Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – medidas de qualidade em imagens – visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 1
Forma ção da Imagem no Olho Formação Mecanismos de Adaptação: Foco
SF 1/11/2007 - 2
Forma ção da Imagem no Olho Formação Mecanismos de Adaptação: Brilho e Cor
Íris
Cones e Bastonetes (7M e 70M células)
SF 1/11/2007 - 3
Processo de Discretiza ção Discretização
256 tons de cinza
95 95 150 220
80 90 20 150
80 90 100 160
80 105 130 150 SF 1/11/2007 - 4
Imagens: representação z
z
Função contínua f(x,y) f: Rn => Rp Função discreta f(i,j) f: Z+ n => Z+p Pixel (picture element) f(i,j)
Voxel (volume element) f(i,j,k)
Spel (space element) f(i,j, ... n)
z
Representação matricial
FnXm
f 11 f 21 = f n1
f 12 f 22 f n2
f 1m f 2m f nm
f[i][j][...] SF 1/11/2007 - 5
Resumo: Conceitos básicos z
Imagem digital => matriz n-dimensional
2D => pixel (picture element) – raio X - CR (4096 x 4096 x 2B) – short f[4096][4096]
3D => voxel (volume element) – – –
CT multi-slice (700cortes x 512 x 512 x 2B) XA (1000 quadros x 512 x 512 x 1B) byte f[1000][512][512]
4D => spel (space element) – gated SPECT, RM, ..
multi-atributos – RM (PD, T1, T2)
z
F:In -> Rm SF 1/11/2007 - 6
Resumo: Matriz z z z z
número de dimensões (espaço) número de elementos por dimensão número de atributos (medidas por elem.) número de bits ou bytes por elemento CT multi-slice (700cortes x 512 x 512 x 2B) 3D, 700 em z, 512 em x e y, 1 atributo, 2 bytes por elemento 367 MB short f[700][512][512]
y
z x SF 1/11/2007 - 7
Criar uma matriz z
gated RM=> 4D (16 fases, 128 slices, 256 x 256, 2 bytes) com 3 atributos para cada spel (PD, T1, T2) short f [16][128][256][256][3]
SF 1/11/2007 - 8
Mãos na massa: ler / ver c/ IJ z
Arquivo raw type of data: byte, int, float, ... [little, big] endian: endereço em memória aponta p/ little ou big part escala de cores segmentação por thresholding
z z
Arquivo JPEG Arquivo DICOM
SF 1/11/2007 - 9
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal
– histograma e segmentação por threshold – – – – –
sistemas lineares medidas de qualidade em imagens visualização Transformadas, convolução interpolação SF 1/11/2007 - 10
Histograma
95 95 150 220
80 90 20 150
80 90 100 160
80 105 130 150 10 8 6
Seqüência1
4 2 0 0
50
100
150
200
250
300
SF 1/11/2007 - 11
distr. const, 32x32
70 60 50 40 Seqüência1 30 20 10
00 44
00 40
00 36
00 32
00 28
00 24
00 20
00 16
00 12
0 80
0 40
0
0
SF 1/11/2007 - 12
Segmentação por nível P2 P1 p2(x)
p1(x) T
atributo
SF 1/11/2007 - 13
Exemplos práticos
intensidade do monitor
z
contraste / brilho (window / level) Histograma 10
100%
8 6
Seqüência1
4 2 0 0
50
100
150
200
250
300
valor pixel
level window
SF 1/11/2007 - 14
mãos na massa: segmentação z
Segmentação por thresholding imagem DICOM de MRI (sample) CT => simples p/ segmentar por faixa de HU
SF 1/11/2007 - 15
Múltiplos atributos
VE j x=f(c) VD
d ( x) = ( x − x j ) . Sj−1.( x − x j ) 2 j
T
SF 1/11/2007 - 16
atrib.2
Generalização: clusters
atrib. 1 0) K classes com centro em c i 1) Inicializar c (0) j 2) Para cada x i => atribuir x i p / classe j com menor distancia 3) Recalcular c j 4) Repetir 2) e 3) ate nao haver mais alter. SF 1/11/2007 - 17
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold
– sistemas lineares, convolução, transformada – – – –
medidas de qualidade em imagens visualização Transformadas, convolução interpolação SF 1/11/2007 - 18
Modelo de formação: imag. médicas Objeto transmissão reflexão emissão y f(x,y)
Sistema de Aquisição
Imagem
foto-eletr. .raio-X, piezo-elétr. .US foto-eletr, .MN, MRI h(.)
y’
x
g(x’,y’) x’
Função geral p/ formação de imagens h(.) = h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) h(.) = h( u’, u, f(u) )
(2D) (nD) SF 1/11/2007 - 19
Sistemas: invariância z
Invariante com o “tempo”
x(t) h(t) x(t-t0) z
=>
y(t) y(t-t0)
Variante com o “tempo”
y (t ) = t + x (t ) x (t − t0 ) → t + x (t − t0 ) ≠ y (t − t0 )
SF 1/11/2007 - 20
Sistemas lineares z
Princípio da superposição x(t) h(t)
y(t)
x1 ( t ) → y1 ( t ) x 2 (t ) → y 2 (t ) a . x1 ( t ) + b . x 2 ( t ) → a . y1 ( t ) + b . y 2 ( t )
SF 1/11/2007 - 21
Sistemas aditivos , lineares f1(x,y) g1(x’,y’) f2(x,y) g2(x’,y’) z Sistemas aditivos g ( x' , y' ) = z
∫∫
h ( x' , y' , x , y , f ( x , y )). d x . d y
Sistemas lineares a.f1( ) + b.f2( )
a.g1( ) + b.g2( )
h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) = h(x’,y’,x,y) . f(x,y) g ( x' , y' ) =
∫∫
h ( x' , y' , x , y ). f ( x , y ). d x . d y
PSF : point spread function SF 1/11/2007 - 22
Sistema não-linear z
Incrementalmente linear
y (t ) = 2 + 5 .x (t ) y1 ( t ) = 2 + 5 . x1 ( t ) y 2 (t ) = 2 + 5 .x 2 (t ) x 1 ( t ) + x 2 ( t ) → 2 + 5 .( x 1 ( t ) + x 2 ( t )) 2 x(t) 5
y(t)
Sistema linear SF 1/11/2007 - 23
Sistemas lineares invariantes z
Sistemas lineares e invariantes (LTI) são suficientemente caracterizados pela resposta ao impulso possibilita tratamento matemático simplificado
– convolução => resposta do sistema – análise no domínio da frequência
qq. LTI pode ser representado por produtórias de termos de sistemas de ordens 1 e 2
SF 1/11/2007 - 24
Impulso No caso contínuo:
1/∆
δ ( t ) = lim s ( t ) ∆→ 0
∞
∫ δ (τ ) d τ
∞
=1→
−∞
∫
f ( t )δ ( t − τ ) d τ = f ( t )
∆
−∞
No caso discreto:
0 se i ≠ 0 δ [i] = 1 se i 0 = ∞
∑
x [ k ]. δ [ n − k ] = δ [ n ]
k = −∞ SF 1/11/2007 - 25
LTI
x(t) h(t)
y(t)
∞
x (t ) =
∫ x (τ ). δ ( t − τ ) d τ
=>Combinação linear de x( )
−∞
δ ( t − τ ) → hτ ( t ) ∞
Linearidade=> y ( t ) =
∫ x (τ ). hτ ( t ) d τ
−∞
Invariante=>
hτ ( t ) = h ( t − τ ) ∞
Convolução=>
y (t ) =
∫ x (τ ). h ( t − τ ) d τ
−∞
y (t ) = x (t ) * h (t ) SF 1/11/2007 - 26
LTI: caso discreto
x[ n ] =
∞
∑
x[k] h[k]
y[k]
x [ k ]. δ [ n − k ]
k = −∞
δ [n − k ] → hk [n ] Linearidade=>
y[n ] =
∞
∑
−∞
Invariante=> Convolução=>
x [ k ]. h k [ n ]
hk [ n ] = h[ n − k ] y[n ] =
∞
∑
x [ k ]. h [ n − k ]
−∞
y[ n ] = x[ n ] * h[ n ] SF 1/11/2007 - 27
Convolução: intuitivo f
conv
h
=
g
h(-t)
SF 1/11/2007 - 28
LTI z z
Causalidade => h(t)=0, t ∞
∫|h
(τ ) | d τ < ∞
−∞
SF 1/11/2007 - 29
Convolução, Transf. de Fourier z z
Convolução: comutativo, associativo, distributivo Convolução => multiplicação no domínio da frequência ∞
y (t ) =
∫ x (τ ). h ( t − τ ) d τ
−∞
∞
Y(f ) =
∞
∫ ∫
x (τ ). h ( t − τ ). e − j 2 π ft d τ dt
−∞−∞ ∞
Y(f ) =
∞
∫ ∫
x (τ ). h ( t ' ). e − j 2 π f ( t + τ ) d τ dt '
−∞−∞
Y ( f ) = X ( f ). H ( f ) SF 1/11/2007 - 30
Convolução 2D g (i, j) =
95 95 150 220
f * h =
80 90 20 150
80 90 100 160
1 MN
80 105 130 150
∑ ∑ m
*
f ( m , n ). h ( i − m , j − n )
n
0 1 0
1 -4 1
0 1 0
=>
-75
SF 1/11/2007 - 31
Notação z
Geral (nD) vetorial
z
F
3 X 3
1D, 2D, 3D, ...
Operações algébricas, aritméticas, matriciais
f 00 = f 10 f 20
f
01
f 11 f 21
f
02
f 12 f 22
f 00 f 01 r f 02 F= SF 1/11/2007 - 32
Sist. lineares: representações z
z
z
Puntual Operador g=Hf
g ( x ', y ') =
∫∫
H = A ⊗ B T
Matricial G = A.F.B (separavel) Vetorial g=H.f
h ( x ' , y ' , x , y ). f ( x , y ). dx . dy
g
=
H
f
SF 1/11/2007 - 33
Notação vetorial G NXN H N2 x N2 F NXN
i
g
g N2 x 1 f N2 x 1
=
g
H
i
=
∑
f
h
ij
f
j
j
g = H. f SF 1/11/2007 - 34
Exemplos C
=
p ,q ,r
A
p ,q ,r
+ B
p ,q ,r
Algoritmo: n=p*q*r; for (i=0; i< n ; i++) c[i]=a[i] + b[i]; Sistemas G r g
lineares = H
p ,q p . q ,1
= H
var. .F
p .q ,m .n
p .q ,m .n
m ,n
r . fm
espaco
+ n
. n ,1
p ,q
r + n
p . q ,1
Algoritmo for
(i = 0 ; i < n ; i + + )
g [i] =
∑
j = 0
h
ij
. f
j
+ n[i] SF 1/11/2007 - 35
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares
– Medidas de qualidade em imagens – visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 36
Imagens: características z z z z
Contraste Resolução espacial Resolução intens.:1/256 => Faixa dinâmica
c =
b a
[0, 255] => z
a − b a + b
Desafio: compactação de info. p/ apresentar os parâm. diagnósticos fundam.
b
a
Resp. impulso FWHM SF 1/11/2007 - 37
Modelo p/ degradação z z z
Puntual Cromático Degradação pelo processo da vizinhança (Blur)
difração movimento desfocamento
SF 1/11/2007 - 38
Modelo p/ degradação
g = H. f
PSF de j
j ...
... g
∑
=
h i
H
ij
=
1
j f
(Conservação de energia)
SF 1/11/2007 - 39
Point spread function (PSF) z z
Conceito: resposta impulsiva SVPSF: space variant PSF g ( x ', y ') =
z
∫∫
h ( x ' , y ' , x , y ). f ( x , y ). dx . dy
g = H.f SIPSF : space invariant PSF g ( x' , y' ) =
∫∫
h ( x' − x , y' − y ). f ( x , y ). d x . d y
h(x’,y’,x,y) = h(x’- x, y’ - y) g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’) H : matriz circulante H = A ⊗ B T
G(u,v) = H(u,v). F(u,v)
(Convolução) h(0) h (1) h(2) 0
0 h(0) h (1) h(2)
h(2) 0 h(0) h (1)
h (1) h(2) 0 h(0)
SF 1/11/2007 - 40
Modelo com ruído z
Modelo realístico simplificado blur ruído sistema linear Space invariant PSF
g = H.f + r g ( x ' , y ' ) = ∫∫ h ( x ' − x , y ' − y ) . f ( x , y ) . d x . d y + r ( x ' , y ' )
G(u,v) = H(u,v). F(u,v) + R(u,v) f
h
+
g
r
SF 1/11/2007 - 41
Estimativa de parâmetros z
PSF Fonte
Perfil
PSF média simetria circ. derivada
Blocos: P
gg
log
~ = H
H (u , v ) =
1 M
.∑
2
.P
ff
(log
G
− log
F
)
SF 1/11/2007 - 42
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – medidas de qualidade em imagens
– visualização – Transformadas, convolução – interpolação SF 1/11/2007 - 43
Motivação: Visualização de superfícies
Segmentação (contornos) – primitivas
Rendering – mapeamento p/ 2D
SF 1/11/2007 - 44
Operador Projeção
9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 90 90 105 150 20 100 130 95 80 80 150 20 100 130 150 20 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 20 100 130 220 150 160 150 95 90 90 220 150 160 150 220 160 150 2202 150 150 160 150 150 160 150 20 150 100 220 150 160
objeto 3D
80 105 130 150
Tela de projeção
g xy =
N −1
∑
z=0
f ( x, y, z) SF 1/11/2007 - 45
Operador MIP
9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 90 90 105 150 20 100 130 95 80 80 150 20 100 130 150 20 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 20 100 130 220 150 160 150 95 90 90 220 150 160 150 220 160 150 2202 150 150 160 150 150 160 150 20 150 100 220 150 160
objeto 3D
80 105 130 150
Tela de projeção
g xy = max z { f ( x , y , z ) para (x, y) }
SF 1/11/2007 - 46
casos oblíquos
95 objeto 3D 95 9595 8080 8080 8080 150 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 220 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150
80 90 20 150
80 90 100 160
80 105 130 150
Tela de projeção
basta considerar as intersecções •soma ponderada (Radon) •maior valor (MIP)
SF 1/11/2007 - 47
Exemplos z z z z
diferença de imagens média projeção MIP: maximum intensity projection
SF 1/11/2007 - 48
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização
– Convolução e operadores – Transformadas de Fourier – interpolação SF 1/11/2007 - 49
Operadores
SF 1/11/2007 - 50
Convolução 2D g (i, j) =
95 95 150 220
f * h =
80 90 20 150
80 90 100 160
1 MN
80 105 130 150
∑ ∑ m
*
f ( m , n ). h ( i − m , j − n )
n
0 1 0
1 -4 1
0 1 0
=>
-75
SF 1/11/2007 - 51
Gradiente ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) u x + u y ∂y ∂x
∇ f ( x, y ) =
∂f ( x , y ) ∂x
= f (i + x = i
1 ) = 2 1 ) = f (i − 2 f (i +
∂f ( x , y ) ∂x
∂f ( x , y ) ∂x ∂f ( x , y ) ∂y
1 1 ) − f (i − ) 2 2
f (i) + f ( i + 1) 2 f (i − 1) + f (i) 2 =
x = i
i-1 -1
i i+1 0 1
f (i + 1) − f ( i − 1) 2
-1 -1 -1
0 0 0
1 1 1
Sobel -1 0 1 -2 0 2 -1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
-2 0 2
-1 0 1
SF 1/11/2007 - 52
Algoritmo p/ Laplaciano em x? ∂f ( x , y ) ∂x
= f (i + x = i
1 ) = 2 1 ) = f (i − 2 f (i +
∂f ( x , y ) ∂x
1 1 ) − f (i − ) 2 2
f (i) + f ( i + 1) 2 f (i − 1) + f (i) 2 =
x = i
f (i + 1) − f ( i − 1) 2
∂ f (x,y) ∂ f (x,y) ∇ f (x,y) = + 2 ∂x ∂y 2 2
2
2
SF 1/11/2007 - 53
Sobel, Laplace,... ( f ( x , y ) ) =
Sobel
∇
2
f ( x ,y ) =
∂
∂
f ( x , y ) ∂x 2
∂ f ( x , y ) ) ∂ x
f ( x ,y ) ∂ + ∂x 2
2
Laplace 2
(
2
+ (
2
1 i+ 2
= ( f ( i + 1) - f ( i) )
-
= i
2
f ( x ,y ) ∂y 2
∂f ) ∂f ∂x = ( ) ∂x ∂x
∂ (
∂ f ( x , y ) ) ∂ y
− (
∂f ) ∂x
i−
1 2
( f ( i) - f ( i - 1) )
= f ( i − 1) − 2 f ( i) + f ( i + 1)
0 1 0 H
( z )
H
( w
= )
=
( z
− 1
− 2 (1
1 -4 1
−
2 −
0 1 0 +
cos(
i-1
i
i+1 1 -2 1
z ) wT
)) SF 1/11/2007 - 54
Laplaciano da Gaussiana (LoG) z
Edge detector Gauss=>Smooth Laplace=>Zero crossing
LoG(x)
x2 + y2 ) Gauss( x, y ) = exp( − 2 2σ g ( x, y ) = ∇2Gauss( x, y ) * f ( x, y )
SF 1/11/2007 - 55
Exemplos de operadores z
Exemplos no ImageJ convolução gradiente realce de bordas Laplaciano bordas
SF 1/11/2007 - 56
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização – Convolução
– Transformadas de Fourier – interpolação SF 1/11/2007 - 57
Transformadas no dom. freq.
f(t)
F(w)
SF 1/11/2007 - 58
Transf. de Fourier, DFT,FFT y
F
f(x,y)
F(u,v)
F-1
x Contínuo D ir e ta : F (u , v ) =
∫∫
f ( x , y ). e x p ( − j2 π (u x + v y )). d x . d y
∫∫
F (u , v ). e x p ( j2 π (u x + v y )). d u . d v
− ∞
In v e rsa : f (x, y) =
− ∞
Discreto 1 F (u ,v ) = MN f (x ,y ) =
M −1 N −1
∑ ∑
f ( x , y ) . exp
x = 0 y = 0
M −1 N −1
∑ ∑
( − j2 π ( u
u = 0 v = 0
F ( u , v ) . exp
( j2 π ( u
x M
x M
+ v.
+ v.
y )) N
y )) N
SF 1/11/2007 - 59
Propriedades da Transf.Fourier z
z
Convolução h*f g F-1 Correlação fog
G=H.F G F* . G f (x) o g(x) =
z
z z
z
Densidade espectral de potência
Separabilidade Translação f(x-x0) Escala a.f(bx)
∞
∫ f * (u ). g ( x + u ). d u
−∞
P
fg
( u , v ) =
Fourier
P
fg
( u , v ) =
F * ( u , v ).G ( u , v )
P
ff
( u , v ) =
( R
fg
( x , y ) )
F * ( u , v ).F ( u , v ) =
F ( u , v )
F(u).exp(-j2π.u.x0/N) a/|b|.F(u/b) SF 1/11/2007 - 60
2
Compressão de Imagens Transformada do Cosseno (JPEG) z
A técnica: Dividir a imagem em blocos de 8x8 píxels Aplicar a DCT em cada bloco (em zig-zag) Cortar os coeficientes para as componentes abaixo de um certo limite Armazenar a série de coeficientes inteiros usando LZW
SF 1/11/2007 - 61
ver transf.ppt
SF 1/11/2007 - 62
Restauração e filtragem
SF 1/11/2007 - 63
Filtros digitais: SIPSF z
Filtragem no domíno do espaço (Convolução)
g ( x' , y' ) =
∫∫
h ( x' − x , y' − y ). f ( x , y ). d x . d y
g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’) g
ij
=
M − 1 N − 1
∑ ∑
h ( i − m , j − n ).f ( m , n )
m = 0 n = 0
Exemplos Características do filtro?
z
Filtragem no domínio da frequencia (DFT)
SF 1/11/2007 - 64
Exemplo de filtros z z
FFT => espectro Filtro passa-banda
SF 1/11/2007 - 65
Plano da aula de hoje z
Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3D
Motivação: preparatório p/ as próximas aulas – Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia
Conceitos básicos de proc. imagens – pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa dinâmica, resolução temporal – Medidas de qualidade em imagens – histograma e segmentação por threshold – sistemas lineares – visualização – Convolução – Transformadas de Fourier
– interpolação SF 1/11/2007 - 66
Interpolação y2
x1
6
8
2
4
( y 2 − y1 ) .( x − x 1 ) y = y1 + x 2 − x1
y
y1
x
x2
SF 1/11/2007 - 67
Transformações geométricas P1
Q1
P2
I (Q1) = I 1 +
( I 2 − I1 ) .( x − x1 ) x 2 − x1
I (Q 2 ) = I 3 +
(I 4 − I 3 ) .( x − x3 ) x 4 − x3
Q(x,y) I (Q) = I (Q1) +
Q2 P3
I (Q2) − I (Q1) .( y − y1 ) y2 − y1
P4
SF 1/11/2007 - 68
SF 1/11/2007 - 69
Motivação: fusão z
z
Conjugação de imagens para melhorar a sensitividade e sensibilidade diagnóstica (fusão) Alinhamento de imagens 3D Estudo multi-modal (CT, MRI, SPECT, ..) quantitativa Aumento da sensitividade e da especificidade diagnóstica
SF 1/11/2007 - 70
Translação y
9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 20 100 130 3 8 9 17 9595 8080 8080 8080 150 150 20 100 130 2020 100 130 9595 8080 8080 8080 150 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 80 15 14 10 13 9595 9512 9090 8090790 80 105 220 150 160 150 6 20 105 220 150 160 150 9595 9090 9090 105 220 150 160 150 105 220 150 160 150 95 90 90 105 2 22 15 150 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 x 2202 15022 16015 150 150 150 z
SF 1/11/2007 - 71
Translação P1 + translacao
=> P2
( x1 , y 1 , z 1 ) + ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( x 2 , y 2 , z 2 ) g ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x1 , y 1 , z 1 ) g ( x2 , y 2 , z2 ) = f ( x2 − x0 , y 2 − y0 , z2 − z0 )
P2 g(x2,y2,z2) P1 f(x1,y1,z1)
x2 1 y 0 2 = z 2 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0
x0 x1 y0 y1 . z0 z1 1 1 x SF 1/11/2007 - 72
Escala 9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 9595 9512 90 8090 80 105 61058020 9595 909090 7909090105 105 9520 90 90 10517 150 100 130 3 8 9 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 13013 220 150 160 150 15 14 10 220 150 160 150 220 150 160 150 220 2202 150 15022 160 16015 150 150 150
y
9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150 z
x SF 1/11/2007 - 73
Escala x2 S x y 0 2 = z2 0 1 0
0
0
Sy 0
0 Sz
0
0
0 x1 0 y1 . 0 z1 1 1
P2 g(x2,y2,z2) P1 f(x1,y1,z1) x SF 1/11/2007 - 74
Rotação y
9595 8080 8080 8080 9595 8080 8080 8080 80 9595 9512 9090 8090790 80 105 6 20 105 9595 9090 9090 105 105 95 90 90 105 150 20 100 130 3 8 9 17 150 20 100 130 150 2020 100 130 150 100 130 150 20 100 130 220 150 160 150 15 14 10 13 220 150 160 150 220 150 160 150 220 150 160 2202 15022 16015 150 150 150 z
x SF 1/11/2007 - 75
Rotação P1 [ rotação (α , β , γ )] => P2 0 0 1 0 cos(α ) sin (α ) Rα = 0 − sin (α ) cos(α ) 0 0 0 cos( β ) 0 Rβ = sin ( β ) 0
P1 f(x1,y1,z1) P2 g(x2,y2,z2)
x
0 x1 0 y1 . 0 z1 1 1
0 − sin ( β ) 0 x1 1 0 0 y1 . 0 cos( β ) 0 z1 0 0 1 1
cos(γ ) sin (γ ) − sin (γ ) cos(γ ) Rγ = 0 0 0 0
0 0 x1 0 0 y1 . 1 0 z1 0 1 1
SF 1/11/2007 - 76
Transformações geométricas Escalamento (S) e Rotação (R) em torno de um ponto genérico (P0) 1) P/ rotação deve-se centrar em (P0) => translação T 2) Rotação R 3) Retorno da translação (T-1) 4) Escala S −1
P2 = S .T 0 . R .T 0 ( P1 )
P0
SF 1/11/2007 - 77
Exemplos práticos z z z z
rotação slice interpolação rendering 3D rotação projeção opacidade / reflexão / ...
SF 1/11/2007 - 78
Tomografia Algébrica
4
Problema: f |
9
f1+ f2 f1
f2
f3
f4
7 6
=7 f3+ f4 =6
f1+
f3
=4
f2 +
f4 =9
Imagem f SF 1/11/2007 - 79
Soluções 4
9
f1
f2
f3
f4
7 6
3
4
1
5
2
5
2
4
A.x=b
Imagem f M equações com N incógnitas Sistema indeterminado (infinitas soluções, rank < N) Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização
SF 1/11/2007 - 80
Algébrica: otimização (regularizada) 4
9
Problema: f | f1+ f2
f1
f2
f3
f4
7 6
f3+ f4 =6 8
5
Imagem f
=7
f1+
f3 f2 +
.5f1+ .5f1+ f2 =8
=4 f4 =9
f3 +.5 f4 =5 +.5 f4 SF 1/11/2007 - 81
Soluções (otimizada) A.x=b 6 equações com 4 incógnitas Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização
f1
f2
f3
f4
7 6
min
xˆ
| A . xˆ − b | 2
xˆ = A + b
8
A
+
= (A' A)
−1
A'
2.5
4.6
2.0
4.1
5
Imagem
SF 1/11/2007 - 82