Plano da aula de hoje

Plano da aula de hoje z Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D  Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométric...
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Plano da aula de hoje z

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – medidas de qualidade em imagens – visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 1

Forma ção da Imagem no Olho Formação Mecanismos de Adaptação: Foco

SF 1/11/2007 - 2

Forma ção da Imagem no Olho Formação Mecanismos de Adaptação: Brilho e Cor

Íris

Cones e Bastonetes (7M e 70M células)

SF 1/11/2007 - 3

Processo de Discretiza ção Discretização

256 tons de cinza

95 95 150 220

80 90 20 150

80 90 100 160

80 105 130 150 SF 1/11/2007 - 4

Imagens: representação z

z

Função contínua f(x,y) f: Rn => Rp Função discreta f(i,j) f: Z+ n => Z+p  Pixel (picture element) f(i,j) 

Voxel (volume element) f(i,j,k)



Spel (space element) f(i,j, ... n)

z

Representação matricial

FnXm

 f 11 f 21 =    f n1

f 12 f 22 f n2

f 1m  f 2m     f nm 

f[i][j][...] SF 1/11/2007 - 5

Resumo: Conceitos básicos z

Imagem digital => matriz n-dimensional 

2D => pixel (picture element) – raio X - CR (4096 x 4096 x 2B) – short f[4096][4096]



3D => voxel (volume element) – – –



CT multi-slice (700cortes x 512 x 512 x 2B) XA (1000 quadros x 512 x 512 x 1B) byte f[1000][512][512]

4D => spel (space element) – gated SPECT, RM, ..



multi-atributos – RM (PD, T1, T2)

z

F:In -> Rm SF 1/11/2007 - 6

Resumo: Matriz z z z z

número de dimensões (espaço) número de elementos por dimensão número de atributos (medidas por elem.) número de bits ou bytes por elemento CT multi-slice (700cortes x 512 x 512 x 2B)  3D, 700 em z, 512 em x e y, 1 atributo, 2 bytes por elemento  367 MB  short f[700][512][512] 

y

z x SF 1/11/2007 - 7

Criar uma matriz z

gated RM=> 4D (16 fases, 128 slices, 256 x 256, 2 bytes) com 3 atributos para cada spel (PD, T1, T2) short f [16][128][256][256][3]

SF 1/11/2007 - 8

Mãos na massa: ler / ver c/ IJ z

Arquivo raw type of data: byte, int, float, ...  [little, big] endian: endereço em memória aponta p/ little ou big part  escala de cores  segmentação por thresholding 

z z

Arquivo JPEG Arquivo DICOM

SF 1/11/2007 - 9

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Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal

– histograma e segmentação por threshold – – – – –

sistemas lineares medidas de qualidade em imagens visualização Transformadas, convolução interpolação SF 1/11/2007 - 10

Histograma

95 95 150 220

80 90 20 150

80 90 100 160

80 105 130 150 10 8 6

Seqüência1

4 2 0 0

50

100

150

200

250

300

SF 1/11/2007 - 11

distr. const, 32x32

70 60 50 40 Seqüência1 30 20 10

00 44

00 40

00 36

00 32

00 28

00 24

00 20

00 16

00 12

0 80

0 40

0

0

SF 1/11/2007 - 12

Segmentação por nível P2 P1 p2(x)

p1(x) T

atributo

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Exemplos práticos

intensidade do monitor

z

contraste / brilho (window / level) Histograma 10

100%

8 6

Seqüência1

4 2 0 0

50

100

150

200

250

300

valor pixel

level window

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mãos na massa: segmentação z

Segmentação por thresholding imagem DICOM de MRI (sample)  CT => simples p/ segmentar por faixa de HU 

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Múltiplos atributos

VE j x=f(c) VD

d ( x) = ( x − x j ) . Sj−1.( x − x j ) 2 j

T

SF 1/11/2007 - 16

atrib.2

Generalização: clusters

atrib. 1 0) K classes com centro em c i 1) Inicializar c (0) j 2) Para cada x i => atribuir x i p / classe j com menor distancia 3) Recalcular c j 4) Repetir 2) e 3) ate nao haver mais alter. SF 1/11/2007 - 17

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Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold

– sistemas lineares, convolução, transformada – – – –

medidas de qualidade em imagens visualização Transformadas, convolução interpolação SF 1/11/2007 - 18

Modelo de formação: imag. médicas Objeto Š transmissão Š reflexão Š emissão y f(x,y)

Sistema de Aquisição

Imagem

Š foto-eletr. .raio-X, Š piezo-elétr. .US Š foto-eletr, .MN, MRI h(.)

y’

x

g(x’,y’) x’

Função geral p/ formação de imagens h(.) = h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) h(.) = h( u’, u, f(u) )

(2D) (nD) SF 1/11/2007 - 19

Sistemas: invariância z

Invariante com o “tempo”

x(t) h(t) x(t-t0) z

=>

y(t) y(t-t0)

Variante com o “tempo”

y (t ) = t + x (t ) x (t − t0 ) → t + x (t − t0 ) ≠ y (t − t0 )

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Sistemas lineares z

Princípio da superposição x(t) h(t)

y(t)

x1 ( t ) → y1 ( t ) x 2 (t ) → y 2 (t ) a . x1 ( t ) + b . x 2 ( t ) → a . y1 ( t ) + b . y 2 ( t )

SF 1/11/2007 - 21

Sistemas aditivos , lineares f1(x,y) g1(x’,y’) f2(x,y) g2(x’,y’) z Sistemas aditivos g ( x' , y' ) = z

∫∫

h ( x' , y' , x , y , f ( x , y )). d x . d y

Sistemas lineares a.f1( ) + b.f2( )

a.g1( ) + b.g2( )

h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) = h(x’,y’,x,y) . f(x,y) g ( x' , y' ) =

∫∫

h ( x' , y' , x , y ). f ( x , y ). d x . d y

PSF : point spread function SF 1/11/2007 - 22

Sistema não-linear z

Incrementalmente linear

y (t ) = 2 + 5 .x (t ) y1 ( t ) = 2 + 5 . x1 ( t ) y 2 (t ) = 2 + 5 .x 2 (t ) x 1 ( t ) + x 2 ( t ) → 2 + 5 .( x 1 ( t ) + x 2 ( t )) 2 x(t) 5

y(t)

Sistema linear SF 1/11/2007 - 23

Sistemas lineares invariantes z

Sistemas lineares e invariantes (LTI) são suficientemente caracterizados pela resposta ao impulso  possibilita tratamento matemático simplificado 

– convolução => resposta do sistema – análise no domínio da frequência 

qq. LTI pode ser representado por produtórias de termos de sistemas de ordens 1 e 2

SF 1/11/2007 - 24

Impulso No caso contínuo:

1/∆

δ ( t ) = lim s ( t ) ∆→ 0



∫ δ (τ ) d τ



=1→

−∞



f ( t )δ ( t − τ ) d τ = f ( t )



−∞

No caso discreto:

 0 se i ≠ 0  δ [i] =   1 se i 0 =   ∞



x [ k ]. δ [ n − k ] = δ [ n ]

k = −∞ SF 1/11/2007 - 25

LTI

x(t) h(t)

y(t)



x (t ) =

∫ x (τ ). δ ( t − τ ) d τ

=>Combinação linear de x( )

−∞

δ ( t − τ ) → hτ ( t ) ∞

Linearidade=> y ( t ) =

∫ x (τ ). hτ ( t ) d τ

−∞

Invariante=>

hτ ( t ) = h ( t − τ ) ∞

Convolução=>

y (t ) =

∫ x (τ ). h ( t − τ ) d τ

−∞

y (t ) = x (t ) * h (t ) SF 1/11/2007 - 26

LTI: caso discreto

x[ n ] =





x[k] h[k]

y[k]

x [ k ]. δ [ n − k ]

k = −∞

δ [n − k ] → hk [n ] Linearidade=>

y[n ] =





−∞

Invariante=> Convolução=>

x [ k ]. h k [ n ]

hk [ n ] = h[ n − k ] y[n ] =





x [ k ]. h [ n − k ]

−∞

y[ n ] = x[ n ] * h[ n ] SF 1/11/2007 - 27

Convolução: intuitivo f

conv

h

=

g

h(-t)

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LTI z z

Causalidade => h(t)=0, t ∞

∫|h

(τ ) | d τ < ∞

−∞

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Convolução, Transf. de Fourier z z

Convolução: comutativo, associativo, distributivo Convolução => multiplicação no domínio da frequência ∞

y (t ) =

∫ x (τ ). h ( t − τ ) d τ

−∞



Y(f ) =



∫ ∫

x (τ ). h ( t − τ ). e − j 2 π ft d τ dt

−∞−∞ ∞

Y(f ) =



∫ ∫

x (τ ). h ( t ' ). e − j 2 π f ( t + τ ) d τ dt '

−∞−∞

Y ( f ) = X ( f ). H ( f ) SF 1/11/2007 - 30

Convolução 2D g (i, j) =

95 95 150 220

f * h =

80 90 20 150

80 90 100 160

1 MN

80 105 130 150

∑ ∑ m

*

f ( m , n ). h ( i − m , j − n )

n

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

=>

-75

SF 1/11/2007 - 31

Notação z

Geral (nD) vetorial 

z

F

3 X 3

1D, 2D, 3D, ...

Operações algébricas, aritméticas, matriciais

 f 00 =  f 10  f 20

f

01

f 11 f 21

f

02

f 12 f 22

   

 f 00  f   01    r  f 02  F=           SF 1/11/2007 - 32

Sist. lineares: representações z

z

z

Puntual Operador g=Hf

g ( x ', y ') =

∫∫

H = A ⊗ B T

Matricial G = A.F.B (separavel) Vetorial g=H.f

h ( x ' , y ' , x , y ). f ( x , y ). dx . dy

g

=

H

f

SF 1/11/2007 - 33

Notação vetorial G NXN H N2 x N2 F NXN

i

g

g N2 x 1 f N2 x 1

=

g

H

i

=



f

h

ij

f

j

j

g = H. f SF 1/11/2007 - 34

Exemplos C

=

p ,q ,r

A

p ,q ,r

+ B

p ,q ,r

Algoritmo: n=p*q*r; for (i=0; i< n ; i++) c[i]=a[i] + b[i]; Sistemas G r g

lineares = H

p ,q p . q ,1

= H

var. .F

p .q ,m .n

p .q ,m .n

m ,n

r . fm

espaco

+ n

. n ,1

p ,q

r + n

p . q ,1

Algoritmo for

(i = 0 ; i < n ; i + + )

g [i] =



j = 0

h

ij

. f

j

+ n[i] SF 1/11/2007 - 35

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Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares

– Medidas de qualidade em imagens – visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 36

Imagens: características z z z z

Contraste Resolução espacial Resolução intens.:1/256 => Faixa dinâmica

c =

b a

[0, 255] => z

a − b a + b

Desafio: compactação de info. p/ apresentar os parâm. diagnósticos fundam.

b

a

Resp. impulso FWHM SF 1/11/2007 - 37

Modelo p/ degradação z z z

Puntual Cromático Degradação pelo processo da vizinhança (Blur)

difração  movimento  desfocamento 

SF 1/11/2007 - 38

Modelo p/ degradação

g = H. f

PSF de j

j ...

... g



=

h i

H

ij

=

1

j f

(Conservação de energia)

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Point spread function (PSF) z z

Conceito: resposta impulsiva SVPSF: space variant PSF g ( x ', y ') =

z

∫∫

h ( x ' , y ' , x , y ). f ( x , y ). dx . dy

g = H.f SIPSF : space invariant PSF g ( x' , y' ) =

∫∫

h ( x' − x , y' − y ). f ( x , y ). d x . d y

h(x’,y’,x,y) = h(x’- x, y’ - y) g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’) H : matriz circulante H = A ⊗ B T

G(u,v) = H(u,v). F(u,v)

(Convolução) h(0) h (1) h(2) 0

0 h(0) h (1) h(2)

h(2) 0 h(0) h (1)

h (1) h(2) 0 h(0)

SF 1/11/2007 - 40

Modelo com ruído z

Modelo realístico simplificado blur  ruído  sistema linear  Space invariant PSF 

g = H.f + r g ( x ' , y ' ) = ∫∫ h ( x ' − x , y ' − y ) . f ( x , y ) . d x . d y + r ( x ' , y ' )

G(u,v) = H(u,v). F(u,v) + R(u,v) f

h

+

g

r

SF 1/11/2007 - 41

Estimativa de parâmetros z

PSF Fonte

Perfil

PSF média simetria circ. derivada

Blocos: P

gg

log

~ = H

H (u , v ) =

1 M

.∑

2

.P

ff

(log

G

− log

F

)

SF 1/11/2007 - 42

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Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – medidas de qualidade em imagens

– visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 43

Motivação: Visualização de superfícies 

Segmentação (contornos) – primitivas



Rendering – mapeamento p/ 2D

SF 1/11/2007 - 44

Operador Projeção

9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 90 90 105 150 20 100 130 95 80 80 150 20 100 130 150 20 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 20 100 130 220 150 160 150 95 90 90 220 150 160 150 220 160 150 2202 150 150 160 150 150 160 150 20 150 100 220 150 160

objeto 3D

80 105 130 150

Tela de projeção

g xy =

N −1



z=0

f ( x, y, z) SF 1/11/2007 - 45

Operador MIP

9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 90 90 105 150 20 100 130 95 80 80 150 20 100 130 150 20 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 20 100 130 220 150 160 150 95 90 90 220 150 160 150 220 160 150 2202 150 150 160 150 150 160 150 20 150 100 220 150 160

objeto 3D

80 105 130 150

Tela de projeção

g xy = max z { f ( x , y , z ) para (x, y) }

SF 1/11/2007 - 46

casos oblíquos

95 objeto 3D 95 9595 8080 8080 8080 150 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 220 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150

80 90 20 150

80 90 100 160

80 105 130 150

Tela de projeção

basta considerar as intersecções •soma ponderada (Radon) •maior valor (MIP)

SF 1/11/2007 - 47

Exemplos z z z z

diferença de imagens média projeção MIP: maximum intensity projection

SF 1/11/2007 - 48

Plano da aula de hoje z

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização

– Convolução e operadores – Transformadas de Fourier – interpolação SF 1/11/2007 - 49

Operadores

SF 1/11/2007 - 50

Convolução 2D g (i, j) =

95 95 150 220

f * h =

80 90 20 150

80 90 100 160

1 MN

80 105 130 150

∑ ∑ m

*

f ( m , n ). h ( i − m , j − n )

n

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

=>

-75

SF 1/11/2007 - 51

Gradiente ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) u x + u y ∂y ∂x

∇ f ( x, y ) =

∂f ( x , y ) ∂x

= f (i + x = i

1 ) = 2 1 ) = f (i − 2 f (i +

∂f ( x , y ) ∂x

∂f ( x , y ) ∂x ∂f ( x , y ) ∂y

1 1 ) − f (i − ) 2 2

f (i) + f ( i + 1) 2 f (i − 1) + f (i) 2 =

x = i

i-1 -1

i i+1 0 1

f (i + 1) − f ( i − 1) 2

-1 -1 -1

0 0 0

1 1 1

Sobel -1 0 1 -2 0 2 -1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

SF 1/11/2007 - 52

Algoritmo p/ Laplaciano em x? ∂f ( x , y ) ∂x

= f (i + x = i

1 ) = 2 1 ) = f (i − 2 f (i +

∂f ( x , y ) ∂x

1 1 ) − f (i − ) 2 2

f (i) + f ( i + 1) 2 f (i − 1) + f (i) 2 =

x = i

f (i + 1) − f ( i − 1) 2

∂ f (x,y) ∂ f (x,y) ∇ f (x,y) = + 2 ∂x ∂y 2 2

2

2

SF 1/11/2007 - 53

Sobel, Laplace,... ( f ( x , y ) ) =

Sobel



2

f ( x ,y ) =





f ( x , y ) ∂x 2

∂ f ( x , y ) ) ∂ x

f ( x ,y ) ∂ + ∂x 2

2

Laplace 2

(

2

+ (

2

1 i+ 2

= ( f ( i + 1) - f ( i) )

-

= i

2

f ( x ,y ) ∂y 2

∂f ) ∂f ∂x = ( ) ∂x ∂x

∂ (

∂ f ( x , y ) ) ∂ y

− (

∂f ) ∂x

i−

1 2

( f ( i) - f ( i - 1) )

= f ( i − 1) − 2 f ( i) + f ( i + 1)

0 1 0 H

( z )

H

( w

= )

=

( z

− 1

− 2 (1

1 -4 1



2 −

0 1 0 +

cos(

i-1

i

i+1 1 -2 1

z ) wT

)) SF 1/11/2007 - 54

Laplaciano da Gaussiana (LoG) z

Edge detector Gauss=>Smooth  Laplace=>Zero crossing 

LoG(x)

x2 + y2 ) Gauss( x, y ) = exp( − 2 2σ g ( x, y ) = ∇2Gauss( x, y ) * f ( x, y )

SF 1/11/2007 - 55

Exemplos de operadores z

Exemplos no ImageJ convolução  gradiente  realce de bordas  Laplaciano  bordas 

SF 1/11/2007 - 56

Plano da aula de hoje z

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização – Convolução

– Transformadas de Fourier – interpolação SF 1/11/2007 - 57

Transformadas no dom. freq.

f(t)

F(w)

SF 1/11/2007 - 58

Transf. de Fourier, DFT,FFT y

F

f(x,y)

F(u,v)

F-1

x Contínuo D ir e ta : F (u , v ) =

∫∫

f ( x , y ). e x p ( − j2 π (u x + v y )). d x . d y

∫∫

F (u , v ). e x p ( j2 π (u x + v y )). d u . d v

− ∞

In v e rsa : f (x, y) =

− ∞

Discreto 1 F (u ,v ) = MN f (x ,y ) =

M −1 N −1

∑ ∑

f ( x , y ) . exp

x = 0 y = 0

M −1 N −1

∑ ∑

( − j2 π ( u

u = 0 v = 0

F ( u , v ) . exp

( j2 π ( u

x M

x M

+ v.

+ v.

y )) N

y )) N

SF 1/11/2007 - 59

Propriedades da Transf.Fourier z

z

Convolução h*f g F-1 Correlação fog

G=H.F G F* . G f (x) o g(x) =

z

z z

z

Densidade espectral de potência

Separabilidade Translação  f(x-x0) Escala  a.f(bx)



∫ f * (u ). g ( x + u ). d u

−∞

P

fg

( u , v ) =

Fourier

P

fg

( u , v ) =

F * ( u , v ).G ( u , v )

P

ff

( u , v ) =

( R

fg

( x , y ) )

F * ( u , v ).F ( u , v ) =

F ( u , v )

F(u).exp(-j2π.u.x0/N) a/|b|.F(u/b) SF 1/11/2007 - 60

2

Compressão de Imagens Transformada do Cosseno (JPEG) z

A técnica: Dividir a imagem em blocos de 8x8 píxels  Aplicar a DCT em cada bloco (em zig-zag)  Cortar os coeficientes para as componentes abaixo de um certo limite  Armazenar a série de coeficientes inteiros usando LZW 

SF 1/11/2007 - 61

ver transf.ppt

SF 1/11/2007 - 62

Restauração e filtragem

SF 1/11/2007 - 63

Filtros digitais: SIPSF z

Filtragem no domíno do espaço (Convolução)

g ( x' , y' ) =

∫∫

h ( x' − x , y' − y ). f ( x , y ). d x . d y

g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’) g

ij

=

M − 1 N − 1

∑ ∑

h ( i − m , j − n ).f ( m , n )

m = 0 n = 0

Exemplos  Características do filtro? 

z

Filtragem no domínio da frequencia (DFT)

SF 1/11/2007 - 64

Exemplo de filtros z z

FFT => espectro Filtro passa-banda

SF 1/11/2007 - 65

Plano da aula de hoje z

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D 

Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia



Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização – Convolução – Transformadas de Fourier

– interpolação SF 1/11/2007 - 66

Interpolação y2

x1

6

8

2

4

( y 2 − y1 ) .( x − x 1 ) y = y1 + x 2 − x1

y

y1

x

x2

SF 1/11/2007 - 67

Transformações geométricas P1

Q1

P2

I (Q1) = I 1 +

( I 2 − I1 ) .( x − x1 ) x 2 − x1

I (Q 2 ) = I 3 +

(I 4 − I 3 ) .( x − x3 ) x 4 − x3

Q(x,y) I (Q) = I (Q1) +

Q2 P3

I (Q2) − I (Q1) .( y − y1 ) y2 − y1

P4

SF 1/11/2007 - 68

SF 1/11/2007 - 69

Motivação: fusão z

z

Conjugação de imagens para melhorar a sensitividade e sensibilidade diagnóstica (fusão) Alinhamento de imagens 3D Estudo multi-modal (CT, MRI, SPECT, ..) quantitativa  Aumento da sensitividade e da especificidade diagnóstica 

SF 1/11/2007 - 70

Translação y

9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 20 100 130 3 8 9 17 9595 8080 8080 8080 150 150 20 100 130 2020 100 130 9595 8080 8080 8080 150 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 80 15 14 10 13 9595 9512 9090 8090790 80 105 220 150 160 150 6 20 105 220 150 160 150 9595 9090 9090 105 220 150 160 150 105 220 150 160 150 95 90 90 105 2 22 15 150 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 x 2202 15022 16015 150 150 150 z

SF 1/11/2007 - 71

Translação P1 + translacao

=> P2

( x1 , y 1 , z 1 ) + ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( x 2 , y 2 , z 2 ) g ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x1 , y 1 , z 1 ) g ( x2 , y 2 , z2 ) = f ( x2 − x0 , y 2 − y0 , z2 − z0 )

P2 g(x2,y2,z2) P1 f(x1,y1,z1)

 x2  1  y  0  2 =   z 2  0    1  0

0 0 1 0 0 1 0 0

x0   x1  y0   y1  . z0   z1    1  1  x SF 1/11/2007 - 72

Escala 9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 9595 9512 90 8090 80 105 61058020 9595 909090 7909090105 105 9520 90 90 10517 150 100 130 3 8 9 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 13013 220 150 160 150 15 14 10 220 150 160 150 220 150 160 150 220 2202 150 15022 160 16015 150 150 150

y

9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150 z

x SF 1/11/2007 - 73

Escala  x2   S x y   0  2 =   z2   0    1   0

0

0

Sy 0

0 Sz

0

0

0  x1  0  y1  . 0  z1    1 1 

P2 g(x2,y2,z2) P1 f(x1,y1,z1) x SF 1/11/2007 - 74

Rotação y

9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150 z

x SF 1/11/2007 - 75

Rotação P1 [ rotação (α , β , γ )] => P2 0 0 1 0 cos(α ) sin (α ) Rα =  0 − sin (α ) cos(α )  0 0 0 cos( β )  0 Rβ =   sin ( β )   0

P1 f(x1,y1,z1) P2 g(x2,y2,z2)

x

0  x1  0  y1  . 0  z1    1  1 

0 − sin ( β ) 0  x1  1 0 0  y1  . 0 cos( β ) 0  z1    0 0 1  1 

 cos(γ ) sin (γ )  − sin (γ ) cos(γ ) Rγ =   0 0  0  0

0 0  x1  0 0  y1  . 1 0  z1    0 1  1 

SF 1/11/2007 - 76

Transformações geométricas Escalamento (S) e Rotação (R) em torno de um ponto genérico (P0) 1) P/ rotação deve-se centrar em (P0) => translação T 2) Rotação R 3) Retorno da translação (T-1) 4) Escala S −1

P2 = S .T 0 . R .T 0 ( P1 )

P0

SF 1/11/2007 - 77

Exemplos práticos z z z z

rotação slice interpolação rendering 3D rotação  projeção  opacidade / reflexão / ... 

SF 1/11/2007 - 78

Tomografia Algébrica

4

Problema: f |

9

f1+ f2 f1

f2

f3

f4

7 6

=7 f3+ f4 =6

f1+

f3

=4

f2 +

f4 =9

Imagem f SF 1/11/2007 - 79

Soluções 4

9

f1

f2

f3

f4

7 6

3

4

1

5

2

5

2

4

A.x=b

Imagem f M equações com N incógnitas Sistema indeterminado (infinitas soluções, rank < N) Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização

SF 1/11/2007 - 80

Algébrica: otimização (regularizada) 4

9

Problema: f | f1+ f2

f1

f2

f3

f4

7 6

f3+ f4 =6 8

5

Imagem f

=7

f1+

f3 f2 +

.5f1+ .5f1+ f2 =8

=4 f4 =9

f3 +.5 f4 =5 +.5 f4 SF 1/11/2007 - 81

Soluções (otimizada) A.x=b 6 equações com 4 incógnitas Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização

f1

f2

f3

f4

7 6

min



| A . xˆ − b | 2

xˆ = A + b

8

A

+

= (A' A)

−1

A'

2.5

4.6

2.0

4.1

5

Imagem

SF 1/11/2007 - 82