GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 3. Curvas.

1. Sistema de coordenadas polares. En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas cartesianas. Un punto del plano tiene un único par de coordenadas cartesianas. Sin embargo, tiene infinitos pares de coordenadas polares. Esto tiene interesantes consecuencias cuando usamos coordenadas polares para representar y dibujar curvas, como veremos en la próxima sección de esta lección. DEFINICIÓN (COORDENADAS POLARES). Fijamos un origen O (usualmente el origen de coordenadas) en el plano y un rayo que parte de O (usualmente el semieje positivo OX ).

Cada punto P del plano se puede definir asignándole un par de coordenadas polares ( r , θ ) , de forma que r es la longitud del segmento OP y θ es el ángulo (orientado) desde el rayo inicial hasta el segmento OP. OBSERVACIÓN. El ángulo polar θ es positivo cuando se mide en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y es negativo cuando se mide en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. El ángulo polar no es único: basta sumar al ángulo polar 2π para obtener el mismo punto, es decir, los puntos de coordenadas polares ( r , θ ) y ( r , θ + 2π ) son el mismo. Esta problema de unicidad se resuelve fijando la variación del ángulo polar en un intervalo de amplitud 2π , que suele ser el intervalo [ 0, 2π ) . No obstante, a veces, interesa considerar valores negativos del ángulo polar y considerar la variación en otro intervalo de longitud 2π , por ejemplo ( −π , π ] , pero también se pue-

den usar otros. Por ejemplo, el punto de coordenadas polares r = 2 y θ =

nadas r = 2 y θ = −

11π . 6

π 6

también tiene coorde-

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OBSERVACIÓN. Si mantenemos r fijo en un valor constante r = a > 0, el punto P(r , θ ) dista a unidades del origen O. Cuando el ángulo polar θ varía en un intervalo de amplitud 2π el punto P recorre una circunferencia de radio a > 0, centrada en el origen O.

Por el contrario, si mantenemos fijo el ángulo polar en un valor constante θ = θ 0 y hacemos variar

r en el intervalo [ 0, ∞ ) , el punto P(r ,θ ) recorre un rayo que parte del origen de coordenadas O

que forma un ángulo θ 0 con el eje OX . Relación entre coordenadas polares y cartesianas. Observa el siguiente dibujo.

Sabemos que la relación entre coordenadas polares y cartesianas viene dada por las igualdades x = r cos θ e y = r sen θ . Recíprocamente, se verifica que r = x 2 + y 2 . La fórmula para el ángulo polar es algo más complicada. En primer lugar recordemos la gráfica de la función arcotangente.

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y π π Si x > 0, entonces θ = arctan . Por otra parte, si x = 0, entonces θ = si y > 0, pero θ = − si x 2 2 y −y ⎛ π ⎞ y < 0. Si x < 0 e y > 0, entonces arctan = arctan ∈ ⎜ − , 0 ⎟ . Entonces x −x ⎝ 2 ⎠

θ = arctan Por el contrario, si y < 0, entonces arctan

y ⎛π ⎞ + π ∈ ⎜ ,π ⎟. x ⎝2 ⎠

−y ⎛ π ⎞ y = arctan ∈ ⎜ 0, ⎟ . Entonces −x ⎝ 2 ⎠ x

π⎞ y ⎛ θ = arctan − π ∈ ⎜ −π , − ⎟ . x 2 ⎝

⎠

EJEMPLO. (1) Vamos a calcular la ecuación polar de la circunferencia de ecuación cartesiana 2 x 2 + ( y − 3) = 9. Observa la figura.

Operando obtenemos que x 2 + ( y − 3) = 9, 2

x 2 + y 2 − 6 y = 0,

r 2 − 6r sen θ = 0,

r = 6sen θ .

(2) Recíprocamente, vamos a obtener la ecuación cartesiana del conjunto de puntos que verifican la

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ecuación polar r =

⎧ x = r cos θ , 4 ob. Operando como antes, teniendo en cuenta que ⎨ 2 cos θ − sen θ ⎩ y = r sen θ ,

tenemos que r ( 2 cos θ − sen θ ) = 4,

2r cos θ − r sen θ = 4,

2 y − x = 4.

Se trata de los puntos de la recta de ecuación 2 y − x = 4. Simetría en coordenadas polares. Dado un punto P, de coordenadas cartesianas ( x, y ) , recorde-

mos que el simétrico del punto P, respecto del eje OY , tiene por coordenadas ( − x, y ) . Por otra parte, el simétrico de P, respecto del eje OX , tiene por coordenadas ( x, − y ) . Finalmente, el simétrico del punto P, respecto del origen O, tiene por coordenadas ( − x, − y ) . Recuerda que esto es particularmente interesante para estudiar la simetría de la gráfica de ciertas funciones. Algo similar podemos hacer con coordenadas polares. Observa el siguiente gráfico.

Dado el punto P de coordenadas polares ( r , θ ) ; el simétrico de P, respecto del eje OX , tiene coordenadas polares ( r , −θ ) ; el simétrico de P, respecto del eje OY , tiene coordenadas polares

( r, π − θ ) ;

el simétrico de P, respecto del origen O, tiene coordenadas polares ( r , θ + π ) .

EJERCICIO 1. Calculas la coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados por sus coordenaπ⎞ 2π ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ ⎛ 5π ⎞ ⎛ das polares ( r , θ ) : ⎜ 2, ⎟ , (1, 0 ) , ⎜ 3, ⎟ , ⎜ 2 3, ⎟ y ⎜ 5, arctan ⎟ . Dibuja en el plano di3 ⎠ ⎝ 3⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 6 ⎠ ⎝ chos puntos. EJERCICIO 2. Dibuja los puntos del plano cuyas coordenadas polares verifican las siguientes ecuaciones o desigualdades:

a) r = 2, b) r ≥ 1, c) 0 ≤ θ ≤

π 6

, r ≥ 1, d) 1 ≤ r ≤ 2, e) θ =

2π π π , 1 ≤ r ≤ 3, f) − ≤ θ ≤ , 1 ≤ r ≤ 2, 3 2 2

EJERCICIO 3. Determina las ecuaciones cartesianas equivalentes a las ecuaciones polares:

a) r cos θ = 2,

b) r 2 cos θ sen θ = 4,

c) r 2 cos θ − r 2 sen θ = 1,

d) r = 1 + 2r cos θ ,

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e) r =

1 , sen θ − 2 cos θ

f) r = 1 − cos θ ,

g) r 2 = −4r cos θ ,

h) r = 2 cos θ + 2sen θ .

EJERCICIO 4. Determina las ecuaciones polares equivalentes a las ecuaciones cartesianas:

a) x = 7, f) xy = 2,

b) y = x,

c) x 2 + y 2 = 4,

g) y 2 = 4 x,

x2 y2 + = 1, 9 4 2 2 i) ( x − 3) + ( y + 1) = 4.

d) x 2 − y 2 = 1,

h) x 2 + xy + y 2 = 1,

e)

EJERCICIO 5. Determina la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de radio a > 0 cuyo centro es el punto (a, 0). EJERCICIO 6. Determina la ecuación en coordenadas cartesianas de la ecuación en coordenadas polares r = a cosθ + b senθ y comprueba que la curva que representa es parte de una circunferencia, calculando su centro y su radio. EJERCICIO 7. Sea L la recta vertical de ecuación x = 1, calcula las ecuaciones, en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas, de las curvas formadas por los puntos P tales que

distancia de P al origen O =ε distancia de P a la recta L 1 en los casos ε = , ε = 1 y ε = 2. 2 NOTA. Las curvas que debes obtener son cónicas y la constante ε se llama excentricidad de la cónica. Las cónicas con excentricidad menor que 1 son elipses, las cónicas con excentricidad igual a 1 son parábolas y las que tienen excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.

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