Piezoelektrische Transformatoren Bauformen und Modellierung

47. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau 23.-26. September 2002 T. Hemsel / W. Littmann / J. Wallaschek Piez...
Author: Sara Schumacher
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47. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau 23.-26. September 2002

T. Hemsel / W. Littmann / J. Wallaschek

Piezoelektrische Transformatoren – Bauformen und Modellierung Kurzfassung In vielen Systemen der Leistungselektronik sind magnetische Komponenten die größten und zugleich teuersten Bauelemente. Piezoelektrische Transformatoren weisen bei einem vergleichsweise geringen Bauraum einen hohen Wirkungsgrad auf und sind daher für viele Anwendungen eine interessante Alternative zu konventionellen Lösungen. In diesem Beitrag wird zunächst das grundlegende Funktionsprinzip piezoelektrischer Transformatoren erläutert und dann ein Überblick verschiedener Bauformen gegeben. Der Vergleich anhand charakteristischer Merkmale und eine Auswahl aktueller Anwendungen zeigen das derzeitige Leistungsspektrum sowie das Entwicklungspotential auf. Schließlich wird die Leistungsfähigkeit verschiedener Berechnungsmodelle hinsichtlich der zielorientierten Neu- und Weiterentwicklung piezoelektrischer Transformatoren diskutiert. Einleitung Ein allgemeines Ziel derzeitiger Technologieentwicklungen ist das Einsparen von Bauvolumen und Gewicht bei gleichzeitiger Kostenreduktion. Zwar wurde in der Vergangenheit durch die Erhöhung der Schaltfrequenzen in leistungselektronischen Schaltungen eine erhebliche Reduzierung der Baugröße der magnetischen Komponenten erreicht, bei sehr hohen Schaltfrequenzen treten jedoch zunehmend parasitäre Effekte in Erscheinung, die sich bei einer weiteren Anhebung der Schaltfrequenzen kontraproduktiv auswirken und den Entwurf erheblich erschweren. Wesentliche Vorzüge piezoelektrischer Transformatoren bestehen darin, dass sie flacher gebaut werden können als magnetische Transformatoren und bei gleicher Leistungsdichte deutlich bessere Wirkungsgrade erzielen, siehe [1]. Dadurch sind sie prädestiniert für Anwendungen wie z. B. die Spannungstransformation in Notebooks, da hier nur eine geringe Bauhöhe zur Verfügung steht und zugleich strengste Anforderungen an das Energiemanagement gestellt werden. Weitere Anwendungsfelder ergeben sich aus der Nichtbrennbarkeit und hohen Isolationsfestigkeit des Materials sowie das Fehlen magnetischer Streufelder.

Grundprinzip Piezoelektrische Transformatoren basieren – wie ihr Name es schon verrät - auf der Nutzung der piezoelektrischen Effekte. Ihr Funktionsprinzip besteht darin, mittels zugeführter elektrischer Energie durch den indirekten piezoelektrischen Effekt zunächst mechanische Schwingungen zu erzeugen, siehe Bild 1a, die dann wiederum durch den direkten piezoelektrischen Effekt in elektrische Energie zurück gewandelt werden, siehe Bild 1b. a)

u

b)

x, F

x, F

~ 3

P

2 1

x, F

3

P

2

x, F

u

1

Bild 1: Piezoelektrische Effekte: a) indirekt: elektrische Anregung erzeugt mechanische Schwingung b) direkt: mechanische Anregung erzeugt elektrische Spannung Durch die piezoelektrischen Effekte werden elektrische und mechanische Größen gekoppelt. Das Materialverhalten und die piezoelektrischen Effekte sind richtungsabhängig, daher wird bei der allgemeinen Beschreibung ein kartesisches Koordinatensystem vereinbart, dessen 3- oder z-Achse in Richtung der Polarisation des Materials zeigt. Sind die Raumrichtungen der genutzten elektrischen und mechanischen Größen gleich, so wird der Effekt auch als 33-Effekt bezeichnet. Liegen die Richtungen der genutzten elektrischen und mechanischen Größen senkrecht zueinander, handelt es sich sozusagen um einen Quereffekt, der 31-Effekt genannt wird. Die Effektivität der Wandlung elektrischer Energie in mechanische und umgekehrt wird durch den sogenannten Energiewandlungsgrad k2 beschrieben, siehe [2]: k2 =

elektrische Energie, die in mechanische transformiert wird gesamte gespeicherte elektrische Energie

k2 =

mechanische Energie, die in elektrische transformiert wird . gesamte gespeicherte mechanische Energie

oder

Bei heute verfügbaren Hochleistungs-Piezokeramiken ist der Energiewandlungsgrad des 33-Effekts drei- bis viermal so groß wie der des 31-Effekts. Eine grundlegende Voraussetzung für die Transformatorfunktion ist die möglichst vollständige Übertragung der mechanischen Energie des elektrisch angeregten Teils auf den Teil, an dem die elektrische Spannung abgegriffen werden soll. Bei quasistatischer Anregung verformt sich der angeregte Teil zwar, der nicht angeregte Teil wird jedoch nur in sehr geringem Maße deformiert. Die Energieübertragung ist in diesem Fall sehr gering. Bei Anregung mit der Resonanzfrequenz einer Eigenschwingungsform werden durch dynamische Effekte sowohl Ein- als auch Ausgangsteil verformt. Dabei hängt das Maß der Übertragung von der genutzten Schwingungsform und der geometrischen Lage der Ein- und Ausgangsbereiche relativ zur Schwingungsform ab, siehe z. B. [3], [4].

Bauformen Bereits 1934 wurde eine Patentschrift veröffentlicht, in der beschrieben wird, wie mittels des Transformatorprinzips mehrphasige elektrische Spannungen und Ströme erzeugt werden können, siehe [5]. Die damals vorhandenen natürlichen Materialien wie Rochellesalz oder Quarzkristall waren jedoch bezüglich der elektromechanischen Energiewandlung, der mechanischen Belastbarkeit und der technischen Verfügbarkeit kaum geeignet, um einen technischen Einsatz zu realisieren. Erst nach der Entwicklung leistungsfähiger Piezokeramiken, die in beliebiger Form hergestellt und gemäß ihrer Anwendung polarisiert werden können, wurde das Thema wieder aufgegriffen. Eine Patentschrift aus dem Jahr 1958 fasst die bis dahin erzielten Entwicklungserfolge in Form einiger wesentlicher Bauformen und Berechungsvorschriften zusammen, siehe [3]. Im folgenden werden die dort enthaltenen Bauformen kurz vorgestellt. Bild 2 zeigt die unter dem Namen „Rosen-Transformator“ bekannt gewordene Bauform. Sie besteht aus einer einzigen piezoelektrischen Keramik, deren Polarisation jedoch zweigeteilt ist. Der eine Teil ist derart polarisiert und mit Elektroden versehen, dass vornehmlich der 31-Effekt genutzt wird. Die Polarisation und Elektrodenkonfiguration des zweiten Teils ist so gewählt, dass hauptsächlich der 33-Effekt wirkt. Prinzipiell können beide Teile der Keramik zur Anregung oder zum Spannungsabgriff verwendet werden, im folgenden wird der Fall beschrieben, bei dem mittels 31-Effekt mechanische Schwingungen erzeugt und durch den 33-Effekt elektrische Spannungen generiert werden. Dabei werden die Größen am Eingang mit dem Index 1 und die Größen am Ausgang mit dem Index 2 versehen.

Bild 2: „Rosen-Transformator“ [3] Beim Rosen-Transformator ergibt sich für die elektrischen Feldstärken an Ein- und Ausgang ein Übersetzungsverhältnis, das dem Produkt der effektiven Kopplungsfaktoren von Ein- und Ausgang keff,1 und keff,2 und der Güte des Gesamtsystems Q proportional ist. Das Spannungsübersetzungsverhältnis ist zudem proportional zu dem Quotienten aus Länge L und Dicke t der rechteckigen Keramikscheibe, da die elektrischen Feldstärken an Ein- und Ausgang über diese unterschiedlichen Elektrodenabstände wirken, vgl. [6]:

U2 L ~ ⋅ k eff ,1 ⋅ k eff , 2 ⋅ Q . U1 t Die effektiven Kopplungsfaktoren ergeben sich zum einen aus den Energiewandlungsgraden der genutzten piezoelektrischen Effekte - in diesem Fall k 312 und k 332 - und zum anderen aus der genutzten Schwingungsform sowie der geometrischen Positionierung von Ein- und Ausgang im Verhältnis zur Schwingungsform, s. o. Die Güte des Gesamtsystems resultiert aus der mechanischen Schwinggüte des Transformators, seiner internen elektrischen Bedämpfung sowie der elektrischen Bedämpfung durch die angeschlossene Last. Im Leerlauf ergibt sich eine große Spannungsübersetzung, der Wirkungsgrad ist jedoch null. Bei maximalem Wirkungsgrad des Rosen-Transformators wird das Übersetzungsverhältnis maßgeblich durch den Geometriefaktor L/t bestimmt.

Die in Bild 3 dargestellte Bauform funktioniert prinzipiell ähnlich wie der Rosen-Transformator. Die Keramik besteht jedoch aus drei Abschnitten, von denen ein 31-Element als Eingang und zwei 33-Elemente als Ausgang genutzt werden.

Bild 3: Quaderförmiger 31-33-Transformator [3] Nachteilig bei beiden Bauformen ist, dass zur Polarisation der 33-Bereiche sehr hohe elektrische Spannungen benötigt werden, was die Herstellung der Keramiken recht aufwändig macht. Zudem besteht die Gefahr, dass die Ecken der sprödempfindlichen Keramiken abbrechen und dann Störungen im Resonanzverhalten verursachen. Diese Problematik ist bei Kreisscheiben und Ringen etwas entschärft, da diese keine spitzen Ecken aufweisen. Bild 4 zeigt drei Bauformen piezoelektrischer Transformatoren auf Basis von Ringen, die wie die quaderförmigen Bauformen 31- und 33Bereiche aufweisen. Ein Vorteil dieser Bauformen ist, dass die nutzbaren Schwingungsmoden (Radialmoden und Dickenmoden) zumeist isoliert liegen. Bei den quaderförmigen Bauformen hingegen sind die Eigenfrequenzen von Längs- und Biegeschwingungen oft dicht benachbart, was beim Resonanzbetrieb zu erheblichen Problemen führen kann.

Bild 4: Ringförmige 31-33-Transformatoren [3] Da das Übersetzungsverhältnis - wie bereits oben genannt – proportional zum Energiewandlungsgrad von Ein- und Ausgang ist, empfiehlt es sich, für beide Teile des Transformators den 33-Effekt zu nutzen. Bild 5 zeigt dazu ein Beispiel.

Bild 5: Rohrförmiger 33-33-Transformator [3] Hier ist der antreibende Teil in der Mitte des Transformators positioniert, was gemeinsam mit der Nutzung des 33-Effekts für Ein- und Ausgang zu einem optimierten Übersetzungsverhältnis führt. Die technische Umsetzung ist jedoch aufgrund der aufwändigen Polarisation über große Elektrodenabstände problematisch. Zudem ist die Innenseite des Rohrs nur schwer zugänglich. Werden dort keine Elektroden angebracht, treten aufgrund des piezoelektrischen Schereffekts ungewünschte Schwingungsmoden auf. Das Aneinanderfügen von Elektroden und Keramikabschnitten scheidet wegen des hohen fertigungstechnischen Aufwands ebenfalls aus. In den 1970er Jahren gab es einige Pilotanwendungen, bei denen piezoelektrische Transformatoren insbesondere zur Hochspannungserzeugung in Röntgen- oder Fernsehgeräten eingesetzt wurden, siehe [7], [8]. Der große Durchbruch gelang dieser Technologie jedoch nicht, da die zur Anregung der Piezoelemente notwendige Leistungselektronik den dank Piezotechnologie gewonnenen Bauraum wieder aufbrauchte und die Kosten für das Gesamtsystem unzumutbar steigerte. Dazu kamen teilweise unüberwindliche Probleme mit der Dauerfestigkeit der Keramiken und der damit verbundenen eingeschränkten Zuverlässigkeit der Systeme. Weiterentwicklungen sowohl im Bereich der piezoelektrischen Materialien und der Fertigung von piezoelektrischen Elementen (Multilayer-Bauweise, etc.) als auch im Bereich der leistungselektronischen Bauelemente und der Regelungstechnik ermöglichten seit den 1990er Jahren einen wahren Entwicklungsboom im Bereich der piezoelektrischen Transformatoren, siehe z. B. [9], [10], [11]. Darüber hinaus war nun endlich eine Anwendung gefunden, bei der die prinzipbedingten Vorteile wie geringer Bauraum und kleines Gewicht den Nachteil der gesteigerten Produktionskosten aufwiegen: die Erzeugung der Betriebsspannung für Hintergrundbeleuchtungen in portablen Geräten der Multimediatechnologie (Notebooks, PDAs, ...). Bild 6 zeigt Transformatoren mit der dazugehörigen Leistungselektronik, wie sie heute in Notebooks zur Erzeugung der Hochspannung für die Hintergrundbeleuchtung des Displays eingesetzt werden. Derartige Transformatoren liefern bis zu 10 Watt elektrischer Leistung bei einem Spannungsübersetzungsverhältnis von über 100. Ein weiteres interessantes Einsatzgebiet im gleichen Umfeld ist die Transformation von Netzspannung auf die Betriebsspannung bzw. Ladespannung von Akkus in Notebooks und Handys, siehe z. B. [12].

Bild 6: Piezoelektrische Transformatoren mit Leistungselektronik [13] Der derzeit leistungsstärkste piezoelektrische Transformator wird in [14] beschrieben. Für die Spannungsversorgung einer Leuchtstoffröhre überträgt ein mehrschichtiger Radialschwinger bei einer nur geringen Spannungsübersetzung eine Leistung von 32 Watt. Im Wesentlichen gab es gegenüber den bereits 1958 erarbeiteten Prinziplösungen bis auf den Einsatz neuer Materialien, die Nutzung mehrschichtiger Piezoelemente und höherer Schwingungsformen nur wenig grundlegend neue Ansätze. Ein Beispiel dafür ist der Vorschlag, Verbundschwinger aufzubauen, die nur zum Teil aus Piezokeramik bestehen und metallische Komponenten als Kühlkörper und zur Erhöhung der mechanischen Schwinggüte nutzen, siehe [15]. Sieht man diese Weiterentwicklung in Richtung höherer Leistung im Zusammenhang mit Bestrebungen, piezoelektrische Transformatoren zum Zünden von Gasentladungslampen einzusetzen, siehe [16], so liegt nahe, Gasentladungslampen, wie sie heute im Kfz eingesetzt werden, mit einem piezoelektrischen Transformator zu zünden und zu betreiben. Hierfür ist jedoch zunächst hinsichtlich der maximal übertragbaren Leistung weitere Entwicklungsarbeit zu leisten. Eine zentrale Frage ist dabei, in welcher Weise das Transformatorprinzip umgesetzt werden sollte und wie der Transformator dimensioniert werden muss. Modellierung

Im Bereich der Modellierung piezoelektrischer Elemente sind elektrische Ersatzschaltbilder, die das elektromechanische Übertragungsverhalten in Nähe einer Resonanz hinreichend genau beschreiben, weitgehend etabliert. Bild 7 zeigt ein derartiges Ersatzschaltbild für einen piezoelektrischen Transformator. Dabei wird die Analogie von elektrischen und mechanischen Systemen ausgenutzt, siehe [17], [18]. Bei der hier verwendeten Analogie entspricht die elektrische Spannung u einer mechanischen Kraft F, der elektrische Strom i einer Geschwindigkeit v und die Ladung q einer Verschiebung x. Bei Betrachtung der Bauelemente dieser Ersatzbilder gleicht ein elektrischer Kondensator mit der Kapazität C einer Feder mit der Steifigkeit 1/C, ein Widerstand R einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten d und eine Induktivität L einer Masse m. Die Konvertierung der elektrischen Größen Spannung und Strom in die mechanischen Größen Kraft und Geschwindigkeit und umgekehrt übernimmt ein idealer Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis 1:A oder ein masseloser, reibungsfrei gelagerter starrer Hebel der „Länge“ A. Die mit 1 und 2 indizierten Größen beschreiben die elektrischen Parameter des Ein- und Ausgangs. Die in der mittleren Schleife verwendeten Parameter repräsentieren das mechanische Verhalten des gesamten Transformators.

v

i1 u1

i2 d

C1

1/c

m

C2

R1

R2 1: A1

u2

A2:1

Bild 7: Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Transformators Der Vorteil dieser Darstellungsweise ist die Kompatibilität mit den Schaltungen konventioneller Transformatoren sowie der angeschlossenen Leistungselektroniken. Das Übertragungsverhalten kann in gewohnten Entwicklungsumgebungen simuliert und optimiert werden. Grundlegende Voraussetzung ist dabei jedoch, dass die Parameter des Transformators bekannt sind, bzw. aus Geometriegrößen und Materialdaten berechnet werden können. Für einige Schwingungsformen und Elektrodenkonfigurationen ist dieses in der Tat gut möglich, siehe [4]. Für eine optimale Auslegung sind Ersatzschaltbilder aus schwingungstechnischer Sicht jedoch nur eingeschränkt geeignet. Hier liefern kontinuumsmechanische Modelle, die die eigentliche Ausgangsbasis der Ersatzschaltbilder sind, einen großen Beitrag, da die Abhängigkeit des Übertragungsverhaltens von Geometriegrößen und Materialdaten auch über einen größeren Frequenzbereich und verschiedene Schwingungsmoden direkt sichtbar wird. So ist es beispielsweise möglich, die Geometrie des Transformators derart abzustimmen, dass Elektrodenkonfiguration und Schwingungsmode exakt zueinander passen, was schließlich in einer optimalen Energiewandlung resultiert. Die Anisotropie des piezoelektrischen Materialverhaltens kann bei analytischen Berechnungen jedoch ebenso wie die Mehrdimensionalität von Schwingungen nur mit großem Aufwand berücksichtigt werden. Zur Absicherung, ob sich in der Nähe der Betriebsfrequenz eines Transformators möglicherweise unerwünschte Schwingungsmoden ausbilden, ist eine Analyse anhand von Finite Element Modellen unabdingbar. Problematisch ist hierbei, dass nur selten vollständige Informationen über das Materialverhalten vorhanden sind und das Zusammenspiel mit elektrischen Bauelemten nur eingeschränkt simuliert werden kann, siehe [19]. Insgesamt zeigt sich also, dass jede Modellierungsart ihre Vorzüge hat und bei einer Neuentwicklung eines Transformators ihre Berechtigung findet. Eine mögliche Vorgehensweise besteht darin, zunächst gemäß der Anwendung des Transformators die Anforderungen aus leistungselektronischer Sicht zu identifizieren und dann anhand einfacher analytischer Modelle ein Transformatorprinzip auszuwählen. FEM-Berechnungen unterstützen schließlich den Detailentwurf. Eine gewisse Problematik besteht darin, dass Wissen sowohl in Bereichen der Elektrotechnik als auch der Mechanik notwendig ist, um ein optimiertes Gesamtsystem entwerfen zu können. Eine enge Kooperation von Wissenschaftlern der unterschiedlichen Disziplinen ist daher dringend angeraten. Zusammenfassung und Ausblick

Piezoelektrische Transformatoren bieten gegenüber konventionellen magnetischen Transformatoren einige entscheidende Vorteile. Dazu zählen:

• • • •

flache Bauweise, gute Miniaturisierbarkeit und Integrierbarkeit, gleichwertige Leistungsdichte und zugleich besserer Wirkungsgrad, hohe Isolationsfestigkeit und Nichtbrennbarkeit, Fehlen von magnetischen Streufeldern.

Sie werden aufgrund ihrer spezifischen Eigenschaften bereits serienmäßig in Notebooks zur Erzeugung der Hochspannung für die Hintergrundbeleuchtung eingesetzt. Die maximal übertragbare Leistung liegt dabei im Bereich von bis zu 10 Watt. Das Übersetzungsverhältnis piezoelektrischer Transformatoren wird durch die Wahl der Schwingungsform und eine geeignete Konfiguration der Ein- und Ausgangselektroden eingestellt. Es ist möglich, Transformatoren herzustellen, die über mehrere Ausgänge verfügen und deren Übersetzungsverhältnis variiert werden kann. Sie sind damit ähnlich flexibel einsetzbar wie magnetische Transformatoren. Ihre Berechnung und Auslegung ist jedoch aufwändiger, da sowohl elektrische als auch mechanische Aspekte zu berücksichtigen sind. Um piezoelektrische Transformatoren, deren lastabhängiges Verhalten ideal zur Betriebskennlinie von Gasentladungslampen passt, auch bei höheren Leistungen betreiben zu können, ist eine Weiterentwicklung bezüglich des Funktionsprinzips, der eingesetzten Materialien und der zur Anregung und Lastanpassung verwendeten Leistungselektroniken notwendig. Bei den dafür einzusetzenden Berechnungsmodellen kann weitestgehend auf Erfahrungen der allgemeinen Modellierung von Piezoelementen zurückgegriffen werden. Literatur- bzw. Quellenhinweise: [1] Grotstollen, H., Fröhleke, N.: Piezoelektrische Transformatoren – Schaltungen und Anwendungen. 47. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Technische Universität Ilmenau, 2002 [2] Böttger, U.; Ruschmeyer, K.: Piezoelektrische Keramiken. Kapitel 8 in Schaumburg, H.: Keramik. 1994, ISBN 3-519-06127-9 [3] Rosen, C. A.; Fish, K. A.; Rothenberg, H. C.: Electromechanical Transducer. US-Patent 2830274 [4] Kanayama, K.; Maruko, N.: Alternately poled piezoelectric transformers using rectangular ceramic plates. Electronics and Communications in Japan, Part 3, Vol. 81, No. 12, 1998, pp. 29-36 [5] Nicolson, A. M.: Piezoelectric crystal converter-generator. US-Patent 1975517 [6] Valvo Unternehmensbereich Bauelemente der Philips GmbH: Piezoxide (PXE) Eigenschaften und Anwendungen. 1988, ISBN 3-7785-1755-4 [7] Sakurai, Y.: Horizontal deflection circuits for television receivers. US-Patent 3700959 [8] Moriki, J.; Shioji, M.; Itoh, T.: Drive circuit für piezoelectric high voltage generating device. US-Patent 4054806 [9] Inoue, T.; Ohnishi, O.; Ohde, N.: Thickness mode vibration piezoelectric transformer. US-Patent 5118982 [10] Kawashima, S.; Ohnishi, O.; Hakamata, S.; Tagami, A.; Fukuoka, A.; Inoue, T.; Hirose, S.: Third order longitudinal mode piezoelectric ceramic transformer and its application to high-voltage inverter. IEEE Ultrasonics Symposium 1994 [11] Sakurai, K.; Nakazawa, T.; Shindou, S.; Ohnishi, K.; Tomikawa, Y.: Experimental investigation of a piezoelectric ceramic transformer using radial vibration of disks combined with a coupling element. Jpn. J. Appl. Phys. Vol. 37, Part 1, No. 5B, 1998, pp. 2896-2900 [12] Navas, J. ; Bove, T. ; Cobos, J. A.; Nuno, F.; Brebol, K.: Miniaturised battery charger using piezoelectric transformers. Applied Power Electronics Conference (APEC) 2001 [13] KongHong Information Technology Co. Ltd: Piezoelectric ceramic inverter. www.konghong.com, 2002 [14] Lin, R. L.; Lee, F. C.; Baker, E. M.; Chen, D. Y.: Inductor-less piezoelectric transformer electronic ballast for linear fluorescent lamp. Applied Power Electronics Conference (APEC) 2001 [15] Boyd, C. D.: Thickness mode piezoelectric transformer with end-masses. US-Patent 6215227 [16] Bishop, R. P.; Boyd, C. D.: Ignition circuit with piezoelectric transformer. US-Patent 6114797 [17] Cady, W. G.: The piezoelectric resonator. Proceedings of the IRE, No. 10, 1922, pp. 83-114 [18] Lenk, A.; Pfeifer, G.; Werthschützky, R.: Elektromechanische Systeme - Mechanische und akustische Netzwerke, deren Wechselwirkungen und Anwendungen. ÎSBN 3-540-67941-3 [19] Wang, J. S.; Ostergaard, D. F.: A finite element-electric circuit coupled simulation method for piezoelectric transducer. IEEE Ultrasonics Symposium 1999

Autorenangaben: Dr.-Ing. Tobias Hemsel, Dipl.-Ing. Walter Littmann, Prof. Dr.-Ing. Jörg Wallaschek Heinz Nixdorf Institut, Mechatronik und Dynamik, Universität Paderborn, Fürstenallee 11, 33102 Paderborn Tel.: +49/5251/606269, Fax: +49/5251/606278, Email: [email protected]

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