1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof. Ximena Gallegos H.

PSU Matemática NM-4 Guía 24: Isometrías Nombre: _________________________________ Curso: _______ Fecha: ____-

Contenido: Isometrías. Aprendizaje Esperado: Analiza diferentes transformaciones isométricas en el plano.

Transformaciones isométricas en el plano Teselación del Plano Es la entera división del plano mediante la repetición de una o más figuras que encajan perfectamente unas con otras, sin superponerse ni dejando espacios vacíos entre ellas. Esta partición del plano suele llamarse también Mosaico o Embaldosado.

Observaciones. • •

•

Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por si mismo el plano. Los únicos polígonos regulares que teselan por si mismo el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado, y el hexágono regular, ya que en estos polígonos sus ángulos interiores son divisores de 360º. Para teselar un plano utilizando dos o más polígonos, es necesario que en cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360º.

Algunas teselaciones importantes Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular. Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: Teselación de Triángulos

La malla de triángulos equiláteros Teselación de Cuadrados

El reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez Teselación de Hexágonos

La configuración hexagonal, como la de los paneles.

1) Las siguientes figuras (baldosas) están construidas a partir de un hexágono regular. Si los sacados y/o agregados son congruentes en cada figura, ¿con la repetición de cuál(es) de ellas es posible embaldosar un patio? I) II) III)

a) Sólo con I

b) Sólo con III

c) Sólo con I o con II

d) Sólo con I o con III

e) Con I, con II o con III

2 2) Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado. Si los sacados y agregados son congruentes en cada figura, ¿con la repetición de cual(es) de ellas es posible teselar el plano? I) II) III)

a) Sólo con I

b) Sólo con II

c) Sólo con I o con II

d) Sólo con I o con III e) Con I, con II o con III

3) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales b) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. c) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL d) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo e) Sólo a) y b) son verdaderas. 4) Al reemplazar el número por cada una de las transformaciones realizadas por la figura se obtiene: a) Traslación ,Simetría Axial, Rotación b) Rotación ,Simetría Axial, Traslación c) Rotación, Traslación, Simetría Axial d) Simetría Axial, Rotación, Traslación e) Simetría Central, traslación, Simetría axial 5) ¿Cuál es la distancia en línea recta entre Antofagasta y las Termas de Puyehue, si se sabe que en un plano a escala 1 : 9.000.000 es de 26 cm?

a) 2.240 km b) 2.340 km c) 2.440 km d) 2.550 km 6) Si PA = 4 cm ; PB = 12 cm ; PC = 3 cm. ¿ Cuánto mide PD ?

e) 0,2434 km

a) 13 cm b) 10,6 cm c) 13,6 cm d) 10 cm e) 16 cm 7) La figura muestra el reflejo en un espejo de cuatro relojes con horas distintas. ¿Cuál de las opciones corresponde al reflejo del reloj que marca la hora menor? a) b) c) d)

3 8) El área total de un cubo es 294 cm 2 . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)

El área de una cara es 49 cm 2 La diagonal de una de las caras es 7 2 cm La suma total de las longitudes de sus aristas es 56 cm.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III 9) Si AB = 8 cm ; PC = 3 cm ; PD = 4 cm,¿ cuánto mide PB ?

e) I, II y III

a) 2 cm b) 6 cm c) 8 cm d) Puede medir 2 cm ó 6 cm e) Falta información 10) Para pasar de la figura A a la figura B, se ha realizado la transformación isométrica de: a) Rotación b) Traslación c) Simetría Axial d) Simetría Central e) Teselación 11) De una caja que contiene 7 fichas blancas, 4 azules y 3 rojas, todas de igual peso y tamaño, se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa ficha no sea azul?

4 10 1 1 2 b) c) d) e) 14 14 4 10 3 12) Si reemplazamos cada uno de los números por los elementos que se identifican en las

a)

transformaciones isométricas realizadas a la figura, se obtiene: a)

b)

1: Vector de Traslación

1: Centro de Rotación

2: Eje de Simetría

2: Vector de Traslación

3: Centro de Rotación

3: Ángulo de Rotación

4: Ángulo de Rotación

4: Eje de Simetría

c)

13) Al dividir

a)

1 6

b)

d)

1: Vector de Traslación

1: Eje de Simetría

2: Ángulo de Rotación

2: Vector de Traslación

3: Eje de Simetría

3: Ángulo de Rotación

4: Centro de Rotación

4: Centro de Rotación

m p por , se obtiene 1. Si m = 3 y q = 2p = 24, entonces n=? n q

3 2

c) 9

d) 8

e) 6

4 14) Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)? I ) ∆ ACD ∼ ∆ CBE

II ) ∆ BEC ∼ ∆ AEB

III ) ∆ ACD ∼ ∆ CAB

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III 15) ¿En cuál de las siguientes figuras se ha realizado una simetría central?

I)

II)

III)

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) I, II y III 16) Dada una ecuación cuadrática cuyo discriminante es uno, entonces: a) No tiene raíces b) Tiene dos raíces distintas c) Tiene dos raíces iguales d) Tiene sólo una raíz e) Tiene una única solución, x = 1 17) Si MN es el diámetro de la circunferencia, ¿cuánto mide el radio?

a) 18 b) 22 c) 9 d) 8 e) 11 18) ¿En cuál de las siguientes figuras el valor de x es 12? I) II)

III)

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) I, II y III 19) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a un millón? I ) 103 + 103

a) Sólo II

II ) (102 )

b) Sólo I y II

3

III ) 10 ⋅105

c) Sólo I y III

d) Sólo II y III

e) I, II y III

5 20) ¿Cuál de las siguientes opciones contiene las figuras obtenidas al realizar las 3 transformaciones isométricas?

a)

b) d)

c)

21) ¿A qué fracción equivale la expresión 0, 25 ⋅ ( 0,5 − 0, 25) ?

1 1 0 1 1 b) c) d) − e) − 16 8 4 8 16 22) ¿O es el centro de la circunferencia y PM = 40 cm ; PT = 60 cm . ¿Cuál es la medida del diámetro MN?

a)

a) 36 cm b) 40 cm c) 45 cm d) 50 cm e) Otro valor 23) Si en un rectángulo el lado mayor es 9x y el menor la mitad del mayor, entonces el perímetro del rectángulo es:

a) 18 x b) 21x c) 27x d) 36x y −5 y −7 24) = , ¿cuál es el valor de y? y −3 y −6

a) 9

b) – 9

c) 81

d) – 81

e) Otro valor

e) Otro valor

6 25) ¿En cuál(es) de las siguientes figuras geométricas, las diagonales son ejes de simetría? I) Rombo

II) Trapecio isósceles

III) Rectángulo

a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 26) ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) si a ≠ 0? 3

2

2

3

I ) ( a + 3) = a + 9

a) Sólo I

II ) ( 2a ) = 8a

d) Sólo II y III g (1 − b ) 27) Dada la función g ( h ) = h 2 − h ; entonces =? g (1 + b )

a) 1

b) Sólo I y II

8 2 III )   = 3 a a

3

b) – 1

c)

c) Sólo I y III

b +1 b −1

e) I, II y III

1− b b −1 e) b +1 b +1 2 log x − 1 x= 3

d)

28) Determina el valor de x en log

3

a) 3 b) 10 c) 30 d) 300 e) 1.000 29) De la figura se desprende que ctg a − tg a =? 10 6 a

a) – 1

b)

1 2

c)

7 12

d)

21 11

−5

30) La expresión

4 x ( a + b ) 16 x ( b + a ) 4

a) 1 31)

b) a + b

3x

(a + b )

c) ( a + b )

−75 3

e) − 20

(a + b )

(a + b )

−1

25 12

reducida es igual a:

2

e) 46 x ( a + b )

d) 46 x ( a + b )

−1

11! =? 2!⋅ 9!

a) 2!

b) 2

c) 55

d) 110

e) 220 7

y  32) El término central en el desarrollo de  3 x −  es: 2 

a)

2.835 4 3 x y 8

b) −

2.835 4 3 x y 8

c)

945 3 4 x y 16

d) −

945 3 4 x y 16

e) No hay término central

7 33) El producto de los 10 primeros términos de la progresión 1,

a) 2 − 15

b) 2 − 20

34) La solución de

c) 2 − 25

d) 2 − 30

1 1 1 , , ,....... es. 2 4 8

e) 2 − 45

7+ 2+ x −3 = 3

a) 4 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 2 35) El recorrido de la función y = − x + 2 x + 15

a) [16, + ∞[

b) [ −16, + ∞[

c)

]−∞ , −16]

d) ]−∞ , 16]

e) [ −16,16]

36) Según la siguiente tabla de frecuencia, la afirmación correcta es: Xi

1

2

3

4

5

6

fi

2

3

1

6

5

8

b) X < Me < Mo c) X < Mo < Me d) Mo < X < Me e) Me < Mo < X a) Me < X < Mo 37) En la figura, PT tangente en T a la circunferencia de centro O, PQ pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si: (1) Se conoce la medida de PT

(2) Se conoce la medida de RP

a) (1) por sí sola (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional. 38) La base de un triángulo es el doble de sus altura, se puede determinar siempre el valor numérico de la altura si: (1) Se conoce el área del triángulo. 1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional.

(2) Se conoce el perímetro del triángulo.

8 39) En el sistema de ejes coordenados de la figura, ¿cuáles son las coordenadas del punto P? (1) El producto de las coordenadas es cero

(2) La curva es la representación gráfica de f(x) = log x

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional. 40) En el gráfico, ¿cuáles son las coordenadas del punto P? (1) Si se le aplica una traslación de vector (4 , – 1) se obtiene (2 , 3) (2) Al rotar P en 180º se obtiene el punto (2 , – 4)

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional.

1) d 11) b 21) a 31)

2) e 12) d 22) d 32)

3) d 13) e 23) c 33)

4) c 14) e 24) a 34)

Hoja de Respuestas. 5) b 6) e 7) a 15) c 16) b 17) e 25) a 26) d 27) e 35) 36) 37)

8) c 18) d 28) e 38)

9)b 19) d 29) c 39)

10) b 20) a 30) c 40)