REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO BARINAS ...
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO BARINAS UNEFA
Complemento para evaluar parte de la Unidad III -Matemática II Sección F – Ingeniería de Petróleo Lcdo. Eliezer Montoya -
Coordenadas Polares y graficas polares Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver Figura 1)
Plano Polar o trigonométrico En trigonometría vimos que : cateto opuesto y 1) sin θ = ⇒ sin θ = ∴ y = r.sin θ hipotenusa r cateto adyacente x 2) cos θ = ⇒ cos θ = ∴ x = r.cos θ hipotenusa r sin θ cateto opuesto y 3) tan θ = = ⇒ tan θ = ∴ x ≠ 0 cos θ cateto adyacente x Por el teorema de Pitágoras : x 2 + y 2 = (r.cos θ ) 2 + (r.sin θ )2 = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ ) 1 2
2
x +y =r
Lcdo. Eliezer Montoya
2
Gráficas en Coordenadas Polares
⇒ r = ± x2 + y 2
Por tanto: Ejemplo 1: Veamos la grafica de r = 1 +
6
π
θ para 0 ≤ θ ≤ 2π
La tabla de valores seria: Grados radianes
0
θ = t (theta ) 0º Grados sexagesimales
r = f (θ )
1
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
2
2π 3
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
π
π
π
6
3
30º
2
La grafica de r = 1 +
6
π
t hecha en el software graphmática es 10
5
0 -15
-10
-5
0
5
10
15
-5
-10
La grafica anterior de la ecuación polar r = f (θ ) es un una curva en forma de espiral .
I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Podemos concluir que si a > 0 ( a es una constate positiva) la grafica de
r = aθ para θ ≥ 0 Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de
r = e aθ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Es llamada espiral logarítmica
Ejemplo 2 Veamos la grafica de r = e(0.3t ) para 0 ≤ θ ≤ 2π La tabla de valores seria: 0 π Grados π π 2π 5π radianes 6 3 2 3 6 θ = t (theta )
II .- EL Cardiode: Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones
r = a (1 ± cos θ )
r = a (1 ± sin θ )
Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN)
Ejemplo 3 Veamos la grafica de r = 2(1 − cos θ ) La tabla de valores es:
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2π
360º
6.59
Grados radianes
0
θ = t (theta )
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
2
2π 3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
3
3.73 4
2
1
0.27
0
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º 60º 45º Grados sexagesimales 0 0.27 0.59 1 r = f (θ )
3.73 3
La grafica polar de r = 2(1 − cos θ ) es
2
0 -4
-2
0
2
-2
Ejemplo 4 Veamos la grafica de r = 4(1 + cos θ ) = 4 + 4 cos θ
4
2
0 -2
0
2
4
6
8
10
-2
-4
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
La tabla de valores de r = 4(1 + cos θ ) queda como ejercicio para el estudiante Grados radianes
0
θ = t (theta ) 0º Grados sexagesimales
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
2
2π 3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
r = f (θ ) Ejemplo 5 Veamos la grafica de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ 4
3
2
1
0 -2
-1
0
1
2
3
4
-1
La tabla de valores de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ Grados 0 π π π π 2π 5π radianes 6 4 3 2 3 6 θ = t (theta ) 0º 30º Grados sexagesimales 2 3 r = f (θ )
45º
60º
90º
3.41 3.73 4
120º
150º
3.73 3
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
1
0.26
0
0.26
1
2
Ejemplo 6 Veamos la grafica de r = 3(1 − sin θ ) = 3 − 3sin θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
La tabla de valores de la grafica polar r = 3(1 − sin θ ) queda como ejercicio para el estudiante: 0 π Grados π π π 2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π radianes 6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6 θ = t (theta ) 0º Grados sexagesimales
30º
45º
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
r = f (θ ) III. Limaçon Si a y b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones
r = a ± b cos θ
r = a ± b sin θ
Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa CARACOL). Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón a . b a 1. Si 0 < < 1 es decir, 0 < a < b ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a b a 2. Si = 1 es decir, a = b ⇒ El limaçon es un Cardiode b a a 3. Si 1 < < 2 es decir, 0 < < b < a ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b b 2
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2π
360º
a a es decir, 0 < b < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un b 2 circulo levemente torcido- Figura c 4. Si 2 ≤
Ejemplo 7
( b ) < 1 , entonces se trata de un caracol o
Grafiquemos r = 1 + 2 cos θ vemos que a limaçon con lazo.
Entonces, la grafica polar de r = 1 + 2 cos θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
1
0 0
1
2
3
4
-1
-2
IV. LEMNISCATE Si a es una constante positiva, la grafica polar de: r 2 = a 2 cos 2θ
o
r 2 = a 2 sin 2θ
es llamada LEMNISCATE
Ejemplo 9: Graficar: r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ )
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Viendo la grafica r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ ) en el software graphmatica tenemos: 1.5
1
0.5
0 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
Ejemplo 10: Graficar r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ ) 3
2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ ) π π π π 2π 5π π 6 4 3 2 3 6
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
0º
30º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
Completa la tabla de Grados radianes
θ = t (theta ) Grados
Lcdo. Eliezer Montoya
45º
60º
90º
120º
150º
180º
Gráficas en Coordenadas Polares
sexagesimales
r = f (θ )
V. N-PETALOS DE ROSA Si a es una constante positiva, la grafica polar de: r = a cos kθ
r = a sin kθ
o
Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:
k si k es un entero impar N = 2k si k es un entero par *Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma r = a cos θ r = a sin θ las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 11: Graficar: r = 3sin 3θ (rosa de 3 pétalos) y r = 5sin 4θ (rosa de ocho pétalos) Completa la tabla de r = 3sin 3θ (usa más intervalos para que logres ver mejor la grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes Grados radianes
0
θ = t (theta ) 0º Grados sexagesimales 0 r = f (θ )
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
2
2π 3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
-3
0
3
0
-3
0
3
0
-3
0
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
3
2.12 0
Si usamos los ángulos opuestos Grados radianes
0
θ = t (theta ) r = f (θ )
0
−
π 6
-3
−
π 4
-2.12
− 0
π 3
−
π 2
3
La grafica polar de r = 3sin 3θ :
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2
1
0 -3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
La grafica de r = 5sin 4θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
3
4
2
0 -6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
Su tabla de valores 0
Grados radianes
θ = t (theta )
π
π
π
π
12
6
4
30º
45º
0º 15º Grados sexagesimales 0 4.3 r = f (θ )
4.3 0
2π 3
3π 4
5π 6
11π 12
π
2
7π 12
90º
105
120º
135
150º
165
180º
4.3
4.3
0
-4.3
-4.3
0
π
3
5π 12
60º
75º
4.3 4.33 0
Teorema Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica r = f (θ ) en el punto
( r ,θ ) entonces: dr dy + r.cos θ f ´(θ ) sin θ + f (θ ) .cos θ dθ m= = dθ = dr dx f ´(θ ) cos θ + f (θ ) .( − sin θ ) cos θ − r.sin θ dθ dθ
sin θ
Como r = f (θ ) esta definida en ecuaciones paramétricas x = f (θ ) cos θ y y = f (θ ) sin θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS: Aquí C , a y b Son constantes Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el eje polar Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si b > 0 , debajo del eje polar si b < 0
θ =C r sin θ = b r cos θ = a
π
Recta paralela al eje izquierda del eje
2
, a la derecha del eje
π 2
si a > 0 ; a la
π
si a < 0 . 2 Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades
r =C r = 2a.cos θ
Circunferencia ; radio a tangente al eje
π 2
, centro en el eje polar o
en su prolongación
r = 2a.sin θ
Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje
π 2
o en su prolongación
Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases Grados radianes
0
θ = t (theta )
3π 4
5π 6
π
2
2π 3
90º
120º
135º
150º
180º
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º 45º 60º Grados sexagesimales
r = f (θ )
Grados radianes
θ = t (theta )
7π 6
210º Grados sexagesimales
5π 4
4π 3
3π 2
5π 3
7π 4
11π 6
2π
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
r = f (θ )
Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina 764
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Referencias Bibliográficas
[1] L LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill
[ 2] LEITHOLD Louis [3]
(1998) Calculo (VII edición ) Edit Oxford
MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition) U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.
