Höhere Technische Mechanik

Grundlagen der Analytischen Mechanik

Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum

WS 2009/2010

Grundlagen der Analytischen Mechanik Übersicht 1. Grundlagen der Analytischen Mechanik ◦ Kinematische Grundlagen -

Freiheitsgrade Bindungen Generalisierte Koordinaten Virtuelle Verrückungen

◦ Prinzipe der Mechanik -

Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip von d’Alembert Lagrangesche Gleichungen 2.Art Lagrangesche Gleichungen 1.Art

◦ Analyse nichtholonomer Systeme

2. Schwingungen linearer Systeme mit einem Freiheitsgrad 3. Schwingungen linearer Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 4. Schwingungen linearer kontinuierlicher Systeme Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 1/13 Begriffe & Definitionen Synthetische Mechanik Teilgebiet der Mechanik, das unter Anwendung des Schnittprinzips die Bewegung von Körpern und von Systemen von Körpern mit Hilfe von Impuls- und Drehimpulsbilanzen untersucht

Analytische Mechanik Teilgebiet der Mechanik, das ein mechanisches System als Ganzes behandelt, d.h. ohne Einzelkörper durch Freischneiden von ihren Bindungen zu isolieren

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 2/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Freiheitsgrad Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), die unabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eine unabhängige Koordinate beschrieben werden kann

freie Objekte

Freiheitsgrade

Massenpunkt

in der Ebene im Raum

2 3

Starrer Körper

in der Ebene im Raum

3 6

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 3/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Bindung Einschränkung der Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems gemäß des Typs und der Wertigkeit einer Bindung f = N · ffrei −

n X k=1

wk ,

f

Freiheitsgrade eines Systems

N

Anzahl der Körper eines Systems

ffrei Freiheitsgrade der freien Körper

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n

Anzahl der Bindungen eines Systems

wk

Wertigkeit einer Bindung

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 4/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Klassifizierung von Bindungen geometrisch Beschränkung der Lage

kinematisch Beschränkung der Geschwindigkeit

einseitig Ungleichungsbedingung

zweiseitig Gleichungsbedingung

skleronom nicht explizit zeitabhängig

rheonom explizit zeitabhängig

holonom geometrische oder integrierbare kinematische Bindung

nichtholonom einseitige oder nicht integrierbare kinematische Bindung

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 5/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiele zur Klassifizierung von Bindungen a) Φk (q1 , . . . , q3N ) = 0 ֒→ geometrisch, zweiseitig, skleronom, holonom b) Φk (q1 , . . . , q3N , t) ≤ 0 ֒→ geometrisch, einseitig, rheonom, nichtholonom c) Φk (q1 , . . . , q3N , q˙1 , . . . , q˙3N , t) = 0 ֒→ kinematisch, zweiseitig, rheonom 3N X aki q˙i + bk = 0 , aki = aki (q1 , . . . , q3N , t) i=1 bk = bk (q1 , . . . , q3N , t) ∂akj ∂aki ∂bk ∂aki = und = ֒→ holonom, falls ∂qj ∂qi ∂t ∂qi Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 6/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Geometrische Bindung

ϕ ℓ

ℓ

m

~v

~v m

x2 + y 2 = ℓ2

x2 + y 2 ≤ ℓ2

zweiseitig

einseitig

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 7/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Kinematische Bindung

z ψ

Koordinaten x, y, θ, ψ, φ Bindungsgleichungen x˙ = rφ˙ sin θ

φ˙

y˙ = rφ˙ cos θ x

r

nichtholonomes System

~v

y

θ

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 8/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Generalisierte Koordinaten Die Konfiguration eines holonomen Systems mit f Freiheitsgraden kann durch f voneinander unabhängigen (generalisierten) Koordinaten qi , i = 1, . . . , f eindeutig beschrieben werden, sofern die folgenden Bedingungen erfüllt sind: ◮

Die Ortsvektoren sind durch die generalsierten Koordinaten qi bestimmt: r i = r i (q1 , . . . , qf , t).

◮

Die p Bindungen Φk (r 1 , . . . , r N , t) = 0, k = 1, . . . , p sind für jede beliebige Wahl der generalisierten Koordinaten qi erfüllt.

◮

Die generalisierten Koordinaten qi sind voneinander unabhängig, d.h. es besteht kein funktionaler Zusammenhang der Form g(q1 , . . . , qf , t) = 0.

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 9/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Ergänzende Anmerkungen ◮

Der f -dimensionale Raum, der durch die generalisierten Koordinaten qi aufgespannt wird, bildet den Konfigurationsraum, in dem jeder Punkt q = [q1 , q2 , . . . , qf ] einem möglichen Zustand des Systems entspricht.

◮

Die zeitlichen Ableitungen der generalisierten Koordinaten, q˙1 , q˙2 , . . . , q˙f , werden als generalisierte Geschwindigkeiten bezeichnet.

◮

Die Wahl der generalisierten Koordinaten qi ist nicht eindeutig.

◮

˙ 0 ) = q˙ 0 ist Bei bekannten Anfangsbedingungen q(t0 ) = q 0 und q(t der Zustand des Systems im Konfigurationsraum für alle Zeiten über noch festzulegende Bewegungsgleichungen berechenbar.

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 10/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Doppelpendel mit masselosen Stäben und Punktmassen Ortsvektoren     x1 ℓ1 sin ϕ1 r1 = = −ℓ1 cos ϕ1 y1     x2 ℓ1 sin ϕ1 + ℓ2 sin ϕ2 r2 = = y2 −ℓ1 cos ϕ1 − ℓ2 cos ϕ2

y

x ϕ1

ℓ1

Bindungen Φ1 = x21 + y12 − ℓ21 = 0

m1

Φ2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − ℓ22 = 0 Freiheitsgrade f = 2

ϕ2

Wahl der generalisierten Koordinaten q 1 = ϕ 1 , q2 = ϕ 2 Prof. Dr. U. Zwiers

ℓ2

m2 STME

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 11/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Doppelpendel mit homogenen Stäben ohne Punktmassen Ortsvektoren     x1 (ℓ1 /2) sin ϕ1 r1 = = y1 −(ℓ1 /2) cos ϕ1     x2 ℓ1 sin ϕ1 + (ℓ2 /2) sin ϕ2 r2 = = y2 −ℓ1 cos ϕ1 − (ℓ2 /2) cos ϕ2

Bindungen Φ1 = x21 + y12 − ℓ21 /4 = 0

y

x ϕ1 ℓ1 , m1

Φ2 = (x2 − 2x1 )2 + (y2 − 2y1 )2 − ℓ22 /4 = 0 Φ3 = tanϕ1 + x1 /y1 = 0 Φ4 = tanϕ2 + (2x1 − x2 )/(2y1 − y2 ) = 0 Freiheitsgrade f = 2 ⇒ q1 = ϕ1 , q2 = ϕ2 Prof. Dr. U. Zwiers

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ϕ2 ℓ2 , m2 13/35

Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 12/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Virtuelle Verrückungen Bewegung eines mechanischen Systems mit den folgenden Merkmalen: ◮

gedachte Verschiebung oder Drehung,

◮

infinitesimal klein,

◮

mit den Bindungen des Systems verträglich.

r = r(q1 , q2 , . . . , qf )

⇒

δr =

∂r ∂r ∂r δq1 + δq2 + · · · + δqf ∂q1 ∂q2 ∂qf

δϕ

verträglich Prof. Dr. U. Zwiers

unverträglich STME

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen 13/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiele zu virtuellen Verrückungen a

δyA

ϕ

F1

ϕ+δϕ b

δϕ

δw1 = a · δϕ δw2 = b · δϕ

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ℓ

F2

δw1

δw2

δxB

yA = ℓ cos ϕ xB = ℓ sin ϕ dyA δϕ = −ℓ sin ϕ · δϕ dϕ dxB δxB = δϕ = ℓ cos ϕ · δϕ dϕ δyA =

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 1/16 Hauptproblem der Dynamik Bewegungsgleichungen eines gebundenen Systems mi r¨ i = F i + Ri , N

i = 1, . . . , N

(*)

Anzahl der Massenpunkte

mi Masse r i Ortsvektor F i Vektor der eingeprägten Kräfte Ri Vektor der Reaktionskräfte Unbekannte: 6N

Komponenten von r i und Ri

Gleichungen: 3N Bewegungsgleichungen (*) p holonome Bindungsgleichungen ——— 3N−p fehlende Beziehungen (=Anzahl Freiheitsgrade) Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 2/16 Hauptproblem der Dynamik (Forts.) Ideale Bindung Eine Bindung ist ideal, wenn die Reaktionskräfte zu beliebigen virtuellen Verrückungen keine virtuelle Arbeit leisten, d. h. N X RT δW = i δr i = 0 . i=1

N X

(Rx,i δxi + Ry,i δyi + Rz,i δzi ) = 0

i=1

Formulierung in f generalisierten Koordinaten qi g1 (. . . ) δq1 + g2 (. . . ) δq2 + · · · + gf (. . . ) δqf = 0 | {z } | {z } | {z } → f Bedingungen =0 =0 =0

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 3/16 Fundamentalgleichung der Dynamik

Fundamentalgleichung der Dynamik Bei der Bewegung eines mechanischen Systems mit idealen Bindungen ist die Summe der Arbeiten, die von den eingeprägten Kräften F i und den Trägheitskräften −mi r¨ i auf beliebigen virtuellen Verschiebungen geleistet werden, gleich null, also N X (F i − mi r¨ i )T δr i = 0 . i=1

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 4/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Prinzip der virtuellen Arbeit Ein mechanisches System befindet sich im Gleichgewicht, wenn bei einer virtuellen Verschiebung aus der Gleichgewichtslage heraus die dabei von den eingeprägten Kräften geleistete virtuelle Arbeit verschwindet, also N X FT i δr i = 0 . i=1

Prinzip von d’Alembert Jede Lage eines Systems während der Bewegung kann als eine Gleichgewichtslage aufgefasst werden, wenn zu den eingeprägten Kräften die Trägheitskräfte hinzugenommen werden. Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 5/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Annahme: holonomes System r i = r i (q1 , . . . , qf , t) , δr i =

f X ∂r i k=1

"

∂qk

f N  X X k=1

δqk ,

F i − mi r¨ i

i=1

i = 1, . . . , N i = 1, . . . , N

T

# ∂r i δqk = 0 ∂qk

f Bewegungsgleichungen:

N  X

F i − mi r¨ i

i=1

T

∂r i =0 ∂qk

k = 1, . . . , f

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 6/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Beispiel: Gleichgewicht einer Hebebühne Prinzip der virtuellen Arbeit GT δr G + F T δr F = 0 Ortsvektoren     a 2 cos α , rG = rF = 2 sin α 0

a

Virtuelle Verschiebungen   ∂r F −2 sin α δr F = δα = δα 0 ∂α   ∂r G 0 δα = δr G = δα 2 cos α ∂α

bc

G

ℓ

ℓ

ℓ α

ℓ bc

F

Hebekraft: F = G cot α Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 7/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Beispiel: Rollende Seiltrommel Kinematische Beziehungen δxS = r2 δϕ δxA = δy = (r2 − r1 ) δϕ

m1 , k r2 r1

Virtuelle Arbeiten δWe = m2 g δy bc

δWT = −(m1 x ¨S δxS + m1 k 2 ϕ¨ δϕ + m2 y¨ δy) Prinzip von d’Alembert δWe + δWT = 0

m2

Winkelbeschleunigung (r2 − r1 )m2 g ϕ¨ = 2 2 (r2 + k )m1 + (r2 − r1 )2 m2 Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 8/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) „Kochrezept“ zur Anwendung des Prinzips von d’Alembert 1. Aufstellen der Bindungsgleichungen Φi = 0 2. Ermitteln der Anzahl an Freiheitsgraden und Festlegen der verallgemeinerten Koordinaten qi 3. Aufstellen der Ortsvektoren als Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten (2) 4. Bestimmen der virtuellen Verschiebungen 5. Bestimmen der Beschleunigungskomponenten 6. Formulieren der virtuellen Arbeit δW 7. Substituieren der virtuellen Verschiebungen (4) und der Beschleunigungskomponenten (5) in die Gleichung δW = 0 8. Extrahieren der Bewegungsgleichungen aus (7) für δqi 6= 0 Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 9/16 Generalisierte Kräfte Annahme: holonomes System r i = r i (q1 , . . . , qf , t) , δr i =

f X ∂r i k=1

δWe =

∂qk

δqk ,

"N f X X k=1

∂r i FT i ∂qk i=1

|

i = 1, . . . , N i = 1, . . . , N

#

{z } = Qk

δqk generalisierte Kraft

◦ Im Gleichgewicht sind alle generalisierten Kräfte gleich null. ◦ Die generalisierten Kräfte besitzen nicht notwendigerweise die Dimension einer Kraft. Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 10/16 Generalisierte Kräfte (Forts.) Zur Bestimmung der generalisierten Kraft Qk wird die generalisierte Koordinate qk variiert und die entsprechende virtuelle Arbeit δWek bestimmt: δWek , k = 1, . . . , f Qk = δqk Allgemein gilt

Qk = Qk (q1 , . . . , qf , q˙1 , . . . , q˙f , t)

Wichtiger Sonderfall: (gewöhnliche) Potentialkräfte Qk = −

∂Π , ∂qk

Π = Π(q1 , . . . , qf , t) Qk = Qk (q1 , . . . , qf , t)

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 11/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art N X 1 mi vi2 Kinetische Energie: T = 2 i=1

Allgemeine Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art   d ∂T ∂T = Qk , k = 1, . . . , f − dt ∂ q˙k ∂qk

Gültigkeit: beliebige holonome Systeme Lagrange-Funktion:

L=T −Π

Spezielle Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art   d ∂L ∂L = 0, k = 1, . . . , f − dt ∂ q˙k ∂qk

Gültigkeit: holonome Systeme mit auschließlich Potentialkräften Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 12/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Beispiel: Massenpunkt auf Parabelbahn Bindungsgleichung Φ = y − cx2 = 0 Kinetische Energie 1 1 T = mv 2 = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) 2 2 Potentielle Energie Π = mgy

m

Lagrange-Funktion 1 L = T − Π = m(x˙ 2 + 4c2 x2 x˙ 2 − 2gcx2 ) 2 Bewegungsgleichung x ¨(1 + 4c2 x2 ) + 4c2 xx˙ 2 + 2gcx = 0 Prof. Dr. U. Zwiers

y

STME

x

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 13/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Dissipation Übergang einer umwandelbaren (entropiefreien) Energie in (entropiebehaftete) Wärmeenergie Wesentliche Reibungstypen Haftreibung

FR ≤ FR,max = µ0 FN

Gleitreibung

F R = −µ FN

Rollreibung Reibung in Fluiden Prof. Dr. U. Zwiers

v v v F R = −µR FN v 1 v F R = − cw Aρ v 2 2 v STME

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 14/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Generalisierte Reibungskraft

QRk =

N X

FT Ri

i=1

∂r i ∂P =− ∂qk ∂ q˙k

mit F Ri = −hi (vi )

vi vi

vi

Dissipationsfunktion

P =

N Z X

hi (¯ vi ) d¯ vi

i=1 0

Modifizierte Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art   d ∂L ∂P ∂L + = 0, k = 1, . . . , f − dt ∂ q˙k ∂qk ∂ q˙k Gültigkeit: holonome Systeme mit Dissipation (Reibung)

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 15/16 Lagrangesche Gleichungen 1. Art p Bindungen

Φk (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0  N  X ∂Φk T ∂r i

i=1

Reaktionskräfte

Ri =

p X k=1

λk

δr i = 0 ,

∂Φk , ∂r i

k = 1, . . . , p

i = 1, . . . , N

Erste Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art mi r¨ i = F i +

p X k=1

λk

∂Φk , ∂r i

i = 1, . . . , N

Gültigkeit: holonome und nichtholonome∗ Systeme Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 16/16 Lagrangesche Gleichungen 1. Art (Forts.) p Bindungsgleichungen

Φk (q1 , q2 , . . . , q3N , t) = 0 3N X ∂Φk i=1

verallg. Reaktionskräfte

∂qi

Qi =

δqi = 0 ,

p X k=1

λk

∂Φk , ∂qi

k = 1, . . . , p

i = 1, . . . , 3N

Zweite Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art   p ∂ ∂L ∂L X ∂Φk = , i = 1, . . . , 3N λk − dt ∂ q˙i ∂qi ∂qi k=1

Gültigkeit: holonome und nichtholonome∗ Systeme Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Analyse nichtholonomer Systeme 1/4 Systemeigenschaften Räumliches System mit N Massenpunkten p holonome Bindungen:

Φk = 0 mit Φk = Φk (q1 , q2 , . . . , q3N , t)

g nichtholonome Bindungen:

3N X

aki q˙i + bk = 0

i=1

mit aki = aki (q1 , q2 , . . . , q3N , t) bk = bk (q1 , q2 , . . . , q3N , t)

Die Anzahl der generalisierten Koordinaten eines räumlichen Systems mit p holonomen und g nichtholonomen Bindungen beträgt f = 3N − p Prof. Dr. U. Zwiers

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Analyse nichtholonomer Systeme 2/4 Systemeigenschaften (Forts.) f generalisierte Koordinaten: q1 , . . . , qf kinematische Bindungen:

Bedingung für Holonomität:

˜T a q=0 k d˜  ak1  ..  ˜k =  . a  akf bk

 dq1  ..      q= .   , d˜  dqf   dt 

∂˜ akj ∂˜ aki = , ∂ q˜j ∂ q˜i



i, j = 1, 2, . . . , ℓ

ℓ = f + 1 rheonome Systeme ℓ=f Prof. Dr. U. Zwiers

skleronome Systeme STME

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Analyse nichtholonomer Systeme 3/4 Systemeigenschaften (Forts.) Ein skleronomes System mit f ≤ 2 generalisierten Koordinaten ist immer holonom. Für die Anzahl der Bedingungen, die eine kinematische Bindung erfüllen muss, damit sie integrierbar und damit holonom ist, gilt   ℓ! ℓ z= = 3 3!(ℓ − 3)! ℓ z

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1 0

2 0

3 1

4 4

5 10

6 20

STME

... ...

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Grundlagen der Analytischen Mechanik Analyse nichtholonomer Systeme 4/4 Bewegungsgleichungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren Die Bewegung jedes mechanischen Systems mit endlich vielen Freiheitsgraden kann durch ein System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben werden.

Bewegungsgleichungen für nichtholonome Systeme   g X d ∂T ∂T µk aki = 0 , i = 1, . . . , f − Qi − − dt ∂ q˙i ∂qi k=1

f X

aki q˙i + bk = 0 ,

k = 1, . . . , g

i=1

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