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NOTAS DA AULA

´ ´ VARIAVEIS ALEATORIAS. ESPERANC ¸A E ˆ VARIANCIA

Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

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Objetivo geral da aula • Caracterizar vari´ aveis aleat´ orias discretas e cont´ınuas. Compreender e aplicar os fundamentos da Esperan¸ ca Matem´ atica. Conte´ udo 1. Vari´aveis aleat´orias; 2. Vari´avel aleat´oria discreta. Fun¸c˜ ao de probabilidade. Distribui¸c˜ ao de probabilidade; 3. Vari´avel aleat´oria cont´ınua. Fun¸c˜ ao de densidade de probabilidade. 4. Esperan¸ca Matem´atica. Variˆ ancia. Propriedades.

Pr´ e-requisitos: Fundamentos da Teoria da Probabilidade.

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´ veis Aleato ´ rias Varia Defini¸ c˜ ao: Seja E um experimento aleat´orio e Ω o espa¸co amostral a ele associado. Uma fun¸c˜ ao X que associa a cada resultado de Ω um u ´nico n´ umero real ´e denominada vari´ avel aleat´oria. Nota¸c˜ ao:

{ X:

Ω→R w 7→ X(w)

A vari´avel aleat´oria X pode ser classificada como discreta, absolutamente cont´ınua, singular ou mista. Neste curso estudaremos apenas as vari´ aveis aleat´orias discretas e cont´ınuas.

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Alguns exemplos 1. Em um experimento com h´ıbridos de milho, 50 sementes foram plantadas. Seja X o n´ umero de sementes que germinam ap´os t dias. 2. Rendimento de gr˜aos h´ıbridos de milho, em kg/ha; 3. Um inseticida ´e aplicado a um grupo de n insetos. Sejam Y: Tempo de resposta, em segundos, ap´os a aplica¸c˜ ao do inseticida no inseto i; Z: o n´ umero de insetos sobreviventes; 4. N´ umero de insetos capturados em uma armadilha instalada no campo; 5. N´ umero de casos de dengue, por km2 em uma regi˜ao; 6. Em eucaliptos: altura das plantas, DAP.

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ˆ ncia para a Estat´ıstica Importa i. Caracteriza¸c˜ao de um fenˆomeno ou da resposta de um experimento como uma vari´avel aleat´oria. Fundamenta¸c˜ ao de modelos te´oricos. Mensura¸c˜ ao da probabilidade de ocorrˆencia de determinados valores. ii. As “estat´ısticas” tais como m´edia, variˆ ancia, propor¸c˜ ao, coeficiente de correla¸c˜ao, coeficientes de modelos de previs˜ao, entre outras, sob amostragem, tamb´em s˜ao vari´ aveis aleat´orias; iii. O comportamento probabil´ıstico dessas estat´ısticas ´e base para a inferˆencia estat´ıstica (generaliza¸c˜ ao dos resultados).

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´ vel aleato ´ rias discretas Varia Defini¸ c˜ ao: Uma vari´ avel aleat´oria X ´e classificada como discreta quando X assume um n´ umero finito ou infinito enumer´ avel de valores. Defini¸ c˜ ao: Seja X uma vari´ avel aleat´oria discreta, isto ´e, X(w) ∈ {x1 , x2 , x3 , . . .}, a fun¸c˜ao de probabilidade da vari´ avel aleat´oria X ´e um modelo tal que: i. f (xi ) = P (X = xi ) = p(xi ) ≥ 0 ii.

n ∑

∀ i = 1, 2, 3, . . .;

p(xi ) = 1.

i=1

Oberva¸ c˜ ao: O par de valores [xi , p(xi )] caracteriza a distribui¸c˜ ao de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria discreta e pode ser representada por uma tabela ou por um gr´afico (“hastes” ou “escada”).

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´ vel aleato ´ rias discretas: aplicac ˜ es Varia ¸o Exemplo 1. (Magalh˜aes e Lima, 2002) Um agricultor cultiva laranjas e tamb´em produz mudas para vender. Ap´os meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser recuper´avel. Admita que o processo de recupera¸c˜ ao ´e infal´ıvel. O Custo de cada muda produzida ´e R$1, 00, que ser´a acrescido de mais R$0, 50 se precisar ser recuperada. As irrecuper´aveis s˜ao descartadas. Vendendo cada muda a R$3, 00, estude como se comporta a vari´ avel lucro por muda produzida.

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Exemplo 1 Tabela 1: Distribui¸c˜ao de probabilidade da vari´ avel aleat´oria X: lucro por muda X (lucro) -1,00 1,50 2,00

P(X=x) 0,025 0,025 0,950

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Outros exemplos - alunos Exemplo 2. Dois dados equilibrados s˜ao jogados simultaneamente. Seja a vari´ avel aleat´oria Y : o m´ınimo entre os valores observados. Construa a distribui¸c˜ ao de probabilidade da vari´ avel aleat´oria X.

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´ vel aleato ´ rias cont´ınuas Varia Defini¸ c˜ ao: Uma vari´ avel aleat´oria X ´e classificada como cont´ınua quando X assume quaisquer valores em um intervalo real. Diferentemente do caso discreto, este tipo de vari´avel n˜ao ´e enumer´ avel. A especifica¸c˜ ao de um modelo probabil´ıstico associado a esta vari´ avel ocorre por meio de uma fun¸c˜ ao matem´atica “idealizada”.

0.0008 0.0004

0.0006

f(x)=(1/500)exp(−x/500)

0.0000

0.0002

densidade de frequência

0.0010

0.0012

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0

500

1000

1500

2000

2500

tempo de sobrevivência, em dias

Figura 1: Histograma referente ao tempo de sobrevida e fun¸ca˜o de densidade de probabilidade.

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´ vel aleato ´ rias cont´ınuas Varia Defini¸ c˜ ao: Seja X uma vari´ avel aleat´oria cont´ınua, ent˜ ao deve existir uma fun¸c˜ ao matem´atica, chamada de fun¸c˜ ao de densidade de probabilidade da vari´ avel aleat´ oria X, satisfazendo: i. f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R; ∫ +∞ ii. f (x)dx = 1. −∞

Observa¸c˜oes: • A f.d.p. pode n˜ao ser u ´nica; • f (x) n˜ao representa probabilidade (´e a imagem de x!) • P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) = ∫ b = f (x)dx a

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´ vel aleato ´ rias cont´ınuas: aplicac ˜ es Varia ¸o Exemplo 1 (Magalh˜aes e Lima, 2002) O acr´escimo anual na ´area atingida por uma certa praga, numa regi˜ao produtora de frutas, pode ser modelado por uma vari´ avel aleat´oria cont´ınua, medida em hectares (10 mil m2 ), com fun¸c˜ ao de densidade de probabilidade.   

2 3 x,

0 < x < 1; f (x) : 1 − x3 , 1 ≤ x < 3;   0, caso contr´ ario.

a. Construa o gr´afico da fun¸c˜ ao de densidade de probabilidade; b. Qual seria a probabilidade da praga atingir entre 2 e 3 hectares este ano?

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Outros exemplos - alunos Exemplo 2. (Bussab e Moretin, 2002) Dada a fun¸c˜ ao: { f (x) =

2 exp(−2x), se x ≥ 0; 0, caso contr´ ario.

a. Mostre que f(x) ´e fun¸c˜ ao de densidade de probabilidade b. Calcule P (X > 10) Exemplo 3. (Magalh˜ aes e Lima, 2002) A fun¸c˜ ao apresentada, a seguir, corresponde `a densidade de uma vari´ avel aleat´oria cont´ınua X: { 1 3 x , 0 ≤ x ≤ 2; 4 f (x) = 0, caso contr´ ario. Calcule: a. P (X > 1).

b. P (X < 1/2)

c. P (1/2 ≤ X ≤ 1|X < 3/2)

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˜o de distribuic ˜o Func ¸a ¸a Defini¸ c˜ ao: Seja X uma vari´ avel aleat´oria qualquer, a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao (acumulada) da vari´ avel aleat´oria X ´e definida por: F (x) = P (X ≤ x) ∀ x ∈ R. Caracter´ısticas de F (x): i. Cont´ınua `a direita; ii. N˜ao decrescente; iii.

lim F (x) = 0 e lim F (x) = 1

x→−∞

x→+∞

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˜o de distribuic ˜ o: exemplos Func ¸a ¸a Exemplos Construir a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao acumulada associadas aos exemplos de n´ umero 2, nos casos discreto e cont´ınuo. Representar graficamente. Observa¸ c˜ oes: • Rela¸c˜ao entre a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao e a fun¸c˜ ao de probabilidade: P (x = x) = F (x) − F (x− ) • Rela¸c˜ao entre a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao e a fun¸c˜ ao de densidade: f (x) = dFdx(x) (em cada uma de suas partes) • Se a v.a. X ´e cont´ınua ent˜ ao a sua fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao ´e absolutamente cont´ınua.

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´tica Esperanc ¸ a Matema Seja X uma vari´avel aleat´oria com fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao F (x). A esperan¸ca matem´atica ou esperan¸ca da v.a. X ´e definida por: ∫ +∞ E(X) = xdF (x) −∞

ou ainda:

∫ E(X) =

0

∫

+∞

xdF (x) + −∞ 0 | {z } | I

• Se I ´e finito e II ´e finito ent˜ ao E(X) < ∞; • Se I ´e finito e II= +∞ ent˜ ao E(X) = +∞; • Se I= −∞ e II ´e finito ent˜ ao E(X) = −∞; • Se I= −∞ e II= +∞ ent˜ ao @ E(X).

xdF (x) {z } II

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´tica: casos discreto e cont´ınuo Esperanc ¸ a Matema Assim podemos tamb´em definir a esperan¸ca separadamente:

E(X) =

 ∑   x xp(x)

caso discreto;

  ∫ +∞

caso cont´ınuo.

−∞

xf (x)dx

que existir´a desde que ∑

|x|p(x) < ∞ caso discreto

x

∫

+∞

−∞

|x|f (x)dx < ∞ caso cont´ınuo.

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EXEMPLOS Calcule E(X) para as seguintes situa¸c˜ oes. 1. Uma vari´avel aleat´oria X tem a seguinte fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao:  0 se x < 10;     0, 2 se 10 ≤ x < 12; F (x) =  0, 5 se 12 ≤ x < 25;    1 se x ≥ 25. 2. (Magalh˜aes e Lima, 2002) O consumo de combust´ıvel de um certo autom´ovel ´e uma vari´avel aleat´oria medida em km por litro. Admita que a densidade de probabilidade dessa vari´ avel ´e expressa pela seguinte fun¸c˜ ao:    x − 10 se 10 ≤ x ≤ 11; f (x) = 12 − x se 11 < x ≤ 12;   0 c.c.

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Solu¸c˜ ao computacional #EX.1 x