GeoGebra im Unterricht Das dynamische Nebeneinander von Geometrie und Algebra in GeoGebra ermöglicht Ihren Schülern auf einfache Weise einen experimentellen Zugang zur Mathematik. Dadurch können Sie als Lehrer selbstgesteuertes, individuelles und entdeckendes Lernen fördern.

GeoGebra als Werkzeug für mathematische Experimente Lassen Sie Ihre Schüler selbst mathematische Sachverhalte mit GeoGebra entdecken. Dazu geben Sie einen Arbeitsauftrag in Form eines Arbeitsblattes oder einer Overheadfolie, den Ihre Schüler mit Hilfe von GeoGebra bearbeiten sollen. Dabei muss Ihr Unterricht nicht unbedingt im Computerraum stattfinden. Es genügt schon ein PC mit GeoGebra, um in einer Gruppenarbeit oder einem Stationenbetrieb damit zu experimentieren. Einige Tipps dazu • Formulieren Sie Ihre Fragestellungen möglichst offen, damit Ihre Schüler genügend Freiräume für eigene Lösungswege haben und sich selbstständig mit mathematischen Problemen auseinandersetzen können. Lernen ist ein individueller Prozess, den Sie so fördern können. •

Verbinden Sie individuelles Lernen mit Team-Work. Wenn Sie Ihre Schüler zu zweit oder in Kleingruppen arbeiten lassen, entstehen oft allein durch das gegenseitige Erklären der eigenen Gedanken neue Einsichten.

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Lassen Sie Ihre Schüler Vermutungen und Ergebnisse auch aufschreiben, entweder direkt auf ein Arbeitsblatt oder ins Heft. Dabei können sie die Möglichkeit des Ausdruckens der Konstruktion und ihres Protokolls verwenden.

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Eine derartige Dokumentation bietet die Basis für eine Diskussion in der Klasse über die gesammelten Vermutungen und Ergebnisse. Lassen Sie dazu Schüler oder Schülergruppen ihre "Theorien" präsentieren und von der Klasse kritisch beurteilen.

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Während der Arbeitsphasen mit GeoGebra sollten Sie sich als Berater im Hintergrund halten und nur Hilfestellung geben, wenn diese von Ihren Schülern angefordert wird. So geben Sie Ihren Schülern die Gelegenheit, in Ruhe nachzudenken und eigene Lösungswege zu suchen.

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GeoGebra als Präsentationswerkzeug Verwenden Sie GeoGebra als "dynamische Overheadfolie", um Sachverhalte zu veranschaulichen oder Experimente mit der gesamten Klasse durchzuführen. Dazu benötigen Sie einen Laptop oder PC und einen Beamer im Unterrichtsraum. Sie können dabei mit der leeren Oberfläche von GeoGebra starten und eine Konstruktion im Unterricht erstellen oder eine bereits vorbereitete Datei öffnen. In letzterem Fall bietet sich das Konstruktionsprotokoll an, um eine vorbereitete Konstruktion Schritt für Schritt vorzuführen. Einige Tipps dazu • Versuchen Sie Ihre Schüler bei der Präsentation aktiv einzubinden. Fördern Sie "mathematische Diskussionen" in der Klasse, indem Sie Vermutungen der Schüler aufgreifen und mit Hilfe von GeoGebra auch überprüfen. •

Lassen Sie die Schüler selbst Ergebnisse aus Arbeitsphasen mit GeoGebra präsentieren.

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Bieten Sie Schülern auch die Möglichkeit, Referate mit GeoGebra zu gestalten. Da GeoGebra kostenlos ist, können Ihre Schüler die Software auch problemlos zu Hause nutzen.

Ausgangspunkte für Arbeitsaufträge Bei der Erstellung von Arbeitsaufträgen, die mit GeoGebra bearbeitet werden sollen, haben Sie die Möglichkeit verschiedene Ausgangspunkte zu verwenden: •

Offene Fragestellungen: regen Sie Ihre Schüler zu mathematischen Experimenten an, indem Sie ihre Fragen so formulieren, dass eigenes Entdecken und individuelle Lösungswege möglich sind.

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Bild der Konstruktion: lassen Sie Ihre Schüler versuchen, eine als Bild vorgegebene Konstruktion selbst durchzuführen. Das Konstruktionsprotokoll kann hier zum Vergleich der verschiedenen Lösungen verwendet werden.

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Konstruktionsprotokoll: lassen Sie Ihre Schüler eine Konstruktion anhand eines vorgegebenen Konstruktionsprotokolls durchführen. Entfernen Sie dabei einzelne Schritte und lassen Sie Ihre Schüler diese wie einen Lückentext ergänzen.

Kombinieren Sie diese Möglichkeiten, ersinnen Sie neue und lassen Sie Ihrer Kreativität freien Lauf. GeoGebra im Unterricht – www.geogebra.at

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Beispiele mit offenen Fragestellungen Die folgenden Beispiele beinhalten offene Fragestellungen und sollen als Anregung für Ihre eigene Unterrichtsvorbereitung dienen. Beispiel 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten Beispiel 2: Kreisgleichung Beispiel 3: Tangenten an einen Kreis Beispie 4: Ableitungen und Tangente einer Funktion

Beispiel 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten Aufgabe: Ermittle graphisch die Lösung des folgenden Gleichungssystems: g: 4x = -6, h: x - 3y = 3. Führe die Probe in deinem Heft durch Einsetzen in beide Gleichungen aus. 1. Versuche, die Gleichung g so zu verändern, dass die Lösungsmenge der beiden Gleichungen leer ist. Was bedeutet das geometrisch? Schreibe deine Vermutungen und Ergebnisse in dein Heft. 2. Versuche weitere Gleichungen g und h anzugeben, bei denen die Lösungsmenge leer ist. Kannst du eine Methode angeben, wie man solche Gleichungen finden kann? Schreibe deine Vermutungen und Ergebnisse in dein Heft.

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Beispiel 2: Kreisgleichung Kreisgleichung und Radius Zeichne mit GeoGebra den Kreis k: x² + y² = 25 und lass d ir seinen Radius anzeigen. 1. Verändere die rechte Seite der Gleichung mit der Tastatur und beobachte dabei den Radius. Was fällt dir dabei auf? Schreibe deine Beobachtungen und Vermutungen in dein Heft. 2. Verändere die rechte Seite der Gleichung so, dass der Radius a) r = 4 b) r = 6 c) r = 7 ist. Wie könnte die Gleichung mit dem allgemeinen Radius r aussehen? Schreibe deine Ergebnisse und Vermutungen in dein Heft. Kreisgleichung und Mittelpunkt Zeichne mit GeoGebra den Kreis k: (x – 2)² + (y – 1)² = 25 und lass dir seinen Mittelpunkt und Radius anzeigen. 1. Verschiebe den Kreis, indem du ihn mit der Maus ziehst, und beobachte dabei die Kreisgleichung und die Koordinaten seines Mittelpunktes. Was fällt dir dabei auf? Schreibe deine Beobachtungen und Vermutungen in dein Heft. 2. Verändere die Kreisgleichung mit der Tastatur so, dass der Mittelpunkt die Koordinaten a) M = (4, 2) b) M = (3, -2) c) M = (-2, -1) hat. Wie könnte die Gleichung mit dem allgemeinen Mittelpunkt M = (m, n) aussehen? Schreibe deine Ergebnisse und Vermutungen in dein Heft. Das folgende Bild zeigt, wie die Ausgangskonstruktion des zweiten Beispiels in GeoGebra aussieht.

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Beispiel 3: Tangenten an einen Kreis Aufgabe: Konstruiere mit GeoGebra den Kreis mit Mittelpunkt M = (3,2) und Radius r = 5 und lass dir die Tangenten an den Kreis durch den Punkt A = (11, 4) anzeigen. 1. Was fällt dir auf, wenn du den Punkt A mit der Maus verschiebst? 2. Wie wirkt sich die Lage von A auf die Tangenten aus? Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.

Das Konstruktionsprotokoll kann auch zur Dokumentation verwendet werden: Konstruktionsprotokoll Nr. Name Befehl 1 Punkt M 2 Zahl r 3 Kreis k Kreis[M, r] 4 Punkt A 5 Gerade a Tangente[A, k] 5 Gerade b Tangente[A, k]

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Algebra M = (3, 2) r=5 k: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 A = (11, 4) a: 2.59x + 6.02y = 52.61 b: 5.12x - 4.09y = 39.96

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Beispiel 4: Ableitungen und Tangente einer Funktion Aufgabe: Zeichne mit GeoGebra die Funktion f(x) = sin(x) und lass dir die ersten beiden Ableitungen anzeigen. Setze weiters einen Punkt T auf die Funktion und erstelle die Tangente an f in diesem Punkt. Verschiebe nun den Punkt T mit der Maus und versuche folgende Fragen zu beantworten: 1. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Tangente und der 1. Ableitung? Schreibe deine Vermutungen in dein Heft. 2. Was passiert mit den beiden Ableitungen bei einem Hochpunkt bzw. bei einem Tiefpunkt? Notiere deine Vermutungen im Heft. 3. Verändere nun die Funktion f(x) in f(x) = x³ - 2x² und betrachte auch hier die beiden Ableitungen im Hoch- und Tiefpunkt. Stimmen deine Vermutungen von vorhin auch hier? Notiere deine Ergebnisse in deinem Heft.

Konstruktionsprotokoll Nr. Name Definition 1 Funktion f 2 Funktion f' Ableitung von f 3 Funktion f'' 2. Ableitung von f 4 Punkt T Punkt auf f 5 Gerade t Tangente an f in x = x(T)

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Befehl

Algebra f(x) = sin(x) Ableitung[f] f'(x) = cos(x) Ableitung[f, 2] f''(x) = -sin(x) Punkt[f] T = (2.21, 0.8) Tangente[T, f] t: y = -0.6x + 2.12

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