Piezoelektrische Transformatoren zur Ansteuerung von Leistungsschaltern

Piezoelektrische Transformatoren zur Ansteuerung von Leistungsschaltern Der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des ...
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Piezoelektrische Transformatoren zur Ansteuerung von Leistungsschaltern

Der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des Grades

DOKTOR - INGENIEUR

vorgelegt von Holger Schwarzmann

Erlangen - 2012

Als Dissertation genehmigt von der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg

Tag der Einreichung: Tag der Promotion: Dekan: Berichterstatter:

11. Juni 2011 28. November 2011 Prof. Dr.-Ing. habil. Marion Merklein Prof. Dr.-Ing. Heiner Ryssel Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. habil. Robert Weigel

Kurzfassung In heutigen Anwendungen der Leistungselektronik werden vornehmlich Brückenschaltungen basierend auf n-Kanal Leistungsschalter eingesetzt. Für die Ansteuerung von MOSFET bzw. IGBT Leistungsschaltern deren Source- bzw. Emitterkontakt auf gleitendem Potential liegt, kommen sogenannte High-Side Treiber zum Einsatz. Diese Schaltungen stellen eine galvanisch getrennte Spannungsversorgung sowie Informationsübertragung für die Ansteuerung der Leistungsschalter zu Verfügung. Bei heutigen, konventionellen Lösungen übernehmen fast ausschließlich Transformatoren basierend auf elektro-magnetischer Kopplung die Energie- und Informationsübertragung. In Anwendungen mit geringer Leistungsübertragung kommen auch optoelektronische Übertrager zum Einsatz. Der Trend in der Leistungselektronik führt zu immer höheren zu schaltenden Spannungen, was zwangsläufig zu einer höheren Isolationsfestigkeit der Übertrager führt. Dies kann bei derzeitigen konventionellen Transformatoren nur durch eine voluminöse Bauform erreicht werden. Zudem stellen sie meist das kostenintensivste Bauelement (z.B. teure Wicklung) dieser HighSide Treiber dar. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz der potentialgetrennten Energieund Informationsübertragung verfolgt. Die galvanische Trennung von primärer Steuerseite und sekundärseitiger Ansteuerung der High-Side Treiber erfolgt über piezoelektrische Transformatoren. Durch den Einsatz von piezoelektrischen Keramiken kann in kompakter Form eine hohe Isolationsfestigkeit pro Volumen erreicht werden. Die Kopplung von Primär- und Sekundärseite erfolgt anstelle einer elektro-magnetischen über eine akustische Welle. Des Weiteren sind sie ohne zusätzliche, äußere Beschaltung kurzschlusssicher und nicht entflammbar. In der vorliegenden Arbeit wird erstmals die komplette Entwicklung einer High-Side Ansteuerschaltung für Leistungsschalter mit piezoelektrischen Transformatoren aufgezeigt. Zu Beginn werden einige Grundlagen über den piezoelektrischen Effekt gegeben. Nach einer Analyse des elektrischen Ersatzschaltbilds piezoelektrischer Transformatoren, erfolgt die Dimensionierung zweier dickenschwingender Piezotransformatoren. Anschließend wird die Resonanzfrequenz und die Eingangsadmittanz der Piezotransformatoren durch ein finite Elemente Simulationsprogramm bestimmt. Bei der Herstellung der Piezotransformatoren werden unterschiedliche Aufbau- und Verbindungstechniken getestet. Im dritten Teil dieser Arbeit werden verschiedene Topologien von Ansteuerschaltungen für Piezotransformatoren untersucht. Anhand eines besonders effizienten, resonanten Push-Pull Treibers werden die hergestellten Piezotransformatoren hinsichtlich ihres Last- und Resonanzverhaltens, sowie ihrer Effizienz optimiert. Im vierten Teil der Arbeit werden die zuvor gewonnenen Erkenntnisse dazu genutzt, um einen High-Side Treiber für die Ansteuerung von Leistungsschaltern zu entwickeln. Eine elektrische Charakterisierung des gesamten High-Side Treiber schließt dieses Kapitel ab. Eine Zusammenfassung und ein Ausblick auf weitere Forschungs- und Entwicklungsmöglichkeiten werden am Ende der Arbeit gegeben.

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Abstract For present applications of power electronics based on n-channel power switches mainly bridge circuits are used. So called high-side drivers are applied to control MOS-FET or IGBT power switches whose source or emitter contact, respectively, is on a floating potential. These circuits provide a galvanically isolated path for the power supply as well as communication transfer for the driving of the power switches. The energy and information transfer in present, conventional solutions is achieved exclusively by transformers which are based on electro-magnetic coupling. In applications with low power transfer, optoelectronic transformers are also used. But the trend in power electronics to increase the switching voltages leads to increase the insulation strength of transformers, too. By conventional transformers this can only be done by increasing their volume. Furthermore the magnetic transformers are the most expensive part of a high-side driver circuit (e.g. windings). In this thesis a new approach of isolated energy and information transfer is presented. The galvanically isolation between primary controlling circuit and secondary side of the highside driver is done by piezoelectric transformers. Due to the use of piezoelectric ceramics, a high insulation per volume could be achieved in a very compact design. The primary and secondary side is coupled by an electro-mechanic instead of an electro-magnetic wave. Therefore piezoelectric transformers are short-circuit proved without external circuits and as well as non-flammable. In this thesis the design and development of a high-side driver with piezoelectric transformers for power switches is presented. At the beginning some basic information about the piezoelectric effect are given. After analyzing the equivalent circuit of piezoelectric transformers, the dimension of two transformers operating in the thickness extension mode are calculated. The resonant frequency and the input admittance are calculated by a finite element simulation. For the manufacturing process of the piezoelectric transformers different assembly techniques are analyzed. In the third part of this thesis different driver topologies for piezoelectric transformers are examined. The assembled piezoelectric transformers are characterized concerning their load and resonant behavior as well as their efficiency with the help of extra efficient, resonant push-pull driver. In the fourth part of this thesis, a highside driver for power switches is developed based on the knowledge of the previous parts and is closed with an electrical characterization of the high-side driver. The thesis concludes with a short summary of the research results and an outlook on future research directions is given.

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Inhaltsverzeichnis Kurzfassung

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Abstract

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Inhaltsverzeichnis

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1 Einleitung

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2 Entwicklung piezoelektrischer Transformatoren 2.1 Grundlagen der Piezoelektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Historie der Piezoelektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Piezoelektrische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Polarität des piezoelektrischen Effekts . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Definition piezoelektrischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Schwingungsmodi von Piezokeramiken . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5.1 Transversaler Schwingungsmodus . . . . . . . . . . . . 2.1.5.2 Longitudinaler Schwingungsmodus . . . . . . . . . . . . 2.1.5.3 Dickenschwingungsmodus . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5.4 Planarer oder radialer Schwingungsmodus . . . . . . . . 2.1.5.5 Dicken-Scher Schwingungsmodus . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Vergleich von magnetischen und piezoelektrischen Transformatoren 2.1.7 Piezotransformatorklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7.1 Rosen-Type Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7.2 Dickenschwingender Piezotransformator . . . . . . . . . 2.1.7.3 Radialschwingender Piezotransformator . . . . . . . . . 2.1.7.4 Transversalschwingender Piezotransformator . . . . . . . 2.1.8 Elektrisches Ersatzschaltbild von Piezotransformatoren . . . . . . . 2.1.8.1 Elemente des elektrischen Ersatzschaltbilds . . . . . . . 2.1.8.2 Bestimmung der Ersatzschaltelemente . . . . . . . . . . 2.1.8.3 Verlauf von mechanischer Dehnung und Spannung im Resonanzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Konzeptionierung eines Piezotransformators . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Berechnung der geometrischen Abmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Netzwerkanalyse des vereinfachten Ersatzschaltbilds . . . . . . . . 2.3.2 Analytische Betrachtung des Ersatzschaltbilds . . . . . . . . . . . 2.3.3 Auslegung von Piezotransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Simulation piezoelektrischer Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Bauelementsimulation mit COMSOL . . . . . . . . . . . . . . . . ix

5 5 5 6 8 9 16 16 17 18 18 19 20 22 22 23 24 25 25 25 27 29 31 34 34 36 39 43 43

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I NHALTSVERZEICHNIS

. . . . . . . . . . .

43 44 45 46 47 49 53 53 53 53 59

3 Entwicklung einer Ansteuerschaltung für piezoelektrische Transformatoren 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Massebezogene Ansteuertopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Halbbrückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ls -Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cr Lr -Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Differenzielle Ansteuertopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 H-Brückentopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Resonante Push-Pull Ansteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Vergleich der Ansteuerschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Elektrische Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Beschreibung des Messaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 63 63 66 69 71 71 73 79 81 81 81

2.5 2.6

2.4.1.1 Modellierung der Transformatorgeometrie . . . 2.4.1.2 Mechanische und elektrische Randbedingungen 2.4.1.3 Bestimmung der Resonanzfrequenz . . . . . . . 2.4.1.4 Simulation der Eingangsadmittanz . . . . . . . 2.4.2 Schaltungssimulation mit LTspice . . . . . . . . . . . . . Herstellung von Piezotransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Messung der Eingangsadmittanz Yin . . . . . . . . . . . . 2.6.1.1 Beschreibung des Messaufbaus . . . . . . . . . 2.6.1.2 Auswertung der Messergebnisse . . . . . . . . 2.6.2 Messung des Isolationsverhaltens . . . . . . . . . . . . .

4 Entwicklung eines High-Side Treibers 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Entwicklung primärseitiger Schaltungskomponenten . 4.2.1 Treiberstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Implementierung eines Mikrocontrollers . . . . 4.2.3 Modulationsnetzwerk . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Entwicklung sekundärseitiger Schaltungskomponenten 4.3.1 Gleichrichter und Ausgangsfilter . . . . . . . . 4.3.2 Demodulationsnetzwerk . . . . . . . . . . . . 4.4 Elektrische Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Beschreibung des Messaufbaus . . . . . . . . 4.4.2 Gleichrichter und Ausgangsfilter . . . . . . . . 4.4.3 Modulation und Demodulation . . . . . . . . . 4.4.4 Lastabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 87 89 89 89 91 94 94 99 103 104 105 107 109

5 Zusammenfassung und Ausblick 111 5.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6 Literaturverzeichnis

115

A Assembler Programmcode

121

I NHALTSVERZEICHNIS

xi

Symbolverzeichnis

127

Stichwortverzeichnis

133

Kapitel 1 Einleitung Heutige Anwendungen in der Leistungselektronik haben den Trend der stetigen Verkleinerung der Geometrien bzw. den steigenden Integrationsgrad von Funktionen nicht in dem Maße vollzogen, wie dies Anwendungen in der Speicher- oder Mikroprozessortechnologie erreicht haben. In vielen leistungselektronischen Systemen stellen potentialgetrennte Übertrager für Energie und Information aufwendige Bauteile dar. Diese haben im Vergleich zu anderen passiven Bauelementen wie Widerständen oder Kondensatoren einen größeren Platzbedarf. Darüber hinaus ist ihre Herstellung, besonders die Wicklungstechnologie für konventionelle Transformatoren, teuer. Eine potentialgetrennte Übertragung ist aber vor allem bei IGBT1 bzw. MOSFET2 Brückenschaltungen, bei denen vorzugsweise n-Kanal Transistortypen für Low- und High-Side Schalter verwendet werden (siehe Abbildung 1.1) unbedingt nötig. UHV

Information Energie Primärseitige Ansteuerelektronik

Information Energie

Steuerseite

High-Side Schalter UGE

~

Lout

UGE

~

Low-Side Schalter

A

Übertrager (galvanische Trennung)

Abbildung 1.1: Schematisches Blockschaltbild einer IGBT-Halbbrückenschaltung mit konventionellen Transformatoren für die Energieübertragung und optoelektronischer Informationsübertragung.

Beim Schalten von induktiven Lasten kann das Emitterpotential des High-Side Schal1

aus dem Englischen: Insulated Gate Bipolar Transistor (zu Deutsch: Bipolartransistor mit isolierter GateElektrode): IGBTs sind Halbleiterbauelemente, die in der Leistungselektronik zum Einsatz kommen und eine hohe Spannungs- und Stromfestigkeit besitzen. 2 aus dem Englischen: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (zu Deutsch: Metall-OxidHalbleiter-Feldeffekttransistor)

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2

K APITEL 1: E INLEITUNG

ters Werte über den gesamten Betriebsspannungsbereich UHV und darüber hinaus annehmen. Eine potentialgetrennte Übertragung der Versorgungsspannung an die Treiberelektronik ermöglicht es, den High-Side Schalter mit einer Gate-Emitter-Spannung UGE (für einen IGBT) bzw. mit einer Gate-Source-Spannung UGS (für einen MOSFET) zwischen 15 und 20 Volt anzusteuern (siehe Abbildung 1.1). Die Übertragung der Versorgungsspannung übernehmen heutzutage nahezu ausschließlich konventionelle Transformatoren. In Anwendungen, bei denen die zu übertragenden Leistungen für die Versorgungsspannung im Milliwattbereich liegen, ist auch der Einsatz von Optokopplern möglich [1]. Für die stetige Zunahme der zu schaltenden und somit auch zu sperrenden Spannungen bieten die konventionellen Transformatoren eine ausreichend hohe Leistungsübertragung. Um jedoch den Anforderungen an die hohe Isolationsfestigkeit gerecht zu werden, müssen voluminöse und auch schwere Transformatoren eingesetzt werden. Diese kostenintensiven Bauelemente können ihre Umgebung darüber hinaus mit elektromagnetischen Feldern beeinflussen. Das Problem ihrer unkontrollierten Erwärmung im Kurzschlussfall ist ein weiterer Grund für die Suche nach alternativen Übertragungstechniken. Bei der bidirektionalen Übertragung von Informationen an die Ansteuerelektronik eines High-Side Schalters, z.B. Schaltfrequenz oder Statusmeldungen, liegen die zu übertragenden Leistungen im Milliwattbereich. Neben den konventionellen Transformatoren werden hier auch Optokoppler eingesetzt (siehe Abbildung 1.1). Zwar bieten Optokoppler eine hohe Isolationsfestigkeit bei gleichzeitig geringer Leistungsübertragung, aber ihr Eingangsund Ausgangskreis sind gegenüber Überlast und Störimpulsen anfällig [2]. In Abbildung 1.2a ist ein Beispiel eines kommerziellen IGBT-Treibers der Firma InPower Systems dargestellt.

Abbildung 1.2: Beispiele von kommerziellen IGBT-Treiber: a) Treiber der Reihe 1IPSE1A65-105 der Firma InPower Systems mit konventionellen Transformator für die Energie- und Optokoppler für die Informationsübertragung [3]; b) Treiber der Reihe SKYPER 52 der Firma Semikron mit konventionellen Transformatoren für die Energie- und die Informationsübertragung [4].

Der Treiber der Reihe 1IPSE1A65-105 steuert ein IGBT-Leistungsmodul mit einer maximalen Kollektor-Emitter-Spannung von 6500V an. Die maximale Ausgangsleistung beträgt 3W und wird über einen konventionellen Transformator übertragen. Die Informationsübertragung erfolgt mittels Optokopplern. Die Isolationsspannung von Primär- zu Sekundärseite gibt der Hersteller mit 10,5kV an [3]. Als Beispiel für einen kommerziellen IGBT-

3

Treiber, der sowohl für die Energie- als auch für die Informationsübertragung konventionelle Transformatoren einsetzt, ist ein 2-Kanal Treiber der Reihe SKYPER 52R der Firma Semikron in Abbildung 1.2b dargestellt. Der Treiber ist für die Ansteuerung von zwei IGBTLeistungsmodulen mit einer maximalen Kollektor-Emitter-Spannung von 1700V ausgelegt. Die Ausgangsleistung pro Kanal liegt bei 9W. Die Isolationsspannung wird mit 4kV angegeben [4]. Bei beiden Treibervarianten nehmen die Übertrager die größte Platinenfläche ein. Des Weiteren stellen sie mit Abstand das, aus geometrischer Sicht, höchste Bauelement dar. Berechnet man aus den Daten der Herstellerangaben den Wirkungsgrad der Treiber bei maximaler Ausgangsbelastung, so ergeben sich Wirkungsgrade von 40% beim 1IPSE1A65-105 von InPower Systems bzw. 41,7% beim SKYPER 52R von Semikron. Neben der optischen und magnetischen Form der potentialgetrennten Übertragung stellt die akustische Energieübertragung mittels Transformatoren aus Piezokeramiken eine weitere Alternative dar [5], [6], [7], [8]. In dieser Arbeit wird ein Ansatz präsentiert, die Übertrager basierend auf magnetischer bzw. optischer Kopplung durch Piezotransformatoren (PTs) zu ersetzen. Im Gegensatz zu kommerziellen Transformatoren besitzen Piezotransformatoren kleinere geometrische Abmessungen und ein geringeres Gewicht. Besonders die Bauhöhe der bestückten Treiberplatine wird durch den Einsatz von Piezotransformatoren reduziert. Transformatoren aus piezoelektrischer Keramik stellen durch ihre hohe Curie-Temperatur3 , die je nach verwendeter Keramik bis über 330◦ C liegt, eine alternative Übertragerform für Anwendungen über 125◦ C dar. Trotz des Hinweises in den Datenblättern seitens einiger Keramikhersteller, dass die (Dauer-)Betriebstemperatur der piezoelektrischen Keramiken nicht über 50% der Curie-Temperatur liegen soll, bieten Piezotransformatoren ausreichend Temperaturreserven zu den bis +85◦ C spezifizierten konventionellen Transformatoren [9], [10]. Piezotransformatoren sind im Gegensatz zu konventionellen Transformatoren nicht entflammbar und sind ohne zusätzliche äußere Beschaltung kurzschlusssicher. Des Weiteren unterscheidet sich der in dieser Arbeit vorgestellte Ansatz von den konventionellen Lösungen in Abbildung 1.2 darin, dass die Übertragung von Energie und Information von der Primär- auf die Sekundärseite über einen einzigen piezoelektrischen Transformator geschieht. Durch primärseitige Modulation der akustischen Welle ist es möglich, neben der Energie für die sekundärseitige Versorgungsspannung der Ansteuerelektronik gleichzeitig auch Informationssignale zu übertragen. Im Rahmen dieser Arbeit wird gleichzeitige Übertragung von Informationssignalen am Beispiel des Taktsignals des HighSide Leistungsschalters aufgezeigt. Dies erfolgt durch primärseitige Amplitudenmodulation der akustischen Trägerwelle. Um einen hohen Wirkungsgrad des Systems zu erreichen, muss der Piezotransformator nahe seiner mechanischen Resonanzfrequenz betrieben werden [11], [12]. Die in dieser Arbeit entwickelten piezoelektrischen Transformatoren besitzen Resonanzfrequenzen von etwa 2MHz. Eine hohe Resonanzfrequenz ist die Voraussetzung für die Übertragung von Energie und Information über einen Piezotransformator. In dem Gesamtwirkungsgrad eines High-Side Treibers spielt neben dem Wirkungsgrad des Piezotransformators auch der Wirkungsgrad der Ansteuerschaltung eine entscheidende Rolle. Durch den Einsatz eines primärseitigen Resonanzwandlers erfolgt die Ansteuerung des Piezotransformators besonders effizient und der Gesamtwirkungsgrad des Systems kann gegenüber den konventionellen Lösungen gesteigert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird der Einsatz eines piezoelektrischen anstelle eines konventionellen Transformators in einem High-Side Treiber aufgezeigt. 3

Die Curie-Temperatur von piezoelektrischen Keramiken beschreibt den Temperaturpunkt, oberhalb dessen die Keramik ihre piezoelektrischen Eigenschaften verliert (siehe Unterabschnitt 2.1.2).

4

K APITEL 1: E INLEITUNG

Im folgenden Kapitel werden zunächst einige Grundlagen über den piezoelektrischen Effekt dargestellt. Des Weiteren wird die Entwicklung von piezoelektrischen Transformatoren auf Basis einer analytischen Betrachtung des elektrischen Ersatzschaltbilds von Piezotransformatoren und anschließender Simulation aufgezeigt. Eine elektrische Charakterisierung der hergestellten Piezotransformatoren beschließt dieses Kapitel. Im dritten Teil dieser Arbeit werden Ansteuerschaltungskonzepte für piezoelektrische Transformatoren untersucht und analysiert. Im vierten Kapitel wird auf Basis der entwickelten Piezotransformatoren bzw. Ansteuerschaltungen ein High-Side Treiber für Leistungsbauelemente entwickelt. Im letzten Kapitel werden die wichtigsten Erkenntnisse dieser Arbeit zusammengefasst und ein Ausblick auf Aspekte gegeben, die in weiterführenden Arbeiten behandelt werden können.

Kapitel 2 Entwicklung piezoelektrischer Transformatoren 2.1 Grundlagen der Piezoelektrizität 2.1.1 Historie der Piezoelektrizität Im Jahre 1880 entdeckten die Brüder Pierre und Jacques Curie den direkten piezoelektrischen Effekt. Bei Untersuchungen im Zusammenhang mit dem bereits seit 1824 durch David Brewster bekannten pyroelektrischen Effekt, beobachteten sie einen proportionalen Zusammenhang zwischen der mechanischen Beanspruchung bestimmter Kristalle und deren erzeugter elektrischen Ladung auf der Oberfläche. Sie zeigten anhand einiger Kristalle wie Turmalin, Quarz, Topas, Rohrzucker und Seignettesalzen, dass diese eine elektrische Ladung aufgrund mechanischer Spannung erzeugen. Der indirekte piezoelektrische Effekt, eine Dehnung oder Stauchung des Kristalls aufgrund einer angelegten elektrischen Spannung, wurde von Gabriel Lippmann im Jahre 1881 theoretisch vorausgesagt und von den Gebrüder Curie experimentell nachgewiesen [1]. Erste praktische Anwendung fand der piezoelektrische Effekt während des Ersten Weltkrieges als Einsatz in Sonargeräten zur UBoot Aufklärung. Der zunächst eingesetzte Quarz wurde durch Seignettesalze ersetzt, da es einen ausgeprägteren piezoelektrischen Effekt aufwies. Eine bedeutendere Rolle spielte der piezoelektrische Effekt nach der Entdeckung der ferroelektrischen Eigenschaft von Bariumtitanat. Als Ferroelektrika werden Stoffe bezeichnet, die eine elektrische Polarisation aufweisen. Diese Polarisation kann durch Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes ausgerichtet werden. Jetzt war es möglich, anstelle von Einkristallen jede beliebige Form von Piezokeramiken herzustellen und anschließend zu polarisieren. Anwendungsgebiete von direktem und indirektem piezoelektrischen Effekt finden sich in der Akustik als Tonabnehmer oder als Zünder in Gasfeuerzeugen, Ultraschallwandler in der Medizintechnik, in der Elektrotechnik als Sensoren und SAW4 -Filter und in mikromechanischen Stellelementen für Positionierungsaufgaben. Einsatzgebiete kommerzieller Piezotransformatoren sind in der Ansteuerschaltung von Kaltkathodenröhren5 wie sie in TFT6 -Bildschirmen als Hintergrundbeleuchtung eingesetzt werden [13], [14]. 4

aus dem Englischen: Surface Acoustic Wave (zu Deutsch: Akustische Oberflächenwelle) in der Literatur wird häufig der englische Begriff CCFL für Cold Cathode Fluorescent Lamp verwendet 6 aus dem Englischen: Thin Film Transistor (zu Deutsch: Dünnfilmtransistor)

5

5

6

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

2.1.2 Piezoelektrische Materialien In der Natur vorkommende einkristalline Materialien wie beispielsweise Quarz, Seignettesalz oder Turmalin weisen einen geringen Piezoeffekt auf [15], [16]. Voraussetzung für die technische Nutzung des piezoelektrischen Effekts ist die Herstellung von Piezomaterialien mit größerem piezoelektrischem Effekt, wie dies bei polykristallinen Ferroelektrika, wie z.B. Bariumtitanat (BaTiO3 ) oder Blei-Zirkon-Titanat (PZT), der Fall ist. Ferroelektrika weisen eine Polarisation ohne vorhandenes äußeres elektrisches Feld auf. Unsymmetrische Kristallstrukturen, wie die Perowskit-Struktur, zeigen ferroelektrisches Verhalten. In Abbildung 2.1a ist eine Perowskit-Elementarzelle oberhalb bzw. in 2.1b unterhalb der Curie-Temperatur TC dargestellt. Als Curie-Temperatur wird die Temperatur bezeichnet, nach deren Überschreitung piezoelektrische Materialien ihre piezoelektrischen Eigenschaften verlieren. Dies bewirkt ein Zusammenfallen aller positiver und negativer Ladungsschwerpunkte. Es treten keine Unsymmetrien oder Dipole mehr auf. Wird die CurieTemperatur unterschritten, geht das Gitter in den energetisch niedrigeren tetragonalen Zustand über. In diesem Fall fallen die Ladungsschwerpunkte nicht mehr zusammen und jede Elementarzelle bildet einen elektrischen Dipol.

Abbildung 2.1: Die Elementarzelle der Perowskit-Struktur nimmt a) oberhalb der CurieTemperatur TC eine kubische Kristallgitterform (Gitterparameter a) und b) unterhalb der Curie-Temperatur eine tetragonale Form an (Gitterparameter a und c) [17].

Die Dipole jeder Elementarzelle beeinflussen sich gegenseitig und bilden spontane Bereiche einheitlicher Dipolausrichtung aus, sogenannte Domänen oder Weiss’sche Bezirke. Eine Domäne besitzt ein bestimmtes Dipolmoment. Die Polarisation ergibt sich durch Division des Dipolmoments mit dem Volumen der Domäne. Diese spontane Polarisation kann nur entlang bestimmter kristallographischer Richtungen auftreten. Im Beispiel der rechten Darstellung in Abbildung 2.2 richten sich die Dipole entlang der [100]-Achse aus. In diesem Fall unterscheiden sich die Polarisationsrichtungen der Domänen um 90◦ bzw. 180◦ [15]. Die einzelnen Kristallite einer polykristallinen Verbindung bestehen aus einer oder mehreren Domänen. Abbildung 2.3a zeigt die statistische Verteilung der Polarisationsrich-

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

Kristallit

7

Elementarzelle

[100]-Achse Domäne Domänenwand

Korngrenze

Abbildung 2.2: Schematischer Kristallaufbau: Einzelne Kristallite bestehen aus ein oder mehreren Domänen, die wiederum aus Elementarzellen einheitlicher Dipolausrichtung bestehen. a)

b)

c)

E

∆L

P

∆Lr

Abbildung 2.3: Ausrichtung der Domänen a) vor Polung b) während Polung c) nach Polung [17].

tung der Domänen innerhalb eines makroskopischen Körpers, so dass dieser keine äußere Gesamtpolarisation und keinen piezoelektrischen Effekt aufzeigt. Durch Anlegen eines äußeren elektrischen Felds verschieben sich zunächst die Domänenwände zugunsten gleichgerichteter Weiss’scher Bezirke. Wird das äußere Feld weiter erhöht, klappt die Gesamtpolarisation der Domänen in Richtung des äußeren elektrischen Felds um. Die einzelnen Domänen füllen die gesamte Kristallitstruktur aus. Die einzelnen Domänen werden nun durch die jeweiligen Korngrenzen voneinander getrennt (siehe Abbildung 2.3b). Im Falle einer um 180◦ gedrehten Domäne ist lediglich ein Umspringen eines vierwertigen Ions, beispielsweise eines Ti4+ Ions, von einer stabilen Lage in die andere erforderlich. Das Ausrichten einer 90◦ -Domäne bedingt eine Umorientierung der tetragonalen Einheitszelle um 90◦ . Dies hat zur Folge, dass eine ursprüngliche a-Achse der Elementarzelle in Abbildung 2.1b auf die Länge einer c-Achse gestreckt und eine c-Achse auf die Länge einer a-Achse gestaucht werden muss. Durch die Umorientierung streckt sich die Piezokeramik um ∆L in Richtung des äußeren elektrischen Felds [15]. Da der Verbund der Kristallite in der polykristallinen Keramik erhalten bleiben muss, treten größere innere Spannungen auf. Diese innere Spannung bewirkt, dass nach dem Abschalten des elektrischen Felds der Großteil der 90◦ -Domänen zurückklappt. Die 180◦ -Domänen bleiben erhalten und eine sogenannte „remanente Polarisation“ oder Nettopolarisation bleibt zurück. Da auch einige 90◦ Domänen nach dem Abschalten des äußeren elektrischen Felds nicht zurückklappen, bleibt eine Längenänderung ∆Lr erhalten.

8

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

2.1.3 Polarität des piezoelektrischen Effekts Abbildung 2.4a zeigt einen Vollzylinder aus einem piezoelektrischen Material, an dem keine mechanische Kräfte oder elektrische Spannungen anliegen. Wirkt eine mechanische Kraft, wie in Abbildung 2.4b zu sehen ist, auf den Piezokörper, entstehen an den Elektroden Oberflächenladungen. Diese rufen eine elektrische Spannung mit der gleichen Polarität wie die Polarisation des Materials hervor. Eine entgegengesetzt gepolte Spannung tritt bei einem durch Zug gedehntem Material auf (Abbildung 2.4c). Abbildung 2.4d und Abbildung 2.4e zeigen den Piezokörper bei Anlegen einer gleich bzw. gegengleich der Polarisation gepolten elektrischen Spannung. Bei gleicher Polarität von Spannung und Polarisation des Materials wird dieses in Richtung der Polarisationsachse komprimiert und in allen anderen Richtungen gedehnt, bei ungleicher Polarität verhält es sich umgekehrt. Ist der piezoelektrische Körper in seiner Ausdehnung, wie in Abbildung 2.4f, beschränkt, erzeugt eine der Polarisation entgegengesetzt gepolte Spannung einen Druck auf die Auflageflächen. Abbildung 2.4g zeigt einen Piezokörper, der mit einer Wechselspannung beaufschlagt ist. Hier schwingt das Material zwischen den komprimierten und gedehnten Zuständen in der Frequenz der Wechselspannung. Befindet sich die Frequenz der Wechselspannung in der Nähe der mechanischen Resonanzfrequenz, ist die Auslenkung des Materials um ein Vielfaches höher als die Ausdehnung bzw. Kompression im Falle einer angelegten Gleichspannung. b) F

a)

c) F -

Polarisation -

+

+

+

F F

d)

e) +

f)

T

+ -

ΔL

-

g)

+ -

ΔL

T

Abbildung 2.4: Polarität des direkten und indirekten piezoelektrischen Effekts: a) piezoelektrischer Vollzylinder ohne Anliegen elektrischer bzw. mechanischer Kräfte; b) mechanischer Druck bewirkt zwischen den Elektroden eine elektrische Spannung gleicher Polarität wie die Polarisation des Piezomaterials; c) mechanischer Zug bewirkt eine entgegengesetzt gepolte Spannung; d) bei gleicher Polarität von angelegter elektrischer Spannung und Polarisation des Piezomaterials tritt eine Kompression des Materials in Richtung der Polarisationsachse auf; e) bei ungleicher Polarität tritt eine Dehnung des Materials auf; f) ist der Piezokörper in seiner Ausdehnung beschränkt, erzeugt eine der Polarisation entgegengesetzte Spannung einen Druck auf die Auflageflächen; g) ein mit einer Wechselspannung beaufschlagter Piezokörper schwingt in der Frequenz der Wechselspannung zwischen den komprimierten und gedehnten Zuständen [18].

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

9

2.1.4 Definition piezoelektrischer Größen Für die Beschreibung piezoelektrischer Körper wird in dieser Arbeit ein Koordinatensystem gemäß Abbildung 2.5 gewählt. Die Achsen x, y und z eines kartesischen Koordinatensystems werden in der Literatur oder in den Datenblättern der Hersteller üblicherweise mit den Ziffern 1, 2 und 3 bezeichnet [10]. Per Definition zeigt die z-Achse bzw. die Achse 3 in Richtung der Polarisationsachse der piezoelektrischen Keramik. Scherungen bzw. tangential zu den Hauptachsen angreifende Kräfte werden mit den Ziffern 4, 5 und 6 bezeichnet. 3 (z) 6

P

5 2 (y)

4 1 (x)

Abbildung 2.5: Definition der Achsenrichtungen.

Im Nachfolgenden werden die piezoelektrischen Eigenschaften mit Tensoren basierend auf diese Koordinatenachsen in Gleichungen ausgedrückt. Zunächst wird ein Isolator betrachtet. Liegt an diesem ein elektrisches Feld E an, so stellt sich proportional dazu eine elektrische Flussdichte D ein. Der Proportionalitätsfaktor ist die Permittivität ǫ [17]: D = ǫ · E.

(2.1)

Betrachtet man den piezoelektrischen Körper bezüglich seiner mechanischen Eigenschaften nach dem Hooke‘schen Gesetz, so stellt sich in Folge einer mechanischen Spannung T proportional dazu eine mechanische Dehnung S ein. Der Proportionalitätsfaktor ist die Nachgiebigkeit s. Ein negativer Wert für S in Gleichung (2.2) entspricht einer mechanischen Stauchung [17]: S = s · T. (2.2) Der piezoelektrische Effekt lässt sich durch die Verknüpfung der Mechanik und der Elektrostatik darstellen. Diese Verknüpfung wird durch zwei gekoppelte Gleichungen beschrieben [17]: D = d · T + ǫT · E.

(2.3)

S = sE · T + dτ · E.

(2.4)

In den Gleichungen (2.1) bis (2.4) sind die elektrische Flussdichte D und die elektrische Feldstärke E Tensoren erster Ordnung, also Vektoren. Diese sind über die relative Dielektrizitätszahl ǫ als Tensor zweiter Ordnung verknüpft. Die mechanische Dehnung S und die mechanische Spannung T sind Tensoren zweiter Ordnung und über die elastische

10

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Nachgiebigkeit s als Tensor vierter Ordnung verkoppelt. Die Verknüpfung der elektrostatischen Grundgleichung (2.1) mit der mechanischen Grundgleichung (2.2) erfolgt über die dielektrische Ladungskonstante d als Tensor dritter Ordnung [19]. Jede der vier Zustandsgrößen, die mechanische Dehnung S, die mechanische Spannung T , die elektrische Feldstärke E und die dielektrische Verschiebung D, lässt sich durch ein Gleichungspaar aus je einer unabhängigen elektrischen und mechanischen Zustandsgröße beschreiben. So beschreiben die Gleichungen (2.3) bzw. (2.4) den direkten bzw. indirekten piezoelektrischen Effekt. Beispielsweise kann die mechanische Dehnung S eines piezoelektrischen Aktors pro angelegter elektrischer Spannung nach Gleichung (2.4) berechnet werden. Ist der piezoelektrische Aktor frei beweglich (T =0), so ist die freie Auslenkung direkt proportional dem angelegten, elektrischen Felds. Ein Beispiel für den direkten Piezoeffekt ist ein Drucksensor. Durch äußeren mechanischen Druck T werden Oberflächenladungen generiert. Die elektrische Verschiebungsdichte D ist nach Gleichung (2.3) mit dem mechanischen Druck verknüpft. Die insgesamt 45 Tensorgrößen in den Gleichungen (2.3) und (2.4) lassen sich aus Symmetriegründen und mit der Achsendefinition in Abbildung 2.5 reduzieren. Das vollständige Gleichungssystem in Matrixschreibweise ist in den Gleichungen (2.5) und (2.6) angegeben. Auf eine ausführliche Herleitung der Tensorgrößenreduktion wird an dieser Stelle verzichtet und auf die Literatur verwiesen [20], [19]:



D1





0

0

0

0

d15

    D2  =  0 0 0 d15    D3 d31 d31 d33 0

           

S1 S2 S3 S4 S5 S6





          =          

sE 11

sE 12

sE 13

0

0 0

0



    0     0 ·    0  

T1

  T2   ǫT11 0 0  T3    +  0 ǫT 0 11   T4   0 0 ǫT33  T5  T6

0

E E sE 12 s11 s13

0

0

0

E E sE 13 s13 s33

0

0

0



0

0

0

sE 44

0

0

0

0

0

0

sE 44

0

0

0

0

0

0

E 2 · (sE 11 − s12 )

      ·     

T1 T2 T3 T4 T5 T6

            +          

 

E1



    ·  E2  .    E3 (2.5)

0

0

d31

0

0

0

0

0

d15

d15

0

0

0

   d31   E 1   d33   · E2  .   0   E3 0   0

(2.6) Im folgenden Text werden die piezoelektrischen bzw. mechanischen Konstanten aus den vorherigen Gleichungen eingehender erläutert und auf die Indizierung genauer eingegangen. Dielektrische Ladungskonstante

In den Gleichungen (2.3) bis (2.6) ist die dielektrische Ladungskonstante d ein Maß für den Einfluss der mechanischen Spannung T auf die elektrische Verschiebungsdichte D und für die Auswirkung der elektrischen Feldstärke E auf die mechanische Dehnung S. Die dielektrische Ladungskonstante d beschreibt die Verknüpfung zwischen den mechanischen und den elektrischen Größten. Dementsprechend können die Elemente des Tensors dij über zwei Beziehungen definiert werden [21]:

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

dij =



∂Sj ∂Ei



11

=

T =const



∂Di ∂Tj



.

(2.7)

E=const

Die tiefgestellten Indizes i bzw. j beschreiben allgemein die Anisotropie der piezoelektrischen Konstanten. Der erste Index i bezieht sich auf die Richtung der elektrischen Zustandsgrößen D bzw. E, der zweite Index j auf die mechanischen Zustandsgrößen S bzw. T . Der Index i kann, nach Definition der Achsenrichtungen in Abbildung 2.5, die Werte 1 bis 3 annehmen. Die mechanischen Zustandsgrößen D und T treten sowohl in Richtung der Hauptachsen 1 bis 3 als auch als Scherungen in Richtung 4 bis 6 auf (vgl. Abbildung 2.5). Demnach nimmt der Index j Werte von 1 bis 6 an. Auf Grund der Definition von dij in Gleichung (2.7) können die elektrischen bzw. mechanischen Zustandsgrößen sowohl Ursache als auch Wirkung sein [17]. Als Beispiel sei hier die dielektrische Ladungskonstante d33 aufgeführt. Betrachten man den zylindrischen Körper in Abbildung 2.4b, so beschreibt die Ladungskonstante zum einen die induzierte elektrische Flussdichte D in Richtung 3 (elektrische Wirkung) pro anliegender mechanischen Spannung T in Richtung 3 (mechanische Ursache). Zum anderen beschreibt sie in Abbildung 2.4e die resultierende Dehnung S in Richtung 3 (mechanische Wirkung) pro anliegender elektrischer Feldstärke E in Richtung 3 (elektrische Ursache). Das tiefgestellte τ in Gleichung (2.4) besagt, dass hier die transponierte7 Matrix von d verwendet wird. Elastische Nachgiebigkeit Die elastische Nachgiebigkeit s ist ein Maß für das Verhältnis von mechanischer Dehnung S zu mechanischer Spannung T . Bedingt durch die mechanischen und elektrischen Wechselwirkungen sind die elektrischen Randbedingungen, unter welchen die Elemente der Matrix sij definiert sind, durch hochgestellte Indizes gekennzeichnet:   ∂Si E sij = . (2.8) ∂Tj E=const   ∂Si D sij = . (2.9) ∂Tj D=const

Die hochgestellten Indizes E bzw. D der elastischen Nachgiebigkeit sij in den Gleichungen (2.8) und (2.9) beschreiben die elektrischen Randbedingungen. Der Index E definiert die Randbedingung bei einer konstanten elektrischen Feldstärke E. Per Definition gilt dies bei elektrisch kurzgeschlossenen Elektroden [10]. Eine konstante elektrische Flussdichte D wird durch den hochgestellten Index D dargestellt. Dies gilt per Definition bei elektrisch offenen Elektroden (Leerlauf). Beispielsweise beschreibt die elastische Nachgiebigkeit sD 11 das Verhältnis von Dehnung S in Richtung 1 zu in Richtung 1 wirkender Spannung T unter der Randbedingung einer konstanten elektrischen Flussdichte D. In der englischsprachigen Literatur wird für die elastische Nachgiebigkeit s häufig das YoungModul Yij oder cij verwendet. Es entspricht dem Reziprokwert der elastischen Nachgiebigkeit s. Außerdem entspricht s dem reziproken Produkt aus Dichte ρ und dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit ν im Kristall [22]: s= 7

1 1 = . Y ρ · ν2

(2.10)

Die transponierte Matrix Aτ =(anm ) erhält man, wenn man die Zeilen m mit den Spalten n der Matrix A=(amn ) vertauscht.

12

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Relative Dielektrizitätszahl bzw. Permittivitätszahl Die relative Dielektrizitätszahl ǫr beschreibt das Verhältnis der dielektrischen Leitfähigkeit (Permittivität) ǫ der Keramik zu der elektrischen Feldkonstanten ǫ0 . Die Permittivität stellt ein Maß für die Polarisierbarkeit im elektrischen Feld dar. Die Elemente der Matrix ǫii können nach Gleichung (2.11) bzw. (2.12) definiert werden:   ∂Di S ǫii = . (2.11) ∂Ei S=const   ∂Di T ǫii = . (2.12) ∂Ei T =const Die hochgestellten Indizes S bzw. T der relative Dielektrizitätszahl ǫii beschreiben die mechanischen Randbedingungen. Der Index S definiert die Randbedingung bei einer konstanten mechanischen Dehnung S. Per Definition gilt dies bei mechanisch geklemmten, piezoelektrischem Material. Ein konstanter mechanischer Druck T wird durch einen hochgestellten Index T definiert. Hier ist das piezoelektrische Material frei beweglich [10]. Als Beispiel sei hier relative Dielektrizitätszahl ǫT33 aufgeführt. Sie beschreibt die Permittivität in Richtung 3 bei konstanter mechanischer Spannung T . Wie bereits vorher angesprochen, können jede der vier Zustandsgrößen D, E, S und T durch ein Gleichungspaar aus je einer unabhängigen elektrischen und mechanischen Zustandsgröße beschreiben. Neben den Gleichungen (2.3) und (2.4) lassen sich noch weitere Grundgleichungen aufstellen [21]: D = e · S + ǫS · E.

(2.13)

T = cE · S − eτ · E.

(2.14)

E = β T · D − g · T.

(2.15)

S = sD · T + gτ · D.

(2.16)

E = β S · D − h · S.

(2.17)

T = cD · S − hτ · D.

(2.18)

Die weiteren piezoelektrischen Materialkonstanten e, β, g und h in den Gleichungen (2.13) bis (2.18) sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Der tiefgestellte Index τ beschreibt die transponierte Matrix der jeweiligen Materialkonstante. Sie lassen sich aus den zuvor vorgestellten Materialkonstanten d, ǫ und s ausdrücken. Dies wird anhand der Spannungskonstanten g exemplarisch aufgezeigt, da sie häufig in Datenblättern der Piezokeramikhersteller angegeben wird. Spannungskonstante In den Gleichungen (2.15) und (2.16) ist die Spannungskonstante g ein Maß für das Verhältnis von elektrischer Feldstärke E zu mechanischen Spannung T bzw. von mechanischer Dehnung S zu elektrischer Flussdichte D. Die Elemente der Matrix gij lassen sich berechnen zu:     −∂Ei ∂Sj gij = = . (2.19) ∂Tj D=const ∂Di T =const

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

13

Tabelle 2.1: Übersicht Zustandsvariablen und Materialkonstanten [19]

Zustandsvariable

Beschreibung

Einheit

D E S T

dielektrische Verschiebung elektrische Feldstärke mechanische Dehnung mechanische Spannung

C m2 V m

Materialkonstante

Beschreibung

Einheit

β ǫ c d e g h s

Impermittivität Permittivität Steifigkeit piezoelektrische Ladungskonstante piezoelektrische Konstante piezoelektrische Spannungskonstante piezoelektrische Konstante Nachgiebigkeit

m F F m N m2 C N



N m2

N V ·m

=

C m2

m2 C N C

=

V m

m2 N

Die Spannungskonstante g kann auch über das Verhältnis von piezoelektrischer Ladungskonstante d und der relativen Dielektrizitätskonstante ǫT ausgedrückt werden [22]: g=

d . ǫT

(2.20)

Piezoelektrischer Kopplungsfaktor Der piezoelektrische Kopplungsfaktor k ist ein wichtiges Maß für die Beschreibung von piezoelektrischen Materialien. Der piezoelektrische Kopplungsfaktor kann durch das Verhältnis von gemeinsamer elastischer und dielektrischer Energiedichte zu dem geometrischen Mittel aus elastischer und dielektrischer (Eigen-)Energiedichte ausgedrückt werden. Unter Vernachlässigung der thermischen Energie kann die interne Energiedichte Eint eines piezoelektrischen Systems angegeben werden [21]: Eint =

1 2

· Sj Tj + 12 · Di Ei .

i = 1, 2, 3 .

(2.21)

j = 1, 2, 3...6. Unter der Berücksichtigung der Gleichungen (2.3) und (2.4) lässt sich Gleichung (2.21) umschreiben zu [21]: Eint =

1 2

1 1 · Tj sE jl Tl + 2 · Tj dij Ei + 2 · Ei dij Tj +

1 2

i = 1, 2, 3 .

· Ei ǫTii Ei = Ee + 2 · Egem + Ed .

j = 1, 2, 3...6 . l = 1, 2, 3...6. (2.22)

14

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

In Gleichung (2.22) beschreibt Ee die (reine) elastische Energiedichte, Ed die (reine) dielektrische Energiedichte und Egem die piezoelektrische Energiedichte. Der Kopplungsfaktor k ist demnach definiert: k=√

Egem . Ee · Ed

(2.23)

Im Allgemeinen ist die Auswertung nach Gleichung (2.22) sehr schwierig. Aber aus Symmetriegründen reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Materialkonstanten in Gleichung (2.22). Wenn zudem einige Zustandsvariablen von T und E den Wert null annehmen, ergibt sich eine vereinfachte Form. Betrachtet man beispielsweise einen in Richtung 3 polarisierten dünnen Piezostreifen, wie er in Abbildung 2.8 dargestellt ist. Der Piezostreifen sei zudem in Richtung 1 freibeweglich (alle mechanischen Spannungen Tj , außer T1 , gleich null). Ein elektrisches Feld liegt nur in Richtung 3 an. Gleichung (2.22) vereinfacht sich somit zu [21]: 1 1 · T12 sE · E32 ǫT33 . 11 + T1 d31 E3 + 2 2 Und der statische Kopplungsfaktor k31 ergibt sich zu: Eint =

k31 =

1 2

1 2

· E3 d31 T1 d31 p =p . 2 E 2 T ǫT33 sE · T1 s11 E3 ǫ33 11

(2.24)

(2.25)

Der Kopplungsfaktor k im dynamischen Betrieb von Piezokeramiken ist meistens geringer als der statische Wert. Dies führt daher, dass die elastische Energie nicht vollständig piezoelektrisch gekoppelt ist. Die dynamischen Kopplungsfaktoren sind mit 20 bis 25% geringer angegeben als die statischen Werte [21]. Mechanische Güte Der mechanische Qualitätsfaktor oder Güte Qm beschreibt die Schärfe der Serienresonanzfrequenz fs eines piezoelektrischen Körpers. Das elektrische Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Körpers entspricht dem eines Schwingquarzes nach Abbildung 2.6. Die Kapazität C0 in Abbildung 2.6 beschreibt die statische Kapazität des Piezokörpers. Das dynamische Verhalten des Systems wird durch den Serienschwingkreis aus der Induktivität Lm und Cm beschrieben. Die mechanischen und dielektrischen Verluste werden durch den ohmschen Widerstand Rm ausgedrückt.

Abbildung 2.6: Elektrisches Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Körpers.

Regt man das piezoelektrische System durch Anlegen einer Wechselspannung zum Schwingen an, kann man die Admittanz Y des Systems ermitteln und über der Frequenz

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

15

auftragen. Der Realanteil eines Admittanzverlaufs über der Frequenz ist schematisch in Abbildung 2.7 dargestellt. Die Serienresonanzfrequenz fs stellt die Frequenz dar, bei der der Wirkleitwert G den Maximalwert erreicht. Die Frequenzen f-3dB,1 und f-3dB,2 beschreiben die Punkte im Diagramm, an denen das Signal um 3dB gefallen ist.

Abbildung 2.7: Definition der mechanischen Güte Qm .

Die mechanische Güte Qm ist definiert als der Quotient aus der Serienresonanzfrequenz fs und der Differenz von f-3dB,2 und f-3dB,1 [22]: Qm =

fs . f-3dB,2 − f-3dB,1

(2.26)

Frequenzkonstante Über die Frequenzkonstante N lässt sich die Serienresonanzfrequenz fs einer Piezokeramik abschätzen: N = fs · L.

(2.27)

In Gleichung (2.27) beschreibt L allgemein die geometrische Abmessung der Keramik, entlang derer sich die akustische Welle ausbreitet. Die Frequenzkonstante N entspricht daher der halben Schallgeschwindigkeit ν in der Keramik [22]: N=

ν . 2

(2.28)

Curie-Temperatur Die Curie-Temperatur TC repräsentiert die Temperatur, die den Übergang der kubischen in die tetragonale Elementarzelle charakterisiert (vgl. Abbildung 2.1). Die Hersteller von piezoelektrischer Keramik weisen darauf hin, dass die im Datenblatt angegebene Curie-Temperatur im Dauerbetrieb, wenn nicht anders angegeben, nicht über 50% überschritten werden sollte, da sonst die remanente Polarisation verloren gehen kann (siehe Unterabschnitt 2.1.2) [9], [10].

16

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Verlustfaktor Die dielektrischen Verluste tanδ in der Piezokeramik werden über den Tangens des Verlustwinkels δ beschrieben. Die physikalischen Ursachen der dielektrischen Verluste sind die endliche Leitfähigkeit des Dielektrikums und Polarisations- bzw. Hystereseverluste. Der dielektrische Verlustfaktor beschreibt das Verhältnis von Wirk- zu Blindwiderstand: tanδ =

Re {Z} R = Im {Z} X

(2.29)

2.1.5 Schwingungsmodi von Piezokeramiken Piezokeramiken, die durch ein elektrisches Wechselfeld angeregt werden, nehmen Schwingungszustände bzw. - formen ein, die von der Geometrie des Körpers, dessen elastischen Eigenschaften und der Polarisationsrichtung bestimmt werden. Mit Hilfe dieser Schwingungsmodi werden von Seiten der Keramikhersteller die piezoelektrischen Konstanten ermittelt und in den Datenblättern angegeben. Beim Design eines piezoelektrischen Bauelements müssen die dem Schwingungsmodus entsprechenden Konstanten, wie Dielektrizitätszahl ǫ, piezoelektrische Ladungskonstante d und der elastischen Nachgiebigkeit s berücksichtigt werden. Zunächst werden die verschiedenen Schwingungsmodi vorgestellt. Am Ende des Kapitels erfolgt eine tabellarische Zusammenfassung der Materialkonstanten, die durch den jeweiligen Schwingungsmodus ermittelt werden können. 2.1.5.1 Transversaler Schwingungsmodus In Abbildung 2.8 ist ein in Richtung 3 polarisierter rechteckförmiger Piezostreifen dargestellt, dessen Länge l im Vergleich zu den übrigen Abmessung w und h groß gewählt ist. Ein parallel zur Polarisationsrichtung angelegtes elektrisches Wechselfeld erzeugt in dem piezoelektrischen Material eine in Richtung 1 schwingende akustische Welle [22].

Abbildung 2.8: Transversaler Schwingungsmodus: Durch Anlegen einer elektrischen Wechselspannung wird in dem senkrecht zu den Elektroden polarisierten Piezostreifen eine Schwingung in Richtung 1 erzeugt.

Die gekoppelten Grundgleichungen (2.3) und (2.4) vereinfachen sich wegen nur eines in Richtung 3 vorhandenen elektrischen Felds zu: D3 = d31 · T1 + ǫT33 · E3 . S1 = s E 11 · T1 + d31 · E3 .

(2.30) (2.31)

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

17

Die Serienresonanzfrequenz fs des transversalen Schwingungsmodus lässt sich mit der in Datenblättern von Piezokeramiken angegebenen Frequenzkonstanten N1 und der Länge l nach Gleichung (2.27) abschätzen [22]: N1 = fs · l.

(2.32)

Der Index 1 der Frequenzkonstanten N in Gleichung (2.32) deutet die Richtung der akustischen Welle in einem kartesischen Koordinatensystem an (vgl. Abbildung 2.5). Nach Gleichung (2.32) nimmt die Serienresonanzfrequenz fs mit abnehmender Länge l zu bzw. fs sinkt mit zunehmender Länge l. 2.1.5.2 Longitudinaler Schwingungsmodus Der longitudinale Schwingungsmodus unterscheidet sich von der transversalen Schwingung in der Schwingungsrichtung. Wie in Abbildung 2.9 zu sehen ist, liegt die Schwingungsrichtung der akustischen Welle parallel der Polarisationsachse und der Richtung des elektrischen Felds. Um Nebenresonanzen zu vermeiden, z.B. Anteile von einer transversalen Schwingung, muss die Länge l des Piezokörpers groß gegenüber den übrigen Abmessungen sein. Beispielhaft ist in Abbildung 2.9 ein Vollzylinder dargestellt, dessen Länge l groß gegenüber dem Durchmesser D ist [22].

Abbildung 2.9: Longitudinaler Schwingungsmodus: Durch Anlegen einer elektrischen Wechselspannung wird in dem senkrecht zu den Elektroden polarisierten Piezozylinder eine Schwingung in Richtung 3 erzeugt.

Die gekoppelten Grundgleichungen (2.3) und (2.4) vereinfachen sich, wegen der nur in Richtung 3 auftretenden Zustandsvariablen zu: D3 = d33 · T3 + ǫT33 · E3 .

(2.33)

S3 = s E 33 · T3 + d33 · E3 .

(2.34)

Analog Gleichung (2.32) lässt sich die longitudinale Serienresonanzfrequenz fs nach Gleichung (2.27) abschätzen [22]: N3 = fs · l.

(2.35)

18

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

2.1.5.3 Dickenschwingungsmodus Das Schwingen dünner Piezoscheiben oder -platten in Richtung 3 bezeichnet man als Dickenschwingung. In dem Dickenschwingungsmodus ist, im Gegensatz zu dem longitudinalen Schwingungsmodus, die geometrische Abmessung in Schwingungsrichtung klein. Beispielsweise ist die Dicke h, der in Abbildung 2.10 dargestellten piezokeramischen Scheibe, sehr klein gegenüber den übrigen Abmessungen [22].

Abbildung 2.10: Dickenschwingungsmodus: Durch Anlegen einer elektrischen Wechselspannung wird in der senkrecht zu den Elektroden polarisierten Piezoscheibe eine Schwingung in Richtung 3 erzeugt.

Die Richtung der Polarisationsachse P , des elektrischen Felds E sowie die Schwingungsrichtung liegen, wie auch bei der longitudinalen Schwingung, parallel. Das vereinfachte, gekoppelte Gleichungssystem in den Gleichungen (2.33) und (2.34) ist auch für diese Schwingungsform anwendbar. Die Frequenzkonstante N und der Kopplungsfaktor k der Dickenschwingung unterscheiden sich meist deutlich von den Werten der longitudinalen Schwingungsform. In Datenblättern werden die Konstanten daher mit einem tiefgestellten Index t (aus dem Englischen: thickness) angegeben. Der Wert der Frequenzkonstanten Nt liegt über dem Wert von N3 , dagegen ist der Kopplungsfaktor kt kleiner als k3 . Die Serienresonanzfrequenz fs von dünnen Piezoscheiben liegt, wegen der meist hohen Frequenzkonstanten N t und der geringen Dickte h, im MHz-Bereich und lässt sich nach Gleichung (2.27) abschätzen: Nt = fs · h. (2.36) 2.1.5.4 Planarer oder radialer Schwingungsmodus Dünne piezokeramische Scheiben besitzen neben dem Dickenschwingungsmodus bei hohen Resonanzfrequenzen eine zweite Schwingungsform, die bei wesentlich niedrigeren Resonanzfrequenzen auftritt. Hierbei schwingt die dünne Piezoscheibe in der 12-Ebene, d.h. radial. Bei dünnen Piezoplatten wird von einer planaren Schwingung gesprochen [22]. In Datenblättern werden die Konstanten des planaren Schwingungsmodus mit einem tiefgestellten Index p gekennzeichnet. Die Serienresonanzfrequenz fs dieser Schwingungsform wird durch den Durchmesser D der Piezoscheibe definiert, wie aus Gleichung (2.37) hervorgeht. Trotz der im Vergleich zu Nt höheren Frequenzkonstanten Np liegt die resultierende Serienresonanzfrequenz fs nach Gleichung (2.27) deutlich unterhalb der Serienresonanzfrequenz der Dickenschwingung:

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

19

Abbildung 2.11: Radialer oder planarer Schwingungsmodus: Durch Anlegen einer elektrischen Wechselspannung wird in der senkrecht zu den Elektroden polarisierten Piezoscheibe eine Schwingung in radialer Richtung erzeugt.

fs =

Np . D

(2.37)

2.1.5.5 Dicken-Scher Schwingungsmodus Abbildung 2.12 zeigt einen piezoelektrischen Körper, dessen Polarisationsachse senkrecht zum Normalenvektor der Elektrodenflächen steht. Das Anlegen einer Spannung an die Elektroden bewirkt eine Scherung um die Achse 2 [10]. Dies bezeichnet man als DickenScher Schwingung. Die Konstanten des Dicken-Scher Schwingungsmodus werden in Datenblättern mit einem tiefgestellten Index 5 gekennzeichnet. E Schwingungsrichtung 3 h 2

P

U~

U~

1 P: Polarisation E: elektrische Feldstärke

w

Schwingungsrichtung

l

Abbildung 2.12: Dicken-Scher Modus: Durch Anlegen einer elektrischen Wechselspannung wird in dem parallel zu den Elektroden polarisierten Piezokörper ein Schereffekt um die Achse 2 erzeugt.

Die Serienresonanzfrequenz fs des Dicken-Scher Modus ist über die Frequenzkonstante N5 und der Dicke h des piezoelektrischen Körpers definiert: N5 = fs · h.

(2.38)

Durch Kombination der vorgestellten Schwingungsmodi wird von Seiten der Piezokeramikhersteller ein vollständiger Datensatz der dielektrischen, mechanischen und piezoelektrischen Materialkonstanten einer Piezokeramik ermittelt. Die dynamischen Messmethoden

20

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

sind im IEC Standard 483 beschrieben [23]. Ein nach der Messmethode geordneter Parametersatz einer Piezokeramik ist in Tabelle 2.2 angegeben. Tabelle 2.2: Parametersatz einer Piezokeramik [22], [24]

Materialkonstanten dielektrisch mechanisch piezoelektrisch Transversaler Schwingungsmodus ǫT33

sE 11 sD 11

k31 d31 g31

Longitudinaler Schwingungsmodus ǫT33

sE 33 sD 33

k33 d33 g33

Dickenschwingungsmodus ǫS33

cE 33 cD 33

kt

Planer oder radialer Schwingungsmodus sE 12 sE 13

kp

Dicken-Scher Schwingungsmodus ǫS11 ǫT11

cE 55 cD 55 sD 55 sE 55

k15 d15 g15

2.1.6 Vergleich von magnetischen und piezoelektrischen Transformatoren In Abbildung 2.13 sind schematisch ein magnetischer und ein piezoelektrischer Transformator dargestellt. Die Basis eines magnetischen Transformators besteht aus einem Kern aus ferromagnetischen Material, beispielsweise Eisen oder Ferrit, und zwei Wicklungen mit Windungszahlen NTrafo,in bzw. NTrafo,out . Die Seite, die die Wicklung der elektrischen Energiequelle trägt, wird als Primärseite bezeichnet. Auf der Sekundärseite befindet sich die elektrische Last. Durch Anlegen einer primärseitigen Wechselspannung UTrafo,in fließt ein Magnetisierungsstrom ITrafo,in durch die Primärwicklung. Der Stromfluss ITrafo,in induziert einen wechselnden, magnetischen Fluss Φ im Kernmaterial. Dieser magnetische Fluss wiederum induziert in der Sekundärwicklung eine Spannung UTrafo,out . Wird die Sekundärseite mit einer ohmschen Last beschaltet, so fließt ein Wechselstrom ITrafo,out . Nach dem Ampère’schen Gesetz führt der Strom ITrafo,out zu einem zusätzlichen Primärstromfluss ITrafo,in .

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

21

Für einen idealen Transformator gelten die bekannten Strom-Spannungs-Beziehungen zwi-

Abbildung 2.13: Schematische Abbildung eines a) magnetischen und eines b) piezoelektrischen Transformators [25].

schen Primär- und Sekundärseite in den Gleichungen (2.39) und (2.40). Das Übersetzungsverhältnis N eines idealen Transformators ergibt sich aus dem Quotienten der Wicklungszahlen NTrafo,out und NTrafo,in : UTrafo,in =

N1 · UTrafo,out . N2

(2.39)

ITrafo,in =

N2 · ITrafo,out . N1

(2.40)

NTrafo,out . NTrafo,in

(2.41)

N=

In Abbildung 2.13b ist eine schematische Ausführung eines dreischichtigen, piezoelektrischen Transformators dargestellt. Zwei piezokeramische Scheiben sind durch eine dünne Isolationsschicht elektrisch getrennt. Das Anlegen einer elektrischen Wechselspannung Uin an die Elektroden der primärseitigen Piezokeramik bewirkt infolge des indirekten, piezoelektrischen Effekts ein alternierendes Dehnen und Stauchen der Keramikscheibe. Es breiten sich mechanische (akustische) Wellen in radialer Richtung der Keramikscheibe sowie in das Volumen (in Richtung der Flächennormalen) aus. Die Frequenz dieser Wellen entspricht der Frequenz der anliegenden Wechselspannung. In der sekundärseitigen Piezokeramik wird aufgrund der mechanischen Verformung durch die akustische Welle elektrische Ladung an der Oberfläche infolge des direkten, piezoelektrischen Effekts erzeugt. Über das sekundärseitige Elektrodenpaar kann eine elektrische Spannung Uout abgegriffen werden. Bei bestimmten Frequenzen - den sogenannten Resonanzfrequenzen - überlagern sich die ausbreitenden und die reflektierenden Wellen konstruktiv und es entsteht eine stehende Welle. Im Resonanzfall ist die mechanische Verformung ein Vielfaches größer als im statischen Zustand bzw. außerhalb der Resonanz. Daher ist auch die Ausgangsspannung Uout im Resonanzfall maximal. Im Gegensatz zum magnetischen Transformator kann die Ausgangsspannung eines Piezotransformators sowohl über die Amplitude als auch über die Frequenz der Eingangsspannung gesteuert werden. Bei beiden Transformatorkonzepten lassen sich die Übertragungseigenschaften durch Materialparameter sowie geometrische Abmessungen beeinflussen. Beispielsweise müssen bei der Entwicklung eines magnetischen

22

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Transformators unter anderem die Permeabilität µ des Kernmaterials, dessen Abmessungen und die Anzahl der primären bzw. sekundären Windungen berücksichtigt werden. Bei einem piezoelektrischen Transformator sind die Eigenschaften der verwendeten Piezokeramik, wie beispielsweise die piezoelektrische Ladungskonstante d, die mechanische Güte Qm oder die Curie-Temperatur TC , entscheidend. Über die geometrischen Abmessungen wird die Resonanzfrequenz festgelegt. Über die Anzahl bzw. die geometrische Form der piezoelektrischen Schichten kann das Übersetzungsverhältnis des Transformators eingestellt werden. Eine weitere Gemeinsamkeit der beiden Transformatorkonzepte ist, dass Leistungsübertragung durch die Wärmeabfuhr limitiert ist. Bei magnetischen Transformatoren treten die Wärmeverluste hauptsächlich in Form von Kupferverlusten in den Windungen und als Hysterese- sowie Wirbelstromverluste im Kernmaterial auf. Bei piezoelektrischen Transformatoren setzen sich die Wärmeverluste aus dielektrischen Verlusten in der Eingangs- und Ausgangskapazität, die durch die metallisierten Elektrodenflächen und dem piezoelektrischen Material als Dielektrikum bestehen, sowie Polarisationsverluste durch Umpolung der Weiss’schen Bezirke. In Tabelle 2.3 sind die Eigenschaften von magnetischen und piezoelektrischen Transformator zusammengefasst. Tabelle 2.3: Vergleich zwischen magnetischem und piezoelektrischem Transformator

Transformator Kopplung Träger Entwurfsparameter

Wärmeverluste Steuerung

magnetisch

piezoelektrisch

elektromagnetisch elektromagnetischer Fluss Φ Geometrische Abmessungen, z.B. Bemaßung des Kerns Materialeigenschaften, z.B. µ Kupferverluste Hystereseverluste Wirbelstromverluste Amplitude von UTrafo,in

elektromechanisch akustische Welle Geometrische Abmessungen, z.B. Dicke der Piezokeramik Materialeigenschaften, z.B. d dielektrische Verluste Polarisationsverluste Amplitude und Frequenz von Uin

Im Nachfolgenden werden verschiedene Piezotransformatoren beschrieben. Piezoelektrische Transformatoren werden anhand ihrer Schwingungsform unterschieden und einer Piezotransformatorklasse zugeordnet. Sind die Ein- bzw. Ausgänge des Transformators voneinander elektrisch isoliert, spricht man - wie bei magnetischen Transformatoren auch - von einer galvanischen Trennung. Es gibt bei beiden Transformatorkonzepten auch Ausführungen mit einer elektrischen Verbindung von Ein- und Ausgang. Bei magnetischen Transformatoren ist dafür der Ausdruck „Spartransformator“ gebräuchlich.

2.1.7 Piezotransformatorklassen 2.1.7.1 Rosen-Type Transformator Die ersten Piezotransformatoren wurden von Dr. Charles Rosen im Jahr 1958 entwickelt [5]. Der in Abbildung 2.14 dargestellte Rosen-Type Transformator besteht aus einer Kombination eines primärseitigen, transversalschwingenden piezoelektrischen Aktors und eines

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

23

sekundärseitigen, longitudinalschwingenden piezoelektrischen Wandlers. Wegen der Anordnung der Elektroden kann mit Rosen-Type Transformator keine Potentialtrennung von Primär- und Sekundärseite erzielt werden. Mit der Rosen-Type Struktur lassen sich hohe Spannungsverstärkungen realisieren [11], [26], [27]. Daher ist das Einsatzgebiet derartiger Piezotransformatoren u.a. die Ansteuerung von Kaltkathodenröhren für die Hintergrundbeleuchtung von Flachbildschirmen. Ein Einsatz als Transformator für die Übertragung der Versorgungsspannungen von Leistungsmodulen ist wegen der fehlenden Potentialtrennung von Primär- und Sekundärseite (siehe Abbildung 2.14) nicht möglich. Der Rosen-Type Transformator ist in der Literatur sehr genau analysiert und dokumentiert [28]. Primärseite P

Uin

Sekundärseite P

S

S

P: Polarisationsrichtung S: Schwingungsrichtung

h w

Uout

l2

l1 l

Abbildung 2.14: Rosen-Type Piezotransformator: Kombination eines primärseitigen, transversalschwingenden, piezoelektrischen Aktors und eines sekundärseitigen, longitudinalschwingenden, piezoelektrischen Wandlers.

2.1.7.2 Dickenschwingender Piezotransformator Die in Abbildung 2.15 dargestellten Vielschicht-Piezotransformatoren wurden von der japanischen Firma NEC im Jahr 1992 entwickelt [29], [30]. Das Vielschichtsystem wird durch einen primärseitigen Aktor bzw. Aktorstapel in Dickenschwingung angeregt. Auf der Sekundärseite erzeugen Wandler bzw. Wandlerstapel aus der mechanischen Schwingung eine elektrische Spannung. Mit diesem Aufbau sind sowohl Piezotransformatoren ohne Potentialtrennung, wie in Abbildung 2.15a dargestellt, als auch Piezotransformatoren mit Potentialtrennung (Abbildung 2.15b) realisierbar. Die Potentialtrennung wird durch eine Isolationsschicht zwischen der Primär- und Sekundärseite erreicht. Als Isolationsmaterialien kommen Keramiken mit hinreichend hohem Isolationswiderstand, wie beispielsweise Aluminiumoxid (Al2 O3 ) oder Aluminiumnitrid (AlN), zum Einsatz. In Abbildung 2.15a ist der Piezotransformator mit jeweils einer Schicht Piezokeramik für Primär- bzw. Sekundärseite ohne Isolation dargestellt. In Abbildung 2.15b ist der Transformator mit jeweils zwei Piezokeramikschichten und einer isolierenden Schicht skizziert. Über die Anzahl der Schichten kann das Übersetzungsverhältnis N des piezoelektrischen Transformators eingestellt. Üblicherweise werden Transformatoren dieser Klasse zur Herabsetzung der Ausgangsspannung verwendet (engl.: stepdown transformer). Hier ist die Schichtanzahl bzw. Schichtdicke der Primärseite größer als die der Sekundärseite. Einsatzgebiet des dickenschwingenden Piezotransformators mit 1:1 Übersetzung bzw. einer Herabsetzung der Ausgangsspannung ist in DC/DC Wandlern und als Anpassungstransformator [7], [29]. Der im Dickenschwingungsmodus betriebene piezoelektrische Transformator ist in der Literatur ebenfalls sehr

24

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

genau analysiert und dokumentiert [28]. a) Uin

P S h1 h2 P S

Uout

D

P: Polarisationsrichtung S: Schwingungsrichtung

b) Uin

h1

2h1

P

S

P

S

hiso h2

2h2

Uout D

Abbildung 2.15: Dickenschwingender Piezotransformator: a) nicht isolierte Ausführung mit jeweils einer primär- bzw. sekundärseitiger Piezokeramikschicht, b) isolierte Ausführung mit zweilagigem primär- bzw. sekundärseitigen Piezokeramikstapel.

2.1.7.3 Radialschwingender Piezotransformator Die Firma FACE aus den USA entwickelte im Jahr 1996 den in Abbildung 2.16 dargestellten radialschwingenden Vielschichttransformator [6]. Der von FACE unter dem Namen „Transoner“ vertriebene Piezotransformator besteht aus einer oder mehreren Schichten primär- und sekundärseitiger Piezokeramik. P: Polarisationsrichtung S: Schwingungsrichtung Uin

S h1 hiso h2

Uout

P

P

D

Abbildung 2.16: Radialschwingender Piezotransformator - „Transoner“: Isolierte Ausführung mit jeweils einer primär- bzw. sekundärseitiger Piezokeramikschicht.

Analog der Klasse der dickenschwingenden Piezotransformatoren ist neben einer isolierten auch eine nicht isolierte Ausführung des radial schwingenden Piezotransformator

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

25

möglich. Mit der kompakten „Transoner“ Klasse lassen sich bis jetzt die höchsten Leistungen übertragen. Es wurde beispielsweise die Übertragung von 100W realisiert. Die Leistungsdichte liegt hier bei 30W/cm3 und es wird erwartet, dass sie sich auf 40W/cm3 steigern lässt [31]. Einsatzgebiete der „Transoner“ liegen zum einen in der Nachrichtentechnik als Übertrager von Audio-, Sprach- und Datensignalen, sowie in Hochfrequenzanwendungen. Zum anderen lassen sie sich als isolierter bzw. nicht isolierter Transformator zur Leistungsübertragung, z.B. in Netzteilen oder CCFL einsetzen [6]. Eine detaillierte Analyse der radialschwingenden Piezotransformatoren ist in der Literatur beschrieben [29], [32]. 2.1.7.4 Transversalschwingender Piezotransformator Eine weitere Klasse der piezoelektrischen Transformatoren wurde von N. Volkert vorgestellt [1]. In Abbildung 2.17 ist ein transversal schwingender Piezotransformator dargestellt. Vergleichbar mit dem Rosen-Type Piezotransformator in Abbildung 2.14 wird über das primärseitige Elektrodenpaar eine transversalschwingende akustische Welle innerhalb des Piezokeramikstreifens angeregt. Jedoch liegt das sekundärseitige Elektrodenpaar nicht an der Stirnseite der Piezokeramik sondern auf der Ober- bzw. Unterseite. Durch die geänderte Elektrodenanordnung kann nunmehr ein piezoelektrischer Transformator mit Potentialtrennung realisiert werden. Die Isolation zwischen Primär- und Sekundärseite wird über eine ausreichend lange Isolationsstrecke zwischen den beiden Elektrodenmetallisierungen erreicht. Der transversalschwingende Transformator wurde für den Einsatz zur Übertragung der Versorgungsspannung für IGBT-Ansteuerschaltungen konzipiert, konnte dies allerdings nur mit einer aufwendigen Beschaltung bewerkstelligen [1]. Isolationsstrecke

Primärseite

Uin h

Sekundärseite

Uout

S

P

P: Polarisationsrichtung S: Schwingungsrichtung

w

l1

liso

l2

l

Abbildung 2.17: Transversalschwingender Piezotransformator: Potentialtrennung von Primär- zu Sekundärseite erfolgt über eine ausreichend lange Isolationsstrecke liso zwischen beiden Elektrodenmetallisierungen einer senkrecht dazu polarisierten Piezokeramik.

2.1.8 Elektrisches Ersatzschaltbild von Piezotransformatoren 2.1.8.1 Elemente des elektrischen Ersatzschaltbilds Die Untersuchung des Übertragungsverhältens eines piezoelektrischen Transformators wird an einem elektrischen Ersatznetzwerk vorgenommen. Das vereinfachte elektrische Ersatzschaltbild des Netzwerks in Abbildung 2.18 gleicht dem Modell eines Schwingquarzes [33]. Es beschreibt das Übertragungsverhalten des Piezotransformators in Nähe

26

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

seiner Resonanzfrequenz fr . Das Modell in Abbildung 2.18 berücksichtigt neben der geometrischen Abmessung des Piezotransformators auch die dielektrischen, elastischen und piezoelektrischen Materialkonstanten der verwendeten Piezokeramik. Die Ein- bzw. Ausgangskapazität, die jeweils durch die metallisierten Elektrodenflächen der Primär- bzw. Sekundärseite und dem dazwischen liegenden Piezokeramikmaterial gebildet wird, wird in Abbildung 2.18 mit Cin bzw. Cout bezeichnet. Eine Induktivität Lm beschreibt die mechanisch träge Masse der Piezokeramik. Über die Kapazität Cm geht die reziproke Federsteifigkeit des piezokeramischen Körpers ein. Die Spannungsverstärkung des Piezotransformators wird durch einen idealen Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis 1:N beschrieben. Die mechanischen Verluste in Folge von Reibung und Hystereseverlusten in der Piezokeramik werden in einem Widerstand Rm zusammengefasst. Rm

Lm

Cm 1:N

Uin

Cin

RL

Cout

Uout

Abbildung 2.18: Elektrisches Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Transformators.

An dieser Stelle wird eine Übersicht der einzelnen elektrischen Ersatzschaltelemente von den geometrischen Abmessungen der verschiedenen Transistorklassen angegeben. Die in Tabelle 2.4 verwendeten Variablennamen für die geometrischen Abmessungen entsprechen den Variablennamen in den Abbildungen 2.14 bis 2.16. Für eine detaillierte Herleitung und ausführliche Analyse der Ersatzschaltung wird auf die Literatur verwiesen [28], [29]. Tabelle 2.4: Geometrische Abhängigkeit der elektrischen Ersatzschaltelemente [29]

Ersatzschaltelement

Rosen-Type

Transformatorklassen Dickenschwingung Radialschwingung

Cin

Cin ∼

w · l1 h

Cin ∼

Cout

Cout ∼

w·h l2

Cout ∼

h w

Rm ∼

Rm

Rm ∼

Lm

h·l Lm ∼ w

Cm

Cm ∼

N

w·l h

N∼

l h

D2 4 · h1

D2 4 · h2

4 · h21 D2

4 · (h1 + h2 ) · h21 Lm ∼ D2 Cm ∼

(h1 + h2 ) · D 2 4 · h21 N∼

h1 h2

Cin ∼ Cout ∼ Rm ∼

D2 4 · h1

D2 4 · h2

2 · (h1 + h2 ) D

Lm ∼ (h1 + h2 ) Cm ∼

D2 4 · (h1 + h2 )

N∼

D1 D2

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

27

2.1.8.2 Bestimmung der Ersatzschaltelemente Die Ergebnisse einer Impedanzmessung eines einseitig kurzgeschlossenen Piezotransformators gleichen der Impedanzmessung eines Schwingquarzes [21]. Um die Werte der Ersatzschaltelemente zu bestimmen, wird zunächst die Eingangsadmittanz Yin eines sekundärseitig kurzgeschlossenen Piezotransformators gemessen. Hierzu wird die Eingangsadmittanz Yin mittels Frequenzdurchlauf um die Resonanzfrequenz fr ermittelt. Der gemessene Eingangsleitwert (Konduktanz) G und der Eingangsblindleitwert (Suszeptanz) B werden in ein G-B-Diagramm eingetragen. Der daraus resultierende Eingangsadmittanzkreis ist in Abbildung 2.19 dargestellt. B fh

Bmax

Frequenz

Bs

fs

fp fa Bmin

fr

G Gmax

fl 1/Rm

Abbildung 2.19: Admittanzkreis: Die Eingangsadmittanz Yin aufgetragen in ein G-B-Diagramm.

Die in Abbildung 2.19 eingetragenen Frequenzen sind in Tabelle 2.5 zusammengefasst. Bei den Frequenzen fh bzw. fl besitzt die Eingangsadmittanz Yin den größten bzw. kleinsten Blindleitwert Bmax bzw. Bmin . Serien- bzw. Parallelresonanz liegen bei den Frequenzen fs bzw. fp vor. An den Punkten, an denen der Blindleitwert B den Wert null annimmt, befinden sich die Resonanzfrequenz fr bzw. die Antiresonanzfrequenz fa . Im Fall von geringen mechanischen Verlusten bzw. geringen Hystereseverlusten liegen die Frequenzen fs und fr bzw. fa und fp nahe beieinander. Bis auf die Frequenz fp sind die restlichen Frequenzen leicht zu ermitteln. fp lässt sich im Admittanzkreis nur über die Phaseninformation der Eingangsadmittanz Yin auffinden. Die Eingangsadmittanz Yin bei fs bzw. fp besitzt die gleiche Phase. Ein einfacher Weg, um an die Parallelresonanzfrequenz fp zu gelangen, ist eine zusätzliche Impedanzmessung. An der Stelle, an der der Realteil der Eingangsimpedanz Zin seinen Maximalwert Rmax erreicht, liegt fp . Für die Ermittlung der Werte der elektrischen Ersatzschaltelemente werden in der Literatur zwei Methoden vorgestellt [28]. Mit der ersten Methode lassen sich die Werte der elektrischen Ersatzschaltelemente nach den Gleichungen (2.42) bis (2.45) abschätzen:

28

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Tabelle 2.5: Zusammenfassung der wichtigsten Frequenzen im Admittanzkreis

Symbol

Beschreibung

Größe

fh fl

Frequenz bei maximalem Blindleitwert Frequenz bei minimalem Blindleitwert

B = Bmax B = Bmin 1 Gmax 1 ωs = 2πfs = √ Lm Cm Rm =

fs

Serienresonanzfrequenz

fp

Parallelresonanzfrequenz

fa fr

Antiresonanzfrequenz Resonanzfrequenz

arg(Yin )|fp = arg(Yin )|fs Re {Zmax } = Rmax B=0 B=0

1 . (2.42) Gmax Bs Cin = . (2.43) 2πfs 1 fl − fh · . (2.44) Cm = 2πRm fl · fh Rm 1 · . (2.45) Lm = 2π fl − fh Mit dieser Methode lassen sich die Werte der elektrischen Ersatzschaltelemente sowohl für Piezotransformatoren im niedrigen Resonanzfrequenzbereich (kHz Bereich) als auch für hohe Resonanzfrequenzen (MHz Bereich) bestimmen. Der Nachteil dieser Methode ist, dass bei einem Admittanzkreisdiagramm, dessen Graph nicht mehr einem Kreis entspricht, die Frequenzen fh bzw. fl schwer zu bestimmen sind. Die zweite Methode, speziell für die Ermittlung der Werte der Ersatzschaltelemente von Piezotransformatoren mit hohen Resonanzfrequenzen, benötigt die Frequenzen fh bzw. fl nicht. Zunächst wird bei einer sehr niedrigen Frequenz, z.B. 1kHz, die Eingangsadmittanz Yin gemessen. Bei dieser niedrigen Frequenz ist der Wert von Lm nahe null [28]. Nimmt man des Weiteren an, dass die Admittanz von Cm sehr viel größer als der Kehrwert von Rm ist, so lässt sich die Eingangsadmittanz Yin in guter Näherung durch eine Gesamtkapazität Cges ausdrücken (vgl. Abbildung 2.18): Rm =

Cges = Cin + Cm .

(2.46)

Die weiteren Werte der Ersatzschaltelemente lassen sich nach den Gleichungen (2.47) bis (2.50) abschätzen: 1 Rm = . (2.47) Gmax fs2 · Cges . fp2

(2.48)

Cm = Cges − Cin .

(2.49)

Cin =

2.1 G RUNDLAGEN

DER

P IEZOELEKTRIZITÄT

Lm =

1 . (2πfs )2 · Cm

29

(2.50)

2.1.8.3 Verlauf von mechanischer Dehnung und Spannung im Resonanzfall Neben dem Betrieb des Piezotransformators nahe seiner mechanischen Resonanzfrequenz ist auch die Wahl der Auflageflächen für das Übertragungsverhalten entscheidend. Als Auflagerflächen können beispielsweise die Elektrodenoberflächen der piezoelektrischen Keramik oder die Fläche des Isolators dienen (siehe Abbildung 2.16). Über die Auflagerflächen ist das schwingende piezoelektrische System mit der Umgebung mechanisch verbunden. Beispielsweise kann die akustische Schwingung innerhalb des Piezomaterials durch ungünstige Auflageflächen so stark gedämpft werden, dass der piezoelektrische Transformator hinsichtlich seiner Spannungsverstärkung, Leistungsübertragung und seines Wirkungsgrads stark beeinträchtigt ist. Auflageflächen, die die akustische Welle in ihrer Ausbreitung weniger bedämpfen, liegen an Schwingungsknoten der mechanischen Dehnung S. Hierzu wird der Verlauf von mechanischer Dehnung S und mechanischer Spannung T einer eindimensionalen akustischen Welle innerhalb eines piezoelektrischen Transformators betrachtet. In der Grundschwingung bei der Resonanzfrequenz fr stellt sich der in Abbildung 2.20a dargestellte Verlauf von mechanischer Dehnung S und Spannung T ein. Die Dehnung S besitzt genau in der Mitte der Ausbreitungsrichtung L einen Schwingungsknoten und an den Rändern Schwingungsmaxima. Im Gegensatz besitzt die mechanische Spannung T einen Schwingungsbauch in der Mitte und Schwingungsknoten an den Rändern. Piezotransformatoren können außer in der Resonanzfrequenz fr der Grundschwingung auch in einer Oberschwingung k-ter Ordnung mit der Frequenz fk betrieben werden. Die Frequenz fk sowie die Wellenlänge λk können nach den allgemein bekannten Formeln aus der Akustik nach den Gleichungen (2.51) und (2.52) berechnet werden: fk = (k + 1) · fr , mit k = 0,1,2,.... λk =

2·L , mit k = 0,1,2,.... (k + 1)

(2.51) (2.52)

Der Verlauf von Dehnung S und Spannung T sind für die erste und zweite Oberschwingung in den Abbildungen 2.20b und 2.20c dargestellt. Allgemein betrachtet liegen in den Schwingungsknoten der Dehnung S immer Schwingungsmaxima der Spannung T . Ein zweiter Aspekt neben der dämpfungsarmen Lagerung des Piezotransformators ist die optimale Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts. Geht man vom Kleinsignalbetrieb des Piezotransformators aus, d.h. man befindet sich im linearen Bereich der Hysteresekurve, so ist nach Gleichung (2.3) die erzeugte dielektrische Verschiebung D proportional zur mechanischen Spannung T . Auf der Sekundärseite eines Piezotransformators muss eine hohe dielektrische Verschiebung D und somit eine hohe Ausgangsspannung Uout zwischen den Elektroden erreicht werden. Ein wichtiges Ziel bei der Auslegung ist daher, dass das Maximum der mechanischen Spannung T zwischen den Elektroden der „piezoelektrisch aktiven“ Keramik liegt [34]. Betrachtet man beispielsweise einen dickenschwingenden isolierten Piezotransformator, wie er in Abbildung 2.15b dargestellt ist, so liegt in der Grundschwingung bei der Resonanzfrequenz fr das Maximum der mechanischen Spannung T nach Abbildung 2.20a genau in der Mitte der Dicke h des Piezotransformators. Dies ist genau im Isolatormaterial, das nicht „piezoelektrisch aktiv“ ist. Wird der Piezotransformator

30

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

a)

b)

Grundschwingung T

PIEZOELEKTRISCHER

S

1. Oberschwingung T

1,0

1,0

0,5

0,5

0,0

0,0

-0,5

-0,5

-1,0

-1,0

1/2

1/4

c)

L

3/4

T RANSFORMATOREN

S

1/4

1/2

3/4

L

2. Oberschwingung T

S

1,0

mechanische Spannung T mechanische Dehnung S

0,5

0,0

-0,5

-1,0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

L

Abbildung 2.20: Verlauf von mechanischer Dehnung und Spannung: a) Grundschwingung, b) 1. Oberschwingung, c) 2. Oberschwingung [43].

allerdings in der ersten Oberschwingung mit der doppelten Resonanzfrequenz betrieben, so liegen nach Abbildung 2.20b die beiden Maxima der mechanischen Spannung T in der Mitte der (gleich dicken) primär- bzw. sekundärseitigen Piezokeramikscheiben. Für die zweite Oberschwingung verschieben sich die Extrema analog zur vorherigen Ausführung, dies ist in Abbildung 2.20c dargestellt. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass bei einem Einsatz eines Piezotransformators als Übertrager von Information, die minimale Laufzeit eines Signals über den piezoelektrischen Übertrager von dessen Länge in Ausbreitungsrichtung bestimmt wird. Nach der bekannten Beziehung zwischen der Schallgeschwindigkeit ν, der Wellenlange λk und Frequenz fk und den Gleichungen (2.51) und (2.52) ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit: ν = λk · fk =

2·L 1 · (k + 1) · fr = 2L · . (k + 1) Tr

(2.53)

Nach Umstellen von Gleichung (2.53) ergibt sich für die Laufzeit Tr : Tr =

2L . ν

(2.54)

Um eine kürzere Laufzeit Tr eines Signals zu erlangen, muss entweder die Länge L der Ausbreitungsrichtung kleiner oder ein piezoelektrisches Material mit einer höheren Schallgeschwindigkeit ν gewählt werden.

2.2 KONZEPTIONIERUNG

EINES

P IEZOTRANSFORMATORS

31

2.2 Konzeptionierung eines Piezotransformators Für die potentialgetrennte Übertragung von Energie und Informationssignalen an die Ansteuerelektronik von Leistungsschaltern wird in diesem Abschnitt ein Konzept für piezoelektrische Transformatoren vorgestellt. Ausgangspunkt ist die gleichzeitige Übertragung von Energie und Information über einen piezoelektrischen Transformator. Das piezoelektrische System besitzt eine Resonanzfrequenz, bei der eine effiziente Übertragung von Energie möglich ist. Durch Modulation dieser Resonanzfrequenz ist es möglich, neben der Energie auch Informationssignale, beispielsweise Schalt-, Status- oder Überwachungssignale, zu übertragen. Für einen Übertrager in der Ansteuerelektronik von Leistungsschaltern ist die Übertragung der Schaltsignale des zu steuernden Transistors sinnvoll. Diese Signale haben typischerweise Frequenzen bis zu 100kHz. Nach dem Nyquist-Shannonschen Abtasttheorem [35] muss die Trägerfrequenz mindestens doppelt so groß sein wie die maximale Frequenz des modulierten Signals. Für das Beispiel eines rechteckförmigen Ansteuersignals eines High-Side Transistors bedeutet dies, dass die Träger- respektive Resonanzfrequenz im MHz-Bereich liegen sollte. Aus dem Unterabschnitt 2.1.7 der Piezotransformatorklassen ist ersichtlich, dass die geometrische Abmessung des Piezotransformators in Ausbreitungsrichtung der stehenden akustischen Welle die Resonanzfrequenz bestimmt. Nach diesem Gesichtspunkt bieten dickenschwingende Piezotransformatoren eine hohe Resonanzfrequenz bereits in der Grundschwingung. Für eine galvanische Trennung von Primär- und Sekundärseite müssen diese durch eine Isolationsschicht voneinander getrennt sein. Bei der Wahl eines dickenschwingenden Piezotransformators beeinflusst nach Gleichung (2.36) die Dicke hiso der Isolationsschicht direkt die Resonanzfrequenz, da sie die in die Gesamtdicke h des Piezotransformators miteinbezogen werden muss. Bei der Wahl der Dicke der Isolationsschicht muss zwischen einer möglichst hohen Resonanzfrequenz, der mechanischen Belastbarkeit (Bruchgefahr bei zu dünnen Materialien) und der benötigten Isolationsfestigkeit abgewogen werden. Zudem sollte die Isolationsschicht vergleichbare oder ähnliche mechanische Eigenschaften wie die piezoelektrische Keramik aufweisen. Beispielsweise sollte die Schallgeschwindigkeit des Isolationsmaterials einen vergleichbaren Wert wie die PZT-Keramik aufweisen. Aus diesen Gesichtspunkten bieten sich Keramiken als Isolationsmaterialien an. Da piezoelektrische Keramiken eine hohe Isolationsfestigkeit besitzen, würden depolarisierte Keramiken augenscheinlich perfekt als Isolationsmaterial passen, da sie die gleichen mechanischen Parameter wie die piezoelektrischen Keramiken besitzen. Jedoch ist die Permeabilität ǫr dieser Keramiken sehr hoch. Daher würde die entstehende Koppelkapazität zwischen Primär- und Sekundärseite vergleichsweise sehr hoch ausfallen. Keramiken mit einer geringeren Permeabilität ǫr sind an dieser Stelle zu bevorzugen. Keramiken aus Aluminiumoxid (Al2 O3 ) besitzen bei Raumtemperatur eine Permeabilität ǫr von etwa 9 [36]. Dies ist ein um Faktor 24 bzw. 133 kleinerer Wert als die verwendeten piezoelektrischen Keramiken (siehe Tabelle 2.6 bzw. 2.7). Die dielektrische Isolationsfestigkeit von Al2 O3 bei einer Reinheit von 99,1% und Raumtemperatur liegt bei etwa 30kV/mm [36]. Bei einer verwendeten Dicke hiso der Isolationsschicht von 250µm entspricht dies einer dielektrischen Isolationsfestigkeit von 7,5kV. Kommerzielle Treiber für IGBTs mit einer Spannungsfestigkeit von 1200V bieten eine Isolationsfestigkeit von 2,5kV bis 6kV an [4], [3]. Ein weiteres Kriterium für ein Piezotransformatorkonzept stellt die Anzahl der Aufbau- und Verbindungsschichten dar. Jede zusätzliche Schicht vergrößert die Dicke des Piezotransformators und ändert somit die Resonanzfrequenz. Zudem weicht ihre Struktur von der verwendeten piezoelektrischen Keramik ab, so

32

K APITEL 2: E NTWICKLUNG

PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

Tabelle 2.6: Auszug aus dem Datenblatt der Piezokeramik PIC181 [37]

Materialparameter

Symbol

Wert

Einheit

Dichte

ρ

7,80

g cm3

Curie-Temperatur

TC

330



relative Permittivitätszahl

ǫT 33 ǫ0

1200

-

Kopplungsfaktor Kopplungsfaktor

kt kp

0,46 0,56

-

piezoelektrische Ladungskonstante

d33

256

10−12 NC

Frequenzkonstante

Nt

2110

Hz · m

elastische Nachgiebigkeit

sE 33

14,2

10−12 mN

mechanischer Gütefaktor dielektrischer Verlustfaktor

Qm tanδ

2000 0,003

-

C

2

Tabelle 2.7: Auszug aus dem Datenblatt der Piezokeramik M5 [38]

Materialparameter

Symbol

Wert

Einheit

Dichte

ρ

7,40

g cm3

Curie-Temperatur

TC

310



relative Permittivitätszahl

ǫT 33 ǫ0

220

-

Kopplungsfaktor Kopplungsfaktor

kt kp

0,43 0,06

-

piezoelektrische Ladungskonstante

d33

58,2

10−12 NC

Frequenzkonstante

Nt

2250

Hz · m

elastische Nachgiebigkeit

sE 33

6,9

10−12 mN

mechanischer Gütefaktor dielektrischer Verlustfaktor

Qm tanδ

1450 0,0015

-

C

2

dass diese die Ausbreitung der akustischen Welle stört bzw. dämpft. In Abbildung 2.21 ist schematisch ein dickenschwingender galvanisch getrennter Piezotransformator abgebildet. Der symmetrische Aufbau besteht aus je einer Millimeter dicken, piezoelektrischen Keramik auf Primär- und Sekundärseite. Eine 250µm dicke Aluminiumoxidkeramik stellt die Isolation dar. Als piezoelektrisches Material werden Piezokeramiken der Firma PI Ceramic und Fuji Ceramics verwendet. Bei dem Material PIC181 der Firma PI Ceramic handelt es sich um eine PZT-Keramik. Das Material M5 der Firma Fuji Ceramics basiert auf einer Bleiniobatverbindung und enthält kein Zirconium. Ein Auszug aus den Datenblättern ist in Tabelle 2.6 bzw. Tabelle 2.7 angegeben. Für den Einsatz als Material für die Herstellung von piezoelektrischen Transformatoren zeichnen sich diese Keramiken durch einen hohen mechanischen Gütefaktor Qm von 2000 bzw. 1450 aus. Ein hoher Gütefaktor ist Voraussetzung für ein scharfes Resonanzspektrum (siehe Gleichung (2.26)).

2.2 KONZEPTIONIERUNG

EINES

P IEZOTRANSFORMATORS

33 P: Polarisationsrichtung S: Schwingungsrichtung

Uin S

P Uout

S

h1 = 1mm hiso = 0,25mm h2 = 1mm

P

D

Abbildung 2.21: Isolierter, dickenschwingender Piezotransformator.

Beide Materialien besitzen zudem eine hohe Curie-Temperatur TC von über 300◦ C. Für eine effiziente Übertragung ist ein geringer dielektrischer Verlustfaktor nötig. Die Keramik PIC181 weist einen Wert von kleiner 0,003, die Keramik M5 sogar einen Wert von 0,0015 auf. Die beiden Keramiken unterscheiden sich vor allem in der Größe der Permeabilität. Die Keramik M5 weist einen um den Faktor fünf kleineren Wert auf. Außerdem besitzt die Keramik M5 ein „anisotropes“ Verhältnis der Koppelfaktoren kt bzw. kp . Während bei der Keramik PIC181 die Werte der Koppelfaktoren für den planaren bzw. den Dickenschwingungsmode nahezu gleich groß sind, unterscheiden sich die Werte bei der Keramik M5 deutlich. Aufgrund des symmetrischen Aufbaus des dickenschwingenden Piezotransformators in Abbildung 2.21 ist nach den Erkenntnissen aus dem vorhergehenden Unterabschnitt 2.1.8.3 der Betrieb des Transformators in der ersten Oberschwingung von Vorteil. In der ersten Oberschwingung liegen die Maxima des Verlaufs der mechanischen Spannung T genau in der Mitte der piezoelektrischen Keramik und nicht - wie in der Grundschwingung der Fall - innerhalb der Isolationsschicht. Dies bedeutet, dass bei der primärseitigen Konvertierung von elektrischer in mechanische Energie, der piezoelektrische Effekt der Piezokeramik optimal ausgenutzt wird. Dies gilt auch für die (Rück-)Konvertierung auf der Sekundärseite. Ein weiterer Vorteil im Betrieb mit der ersten Oberschwingung der Resonanzfrequenz liegt darin, dass in der Mitte des piezoelektrischen Transformators - also in der Isolationskeramik - ein Schwingungsknoten der mechanischen Dehnung S liegt. In diesem Fall ist die mechanische Beanspruchung auf das Isolationsmaterial bzw. die Verbindungsschichten zwischen Piezo- und Isolationskeramik minimiert. Die Resonanzfrequenzen der ersten Oberschwingung lassen sich nach den Gleichungen (2.36) und (2.52) abschätzen zu: f1 (PIC181) = 2 · fr = f1 (M5) = 2 · fr =

Nt = 1, 88MHz, h1 + hiso + h2

Nt = 2, 00MHz. h1 + hiso + h2

(2.55) (2.56)

Die Werte in den Gleichungen (2.55) und (2.56) sind nur als Näherung zu betrachten, da hier davon ausgegangen ist, dass die Dicke hiso der Isolationsschicht keine negative Auswirkung, wie beispielsweise eine erhöhte Dämpfung, auf die Ausbreitung der akustischen Welle entlang der Dicke des Piezotransformators hat. Außerdem wurden die Dicke und Auswirkung der beiden Verbindungsschichten vernachlässigt. Der letzte, freie Entwurfsparameter ist der Durchmesser D der Piezotransformatoren. Dieser wird im folgenden Abschnitt anhand einer analytischen Betrachtung des vereinfachten Ersatzschaltbilds des Piezotransformators ermittelt.

34

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T RANSFORMATOREN

2.3 Berechnung der geometrischen Abmessungen 2.3.1 Netzwerkanalyse des vereinfachten Ersatzschaltbilds Für die Untersuchung der Leistungsübertragung wird das in Abbildung 2.18 vorgestellte Ersatzschaltbild weiter vereinfacht. Zunächst wird die Ausgangskapazität Cout und der Lastwiderstand RL von der Sekundärseite auf die Primärseite transformiert.

Abbildung 2.22: Elektrisches Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Transformators: a) allgemeines Ersatzschaltbild, b) Ersatzschaltbild nach Transformation der Ausgangskapazität Cout und des Lastwiderstands RL auf die Primärseite, c) Ersatzschaltbild nach Umwandlung der Parallelschaltung in eine Serienschaltung [12].

Die Werte der Ersatzschaltelemente in Abbildung 2.22b können aus den nachfolgenden Gleichungen berechnet werden: RL . N2 = N 2 · Cout .

RL′ = ′ Cout

Die transformierte Ausgangsspannung

′ Uout

(2.57) (2.58)

lässt sich berechnen:

Uout . (2.59) N2 ′ Zur weiteren Vereinfachung wird die Parallelschaltung aus Cout und RL′ in eine Serienschaltung umgewandelt (siehe Abbildung 2.22c). Mit den nachfolgenden Gleichungen ′′ können die Werte für Cout bzw. RL′′ berechnet werden: ′ Uout =

2.3 B ERECHNUNG

DER GEOMETRISCHEN

RL′′ = ′′ Cout

=

A BMESSUNGEN

RL′ . ′ 1 + (2πf · Cout · RL′ )2

′ Cout

′ 1 + (2πf · Cout · RL′ )2 · . ′ (2πf · Cout · RL′ )2

35

(2.60) (2.61)

In den Gleichungen (2.60) und (2.61) steht f für die Frequenz der Eingangsspannung Uin . Aus einer Netzwerkanalyse des in Abbildung 2.22c angegebenen vereinfachten Ersatzschaltbilds lassen sich bereits einige Aussagen bezüglich der Übertragungseigenschaften des Piezotransformators treffen [12]: Der Wertebereich von RL reicht von null, im Fall eines sekundärseitigen Kurzschlusses, bis nach unendlich bei einem Leerlauf auf der Sekundärseite. Demnach nimmt RL′′ nach Gleichung (2.60) einen von null beginnenden, auf ein Maximum ansteigenden und wieder zu null abfallenden Verlauf ein. Das Maximum von ′ ′′ RL, max liegt, nach Ableiten von Gleichung (2.60) nach RL , bei: RL′′ =

1 . ′ 2πf · Cout

(2.62)

′′ Nach dem Wertebereich von RL konvergiert Cout nach Gleichung (2.61) von unendlich ′ gegen den Wert Cout . Anhand dieser Überlegungen können folgende Aussagen getroffen werden [12]:

1. Für jede mögliche ohmsche Belastung durch RL′ bzw. RL stellt sich die maximale Ausgangsspannung Uout,max bei der Resonanzfrequenz fr ein: fr =

1 1 ·√ . 2π Lm Cseriell

(2.63)

′′ In Gleichung (2.63) ist Cseriell die Serienkapazität aus Cm und Cout :

Cseriell =

′′ Cm · Cout . ′′ Cm + Cout

(2.64)

′′ 2. Der Bereich der Resonanzfrequenz fr wird durch den Wertebereich von Cout bestimmt: fs < fr < fp . (2.65)

Die Resonanzfrequenz fr liegt im Bereich zwischen der Serienresonanzfrequenz fs bei kurzgeschlossener Sekundärseite fs =

1 1 ·√ 2π Lm Cm

(2.66)

und der Parallelresonanzfrequenz fp , wenn die Sekundärseite im Leerlauf ist fp =

1 1 ·r . ′′ 2π Cm · Cout Lm ′′ Cm + Cout

(2.67)

3. Die Ausgangsspannung Uout kann für jeden möglichen Belastungsfall durch RL über die Resonanzfrequenz fr geregelt werden. Hierzu kann die Betriebsfrequenz f im Bereich unter bzw. über fr eingestellt werden.

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4. Für jeden möglichen Belastungsfall ist die bei der Resonanzfrequenz fr an die Last übertragende Leistung P abhängig von dem Verhältnis von RL′′ zu Rm . Dies ergibt sich aus einem einfachen Spannungsteiler aus Abbildung 2.22c. 5. Die maximale Leistung Pmax , die am Lastwiderstand RL′′ zu Verfügung steht, liegt vor, wenn für den Lastwiderstand RL′′ gilt: RL′′ = Rm .

(2.68)

Da der Verlauf von RL′′ nach Gleichung (2.60) eine konvexe Kurve mit dem Maximum nach Gleichung (2.62) beschreibt, erfüllen genau zwei transformierte Lasten RL′ und somit auch zwei Lastzustände RL die Bedingung nach Gleichung (2.68). 6. Der Wirkungsgrad η des Piezotransformators bei maximaler Leistungsübertragung Pout,max beträgt nach Gleichung (2.69) unter Berücksichtigung des Spannungsteilers über Rm und RL′′ (siehe Abbildung 2.22c) und Gleichung (2.68) genau 0,5:

η=

Pout,max Pin

2 Uin2 · RL′′ 2 Uout 1 RL′′ RL′′ · (Rm + RL′′ )2 = = = . 2 2 Uin Uin 2 ′′ ′′ Rm + RL Rm + RL

(2.69)

7. Unter Berücksichtigung des Wertebereichs von RL′′ ist der höchste Wirkungsgrad ηmax ′′ bei RL,max zu erreichen: ηmax =

′′ RL,max = ′′ Rm + RL,max

1 . Rm 1 + ′′ RL,max

(2.70)

8. Nach Gleichung (2.70) ist für eine gegebene Eingangsspannung Uin der maximale Wirkungsgrad ηmax bei dem Maximum der transformierten Last RL′′ zu erzielen. Die maximale Ausgangsleistung Pout,max erhält man unter Punkt (5) nach Gleichung (2.68), wenn der transformierte Lastwiderstand RL′′ gleich Rm ist. Da RL′′ nach Gleichung ′′ (2.62) eine konvexe Kurvenform mit dem Maximum bei RL,max annimmt, liegen die ′′ beiden Punkte an denen RL gleich Rm gilt unterhalb des Maximums. Daher liegt die Ausgangsleistung Pout bei dem maximalen Wirkungsgrad ηmax in einem lokalen Minimum.

2.3.2 Analytische Betrachtung des Ersatzschaltbilds Im Nachfolgenden werden die Ergebnisse einer genauen analytischen Betrachtung des in Abbildung 2.22 dargestellten elektrischen Ersatzschaltbilds eines Piezotransformators durch Ivensky et al. vorgestellt [12]. Als Abschluss dieser Überlegungen wird eine Anleitung zur Auslegung von Piezotransformatoren angegeben, nach der sich die Ersatzschaltelemente in Abbildung 2.22 berechnen lassen. Für das Übertragungsverhältnis k21 von Ausgangsspannung Uout zu Eingangsspannung Uin wurde die Beziehung nach Gleichung (2.71) gefunden und analytisch betrachtet [12]:

2.3 B ERECHNUNG

DER GEOMETRISCHEN

A BMESSUNGEN

k21 =

mit Y =

(

1−c·

"

ω ωs

2

#

Rm −1 + ′ RL

37

′ 1 Uout =√ Uin Y

)2

+

(

ωs c · · ω Q

(2.71)

"

ω ωs

2

#

ω −1 + ωs · c/Qm

)2

.

In Gleichung (2.71) wurden die Größen Kapazitätsverhältnis c, elektrische Güte Q und mechanische Güte Qm eingeführt. Sie berechnen sich nach den Gleichungen (2.72) bis (2.74): ′ Cout . (2.72) Cm Q = ωs Cout RL . (2.73) 1 Qm = . (2.74) ωs Cm Rm Das Ergebnis der numerischen Berechnung der Beziehung von k21 , der Ausgangsleis∗ tung Pout und des Wirkungsgrads η für feste Größen c, Q und Qm aus Gleichung (2.71) ist in graphischer Form in Abbildung 2.23 dargestellt.

c=

∗ und WirkungsAbbildung 2.23: Verlauf von Übertragungsverhältnis k21 , Ausgangsleistung Pout grad η als Funktion der elektrischen Güte Q für c = const. und Qm = const. [12].

Für die Beschreibung der in Abbildung 2.23 genannten Größen werden im Folgenden vereinfachte Näherungsformeln angegeben. Die maximale Abweichung der Näherungen von der exakten Analyse ist kleiner als 4,5% (die Werte von Q liegen in einem Bereich von 0,01 bis 100, von Qm von 10 bis 1000 und von c von 0,5 bis 50). Im gewählten Betriebsbereich liegt die Abweichung bei unter 0,1%. Für eine Auslegung von Piezotransformatoren

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PIEZOELEKTRISCHER

T RANSFORMATOREN

sind die Näherungsformeln hinreichend genau. Die Ergebnisse in Form von Näherungsformeln werden im folgenden Text beschrieben. Eine detailliertere Analyse wird in der Literatur beschrieben [12]. Das maximale Übertragungsverhältnis k21,max ist bei leerlaufender Sekundärseite abzuschätzen: Qm p . (2.75) k21,max = c · 1 + 1/2c

Nach Gleichung (2.76) kann die Ausgangsleistung Pout des piezoelektrischen Transformators angegeben werden zu:

(k21 · Uin )2 . (2.76) RL ∗ Für eine einheitenlose Angabe der Ausgangsleistung Pout wird Pout , wie in Abbildung 2.23 dargestellt, eingeführt: Pout =

∗ Pout =

2 c · k21,max P pout = . Q Uin2 · Cm /Lm

(2.77)

Der Wirkungsgrad η des Piezotransformators wird abgeschätzt: η=

1 "

c 1 · + 1+ Qm Q



ω ωs

2

#.

(2.78)

·Q

∗ Die Verläufe von Pout und des Wirkungsgrads η in Abbildung 2.23 weisen drei Ex∗ trempunkte auf. Zwei entsprechen den Maximalwerten der Ausgangsspannung Pout,max . Der dritte Extremwert entspricht dem maximalen Wirkungsgrad ηmax bei einem lokalen Minimum der Ausgangsspannung Pout (siehe Punkt (8) in Unterabschnitt 2.3.1). Der maximale Wirkungsgrad ηmax liegt im Punkt:

1 Q= p . 1 + 1/2c

(2.79)

Der Wert ηmax lässt sich abschätzen: ηmax =

1 p . 1 + 2c/Qm · 1 + 1/2c

(2.80)

∗ Die Extremwerte der Ausgangsleistung Pout liegen bei den Punkten:

Q1 =

c , Qm

Qm . c+1 ∗ Der Wert der maximalen Ausgangsleistung Pout kann abgeschätzt werden: p 2c · 1 + 1/2c ∗ (Pout )ηmax = !2 . p 2c · 1 + 1/2c 1+ Qm Q2 =

(2.81) (2.82)

(2.83)

2.3 B ERECHNUNG

DER GEOMETRISCHEN

A BMESSUNGEN

39

Unter der Voraussetzung, dass der mechanische Gütefaktor Qm sehr viel größer ist als das doppelte Kapazitätsverhältnis c, kann Gleichung (2.83) in guter Näherung vereinfacht werden zu: ∗ (Pout )ηmax ≈ 2c ·

p

1 + 1/2c für Qm >> 2c.

(2.84)

Für den Wert des Übersetzungsverhältnisses k21 an der Stelle des maximalen Wirkungsgrads ergibt sich folgende Beziehung: √ 2 p . (2.85) (k21,max )ηmax ≈ 2c · 1 + 1/2c 1+ Qm Nach Einsetzen von Gleichung (2.80) in Gleichung (2.85) ergibt sich: √ k21ηmax = 2ηmax .

(2.86)

Gleichung (2.86) beinhaltet einen wichtigen Sachverhalt. Das Übersetzungsverhältnis bei maximal möglichem Wirkungsgrad von eins ergibt höchstens: √ (2.87) k21ηmax = 2.

2.3.3 Auslegung von Piezotransformatoren Ivensky et al. [12] schlagen eine Methode basierend auf die vorher genannte Analyse zur Auslegung von Piezotransformatoren für die Ansteuerung einer Kaltkathodenröhre vor. Anhand dieser Methode soll der erforderliche Durchmesser D des dickenschwingenden Piezotransformators dimensioniert werden und Ausgangspunkt für die weitere Simulation mit dem Simulationsprogramm Comsol Multiphysics sein. Ausgangspunkt der Entwurf Methode ist die Spezifikation der nominalen Ausgangsleistung Pout , des Effektivwerts der Eingangsspannung Uin , des Effektivwerts der Ausgangsspannung Uout bei nominaler Belastung, des Effektivwerts der Ausgangsspannung Uout,noload bei leerlaufendem Ausgang, des maximalen Wirkungsgrads ηmax und der Serienresonanzfrequenz fs . Die Spezifikation ist in Tabelle 2.8 zusammengefasst. Tabelle 2.8: Spezifikation der Größen des dickenschwingenden Piezotransformators

Größe

Symbol

Wert

Einheit

Ausgangsleistung Eingangsspannung Ausgangsspannung Leerlaufspannung am Ausgang maximaler Wirkungsgrad Serienresonanzfrequenz PIC181 Serienresonanzfrequenz M5

Pout Uin Uout Uin ηmax fs fs

2 12 15 210 0,90 1,88 2,00

W V V V MHz MHz

Die Abschätzung wird anhand des piezoelektrischen Materials PIC181 vorgenommen. Die Berechnung für das Material M5 erfolgt analog und ist am Ende des Abschnitts in Tabelle 2.9 zusammengefasst.

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PIEZOELEKTRISCHER

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1. Das Übersetzungsverhältnis k21 der Ausgangsspannung Uout zur Eingangsspannung Uin beträgt nach Gleichung (2.86): k21 |ηmax =



2ηmax = 1, 273.

(2.88)

2. Das Übersetzungsverhältnis N des Piezotransformators ergibt sich aus den Gleichungen (2.60) und (2.72) zu: N=

Uout = 0, 982. k21 |ηmax · Uin

(2.89)

3. Das Kapazitätsverhältnis c ergibt sich aus den Gleichungen (2.75), (2.80) und (2.86) zu: h2 · (1 − ηmax )2 − 1 c= = 24. (2.90) 2 − h2 · (1 − ηmax )2 In Gleichung (2.90) beschreibt h das Verhältnis von Leerlaufspannung Uout,noload zu der Ausgangsspannung Uout bei Nennlast: h=

Uout,noload . Uout

(2.91)

Die Umformung in Gleichung (2.90) impliziert des Weiteren, dass h in den Grenzen 1 < h · (1 − ηmax )

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