ≥ Tr(ρ log ρ0 ).

(1.67)

Hinweis: Benutze die Spektralzerlegung der Dichtematrizen. 2. Benutze nun Gl. (1.67), um Gl. (1.66) zu zeigen. Wir benutzen Gl. (1.66) nun f¨ ur das Ising-Modell (hier konstantes Magnetfeld h) H=−

X 1X Jij σi σj − h σi 2 ij

(1.68)

i

und eine einfach zu berechnende Form von ρ, n¨amlich wieder einen faktorisierenden Dichteoperator ! X 1 exp βB σi , ZB = (2 cosh βB)N . (1.69) ρB ≡ ZB i

mit dem freien Parameter B, der nat¨ urlich ein effektives Magnetfeld darstellt. B soll jetzt so variert werden, dass die rechte Seite der Gibbschen Ungleichung minimal wird und die Ungleichung damit optimal erf¨ ullt ist. Dazu m¨ ussen wir nat¨ urlich erst einmal

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

16

die Erwartungswerte der Energie und Entropie mit dem Dichteoperator ρB berechnen: P βB(σ1 +...+σN ) σ1 ...σN σi e hσi i = P = tanh(βB) (1.70) βB(σ1 +...+σN ) σ1 ...σN e P βB(σ1 +...+σN ) σ1 ...σN σi σj e P = tanh2 (βB), i 6= j (1.71) hσi σj i = βB(σ1 +...+σN ) e σ1 ...σN X 1X hHi = − Jij tanh2 (βB) − h tanh(βB) (1.72) 2 ij

≡ −

i

N J tanh2 (βB) − N h tanh(βB) 2

(1.73)

Man beachte, dass der Modell-Hamiltonian keine ‘Selbstwechselwirkungsanteile’ enth¨alt, d.h. Jii = 0, und dass ausserdem f¨ ur r¨aumlich homogene (nicht von i abh¨angende) Kopplungen 1X 1X NX N Jij = J1j = J1j = J . 2 2 2 2 i6=j

i6=j

(1.74)

j

Der Erwartungswert der Entropie ist hSi = −Trρ ln ρ = −hβB

X

σi − ln ZB i

i

= −βBN tanh(βB) + N ln(2 cosh βB),

(1.75)

insgesamt bekommen wir also < hH − T Si ≡ F(B) (1.76) N F(B) = − J tanh2 (βB) + N (B − h) tanh(βB) − T N ln(2 cosh βB). 2 F

Jetzt berechnen wir das Minimum durch Differenzieren von F(B). Wir beachten tanh0 x = 1 − tanh2 x und erhalten F 0 (B) = −N J β tanh(βB)[1 − tanh2 (βB)] + N tanh(βB) + N (B − h)β[1 − tanh2 (βB)] − T βN tanh βB = N β (B − h − J tanh(βB)) [1 − tanh2 (βB)] = 0 B − h = J tanh(βB).

(1.77)

Wir schreiben das etwas um mittels m = hσi i = tanh(βB) B − h = J tanh(βB)

B = Jm+h

m = tanh(βB) = tanh(βJ m + βh)

(1.78) (1.79)

Das ist identisch mit der Selbstkonsistenzgleichung der Weiss’schen Molekularfeldn¨aherung!

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

17

Energie und Entropie (per Spin) lassen sich durch die (selbstkonsistente) Magnetisierung m = tanh(βJ m + βh) ausdr¨ ucken, n¨amlich als (AUFGABE). hHi N hSi N

J = − m2 − hm 2 X1±m 1±m = − ln . 2 2 ±

(1.80) (1.81)

In der N¨ ahe des kritischen Punktes entwickeln wir die Entropie f¨ ur kleine Magnetisierungen m, hSi N

1 = −βB tanh(βB) + ln(2 cosh βB) = −βm(J m + h) + ln 2 − ln(1 − m2 ) 2   1 1 4 2 = −βm(J m + h) + ln 2 + m + m + ... . (1.82) 2 2

Insbesondere ist dann hH − T Si N

= = =

G(T, m) =

2

J T − m2 − hm + m(J m + h) − T ln 2 − 2 2  
J T T −T ln 2 + − m2 − m4 + ... 2 2 4   −T ln 2 + G(T, m) + O(m6 )   1 Tc m4 1− m2 + . 2 T 4



 1 4 m + m + ... 2 2

(1.83) (1.84)

Diskussion der Funktion G(T, m): • F¨ ur T > Tc ist der Vorfaktor vor m2 positiv, deshalb hat die Funktion nur ein Minimum bei m = 0. • F¨ ur T < Tc ist der Vorfaktor vor m2 negativ, es gibt zwei Minima m± (SKIZZE). Das Verhalten von G(T, m) beschreibt also gerade den erwarteten Phasen¨ ubergang. AUFGABE (Clausius–Mossotti–Formel): In der Elektrostatik polarisierbarer Medien ohne freie Ladungen gilt divD = 0 mit der dielektrischen Verschiebung D = E+ε−1 0 P = εE, die sich aus dem makroskopischen, durch ¨außere Quellen (z.B. freie Ladungen außerhalb des Mediums) erzeugten elektrischen Feld E und der makroskopischen Polarisation P zusammensetzt. F¨ ur homogene Medien nimmt man die Polarisation an als P = np, wobei n die Dichte der mikroskopischen Dipole mit Dipolmoment p ist, das nicht permanent sein soll, sondern sich proportional zum lokalen elektrischen Feld Eloc am Ort des Dipols einstellt, d.h. p = αEloc mit der Polarisierbarkeit α, die als gegebener (mikroskopischer) 2

Man beachte, dass hier die rechte Seite eine Funktion von m ist. Die Extrema von G(T, m) bez¨ uglich m entsprechen den L¨ osungen der Mean–Field–Gleichung. Die Ungleichung Gl. (1.76) bezieht sich aber auf Variation des Parameters B und nicht m.

1. Klassische Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ange

18

Materialparameter angenommen wird. Ziel ist es, aus der mikroskopischen Polarisierbarkeit α einen Ausdruck f¨ ur die makroskopische Materialkonstante  (Dielektrizit¨atszahl) herzuleiten. Man schreibe zun¨ achst das lokale elektrische Feld Eloc als Summe des elektrischen Feldes E und der von allen anderen Dipolen erzeugten Felder (Superpositionsprinzip der Elektrostatik). Letzteres wird jetzt im n¨achsten Schritt durch ein mittleres Feld ersetzt. 1. Begr¨ unde kurz, wie das auf eine ‘Mean–Field–Gleichung’ der Form p = α(E − γp) f¨ uhrt, ohne den Parameter γ hier genau zu spezifizieren. 2. Berechne den Parameter γ. Hierzu soll ein Mittelungsargument benutzt werden (welches, und was sind die Voraussetzungen z.B. an die r¨aumliche Verteilung aller Dipole). Die Berechnung von γ l¨ auft dann darauf hinaus, dass man eine kleine Kugel um einen festen Dipol betrachtet, außerhalb derer der Effekt aller anderen Dipole durch die (zun¨achst nicht bekannte) makroskopische Polarisation P beschrieben wird. Auf der Oberfl¨ache der Kugel liefert P dann Randbedingungen, aus denen wie beim Gaußschen Gesetz der Elektrostatik das Feld im Innern der Kugel berechnet werden kann. Zeige, dass das Ergebnis unabh¨angig vom Kugelradius ist. Leite daraus schließlich die Beziehung ε−1 1 nα = , ε+2 3 ε0

Clausius–Mossotti–Formel

(1.85)

her. AUFGABE: (Ising–Model mit unendlich weitreichiger Wechselwirkung). Wir beγ PN PN trachten Spins σi = ±1 auf N Gitterpl¨atzen mit der Energie H = − N i=1 j=1 σi σj , γ > 0. 1. Zeige, dass sich die kanonische Zustandssumme als ZN

N   X N β γ (N −2n)2 = e N n

(1.86)

n=0

schreiben l¨ aßt, wobei n die Anzahl der Spins nach unten (mit σi = −1) bezeichnet. 2. Zeige nun die Integraldarstellung r Z   p  N ∞ dye−N Φ(y) , Φ(y) ≡ y 2 − ln 2 cosh 2γ βy . (1.87) ZN = π −∞ 3. Benutze eine Approximation f¨ ur N → ∞, um das Integral f¨ ur ZN auszuwerten. Zeige, dass daraus eine Selbstkonsistenzgleichung entsteht, deren L¨osung einen Phasen¨ ubergang beschreibt. Berechne die kritische Temperatur. Skizziere die Funktion Φ(y) f¨ ur verschiedene Temperaturen.

2. FELDTHEORIEN IN DER STATISTISCHEN MECHANIK ¨ In Feldtheorien wird der Ubergang von einzelnen, diskreten Freiheitsgraden (z.B. Punktladungen in der Elektrodynamik) zu Feldern vollzogen. Die Felder beschreiben in den klassischen mikroskopischen Theorien die Kr¨afte, die zwischen den Teilchen wirken. In der quantenmechanischen Version erhalten sie dann noch mehr Eigenst¨andigkeit, d.h. sie beschreiben unabh¨ angige Freiheitsgrade, was dann auch in der feldtheoretischen Beschreibung der statistischen Mechanik der Fall ist.

2.1

Classical Electrolytes

We consider a system of point charges, i.e. particles (ions) of charge qα at position rα , in a three-dimensional medium with dielectric constant (r). Here, α labels the particle species of which there are M . The system charge density ρS (r) at position r (threedimensional vector) is ρS (r) =

Nα M X X

qα δ(r − rkα ),

(2.1)

α=1 kα

where Nα is the number of particles of species α. We also assume that there are additional, fixed particles at a density σ(r) so that the total charge density ρ(r) is ρ(r) =

Nα M X X

qα δ(r − rkα ) + σ(r).

(2.2)

α=1 kα =1

The total electrostatic (interaction) energy E of the system due to the Coulomb-interaction between the particles is given by Z 1 E= drρ(r)φ(r), (2.3) 2 where the potential φ(r) obeys Poisson’s equation: we use Maxwell’s equation for the electric displacement D(r), ∇D(r) = 4πρ(r),

(2.4)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

20

where we note that all charges are ‘true’ charges and not polarization charges. Then with D(r) = (r)E(r) and the electric field E(r) = −∇φ(r), we find −∇(r)∇φ(r) = 4πρ(r).

(2.5)

The associated Green’s function to this problem fulfills −

1 ∇(r)∇G0 (r, r0 ) = δ(r − r0 ). 4π

We obtain the potential, neglecting boundary terms, Z φ(r) = dr0 G0 (r, r0 )ρ(r0 ), boundary terms neglected.

(2.6)

(2.7)

(Neglecting the boundary terms is not quite without any problems, see below). The energy of the electrostatic field can then be written entirely in terms of the charge distribution Z 1 E = drdr0 ρ(r)G0 (r, r0 )ρ(r0 ) (2.8) 2 The expression for the energy given above contains contribution from the interaction of each ion with itself — the self-energy. Subtracting this term from the energy, we write Z 1X 2 1 0 (2.9) drdr0 ρ(r)G0 (r, r0 )ρ(r0 ) − qα G0 (rkα , rkα ) E = 2 2 α,k

We also assume that there are external potentials uα (r) acting on particles of type α. The total classical Hamilton function of the system is then " # Nα M X X p2kα 0 H= + uα (rkα ) + E {rkα } . (2.10) 2mα α=1 kα

Thermodynamical quantities of the system are best obtained from the grand partition sum ZG in the grand-canonical ensemble at fixed temperature kB T ≡ β −1

(2.11)

and chemical potentials µα for particles of type α. The grand partition sum ZG is obtained from the partition sum Z(N1 , ..., NM ) of the canonical ensemble at fixed temperature and fixed particle numbers N1 , ..., NM of species α = 1, ..., M , ZG =

∞ X N1 =0

···

∞ Y M X

eβµα Nα Z(N1 , ..., NM ).

(2.12)

NM =0 α=1

In classical physics, the kinetic and potential energy terms in the Hamiltonian commute. The partition sum therefore contains the (trivial) contribution from the kinetic energy

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

21

in the form of products of thermal wave lengths Λα , and the Gibbs correction factor in order to account for the fact that particles of the same species are ‘indistinguishable’. One therefore has ∞ X

ZG =

···

N1 =0

2.1.1

Z Y Nα M Y ∞ Y M X eβµα Nα N !Λ3Nα NM =0 α=1 α α

d3 rkα e−β [

P

α,k

uα (rkα )+E 0 {rkα ]

.

(2.13)

α=1 kα =1

Hubbard-Stratonovich Transformation

The key idea now is to get rid of the term 1

e− 2 β

R

drdr0 ρ(r)G0 (r,r0 )ρ(r0 )

(2.14)

which comes from the interaction energy E 0 , Gl. (2.9). This can be done at the expense of introducing additional Gaussian integrations over auxiliary fields.The HubbardStratonovich transformation is best carried out by replacing the continuous function ρ(r) by a vector with n components ρj ≡ ρ(rj ) Z

0

0

0

drdr ρ(r)G0 (r, r )ρ(r ) ≈ ε

2

n X

ρi Gij ρj ,

ε → 0,

n → ∞.

(2.15)

i,j=1

We then use the Gaussian identity − 12 βε2

e

Pn

i,j ρi Gij ρj

 =

det(βG0 )−1 (2π)n

 12 Z dΨ1 ...dΨn e

1 2 − 2β ε

Pn

i,j

Ψi

P 1 G−1 Ψj −iε i ε2 ij

ρi Ψi

. (2.16)

In the limit ε → 0, this yields e

− 21 β

R

drdr0 ρ(r)G0 (r,r0 )ρ(r0 )

1 =√ det G0

Z DΨ(r)e

1 − 2β

R

0 0 drdr0 Ψ(r)G−1 0 (r,r )Ψ(r )−i

R

drρ(r)Ψ(r)

.

(2.17) Here, the path integral measure is defined as DΨ(r) = lim (2πβ)−n/2 dΨ1 ...dΨn . n→∞

(2.18)

Now we insert this expression into the grand partition sum ZG , Z R R 0 0 1 − 1 drdr0 Ψ(r)G−1 0 (r,r )Ψ(r ) e−i drσ(r)Ψ(r) ZG = √ DΨ(r)e 2β (2.19) det G0 i Z Y Nα ∞ ∞ Y M M Y P h X X 2 G (r eβµα Nα −β α,k uα (rkα )+ βi qα Ψ(rkα )− 12 qα 0 kα ,rkα ) 3 ··· × d rkα e N !Λ3Nα α=1 kα =1 N1 =0 N =0 α=1 α α M

The term e−i

R

drσ(r)Ψ(r)

comes from the fixed external charge density, σ(r).

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

22

The second line can now be drastically simplified: consider that terms like Z N1 Z Y PN −β k 1=1 u1 (rk1 ) 3 −βu (r) 1 1 d rk1 e = dre

(2.20)

k1

simply are powers of integrals over the coordinates of one particle. This means ∞ X

···

N1 =0

Z Y Nα M Y ∞ Y M X eβµα Nα N !Λ3Nα NM =0 α=1 α α ∞ X

···

N1 =0

∞ X

d3 rkα e−β

P

α,k

uα (rkα )

=

α=1 kα =1 M Y

eβµα Nα

Z

dre−βuα (r)

Nα

N !Λ3Nα NM =0 α=1 α α   Z M Y βµα −βuα (r) exp Λ−3 dre α

=

(2.21)

α=1

This is actually nothing but the grand partition sum of a gas of M particle species α = 1, ..., M at chemical potential µα and inverse temperatur β in one-particle potentials uα (r), "M # Z X ref −3 γα (r) ZG [{γα }] ≡ exp , γα (r) ≡ β [µα − uα (r)] , (2.22) Λα dre α=1

where the notation {γα } denotes a functional dependence on γ1 (r), ..., γM (r). The full grand partition sum ZG of the interacting system can now be written in a very elegant form, Z R R 0 0 1 − 1 drdr0 Ψ(r)G−1 0 (r,r )Ψ(r ) e−i drσ(r)Ψ(r) ZG = √ DΨ(r)e 2β det G0 βq 2 ref (2.23) × ZG [{γα − iqα Ψ + α G0 }]. 2 This expression now also gives rise to a very intuitive interpretation: the interacting grand partition sum is an average over fields Ψ(r) of the grand partition sum of a noninteracting gas of particles (M species) subject to a combination of the fixed, external chemical potentials µα and potentials uα and the additional, fluctuatingR field Ψ(r). The average is performed with a Gaussian weight factor (and the term e−i drσ(r)Ψ(r) ), and it is done in ‘path-integral’ form over all possible configurations of the fluctuating field. 2.1.2

Mean-Field Solution

This consists in replacing the functional integral for ZG by the value of the integrand at ¯ an extremum Ψ(r), MF ZG =e

1 − 2β

R

−1 0 ¯ 0 ¯ drdr0 Ψ(r)G 0 (r,r )Ψ(r )−i

R

ref [{γ −iq Ψ}] ¯ ¯ drσ(r)Ψ(r)+ln ZG α α

,

(2.24)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

23 2

where here and in the following we no longer include the self-interaction term βq2α G0 in ref . The mean field solution, i.e. the extremum Ψ(r), ¯ ZG is found by a functional derivative MF δZG = 0, ¯ δ Ψ(r)

(2.25)

which we find as Z ref [γ − iq Ψ] ¯ δ ln ZG 1 α α 0 ¯ 0 − dr0 G−1 (r, r ) Ψ(r ) + − iσ(r) = 0. 0 ¯ β δ Ψ(r)

(2.26)

ref we use its explicit form, For the derivative of ln ZG ref ln ZG [γα

¯ = − iqα Ψ]

X

Λ−3 α

Z

¯

dreγα −iqα Ψ

(2.27)

α ref [γ − iq Ψ] ¯ δ ln ZG α α ¯ δ Ψ(r)

= −i

X

¯

γα −iqα Ψ(r) Λ−3 α qα e

(2.28)

α

In the following, we assume a constant dielectric function (r) = . We then use Z 00 00 0 (2.29) dr00 G−1 0 (r, r )G0 (r , r) = δ(r − r ) and the fact that G0 solves Poisson’s equation, which leads to (EXERCISE) # " X 4π ¯ Ψ(r) −3 γ −iq ¯ ∆r iΨ(r) =− + σ(r) . Λ α qα e α α  α

(2.30)

Re-defining the imaginary potential Ψ into a real potential Φ, Φ(r) ≡

i¯ Ψ(r), β

we finally obtain the desired mean-field equation, # " 4π X −3 β[µα −uα (r)−qα Φ(r)] ∆r Φ(r) = − Λ α qα e + σ(r) .  α

(2.31)

(2.32)

This is the Poisson-Boltzmann equation: a second order PDE for the unknown potential Φ(r) due to a distribution of point charges in the grand-canonical ensemble at fixed inverse temperature β, chemical potentials µα , fixed external potentials uα , and a fixed external charge density σ(r). The term on the r.h.s of the Poisson-Boltzmann (minus σ(r)) is in fact just the charge density of a non-interacting gas of charges in a potential uα (r) + qα Φ(r), X β[µα −uα (r)−qα Φ(r)] ρ¯(r) = Λ−3 . (2.33) α qα e α

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

24

This density is, of course, nothing but a version of the barometric formula (barometrische H¨ohenformel). The inhomogeneous term on the r.h.s. of the Poisson-Boltzmann is thus non-linear in Φ(r) which makes even the solution at mean field level non-trivial in general. Let us mention that the Poisson-Boltzmann equation can be derived much easier in a phenomenological way, simply by inserting the thermodynamic equilibrium density ρ¯(r) of a gas in a potential φ(r) (given by the Boltzmann factors) into the Poisson equation: that is the origin of the name of that equation. However, the derivation via the field theory (functional integration, Hubbard-Stratonovich transformation) has the big advantage that one can calculate corrections to mean field, i.e., corrections to the Poisson-Boltzmann equation. These come from fluctuations of the fields Ψ(r) around ¯ their mean-field value Ψ(r). These fluctuations can be very important, e.g. in cases were the solution of the Poisson-Boltzmann equation is simply zero. The fluctuations can be ¯ calculated ‘loop-wise’ by expanding the functional integral around Ψ(r) in very much the same way as one does for the Gaussian fluctuations around Mean-Field theory for other models, e.g. the Ising Model (see below). 2.1.3

Poisson-Boltzmann Theory

Here, we follow the Review Article by D. Andelman in ‘Handbook of Biological Physics’, Vol. 1, ed. R. Lipowsky and E. Sackmann (Elsevier, 1995). We are concerned with solutions of the Poisson-Boltzmann equation # " 4π X −3 ∆r Φ(r) = − (2.34) Λα qα eβ[µα −uα (r)−qα φ(r)] + σ(r)  α that we derived in mean-field approximation to the electrolyte problem in the previous section. Here, we are interested in situations involving boundaries in order to model, for example, membranes. The dielectric constant  is the one for water if we are interested in a model for ion solutions in water, where the water just acts as a background medium. In the following, we consider σ(r) = 0 and uα (r) = 0 (no external charges, no external potentials). There is only the potential Φ(r) generated by the fluctuating ions. The Poisson-Boltzmann equation then reads " # 4π X −3 4π X β[µα −qα Φ(r)] ∆r Φ(r) = − Λ α qα e ≡− qα nα (r), (2.35)   α α where β[µα −qα Φ(r)] nα (r) = Λ−3 α e

(2.36)

are the mass densities of particle type α. We introduce the particle densities nα (reference densities) at zero potential Φ(r) = 0, βµα n0,α ≡ Λ−3 , α e

(2.37)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

25

which means that we can write nα (r) = n0,α e−βqα Φ(r)

(2.38)

and the Poisson-Boltzmann equation can be written as ∆r Φ(r) = −

4π X qα n0,α e−βqα Φ(r) .  α

(2.39)

Each ion mass density thus obeys a Boltzmann distribution with a potential Φ(r) determined by the Poisson-Boltzmann equation. Classification M = 1 For M = 1, there is only one type of ions, e.g. positive ions such that ∆r Φ(r) = −

4π q+ n0,+ e−βq+ Φ(r) . 

(2.40)

Overall charge neutrality is usually guaranteed by charges on the boundaries of the system. For example, such a boundary can be a negatively charged membrane with an adjacent solution of positive ions. The positive ions are then called counterions because they counter-balance the charge of the membrane. Classification M = 2, symmetric electrolyte n0,+ = n0,− = n0 , q+ = −q− = q > 0 In this case, one has two types of ions (positive and negative) with charge neutrality X qα n0,α = 0 (2.41) α

guaranteed by all the ions themselves. The Poisson-Boltzmann equation then reads i 8πqn h 4π 0 sinh βqΦ(r) (2.42) ∆r Φ(r) = − qn0 e−βqΦ(r) − eβqΦ(r) =   The linearized symmetric case is obtained by linearising the M = 2 symmetric electrolyte Poisson-Boltzmann according to ∆r Φ(r) =

8πqn0 8πqn0 sinh βqΦ(r) ≈ βqΦ(r),  

βqΦ(r)  1.

(2.43)

The r.h.s. of ∆r Φ(r) = λ−2 D Φ(r) naturally defines a length scale,  λD ≡

8πn0 q 2 kB T

− 12 ,

Debye-Hu ¨ ckel length. (2.44)

EXERCISE: check the numbers given by Andelman, i.e. λD ≈ 3˚ A for 1M NaCl solution, and λD ≈ 1µm for pure water at pH 7 and room temperature.

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

2.1.4

26

Single, charged membrane and solution with M = 1 ion type

We consider a surface z = 0 with a constant negative surface charge density σ < 0, and a solution of positive ions with charge q+ in the half space z > 0. The positive ions are called counterions. There is no external potential; ∆r Φ(r) = −

4π −3 Λ q+ eβ[µ+ −q+ Φ(r)] ,  +

(2.45)

and as mentioned above the external charge density σ(r) is not included here: instead, the negative surface charge density σ < 0 is regarded as part of the boundary. We write this equation as ∆r Φ(r) = −

4πq+ n0 e−βq+ φ(r) , 

βµ+ , n0 ≡ Λ−3 + q+ e

(2.46)

where n0 is the mass density of the ions at zero potential φ = 0. The geometry of the problem immediately shows that we only have to deal with a one-dimensional problem in z-direction, Φ00 (z) = −

4πq+ n0 e−βq+ Φ(z) , 

(2.47)

because the potential must not depend on the x and the y direction. We then obviously need two boundary conditions in order to solve this equation as a boundary value problem. These conditions come from fixing the value of the electric field E(z) = −Φ0 (z) (which points in z-direction), E(z = ∞) = ,

E(z = 0) = −Φ0 (z = 0) =

4π σ. 

(2.48)

The last condition comes from applying Gauss’ law on a box very closely around the plane z = 0 and the requirement that E(z < 0) = 0,

(2.49)

which means that there is no electric field in the other half-space without ions (we could, e.g., demand that z < 0 consists of an infinitely thick metal). We write an Ansatz Φ(z) = a ln(z + b) + c

Φ0 (z) =

a z+b

a 4π =− σ b 

a 4πq+ =− n0 e−βq+ (a ln(z+b)+c) 2 (z + b)  i 4πq+ h −βq+ c = − n0 e (z + b)−βq+ a 

Φ00 (z) = −

−

4πq+ n0 e−βq+ c = −a, 

βq+ a = 2.

(2.50) (2.51) (2.52) (2.53)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

27

Collecting terms, this leads to the solution 2kB T z+b ln , q+ 2λD

Φ(z) =

(2.54)

where we defined another length scale, b ≡

 , 2π|σ|βq+

Gouy-Chapman length

(2.55)

This length can be interpreted as follows: Consider the modulus of the electric field Eσ generated in both directions by an infinite plate with charge surface density σ embedded into a homogeneous medium with dielectric constant  (no ions), Eσ =

2π|σ| 

(2.56)

(again from Gauss’ law). Then, the Gouy-Chapman length b is given by bq+ Eσ = kB T,

(2.57)

which is the length over which a point charge q+ has to move in the constant field Eσ in order to aquire the energy kB T . Furthermore, the Gouy-Chapman length measures the thickness of the counterion layer close to the surface in the above single-membrane problem, where we have overall charge neutrality (EXERCISE). Then, the integrated counterion density (per area) attracted to the surface from z = 0 to z = b is exactly −σ/2 (EXERCISE). To continue with the solution of our single membrane problem, we obtain the counterion density n+ (z) from the r.h.s. of the Poisson.Boltzmann equation, Φ00 (z) = −

4πq+ n(z), 

n(z) ≡ n0 e−βq+ Φ(z)

(2.58)

and thus by inserting n(z) = n0 e

−βq+ βq2 ln +

z+b 2λD

= n0

4λ2D kB T 1 1 1 = = 2 2 2 (z + b) 2πl (z + b)2 2πq+ (z + b)

(2.59)

where again we have introduced yet another length scale, l≡

2 q+ 1 = , kB T 8πn0 λ2D

Bjerrum length.

(2.60)

The Bjerrum length can be interpreted as follows: Consider the electrostatic potential φl generated by a single point charge q+ at a distance r, φr =

q+ . r

(2.61)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

28

The Bjerrum length l is the distance r = l such that the potential energy q+ φr of a second point charge q+ equals kB T , 2 q+ = kB T. l

(2.62)

Note that the Bjerrum length is a ‘fixed’ quantity when q+ , T , and  are regarded as fixed. In particular, there is no dependence on surface charges (as in the Gouy-Chapman length) and no ‘geometrical’ interpretation.

2.2

Landau–Theorie

Hier gibt es mehrere Ausgangspunkte. Einer ist die verbl¨ uffenden Analogie zwischen Fluiden und Magneten in deren kritischen Verhalten, zumindest im Rahmen der einfachen N¨aherungen, die wir oben gemacht haben. Dadurch ergibt sich der Versuch, eine allgemeine Theorie der Phasen¨ uberg¨ ange zu konstruieren, die nicht so sehr auf mikroskopischen Details aufbaut, sondern eher auf bestimmten Symmetrien sowie einer Ph¨anomenologie z.B. von korrespondierenden Zustandsgleichungen. Wie bei den Grundgleichungen in den mikroskopischen Theorien (Mechanik, Elektrodynamik und Quantenmechanik) w¨ urde man solche Zustandsgleichungem dann zumindest f¨ ur Phasen¨ uberg¨ ange in der N¨ahe der kritischen Punkte gerne aus einem Variationsprinzip k¨ onnen. Konkret betrachten wir nochmals die Zustandsgleichung Gl. (1.47) des Ising–Modells in Mean–Field–N¨ aherung, βh = m(1 − τ ) + m3 (τ − τ 2 + τ 3 /3 + ...) mit τ = Tc /T . Mit u ¨blichen Definition t ≡ f¨ ur t > 0

T −Tc Tc

(2.63)

(Abweichung von Tc ) und Entwickeln

1 = 1 − t + t2 − t3 + ..., 1 − τ = t + O(t2 ) 1+t 1 1 τ − τ 2 + τ 3 /3 = 1 − t − (1 − 2t) + (1 − t)(1 − 2t) + O(t2 ) = + O(t2 ) (2.64) 3 3 τ

=

erhalten wir die Zustandsgleichung zu 1 βh = mt + η 3 + ..., 3

m  1,

|t|  1.

(2.65)

wird. F¨ ur das Gas-Fl¨ ussigkeit-System betrachten wir wiederum die Zustandsgleichung des van–der–Waals–Gases in der N¨ ahe des kritischen Punktes (Pc , Vc , Tc ), (AUFGABE), 3 p = 4t − 6tv − v 3 + O(tv 2 ), 2

p = P/Pc − 1,

v = V /Vc − 1

(2.66)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

29

Fig. 2.1: (from N. Goldenfeld, ‘Lectures on Phase Transitions and The Renormalization Group’

Der Ordnungsparameter ist jetzt statt m die Dichtedifferenz η≡

Vc 1 −v ρ − ρc = −1= −1= , ρc V 1+v v+1

(2.67)

womit 3 p = 4t + 6tη + η 3 + O(tη 2 ), 2

|η|  1,

|t|  1.

(2.68)

Die Analogie von magnetischen und fluiden Systemen in der N¨ahe des kritischen Punktes legt also eine Verallgemeinerung nahe: In der Landau-Theorie nimmt man an, dass die Zustandsgleichung in der N¨ ahe von Tc durch Minimieren eines Funktionals (einer Funktion) L des Ordnungsparameters (den wir im Folgenden immer als φ bezeichnen) erhalten werden kann. In der N¨ ahe von Tc hat L eine Taylor-Entwicklung, L[φ] = a0 + a1 φ + a2 φ2 + a3 φ3 + a4 φ4 + ...

(2.69)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

30

Beispiel magnetisches System: LIsing [φ] 0 LvdWaals [φ] p |φ|

t 1 a0 − βhφ + φ2 + φ4 + ... 2 12 1 = −βh + tφ + φ3 + ..., Magnet 3 3 = a0 + (4t − p)φ + 3tφ2 + φ4 + ... 8 3 3 = 4t + 6tφ + φ + ..., Fluid 2  1, |t|  1. =

(2.70) (2.71) (2.72) (2.73) (2.74)

In beiden F¨ allen hat L die gleiche Struktur als Polynom vierter Ordnung: der Koeffizient a4 > 0. Der Koeffizient a2 wechselt das Vorzeichen bei Tc , was zum Auftreten von zwei Minima ±φ 6= 0 f¨ ur T < Tc f¨ uhrt (Bild). (GOLDENFELD) In der Landau–Theorie postuliert man jetzt allgemein, dass die Thermodynamik eines Systems qualitativ zumindest in der N¨ahe eines kritischen Punktes durch ein analyisches Funktional L[φ] eines Ordnungsparameters φ beschrieben wird Im einfachsten Fall ist φ einfach eine reelle Zahl und L[φ] : R → R eine reelle Funktion einer Variablen φ, aber typischerweise hat man entweder φ ∈ RN als N –komponentigen Vektor, oder φ = φ(r) als Funktion. Im letzten Fall hat man dann u ¨blicherweise die Darstellung des Funktionals als Integral u ¨ber eine Dichte L(φ(r)), Z L[φ] = dd rL(φ(r)), (2.75) wie wir es z.B. aus der Elektrodynamik kennen (s. SKRIPT) Eine typische Form f¨ ur homogene Systeme (in denen die Ortsabh¨angigkeit keine Rolle spielt) ist motiviert durch die Beispiel Gl. (2.70); L[φ] = a0 + a2 φ2 + a4 φ4 .

(2.76)

Der Vergleich mit Gl. (2.69) zeigt, dass wir hier nur gerade Potenzen von φ mitgenommen haben und die Taylorentwicklung nach dem vierten Term abgebrochen haben, was aber in der N¨ ahe der kritischen Temperatur f¨ ur die Beispiele Gl. (2.70) offensichtlich v¨ollig ausreicht. Allerdings w¨ urde uns eine solche Form Gl. (2.76) nicht weiter bringen, denn das ist ja nichts anderes als eine Umformulierung bekannter Tatsachen. Wir wollen zumindest r¨aumliche Fluktuationen des Ordnungsparameter φ(r) zulassen, der dann also ortsabh¨angig wird. Dabei stellen sich zwei Fragen: 1. wie sieht dann das Analogon von Gl. (2.76) aus; und 2. wie sollen jetzt Zustandsgleichungen und u ¨berhaupt thermodynamische Eigenschaften berechnet werden. Um das zu beantworten, greifen wir noch einmal auf das Ising–Modell als ein konkretes Beispiel zur¨ uck.

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

2.2.1

31

Das Ising–Modell als Feldtheorie

Wir schreiben die Zustandssumme f¨ ur das Ising–Modell Gl. (1.28) P X 1 P X e 2 β ij Jij σi σj +β i hi σi ... e−βF = Z = σ1 =±1

(2.77)

σN =±1

mit Hilfe eines ‘Tricks’ um, n¨ amlich mittels Gauss’scher Integrale (Beweis als AUFGABE), Z P −1 1 P 1 P dH dH 1 β σ J σ i ij j ij √ 1 ... √ N e− 2β ij Hi (J)ij Hj + i Hi σi e2 = √ (2.78) det βJ 2π 2π   Z 1 1 ≡ p D[H] exp − H T J −1 H + H T σ . (2.79) 2β (2π)N ) det βJ Dabei f¨ uhren wir folgende Notation ein: J ist die Matrix der Jij ist, det βJ die Determinante von βJ und J −1 Rdie Inverse von J. 1 Weiterhin ist H T der Zeilenvektor der N Integrationsvariablen Hi , D[H] = dH1 ...dHN und σ der Spaltenvektor der σi . Damit lassen sich die Summationen ausf¨ uhren, Z P X X −1 1 P dH dH 1 √ √ 1 ... √ N e− 2β ij Hi (J)ij Hj + i (Hi +βhi )σi Z = ... det βJ 2π 2π σ1 =±1 σN =±1 Z X X P −1 1 P 1 dH dH √ 1 ... √ N e− 2β ij Hi (J)ij Hj = √ ... e i (Hi +βhi )σi det βJ 2π 2π σ1 =±1 σN =±1 Z 1 T −1 1 − H J H −Ffree [H+βh] e . (2.80) = p D[H]e 2β N (2π) ) det βJ Hierbei ist e

−Ffree [H+βh]

=

N Y

2 cosh(Hi + βhi ) ≡ Zfree [H + βh]

(2.81)

i=1

die Zustandssumme des Spinsystems ohne Wechselwirkungen der Spins, d.h. f¨ ur J = 0. Das l¨ asst jetzt folgende Sichtweise zu: Die Zustandssumme Z des wechselwirkenden Systems, ist ein Mittelwert der Zustandssumme Z des wechselwirkungsfreien Systems, wobei an jedem Gitterplatz zus¨ atzlich zum festen ¨ausseren Magnetfeld hi ein fluktu¨ ierendes Magnetfeld Hi /β wirkt. Uber diese fluktuierenden Felder Hi wird mit h alle i −1 1 P einem Gaußschen ‘Gewichtsfaktor’ exp − 2β ij Hi (J)ij Hj gemittelt, d.h. integriert, wobei in diesen Gewichtsfaktor die ‘Geometrie’ des Systems durch die Form der Matrix J eingeht. 1

Der ganze Ausdruck ist in Wirklichkeit i.A. divergent oder nicht wohldefiniert, denn J ist i.A. nicht positiv definit. Es wird sich aber herausstellen, dass die folgenden Rechnungen trotzdem Sinn machen, denn die problematischen Anteile det βJ k¨ urzen sich bei bestimmten uns interessierenden Gr¨ oßen heraus, z.B. in der Magnetisierung mi = β1 ∂hi ln Z, vgl. Gl. (2.87).

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

32

In Z treten jetzt die Spins σi und die Summationen u ¨ber σi nicht mehr auf: durch die Einf¨ uhrung der Integrationen ist der Schritt von einer ‘materiellen’ Beschreibung (mittels Spins) zu einer Beschreibung durch ‘Felder’ Hi vollzogen. Anstelle des komplizierten Wechselwirkungsterms hat man jetzt Felder, deren Fluktuationen die Wechselwirkung zwischen den Spins ‘vermitteln’. Die Physik ist in beiden Beschreibungen (Z mittels Summen u ¨ber Spins bzw. mittels Integralen u ¨ber Felder) exakt dieselbe, nur die Sichtweise ist eine andere, wobei sich die feldtheoretische Beschreibung f¨ ur viele Zwecke als vorteilhafter erweist. 2.2.2

Erste Analyse der Feldtheorie

Aus der exakten Feldtheorie f¨ ur die Zustandssumme Z 1 p Z = D[H]e−S[H] N (2π) ) det βJ X 1 X S[H] ≡ Hi (J)−1 ln 2 cosh(Hi + βhi ) ij Hj − 2β ij

(2.82) (2.83)

i

gewinnen wir zun¨ achst die Weiss’sche Molekularfeld-N¨aherung (Mean-Field). Dazu wird das Integral n¨ aherungsweise berechnet. Der Hauptbeitrag in der Integration kommt von ¯ i von S[H] (Sattelpunktsmethode). Das Feldwerten Hi in der N¨ ahe des Minimums H Minimum bestimmt sich aus  ∂S 1 X  −1 ¯ ¯ j (J)−1 − tanh(H ¯ i + βhi ) = 0 0 = (J)ij Hj + H (2.84) ji ∂Hi 2β j  X 1 X ¯j + H ¯ j (J)−1 Jik − ¯ i + βhi ), Jik = Jki , 0 = Jik (J)−1 H Jik tanh(H ij ji 2β i

ji

wir erhalten also X 1 ¯ ¯ i + βhi ). Hk = Jik tanh(H β

(2.85)

i

In dieser Sattelpunktsn¨ aherung ist die Zustandssumme jetzt ¯ i ]. Z → ZSP = e−βFSP , βFSP ≡ S[H

(2.86)

Damit k¨ onnen wir jetzt z.B. die Magnetisierung mi am Gitterplatz i, mi = hσi i =

∂Z ∂βhi

Z

=

1 ∂F ∂hi ln Z = − β ∂hi

(2.87)

in Sattelpunktsn¨ aherung ausrechnen, ¯i ∂S ∂S ∂ H ∂ X ¯ i + βhi ) mi = − =− ¯ + ln 2 cosh(H ∂βhi ∂ Hi ∂βhi ∂βhi

(2.88)

i

X ∂ X ¯ i + βhi ) = tanh(H ¯ i + βhi ) = tanh(β = 0+ ln 2 cosh(H Jij mj + βhi ), ∂βhi i

j

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

33

¯ k = P Jik tanh(H ¯ i + βhi ) = P Jik mi und wieder wobei wir im letzten Schritt β1 H i i Jik = Jki benutzen. Wir haben damit wieder die Weiss’sche Molekularfeld-N¨aherung, d.h. die Mean-Field-Methode, erhalten, diesmal sogar verallgemeinert auf beliebige (nicht notwendig konstante) ¨ aussere Magnetfelder hi . Zusammenfassend X 1 ¯ Hi = mi = tanh(β Jij mj + βhi ). β

(2.89)

j

Das erste Gleichheitszeichen gibt hierbei die Mean–Field–Magnetisierung m als Sattelpunktwert des fluktuierenden Feldes H/β an. Anders ausgedr¨ uckt l¨auft das exakte Integral Gl. (2.82) u ber alle m¨ o glichen Konfigurationen (Werte) H ¨ i /β von Magnetisierungen, 1 ¯ von denen β Hi = mi die wichtigste zu sein scheint. −1 1 P In einem weiteren Schritt schreiben wir jetzt den Anteil S0 ≡ 2β ij Hi (J)ij Hj in Gl. (2.82) f¨ ur den Fall um, dass sich die Spins auf einem d-dimensionalen Gitter mit Gitterkonstante a und Gitterpl¨ atzen Ri befinden: R dd k iR k i H(k), dass AUFGABE: 1. Zeige mit Hilfe der Fourierdarstellung Hi = ad (2π d) e sich S0 [H] als ad S0 = 2β

Z

dd k 1 H(k) H(−k) d J(k) (2π)

(2.90)

schreiben l¨ asst. 2. Leite die explizite Form von J(k) f¨ ur n¨achste–Nachbar–Wechselwirkung her und zeige, dass sich f¨ ur a → 0 n¨ aherungsweise   Z 1 1 d 2 2 S0 = d r (∇φ(r)) + r0 (T )(φ(r)) (2.91) 2 2 ergibt, wobei r0 (T ) eine Funktion der Temperatur T = β −1 ist und die Felder φ(r) proportional zu den Fourier-R¨ ucktransformierten von H(k) sind. 3. Diskutiere, wieso keine h¨ oheren Ableitungen von φ(r) in Gl. (2.91) auftreten. 2.2.3

Landau-Funktional

Wir werden jetzt wieder etwas allgemeiner und kommen auf die Konstruktion eines Landau–Funktionals zur¨ uck. Das Funktional S[H] in Gl. (2.82) ist offensichtlich bereits ein guter Anhaltspunkt, denn zumindest gibt das Minimieren dieses Funktionals die richtige Mean–Field–Gleichung. Der Ausdruck Gl. (2.91) zeigt uns bereits, dass offensichtlich auch Ableitungen des Feldes φ(r) eingehen m¨ ussen. In Gl. (2.91)Pist mit S0 nur der in φ(r) quadratische Anteil beschrieben. Die Entwicklung des Terms i ln 2 cosh(Hi +βhi ), vgl. Gl. (2.82), wird dann zu h¨ oheren Termen in φ(r) f¨ uhren. Ohne Magnetfeld (also f¨ ur h = 0) sollten aus Symmetriegr¨ unden wieder nur in φ(r) gerade Terme auftreten. Wir gehen bis zur vierten Ordnung (wie in den Beispielen Gl. (2.70)) und definieren

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

Z L[φ] ≡

34

 1 1 1 2 2 4 d r (∇φ(r)) + r0 (T )(φ(r)) + u0 (φ(r)) − B(r)φ(r) 2 2 4! d



(2.92)

mit Parametern r0 (T ) 2 und u0 , wobei wir einen zus¨atzlichen linearen Term mit ortsabh¨angigen Magnetfeld B(r) zulassen. ¯ Jetzt stellen sich zwei Fragen: 1. Was beschreiben die Felder φ(r), f¨ ur die L[φ] minimiert wird, und 2. was soll (außer Minimieren) eigentlich mit dem Funktional L[φ] gemacht werden? Der zweite Punkt beantwortet sich zwangsl¨aufig, wenn wir an unser Ising–Beispiel Gl. (2.82) zur¨ uckdenken: Offensichtlich wird durch Integration u ¨ber alle Werte von φ(r) eine Zustandssumme definiert. Wir schreiben diese also zun¨achst formal als Z Z = D[φ] exp (−L[φ]) , (2.93)

R Die Bedeutung der Funktionalintegration D[φ] wird hier klar, wenn man gewissermassen alles wieder r¨ uckg¨ angig macht und aus dem Funktional L[φ] eine Funktion mit endlich vielen (N Tc ist der Ordnungsparameter m = 0, und mit t ≡ T /Tc − 1 finden wir f¨ ur t → 0+ das Verhalten κ2 ≈ a2d2 t 5 und damit ξ ∝ t−ν ,

t → 0.

(2.119)

Hierbei haben wir den kritischen Exponenten ν f¨ ur die Divergenz der Korrelationsl¨ange bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt definiert. Er hat hier also den Wert ν = 12 . Die Korrelationen zerfallen am kritischen Punkt nicht mehr exponentiell, sondern algebraisch G(r) ∝

1 rd−2+η

,

T = Tc ,

Def. des krit. Exponenten η .

(2.120)

Hier kommt der zweite wichtige kritische Exponent, n¨amlich die Gr¨oße η, ins Spiel. In unserer Mean-Field-Theorie mit Gaußschen Flukuationen bekommen wir offensichtlich η = 0,

2.3.3

MF+Fluktuationen

(2.121)

Die Korrelationsfunktion als Greensche Funktion

Wir diskutieren eine zweite M¨ oglichkeit, die Korrelationsfunktion zu berechnen. ¨ Wir betrachten hierzu die Anderung der Magnetisierung am Ort i, δhσi i, wenn sich die Magnetfelder hj um δhj ¨ andern, δhσi i ≡ hσi ih+δh − hσi ih ≡

X

χij ≡

χij δhj ,

j

δhσi i , δhj

(2.122)

wobei χij als Response-Funktion oder verallgemeinerte Suszeptibilit¨at bezeichnet ¨ wird, da sie die ‘Antwort’ des Systems(in Form einer Anderung der Magnetisierung) auf eine externe St¨ orung in linearer Ordung in dieser St¨orung beschreibt. 1

F¨ ur T < Tc ist der Ordnungsparameter endlich mit m = m0 |t| 2 , und f¨ ur t → 0− gilt w¨ urde κ2 in dieser Entwicklung negativ werden (CHECK): man muss die h¨ oheren Terme k4 etc. mitnehmen, und die einfache Form Gl. (2.117) gilt nicht mehr. 5

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

40

Die Response-Funktion χij kann nun durch die Fluktuationen in Abwesenheit der St¨ orung ausgedr¨ uckt werden, δhσi i ≡ hσi ih+δh − hσi ih =

X ∂hσi i j

∂hj

δhj =

X ∂ 1 ∂Z δhj ∂hj Z ∂βhi j

 X  −β ∂Z ∂Z β ∂2Z = + δhj Z 2 ∂hj ∂hi Z ∂βhi β∂hj j X X = β [hσi σj i − hσi ihσj i] δhj = βhδσi δσj iδhj , j

(2.123)

j

es gilt also χij

= βhδσi δσj i = βG(Ri − Rj ),

Flukuations-Dissipations-Theorem . (2.124)

¨ Damit ist uns die M¨ oglichkeit gegeben, die Korrelationsfunktion aus der Anderung der mittleren Magnetisierung mi mit dem Magnetfeld hj zu berechnen, n¨amlich als G(Ri − ii Rj ) = kB T δhσ δhj . Weiterhin besteht der Zusammenhang mit der isothermen Suszeptibilit¨at χT der Thermodynamik: f¨ ur ein homogenes Magnetfeld h (wieder OE R1 = 0), χT ≡

X ∂hσi i X X ∂M ˜ = 0). = = χi1 = β G(Ri ) = β G(k ∂h ∂h i

i

(2.125)

i

Bei Ann¨ aherung an Tc finden wir wegen der Definition des Exponenten γ in χT ∝ |t|−γ , Gl. (1.60), den Zusammenhang Z ˜ = 0) ∝ |t|−γ . drG(r) = G(k (2.126) ˜ = 0) ∝ κ−2 = ξ 2 ∝ t−2ν , also 2ν = γ, was mit unseren In unserem Modell folgt mit G(k vorherigen Ergebnissen ν = 12 , Gl. (2.119), und γ = 1, Gl. (1.65), konsistent ist. H¨aufig geht man hier auch wieder zur kontinuierlichen Version u ¨ber und schreibt G(r − r0 ) = kB T

δm(r) . δh(r0 )

(2.127)

Der Vorteil besteht darin, dass wir damit G(r − r0 ) berechnen k¨onnen, ohne direkt ein (potentiell kompliziertes) Gaußsches Integral berechnen zu m¨ ussen. In der LandauTheorie Gl. (2.93) f¨ ur das Ising–Modell erhalten wir aus der Sattelpunktsgleichung, vgl. Gl. (2.94), −∇2 m(r) + r0 (T )m(r) +

1 u0 m3 (r) = βh(r) 3!

(2.128)

mit der Magnetisierung m(r) und dem Magnetfeld h(r), mit Koeffizienten r0 (T ) sowie u0 > 0. Das Ausf¨ uhren der Differentiation in Gl. (2.127) liefert die Bewegungsgleichung

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

41

 1 2 −∇ G(r − r ) + r0 (T ) + u0 m (r) G(r − r0 ) = δ d (r − r0 ). 2 2

0



(2.129)

Im Sinne der linearen Antwort auf das Magnetfeld ist m(r) = m hier die homogene Magnetisierung ohne Magnetfeld h = 0, also m = 0 in der symmetrischen (paramagnetischen) Phase und m = m0 6= 0 in der spontan Symmetrie–gebrochenen, ferromagnetischen Phase. Damit k¨ onnen wir die Bewegungsgleichung sofort durch Fouriertransformation l¨ osen; 1 1 ˜ G(k) = 2 , κ2 ≡ r0 (T ) + u0 m2 . (2.130) 2 k +κ 2 Hier ist κ2 jetzt explizit positiv. AUFGABE: Best¨ atige aus der obigen Form f¨ ur κ2 den Exponenten ν = Divergenz der Lokalisierungsl¨ ange sowohl f¨ ur T > Tc als auch f¨ ur T < Tc . 2.3.4

1 2

f¨ ur die

Korrekturen zur freien Energie

Wir wollen hier die freie Energie F aus der Zustandssumme Z eines Landau–Funktionalintegrals von Typ Gl. (2.93) in Sattelpunktsn¨aherung plus quadratische Fluktuationen berechnen. Wir schreiben also Z Z 1 X 00 ¯ e−βF = D[φ]e−L[φ] ≈ e−L[φ] D[φ]e−L [φ] , L00 [φ] = φi L00ij φj .(2.131) 2! ij

In dieser noch diskreten Version (mit D[φ] ≡ dφ1 ...dφN ) ist das Ergebnis der Gauß– Integration einfach durch die Determinante der Matrix L00 gegeben, und in dieser quadratischen N¨ aherung gilt 1 ¯ e−βF ≈ e−L[φ] p . (2.132) N (2π) det L00 Wir k¨onnen die Determinante u ucken gem¨aß ¨ber die Spur ausdr¨ det A = exp (Tr log A)

(2.133)

f¨ ur Operatoren A, die sich spektral zerlegen (diagonalisieren) lassen. Wenn wir den f¨ ur die freie Energie trivialen Faktor (2π)N oben weglassen, haben wir also −βF = −L[φ] − 21 log det L00 oder mit β −1 L[φ] ≡ F¯ die Darstellung 1 (2.134) F = F¯ + kB T Tr log L00 . 2 Als Aufgabe bleibt also die konkrete Berechnung der Determinante von L00 bzw. der spektralen Zerlegung von L00 . Wegen L00ij = G−1 ij mit R 00 D[φ]φi φj e−S [φ] Gij ≡ R (2.135) D[φ]e−S 00 [φ] wird die Korrektur also durch die Korrelationsfunktion (Greensche Funktion) G bestimmt, d.h.

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

42

1 F = F¯ − kB T Tr log G. 2

(2.136)

Konkret ist mit der Fourierdarstellung von G und der Spur einer Matrix im Fourierraum, Gl. (A.15), Z 1 v ¯ ˜ F = F − kB T N dk log G(k). (2.137) 2 (2π)d C Wir k¨onnen hier z.B. konkret die Greensche Funktion Gl. (2.130) einsetzen und erhalten Z 1 1 v ¯ F = F + kB T N dk log(k2 + κ2 ), κ2 ≡ r0 (T ) + u0 m2 . (2.138) d 2 2 (2π) C AUFGABE: Berechne ausgehend von Gl. (2.138) die Korrektur zur mittleren Magnetisierung pro Gitterplatz (bezeichnet durch den Mean–Field–Wert m) durch die Gaußschen Fluktuationen, sowie den kritischen Exponenten β in Mean-Field mit Gaußschen Fluktuationen. Als zweites konkretes Beispiel nehmen wir das Ising–Modell in der Darstellung, wo wir bereits bis zur zweiten Ordnung entwickelt hatten, Z 1 00 ¯ e−βF ≈ e−S[φ] p D[Φ]e−S [Φ] . (2.139) (2π)N det βJ Wir haben also L00 [φ] =S 00 [φ]. Wegen L00ij = Aij = G−1 ij ist die Fluktuations–Determinante also im Wesentlichen durch die Greensche Funktion (Korrelationsfunktion) G bestimmt, allerdings kommt bei der konkreten Berechnung noch der Vorfaktor det βJ hinzu. Konkret folgt dann die freie Energie F aus ¯

e−βF ≈ e−S[φ] p

1 (2π)N

1 1 1 ¯ p √ = e−S[φ] , N N (2π) det βJA det βJ (2π) det A

(2.140)

und bis auf die triviale Konstante aus dem Faktor (2π)N folgt 1 F = F¯ + kB T Tr log βJA, 2 2.3.5

(βJA)ij = δij − β(1 − m2i )Jij .

(2.141)

Die Divergenz der spezifischen W¨ arme

Aus der freien Energie Gl. (2.138) k¨onnen wir die spezifische W¨arme berechnen, C ≡ −T

∂2F = CSP + Cfluc . ∂T 2

Der uns hier interessierende Anteil ist der von den Gaußschen Fluktuationen, Z kB T N ∂ 2 v Cfluc ≡ T dk log(k2 + κ2 ), κ2 ≡ ξ −2 ≡ k02 t 2 ∂T 2 (2π)d C

(2.142)

(2.143)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

43

mit t = (T − Tc )/Tc und der Korrelationsl¨ange ξ, wobei wir hier T ≥ Tc annehmen wollen (f¨ ur T < Tc ¨ a¨ andert sich der Ausdruck f¨ ur ξ wegen der endlichen spontanen Magnetisierung m.). Das Ausf¨ uhren der Differentiationen ergibt zwei Terme,  2    Z Z −k0 v dk v dk 1 k02 Cfluc = kB T N . (2.144) + Tc (2π)d C k2 + ξ −2 2 Tc (2π)d C (k2 + ξ −2 )2 Wie immer laufen die Integrale u ¨ber die erste Brillouin-Zone, und wir definieren zur weiteren Diskussion Cfluc = kB T N (c1 I1 (ξ) + c2 I2 (ξ))

(2.145)

mit der Definition Z In (ξ) ≡ 0

Λ

dkk d−1 , (k 2 + ξ −2 )n

(2.146)

wobei wir die k–Integrale mit Polarkoordinaten vereinfacht haben und Λ ∼ 1/a die Grenze der Brillouin-Zone als die inverse Gitterkonstante a bezeichnet. Die Konstanten c1,2 enthalten hier auch die (harmlosen) Winkelintegrationen aus den k–Integralen, so dass alles Wesentliche bei der Ann¨aherung an den kritischen Punkt Tc (wo ξ divergiert) in den In (ξ) steckt. (GOLDENFELD) Tats¨ achlich h¨angt das Verhalten der In (ξ) auch stark von der Dimension d ab: bei Ann¨ aherung an den kritischen Punkt haben wir Z Λ In (ξ → ∞) = dkk d−1−2n , endlich f¨ ur d − 1 − 2n > −1 , (2.147) 0

also bleibt In (∞) endlich f¨ ur d > 2n. F¨ ur den umgekehrten Fall d < 2n divergieren die In f¨ ur ξ → ∞, was wir durch Umskalieren (q ≡ ξk) beschreiben k¨onnen; Z ∞ Z ξΛ dqq d−1 dqq d−1 2n−d 2n−d → ξ = αn ξ 2n−d , (2.148) In (ξ) = ξ (1 + q 2 )n (1 + q 2 )n 0 0 R ∞ dqqd−1 wobei die Konstante αn ≡ 0 (1+q achlich endlich ist, denn das Integral konver2 )n tats¨ giert f¨ ur große q, falls der Integrand schneller als 1/q abf¨allt, also f¨ ur d − 1 − 2n < −1 bzw. d < 2n, was wir gerade vorausgesetzt haben. F¨ ur unsere spezifischen W¨ arme bebn¨otigen wir I1 und I2 . Zun¨achst divergiert I2 in d < 4 wie ξ 4−d und bleibt endlich in d > 4. Weiterhin divergiert I1 in d < 2 wie ξ 2−d , was aber nicht so stark wie die ξ 4−d –Divergenz von I2 ist und deshalb gegen¨ uber dieser vernachl¨ assigt werden kann. F¨ ur d > 2 bleibt I1 schließlich endlich. Da die (m¨ ogliche) Divergenz der spezifischen W¨arme aus dem Fluktuationsanteil Cfluc (und nicht dem Anteil CSP aus der Sattelpunktsn¨aherung) stammt, ergibt sich insgesamt also C ∝ ξ 4−d ∝ td/2−2 , ∝ 1,

d 4.

Der entsprechende kritische Exponent α f¨ ur die Divergenz von C wird damit

(2.149)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

44

Fig. 2.2: (aus M. Kardar, ‘Statistical Physics of Fields’) Spezifische W¨arme in Sattelpunktsn¨ aherung (durchgezogene Linie) und mit Gaußschen Fluktuationen (gestrichelt).

α = 2 − d/2, = 0,

d ≥ 4.

d≤4 (2.150)

Dieses Verhalten ist noch einmal in der Figur dargestellt. Bemerkenswert hier ist die Tatsache, dass wir zum ersten Mal eine Dimensionsabh¨ angigkeit eines kritischen Exponenten finden, und dass sich mit dem Ergebnis Gl. (2.150) ein Wert ergibt, der von dem einfachen Mean–Field–Ergebnis (α = 0) abweicht. Die Dimension d = dc = 4 wird in diesem Zusammenhang als obere kritische Dimension des durch Gl. (2.93) definierten Modells bezeichnet. F¨ ur Dimensionen d > dc liefern Korrekturen zur Mean–Field (Landau)–Theorie, d.h. zur Sattelpunktsn¨aherung, ¨ keine wesentliche Anderung des kritischen Verhaltens nahe Tc . Umgekehrt wird f¨ ur d < dc die Landau–Theorie offensichtlich in der N¨ahe von Tc unzuverl¨assig, als dass sie nicht das korrekte kritische Verhalten beschreibt. Definition Die obere kritische Dimension dc eines Modells definiert die r¨aumliche Dimension d, oberhalb derer Korrekturen zur Mean–Field (Landau)–Theorie keine wesent¨ ¨ lichen Anderungen des singul¨ aren Verhaltens (Anderungen der Exponenten) in der N¨ahe von Tc ergeben.

2.4

Jenseits von Mean–Field

Die Landau–Theorie sagt als Mean–Field–Theorie z.B. f¨ ur das Isingmodell in d = 2 die falschen Exponenten voraus. Welche Verbesserungen bringt die Mitnahme der quadratischen Fluktuationen, und u ¨berhaupt eine systematische Entwicklung um die Mean– Field–N¨ aherung? 2.4.1

Das Ginsburg–Kriterium

Damit die Mean–Field–Theorie u ¨berhaupt eine sinnvolle N¨aherung ist, sollten wie dort angenommen die Fluktuationen des Ordnungsparameters klein gegen¨ uber dessen Erwar2 tungswert sein. F¨ ur das Ising–Modell also |hδσi δσj i|  m . Hier wird im Folgenden vorausgesetzt, dass wir in der ferromagnetischen Phase (T < Tc )mit m 6= 0 sind.

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

45

Eine schw¨ achere Bedingung (CHECK) ist X X |hδσ0 δσj i|  m2 , j

(2.151)

j

wobei die Summe u ¨ber ein Volumen V l¨auft, innerhalb dessen die Spins als korreliert bezeichnet werden k¨ onnen. F¨ ur T < Tc wird dieses Volumen V ∝ ξ d durch die Korrelationsl¨ange ξ bestimmt, die in der Korrelationsfunktion Gφ (r) auftritt, vgl. zum Beispiel Gl. (2.118) f¨ ur d = 3 Dimensionen. Mit G(R0 − Rj ) = (1 − m2 )2 hδσ0 δσj i (homogenes ¨ System) wird die Bedingung durch Ubergang zum Kontinuumslimes zu R (1 − m2 )2 V dd rGφ (r) R g≡  1. (2.152) m2 V dd r Benutzen wir jetzt das kritische Verhalten Z ˜ = 0) ∝ t−γ , dd rGφ (r) ∝ G(k m ∝ |t|β , ξ ∝ t−ν ,

Z

dd r ∝ ξ d ∝−dν (2.153)

V

V

f¨ ur t ≡ (T − Tc )/Tc , so folgt g∝

t−γ = t−γ−2βdν  1, t2β t−dν

t→0

(2.154)

als Kriterium f¨ ur die innere Konsistenz der Landau–Theorie, also d>

2β + γ . ν

(2.155)

F¨ ur das Ising–Modell erhalten wir hier wieder d > dc = 4 mit der oberen kritischen Dimension dc = 4. Entscheidend ist hier die Abh¨angigkeit von der Dimension d. Ohne Proportionalit¨ atskonstanten genau kennen zu m¨ ussen, k¨onnen wir bereits schlußfolgern: Satz 2. In d < dc = 4 Dimensionen ist die Landau–Theorie (Mean–Field) f¨ ur das Ising–Modell bei Ann¨ aherung an den kritischen Punkt T → Tc intern nicht konsistent. Wie nahe man an die kritische Temperatur herangehen muss, um den Effekt von Fluktuationen (d.h. Korrekturen zur Sattelpunktsn¨aherung) in d < 4 wirklich zu sehen, h¨angt vom mikroskopischen Modell, d.h. den Vorfaktoren in den Proportionalit¨aten wie ξ ∝ |t|−ν etc. ab. ¨ In konventionellen Supraleitern (SKRIPT FESTKORPERTHEORIE f¨ ur BCS-Theorie als Mean–Field–Theorie ) in d = 3 ergibt sich hier z.B. die Bedingung |t| < 10−18 (KARDAR), was ausser der Reichweite von Experimenten ist.

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

2.4.2

46

Scheitern der Sto ¨rungstheorie fu ¨ r T → TC

(GOLDENFELD) Wir schreiben das Landau–Funktional Gl. (2.92) unserer Feldtheorie R f¨ ur die Zustandssumme Z = D[φ] exp (−L[φ]) mit Hilfe dimensionsloser Gr¨oßen um;  Z    Z 1 1 1 1 1 2 1 d 2 2 4 d 2 4 ¯ L[φ] ≡ d r (∇φ) + r0 φ + u0 φ − Bφ = d x (∇ϕ) + ϕ + u ¯0 ϕ − Bϕ 2 2 4! 2 2 4! u0 r φ −1 ¯0 = d−4 , l ≡ r0 2 . (2.156) x ≡ , ϕ = 1−d/2 , u l l l −1

Dass l ≡ r0 2 eine L¨ ange definiert, k¨onnen wir z.B. durch Dimensionsvergleich der ersten beiden Terme im Funktional sehen. ¯ hier definiert werden? AUFGABE: Wie muss B Schreibt man jetzt eine St¨ orungstheorie f¨ ur Z mit L = L0 + L1 in der Form   Z Z 1 2 1 Z = D[ϕ] exp (−L0 ) 1 − L1 + L1 + ... , L1 [ϕ] ≡ u ¯0 dd xϕ4 (x), (2.157) 2! 4! erkennt man, dass u ¯0 der dimensionslose Parameter dieser St¨orungstheorie ist, d.h. der n–te Term iist proportional zu u ¯n0 . Der Parameter r0 ∝ t ≡ (T − Tc )/Tc verschwindet bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt, weshalb (d−4)/2

u ¯0 = u0 r0

∝ t(d−4)/2

(2.158)

in d < 4 Dimensionen divergiert, was kein gutes Zeichen f¨ ur eine St¨orungstheorie in u ¯0 ist. An der Bedingung d < 4 erkennen wir hier auch die Konsistenz mit dem oben diskutierten Ginsburg–Kriterium. Weiterhin kann Z als Funktion von u ¯0 auch nicht analytisch (in eine Potenzreihe entwickelbar) sein, denn dann m¨ usste Z z.B auch f¨ ur kleine negative u ¯0 existieren, was wegen des quartischen Terms nicht m¨oglich ist. 2.4.3

‘Anomale Dimension’

Wir f¨ uhren eine Dimensionsanalyse der Korrelationsfunktion R D[φ]φ(r)φ(r0 )e−L[φ] 0 R G(r − r ) ≡ D[φ]e−L[φ]

(2.159)

durch. Aus Gl. (2.156) erkennen wir, dass G die Dimension [G] = [φ2 ] = [ϕ2 ]l2−d = l2−d , wobei l die L¨ angeneinheit bezeichnet. Wir f¨ uhren jetzt dimensionslose Gr¨oßen ein; rl = rl−1 ,

Gl (rl ) = G(r)l−2+d

(2.160)

wobei jeweils in Einheiten l gemessen wird. Wenn wir statt l die L¨ angeneinheit l0 ≡ εl w¨ahlen, f¨ uhrt das auf rl0 = r(εl)−1 = ε−1 rl ,

Gl0 (rl0 ) = G(r)l−2+d ε−2+d = ε−2+d Gl (rl ).

(2.161)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

47

Jetzt betrachten wir die Definition des kritischen Exponenten η, Gl. (2.120), G(r) ∝ am kritischen Punkt T = Tc . Wir schreiben

r2−d−η

Gl0 (rl0 ) ∝ rl2−d−η = rl2−d−η ε−2+d+η ∝ ε−2+d+η Gl (rl ). 0

(2.162)

Vergleich mit oben w¨ urde, v¨ ollig unabh¨angig von einer mikroskopischen Berechnung von G und unabh¨ angig vom Modell, immer das Ergebnis η = 0 liefern! Das ist sicherlich konsistent mit unserer fr¨ uheren Berechnung der Korrelationsfunktion aus den Gaußschen Fluktuationen um Mean-Field, wo wir η = 0 erhalten haben. Allerdings ist der Wert η = 0 z.B. f¨ ur das Ising–Modell in d = 2 Dimensionen falsch, wie man aus der exakten L¨osung weiss. Die Aufl¨ osung dieses Widerspruchs liegt in der zu laxen Benutzung des Proportionalit¨atszeichens ∝ in G(r) ∝ r2−d−η : aus Dimensionsgr¨ unden muss es hier also eine weitere L¨angenskala geben. Die Korrelationsl¨ange ξ f¨allt hier als Kandidat weg, da sie bei Tc unendlich wird. Im Landau-Modell oben entspricht das dem Wert r0 = 0 bei t = 0. Was als L¨angenskala u unglichen Git¨brigbleibt, ist eine mikroskopische L¨angenskala des urspr¨ termodells, d.h. die Gitterkonstante a (oder ein Vielfaches hiervon). Wir setzen also eine Form G(r) = c(r/a)2−d−η ,

T = Tc

(2.163)

mit einer dimensionslosen Konstante c an. Abseits des kritischen Punktes haben wir z.B. in d = 3 einen exponentiellen Zerfall der Korrelationen ∝ e−r/ξ mit der Korrelationsl¨ange ξ. Das Argument im Exponenten ist damit bereits dimensionslos, ξ hat die Dimension einer L¨ange l, und es sollte f¨ ur die dimensionslose Korrelationsl¨ ange ξl ≡ ξ/l wieder ξl ≡ ξl−1 = ε−1 ξεl−1 = ε−1 ξl0

(2.164) −1/2

bei einer Umskalierung gelten. Wenn wir ξ durch die L¨ange r0 ausdr¨ ucken wollen, schreiben wir −1/2

ξ = r0

f (r0 a2 ),

des Landau–Modells (2.165)

mit einer Funktion f des dimensionslosen Arguments r0 a2 , so dass Gl. (2.164) immer −1/2 erf¨ ullt ist. W¨ urde man hier naiv wieder ξ ∝ r0 schreiben, h¨atte man wegen r0 ∝ t stets −1/2 die Beziehung ξ ∝ t und wegen der Definition ξ ∝ t−ν des kritischen Exponenten ν 1 immer den Wert ν = 2 , also das (falsche) Mean–Field–Ergebnis. Die Verwendung einer Skalierung und die Einf¨ uhrung von Skalenfunktionen wie dem obigen f scheint also entscheidend wichtig zu sein, um in der N¨ahe von Tc nicht in Widerspr¨ uche zu geraten. Wir k¨ onnen f oben z.B. f¨ ur x ≡ r0 a2 → 0 ansetzen als f (x) = cxθ mit einer numerischen Konstanten c und einem neuen Exponenten θ. Das f¨ uhrt auf 1

ξ ∝ t− 2 +θ a2θ , so dass

t → 0,

(2.166)

2. Feldtheorien in der statistischen Mechanik

ν=

1 − θ, 2

anomale Dimension θ.

48

(2.167)

Die anomale Dimension θ bezeichnet also die Abweichung des Exponenten ν vom Wert 1/2 aus der Landau–Theorie. AUFGABE: Wiederhole die Argumente zur Skalierung der Korrelationsfunktion im Fourier–Raum statt im Ortsraum.

3. SKALENTRANSFORMATIONEN UND RENORMIERUNGSGRUPPE 3.1

Homogenit¨ atsannahme

Im Folgenden geht es darum, Ordnung in den ‘Zoo’ der kritischen Exponenten α, β, γ, δ, ν, η zu bringen und das kritische Verhalten durch nur noch zwei Exponenten zu charakterisieren. (KARDAR) Wieder betrachten wir magnetische Systeme der Ising–Klasse (Z2 − −Symmetrie) mit freier Energie F (t, h) (reduzierte Temperatur t und Magnetfeld h). Im h − t–Diagramm ist die negative t–Achse die Koexistenzlinie (f¨ ur 1. Ordnung Phasen¨ uberg¨ ange), die bei t = 0 (2. Ordnung Phasen¨ ubergang) terminiert (SKIZZE). Aus f (h, t) muss das kritische Verhalten z.B. der Suszeptibilit¨aten oder W¨armekapazit¨aten folgen. Die Homogenit¨ atsannahme f¨ ur die freie Energie (von der wir uns im Folgenden immer alle unkritischen Anteile abgezogen denken) besteht in einem Ansatz f¨ ur die Funktion F (t, h) in der Form F (t, h) = |t|2−α gF (h/|t|∆ )

(3.1)

mit nur noch zwei Exponenten α und ∆ (auf die man alle anderen Exponenten zur¨ uckzuf¨ uhren hofft) und einer Skalenfunktion gF (x) von nur noch einer Variablen x. Homogenit¨ at von Funktionen ist uns bereits in der Thermodynamik (SKRIPT) begegnet, wo z.B die Entropie S(X) als Funktion ihrer extensiven Variablen X = (U, V, N ) die Gleichung S(λX) = λS(X),

λ>0

(3.2)

P ∂S erf¨ ullt, was durch Differentiation auf die Eulersche Differentialgleichung i Xi ∂Xi = S(X) und die daraus folgende Homogenit¨atsrelation S = (U + pV − µN )/T f¨ uhrt. Die Annahme Gl. (3.1) ist hier nat¨ urlich von einem ganz anderen Kaliber: zun¨achst sind die Variablen ja t und h, also intensive Gr¨oßen. Was bedeutet Homogenit¨at hier? Zun¨achst definieren wir (STANLEY) Definition Funktionen f (x, y) mit f (λa x, λb y) = λf (x, y),

λ > 0,

heißen verallgemeinerte homogene Funktionen.

a, b, ∈ R

(3.3)

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

50

Die obige Form f (t, h) der freien Energie ist eine solche verallgemeinerte homogene Funktion mit a = 1/(2 − α (f¨ ur t) und b = ∆/(2 − α) (f¨ ur h). 3.1.1

Skalengesetze

(GOLDENFELD) Aus der Skalenform Gl. (3.1) ergibt sich nun eine Relation zwischen kritischen Exponenten wie folgt: zun¨achst wird die Magnetisierung M =−

1 ∂F 1 2−α−∆ 0 =− t gF (h/|t|∆ ). kB T ∂h kB T

(3.4)

F¨ ur h = 0 definiert das gerade das Verschwinden des Ordnungsparameters gem¨aß M ∝ tβ , also β = 2 − α − ∆. Weiterhin ist die isotherme Suszeptibilit¨at χT =

∂M 1 2−α−2∆ 00 =− t gF (h/|t|∆ ), ∂h kB T

(3.5)

was f¨ ur h = 0 wie ∝ t−γ mit dem Exponenten γ = −2 + α + 2∆ gehen muss. Insgesamt also α + 2β + γ = 2,

Rushbrookes Skalengesetz.

(3.6)

Rushbrookes Skalengesetz spezifiziert die Rushbrooke–Ungleichung zu einer Gleichung. 1 1

Die Rushbrooke–Ungleichung kann aus den Stabilit¨ atsbedingungen der Thermodynamik hergeleitet werden (SKRIPT THERMODYNAMIK): 2 , Gl. (1.56) und Wir gehen aus von χT (CH − CM ) = T αH ∂U ∂S ∂2F CM ≡ = T = −T 2 ≥ 0, F konkav in T , (3.7) ∂T M ∂T M T wobei wir die Differentiale dU

=

T dS + HdM = T

dF

=

−SdT + HdM

∂S ∂S dT + dM + HdM ∂T ∂M (3.8)

benutzt haben. Deshalb gilt die Ungleichung CH =

2 2 T αH T αH + CM ≥ . χT χT

(3.9)

Desweiteren gilt in der N¨ ahe von Tc , 0

CH ∝ (−t)−α ,

0

χT ∝ (−t)−γ ,

αH ∝ (−t)β−1 .

Wir benutzen jetzt das folgende Lemma Sei f (x) ≤ g(x) und f (x) ∝ xλ und g(x) ∝ xφ f¨ ur x → 0+ . Dann folgt λ > φ. Damit folgt in unserem Falle 2(β − 1) + γ 0 ≥ −α0 oder

(3.10)

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

51

Was jetzt noch aussteht, ist der Beweis, dass α in Gl. (3.1) tats¨achlich der kritische Exponent f¨ ur die spezifische W¨ arme bei h = 0 ist, d.h. C ∝ |t|−α . Hierzu differenzieren wir F (t, h) zweimal nach t f¨ ur t > 0 und zeigen (AUFGABE) C = |t|−α gC (h/|t|∆ )

(3.12)

mit einer neuen Skalenfunktion gC (x) von nur einer Variablen x. Wenn wir hier h = 0 setzen, erhalten wir das gew¨ unschte Skalengesetz. (KARDAR) Schließlich betrachten wir m(t → 0, h) ∝ h1/δ (Definition des kritischen Exponenten δ f¨ ur die Magnetisierung bei Tc als Funktion vom Magnetfeld h). F¨ ur t → 0 muss sich die t–Abh¨ angigkeit in Gl. (3.4) herausk¨ urzen. Das geht nur, falls lim m(t, h) ∝ t2−α−∆ (h/|t|∆ )p

(3.13)

t→0

mit einer Potenz p, so dass sich t herausk¨ urzt. Durch Vergleich finden wir 2−α−∆ = ∆p und somit m(t → 0, h) ∝ h(2−α−∆)/∆ , also ∆ ∆ = 2−α−∆ β

δ=

∆ = βδ

(3.14)

unter Benutzung von β = 2 − α − ∆ (s. nach Gl. (3.4)), was auch auf δ − 1 = 2∆+α−2 f¨ uhrt und damit wegen γ = −2 + α + 2∆ auf β δ−1=

3.1.2

γ , β

Widoms Skalengesetz

∆ β

−1=

(3.15)

Korrelationsl¨ ange und ‘Hyperscaling’

(KARDAR) Aus der freien Energie F folgt zun¨achst noch nichts f¨ ur z.B. die r¨aumliche Korrelationsfunktion G(r − r0 ) und deren Zerfall f¨ ur |r − r0 | → ∞, der durch die Korrelationsl¨ ange ξ bestimmt wird. Analog zur Homogenit¨atsannahme Gl. (3.1) f¨ ur die freie Energie setzt man deshalb ξ(t, h) = |t|−ν gξ (h/|t|∆ ) an

(3.16)

2

Man macht jetzt eine zweite Annahme, die Gl. (3.1) ersetzt bzw. aus der Gl. (3.1) automatisch folgt, und zwar einen Ansatz f¨ ur den singul¨aren Anteil der freien Energie F in der N¨ ahe von Tc . Die Annahme hierbei ist, dass das singul¨are Verhalten von F allein α0 + 2β + γ 0 ≥ 2,

Rushbrooke-Ungleichung ,

(3.11)

vgl. die Anekdote in STANLEY. Was hier noch nicht gezeigt ist, ist die Gleichheit der Exponenten von beiden Seiten, d.h. γ = γ 0 etc. 2 Das ∆ hier ist nicht unbedingt dasselbe wie in Gl. (3.1).

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

52

durch die Divergenz der Korrelationsl¨ange ξ hervorgerufen wird (und nicht z.B. durch andere, von ξ unabh¨ angige Divergenzen). Da die freie Energie als thermodynamisches Potential extensiv sein muss, setzt man  d X  L d L F (t, h) = gs + gi , (3.17) ξ ai i

wobei gs und die gs nicht-singul¨ are Funktionen von intensiven Variablen sind (z.B. Temperatur, Dichte, Magnetfeld), und die ai weitere endliche L¨angenskalen im System bezeichnen, bis hinunter zu einer mikroskopischen L¨angenskala wie der Gitterkonstante  d a. Wir interpretieren den singul¨ aren Anteil Lξ gs , indem wir uns das System in unabh¨angige Bl¨ ocke der Gr¨ oße ξ d aufgeteilt denken (f¨ ur L¨angen gr¨oßer als ξ gibt es ja i. W. keine Abh¨ angigkeit mehr zwischen den mikroskopischen Variablen, zumindest f¨ ur kurzreichweitige Wechselwirkung). Der singul¨are Beitrag zu F ist dann durch die Anzahl Ld /ξ d der Bl¨ ocke gegeben (Blockspins im Ising–Fall, vgl. weiter unten), von denen jeder den gleichen Beitrag gs zu F liefert. Man beachte, dass Gl. (3.17) nat¨ urlich zun¨achst nichts weiter als ein Ansatz ist, in dem z.B. neben gs nur ein zus¨ atzliches gi aufzutreten braucht und nicht viele. Letztlich interessieren wir uns hier sowieso nur f¨ ur den singul¨aren Anteil, und dieser ergibt f¨ ur den singul¨ aren Anteil fs der freien Energie pro Volumen (bzw. Gitterplatz) fs = ξ −d = |t|dν gf (h/|t|∆ ).

(3.18)

Um konsistent mit unserem bisherigen Skalengesetz Gl. (3.1) f¨ ur die freie Energie zu bleiben, haben wir hierbei wieder die −d-te Potentz der Skalenfunktion gξ , Gl. (3.16), mit der Funktion gs in Gl. (3.17) zu einer neuen Skalenfunktion gf (h/|t|∆ ) kombiniert. Der Vergleich von Gl. (3.18) mit fs (t, h) = L−d |t|2−α gF (h/|t|∆ ) aus Gl. (3.1) liefert sofort eine Beziehung f¨ ur den Exponenten α, 2 − α = dν,

Josephsons Skalengesetz.

(3.19)

Das Skalengesetz von Josephson beinhaltet die Dimension d des Systems explizit und wird deshalb traditionell als Hyper-Skalengesetz (‘hyperscaling’) bezeichnet. ¨ GULTIGKEIT von Josephsons Skalengesetz. Schließlich erhalten wir noch ein weiteres Skalengesetz aus unserer Korrelationsfunktion G(r), deren r¨ aumliches Integral ja gerade u ¨ber das Flukuations-DissipationsTheorem die isotherme Suszeptilit¨at ergibt, Gl. (2.125), also Z −γ χT ∝ |t| ∝ dd rG(r). (3.20) Wir nehmen hier an, dass wir in der N¨ahe von Tc den Integranden durch sein Verhalten 1 Gl. (2.120), G(r) ∝ rd−2+η am kritischen Punkt ersetzen k¨onnen und χT durch Beitr¨age im Integral wieder von Bl¨ ocken der Gr¨oße ξ bestimmt ist (analog zu Gl. (3.17)); Z ξ drrd−1 −γ χT ∝ |t| ∝ ∝ ξ 2−η ∝ |t|−ν(2−η) , (3.21) d−2+η 0 r

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

53

wodurch wir ein weiteres Hyper-Skalengesetz erhalten, n¨amlich γ = ν(2 − η),

3.2

Fischers Skalengesetz.

(3.22)

Reparametrisierungen

Fig. 3.1: (Aus: J. Cardy, ‘Scaling and Renormalizationin Statistical Physics’). Ising-Modell bei T = TC , links vor und rechts nach einer Blockspin-Transformation.

Angenommen, ein kompliziertes System wird durch eine Menge von Parametern {K} ¨ beschrieben. Die Methode hat das Ziel, diese Beschreibung durch den Ubergang zu einer anderen Menge {K 0 } = R{K}

(3.23)

zu vereinfachen, und zwar so, dass mit {K 0 } dieselbe Physik beschrieben wird. Gl. (3.23) sieht ein wenig wie eine Koordinatentransformation aus, wie wir sie aus Symmetrietransformationen kennen. Es geht im Folgenden allerdings mehr als nur um Drehungen, Translationen, Spiegelungen etc. , und die Gleichung Gl. (3.23) wird auch keine Symmetrietransformation darstellen. 3.2.1

Blockspins

Wir lassen uns trotzdem vom Gedanken der Symmetrie leiten 3 , wenn wir uns das Ergebnis einer numerischen Simulation des Ising-Modells auf einem Gitter (z.B. Quadratgitter mit Gitterkonstante a) in d = 2 am kritischen Punkt anschauen, Fig. (3.1): schwarze K¨astchen sollen z.B. Spin-down bezeichnen, weisse Spin-up. Das Bild scheint die Eigenschaft einer Selbst¨ ahnlichkeit zu haben, ¨ahnlich wie bei Fraktalen: Wenn man n¨aher herangeht oder weiter weg, sieht man letztendlich qualitativ immer ‘das gleiche’, d.h. statistisch die gleiche Verteilung von weissen und schwarzen Clustern. Wir f¨ uhren deshalb eine Grobk¨ ornung des Bildes durch, indem wir Kadanoff-Blockspins einf¨ uhren. (ITZYKSON, DROUFFE) Wir fassen dabei λd (λ ∈ N) Spins σi (mit 3

S. K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

54

den Werten ±1) zu einem Blockspin sb zusammen, und zwar durch die Vorschrift X sb ≡ sign σi . (3.24) i∈b

Die Vorschrift muss eigentlich noch durch einen Zusatz f¨ ur den Fall Null in der Summe erg¨anzt werden, sowie durch eine genauere Angabe, u ¨ber welches Gebiet eigentlich genau summiert wird. Der Index b l¨ auft jetzt u ¨ber ein neues Gitter mit Gitterkonstante λa > a und neuen Gitterpl¨ atzen rb , deren Position hier erst einmal noch nicht genau spezifiziert wird. Die Blockspins stellen eine Vergr¨oberung der ‘Aufl¨osung’ dar, denn es gibt jetzt ja keine Feinstruktur innerhalb der Blocks der Gr¨oße (λa)d . Unabh¨angig von den Details in Gl. (3.24), haben wir mit den Blockspins auf dem neuen Gitter jetzt ein Modell vorliegen, in dem sich die L¨ angenskala im folgenden Sinne ge¨andert hat: Wenn z.B. im urspr¨ unglichen Modell zwei Spins λ Gitterpl¨atze auseinander liegen, sind im neuen Modell die zugeh¨ origen Blockspins nur noch einen Gitterplatz voneinander entfernt, x → xλ ≡ x/λ

(3.25)

Wir erwarten, dass eine Grobk¨ ornung des Bildes in der oben erw¨ahnten numerischen Simulation des Ising-Modells das Bild im Allgemeinen auch qualitativ ¨andert. Abseits vom kritischen Punkt ist das auch der Fall (BILD in der VL), nur genau am kritischen Punkt beobachtet man die erw¨ ahnte Selbst¨ahnlichkeit. Da bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt die Korrelationsl¨ ange ξ divergiert, wird die Ungleichung aλ  ξ

(3.26)

immer besser erf¨ ullt, je weiter man sich dem kritischen Punkt n¨ahert. F¨ ur eine Iteration der Grobk¨ ornung mit Blockspins kann man sich dann sogar vorstellen, dass sich am kritischen Punkt in dem Bild dann qualitativ sogar gar nichts mehr ¨andert (vorausgesetzt, man startet mit einem praktisch unendlich großem System, so dass R¨ander keine Rolle spielen und man immer weiter machen kann). Im kanonischen Ensemble wird das Isingmodell mit NN-Wechselwirkung durch die Zustandssumme mit zwei dimensionslosen Parametern β (inverse Temperatur mal Kopplungsst¨arke) und H (Magnetfeld mal inverse Temperatur) in der dimensionslosen Wirkung S beschrieben, X X X eS , S ≡ βJ σi σj + βH σi . (3.27) Z≡ σi =±1

(i,j)

i

In Blockspins wird thermodynamisch dieselbe Physik beschrieben, falls die Zustandssummen identisch sind,  X X X  (3.28) Z= eS = eSλ , eSλ = Πb δsb ,sign Pi∈b σi eS σi =±1

sb =±1

σi =±1

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

55

Hierbei haben wir das einfache Kollabieren der Summen u ¨ber die Kronecker-Symbole benutzt,  X  X Πb δsb ,sign Pi∈b σi = δs1 ,sign Pi∈1 σi δs2 ,sign Pi∈2 σi ... = 1. (3.29) s1 s2 ...

sb =±1

Die neue Wirkung Sλ = log

X 

 Πb δsb ,sign Pi∈b σi eS

(3.30)

σi =±1

in den Blockspins ist i.a. extrem schwierig auszurechnen, was kein Wunder ist, da ja wieder dieselbe Zustandsumme herauskommen soll. 3.2.2

Approximation der neuen Wirkung

Der entscheidende Schritt vorw¨ arts ist jetzt die k¨ uhne Annahme, dass die neue Wirkung Sλ wieder dieselbe Form wie die urspr¨ ungliche Wirkung S hat, X X sb + irrelevanteTerme, (3.31) Sλ ≡ βJλ sb sb0 + βHλ (b,b0 )

b

nur mit neuen, von λ abh¨ angigen Parametern Jλ und Hλ . Eigentlich w¨ urde man viel mehr Terme erwarten (im Prinzip unendlich viele, also eine Theorie mit unendlich vielen Parametern statt zwei Parametern), die z.B. komplizierte Korrelationen zwischen den Blockspins beschreiben, um wieder bei derselben Zustandssumme herauszukommen. Der Trick ist aber, dass wir ja letztlich nicht auf dieselbe Zustandssumme, sondern nur auf ein qualitativ ¨ aquivalentes Z kommen m¨ochten. Wir m¨ ussen sp¨atestens im Nachhinein begr¨ unden, warum all die anderen Terme in Sλ ‘f¨ ur unsere Zwecke’ (d.h. um bestimmte Eigenschaften erfolgreich zu beschreiben) irrelevant sein sollen - ein Vorgehen ganz im Geiste der Thermodynamik. Die Berechnung von Sλ , Gl. (3.30) in der approximierten Form Gl. (3.31) bleibt trotzdem ein schwieriges Unterfangen. Immerhin haben wir jetzt aber ein Ziel: wir wollen aus den alten Parametern K ≡ K1 ≡ (J, H) neue Parameter Kλ ≡ (Jλ , Hλ ) bestimmen. Wenn wir f¨ ur einen Moment λ ≥ 1 als kontinuierlichen Parameter auffassen, sehen wir, was mathematisch vor uns liegt: die Bestimmung einer Kurve Kλ im Parameterraum. Die Form Gl. (3.31) hat nun drastische Konsequenzen f¨ ur die Thermodynamik, d.h. die Form der freien Energie F (K) pro Gitterplatz. Zun¨achst gilt wegen Gl. (3.28) N F (K) = −β log Z = −β log Trσi =±1 eS = −β log Trsb =±1 eSλ .

(3.32)

Auf der rechten Seite der Gleichung wird die Spur u ¨ber das neue Gitter mit N/λd Gitterpl¨atzen und der approximierten Wirkung Gl. (3.31) durchgef¨ uhrt, die aber funktional genau die gleiche Form wie die alte Wirkung hat (bis auf die irrelevante Terme), nur mit ge¨anderten Parametern Jλ und Hλ . Dabei muss also funktional wieder die gleiche freie Energie, nun f¨ ur N/λd Gitterpl¨ atze und als Funktion von Jλ und Hλ herauskommen. Es gilt also

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

56

F (K) = λ−d F (Kλ ) + Firr .

(3.33)

Hierbei f¨ uhren die irrelevanten Terme in Gl. (3.31) zu Firr . 3.2.3

Beispiel: Blockspins fu ¨ r das Isingmodell (1)

Wir betrachten das Isingmodell auf einem Dreiecksgitter (d = 2), und zwar zun¨achst den Fall ohne Magnetfeld und definieren Blockspins µa , die aus drei Spins auf jeweils einem Dreieck (SKIZZE in VL) bestehen; X X σia σjb , Sλ = βλ µa µb , µa ≡ sign(σ1a + σ2a + σ3a ) (3.34) S=β (ij;a,b)

(a,b)

Hier ist die neue Wirkung Sλ wieder wie oben approximiert. Im urspr¨ unglichen S l¨auft die Summe u ber n¨ a chste Nachbarn auf einem Dreiecksgitter, wobei die Aufteilung in ¨ Bl¨ocke (Indizes a, b) bereits vorgenommen wurde und i, j = 1, 2, 3 damit die Spins innerhalb der Bl¨ ocke nummerieren. Wir haben auch die Kombination βJ zu einer neuen dimensionslosen inversen Temperatur β umdefiniert. Der Skalenfaktor ist jetzt λ2 = 3, √ also λ = 3, denn aus urspr¨ unglich N Gitterpl¨atzen werden N/3 Blockspin-Gitterpl¨atze. Die Invarianz der Zustandsumme Z liefert wieder  X X Z= eSλ , eSλ = Πa δµa ,sign(σ1a +σ2a +σ3a ) eS . (3.35) σia

µa

Wir schreiben S ≡ S0 + S1 und eSλ = Z0 heS1 i,

h...i ≡ Z0−1

X

 Πa δµa ,sign(σ1a +σ2a +σ3a ) eS0 ...

(3.36)

σia

Z0 ≡

X

 Πa δµa ,sign(σ1a +σ2a +σ3a ) eS0 ,

(3.37)

σia

wobei hier alle Gr¨ oßen von einer gegebenen Blockspin-Konfiguration (µ1 , µ2 , ...) abh¨angen. Der Anteil S0 (µ1 , µ2 , ...) soll hierbei die Wechselwirkung der Spins nur innerhalb der Bl¨ocke f¨ ur gegebene (µ1 , µ2 , ...) beschreiben, und entsprechend S1 den restlichen Anteil durch die Wechselwirkung von Spins auf benachbarten Bl¨ocken. Wenn wir z.B. S1 ganz vernachl¨ assigen, haben wir eSλ = Z0 . Die ‘freie’ Zustandssumme Z0 entspricht N/3 unabh¨angigen Dreiecken, von denen jedes die Zustandssumme e3β + 3e−β hat (NACH¨ durch Aufmalen der Konfigurationen), also PRUFEN  N/3 Z0 = e3β + 3e−β (3.38) v¨ollig unabh¨ angig von den Werten der (µ1 , µ2 , ...) . Zu berechnen bleibt also heS1 i, f¨ ur das wir eine Approximation durch eine Clusterentwicklung machen, die im hier betrachteten einfachsten Fall mit heS1 i ≈ ehS1 i

(3.39)

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

57

benutzt wird. 4 Der Erwartungswert von S1 wird nach Gl. (3.36) mit der ‘freien’ Wirkung (Boltzmann-Gewicht eS0 ) berechnet, in der es keine Wechselwirkung zwischen beachbarten Bl¨ocken a und b gibt. F¨ ur ein solches Paar, z.B. σ1a und σ2b , a 6= b in hS1 i, gilt also die Faktorisierung hσ1a σ2b i = hσ1a ihσ2b i.

(3.40)

(LE BELLAC) F¨ ur Blockspin µa = +1 haben wir vier Konfigurationen der σ1a , σ2a , σ3a mit Boltzmann-Gewichten e3β (alle Spins nach oben) bzw. e−β (ein Spin nach unten), mit Erwartungswert hσia i = (e3β + 2e−β − e−β )/Z0 . F¨ ur Blockspin µa = −1 haben wir vier a a a Konfigurationen der σ1 , σ2 , σ3 mit Boltzmann-Gewichten e3β (alle Spins nach unten) bzw. e−β (ein Spin nach oben), mit Erwartungswert hσia i = (−e3β − 2e−β + e−β )/Z0 , jeweils unabh¨ angig von i. Insgesamt also hσia i = µa

e3β + e−β , e3β + 3e−β

(3.41)

wobei hier im Nenner die Zustandssumme f¨ ur das Dreieck a steht. Aus Gl. (3.41) k¨ onnen wir jetzt die neue Wirkung Sλ konstruieren, in der die Wechselwirkungsterme βλ µa µb jetzt konkret durch die approximierte Wechselwirkung ersetzt wird, d.h. βλ µa µb =

βh(σ1a

+

σ2a )σ3b )i

 βλ = 2β

e3β + e−β e3β + 3e−β

2 .

(3.42)

Das ist der gesuchte Zusammenhang zwischen βλ und β im Rahmen der benutzten N¨aherungen. 3.2.4

Renormierte Parameter und Renormierungsgruppe

(KARDAR) Wir formalisieren die obigen konkreten Rechnungen etwas und postulieren ein Verfahren, dass auch in anderen F¨allen anwendbar sein soll. Zun¨achst fassen wir die Hauptschritte zusammen: ¨ 1. Grobk¨ ornung der ‘Aufl¨ osung’ des Ordnungsparameters (z.B. Magnetisierung): Ubergang von Variablen auf einem Gitter mit Gitterkonstante a zu neuen (Block)– Variablen auf einem Gitter mit Gitterkonstante λa, λ > 1. 2. Re–Skalierung: Das Bild einer Konfiguration im neuen Gitter ist grobk¨orniger als vorher. Die urspr¨ ungliche Aufl¨osung, d.h. ein qualitativ ¨aquivalentes Bild erhalten wir im Falle einer Selbst¨ahnlichkeit nur, falls wir es aus gr¨oßerer Entfernung betrachten. Dazu werden alle L¨angen x zu neuen, kleineren L¨angen xλ ≡ x/λ reskaliert. Die Abmessungen der einzelnen Bl¨ocke werden dadurch wieder so klein wie im urspr¨ unglichen Gitter. 4

Hinzu kommen h¨ ohere Terme im Exponenten auf der rechten Seite: vernachl¨ assigt werden.

1 2


hS1 2 i − hS1 i2 , die hier aber

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

58

3. Renormierung: Im neuen Bild ist i. A. der Kontrast gegen¨ uber dem alten Bild ge¨ andert. Das kann durch Einf¨ uhrung eines zus¨atzlichen Faktors ζ in den Blockvariablen, z.B. wie µa =

1 1 X σi , ζ λd

(3.43)

i∈a

korrigiert werden. ¨ Nach diesen allgemeinen Vorschriften fragen wir nun nach der Anderung der zwei Systemparameter im Isingmodell unter diesem Schema, die wir hier als t (reduzierte Temperatur) und h (reduziertes Magnetfeld) bezeichnen. Eine Skalentransformation mit dem Dilatationsfaktor λ f¨ uhrt auf eine Abbildung       t tλ t → ≡ Sλ . (3.44) h hλ h Am kritischen Punkt soll die Transformation wegen der Selbst¨ahnlichkeitseigenschaft nichts mehr bewirken, was dann der Fall ist, wenn Sλ in der N¨ahe von t = 0, h = 0 eine lineare Abbildung ist, so dass Null auf Null abgebildet wird. Wir setzen also   A(λ) B(λ) (3.45) Sλ = C(λ) D(λ) an mit analytischen Funktionen A(λ), A(1) = 1 etc. Wegen der Ising–Symmetrie k¨ onnen wir das Magnetfeld umkehren h → −h bei gleichzeitigem Flippen aller Spins (die Temperaturvariable t bleibt gleich). Die Skalentransformation sollte sich dabei nicht ¨ anderen, denn statistisch wird dann die gleiche Situation beschrieben. Das bedeutet aber C(λ) = B(λ) = 0, und die Transformationsmatrix Sλ ist diagonal. Wir k¨ onnen die Transformationen wie die obige zweimal hintereinander ausf¨ uhren, z.B. mit einen Faktor λ1 = 2 und dann mit λ2 = 3. Insgesamt a¨ndern wir damit die L¨angenskala um den Faktor λ1 λ2 = 6, und es sollte deshalb ganz allgemein f¨ ur ein Reparametrisierungs-Schema {Kλ } = Rλ {K}, Gl. (3.23) Rλ1 λ2 = Rλ1 Rλ2

(3.46)

gelten. Die Transformationen Rλ haben deshalb eine multiplikative Struktur, es gilt R1 = E (Identit¨ at). Im obigen konkreten Fall mit den diagonalen 2×2–Matrizen Sλ kann man sogar invertieren, diese Matrizen stellen aber nat¨ urlich nur die Transformation der zwei hier relevanten Systemparameter t und h dar, und nicht die des gesamten Systems. Im Allgemeinen geht durch eine Skalentransformation Rλ mit λ > 1 Information auf kleinen L¨ angenskalen verloren, z.B. die Details innerhalb der Blockspins. Deshalb ist Rλ im Allgemeinen nicht invertierbar, und man bezeichnet die Menge der Rλ als Halbgruppe. Dennoch hat sich die Bezeichnung Renormierungsgruppe eingeb¨ urgert.

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

59

Aus der (Halb)–gruppeneigenschaft folgt eine konkrete Form f¨ ur unsere Koeffizientenfunktionen A(λ) und D(λ): wir haben die Funktionalgleichung A(λ1 λ2 ) = A(λ1 )A(λ2 ), A(1) = 1, die auf das Potenzgesetz A(λ) = λyt f¨ uhrt, entsprechend D(λ) = λyh mit kritischen Exponenten yt und yh . In der N¨ahe des kritischen Punktes gilt also tλ = λyt t,

hλ = λyh h.

(3.47)

Falls wir die Skalentransformation nicht genau am, sondern abseits des kritischen Punktes durchf¨ uhren, wird die vormals endliche Korrelationsl¨ange ξ zu ξλ = ξ/λ, d.h. wegen λ > 1 noch kleiner als vorher, was wir als ‘weniger kritisch’ interpretieren. Die Transformation muss uns also vom kritischen Punkt wegbewegen, weshalb die Exponenten yt und yh positiv sein m¨ ussen. 3.2.5

Skalentransformation als dynamisches System

In einem n¨ achsten Schritt fassen wir in der Skalentransformation Gl. (3.23) f¨ ur die 0 0 Blockspins, {K } = R{K}, die neuen Parameter K ≡ Kλ als kontinuierliche Kurven Kλ ≡ k(λ) ∈ Rp im p-dimensionalen Parameterraum auf. Der Skalenparameter λ > 1 wird jetzt kontinuierlich gemacht und als Kurvenparameter aufgefasst. Statt einer Iteration {K 0 } = R{K} wie bei den Blockspins gehen wir jetzt von einem dynamischen System als Skalentransformation aus, d.h. einer Differentialgleichung ˙ k(λ) = F(k(λ)).

(3.48)

Welche Bedeutung haben die Fixpunkte k∗ der Skalentransformation? Sie sind definiert u ¨ber F(k∗ ) = 0.

(3.49)

˙ ¨ ¨ Da k(λ) ≡ dk/dλ die Anderung der Parameter des Systems bei einer Anderung des ¨ Skalenparameters (Anderung der Blockspin-Gr¨oße im Ising-Modell) ist, gilt am Fixpunkt also, dass f¨ ur jedes dλ 6= 0 das entsprechende dk verschwindet, d.h. die Systemparameter a¨ndern sich dort nicht mehr. (GOLDENFELD). Andererseits ¨andert sich die L¨angenskala Gl. (3.25) bei einer Skalentransformation, x → xλ ≡ x/λ. Insbesondere gilt dann f¨ ur die Korrelationsl¨ange ξ(k) ∗ ∗ am Fixpunkt ξ(k ) = ξ(k )/λ. Daraus folgt, dass an den Fixpunkten ξ = ∞ oder ξ = 0 gelten muss. Der Fall ξ = ∞ entspricht dem kritischen Punkt beim Phasen¨ ubergang. Dieser Fall war der Ausgangspunkt unserer Diskussion der Block-Spins in dem numerisch erstellten Bild des Ising-Spinsystems am kritischen Punkt. Weiterhin wird der Fall ξ = 0 als trivialer Fixpunkt bezeichnet, er entspricht einem nicht-wechselwirkenden System. Wir k¨ onnen nun die u ¨blichen Methoden der nichtlinearen dynamischen Systeme (SKRIPT MECHANIK WS 2008/2009) verwenden, insbesondere die Stabilit¨atsanalyse in der Umgebung der Fixpunkte von Gl. (3.48). Dort schreiben wir ˙k(λ) = F(k∗ ) + M(k(λ) − k∗ ) + ..., Mij ≡ ∂F . (3.50) ∂kl k∗

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

60

Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit den linken (Zeilen-)Eigenvektoren ei der Jacobi-Matrix M, die u ¨ber ei M = yi ei

(3.51)

˙ mit den Eigenwerten yi definiert sind, ei k(λ) = yi ei (k(λ) − k∗ ) + ..., und mit der Definition von neuen ‘Eigenkoordinaten’ ui (λ) im Raum der Systemparameter folgen dann in der N¨ ahe eines Fixpunkts die entkoppelten Gleichungen u˙ i (λ) = yi ui (λ),

i = 1, ..., p.

(3.52)

Wie bei dynamischen Systemen kann man jetzt mittels der yi eine Stabilit¨atsanalyse eines Fixpunktes durchf¨ uhren: Wir betrachten einen Punkt u ≡ u(λ = 1) in der N¨ahe eines Fixpunktes. F¨ ur die Entwicklung der Koordinaten von u(λ) gilt dann ui (λ) = ui + u˙ i dλ + O(dλ2 ) = ui (1 + yi dλ) + O(dλ2 ) = ui λyi + O(dλ2 )

(3.53)

Die Richtungen ui erhalten je nach dem Vorzeichen der yi (bei reellen Eigenwerten yi , was meistens der Fall ist) im Zusammenhang der Skalentransformationen besondere Namen: yi > 0

,

relevant

(3.54)

yi < 0

,

irrelevant

(3.55)

yi = 0

,

marginal .

(3.56)

F¨ ur die relevanten yi > 0 wird ui vom Fixpunkt weggetrieben, f¨ ur die irrelevanten yi < 0 wird ui zum Fixpunkt hingetrieben. Die irrelevanten Richtungen spannen dann einen Unterraum im Parameterraum, der in der N¨ahe des Fixpunktes die mannigfaltigkeit approximiert, auf der die Trajektorien auf den Fixpunkt zulaufen. Senkrecht zu dieser Mannigfaltigkeit, d.h. in die relevanten Richtungen, laufen sie von ihm weg. 3.2.6

Skalenrelationen

(CARDY) Wir betrachten jetzt konkret das Isingmodell mit p = 2 Systemparametern, βJ und βH, und bezeichnen die Koordinaten in der N¨ahe des Fixpunkts als ut bzw. uh . Die freie Energie erf¨ ullt dann wegen Gl. (3.33), F (K) = λ−d F (Kλ ) und Gl. (3.53), ui (λ) = ui λyi , in der N¨ ahe des Fixpunkts die Skalenrelation F (ut , uh ) = λ−d F (ut λyt , uh λyh ),

(3.57)

wobei wir weitere m¨ ogliche irrelevante Variablen weglassen, ebenso wie den Anteil Firr in der freien Energie. Wir k¨ onnen das nun n mal iterieren, F (ut , uh ) = λ−dn F (ut λnyt , uh λnyh ), wobei wir immer noch im linearen Bereich in der N¨ahe des Fixpunkts bleiben wollen, und deshalb die Iteration bei einem bestimmten n mit z.B. |ut λnyt | = ut0 stoppen. Aufl¨osen nach n und Einsetzen ergibt   F (ut , uh ) = |ut /ut0 |d/yt F ±ut0 , uh |ut /ut0 |−yh /yt . (3.58)

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

61

Um das f¨ ur das Folgende etwas anschaulicher zu machen, schreiben wir das wieder mit reduzierten physikalischen Temperaturen bzw. Magnetfeldern um, t≡

T − Tc , Tc

h=

H − Hc . Hc

(3.59)

KOMMENTAR βJ. Auf der rechten Seite von Gl. (3.58) ist dann F nur von der Kombination (h/h0 )|t/t0 |−yh /yt abh¨ angig, da h0 und t0 fest sind. Von den laufenden Variablen t und h haben wir also eine Abh¨ angigkeit der Form   (3.60) F (t, h) = |t/t0 |d/yt Φ± (h/h0 )|t/t0 |−yh /yt mit einer Skalenfunktion Φ± (x), die jetzt nur noch von einer Variablen abh¨angt. Genauer gesagt bekommt man zwei Skalenfunktionen (±), je nachdem ob ut0 positiv oder negativ ist. Durch Vergleich mit unserer urspr¨ unglichen Homogenit¨atsannahme Gl. (3.1) f¨ ur die 2−α ∆ freie Energie , F (t, h) = |t| gF (h/|t| ), erhalten wir sofort d/yt = 2 − α,

yh /yt = ∆.

(3.61)

Die Skalenform der freien Energie Gl. (3.48) f¨ uhrt also in der N¨ahe von Fixpunkten direkt auf Gl. (3.60), was starke Konsequenzen f¨ ur die kritischen Exponenten hat, die wir hier noch einmal als Check direkt ableiten k¨onnen: – Exponent α f¨ ur die spezifische W¨arme: definiert u ¨ber ∂ 2 F ∝ |t|−α α = 2 − d/yt . (3.62) ∂t2 h=0 Im Prinzip muss man zun¨ achst zwei Exponenten α und α0 definieren, je nachdem ob t > 0 oder t < 0. In der obigen Herleitung sehen wir aber, dass beide den gleichen Wert 2 − d/yt haben m¨ ussen, da es auf die genaue Form der Skalenfunktionen Φ± (x) gar nicht ankommt. – Exponent β f¨ ur die Magnetisierung (Ordnungsparameter): definiert u ¨ber d − yh ∂F ∝ (−t)β β= . (3.63) ∂h h=0 yt – Exponent γ f¨ ur die Suszeptibilit¨ at: definiert u ¨ber ∂ 2 F 2yh − d ∝ |t|−γ γ= . ∂h2 h=0 yt

(3.64)

Auch alle weiteren kritischen Exponenten sind also nur durch die zwei Eigenwerte yt und yd (und die Dimension d des Systems) bestimmt, und es wird nicht mehr zwischen Exponenten f¨ ur Ann¨ aherung von ‘oben’ bzw. ‘unten’ unterschieden. Insbesondere erh¨alt man Beziehungen (Skalenrelationen)zwischen den Exponenten, wie z.B.

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

α + 2β + γ = 2,

62

(3.65)

was die in der ph¨ anomenologischen Thermodynamik bewiesene Rushbrooke-Ungleichung (SKRIPT THERMODYNAMIK) zu einer Gleichung spezifiziert. Unsere bisherigen Betrachtungen waren recht allgemein und liefern: 1) Die Skalenform der freien Energie (kann auf Skalenformen f¨ ur z.B. Korrelationsfunktionen verallgemeinert werden, die lange Zeit nur ph¨anomenologisch als ‘Skalenhypothese’ postuliert wurde; 2) die Gleichheit der Exponenten von ‘oben und unten’; 3) in der ph¨anomenologischen Thermodynamik bewiesene Ungleichungen zwischen Exponenten (die aus Konvexit¨atseigenschaften der thermodynamischen Potentiale folgen, SKRIPT THERMODYNAMIK) werden zu echten Gleichungen. EXPONENT δ. AUFGABE: Betrachte die Korrelationsl¨ange ξ(t) f¨ ur Magnetfeld H = 0 und zeige f¨ ur den kritischen Exponenten ν in ξ(t) ∝ |t|−ν , t → 0 die Beziehung ν=

3.2.7

1 . yt

(3.66)

Beispiel: Blockspins fu ¨ r das Isingmodell (2)

Als Anwendung betrachten wir noch einmal das Isingmodell auf dem Dreiecksgitter ohne Magnetfeld. Aus der Skalenrelation Gl. (3.42) folgt zun¨achst der Fixpunkt β ∗ ,  3β 2 √ e + e−β 1 βλ = 2β β ∗ = ln(1 + 2 2) ≈ 0.3356. (3.67) 3β −β 4 e + 3e Andererseits gilt f¨ ur die inverse Temperatur β und die reduzierte Temperatur t in der N¨ahe des Fixpunkts β ∗ ≡ 1/Tc
1 1 t 1 β − β∗ = −t − t2 − ... ≈ − . (3.68) β= = T Tc (t + 1) Tc Tc und mit tλ = λyt t sowie yt = 1/ν, Gl. (3.66) folgt in der N¨ahe von Tc λ1/ν =

tλ βλ − β ∗ = . t β − β∗

(3.69)

(ITZYKSON, DROUFFE) Explizit liefert das durch Entwickeln von βλ − β ∗ (AUFGABE) √ √ ( 3)1/ν ≈ 1 + 2β ∗ (8 − 5 2) ν ≈ 1.13. (3.70) ∗ = 1 log 3 ≈ 0.27 Dieses Ergebnis liegt schon recht nahe an der exakten L¨osung βex 4 und νex = 1, die aus der exakten Onsager-L¨osung des Isingmodells folgt (ITZYKSON, DROUFFE). F¨ ur ein genaueres Ergebnis muss man weitere Terme in der Clusterentwicklung u usste man dann auch die ¨ber Gl. (3.39) hinaus mitnehmen. Weiterhin m¨ Rolle von anderen Termen (z.B. u ¨bern¨achste-Nachbar-Wechselwirkung) in der Skalentransformierten Wirkung Sλ untersuchen.

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

3.3

63

Das Gaußsche Modell

Als zweite Anwendung nach dem Isingmodell auf dem Dreickecksgitter betrachten wir das exakt l¨ osbare Gaußsche Modell, dass wir mit der RG (Renormierungsgruppe) untersuchen wollen. 3.3.1

Exakte L¨ osung

(KARDAR) Wir nehmen die einfachste Version, die durch eine Zustandssumme   Z Z 1 L 2 2 1 2 d 2 Z = D[φ] exp (−L[φ]) , L[φ] ≡ d r (∇φ) + (∇ φ) + tφ − hφ (3.71) 2 2 2 definiert wird. Im Vergleich zu Gl. (2.92) haben wir jetzt also nur ein Funktional bis zu quadratischen Termen in φ(r), allerdings haben wir (versuchsweise) einen weiteren Term L2 (∇2 φ)2 im Funktional mitgenommen, dessen Bedeutung wir diskutieren wollen. Das Modell ist allerdings insofern etwas pathologisch, als dass es z.B. f¨ ur t < 0 nicht mehr wohldefiniert ist und es deshalb keine geordnete Phase geben kann: Der (noch zu bestimmende) Phasen¨ ubergang l¨ auft von t > 0 (ungeordnete Phase) bis zum kritischen Punkt t = 0, aber nicht dar¨ uber hinaus. Zun¨ achst wird das Feld φ Fourier-transformiert 5 , Z 1 X −iqx ˜ ˜ φ(q) = dd xeiqx φ(x), φ(x) = e φ(q). (3.72) V q F¨ ur endliches Volumen V (mit periodischen RB) finden wir die Korrespondenz Z dd xeiqx = (2π)d δ(q) → V δq,0

(3.73)

mit dem Kronecker-Symbol, um Konsistenz mit der obigen Fouriertrafo f¨ ur endliche Volumina zu haben. Einsetzen ergibt nun (Nachpr¨ ufen als Aufgabe) ˜ = L[φ]

 1 X 2 ˜ ˜ t + q 2 + Lq 4 |φ(q)| − hφ(0). 2V q

Die Gaußschen Integrationen

RQ

Z=e

˜

ergeben (Fallunterscheidung q = 0, q 6= 0)

Y

2π 2 t + q + Lq 4

q dφ(q)

V h2 /2t

q

1/2

mal eine Konstante, die von der genauen Definition des Maßes ˜ ¨ menfaktor wegen des Ubergangs von dφ(x) zu dφ(q) abh¨angt. 5

(3.74)

(3.75) R

D[φ] und einem Volu-

Hier einmal nicht mit der u ¨blichen Vorzeichenkonvention im Exponenten, sonders anders herum.

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

64

Bis auf eine Konstante ist dann die freie Energie f (t, h) = −

ln Z h2 1 X =− + ln(t + q 2 + Lq 4 ). V 2t 2V q

(3.76)

Jetzt wird im n¨ achsten Schritt das Modell auf ein Gitter mit Gitterkonstante a gesetzt, so dass Z dd q h2 1 ln(t + q 2 + Lq 4 ), (3.77) fa (t, h) = − + 2t 2 1.BZ (2π)d wobei das Integral u ¨ber die 1. Brillouin-Zone l¨auft, die durch eine (Hyper)–Kugel mit Radius λ = π/a modelliert wird, so dass fa (t, h) = −

h2 Sd + 2t 2(2π)d

Z

Λ

dqq d−1 ln(t + q 2 + Lq 4 )

(3.78)

0

mit dem Faktor Sd aus der Winkelintegration in d Dimensionen. In Analogie zu unserer Diskussion der spezifischen W¨arme in Kap. 2 erhalten wir aus der zweiten Ableitung der freien Energie nach der Temperatur f¨ ur h = 0 wieder genau die gleichen Ausdr¨ ucke wie in Gl. (2.144), mit Integralen der Form Λ

Z In (ξ) ≡ 0

dqq d−1 . (Lq 4 + q 2 + ξ −2 )n

(3.79)

F¨ ur die m¨ oglche Infrarotdivergenz bei q → 0 sehen wir, dass der Term Lq 4 f¨ ur t → 0 (also ξ → ∞) nun unwesentlich wird. Das erkennt man auch beim Umskalieren x ≡ qξ, wobei im Nenner des Integranden nach Herausziehen von ξ −2n  n
n L 4 4 2 2 2 n 2 (Lq ξ + ξ q + 1) = x +x +1 → x2 + 1 (3.80) 2 ξ wird. Man sagt, dass der Term Lq 4 ξ 2 bei Ann¨aherung an Tc gegen Null skaliert. Durch Vergleich mit Gl. (2.150) erhalten wir also wieder α = 2 − d/2, = 0,

d ≥ 4.

d≤4 (3.81)

Der Vergleich zwischen der Skalenform Gl. (3.1), F (t, h) = |t|2−α gF (h/|t|∆ ) und dem 2 Term − h2t f¨ ur die h-Abh¨ angigkeit der freien Energie, Gl. (3.76), liefert dann in d < 4 f¨ ur den kritischen Anteil der freien Energie   h2 fcrit (t, h) = −td/2 a + d/2+1 (3.82) 2t mit dem Exponenten ∆ = 1/2+d/4 und einer Konstanten a, die fcrit (t, h = 0) bestimmt.

3. Skalentransformationen und Renormierungsgruppe

3.3.2

65

Lo ¨sungs mittels Renormierungsgruppe

(KARDAR) Jetzt betrachten wir das Gaußsche Modell noch einmal, und zwar bez¨ uglich seines kritischen Verhaltens und mit Hilfe des RG–Verfahrens wie in Abschnitt 3.2.4. Grobk¨ ornung .– Wir wollen L¨angenskalen zwischen a und λa > a loswerden, also ausintegrieren. Hierzu erinnern wir uns an den Abschneide–Wellenvektor Λ = π/a f¨ ur ˜ die q–Moden. Im Fourier–Raum wollen wir also Fouriermoden φ(q) mit Wellenvektoren Λ/λ < q < Λ ausintegrieren. Da im Gaußschen Modell alles im q–Raum faktorisiert, k¨onnen wir die Zustandssumme exakt als Z   ˜ ˜ Z = e−V δfλ (t,h=0) D[φ(q)] exp −Lλ [φ(q)] , 1 2V

δfλ (t, h = 0) ≡

X

ln(t + q 2 + Lq 4 )

(3.83)

Λ/λ a gelten muss), man hat quasi gebundene ‘Dipol–Paare’. F¨ ur gr¨oßeres y bekommt man dagegegen Konfigurationen mit immer mehr Ladungen, und das Bild von wenigen Dipolen geht u ¨ber in das eines Plasmas aus vielen freien Ladungen. Die Ladungen qi in ZC (β) werden jetzt f¨ ur die folgende Diskussion mit den Wirbelst¨arken der Wirbel im urspr¨ unglichen Spinmodell identifiziert. Wir betrachten den Fall y → 0 mit Konfigurationen ohne Wirbel bzw. einem einzigen Wirbelpaar mit q = ±1 f¨ ur einen Wirbel um R = x und einen Wirbel um R = z. Von der Zustandssumme bleiben dann die Terme 1 (alle qi = 0) und ein Term von den Wirbeln, die irgendwo sitzen k¨onnen X e2 ln y e−2πβ log |(x−z)/a| (4.56) ZC (β, y) = 1 + x6=z

y2 → 1+ 4 a

Z Z

2

2

d xd zθ(|x − z| − Λ

−1

a 2πβ ) ≡ ZC (β, y; Λ−1 ) x − z

Im letzten Schritt haben wir einen Kontinuumslimes vollzogen, wobei die Stufenfunktion sicherstellt mit Cutoff Λ−1 , dass die Wirbel sich nicht n¨aher als a kommen. Wir fordern, dass die Physik nicht wesentlich von diesem Cutoff beeinflußt wird: wenn wir Λ−1 = as schreiben (Reskalierung von einem Cutoff a mit einem Skalenparameter s), soll ZC (β, y; a) = ZC (β 0 , y 0 ; as)

(4.57)

gelten, d.h. wir wollen dieselben Zustandssummen erhalten, wenn auch mit m¨oglicherweise ver¨anderten Kopplungsparametern (unsere dimensionslosen Parameter sind hier y und β, wenn wir J = 1 setzen). Wir haben hier also wieder die Idee der Renormierungsgruppe angewendet. Durch Variablensubstitution sehen wir, dass y 0 = ys2−πβ ,

β 0 = β.

(4.58)

Die Interpretation ist hier die Folgende: f¨ ur Temperaturen unterhalb von Tc = πJ/2 wird y unter der Renormierungsgruppe gegen y = 0 skalieren, d.h. es werden immer weniger Ladungen (Wirbelpaare) auftreten und wir kommen wieder bei unserer Spinwellentheorie an. Umgekehrt w¨ achst f¨ ur Temperaturen oberhalb von Tc = πJ/2 der Parameter y an, und es gibt immer mehr Wirbel. Tats¨achlich gibt es neben der RG–Gleichung Gl. (4.58) noch eine weitere, die Abschirmungseffekte der Ladungen im Coulombgas-Modell beschreibt. Beide Gleichungen

4. Kontinuierliche Symmetrien

f¨ ur T (s) (Temperatur) und y(s) (Fugazit¨at) sind gekoppelt und lauten   ∂y 2 πJ y2 = 2 2− ∂ ln s T ∂T = y2. ∂ ln s

84

(4.59)

In der y-T-Ebene wird durch sie das ber¨ uhmte Kosterlitz-Thouless-Flußdiagram beschrieben. ¯ f¨ AUFGABE: Benutze das Ergebnis Gl. (4.34) f¨ ur G ur die folgenden Herleitungen. a) Zeige, dass in ZV (β), Gl. (4.52), im Limes Systemgr¨oße L → ∞ Ladungserhaltung Gl. (4.54) gelten muss. b) Leite das Ergebnis Gl. (4.53) f¨ ur ZC (β) her. √ c) Zeige, dass die effektiven Ladungen in ZC (β) den Wert 2π Jqi haben.

5. DISSIPATION UND NICHTGLEICHGEWICHT 5.1

Die Brownsche Bewegung

(SKRIPT THERMODYNAMIK) Die Deutung der Brownschen Molekularbewegung ist ein wichtiger Meilenstein der statistischen Mechanik. Ein ‘großes’ Teilchen (Brownsches Teilchen, ‘System’) bewege sich unter dem Einfluß der Wechselwirkung mit vielen ‘kleinen’ Teilchen (‘Bad’). Beobachtet man ein einzelnes Brownsches Teilchen, so findet man eine stochastisch irregul¨are Trajektorie. Beobachtet man ein Ensemble von vielen Brownschen Teilchen, so betrachtet man statt einer einzelnen Trajektorie x(t) besser die Dichte n(x, t) bzw. die Stromdichte j(x, t) der Teilchen. Aus dem ph¨ anomenologischen 1. Fickschen Gesetz j(x, t) = −D∇n(x, t),

1. Ficksches Gesetz

(5.1)

mit der Diffusionskonstante D folgt mit der Kontinuit¨atsgleichung ∇j(x, t) + n(x, ˙ t) = 0,

Kontinuit¨atsgleichung

(5.2)

die Diffusionsgleichung n(x, ˙ t) = D∆n(x, t).

(5.3)

Statt der Dichte im Ensemble-Bild stellt man jetzt eine entsprechende Gleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x, t) auf, ein einzelnes Brownsches Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden, p(x, ˙ t) = D∆p(x, t).

(5.4)

Die Diffusionsgleichung kann man einfach l¨osen (z.B. durch Fouriertransformation, AUFGABE oder SKRIPT MATHEMATISCHE METHODEN), z.B. f¨ ur Deltaf¨ormige Anfangsbedingung p(t = 0) = δ(x) bei x = 0, x2 1 e− 4Dt , t > 0. (5.5) 4πDt Daraus lassen sich nun Momente und Kumulanten der W-Dichte p(x, t) berechnen, z.B.

p(x, t) = √

hxit = 0,

hx2 it = 2Dt.

(5.6)

Man hat hier also bereits eine volle statistische Interpretation: das Brownsche Teilchen diffundiert von seinem Ausgangsort weg. Man beachte hier aber den Unterschied zwischen einzelner Trajektorie und dem Ensemblemittel.

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

5.1.1

86

Einstein-Relation

Es folgt jetzt eine wichtige (und, wie sich herausstellen wird, tiefer als zun¨achst ersichtliche) Beziehung zwischen der Diffusionskonstante D und der Beweglichkeit µ des Brownschen Teilchens. Letztere wird folgendermaßen definiert: Auf das Brownsche Teilchen wirke eine externe Kraft F (x). Durch die Wechselwirkung mit den Bad-Teilchen (‘Reibung’) stellt sich eine konstante Drift-Geschwindigkeit v(x) = µF (x),

Beweglichkeit µ

(5.7)

ein. Wir stellen uns jetzt die Kraft durch ein Potential erzeugt vor, z.B. wie in der barometrischen H¨ ohenformel durch ein einfaches Schwerefeld U (x) = mgx, x ≥ 0. Durch das ‘nach-unten-Driften’ der Teilchen w¨ urde unten die Konzentration n(x) st¨andig ansteigen, dem wirkt aber die Diffusion von hohen zu niedrigen Dichten nach dem 1. Fickschen Gesetz entgegen. Ein station¨ ares Dichteprofil n(x) bildet sich aus, falls sich Drift- und Diffusionsstromdichte kompensieren, −Dn0 (x) + v(x)n(x) = 0

n(x) = e

Rx 0

dx0

v(x0 ) D

µ

n0 = e− D U (x) n0 ,

(5.8)

wobei wir im letzten Schritt F (x) = −U 0 (x) benutzten sowie n0 ≡ n(x = 0) setzen. Der sich auf diese Weise einstellende Zustand, d.h. das Profil n(x), kann mit einem thermischen Gleichgewichtszustand verglichen werden - hier also mit einem idealen Gas im Potential U (x). Nehmen wir ein kanonisches Ensemble der Temperatur T an, so ergibt sich ein thermisches Profil nach der barometrischen H¨ohenformel (AUFGABE), U (x) BT

−k

nth (x) = e

n0 .

(5.9)

An dieser Stelle kann man nun vermuten, dass die dissipative Wechselwirkung der Brownschen Teilchen mit den ‘Bad-Teilchen’ (es entsteht ja eine Reibung und daher eine konstante Driftgeschwindigkeit) einem W¨armebad mit einer bestimmten Temperature T ur nicht zu starke Wechselwirkung, d.h. kleine Kr¨afte F (x) ¨aquivalent ist, zumindest f¨ und somit kleine Reibungseffekte. Der Vergleich der Dichteprofile f¨ uhrt auf D = µkB T,

5.1.2

Einstein-Relation.

(5.10)

Langevin-Gleichung

Ein weiterer Zugang zur Brownschen Bewegung geht u uhrung einer sto¨ber die Einf¨ chastischen Kraft M ξ(t) in einer Bewegungsgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit v(t) des Brownschen Teilchens der Masse M , indem man M v(t) ˙ = −M γv(t) + M ξ(t),

Langevin-Gleichung

(5.11)

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

87

ansetzt. Hierbei ist γ eine Reibungskonstante und ξ(t) ein stochastischer Prozess, d.h. eine zeitabh¨ angige Zufallsvariable, die die zuf¨alligen St¨oße des Brownschen Teilchens mit den Teilchens des Bades modellieren soll. Man kann sich ξ(t) als eine kontinuierliche Abfolge von Zufallszahlen vorstellen, die alle eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung haben. Diskretisiert man die Zeit t in Zeiten ti , so bekommt man eine disktrete Folge von Zufallsvariablen ξi ≡ ξ(ti ). BEISPIEL Gaußverteilung: F¨ ur eine Zufallsvariable x mit Mittelwert 0 ist die WDichte p(x) = √

x2

1 2πσ 2

1

e− 2σ2

M(χ) ≡ heiχx i = e− 2 σ

2 χ2

,

hx2 i = σ 2 .

(5.12)

Die Funktion M(χ) heißt Momenten-generierende Funktion oder charakteristische Funktion. F¨ ur einen n-dimensionalen Vektor von Zufallsvariablen x mit Mittelwert 0 ist die W-Dichte f¨ ur eine Gaußverteilung p(x) = √

1 1 −1 e− 2 xΣ x 2πdetΣ

1

M(k) ≡ heikx i = e− 2 kΣk ,

hxi xj i = Σij .

(5.13)

Die symmetrische, positiv definite Matrix Σ entspricht dem σ 2 im eindimensionalen Fall und heißt Kovarianz-Matrix. Entsprechend ist nun die charakteristische Funktion f¨ ur einen Gaußschen stochastischen Prozess ξ(t) mit verschwindenden Mittelwerten hξ(t)i = 0 gegeben durch M[χ(t)] ≡ hei

R∞ −∞

dtχ(t)ξ(t)

0

0

C(t, t ) ≡ hξ(t)ξ(t )i,

1

i = e− 2

R∞ R∞ −∞ −∞

dtdt0 χ(t)C(t,t0 )χ(t0 )

(5.14)

Korrelationsfunktion der stochastischen Kraft. (5.15)

F¨ ur Mittelwert Null ist also alles durch die Korrelationsfunktion C(t, t0 ) ≡ hξ(t)ξ(t0 )i bestimmt. Der Mittelwert h.i ist hier wieder als Ensemblemittelwert zu verstehen, d.h. als Mittelwert u ¨ber alle Realisierungen der stochastischen Kraft ξ(t). Wir setzen C(t, t0 ) jetzt so an, dass das Brownsche Teilchen unabh¨angig von seiner Anfangsgeschwindigkeit im Ensemblemittel einen thermischen Mittelwert f¨ ur seine ¨ kinetische Energie erh¨ alt (Aquipartitionstheorem), d.h. lim M hv 2 (t)i = kB T,

¨ Aquipartitionstheorem .

t→∞

Hierf¨ ur berechnen wir aus der Langevin-Gleichung Z t 0 v(t) = v(0)e−γt + dt0 e−γ(t−t ) ξ(t0 )

(5.16)

(5.17)

0

und durch Quadrieren unter Ausnutzen von hξ(t)i = 0 2

2

−2γt

hv (t)i = hv (0)ie

Z tZ + 0

0

t

0

dt0 dse−γ(t−t ) e−γ(t−s) hξ(t0 )ξ(s)i.

(5.18)

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

88

Als Ansatz w¨ ahlen wir hξ(t0 )ξ(s)i = cδ(t0 − s),

(5.19)

d.h. unkorrelierte Kr¨ afte zu verschiedenen Zeiten t0 6= s. Zu bestimmen bleibt dann die Konstante c: Z t
c 0 2 2 −2γt dt0 e−2γ(t−t ) = hv 2 (0)ie−2γt + hv (t)i = hv (0)ie +c 1 − e−2γt . (5.20) 2γ 0 und damit c = 2γkB T /M,

(5.21)

also hξ(t0 )ξ(s)i = 2γ 5.1.3

kB T 0 δ(t − s). M

(5.22)

Langevin-Gleichung und Diffusionsgleichung

Ein Zusammenhang zwischen Langevin-Gleichung und Diffusionsgleichung kann sehr einfach im u ampften Fall (’Smolukowski-Limes’) ¨berd¨ x ¨(t) + γ x(t) ˙ = ξ(t) + f (x, t) → x(t) ˙ =

ξ(t) + f (x, t) γ

(5.23)

hergestellt werden, in der der Beschleunigungsterm x ¨(t) vernachl¨assigt wird. Hierbei ist f (x, t) eine beliebige deterministische Kraft. Wenn wir ein freies Brownsches Teilchen betrachten, ist f (x, t) = 0 und es gilt Z 1 t 0 0 x(t) = dt ξ(t ) (5.24) γ 0 und es folgt heiχx it ≡ heiχx(t) i = he

iχ γ1

Rt 0

dt0 ξ(t0 )

− 21

i=e

RtRt 0

0

2

dt0 ds χ2 C(t,t0 ) γ

=e

2 ct 2γ 2

−χ

.

(5.25)

Die charakteristische Funktion f¨ ur x(t) ist eine Gauß-Funktion, also ist x(t) wieder ein Gaußscher Prozess. Wir vergleichen mit der Diffusionsgleichung: Z 2 iχx he it = dxp(x, t)eiχx = e−χ Dt . (5.26) Mit c = 2γkB T /M finden wir also durch Vergleich D=

kB T , Mγ

Einstein-Relation.

(5.27)

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

89

Das ist wieder die Einstein-Relation, denn (M γ)−1 ist mit der Beweglichkeit µ zu identifizieren: in Anwesenheit einer ¨ außeren Kraft Fext sollte gelten M v˙ + M γv = Fext + ξ

hvDrift i =

1 Fext . Mγ

(5.28)

In unserer Smolukowski-N¨ aherung ist die Langevin-Gleichung γ x(t) ˙ = ξ(t) also zur 2 Diffusionsgleichung Gl. (5.3) ¨ aquivalent, insbesondere gilt wieder hx it = 2Dt f¨ ur alle t > 0. Aus der vollen Langevin-Gleichung Gl. (5.23) findet man (AUFGABE) hx2 it =

 2D  γt − (1 − e−γt ) . γ

(5.29)

F¨ ur große Zeiten γt  1 wird daraus wieder das Diffusions-Ergebnis hx2 it = 2Dt.

5.2

Kritische Dynamik

Wir versuchen jetzt, die bisher untersuchten kritischen Ph¨anomene (Phasen¨ uberg¨ange) auf den zeitabh¨ angigen Fall zu verallgemeinern. Grob gesagt gibt es hier zwei Vorgehensweisen (CARDY): 1. Dynamik in der N¨ahe eines kritischen Punktes eines Gleichgewichtsphasen¨ ubergangs; und 2. ganz neue Phasen¨ uberg¨ange bei der Untersuchung von station¨aren Nichtgleichgewichts–Situationen. Wir behandeln hier nur Fall 1. 5.2.1

Zeitabh¨ angige Landau–Ginzburg–Gleichung

(KARDAR, HARDY) Hier ist die Idee, eine Langevin–Gleichung basierend auf einem Landau–Ginzburg–Funktional   Z r 2 K d 4 2 H[m] = d x m + um + (∇m) (5.30) 2 2 zu postulieren. Hierzu betrachten wir noch einmal den Smolukowski-Limes der Langevin– Gleichung Gl. (5.23), x(t) ˙ = µf (x, t) + η(t)

(5.31)

mit der Beweglichkeit µ, wobei wir die Masse M = 1 gesetzt und die stochastische Kraft η(t) = µξ(t) eingef¨ uhrt haben. Wir postulieren jetzt eine Verallgemeinerung von Gl. (5.31) von der Variablen x(t) hin zu einem skalaren Feld m(x, t), und zwar in der Form   Z ∂m(x, t) δH[m] 0 0 = dx µ(x − x ) − + η(x, t). (5.32) ∂t δm(x0 ) Die Variationsableitung war uns schon fr¨ uher in der Herleitung der Landau–Ginzburg– Gleichung begegnet, in dieser zeitabh¨angigen Variante hier spielt sie also wieder die Rolle

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

90

der Kraft in der Bewegungsgleichung f¨ ur das Ordnungsparameterfeld m(x, t). Gleichzeitig haben wir die r¨ aumlich lokale bzw. konstante Mobilit¨at µ auf eine r¨aumlich variierende Funktion µ(x − x0 ) verallgemeinert. Das Ausf¨ uhren der Variationsableitung ergibt die zeitabh¨angige Landau–Ginzburg– Gleichung Z
∂m(x, t) = dx0 µ(x − x0 ) −r − 4um2 (x0 , t) + K∇2 m(x0 , t) + η(x, t). (5.33) ∂t Wir l¨osen sie hier nur f¨ ur das Gaußsche Modell, d.h. den exakt l¨osbaren Fall u = 0. Fouriertransformation liefert zun¨ achst ∂ m(q, ˆ t) = −γ(q)m(q, ˆ t) + ηˆ(q, t), ∂t

γ(q) ≡

1 ≡µ ˆ(q)(r + Kq2 ). τ (q)

(5.34)

Die Relaxationsrate γ(q) bzw. die Relaxationszeit τ (q) sind jetzt q–abh¨angig. Wir setzen f¨ ur die Korrelationsfunktion der stochastischen Kraft eine Form hˆ η (q, t)ˆ η (q0 , t0 )i = 2D(q)(2π)d δ d (q + q0 )δ(t − t0 )

(5.35)

an mit einer hier noch zu bestimmenden Funktion D(q), die sich durch die Forderung nach Thermalisierung der Fluktuationen f¨ ur lange Zeiten bestimmt, d.h. lim hm(q, ˆ t)m(q ˆ 0 , t)i = hm(q) ˆ m(q ˆ 0 )ieq =

t→∞

(2π)d δ d (q + q0 )kB T , r + Kq2

(5.36)

wobei die rechte Seite die thermische Gleichgewichtsgr¨oße zur Temperatur T mit dem Hamiltonian H[m] ist. Durch L¨ osen der Bewegungsgleichung f¨ ur m(q, ˆ t) finden wir hm(q, ˆ t)m(q ˆ 0 , t)i = (2π)d δ d (q + q0 )

D(q) 1 − e−2γ(q)t µ(q) r + Kq2

(5.37)

und durch Vergleich also wieder eine Einstein–Relation f¨ ur alle Fourierkomponenten, D(q) = µ ˆ(q)kB T.

(5.38)

AUFGABE: 1. Welche Form hat die Korrelationsfunktion der stochastischen Kraft η im Ortsraum ? 2. Zeige f¨ ur das Gaußsche Modell noch einmal die Form der rechten Seite von Gl. (5.36) und leite mit Hilfe der L¨ osung der Bewegungsgleichung Gl. (5.34) die Einsteinrelation D(q) = µ ˆ(q)kB T her.

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

5.2.2

91

Relaxation, Modell A und Modell B

F¨ ur die Relaxationsrate γ(q) macht man jetzt eine Fallunterscheidung nach dem VerR halten f¨ ur q → 0. Die Null–Komponente m(q ˆ = 0, t) = dd xm(x, t) ist n¨amlich gerade das gesamte r¨ aumliche Integral u ¨ber den Ordnungsparameter, z.B. die Gesamtmagnetisierung. Der Erwartungswert (¨ uber die Realisierungen der stochastischen Kraft η) kann je nach Modell eine Erhaltungsgr¨ oße sein (Modell B) oder nicht (Modell A) 1 , ∂hm(q ˆ = 0, t)i ∂t ∂hm(q ˆ = 0, t)i ∂t

6= 0,

Modell A

(5.39)

= 0,

Modell B, Ordnungsparameter erhalten.

(5.40)

Wegen der Bewegungsgleichung Gl. (5.34) und γ(q) ≡ µ ˆ(q)(r + Kq2 ) fordern wir dann f¨ ur das Verhalten von µ ˆ in der N¨ ahe von q = 0 µ ˆ(q → 0) = µ0 , µ ˆ(q → 0) =

Modell A

µ00 q2 ,

Modell B

(5.41) (5.42)

ur Modell B k¨onnte hier im Prinzip z.B. auch eine Form mit Parametern µ0 , µ00 > 0. F¨ 0 ˆ(q) nicht mehr analytisch in q. wie µ ˆ(q → 0) = µ0 |q| gelten, aber dann w¨are µ 5.2.3

Dynamischer kritischer Exponent z

(KARDAR) Mit Hilfe der q–abh¨ angigen Relaxationsrate γ(q) ≡

1 ≡µ ˆ(q)(r + Kq2 ) τ (q)

(5.43)

l¨aßt sich jetzt ein weiterer Exponent f¨ ur das dynamische Verhalten bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt, d.h. f¨ u r Korrelationsl¨ ange ξ → ∞, definieren. Im hier betrachteten p Gaußschen Modell ist ξ = K/r, und der kritische Punkt liegt bei r = 0. F¨ ur Modell A mit γ(q → 0) = µ0 (r + Kq2 ) gilt dann bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt f¨ ur Fluktuationen auf L¨angenskalen  ξ, dass die Relaxationszeit τ (q → 0) → 1/(µ0 r) wegen r → 0 divergiert. Diese Fluktuationen brauchen also sehr lange, um ins thermische Gleichgewicht zu relaxieren (‘critical slowing down’). Etwas genauer schreiben wir in der N¨ ahe des kritischen Punktes −1 (ξ −2 + q 2 ) ≈ ξ2  −1 τ (q  ξ −1 ) ∝ (ξ −2 + q 2 ) ≈ q −2 ,

τ (q  ξ −1 ) ∝



(5.44) z = 2,

kritischer Exponent z . (5.45)

Der dynamische kritische Exponent z definiert hier also einen Zusammenhang zwischen einer Zeit– und einer L¨ angenskala. 1

Diese Klassifikation geht auf den Review–Artikel von P. C. Hohenberg, B. I. Halperin, Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977) zur¨ uck.

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

92

F¨ ur Modell B mit γ(q → 0) = µ00 q 2 (r + Kq2 ) m¨ ussen wir dagegen eine Fallunterscheidung je nach Gr¨ oße von q ≡ |q| machen; τ (q  ξ −1 ) ∝



τ (q  ξ −1 ) ∝



q 2 (ξ −2 + q 2 )

−1

q 2 (ξ −2 + q 2 )

−1

 −1 ≈ q 2 ξ −2 = q −2 ξ 2 , z = 2  −1 ≈ q4 = q −4 , z = 4.

(5.46) (5.47)

Hier ist der Zusammenhang u ¨ber die q–Abh¨angigkeit definiert. Bisher haben wir alles nur f¨ ur das Gaußschen Modell diskutiert – interessanter und viel schwieriger wird es nat¨ urlich, wenn wir u ¨ber das Gaußsche Modell hinausgehen und dann zur Bestimmung von z z.B. wieder Renormierungsgruppen–Methoden anwenden. 5.2.4

Skalierungsverhalten der Korrelationsfunktion

Wir betrachten hier noch einmal die zeitabh¨angige Landau–Ginzburg–Gleichung, Gl. (5.33), mit konstanter lokaler Beweglichkeit µ(x−x0 ) = δ(x−x0 )µ (Modell A) und am kritischen Punkt r = 0 des Gaußmodells u = 0 ∂m(x, t) = µK∇2 m(x, t) + η(x, t). ∂t

(5.48)

¨ Diese Gleichung hat die Form einer Diffusionsgleichung mit Rauschterm η(x, t). Uber das Rauschen gemittelt ist wieder hm(x, t)i = 0, und die Korrelationsfunktion folgt aus Gl. (5.37), 2

1 − e−2Dq t , hm(q, ˆ t)m(q ˆ , t)i = (2π) δ (q + q )D0 Dq2 0

d d

0

(5.49)

wobei wir hier mit D0 = µkB T die Diffusionskonstante in der Korrelationsfunktion der stochastischen Kraft bezeichnen, um sie von der effektiven Diffusionskonstante D ≡ Kµ aus der zeitabh¨ angigen Landau–Ginzburg–Gleichung zu unterscheiden. R¨ ucktransformation in den Ortsraum ergibt Z Z d 0 dd q iqx d q iq0 x0 0 C(x − x , t) ≡ e e hm(q, ˆ t)m(q ˆ 0 , t)i d (2π) (2π)d Z 2 dd q 1 − e−2Dq t iq(x−x0 ) = D0 e , t≥0 (5.50) Dq2 (2π)d Die Korrelationsfunktion C(x − x0 , t) erf¨ ullt ∂ C(x − x0 , t) = 2D0 ∂t

Z

dd q −2Dq2 t iq(x−x0 ) e e , (2π)d

t ≥ 0.

Durch Umskalieren k ≡ Dq2 t finden wir hier   Z 0) ∂ dd k −2k2 i k(x−x |x − x0 |z √ 0 − d2 − d2 Dt C(x − x , t) = 2D0 (Dt) e e ≡t f ∂t t (2π)d

(5.51)

(5.52)

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

93

also eine Skalenform mit Skalenfunktion f und dem dynamischen kritischen Exponenten z = 2, wie wir ihn f¨ ur Gaußsche Modell–A–Dynamik erwarten. F¨ ur x = x0 gibt es also ein Skalenverhalten in der Zeit d

C(0, t) ∝ t− 2 +1 ,

(5.53)

das g¨ ultig ist, solange die k–Integration u ¨ber den ganzen Rd l¨auft und nicht abgeschnitten wird. Wenn andererseits die q–Integration durch die Inversen von a (Gitterkonstante) und L (Systemgr¨ oße) abgeschnitten wird, haben wir f¨ ur lange Zeiten t → ∞ Z lim C(0, t) = 2D0

t→∞

dd q 1 a2−d − L2−d ∝ d−2 (2π)d Dq2

(5.54)

(bzw. ln L/a f¨ ur Dimension d = 2). Wir haben hier also C ∝L¨ange2−d extrahiert, was zusammen mit dem C ∝Zeit(2−d)/2 wegen des daraus folgenden Zeit∝(L¨ange)2 Sinn macht, was ja gerade einen Diffusionsprozess charakterisiert und nat¨ urlich gerade wieder dem dynamischen Exponenten z = 2 entspricht.

5.3

Der Kibble–Zurek–Mechanismus

Wir folgen hier der Einleitung einer neueren Arbeit 2 . Wir betrachten ein System im Abstand  = (Tc − T )/Tc von seiner kritischen Temperatur Tc . Die Temperatur wird jetzt langsam so ge¨andert, dass (t) = t/τQ ,

Quench-Zeit τQ .

(5.55)

¨ Die Quench-rate 1/τQ bestimmt hier die Geschwindigkeit ˙ dieser Anderung. Wenn das ‘Quenchen’ zu schnell geht, kommt das System oder kommen Teile davon, z.B. bestimmte r¨ aumliche Regionen, nicht mehr mit dem Relaxieren (zum jeweils ‘g¨ ultigen’ Gleichgewicht mit der aktuellen Temperatur T ) hinterher. Das ist dann bestimmt der Fall, wenn die Relaxationszeit τ () (die ja nahe Tc rapide anw¨achst) gleich oder gr¨ oßer als die Zeit wird, in der sich (t) merklich (um etwa δ =  selbst ) ¨andert, τ ((t)) = δt,

δ(t) = (t)δt ˙ ≈ (t),

(5.56)

was auf die Bedingung τ ((tˆ)) =

 ˆ =t ˙

(5.57)

f¨ ur das Verletzen eines adiabatischen ‘Folgens’ f¨ uhrt. Zur Zeit t = tˆ ist die Zeit, die noch bis zum Durchlaufen des kritischen Punktes bleibt, gleich der Relaxationszeit. 2

J. Dziarmaga, W. H. Zurek, Scientific Reports 4 5950 (2014).

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

94

Nahe Tc verhalten sich die Relaxationszeit τ () und die Korrelationsl¨ange ξ(), wie oben diskutiert, wie τ () = τ0 ||−νz ,

ξ() = ξ0 ||−ν

(5.58)

mit den kritischen Exponenten ν und z (hier gibt es zun¨achst keine q–Abh¨angigkeit der Relaxationszeit). Es gilt also zun¨ achst einfach durch Einsetzen νz

tˆ = τ0 (τQ /τ0 ) 1+νz ,

ν

ξ((tˆ)) = ξ0 (τQ /τ0 ) 1+νz ≡ ξˆ

(5.59)

¨ Uber den dynamischen kritischen Exponenten z ist der Zeit tˆ also, wie zu erwarten war, die L¨ange ξˆ ∝ tˆ1/z zugeordnet, die gerade die Korrelationsl¨ange zum Zeitpunkt tˆ des ‘Ausfrierens’ angibt. Auf Teilgebieten mit Volumina ∼ ξˆd kommt das System mit dem Relaxieren dann nicht mehr hinterher und bleibt gewissermassen ‘eingefroren’.

5.4

Equilibrierung eines makroskopischen Quantensystems

In letzter Zeit besch¨ aftigen sich wieder mehr Autoren mit der Frage nach einer mikroskopischen Begr¨ undung der thermodynamischen Ensembles. Vereinfacht gesagt geht es dabei z.B. um eine Herleitung eines mikrokanonischen (feste Energie) GleichgewichtsZustand (Dichteoperator ρeq ) aus der Schr¨odingergleichung eines abgeschlossenen Systems. Die zentrale Idee hierbei ist, dass zumindest f¨ ur makroskopische Quantensysteme ‘typischerweise’ jeder reine Anfangszustand |Ψ(0)i nach einer gewissen Zeit in einen Gleichgewichts-Zustand relaxiert, der f¨ ur alle praktischen Anwendungen nicht von den u ¨blicherweise in der statistischen Mechanik verwendeten Ensembles unterscheidbar ist. Diese Art von Fragestellung hat eine lange Tradition, die zumindest bis auf eine Arbeit von J. v. Neumann, ‘Beweis des Ergodensatzes und des H-Theorems in der neuen Mechanik’, Z. Phys. 57, 30 (1929) zur¨ uckgeht, die erst recht sp¨at ins Englische u ¨bersetzt 3 wurde und dadurch mehr Aufmerksamkeit auf sich zog Wir folgen hier der Arbeit von Peter Reimann, Phys. Rev. Lett. 101, 190403 (2008). Ausgangspunkt ist die Dichtematrix ρ(t) und deren unit¨are Zeitentwicklung X ρ(t) = U (t)ρ(0)U † (t), U (t) = e−iHt = e−iEn t |nihn| (5.60) n

eines Quantensystems mit Hamiltonian X H= En |nihn|

(5.61)

n

mit Eigenwerten und –vektoren. Der Einfachheit halber nehmen wir hier nicht-entartete Eigenwerte En an 4 . 3

Weitere Referenzen sind S. Goldstein, J. L. Lebowitz, R. Tumulka, and N. Zangh, arXiv:1003.2129v2 (2010), oder S. Goldstein, T. Hara, and H. Tasaki, arXiv:1402.0324v1 (2014). 4 Eine ausf¨ uhrlichere Version, in der auch eine m¨ ogliche Entartung der Energieniveaus ber¨ ucksichtigt wird, ist Peter Reimann, New J. Phys. 12, 055027 (2010).

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

95

Das Problem der Equilibrierung wird zun¨achst aufgeteilt in 1. Pr¨aparation eines Anfangszustand ρ(0); 2. Zeitentwicklung unter einem zeitunabh¨angigen Hamiltonian H; 3. Messung einer Observable A. Ein Zustand ρ heißt exakter Gleichgewichtszustand bez¨ uglich des Hamiltonians H, falls [ρ, H] = 0. Ein solcher Zustand entwickelt sich dann zeitlich nicht mehr. F¨ ur einen Anfangszustand ρ(0) mit [ρ(0), H] 6= 0 haben wir ein sogenanntes ‘QuenchProblem’ vorliegen: Bei einem Quench-Problem interessiert man sich f¨ ur die Zeitentwicklung eines Kets X |Ψ(0)i = cn |ni, (5.62) n

der zur Zeit t = 0 nicht Eigenzustand eines gegebenen Hamiltonians H ist. Unser Anfangszustand ρ(0) = |Ψ(0)ihΨ(0)| ist also ein reiner Zustand. Die Anfangsbedingung Gl. (5.62) soll so sein, dass sehr viele Energieniveaus besetzt sind (eine extremer gegenteiliger Fall w¨ are z.B. ein Energie–Eigenzustand |Ψ(0)i = |ni, der sich nat¨ urlich nur trivial zeitentwickelt und nicht relaxiert. Der vorliegende Ansatz hier ist insofern ‘mikrokanonisch’, als dass er von einem geschlossenen Quantensystem mit Hamiltonian H ausgeht und nicht von vorneherein von einer Aufspaltung in ‘System’ und ’Bad’. 5 5.4.1

Zeitmittelung

Als ersten Schritt (vgl. auch TASAKI 2010) f¨ uhren wir in Analogie zur klassischen Ergodenhypothese (‘Scharmittel = Zeitmittel’) eine Zeitmittelung Z X 1 T dtρ(t) = ρ ≡ lim hm|ρ(0)|ni|mihn|e−i(Em −En )t (5.63) T →∞ T 0 nm durch. Diese sollte auf einen station¨aren Dichteoperator ρeq f¨ uhren, der dann (unter weiteren Voraussetzungen) ein mikrokanonisches Ensemble beschreibt. Ohne Entartung berechnen wir X X ρ= hn|ρ(0)|ni|nihn| = pn |nihn| ≡ ρeq , (5.64) n

n

denn f¨ ur n 6= m gilt En 6= Em und die Zeitmittelung gibt ein Kronecker-δn,m wegen eiat = δa,0 .

6

(5.65)

Bei Entartung muss man zus¨ atzlich voraussetzen, dass es keine Koh¨arenzen des anf¨anglichen Dichteoperators ρ(0) innerhalb der Unterr¨aume zu fester Energie En gibt, d.h. hm|ρ(0)|ni = 5

Noah Linden, Sandu Popescu, Anthony J. Short, und Andreas Winter (PHYSICAL REVIEW E 79, 061103, 2009) gehen von einer Aufspaltung des Gesamtsystems in System und Bad aus. Sie benutzen die unit¨ are Zeitentwicklung der Wellenfunktion des Gesamtsystems und machen ebenfalls die Annahme, ¨ dass es keine Entartung von Ubergangsfrequenzen gibt.
RT 6 1 Das gilt wegen limT →∞ T1 0 dteiat = limT →∞ iaT eiaT − 1 = 0 f¨ ur a 6= 0.

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

96

0 f¨ ur n 6= m mit En = Em . Das ist aber keine Einschr¨ankung, da man die Basis |ni immer so w¨ahlen kann, dass ρ(0) in Unterr¨aumen zu fester Energie En diagonal ist, denn die Projektion PEn ρ(0)PEn auf diese Unterr¨aume vertauscht mit H, und deshalb existiert dort ein gemeinsames System von Eigenvektoren. F¨ ur Mittelwerte von Observablen A gilt also 1 A ≡ lim T →∞ T

T

Z

dtTrρ(t)A = Trρeq A.

(5.66)

0

Die Frage ist jetzt, ob das sinnvolle Mittelwerte sind, oder ob Fluktuationen um diese Mittelwerte so stark sind, dass die Mittelwerte selbst letztlich bedeutungslos werden. 5.4.2

Fluktuationen

Die Fluktuationen (mit dem Anfangszustand Gl. (5.62)) berechnen wir nun aus 2 σA

1 ≡ lim T →∞ T

Z

1 = lim T →∞ T

Z

T

dt Trρ(t)A − A


2

(5.67)

0

!2

T

dt

X

0

cn c∗m e−i(En −Em )t hm|A|ni −

nm

X

|cn |2 hn|A|ni

.(5.68)

n

Aus dem Quadrat ergeben sich drei Terme • Der gemischte Term −2A × A. 2

• Das Quadrat des letzten Terms A . P • Der Term nmn0 m0 cn c∗m cn0 c∗m0 e−i(En −Em +En0 −Em0 )t hm|A|nihm0 |A|n0 i. Im Zeitmittel des Phasenfaktors hat man nun zwei F¨alle, die immer Eins ergeben; e−i(En −Em +En0 −Em0 )t = 1, e−i(En −Em +En0 −Em0 )t = 1,

,

,

n = m und n0 = m0

2

Term A .

(5.69)

n = m0 und m = n0 ,n 6= m und n0 6= m0 ,

(5.70)

denn in diesen F¨ allen sind die Exponenten immer Null und die Zeitmittelung ist trivial. Jetzt kommt die wichtige Annahme (mit der man u ¨berhaupt weiterkommt), dass tats¨achlich nur f¨ ur die zwei obigen F¨alle die Exponenten Null sind und alle anderen Kombinationen der n, m, n0 , m0 immer von Null verschieden Energiedifferenzen im Exponenten ergeben, so dass P die Zeitmittelung den Phasenfaktor verschwinden l¨asst und diese Terme in der Summe nmn0 m0 u ¨berhaupt nicht beitragen. Diese Annahme bedeutet, dass ¨ es keine weitere Entartung von Energiedifferenzen (Bohrschen Ubergangsfrequenzen) En − Em , En0 − Em0 außer den zwei oben genannten F¨allen im System gibt. Man argumentiert, dass das normalerweise f¨ ur ein makroskopisches Quantensystem (mit seinem komplizierten Spektrum) erf¨ ullt sein sollte.

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

97

Von den drei obigen Termen bleibt dann insgesamt nur noch der letzte Term Gl. (5.70) u ¨brig, X X 2 |cn |2 |cm |2 |hm|A|ni|2 . (5.71) σA = |cn |2 |cm |2 hm|A|nihn|A|mi ≤ nm

nm;n6=m

Hier ist im letzten Term die Einschr¨ankung n 6= m weggelassen, wodurch wegen der Positivit¨ at der Summanden eine gr¨oßere Summe entsteht. Wegen X |cn |2 |nihn| (5.72) ρeq = n

k¨onnen wir die rechte Seite von Gl. (5.71) auch umschreiben, X 2 |cn |2 hn|Aρeq A|ni = Tr(Aρeq Aρeq A). σA ≤

(5.73)

n

Hier ist eine Auswertung der Spur in der Eigenbasis {|λi} der Observablen A sinnvoll, d.h. X X 2 σA ≤ hλ|Aρeq Aρeq |λi = λhλ|ρeq |λ0 iλ0 hλ0 |ρeq |λi λλ0

λ

≤ λ2max

X

hλ|ρeq |λ0 ihλ0 |ρeq |λi = λ2max Trρ2eq .

(5.74)

λλ0

Hierbei ist λmax der gr¨ oßte positive Eigenwert der Observablen A, w¨ahrend Trρ2eq von A unabh¨angig ist und als Reinheit (‘purity’) des Zustands ρeq bezeichnet wird (SKRIPT THERMODYNAMIK). Nach dem Messpostulat ist λmax also der gr¨oßte m¨ogliche Messwert, der bei einer projektiven von–Neumann–Messung von A auftreten kann. 5.4.3

Aufl¨ osungsgrenze bei Messungen

Der Zustand ρ(t) kann als Ersatz f¨ ur einen ‘echten’ Gleichgewichtszustand ρeq dienen, wenn mit ihm berechnete Erwartungswerte hAit ≡ Trρ(t)A

(5.75)

praktisch ununterscheidbar von den mit ρeq berechneten Erwartungswerten Trρeq A werden. Um das zu quantifizieren, betrachten wir hAit in Gl. (5.75) als stochastischen Prozess, d.h. eine Zufallsvariable a = hAit parametrisiert durch die Zeit t. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine Abweichung eines mit ρ(t) berechneten Wertes hAit vom Mittelwert 2 und einer a priori angenommenen, plausiblen Trρeq A kann mit Hilfe der Varianz σA Aufl¨ osungsgrenze δA der Messapparatur ausgedr¨ uckt werden. Hierzu ben¨otigt man Satz 3 (Chebyshev–Ungleichung). Sei x eine Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Varianz h(x−µ)2 i = σ 2 . Sei die Zahl κ > 0 fest vorgegeben. Dann gilt folgende Ungleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeit  σ 2 Prob (|x − µ| > κ) < . (5.76) κ

5. Dissipation und Nichtgleichgewicht

98

Wenn wir das auf unser Problem anwenden, erhalten wir  σ 2 A Prob (|Trρ(t)A − Trρeq A| ≥ δA) ≤ (5.77) δA f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0. Wenn die rechte Seite sehr klein ist, bedeutet das also, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine noch aufl¨osbare Abweichung vom Gleichgewichtswert sehr klein ist. Die Aufl¨ osungsgrenze δA ist wie folgt definiert: wir bezeichnen f¨ ur eine ‘realistische’ Messgr¨oße A (Kap. 4 in Reimann 2010) mit ∆A die Breite des Intervalls der u ¨berhaupt m¨oglichen Messwerte (Eigenwerte a) von A, d.h. die Differenz ∆A ≡ amax −amin zwischen dem gr¨ oßten und dem kleinsten Eigenwert. Die Aufl¨osungsgrenze δA bei der Messung von A ist dann definiert u ¨ber eine sehr kleine Zahl 10−NA  1 (NA entspricht etwa der Zahl der Nachkommastellen im Dezimalsystem bei der Angabe eines Wertes von A in physikalischen Einheiten), so dass ∆A . (5.78) 10NA Hierbei wird der Prozess der Messung, das Messger¨at und damit das Zustandekommen von δA nicht weiter modelliert. Die rechte Seite in Gl. (5.77) l¨aßt sich als (λmax /δA)2 Trρ2eq (mit der Reinheit Trρ2eq ) ausdr¨ ucken. Letztere ist typischerweise f¨ ur System mit sehr vielen Freiheitsgraden extrem klein. Bisher haben wir also mit plausiblen Annahmen eine effektive Equilibrierung insofern erreicht, dass Messungen typischerweise immer (unabh¨angig von der Zeit t) auf konstante Erwartungswerte f¨ uhren. Was wir hier nicht bekommen, ist die tats¨achliche Relaxationszeit: auf hinreichend kurzen Zeitskalen ist das System ja noch nahe am Anfangszustand und kann nicht gut durch ρeq beschrieben werden. Dieses Problem der Zeitskala f¨ ur die Relaxation ist momentan ebenfalls Gegenstand der aktuellen Forschung (z.B. Sheldon Goldstein, Takashi Hara, and Hal Tasaki, arXiv:1402.0324v1 (2014)). δA ≡

5.4.4

Zusammenhang mit mikrokanonischem Ensemble

Bisher haben wir nur Equilibrierung, aber keine Thermalisierung bzw. die f¨ ur unsere abgeschlossene Situation n¨ otige Relaxation in einen mikrokanonischen Zustand. Ein Argument ist nun, dass die obige Herleitung bereits vollst¨andig ist und der Zustand ρeq bereits die gesamte Thermodynamik beschreibt. Es kommt aber auch ein aparation des P weiteres qualitatives Argumentation zur Pr¨ Anfangszustands |Ψ(0)i = n cn |ni, Gl. (5.62), ins Spiel: die Pr¨aparation erfolgt typischerweise so, dass es exponentiell viele cn 6= 0 sind und die Energien En ∈ [E − ∆E/2, E + ∆E/2] ≡ IE ,

Energieschale

(5.79)

in einer ‘Energieschale’ der Breite ∆E um P eine feste Energie E liegen (mikrokanonische Situation). Der Ausdruck Trρeq A = n |cn |2 hn|A|ni soll dann unabh¨angig von der genauen Wahl der cP angigkeit von den Details des n sein. Es ist klar, dass diese Unabh¨ Zustands |Ψ(0)i = n cn |ni u ¨berhaupt wieder nur im makroskopischen Limes gelten kann.

6. FEYNMAN-VERNON INFLUENCE FUNCTIONAL THEORIES 6.1

Introduction, Motivation

This is a technique to solve the Liouville-von-Neumann Equation, d χ(t) = −i[H, χ(t)], dt

χ(t) = e−iHt χ(t = 0)eiHt ,

(6.1)

for the time-dependent density matrix ρ(t) of system-bath Hamiltonians H ≡ HS + HB + HSB .

(6.2)

It is mainly useful for cases where the system Hamiltonian HS referees to a single (or a few) degrees of freedom, coupled via HSB to a bath HB of many degrees of freedom. The technique is based on double path integrals. The original reference is R. P. Feynman, F. L. Vernon, Ann. Phys. (N. Y.) 24, 118 (1963). One of the applications of influence functional theories is the systematic derivation of a semiclassical dynamics (Fokker-Planck equations, ...) from an exact quantummechanical theory:

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.2

100

Single Path Integrals

We assume a time-independent Hamiltonian for a particle of mass M in a one-dimensional potential V (x) (the generalisation to larger than one dimension is easy), H ≡ T + V,

T ≡

p2 . 2M

(6.3)

The solution of the Schr¨ odinger equation can be written as Z −iHt |Ψ(t)i = e |Ψ(0)i, hx|Ψ(t)i = dx0 G(x, t; x0 , t0 = 0)hx0 |Ψ(0)i,

t>0

(6.4)

with the help of the propagator G(x, t; x0 ) ≡ G(x, t; x0 , t0 = 0) ≡ hx|e−iHt |x0 i.

(6.5)

We now use the Trotter product formula  λ N N  λ λ = lim e− N T e− N V e−λ(T +V ) = e− N (T +V )

(6.6)

N →∞

with λ = it (~ = 1) and write (inserting the identity N − 1 times) G(x, t; x0 ) =

Z lim

dx1 ...dxN −1

N →∞

λ

λ

hxj+1 |e− N T e− N V |xj i,

xN ≡ x, x0 ≡ x0

j=0

Z =

N −1 Y

lim

N →∞

dx1 ...dxN −1

N −1 Y

λ

λ

hxj+1 |e− N T |xj ie− N V (xj ) .

(6.7)

j=0

Now use (cf. p 1.15, 1.17), Z dp |pihp| = 1, (2π)

hx|pi = eipx

λ

λ

2

hx|e− N T |yi = hx|e− 2M N p |yi r Z Z M N −M N (x−y)2 /2λ dp − λ p2 +ip(x−y) dp − 2MλN p2 hx|pie hp|yi = e 2M N = e , (6.8) 2π 2π 2πλ where we analytically continued the formula for Gaussian integrals Z

∞

dxe −∞

−ax2 +bx

r =

π b2 /4a e , a

Re a > 0,

(6.9)

a → ia + η, η > 0, cf. Fresnel integrals and the book by H. Kleinert, ‘Path Integrals’ 2nd edition, World Scientific (Singapore, 1995).

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

101

We now introduce ε = t/N = λ/iN and have   N N −1   Z M N (xj − xj+1 )2 λV (xj ) MN 2 Y 0 G(x, t; x ) = lim dx1 ...dxN −1 − exp − N →∞ 2πλ 2λ N j=0    N  Z N −1  2 X 2 M M (xj − xj+1 ) = lim dx1 ...dxN −1 − V (xj )  exp iε N →∞ 2πiε 2 ε2 j=0 Z x Rt 0 1 ˙ (6.10) ≡ Dxei 0 dt L(x,x) , L(x, x) ˙ = M x˙ 2 − V (x). 2 x0 Here, we have defined the Lagrange Function L for the path x(t0 ), 0 ≤ t0 ≤ t, x(0) ≡ x0 , x(t) ≡ x with start point x and end point x0 in configuration space. The Feynman path integral measure Dx is a symbolic way of writing the limit N → ∞,  N Z 2 M dx1 ...dxN −1 Dx = lim . (6.11) N →∞ 2πiε • When calculating the path integral explicitly, one always has to go back to the finite N version and then take N → ∞. • The path integral represents an integration over all paths of the particle starting at x and ending at x0 , not only the ones allowed by the Euler-Lagrange equations of classical mechanics. Each path is weighted with the factor exp(iScl ), where Z t 1 Scl ≡ dt0 M x(t ˙ 0 )2 − V (x(t0 )) (6.12) 2 0 is the classical action integral of the individual path x(t0 ). We therefore can write Z x 0 G(x, t; x ) = Dx exp(iScl ). (6.13) x0

Note, however, that this is only a shorthand notation for the discretised version in the N → ∞ limit.

6.3

Double Path Integrals

Now let us come back to our density operator for our system-bath Hamiltonian, H ≡ HS + HB + HSB , χ(t) = e−iHt χ(t = 0)eiHt .

(6.14)

For the moment, let us assume that the system has one degree of freedom q and the bath the degree of freedom x (the generalisation to many bath degrees of freedom xi is straightforward). We then use a representation of χ(t) in spatial coordinates, Z hx, q|χ(t)|q 0 , x0 i = dq0 dq00 dx0 dx00 hx, q|e−iHt |q0 , x0 ihx0 q0 |χ(t = 0)|q00 , x00 i × hx00 q00 |eiHt |q 0 , x0 i.

(6.15)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

102

We trace out the bath degree of freedoms to obtain an effective density matrix ρ(t) ≡ TrB χ(t)

(6.16)

of the system, Z

0

hq|ρ(t)|q i =

dq0 dq00 dx0 dx00 dxhx, q|e−iHt |q0 , x0 ihx0 q0 |χ(t = 0)|q00 , x00 i

× hx00 q00 |eiHt |q 0 , xi.

(6.17)

Now we realise that the Hamiltonian H ≡ HS + HB + HSB induces a classical action Stotal ≡ SS [q] + SB [x] + SSB [xq], where in the following for notational simplicity we omit indices at the three S. We use the path integral representation for the propagator matrix elements, Z

0

hq|ρ(t)|q i =

dq0 dq00 dx0 dx00 dx

q

Z

Z

x

Dq q0

Z

q0

Dx x0

∗ 0

Z

x0 =x

D q q00

D ∗ x0

x00


 × exp i (S[q] + S[x] + S[xq]) − i S[q 0 ] + S[x0 ] + S[x0 q 0 ] × hx0 q0 |χ(t = 0)|q00 , x00 i Z Z q Z q0 
 0 D∗ q 0 exp i S[q] − S[q 0 ] = dq0 dq0 Dq q00

q0

Z ×

dx0 dx00 dx

Z

x

Z

x

Dx x0


 D∗ x0 exp i (S[x] + S[xq]) − i S[x0 ] + S[x0 q 0 ]

x00

× hx0 q0 |χ(t = 0)|q00 , x00 i = [assume χ(t = 0) = ρ(0) ⊗ ρB ] Z q0 Z Z q 
 D∗ q 0 exp i S[q] − S[q 0 ] F[q(t0 ), q 0 (t0 )] Dq = dq0 dq00 hq0 |ρ(0)|q00 i q0

F[q(t0 ), q 0 (t0 )] ≡

q00

Z

dx0 dx00 dxhx0 |ρB |x00 i Z x Z x 
 D∗ x0 exp i (S[x] + S[xq]) − i S[x0 ] + S[x0 q 0 ] × Dx x0

x00

• In the original Feynman-Vernon method, one assumes a factorising initial condition χ(t = 0) = ρ(0) ⊗ ρB , although that can be generalised to non-factorising initial density matrices χ(t = 0), cf. for example H. Grabert, P. Schramm, G. L. Ingold, Phys. Rep. 168, 115 (1988), or the book by Weiss. • The functional F[q(t0 ), q 0 (t0 )] is called influence functional . It describes the effect of the bath on the time-evolution of the system density matrix. • For zero system-bath coupling HSB = 0, F[q(t0 ), q 0 (t0 )] = 1

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.4

103

The Influence Functional

Let us assume that we can write ˆ HSB = HSB [q] = f (ˆ q )X

(6.18)

ˆ and some given function f (ˆ with some given bath operator X q ) of the system coordinate qˆ. The influence functional can then be written as Z F[q(t0 ), q 0 (t0 )] ≡ dx0 dx00 dxhx0 |ρB |x00 i Z x Z x 
 Dx exp [i (S[x] + S[xq])] D∗ x0 exp −i S[x0 ] + S[x0 q 0 ] × x0

x00

Z

 ∗ dx0 dx00 dxhx0 |ρB |x00 ihx|UB [q]x0 i hx|UB [q 0 ]x00 i   = TrB ρB UB† [q 0 ]UB [q] ,

=

(6.19)

where UB [q] is the unitary time-evolution operator for the time-dependent Hamiltonian HB + HSB [q] with a given q(t0 ), 0 ≤ t0 ≤ t. Note that q(t0 ) and q 0 (t0 ) are independent paths, they enter as ‘external’ parameters into the influence functional which then in the final expression for hq|ρ(t)|q 0 i is integrated over all paths q(t0 ) and q 0 (t0 ). This form is useful to recognise general properties of F[q(t0 ), q 0 (t0 )], • q(t0 ) = q 0 (t0 )

F[q(t0 ), q 0 (t0 )] = 1.

• |F[q(t0 ), q 0 (t0 )]| ≤ 1. The Operator Form of Influence Functional   † 0 0 0 0 F[q(t ), q (t )] ≡ TrB ρB UB [q ]UB [q] ,

(6.20)

is particularly useful for discussing the coupling to other baths (spin-baths, Fermi baths etc.)

6.5

Influence Functional for Coupling to Harmonic Oscillators

We start with the coupling of the system to a single harmonic oscillator, HB + HSB [q] ≡ HB (t) ≡

p2 1 + M Ω2 x2 + g(t)x, 2M 2

where without loss of generality we set f [q(t)] = g(t).

(6.21)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.5.1

104

Time-evolution operator UB [q] ≡ UB (t)

This is given by the solution of the Schr¨odinger equation, i

∂ UB (t) = HB (t)UB (t), ∂t

UB (0) = 1,

(6.22)

the formal solution of which is UB (t) = Te−i

Rt 0

dt0 HB (t0 )

(6.23)

with the time-ordering operator T. Now, UB (t) can’t be directly calculated from Eq. (6.23) because the HB (t0 ) do not commute with each other at different times 1 . One solution is to calculate UB (t) by direct evaluation of the path integral which is tedious but can be done. Here, we show an alternative solution: introduce the interaction picture and write HB (t) = H0 + g(t)x ≡ H0 + V (t) ˜ (t), i∂t U ˜ (t) = V˜ (t)U ˜ (t) UB (t) = e−iH0 t U   pˆ iH0 t −iH0 t ˜ V (t) = e V (t)e = g(t) x ˆ cos Ωt + sin Ωt . MΩ

(6.24)

˜ (t) by making the general ansatz We solve for U ˜ (t) = e−iA(t) e−iB(t)ˆx e−iC(t)ˆp U

(6.25)

˜ (t). This with functions A(t) etc to be determined by taking the time-derivative of U yields i

∂ ˜ −iA(t) −iB(t)ˆ x −iC(t)ˆ p ˙ U ˜ (t) + x ˙ U ˜ (t) + C(t)e ˙ U (t) = A(t) ˆB(t) e pˆe ∂t  h i −iA(t) −iB(t)ˆ x −iB(t)ˆ x ˙ ˜ ˙ ˜ ˙ = A(t)U (t) + x ˆB(t)U (t) + C(t)e pˆe + e , pˆ e−iC(t)ˆp = use [e−iαx , p] = i∂x e−iαx = αe−iαx   ˙ +x ˙ ˙ ˙ ˜ (t) ≡ V˜ (t)U ˜ (t). = A(t) ˆB(t) + pˆC(t) + B(t)C(t) U

(6.26)

Therefore, comparing with the expression for V˜ (t) yields Z B(t) =

t

0

0

0

dt g(t ) cos Ωt , 0

1 A(t) = − MΩ

Z

t

0

Z

dt 0

t0

1 C(t) = MΩ

Z

t

dt0 g(t0 ) sin Ωt0

0

dsg(t0 )g(s) cos Ωs sin Ωt0

(6.27)

0

1 This is a dangerous source of mistakes, cf. J. H. Reina, L. Quiroga, and N. F. Johnson, ‘Decoherence of quantum registers’, Phys. Rev. A 65, 032326 (2002)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

105

and therefore, hx|UB (t)|x0 i = hx|e−iH0 t e−iA(t) e−iB(t)ˆx e−iC(t)ˆp |x0 i = e−iA(t) hx|e−iH0 t e−iB(t)ˆx |x0 + C(t)i 0

= e−iA(t) hx|e−iH0 t |x0 + C(t)ie−iB(t)[x +C(t)]

(6.28)

In order to get explicit results here, we now need the propagator matrix elements for the harmonic oscillator, r −iH0 t

hx|e

0

|x i =

MΩ exp 2πi sin Ωt




 iM Ω  2 02 0 x + x cos Ωt − 2xx . 2 sin Ωt

(6.29)

These again can either be obtained by direct evaluation of the single path integral for the harmonic oscillator or (somewhat simpler) by using the stationary eigenstates. The matrix element for the driven harmonic oscillator, hx|UB (t)|x0 i, can then after some transformations (straightforward algebra with trig functions) be written as r  MΩ 0 hx|UB (t)|x i = exp iS(x, t; x0 ) 2πi sin Ωt
iM Ω h 2 S(x, t; x0 ) ≡ x + x02 cos Ωt − 2xx0 2 sin Ωt Z t Z t 2x0 2x 0 0 0 dt g(t ) sin Ωt − dt0 g(t0 ) sin Ω(t − t0 ) − MΩ 0 MΩ 0 Z t Z t0 i 2 0 0 0 − dt dsg(t )g(s) sin Ω(t − t ) sin Ωs . (6.30) M 2 Ω2 0 0 This coincides with the result given in L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration, Wiley (1981). 6.5.2

Influence Phase

The influence phase can be obtained directly from its definition, Eq. (6.19),     ˜ [q] ˜ † [q 0 ]eiH0 t e−iH0 t U F[q(t0 ), q 0 (t0 )] ≡ TrB ρB UB† [q 0 ]UB [q] = TrB ρB U   0 0 0 = TrB ρB eiC pˆeiB xˆ eiA e−iA e−iB xˆ e−iC pˆ Z 0 0 i(A0 −A) = e dxhx|ρB |eiC pˆei(B −B)ˆx e−iC pˆ|xi Z 0 i(A0 −A) = e dxhx|ρB |x + C − C 0 iei(B −B)(x+C) , where for a moment we abbreviated A, A0 etc. for the integrals Eq. (6.27) with g(t0 ) ≡ f (q(t0 )) in the undashed and g 0 (t0 ) ≡ f (q 0 (t0 )) in the dashed (not the derivative) quanti-

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

106

ties. We now assume a thermal equilibrium for the density operator ρB , ρB = hx|ρB |x0 i =

e−βH0 1 , Z = Tre−βH0 = (6.31) Z 2 sinh βΩ/2 s  
 MΩ 1 −M Ω  2 02 0 , exp x + x cosh βΩ − 2xx Z 2π sinh Ωβ 2 sinh βΩ

where we used the matrix elements of the propagator hx|e−iH0 t |x0 i for it = β (Wick rotation of the time t). Doing the Gaussian integral yields Z 0 0 0 0 i(A0 −A) F[q(t ), q (t )] = e dxhx|ρB |x + C − C 0 iei(B −B)(x+C) s Z 1 MΩ 0 0 i(A −A) = e dxei(B −B)(x+C) Z 2π sinh Ωβ  
 MΩ  2 0 2 0 x + (x + C − C ) cosh βΩ − 2x(x + C − C ) × exp − 2 sinh βΩ   cosh x − 1 1 x 1 x x , coth x − tanh = coth = use tanh = 2 sinh x 2 2 2 2   i = exp i(A0 − A) + (B 0 − B)(C + C 0 ) 2    βω  0 1 coth (B − B)2 + M 2 Ω2 (C − C 0 )2 . (6.32) × exp − 4M Ω 2 the last step now is to re-insert the definitions of A, B, C, A0 , B 0 , C 0 . The resulting long expression

= × × ×

F[q(t0 ), q 0 (t0 )] (6.33)   Z t Z t 1 βω exp − ds(gt0 0 − gt0 )(gs0 − gs ) cos Ω(t0 − s) coth dt0 4M Ω 2 0 0 ( ) Z t Z t0 i exp − dt0 ds(gt0 0 gs0 − gt0 gs ) cos Ωs sin Ωt0 MΩ 0 0   Z t Z t i 0 0 0 0 dt ds(gt0 gs − gt0 gs ) cos Ωt sin Ωs exp 2M Ω 0 0   Z t Z t i 0 0 0 0 exp dt ds(gt0 gs − gt0 gs ) cos Ωt sin Ωs (6.34) 2M Ω 0 0

can be further simplified with sin α cos β = 12 [sin(α − β) + sin(α + β)] and carefully considering the limits of the integrals and the symmetry of the integrands. Re-installing furthermore gt0 ≡ g(t0 ) ≡ f [qt0 ] (we write the time-arguments as an index to avoid bulky expressions with too many brackets), the result can be written in a compact form, the Feynman-Vernon Influence Functional for the coupling of a single particle to a single

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

107

harmonic oscillator in thermal equilibrium, p2 1 H = HS [q] + HB [x] + HSB [xq] = HS [q] + + M Ω2 x2 + f [q]x 2M 2 Z q0 Z Z q 
 D∗ q 0 exp i S[q] − S[q 0 ] F[qt0 , qt0 0 ] Dq hq|ρ(t)|q 0 i = dq0 dq00 hq0 |ρ(0)|q00 i q0

q00

F[qt0 , qt0 0 ] = exp −Φ[qt0 , qt0 0 ] Influence Functional Z t0 Z t   ds f [qt0 ] − f [qt0 0 ] L(t0 − s)f [qs ] − L∗ (t0 − s)f [qs0 ] dt0 Φ[qt0 , qt0 0 ] = 0 0  1 βΩ L(τ ) = coth cos Ωτ − i sin Ωτ . (6.35) 2M Ω 2 

6.5.3



Linear Response, Fluctuation-Dissipation Theorem for L(t)

We first check that L(t) = hx(t)xi0 ,

(6.36)

the (van-Hove) position correlation function of the harmonic oscillator with co-ordinate x in thermal equilibrium: write r r   1  1  −iΩt x = a + a† , x(t) = ae + a† eiΩt 2M Ω 2M Ω 1 1  † −iΩt † iΩt L(t) = hx(t)xi0 = haa e + a ae i = (1 + nB )e−iΩt + nB eiΩt 2M Ω 2M Ω  1 1 βΩ = {(1 + 2nB ) cos Ωt − i sin Ωt} = coth cos Ωt − i sin Ωt(6.37) , 2M Ω 2M Ω 2 where we again have used the relation 1 + 2nB = 1 +

2 eβΩ + 1 βΩ = = coth . βΩ βΩ 2 e −1 e −1

(6.38)

Now let us have another look at this function. Consider the Hamiltonian HB [x] + HSB [xq] ≡ H(t) =

p2 1 + M Ω2 x2 + f (t)x, 2M 2

(6.39)

where we consider the function f [qt ] = f (t) for a fixed path qt as an external classical force acting on the oscillator. The density matrix ρB (t) of the oscillator in the interaction picture fulfills, cf Eq.(??), Z t ρ˜B (t) = ρ0 − i dt0 f (t0 )[˜ x(t0 ), ρ˜B (t0 )] (6.40) 0 Z t ≈ ρ0 − i dt0 f (t0 )[˜ x(t0 ), ρ0 ] 1st order, 0

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

108

where ρ0 = ρB (t = 0) is assumed to be the thermal equilibrium density matrix. The expectation value of the position is then hxit ≡ TrρB (t)x = Tr˜ ρB (t)˜ x(t) Z t Z t dt0 f (t0 )Trρ0 [˜ x(t), x ˜(t0 )] = hxi0 − i dt0 f (t0 )Tr[˜ x(t0 ), ρ0 ]˜ x(t) = hxi0 − i 0 0 Z t = hxi0 − i dt0 f (t0 )h[˜ x(t), x ˜(t0 )]i0 , 1st order. 0

We check that h[˜ x(t), x ˜(t0 )]i0 = h[˜ x(t − t0 ), x ˜(0)]i0

(6.41)

(definition of ρ0 !) and define the linear susceptibility χxx (t − t0 ) ≡ iθ(t − t0 )h[˜ x(t − t0 ), x ˜(0)]i0 ,

(6.42)

so that we can write Z

t

hxit = hxi0 − i

dt0 χxx (t − t0 )f (t0 ).

(6.43)

0

The theta function in χxx (t − t0 ) guarantees causality: the response of x at time t is determined by the system at earlier times t0 ≤ t only. Define additional functions and their symmetric and antisymmetric (in time) linear combinations, C + (t) ≡ h˜ x(t)xi0 ,

C − (t) ≡ h˜ x(−t)xi0 = hx˜ x(t)i0

C ± (t) ≡ S(t) ± iA(t) 1 S(t) = S(−t) = h˜ x(t)x + x˜ x(t)i0 , 2

(6.44) 1 A(t) = −A(−t) = h˜ x(t)x − x˜ x(t)i0 . 2i

We thus have χxx (t) = −2θ(t)A(t) We define the Fourier transforms, Z Z ∞ ± ± iωt ˆ ˆ C (ω) ≡ dtC (t)e , S(ω) ≡ −∞

(6.45)

∞ iωt

dtS(t)e

,

ˆ A(ω) ≡

Z

−∞

∞

dtA(t)eiωt

Z−∞ ∞ χ(ω) ˆ ≡

dtχ(t)eiωt (6.46)

0

and use Tr(e−βHB x˜ x(t))

=

Tr(e−βHB xeβHB e−βHB x ˜(t)) = Tr(˜ x(iβ)e−βHB x ˜(t))

=

Tr(e−βHB x ˜(t)˜ x(iβ)) = Tr(e−βHB x ˜(t − iβ)x) C − (t) = C + (t − iβ),

(6.47)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

109

and therefore in the Fourier transform C − (ω) = C + (ω)e−βω

(detailed balance relation).

(6.48)

We now define real and imaginary part of the Fourier transform of the susceptibility, χ ˆxx (ω) ≡ χ ˆ0xx (ω) + iχ ˆ00xx (ω).

(6.49)

Then, Z ∞ Z Z ∞
1 ∞ dtA(t)eiωt = −2 dt A(t)eiωt − A(t)e−iωt dtχ(t)eiωt = −2Im χ ˆ00 (ω) = Im 2i 0 0  Z 0∞ Z ∞ Z 0 iωt iωt = [A(t) = −A(−t)] = i dtA(t)eiωt = i dtA(t)e − dtA(−t)e −∞

0

 1  1  ˆ+ ˆ = iA(ω) =i C (ω) − Cˆ − (ω) = 1 − e−βω Cˆ + (ω) 2i 2

−∞

(6.50)

The relation χ ˆ00 (ω) =

 1 1 − e−βω Cˆ + (ω) 2

(6.51)

is called Fluctuation-Dissipation Theorem (FDT) (Callen, Welton 1951) and can be re-written, using  1 1 ˆ S(ω) = (Cˆ + (ω) + Cˆ − (ω)) = 1 + e−βω Cˆ + (ω), 2 2

(6.52)

βω ˆ S(ω) =χ ˆ00 (ω) coth . 2

(6.53)

leading to

Example- harmonic oscillator: we have
iθ(t) −iΩt e − eiΩt χ(t) = iθ(t)h[x(t), x]i0 = 2M Ω Z ∞
i χ ˆxx (ω) = Im dt e−iΩt − eiΩt eiωt 2M Ω 0 Z ∞ 1 = dt {cos(ω − Ω)t − cos(ω + Ω)t} 2M Ω 0 Z 1 1 ∞ dt {cos(ω − Ω)t − cos(ω + Ω)t} , = 2M Ω 2 −∞

(6.54)

therefore χ ˆxx (ω) =

1 2π {δ(ω − Ω) − δ(ω + Ω)}. 2M Ω 2

(6.55)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

110

On the other hand, C(t) ≡ S(t) = S(ω) = =

  1 βΩ L(t) = h˜ x(t)xi0 = coth cos Ωt − i sin Ωt 2M Ω 2 βΩ 1 coth cos Ωt 2M Ω 2 1 βΩ π {δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω)} coth 2M Ω 2 1 βω βω π {−δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω)} coth =χ ˆxx (ω) coth , (6.56) 2M Ω 2 2

which is consistent with the FDT.

6.6

Applications: Linear Coupling, Damped Harmonic Oscillator

Our result for the influence phase can immediately be generalised to a single particle, coupled to a system of N > 1 harmonic oscillators in thermal equilibrium, N X p2α 1 H = HS [q] + HB [x] + HSB [xq] = HS [q] + + Mα Ωα x2 + fα [q]xα 2Mα 2 α=1  F[qt0 , qt0 0 ] = exp −Φ[qt0 , qt0 0 ] Influence Functional Z Z 0 N t X t   ds fα [qt0 ] − fα [qt0 0 ] Sα (t0 − s)fα [qs ] − Sα∗ (t0 − s)fα [qs0 ] dt0 Φ[qt0 , qt0 0 ] = α=1 0

Sα (τ ) = 6.6.1

0

  βΩα 1 cos Ωα τ − i sin Ωα τ . coth 2Mα Ωα 2

(6.57)

Linear Coupling

In many applications, one assumes (often for simplicity) a linear coupling to the bath, "  2 # N X p2α 1 cα 2 HB [x] + HSB [xq] = + Mα Ω α x α − q 2Mα 2 Mα Ω2α α=1  N  X p2α 1 1 c2α 2 2 2 = + Mα Ωα xα − cα qxα + q 2Mα 2 2 Mα Ω2α α=1  F[qt0 , qt0 0 ] = exp −Φ[qt0 , qt0 0 ] Influence Functional Z t Z t0   Φ[qt0 , qt0 0 ] = dt0 ds qt0 − qt0 0 L(t0 − s)qs − L∗ (t0 − s)qs0 0 0 Z µ t 0 2 dt qt0 − (qt0 0 )2 + i (6.58) 2 0

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

111

Here, the kernel L(t) and the spectral density J(ω) are L(τ ) ≡

1 π

R∞ 0

  dωJ(ω) coth βω cos ωτ − i sin ωτ 2

J(ω) ≡

π 2

c2α α=1 Mα Ωα δ(ω

PN

− Ωα ).

Note that in this form, an additional term appears in HSB as a potential Z 1 X c2α 2 ∞ J(ω) 1 2 = dω. Vcounter (q) ≡ µq , µ ≡ 2 2 α Mα Ω2α π 0 ω

(6.59)

(6.60)

Since the action S appears as exp(iS[q]) in the path integral for q and exp(−iS[q]) in the path integral for q 0 , we could absorb the counter term into the influence phase as Z µ t 0 2 dt qt0 − (qt0 0 )2 ). exp(i 2 0 Note that the entire information on the coupling to the bath is now contained in the spectral density J(ω), which we have defined following the notation of Weiss, ‘Quantum Dissipative Systems’. 6.6.2

Propagator for Damped Harmonic Oscillator

One now has to face the tedious task to (exactly) evaluate the double path integral, which can be done because it is Gaussian. Reference: H. Grabert, P. Schramm, and G.-L. Ingold, Phys. Rep. 168, 115 (1988). Comparison to Master Equation Approach: R. Karrlein, H. Grabert, Phys. Rev. E 55, 153 (1997).

6.7

Another Look at Influence Functionals for General Baths

(This sub-section is partly due to private communications from W. Zwerger). Feynman and Vernon realised that the coupling of a system S to any bath B can be mapped onto the coupling to an equivalent oscillator bath, if the coupling is weak and second order perturbation theory can be applied: let us have another look at the operator form of the influence functional, Eq. (6.20),   F[q(t0 ), q 0 (t0 )] ≡ TrB ρB UB† [q 0 ]UB [q] HB (t) = H0 + V (t),

0 HB (t) = H0 + V 0 (t),

(6.61)

where UB [q] is the time-evolution operator for HB (t) and UB† [q 0 ] the (backwards in time) 0 (t). Here, H (t) and H 0 (t) refer to different paths q and q 0 . evolution operator for HB B B

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

112

Example: For a Fermi bath, we could have X X H0 = εk c†k ck , V (t) ≡ V [qt ] = Mkk0 exp(i(k − k 0 )qt )c†k0 ck .

(6.62)

kk0

k

where c†k creates a Fermion with quantum number k. We again introduce the interaction picture and write ) ( Z t Z t0 Z t 0 0 −iH0 t 0˜ 0 dt dsV˜ (t )V˜ (s) + ... UB [q] = e 1−i dt V (t ) − 0

0

( UB† [q 0 ]

=

Z

1+i 0

t

0

0

dt V˜0 (t ) −

Z tZ 0

t0

0

) 0

0

dt dsV˜0 (s)V˜0 (t ) + ... eiH0 t

(6.63)

0

The product of the two time-evolution operators therefore becomes Z t Z t n o Z t dt0 V˜0 (t0 ) − V˜ (t0 ) + dt0 V˜0 (t0 ) dsV˜ (s) UB† [q 0 ]UB [q] = 1 − i 0 t0

Z tZ − 0

0

0

n o dt0 ds V˜0 (s)V˜0 (t0 ) + V˜ (t0 )V˜ (s) + ...

0 t

n o 1 Z tZ t n o 0 0 0 ˜ ˜ = 1−i dt V (t ) − V (t ) + dt0 ds V˜0 (t0 )V˜ (s) + V˜0 (s)V˜ (t0 ) 2 0 0 0 Z t Z t0 o n − dt0 ds V˜0 (s)V˜0 (t0 ) + V˜ (t0 )V˜ (s) + ... Z

0

0

Z

t

= 1−i 0 t0

Z tZ − 0

n o Z tZ 0 0 0 ˜ ˜ dt V (t ) − V (t ) + 0

0

t0

n o dt0 ds V˜0 (t0 )V˜ (s) + V˜0 (s)V˜ (t0 )

0

n o dt0 ds V˜0 (s)V˜0 (t0 ) + V˜ (t0 )V˜ (s) + ...

0

Z = 1−i Z tZ − 0

0

0 t0

t

o Z tZ n 0 0 0 ˜ ˜ dt V (t ) − V (t ) + 0

0

t0

dt0 ds

i o nh V˜0 (t0 ) − V˜ (t0 ) V˜ (s)

0

n h io dt0 ds V˜0 (s) V˜0 (t0 ) − V˜ (t0 ) + ...

(6.64)

0

In order to be a little bit more definite, a useful parametrisation of the interaction operators might be X X 0 ˆ αβ , Vˆ0 (t) ≡ ˆ αβ , Vˆ (t) ≡ gαβ (t)X gαβ (t)X (6.65) αβ

αβ

ˆ αβ . Note that this comprises the cases considered so far (harmonic with bath operators X

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

113

oscillator, Fermi bath). Taking the trace over ρB , we obtain   F[q(t0 ), q 0 (t0 )] ≡ TrB ρB UB† [q 0 ]UB [q] ≡ hUB† [q 0 ]UB [q]i0 XZ t  0 ˜ αβ (t0 )i0 dt0 gαβ (t0 ) − gαβ (t0 ) hX = 1−i 0

αβ

+

X Z tZ αβγδ

0

t0

 0 h ˜ αβ (t0 )X ˜ γδ (s)i0 dt0 ds gαβ (t0 ) − gαβ (t0 ) gγδ (s)hX

0

i 0 ˜ γδ (s)X ˜ αβ (t0 )i0 + ... − gγδ (s)hX

(6.66)

Introducing the correlation tensor ˜ αβ (t0 )X ˜ γδ (s)i0 , Lαβγδ (t0 , s) ≡ hX

(6.67)

this can be written as 0

0

0

F[q(t ), q (t )] = 1 − i

XZ αβ

+

X Z tZ αβγδ

0

t0

t

 0 ˜ αβ (t0 )i0 dt0 gαβ (t0 ) − gαβ (t0 ) hX

0

i  0 h 0 (s)Lγδαβ (s, t0 ) (t0 ) − gαβ (t0 ) gγδ (s)Lαβγδ (t0 , s) − gγδ dt0 ds gαβ

0

+ ... 6.7.1

(6.68)

‘Re-Exponentiation’

So far this expression for the influence functional is very general, but it is only to second order in the system-bath interaction! In principle, one should write down the entire Dyson series for UB† [q 0 ] and UB [q] and sum up all the terms of the resulting expression in order to obtain the final result for the influence functional. Clearly, this is in general not possible, and it is even not guaranteed that such an expression would be convergent and mathematically meaningful. For simplicity, let us assume that the linear term vanishes, ˜ αβ (t0 )i0 ≡ 0. hX

(6.69)

ˆ αβ ≡ δαβ x For example, this is fullfilled for coupling to a linear harmonic oscillator, X ˆ with x ˆ the oscillator coordinate. At least some contributions to the infinite series for F[q(t0 ), q 0 (t0 )] can be summed up in closed form: this is done by ‘re-exponentiation’. In fact, up to second order in the

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

114

system-bath interaction, we can write (summarising all our definitions so far) X ˆ αβ , Lαβγδ (t0 , s) ≡ hX ˜ αβ (t0 )X ˜ γδ (s)i0 Vˆ [qt ] ≡ gαβ [qt ]X αβ

[q(t ), q (t )] = exp{−Φpert [q(t0 ), q 0 (t0 )]}, X Z t Z t0  pert 0 0 0 dt0 ds gαβ [qt0 ] − gαβ [qt0 0 ] Φ [q(t ), q (t )] =

F

pert

0

0

0

αβγδ

0

0

h i × gγδ [qs ]Lαβγδ (t0 , s) − gγδ [qs0 ]Lγδαβ (s, t0 )

(6.70)

by simply expanding the exponential. The ‘re-exponentiation’ automatically sums up an infinite number of terms. Such ‘exponentiation’ schemes are known, e.g., from cluster ˆ expansions of the statistical operator e−β H . The important observation here is that for the harmonic oscillator case, this re-exponentiation becomes exact: with Vˆ = f [q]ˆ x and 0 0 ˆ V = f [q ]ˆ x, we recognise Z t Z t0   0 0 0 Φ[q(t ), q (t )] = dt0 ds f [qt0 ] − f [qt0 0 ] L(t0 , s)f [qs ] − L(s, t0 )f [qs0 ] ,(6.71) 0

0

L(t0 , s) = hx(t0 )x(s)i0 = hx(t0 − s)xi0 = L(t0 − s) L(s, t0 ) = hx(s)x(t0 )i0 = hx(t0 )x(s)i∗0 = L∗ (t0 − s),

(6.72)

and therefore by comparison with Eq. (6.35) we find that both expressions co-incide.

6.8

‘Semiclassical’ Limit for Damped Single Particle Motion

References: A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982); W. Zwerger, Phys. Rev. B 35, 4737 (1987); N. Janssen and W. Zwerger, Phys. Rev. B 52, 9406 (1995); U. Weiss, ‘Quantum Dissipative Systems’ (2nd ed.), World Scientific (Singapore) (1999), ch. 5.5. Let us assume a single particle in a potential V (q), HS =

p2 + V (q). 2m

(6.73)

We consider the reduced density matrix ρ(t) of the system S, ρ(x, y, t) ≡ hx + y/2|ρ(t)|x − y/2i,

(6.74)

where we set q = x + y/2,

q 0 = x − y/2;

x=


1 q + q0 , 2

y = q − q0,

(6.75)

thus introducing the ‘center-of-mass’ coordinate x and the relative coordinate y. Note that the Wigner distribution function f (x, p, t) is obtained from the density matrix as a Fourier transform with respect to the relativ co-ordinate y, Z ∞ dy f (x, p, t) = ρ(x, y, t)e−ipy . (6.76) −∞ 2π

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

115

Correspondingly, in the double path integral we integrate over center-of-mass-coordinate and relative-coordinate paths,
1 xt = qt + qt0 , yt = qt − qt0 (6.77) 2 The Jacobian of the corresponding discretised variable transformation is one whence one can write Z ρ(x, y, t) = dx0 dy0 ρ0 (x0 , y0 )J(x, y, t; x0 , y0 )   Z t Z y Z x 0 0 0 dt (M x˙ t y˙ t − V (x + y/2) + V (x − y/2)) Dy exp i Dx J(x, y, t; x0 , y0 ) = 0

y0

x0

× exp {−Φ[xt0 , yt0 ]} 6.8.1

(6.78)

Expansion of the Influence Phase

In order to derive a semiclassical limit from the double path integral, the central idea is to expand the influence phase in powers of the paths yt0 . The yt0 -paths describe ‘off-diagonal excursions’ from the diagonal paths xt0 in the time-evolution of ρ(t). We write F[xt0 , yt0 ] = exp {−Φ[xt0 , yt0 ]} Influence Functional Z t0 N Z t X −Φ[xt0 , yt0 ] = − dt0 ds {fα [xt0 + yt0 /2] − fα [xt0 − yt0 /2]} α=1 0 Sα (t0 −

0

s)fα [xs + ys /2] − Sα∗ (t0 − s)fα [xs − ys /2] Z t0 N Z t X 0 = − dt dsfα0 [xt0 ]yt0

×



×



α=1 0

0

Re Sα (t − s)fα0 [xs ]ys + 2iIm Sα (t0 − s)fα [xs ] + O [ys ]3 . (6.79) 0

In the semiclassical approximation, we thus can write the influence functional as Fsc [xt0 , yt0 ] ≡ exp {−Φ[xt0 , yt0 ]} = exp {iφ1 − φ2 } (6.80) Z t Z t0 N X iφ1 ≡ −i dt0 dsϕ1 [xs ]yt0 , ϕ1 [xs ] ≡ 2Im Sα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα [xs ] 0

Z φ2 ≡ 0

t

dt0

0

Z

α=1

t0

dsϕ2 [xs ]yt0 ys , 0

ϕ2 [xs ] ≡

N X

Re Sα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα0 [xs ].

α=1

Exercise: Check that for the linear model (coupling linear in q), Eq.(6.58), the influence phase becomes Z t Z t0  Φ[xt0 , yt0 ] = dt0 dsyt0 Re L(t0 − s)ys + 2iIm L(t0 − s)xs 0 0 Z t + iµ dt0 xt0 yt0 . (6.81) 0

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

116

For the linear model, the semiclassical expansion of the influence phase is therefore exact. In a similar way, we expand the potential V (x ± y/2) in the action in powers of the off-diagonal path y, thus arriving at Z ρsc (x, y, t) = dx0 dy0 ρ0 (x0 , y0 )Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) (6.82)   Z t Z y Z x
dt0 M x˙ t0 y˙ t0 − V 0 (xt0 )yt0 Dy exp i Dx Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) = 0 y x0 ) ( Z0 Z 0 Z Z 0 t

× exp −i

t

t

dt0

dsϕ1 [xs ]yt0 − 0

0

0

t

dt0

dsϕ2 [xs ]yt0 ys

.

0

The first step now is to perform an integration by parts to transform the term M x˙ t0 y˙ t0 , and to re-arrange Z x Z y Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) = Dx Dy exp [iM (x˙ t y − x˙ 0 y0 )] x0 y0 " Z # Z t0 Z t t  0 0 0 0 × exp −i dt yt0 M x ¨t0 + V (xt0 ) + FB [xs , t ] − dsϕ2 [xs ]yt0 ys dt 0

FB [xs , t0 ] ≡

Z

0

t0

Z dsϕ1 [xs ] =

0

= −

ds 0

N Z t0 X α=1 0

ds

t0

N X

0

2Im Sα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα [xs ]

α=1

sin Ωα (t0 − s) 0 fα [xt0 ]fα [xs ]. Mα Ω α

(6.83)

This is an interesting expression: the term in the brackets {} looks likely to lead to a classical equation of motion, Mx ¨t0 + V 0 (xt0 ) + FB [xs , t0 ] = 0,

(6.84)

where −V 0 (xt0 ) is the force due to the potential V (x), and FB [xs , t0 ] is a retarded, position-dependent deterministic friction force due to the bath. In addition, however, there is the term quadratic in y containing the function ϕ2 [xs ] ≡

=

N X α=1 N X α=1

Re Sα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα0 [xs ] 1 βΩα coth cos Ωα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα0 [xs ], 2Mα Ωα 2

which is the only place where the bath temperature T = 1/β enters.

(6.85)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.8.2

117

Completing the Square

This is a useful trick when dealing with functional integrals. We start from the identity for a real symmetric, positive definite n × n matrix A, 1

e− 2 yAy = [2π det A]−n/2

R∞

−∞ dx1 ...dxn e

− 21 xA−1 x+iyx

(6.86)

Exercise: Prove this identity. Hint: use the standard formula for Gaussian integrals and a linear transformation that diagonalises A. We now obtain  exp −

1 2

Z tZ 0

t





dt0 dsA(t0 , s)yt0 ys = lim exp − N →∞

0

 =

lim [2π det A]−N/2

N →∞

Z = Dξ ≡

Z dξ0 ...dξN −1 exp −

N −1 ε2 X

 Z tZ t Dξ exp − dt0 dsξt0 A−1 (t0 , s)ξs + i 0 0 −N/2

lim [2π det A]

N →∞

A(t0 , s) = ϕ2 [x](t0 , s),

2 Z

j,k=0 t

N −1 ε2 X

2 ξj

 Ajk yj yk 

j,k=0

A−1 jk ε2 

ξk + iε

dt0 yt0 ξt0

N −1 X

 yj ξj 

j=0

(6.87)

0

dξ0 ...dξN −1

cf. Eq. (6.85).

Here, we have used the fact that the discrete inverse of an operator needs to be divided by ε2 , A−1 (t0 , s) ↔

1 −1 A . ε2 jk

(6.88)

This can be derived by considering the discrete equivalent of the delta function and leads to the following translation table between continuous and discrete: Z X X δmn f (x) = dx0 δ(x − x0 )f (x0 ), fm = δmn fn = ε fn ε m m δ(x − x0 ) ↔ Z

dx0 A−1 (x, x0 )A(x0 , x00 )

=

δ(x − x0 ),

δmn ε X A−1 0 δmm00 mm ε Am0 m00 = 2 ε ε 0 m

A−1 (x, x0 ) ↔

1 −1 A 0. ε2 mm

Now using the fact that ϕ2 is symmetric in t0 and s, we have Z t Z t0 Z Z t 1 t 0 dt dt dsϕ2 [xs ]yt0 ys dsϕ2 [xs ]yt0 ys = 2 0 0 0 0

(6.89)

(6.90)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

118

and therefore Z

x

Z

x0

DyeiM (x˙ t y−x˙ 0 y0 )

y0

 Z Z 1 t t 0 × exp −i dt yt0 M x ¨t0 + V (xt0 ) + FB [xs , t ] − dt dsϕ2 [xs ]yt0 ys 2 0 0 0   Z Z x Z y Z Z 1 t t 0 iM (x˙ t y−x˙ 0 y0 ) −1 Dξ[x] exp − = Dx Dye dt dsξt0 ϕ2 [xs ] ξs 2 0 0 x0 y0   Z t  0 0 0 (6.91) × exp −i dt yt0 M x ¨t0 + V (xt0 ) + FB [xs , t ] − ξt0 . 

Z

t

y

Dx

Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) = 0

0



0

0

Here we have explicitly indicated the dependence of the measure Dξ[x] on the paths xs , which enters through the determinant of the operator ϕ2 [xs ]. The pathintegral over Dy is now very easy: we find (ε = t/N )      Z t N Z Z y N −1 X 2 M dy1 ...dyN −1 dt0 yt0 bt0 = lim Dy exp −i exp −iε yj bj  N →∞ 2πiε y0 0 j=0

 =

lim

N →∞

M 2πiε

N 2

2πδ(bN −1 ) −iεy0 b0 2πδ(b0 ) · ... · e ≡ ∆(yt0 − bt0 ), ε ε

(6.92)

Here, ∆ indicates the product of delta functions that fixes the yt0 path to the bt0 path, and for ε → 0 the e−iεy0 b0 becomes irrelevant. Inserting yields   Z x Z Z Z 1 t t 0 Dx Dξ[x] exp − dt dsξt0 ϕ2 [xs ]−1 ξs Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) = eiM (x˙ t y−x˙ 0 y0 ) 2 0 0 x0 × ∆(M x ¨t0 + V 0 (xt0 ) + FB [xs , t0 ] − ξt0 ). 6.8.3

(6.93)

Wigner Distribution in ‘Semi-classical’ Limit

Considering now the definition of the Wigner distribution function, Z ∞ Z Z ∞ dy −ipy dy −ipy dx0 dy0 ρ0 (x0 , y0 )Jsc (x, y, t; x0 , y0 ) ρ(x, y, t)e = e fsc (x, p, t) = −∞ 2π −∞ 2π Z Z x Z R R 1 t t dy −1 0 −ipy iM (x˙ t y−x˙ 0 y0 ) = Dx Dξ[x]e− 2 0 0 dt dsξt0 ϕ2 [xs ] ξs dx0 dy0 ρ0 (x0 , y0 )e e 2π x0 × ∆(M x ¨t0 + V 0 (xt0 ) + FB [xs , t0 ] − ξt0 ) Z Z = dx0 f0 (x0 , p0 = M x˙0 )δ(p − M x) ˙

x

Z Dx

1

Dξ[x]e− 2

RtRt 0

0

dt0 dsξt0 ϕ2 [xs ]−1 ξs

x0 0

0

× ∆(M x ¨t0 + V (xt0 ) + FB [xs , t ] − ξt0 ).

(6.94)

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

119

Here, the y-integral generated δ(p − M x), ˙ and the y0 -integral transformed the initial condition ρ0 (x0 , y0 ) into its Wigner transform f0 (x0 , p0 = M x˙0 ). We summarise, R fsc (x, p, t) = dx0 fh0 (x0 , M x˙0 )δ(p − M x) ˙ i Rx R R R 1 t t 0 × x0 Dx Dξ[x] exp − 2 0 0 dt dsξt0 ϕ2 [xs ]−1 ξs (6.95) × ∆(M x ¨t0 + V 0 (xt0 ) + FB [xs , t0 ] − ξt0 ). 6.8.4

Discussion

In the semi-classical approximation, the time-evolution of the Wigner-distribution function is determined by Eq. (6.95). This equation describes a stochastic process for the center-of-mass co-ordinate xt0 of the particle, moving within a potential V (x) under the action of a deterministic friction force FB [xs , t0 ], FB [xs , t0 ] = −

N Z X α=1 0

t0

ds

sin Ωα (t0 − s) 0 fα [xt0 ]fα [xs ], Mα Ω α

(6.96)

and a stochastic force ξt0 . The motion of the particle is governed by the stochastic integrodifferential equation Mx ¨t0 + V 0 (xt0 ) + FB [xs , t0 ] = ξt0 ,

(6.97)

where the stochastic force ξt0 is a random force which itself depends on the coordinate of the particle: this can be seen by the fact that its variance, hξ ξs i = ϕ2 [x] = t0

N X α=1

βΩα 1 coth cos Ωα (t0 − s)fα0 [xt0 ]fα0 [xs ], 2Mα Ωα 2

(6.98)

depends on the particle path xs . The Wigner distribution is obtained by integrating over all possible realisations of the stochastic force, such that Eq. (6.98) is fulfilled. Since the ξ path-integral is Gaussian, one speaks of a Gaussian stochastic process. This of course is due to the fact that we truncated the yt0 expansion in the influence phase after the term quadratic in yt0 . Our results shows that the influence of the bath is two-fold: it leads to a deterministic, retarded ‘friction’ force, and to a stochastic force. The latter contains the temperature and, by means of the coth(β~Ω/2) terms in ϕ2 [x], a fully quantum mechanical description of the bath. For certain types of system-bath couplings, one can explicitely show that the operator ϕ2 is positive definite and therefore, the term quadratic in yt0 in the original double path integral exponentially suppresses strong deviations from the diagonal paths with yt0 = 0. In this case, the expansion of the one-particle potential V , −V (x + y/2) + V (x − y/2) ≈ −V 0 (x)y

(6.99)

becomes more plausible. One should, however, expect that quantum mechanical effects (like particle tunneling) are destroyed by the approximation Eq. (6.99).

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.8.5

120

Linear Dissipation (‘Ohmic Bath’)

The influence phase for the linear model, Eq.(6.58), the influence phase is (cf. Eq. (6.81,6.60,6.59)) Z

t

Z

t0

 dsyt0 Re L(t0 − s)ys + 2iIm L(t0 − s)xs dt 0 0 Z t Z 1 X c2α 2 ∞ J(ω) dt0 xt0 yt0 , µ ≡ + iµ = 2 α Mα Ω2α π 0 ω 0   Z ∞ βω 1 dωJ(ω) coth L(τ ) ≡ cos ωτ − i sin ωτ , π 0 2

Φ[xt0 , yt0 ] =

0

(6.100)

whence the deterministic friction force FB [xs , t0 ] becomes Z

0

t0

FB [xs , t ] = µx + t0

ds2Im L(t0 − s)xs

0

2 π

Z

=

2 π

Z

=

2 π

=

∞

dω

J(ω) 2 xt0 − ω π

Z

∞

Z dωJ(ω)

t0

ds sin ω(t0 − s)xs

"0 # Z t0 xt0 J(ω) cos ωt0 cos ω(t0 − s) 2 dω xt0 − dωJ(ω) − x0 − ds x˙ s ω π 0 ω ω ω 0 0 " # Z ∞ Z t0 cos ωt0 cos ω(t0 − s) dωJ(ω) x0 + ds x˙ s . (6.101) ω ω 0 0 0

∞

0

Z

∞

The term xt0 from the integration by parts has cancelled exactly with the counter-term µxt0 . If one now assumes a linear spectral function J(ω), Johmic (ω) ≡ ηω,

(6.102)

we recover the original Caldeira-Leggett description of quantum friction (plus the additional term 2ηx0 δ(t0 ) that was missing there, cf. A. O. Caldeira, A. J. Leggett, Physica 121 A, 587 (1983); ibid. 130 A, 374(E), (1985); Weiss book chapter 5.1), " # Z t0 Z ∞ 2η dω x0 cos ωt0 + ds cos ω(t0 − s)x˙ s Fohmic [xs , t0 ] = π 0 0 Z t0 = 2ηx0 δ(t0 ) + 2η dsδ(t0 − s)x˙ s = 2ηx0 δ(t0 ) + η x˙ t0 . (6.103) 0

The resulting stochastic equation of motion Eq. (6.97) is Mx ¨t0 + η x˙ t0 + V 0 (xt0 ) = ξt0 − 2ηx0 δ(t0 ).

(6.104)

Note that the ‘awkward’ term 2ηx0 δ(t0 ) brings in a dependence on the ‘initial condition’ x0 .

6. Feynman-Vernon Influence Functional Theories

6.8.6

121

Application: Polaron-Transport

Feynman et al. (R. P. Feynman, R. W. Hellwarth, C. K. Iddings, and P. M. Platzman, Phys. Rev. 127 1004 (1962), K. K. Thornber, R. P. Feynman, Phys. Rev. B 1, 4099 (1970)), and Janssen and Zwerger (N. Janssen and W. Zwerger, Phys. Rev. B 52, 9406 (1995)) have used the influence functional theory for the non-equilibrium polaron problem, i.e. the motion of a single electron coupled to optical phonons in a crystal. The periodic crystal potential is considered in the form of an effective band-mass m∗ , and the potential V is due to an accelerating, homogeneous force in which case the expansion Eq. (6.99) becomes exact.

ANHANG

A. FOURIERRAUM-METHODEN A.1

Fourier-Reihen f¨ ur Bravaisgitter-periodische Funktionen

¨ (SKRIPT FESTKORPERTHEORIE) Wir erinnern uns an die (komplexen) FourierReihen in einer Dimension ((SKRIPT Mathematische Methoden SS 2008): Man definiert die komplexe Fourier-Reihen einer periodischen Funktion f (x) = f (x + 2L) auf dem Intervall [−L, L] als f (x) =

∞ X

cn e

i nπ x L

,

n=−∞

1 cn = 2L

Z

L

nπ

dxf (x)e−i L x .

(A.1)

−L

mit komplexen Koeffizienten cn . Man bezeichnet diese Darstellung von f (x) dann als Entwicklung nach ebenen (laufenden) Wellen. Satz 4. Ein Funktion f (r) im Ortsraum habe die Periodizit¨ at eines Bravais-Gitters B, f (r + R) = f (r) f¨ ur R ∈ B. Dann gilt die Fourierdarstellung (Summe u ¨ber das reziproke Gitter R), Z X 1 iKr f (r) = fK e , fK = dre−iKr f (r) (A.2) v C K∈R

Das Integral l¨ auft u ¨ber eine (beliebige) primitive Einheitszelle C von B mit Volumen v. Zum Beweis sieht man zun¨ achst, dass wegen f (r+R) = f (r) die Beziehung eiKR = 1 gelten muss, d.h. es muss K ∈ R gelten. Weiterhin bilden die Funktionen 1 φK (r) ≡ √ eiKr v ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem auf einer EZ von B mit Volumen v: Z Z 1 0 ∗ drei(K −K)r drφK (r)φK0 (r) = v C C Z 1 Z 1 Z 1 = dx dy dze2πi(δkx x+δky y+δkz z) = δK0 ,K , 0

0

(A.3)

(A.4)

0

wobei wir das Volumenintegral auf den Einheitsw¨ urfel transformiert haben (r = xg1 + yg2 +zg3 ) und dadurch das Volumen v losgeworden sind. Daraus folgt insbesondere schon der Fourier-Koeffizient fK in Gl. (A.2). Die Vollst¨andigkeit ist, wenn man mathematisch

A. Fourierraum-Methoden

124

korrekt sein will, etwas schwieriger zu beweisen (Hilbertr¨aume, Weierstraßscher Approximationssatz etc. siehe SKRIPT Quantenmechanik). Wir erkennen aber aus Gl. (A.2) direkt, dass " # Z X 1Z X 1 0 0 f (r) = dr0 e−iKr f (r0 )eiKr = dr0 χC (r) eiK(r−r ) f (r0 ) (A.5) v C v K∈R

K∈R

gelten muss, wobei die charakteristische Funktion von χC (r) den Wert eins f¨ ur r ∈ C hat und Null sonst. Die eckige Klammer muss die Deltafunktion δ(r − r0 ) ergeben - die Integration auf der rechten Seite reproduziert dann gerade f (r), d.h. 1 X iK(r−r0 ) χC (r0 ) × e = δ(r − r0 ). (A.6) v K∈R

(r0 )

Wir k¨onnen in dieser Formel χC loswerden, indem wir sie um R ∈ B verschieben und u ¨ber das ganze Bravais-Gitter B summieren: X X 1 X iK(r−r0 +R) χC (r0 + R) × e = δ(r − r0 + R) (A.7) v R∈B

K∈R

R∈B

0 0 Wegen eiKR = 1 und R∈B χC (r + R) = 1 (r muss ja in genau einer der um R verschobenen Zellen liegen) gilt also die wichtige Formel (Umbenennung r − r0 → r)

P

X 1 X iKr e = δ(r + R). v K∈R

(A.8)

R∈B

Der Satz kann auf periodische Funktionen im k-Raum u ¨bertragen werden (d Dimensionen): Satz 5. Eine Funktion g(k) im k-Raum habe die Periodizit¨ at eines reziproken Gitters R, g(k + K) = g(k) f¨ ur K ∈ R. Dann gilt die Fourierdarstellung (Summe u ¨ber das Bravais-Gitter B als reziprokes Gitter von R), Z X v −ikR gR = dke g(k), g(k) = gR eikR . (A.9) (2π)d C R∈B

Das Integral l¨ auft u ¨ber eine (beliebige) primitive Einheitszelle C von R mit Volumen (2π)d /v, also z.B. die erste Brillouin-Zone. Weiterhin gilt die entsprechende Formel X v X iRk e = δ(k + K). d (2π) R∈B

(A.10)

K∈R

Die Darstellung Gl. (A.9) ist in der statistischen Mechanik sehr n¨ utzlich f¨ ur Variablen gR , die auf einem periodischen Gitter B definiert sind.

A. Fourierraum-Methoden

A.2

125

Quadratische Form in Fourierdarstellung

Wir betrachten eine quadratische Form auf einem Bravais-Gitter B H≡

1 X X 1X ΨR AR−R0 ΦR ≡ Ψi Aij Φj , 2 2 0 R∈B R ∈B

(A.11)

i,j

wobei wir im zweiten Schritt die Gittervektoren konkret durchnummeriert haben R = Ri , R0 = Rj , entsprechend ΨRi ≡ Ψi sowie ARi −Rj ≡ Aij . Einsetzen der Fourierzerlegung liefert (AUFGABE) Z 1 v dkΨ(−k)A(k)Φ(k). (A.12) H= 2 (2π)d C

A.3

Inverse und Spur einer Matrix im Fourierraum

−1 Wir k¨ Ronnen im Fourierraum einfach die Inverse A von A berechnen (Notation v dk zur Abk¨ urzung): (2π)d C

Z

X

eik(Ri −Rl ) = δil =

k

R k

≡

Aij A−1 jl

j

XZ

=

j

0

A(k)eik(Ri −Rj ) eik Rj eik

Z

A(k)eikRi

= k,k0 ,k00

Z

eikRi eik

=

00 R l

A−1 (k0 , k00 )

k,k0 ,k00

00 R l

(2π)d 00 δ(k − k0 )eik Rl A−1 (k, k00 ) d a

A(k)A−1 (k, k00 )

k,k00

(2π)d δ(k + k00 ) . v A(k)

A−1 (k, k00 ) =

(A.13)

Hierbei ist nat¨ urlich wieder A(k) (komplexe skalare Gr¨oße) die Fouriertransformierte der Matrix ARi −Rj ≡ Aij auf dem Bravais–Gitter. F¨ ur die Spur einer Matrix ARi −Rj ≡ Aij auf dem Bravais–Gitter folgt TrA =

N X i1

Aii =

N X ii

v (2π)d

Z

v dkA(k) = N (2π)d C

Z dkA(k).

(A.14)

C

Weiterhin gilt f¨ ur eine Funktion f (A) einer Matrix auf dem Bravais–Gitter Z v Trf (A) = N dkf (A(k)). (2π)d C

(A.15)

AUFGABE: Beweise Gl. (A.15) zun¨achst f¨ ur f (x) = x2 und dann durch Verallgemeinerung f¨ ur beliebige analytische (Taylor–entwickelbare) f (x).

B. GAUßINTEGRAL B.1

Integrale

Ein eindimensionales Gaußintegral hat die Form r Z ∞ 2π b2 − 12 ax2 +bx dxe = e 2a , a > 0. a −∞

(B.1)

Hier kann b auch komplex sein. (F¨ ur komplexes a muss zumindest Re(a) > 0 gelten). F¨ ur ein n–dimensionales Gaußintegral hat man statt a meist eine positiv definite symmetrischer n × n–Matrix A, und statt b einen Vektor b. Es gilt dann  r    Z ∞ (2π)n 1 T −1 1 T T exp b A b . (B.2) dx1 ...dxn exp − x Ax + b x = 2 det A 2 −∞

B.2

Korrelationsfunktion

Wir betrachten das Integral Z Z[{qj }] ≡

−H+

D[Φ]e

P

j

qj Φj

,

D[Φ] ≡ dΦ1 ...dΦN ,

N 1 X Φi Aij Φj H≡ 2

(B.3)

i,j=1

mit positiv definiter symmetrischer N ×N –Matrix A, wobei u ¨ber alle Werte −∞ < Φi < ∞ integriert wird. Die Auswertung ergibt 1 PN Z[{qj }] −1 = e 2 i=1 qi (A )ij qj . Z[0]

Wenn wir andererseits den Erwartungswert R

(B.4)

D[Φ]Φi Φj e−H R D[Φ]e−H

(B.5)

1 PN Z[{qj }] = e 2 i=1 qi Gij qj . Z[0]

(B.6)

Gij ≡ hΦi Φj i ≡ definieren, folgt Gij = (A−1 )ij ,

AUFGABE: a) Beweise Gl. (B.4) und Gl. (B.6), b) berechne Z[0] ≡

R

D[Φ]e−H .

B. Gaußintegral

B.3

127

Fourierdarstellung f¨ ur Gij

Wenn eine Funktion Gij ≡ G(Ri , Rj ) auf dem Bravais–Gitter nur von Ri − Rj abh¨angt, k¨onnen wir Z Z dk dk0 ikRi ik0 Rj ˜ 2 G(Ri , Rj ) ≡ v e e G(k, k0 ) d d C (2π) C (2π) Z v ˜ = G(Ri − Rj , 0) ≡ (B.7) dkeik(Ri −Rj ) G(k) (2π)d C schreiben. F¨ ur die dadurch definierten Fouriertransformierten gilt dann also (2π)d d ˜ ˜ G(k, k0 ) = δ (k + k0 )G(k). v

(B.8)

Falls wie in Gl. (B.6) Gij = (A−1 )ij , so k¨onnen wir die Inverse im Fourierraum benutzten, ˜ d.h. wegen G(k, k0 ) = A˜−1 (k, k0 ) haben wir mit Gl. (A.13) und Gl. (B.8) ˜ G(k) =

B.4

1 . A(k)

(B.9)

Wicksches Theorem

Wir wollen den Erwartungswert R hΦi1 ...Φi2n i ≡

D[Φ]Φi1 ...Φi2n e−H R D[Φ]e−H

(B.10)

berechnen (die Anzahl der Φ muss gerade sein, sonst ist aus Symmetriegr¨ unden der Erwartungswert Null). Zun¨ achst gilt P Z[{qj }] ∂ 2n ∂ 2n − 12 N q G q i=1 i ij j hΦi1 ...Φi2n i = = e , (B.11) ∂qi1 ...∂qi2 n Z[0] qi =0 ∂qi1 ...∂qi2 n qi =0 vgl. Gl. (B.6). Zu der Ableitung tr¨agt nur der n-te Term der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion etwas bei, da ja genau 2n Faktoren der qi auftreten m¨ ussen, also   ∂ 2n 1 1 n X X hΦi1 ...Φi2n i = qα1 ...qαn qβ1 ...qβn Gα1 β1 ...Gαn βn . (B.12) ∂qi1 ...∂qi2 n n! 2 α ...α 1

n

β1 ...βn

In der Ableitungen m¨ ussen nach der Produktregel alle (2n)! Terme auftreten, die durch die Permutationen P der Permutationsgruppe der 2n Indizes α1 ...βn gegeben sind, d.h. formal   1 1 nX GP (i1 )P (i2 ) ...GP (i2n−1 )P (i2n ) . (B.13) hΦi1 ...Φi2n i = n! 2 P

B. Gaußintegral

128

In der Summe u urlich viele der (2n)! Terme gleich. Es geht ¨ber die Permutationen sind nat¨ ja bei der Ableitung darum, die 2n Indizes i1 , ..., i2n auf die n Korrelationsfunktionen G aufzuteilen. Dabei kann n! mal die Reihenfolge der G ge¨andert werden und die Indizes 2n mal innerhalb der G vertauscht werden, ohne Wiederholung gibt es also (2n)! n!2n

(B.14)

verschiedene Summanden. 1 Der Faktor n!2n im Nenner in Gl. (B.13) k¨ urzt sich also gerade heraus, wenn wir in der Summe nur die wirklich verschiedenen Terme mitnehmen. Diese Terme k¨ onnen wir durch alle m¨oglichen paarweise Kontraktionen der Indizes i1 , ..., i2n hinschreiben, also z. B. hΦ1 Φ2 Φ3 Φ4 i = G12 G34 + G13 G24 + G14 G23 .

1

Dieser Ausdruck wird manchmal auch als (2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3)... bezeichnet.

(B.15)

C. FUNKTIONALABLEITUNG C.1

Variationsableitungen

Wir definieren das zun¨ achst relativ allgemein (VOGELSANG, VL G¨ottingen 1988), um z.B. sp¨ater auch die Maxwell- Gleichungen oder die Schr¨odinger-Gleichung aus einem Variationsprinzip herleiten zu k¨ onnen: Statt einer Funktion f (x) betrachten wir allgemeiner vektorwertige Funktionen u(x), d.h. m Funktionen (u1 (x), ..., um (x)) mit ui : Rn → R (sprechen aber trotzdem noch salopp von ‘Funktion’). Statt der Integration u ¨ber das Interval [x1 , x2 ] haben wir nun eine Integration u ¨ber ein Gebiet Ω ∈ Rn , wobei das Integral so aussieht: Z J[u] ≡ dn xF (x, u1 (x), ..., um (x), ∇u1 (x), ..., ∇um (x)) (C.1) Ω

mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion F als Integrand und einmal stetig differenzierbarem u(x). Das Integral J[u] wird als Funktional aufgefaßt: jeder Funktion u(x) wird eine reelle Zahl J[u] zugeordnet. Definition Das Argument u(x) werde ein wenig variiert, d.h. u(x) → u(x) + εh(x) mit  > 0 und h(x) = (h1 (x), ..., hm (x)). Dann heißt d J[u + εh] − J[u] δJu [h] ≡ J[u + εh] = lim (C.2) ε→0 dε ε ε=0 die 1. Variation von J im Punkt u in Richtung h(x). Grob hat man folgende Analogie (vgl MM zur Richtungsableitung): Funktion f (x) Funktional J[u] Punkt x ist ein Vektor ∈ Rn Punkt u ist eine Funktion Gradient ∇f (x) (als lineares Funktional) 1. Variation δJu (als lineares Funktional) Richtungsableitung v∇f (x) in Richtung v 1. Variation δJu [h] in Richtung h. Definition Die Funktion u(x) heißt station¨ arer Punkt des Funktionals J[u], wenn δJu [h] = 0 f¨ ur alle h(x), die auf dem Rand des Gebiets Ω verschwinden. Im obigen Brachistochronen-Problem entspricht das Verschwinden auf dem Rand gerade der Bedingung f (x1 ) = y1 und f (x2 ) = y2 , d.h. die gesuchte Kurve muss durch die zwei Punkte P1 und P2 gehen (SKIZZE).

C. Funktionalableitung

130

Satz 6. Ein station¨ arer Punkt u(x) des Funktionals J[u] gen¨ ugt den Euler-LagrangeGleichungen n X ∂ ∂F ∂F = 0 − ∂xk ∂u1,k ∂u1 k=1 ... = ... n X ∂F ∂ ∂F = 0, − ∂xk ∂um,k ∂um

ui,k ≡

k=1

∂ui . ∂xk

(C.3)

Im Spezialfall n = 1, wo also u(x) = u(t) eine einparametrige Kurve im Rm ist, lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen d ∂F ∂F − = 0 dt ∂ u˙ 1 ∂u1 ... = ... d ∂F ∂F − = 0, dt ∂ u˙ m ∂um

u˙ i ≡

∂ui . ∂t

(C.4)

Beweis: wir betrachten zun¨ achst m = 1, d.h. u(x) = u1 (x), Z d d n J[u1 + εh1 ] = d xF (x, u1 + εh1 , ∇u1 + ε∇h1 ) 0 = dε dε Ω ε=0 ε=0 ! Z n X ∂F ∂F ∂h1 = dn x h1 + ∂u1 ∂u1,k ∂xk Ω k=1  ! Z n X ∂F ∂ ∂F h1 , part. Int., h1 = 0 auf dem Rand. (C.5) = dn x − ∂u1 ∂xk ∂u1,k Ω k=1

Da das f¨ ur beliebige h1 (x) gelten muss, folgt n

X ∂F − ∂u1 k=1



∂ ∂F ∂xk ∂u1,k

 = 0.

(C.6)

F¨ ur m > 0 geht das entsprechend, nur hat man da eine Summe u ¨ber die m verschiedenen hi , und es folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen Gl. (C.3). Ende des Beweises. Die hier vorgestellten Ableitungen sind Teil der Variationsrechnung in der Mathematik.

C.2

‘Physiker-Notation’

Wir betrachten noch einmal den Fall m = 1, d.h. u(x) = φ(x) mit einem skalaren Feld φ(x) und dem Funktional Z J[φ] ≡ dd xF (x, φ(x), ∇φ(x)), (C.7) Ω

C. Funktionalableitung

131

wobei der Integrand F hier ganz allgemein ist und wir statt n nun d f¨ ur die Dimension von x schreiben. Die erste Variation ist wie oben definiert als d δJφ [h] = J[φ + εh] . (C.8) dε ε=0 Ausf¨ uhren der Ableitung liefert Z d d d xF (x, φ + εh, ∇φ + ε∇h) δJφ [h] = dε Ω ε=0 ! Z d X ∂F ∂F ∂h = dd x h+ ∂φ ∂(∂k φ) ∂xk Ω k=1 ! Z d  X ∂ ∂F ∂F − h. = dd x ∂φ ∂xk ∂(∂k φ) Ω k=1 | {z }

(C.9)

δJ ≡ δφ(x)

Damit ist die ‘Physiker–Variationsableitung’ Beispiele: Z J[φ] ≡ Ω

2

d

d x (∇φ(x)) | {z }

δJ δφ(x)

δJ δφ(x)

definiert.

 d  X ∂ ∂F = − ∂xk ∂(∂k φ) k=1

≡F

= −

d X ∂ ∂ 2 φ(x) = −2∆φ(x). (C.10) ∂xk ∂xk k=1

Wir k¨onnen uns die Variationsableitung durch die Entwicklung Z δJ J[φ + εh] = J[φ] + ε dd x h(x) + O(2 ) δφ(x) Ω bei Bedarf immer direkt herleiten (geht so meist am schnellsten).

(C.11)