PROYECTO Coordenadas polares: curvas maravillosas Nombre__________________________________________ curso_________ fecha__________________ Transformación de coordenadas La navegación aérea es una empresa muy arriesgada, ya que cuando se vuela a grandes altitudes no existen puntos de referencia para que el piloto de la aeronave pueda guiarse, por lo cual sería muy fácil perder el rumbo. Por eso en la Segunda Guerra Mundial fue inventado el radar, un aparato que envía una señal electromagnética y que al recibirla de vuelta determina la posición de un objeto con respecto al radar.

C o o rd e n a d a s p o la re s : c u r v horizontales a s m a r a v i l sino l o s a s por

La posición de los objetos en el radar no se representa por medio de las distancias verticales y medio de un ángulo y una línea recta que determina la distancia desdeel radar. c En c i ó n la gráfica del ejemplo el avión (representado con el punto B) se encuentra a 2 km con una declinación de 42.24°. De la torre de control (representada con el punto A).

Norberto Jaime Chau Pérez | [email protected] Roy Wil Sánchez Gutiérrez | [email protected]

In tro d u

8QDIRUPDIDPLOLDUGHORFDOL]DUXQSXQWRHQHOSODQRFDUWHVLDQRHVHVSHFLÀFDQGRVXVFRRUGHQDGDV rectangulares (x; y); es decir, dando su abscisa x y su ordenada y relativos a los ejes perpendiculares dados. En algunos problemas, es más conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas polares. Las coordenadas de un punto en coordenadas polares es un par de números reales (r, T) [2] y [3].

En estos tiempos, con el uso múltiple de las computadoras, se debería enseñar en el colegio las coorGHQDGDVSRODUHVSDUDSRGHUJUDÀFDUODV\OXHJRH[SOLFDUDORVDOXPQRVODVGLVWLQWDVIRUPDVTXHDGRSWD ODQDWXUDOH]DODIRUPDGHODVÁRUHVGHORVFDUDFROHVHWF3RUHMHPSORHVSRVLEOHUHSUHVHQWDUPDWHPiWLFDPHQWHODÁRUPRVWUDGDHQODVLJXLHQWHIRWRJUDItDÀJXUD /DVFRRUGHQDGDVSRODUHVD\XGDQD JUDÀFDUHVWRVQXPHURVRVSpWDORV>@\>@

INTRODUCCION

En estos tiempos, con el uso múltiple de las computadoras, se debería enseñar en el colegio las coordenadas polares para poder graficarlas y luego explicar a los alumnos las distintas formas que adopta la naturaleza: la forma de las flores, de los caracoles, etc. Por ejemplo, es posible representar matemáticamente la flor mostrada en la siguiente fotografía. Las coordenadas polares ayudan a graficar estos numerosos pétalos. )LJXUD 5HSUHVHQWDXQDÁRUFRQYDULRVSpWDORV KWWSZZZÁRUHVGLJLWDOHVFRP

ESTANDARIZA LA CALCULADORA § 7T · © 2 ¹

r 3 cos¨ ¸  1 /DJUiÀFDGHODFXUYDHQFRRUGHQDGDVSRODUHVUHSUHVHQWDDSUR[LPDGDPHQWHXQDÁRU

Lo primero que vamos a hacer es definir el modo de la calculadora, oprime MODE para visualizar la pantalla de modos, seleccione POL (trabajaremos con ecuaciones polares). Pulsa ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare.

&RPELQDQGRiQJXORVFRQIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVVHSXHGHORJUDUUHSUHVHQWDUXQDPDULSRVD>@ÀJXra 2).



ACTIVIDADES TRACEMOS FUNCIONES CIRCUNFERENCIAS Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x2 +y2 =a2 Aplicando transformaciones tenemos: x2 +y2 =a2  (rcosθ)2 +(rsenθ)2 =a2  r2 cos2 θ+r2sen2 θ=a2  r2(cos2 θ+sen2 θ)=a2  r2 =a2  r = a ACTIVIDAD 1 Traza en la calculadora dos circunferencias una de r = 2 y otro r = 4. Para ello digita Y= y marca las ecuaciones pedidas (r = 2, r = 4). Circunferencias con centro en (a, φ). Observemos el gráfico:

!"##$%&'(%()!*#+($&)

!"#$%&'()*( Graficar r

6 1  2 sen T

SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje S hacia abajo. 2

De allí obtenemos el triángulo: Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

ACTIVIDAD 2 !

Borra las ecuaciones registradas y digita r = 4 cos(θ) (No olvides Pulsar ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare). Esta circunferencia tiene centro en ______________ y su radio es:______________

&'&%()*+! CARACOLES

"()#$*+),),$)%-&%+.,$/"(&'$0)$(&$1"'2&3$ r a r b cos T $"$0)$ Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: la forma r = a ± b cos θ o r = a ± b sen θ b sen T $

"#$*')#$%&#"#3$ ACTIVIDAD

3

#)$((&2&$%&',-(-,*+$

Graficar r = 6 + 6 cos θ

!"#$%&'()(

Resultando, finalmente:

Graficar r 6  6 cos T

Esta gráfica presenta simetría eje polar, es decir: yf (digita. T) f (  T) Borra lasalfunciones

Dibuja con colores en el plano derecho: 1. r = 6 − 6 cos θ 2. r = 6 + 6 sen θ 3. r = 6 − 6 sen θ CARACOL CON RIZO

!

b !&'!(()*)+!!"#$%&'(&(%$)$%&!(%&'()"*&!

ACTIVIDAD 4

!"#$%&'(*(

Digita r = 3 + 6 cos θ

Graficar r 3  6 cos T

Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.!

Borra las funciones y digita: Dibuja con colores en el plano derecho: !"#$%&'(+( Graficar r 3  6 cos T

1. r = 3 + 6 cos θ 2. r = 3 − 6 cos θ 3. r = 3 − 6 sen θ 4. r = 3 + 6 sen θ

ROSAS La gráfica de la curva r = 2cos(4θ) n coordenadas polares representa aproximadamente una flor. !

ACTIVIDAD 5 99 Digita la anterior ecuacion Cuadra la ventana oprimiendo WINDOW, marca Y min y X min -2,5, Y max y X max 2.5. Te apareció la flor?______ Ahora digita (marca ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare)

⎛ 7 ⎞ r = 3cos⎜ θ ⎟ +1 ⎝ 2 ⎠

€

Figura 2 Representa la curva de forma de una mariposa dada por la ecuación

r

§ 7T · 3 cos¨ ¸  1 © 2 ¹

La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas. /DVDELGXUtDTXHQRVGDODYLGDDORODUJRGHODVGLIHUHQWHVHWDSDVSRUODVTXHDWUDYHVDPRV7RGDVQRV DSRUWDQHVHJUDQLWRGHDUHQDTXHVHTXHGDHQQXHVWUDVYLGDV(VWDVKHUPRVDVHVSHFLHVVHSXHGHQUHpresentar matemáticamente usando coordenadas polares.

!"##$%&'(%()!*#+($&)

!"#$%&'( 4 sen•2 T Rosas con un número de pétalos pares e impares consideramos dos casos: SOLUCIÓN: 1. Si n es PAR es una rosa de 2n pétalos r = 4sen(2θ)

Graficar r

Por inspección concluimos que es ACTIVIDAD 6 una rosa de 4 pétalos

1. Grafica r = 4sen(2θ) Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos

!!

!

2. En la parte izquierda dibuja la función r = 4cos(3θ). ¿Cuántos pétalos tiene? 3. Descubre una flor con 5 y 6 pétalos. Escribe su ecuación y dibújala en la parte derecha.r 3 cos§¨© 72T ·¸¹  1 Flor con 5 pétalos: r = __________________ Flor con 6 pétalos: r = __________________

Figura 2 Representa la curva de forma de una mariposa dada por la ecuación

La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas /DVDELGXUtDTXHQRVGDODYLGDDORODUJRGHODVGLIHUHQWHVHWDSDVSRUODVTXHDWUDYHVDPRV7RGDVQR DSRUWDQHVHJUDQLWRGHDUHQDTXHVHTXHGDHQQXHVWUDVYLGDV(VWDVKHUPRVDVHVSHFLHVVHSXHGHQUH presentar matemáticamente usando coordenadas polares.

*+,!&'!-./!!"#$%&'% n %(')*+"#! MARIPOSAS

!"#$%&'( La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en Graficar r diferentes formas. La sabiduría que nos da la vida a lo largo de las diferentes 4 cos 3T etapas por las que atravesamos. Todas nos aportan ese granito de arena que se SOLUCIÓN: queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden representar matemáticamente usando coordenadas polares. Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos cosϑ

− 2cos( 4ϑ ) graficada en coordenadas polares representa la forma de una mariposa. La ecuación r = e La gráfica es la siguiente (figura 4). Figura 3 Una mariposa 7RPDGRGHZZZLQVHFWDULXPYLUWXDOFRP

ACTIVIDAD 7 € la ecuación r = e cosϑ − 2cos( 4ϑ ) . Coincide con la siguiente gráfica: Digita

/DHFXDFLyQJUDÀFDGDHQFRRUGHQDGDVSRODUHVUHSUHVHQWDODIRUPDGHXQD r e cos T  2 cos(4T ) PDULSRVD>@/DJUiÀFDHVODVLJXLHQWHÀJXUD 

2

€

!

101

)LJXUD *UiÀFDGHODHFXDFLyQssssssssssssssssssssssssssssss r e cos T  2 cos(4T )

FLyQTXHUHSUHVHQWDDXQDPDULSRVDFRQPD\RUDSUR[LPDFLyQHVOD cos T

5

§T ·

Dibuja la siguiente ecuación en la claculadora, cuadra la ventana oprimiendo WINDOW, marca Y min y X sin ϑ − 2cos( 4ϑ ) : min -4, Y max y X max 4. Ecuación r = e Otra

r =e

ecuación

que

representa

a

)LJXUD cosϑ*UiÀFDGHODHFXDFLyQssssssssssssssssssssssssssssss r 5 e cos T  2 cos(4T )

una

mariposa

con

mayor

aproximación

es

la

ecuación

⎛ ϑ ⎞ − 2cos( 4ϑ ) + sin €⎜ ⎟ Fue descubierta por Temple H. Fay y publicada en el artículo “The Butterfly ⎝ 12 ⎠

Curve”, American Mathematical Monthly, mayo de 1989. En esta, se debe tener en cuenta el intervalo LyQTXHUHSUHVHQWDDXQDPDULSRVDFRQPD\RUDSUR[LPDFLyQHVOD cos T

donde

se §encuentra 5 T ·

el

ángulo

para

generar

las

curvas

SDUDÀJXUD )XHGHVFXELHUWDSRU T )  sin ¨ ¸ e  2 cos(4cos 0 d⎛Tϑd⎞ 24 S © 124¹ϑ + sin 5 ⎜ ⎟ y dibúla en la parte derecha. r = e ϑ − 2cos

€

interiores.

Digita

la

ecuación

( )

⎝ 21⎠ D\\SXEOLFDGDHQHODUWtFXOR´7KH%XWWHUÁ\&XUYHµ$PHULFDQ0DWKHPDWLFDO0RQWKO\PD\R HVWDVHGHEHWHQHUHQFXHQWDHOLQWHUYDORGRQGHVHHQFXHQWUDHOiQJXORSDUDJHQHUDUODV iores.

€

ddddd)LJXUD

§T · *UiÀFDGHODHFXDFLyQffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff r e cos T  2 cos(4T )  sin 5 ¨ ¸ Ejercicios © 12 ¹ GHVFXELHUWDSRU7HPSOH+)D\ I. Escoge una mariposa, una flor y un caracol. Dibújalos en el papel periódico y/o cartulina, coloréalos a tu gusto y escribe la ecuación que representa cada figura. 3