Mathematik im Unterricht Newsletter 1

ISSN: 1999-3072

Juni 2008

Inhaltsverzeichnis Fritz Schweiger Kann man die Gleichung

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27 … sinnvoll interpretieren

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Hans-Stefan Siller Bildungsstandards aus dem Fach Mathematik am Ende der 4. und 8. Schulstufe – Eine kurze Übersicht über den aktuellen Entwicklungsstand

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Gerhard Hanebeck „ … Ihr Platz wird von allen der Erste sein.“ – Ein kleiner Nachtrag zum Eulerjahr

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Karl Josef Fuchs Was ist Didaktik der Mathematik? Die persönliche Sicht auf ein Universitätsfach

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Georg Wengler & Rudi Gruber Exaktheit im Mathematikunterricht

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Kann man die Gleichung − 12 =1+3+9+27+... sinnvoll interpretieren? Ein Einstieg zu p-adischen Zahlen von Fritz Schweiger, Salzburg

ahlen ist eine Grundt¨ atigkeit des Menschen. Die Zusammenfassung. Z¨ kulturelle Evolution hat den Umgang mit nat¨ urlichen Zahlen um weitere Zahlbereiche angereichert. Man gelangt so u ¨ber ganze Zahlen und rationale Zahlen zu den mathematisch anspruchsvollen Bereichen der reellen und komplexen Zahlen. Aber man hat auch p-adische Zahlen erfunden (oder gefunden?). Der Aufsatz k¨ onnte doch einige Leser und Leserinnen interessieren. Gedacht ist an Sch¨ ulerInnen, die ein sch¨ ones Thema f¨ ur eine Fachbereichsarbeit suchen oder an LehrerInnen, die ihren Wahlpflichtkurs aufpolieren wollen. Man k¨ onnte den Aufsatz auch jemandem in die Hand dr¨ ucken, der die gute, aber wagemutige Idee hat, Mathematik zu studieren.

Der nachstehende Aufsatz ist mathematisch anspruchsvoll, aber vielleicht erreicht er doch einige Leser und Leserinnen. Gedacht ist an Sch¨ ulerInnen, die ein sch¨ones Thema f¨ ur eine Fachbereichsarbeit suchen oder an LehrerInnen, die ihren Wahlpflichtkurs aufpolieren wollen. Man k¨onnte den Aufsatz auch jemandem in die Hand dr¨ ucken, der die gute, aber wagemutige Idee hat, Mathematik zu studieren, denn die Kluft zwischen Schule und Universit¨at wird seit den Tagen von Felix Klein wohl beklagt, ist aber wohl Realit¨at. Last but not least hoffe ich auch, dass die Neugierde etwas Neuartiges verstehen zu wollen, nicht ganz erloschen ist. Die wohl wichtigste Reihe der Analysis ist die geometrische Reihe. Bekanntlich gilt 1 = 1 + a + a2 + a3 + ... (1) 1−a f¨ ur alle reellen und komplexen Zahlen a mit |a| < 1 im folgenden Sinn: lim (1 + a + a2 + ... + an−1 ) =

n→∞

1 . 1−a

Dies bedeutet: Zu jedem ² > 0 gibt es ein N (²), sodass f¨ ur alle n ≥ N (²) die Absch¨atzung 1 | 0 gibt es ein N (²), sodass f¨ ur alle n ≥ N (²) gilt |xn − x|p < ². Dazu nun zwei Beispiele! 2 − lim (1 + 2 + 4 + ... + 2n ) = −1 n→∞

Da sn = 2n − 1, erh¨alt man |sn − (−1)|2 = 2−n . ¨ Ahnlich zeigt man, dass 7 − lim (1 + 7 + 49 + ... + 7n ) = − n→∞

1 6

gilt. Aus diesen Beispielen gewinnt man den folgenden Satz. Satz: F¨ ur jede Primzahl p gilt im Sinne der p-Konvergenz 1 = 1 + p + p2 + p3 + .... 1−p Daraus folgt weiters: Satz: F¨ ur jede Primzahl p gilt im Sinne der p-Konvergenz −1 = p − 1 + (p − 1)p + (p − 1)p2 + p − 1)p3 + .... Bekanntlich ist das Problem, die Gleichung x2 = 2 zu l¨osen, ein erster Schritt zur Erweiterung von Q zum K¨orper R der reellen Zahlen. Wegen 1 = 1√2 < 2 < 22 = 4, ist x0 = 1 eine (schlechte) N¨aherung f¨ ur die gesuchte Zahl 2 . Da 1, 96 = 1, 42 < 2 < 1, 52 = 2, 25 ist eine bessere N¨aherung. Da 1, 9881 = 1, 412 < 4 2 < 1, 422 = 2, 0164, ist x1 = 1 + 10 + 1012 eine noch bessere N¨aherung. Auf diese Weise l¨asst sich eine Folge von Werten xn = 1 +

²1 ²2 ²n + 2 + ... + n 10 10 10

herstellen, f¨ ur die gilt |xn − xn+m | < 10−n

(6)

d.h. die Folge (xn ), n ∈ N, ist eine Cauchyfolge und lim x2n = 2.

n→∞

(7)

5

Da nun R ein vollstndiger K¨orper ist, hat √ die Cauchyfolge (xn ), n ∈ N, einen Grenzwert α und man setzt zu Recht α = 2. Geht so etwas mit p-Grenzwerten? Man kann es ja zumindest versuchen! Wir wollen die Gleichung x2 = 2 durch eine Folge rationaler Zahlen n¨aherungsweise f¨ ur p = 7 l¨osen. Soll x0 ein guter Startwert sein, so ist |x20 − 2|7 < 1 eine vern¨ unftige Forderung. Also verlangen wir gleich |x20 − 2|7 ≤ 71 , d.h.x20 ≡ 2 mod 7. Eine L¨osung ist 1 x0 = 3 . Nun ist f¨ ur diesen Wert |x20 − 2|7 ≤ 17 , aber es ist|x20 − 2|7 > 49 . Es ist daher naheliegend, in der Restklasse von 3 modulo 7 nach einer besseren L¨osung Ausschau zu halten, also x1 = 3 + 7²1 anzusetzen. Dann erh¨alt man x21 − 2 = 9 + 7.6²1 + 72 ²21 − 2 = 7(1 + 6²1 + 7²21 ). Wenn 49 ein Teiler von x21 − 2 gelten soll, gen¨ ugt es daher zu fordern, dass 7 ein Teiler von 1 + 6²1 ist. Man sieht leicht, dass ²1 = 1 gew¨ahlt werden kann, also 1 ist x1 = 10 eine bessere N¨aherung, denn es ist nach Konstruktion |x21 − 2|7 ≤ 49 . Dadurch ermutigt, probiert man x2 = 10 + 49²2 . Will man erreichen, dass 343 ein Teiler von x22 − 2 wird, so reicht 7/(2 + 20²2 ). Dies leistet ²2 = 2. Somit ist 1 x2 = 10 + 2.49 eine erneute Verbesserung, und es gilt nun |x22 − 2|7 ≤ 343 . Das Schema ist nun leicht erkennbar: Hat man xn = ²0 + 7²1 + 72 ²2 + ... + 7n ²n 1 mit |x2n − 2|7 ≤ 7n+1 (gleichbedeutend mit x2n − 2 = 7n+1 zn ) schon gefunden, so setzt man xn+1 = xn + 7n+1 ²n+1 . . Dann ist 2 − 2 = 7n+1 (zn + 2xn ²n+1 + 7n+1 ²2n+1 ) xn+1

sicher durch 7n+1 teilbar, wenn 7/(zn + 2xn ²n+1 ) gilt. Man muss also die Diophantische Gleichung zn + 2xn ²n+1 = 7ηn+1 l¨osen, wobei ²n+1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} gew¨ahlt werden muss. Bei kleinen Zahlen kommt man mit Ausprobieren der 7 M¨oglichkeiten durch; bei gr¨oßeren Zahlen (oder vor allem, wenn wir statt p = 7 eine gr¨oßere Primzahl w¨ahlen!) kann man L¨osungen mittels des Euklidischen Algorithmus finden. Daf¨ ur eignet sich der Einsatz eines Computers! Bevor wir in der Theorie“ weitermachen, lohnt es sich, weitere Beispiele zu be” trachten. W¨ahlt man den Startwert y0 , so erh¨alt man mit derselben Methode eine Folge von N¨aherungen y0 = 4, y1 = 39, y2 = 235, .... Man kann eine Kontrolle verwenden: Es muss xn + yn ≡ 0 mod 7n+1 gelten! Wir untersuchen (f¨ ur p=7) die Gleichung x2 = 4 . Da der Startwert eine genaue L¨osung darstellt, erh¨alt man vom Startwert ausgehend keine Verbesserung; es ist stets xn = 2. Beginnt man aber mit y0 = 5, so erh¨alt man die Folge y0 = 5, y1 = 47, y2 = 341, .... Wiederum muss xn + yn ≡ 0 mod 7n+1 gelten. Man k¨onnte in Vertrauen auf formales Rechnen diese Folge auch so erhalten. Es ist −1 = 6 + 6.7 + 6.72 + 6.73 + ....

6

Daher ist

−2 = 12 + 12.7 + 12.72 + 12.73 + ... = 5 + 13.7 + 12.72 + 12.73 + ... = 5 + 6.7 + 13.72 + 12.73 + ... = 5 + 6.7 + 6.72 + 13.73 + ...

Daraus erh¨alt man die N¨aherungen y0 = 5, y1 = 5 + 42 = 47, y2 = 47 + 294 = 341, ... Ebenso kann man versuchen, die Gleichung x3 = 6 f¨ ur p = 7 n¨aherungsweise zu l¨osen. Der Startwert x0 = 3 ergibt eine Verbesserung x1 = 24 usw.. Kehren wir zu unserem Beispiel x2 = 2 zur¨ uck. Unser Algorithmus produziert nach Wahl eines geeigneten Startwertes (x0 = 3 oder x0 = 4 ) eine Folge ganzer Zahlen (xn ) mit den Eigenschaften: |xn − xn+m | < 7−n−1 und

7 − lim x2n = 2. n→∞

Was fehlt, ist ein vollst¨ andiger K¨ orper, der die Grenzwerte aller Cauchyfolgen (bez¨ uglich der 7-Konvergenz) enth¨alt. Die Beispiele legen nun nahe, es mit Zah” len“ der Form ²−w ²−w+1 ²−1 x = w + w−1 + ... + + ²0 + 7²1 + 7 7 7 72 ²2 + ... zu versuchen, denn das uhrt ja auch im Reellen zu einem unend√ Problem von f¨ lichen Dezimalbruch 2 = 1, 41.... Wir definieren daher Q7 = {x =

∞ X

²i 7i , 0 ≤ ²i ≤ 6}.

(8)

i=w

Addition und Multiplikation dieser 7-adischen Zahlen geschieht nun formal, wo¨ bei man allerdings die neuen Ziffern durch Ubertr¨ age auf die Einschr¨ankung ²i ∈ {0, 1, ..., 6} bereinigen muss! 2 + 4 + 3.7 + 2.72 + 1.73 + ...., 7 6 y = + 4 + 2.7 + 5.72 + 4.73 + .... 7

x=

Dann ist x+y = =

8 + 8 + 5.7 + 7.72 + 5.73 + ... 7

1 + 9 + 5.7 + 7.72 + 5.73 + ... = 7

7

1 + 2 + 6.7 + 0.72 + 6.73 + .... 7 Ebenso rechnet man nach xy =

12 32 + + 38 + 42.7 + .... 49 7 =

12 4 + + 6.7 + .... 49 7

Die 7-adische Bewertung l¨asst sich nun auf die Menge Q7 fortsetzen. P∞ Definition: Ist x = i=w ²i 7i . ²w 6= 0, so sei |x|7 := 7−w . Ist x 6= 0, so l¨asst sich rekursiv ein Inverses x∗ bestimmen. Dazu ein Beispiel! Sei x=

2 + 4 + 3.7 + 2.72 + 1.73 + .... 7

Da |xx∗ |7 = |1|7 = 1 gelten soll und |x|7 = 7 gilt, muss |x∗ |7 = setzen wir an x∗ = η1 7 + η2 72 + η3 73 + ...

1 7

sein. Daher

und erhalten 1 = xx∗ = 2η1 + (4η1 + 2η2 )7 + (3η1 + 4η2 + 2η3 )72 + ....

(9)

Die Kongruenz 1 ≡ 2η1 mod 7 ist zuerst zu l¨osen. Dies ergibt η1 = 4. Dies wird oben eingesetzt und es verbleibt als n¨achste Kongruenz 0 ≡ 17 + 2η2 mod 7. Hier findet man η2 = 2. weiters findet man η3 = 6. Somit ist x∗ = 4.7 + 2.72 + 6.73 + .... Es lohnt sich f¨ ur das Anfangsst¨ uck die Probe zu machen. Man kann mittels vollst¨aendiger Induktion beweisen, dass diese Verfahren (formales Ausmultiplizieren und rekursives L¨osen) immer zielf¨ uhrend ist. Damit ist der Beweis f¨ ur den zentralen Satz skizziert. Satz: Die Menge aller p-adischen Zahlen Qp := {x =

∞ X

²i pi , ²i ∈ {0, 1, ..., p − 1}}

i=w

ist ein K¨orper. Auf Grund des rekursiven Verfahrens haben wir gezeigt, dass x2 = 2 zwei L¨osungen in Q7 besitzt: ξ = 3 + 1.7 + 2.72 + ..., η = 4 + 5.7 + 4.72 + ...

8

Nach dem Lehrsatz von Vi`ete muss ξ + η = 0 gelten. Dies stimmt auch, wie man ¨ durch Addieren und Bilden der Ubertr¨ age erkennt. Satz: Der K¨orper Qp ist ein Erweiterungsk¨orper von Q. Beweis: Wir notieren vier Schritte. 1. 0 ∈ Qp 2. Ist n eine nat¨ urliche Zahl, do besitzt n eine Darstellung der Gestalt n = ²0 + ²1 p + ... + ²s ps . 3. Ist z = −n, so multiplitzieren wir −1 = p − 1 + (p − 1)p + (p − 1)p2 + ... mit n = ²0 + ²1 p + ... + ²s ps und erhalten eine Darstellung f¨ ur z. 4. Daher ist Z ⊆ Qp . Da aber Qp ein K¨orper ist, muss Q ⊆ Qp gelten. Es ist u ¨brigens nicht allzu schwierig zu beweisen, dass Qp ein vollst¨andiger K¨orper ist: Jede p-Cauchyfolge hat einen p-Grenzwert in Qp . Aber leider ist Qp keineswegs algebraisch abgeschlossen! So enth¨alt Qp keine Zahl mit x2 = 3. Da die Kongruenz x2 ≡ 3 mod 7 nicht l¨osbar ist, gibt es keinen geeigneten P Startwert ∞ f¨ ur die Konstruktion einer N¨aherungsfolge! Eine Zahl x der Form x = i=0 ²i pi m¨ usste x = ²0 als L¨osung liefern! Zur Abrundung sei noch festgelegt: Ist x = |x|p := p−w .

P∞

i i=w ²i p ,

²w 6= 0, so sei

¨ Eine h¨ ubsche Ubungsaufgabe f¨ ur Algebrahungrige ist nun folgendes Ergebnis: Satz: Sei Zp := {x ∈ Qp : |x|p ≤ 1} die Menge der ganzen p-adischen Zahlen. Dann gilt 1. Zp ist ein Integrit¨atsbereich 2. Sei pZ := {w ∈ Z : p/w} und Ip := {x ∈ Qp : |x|p < 1}. Dann ist pZ ein Ideal in Z und Ip ein Ideal in Zp . 3. F¨ ur die Restklassenringe gilt die Isomorphie Z/pZ ' Zp /Ip . Das nachstehende Ergebnis verallgemeinert ein bekanntes Ergebnis u ¨ber Q als Teilmenge von R. Satz: P∞ Seii x ∈ Qp . Dann ist x ∈ Q genau dann, wenn die Entwicklung x = i=w ²i p periodisch wird. Beweis: Da x ∈ Q genau dann gilt, wenn pw x ∈ Q gilt, gen¨ ugt es den Fall |x|p = 1 P zu betrachten. ∞ Sei x = i=0 ²i pi und ²i = ²i+s ,i = 0, 1, 2, ... (d.h. x hat eine rein periodische Entwicklung, was keine Einschr¨ankung ist). Dann ist x=

s−1 X i=0

²i pi + ps x,

9

also

Ps−1 x=

²i pi , 1 − ps i=0

d. h. eine rationale Zahl. Etwas m¨ uhseliger ist die andere Richtung des Beweises. Sei x eine rationale Zahl A mit |x|p = 1. Dann schreiben wir x = B mit ggT(A, p)=ggT(B, p)=1 und B ≥ 1. Sei nun A = ²0 + ²1 p + ²2 p2 + .... B Dann ist A − ²0 B A0 1 A ( − ²0 ) = = p B pB B (denn es wurde ²0 ja so gew¨ahlt, dass A − ²0 B durch p teilbar ist!). Dann ist |²0 B| |A0 | ≤ |A| ≤ |A| p + p p + B. Die Wiederholung des Verfahrens zeigt nun 1 A0 A0 − ²0 B A00 ( − ²0 ) = = p B pB B mit |A00 | ≤

|A0 | p

+

|²0 B| p

≤

|A| p2

+ B(1 + p1 ) . Mittels Induktion erkennt man daher

1 A ( − (²0 + ²1 p + ²2 p2 + ... + ²n−1 pn−1 )) pn B = wobei |A(n) | ≤

A(n) , B

|A| 1 1 |A| pB + B(1 + + ... + n−1 ) ≤ n + . pn p p p p−1

Daher kann es nur endlich viele verschiedene ganze Zahlen A(n) geben, und es muss f¨ ur ein Paar n und m die Beziehung A(n) = A(n+m) gelten, d.h. die Entwicklung wird periodisch. Literaturhinweis: F. Q. Gouvˆea: p-adic Numbers. Springer-Verlag 1991.

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Bildungsstandards aus dem Fach Mathematik am Ende der 4. und 8. Schulstufe – Eine kurze Übersicht über den aktuellen Entwicklungsstand von Hans-Stefan Siller, Universität Salzburg Abstract: Bildungsstandards sind in der aktuellen österreichischen Schulentwicklung ein viel diskutiertes Thema, das auch in den Medien immer wieder zur Diskussion steht. Anhand des folgenden Artikels soll Interessierte kurz über die aktuellen Entwicklungen informiert werden und anhand von didaktisch ausgewählten Beispielen die Entwicklung von Standards dargelegt werden.

1. Einleitung Österreich ist eines jener Länder, in denen Lehrer/innen an öffentlichen Schulen und an Schulen mit Öffentlichkeitsrecht Berechtigungen (Übertritt in eine andere Schule, Hochschulreife) beim Abgang in einer gewissen Altersstufe vergeben. Im Wesentlichen erfolgt dies durch Lehrer/innen, die die Schüler/innen in ihrem Entwicklungs- bzw. Lernprozess begleitet haben, die die Aufgaben stellen und schlussendlich auch diese Aufgaben korrigieren und benoten. Dies ist möglicherweise mit ein Grund, warum das Wissen und Können einzelner Schüler/innen verschiedener Schultypen bei identer Beurteilung ein sehr großes Spektrum aufweist. Ein weiterer Grund ist auch in der seit den 90er Jahren eingeführten Autonomie der Schulen zu suchen, die die Selbstverantwortung der Lehrer/innen wesentlich gestärkt hat. Betrachtet man jedoch die internationale Entwicklung, so ist auffällig, dass die Tendenzen zur Selbstverantwortung genau komplementär verlaufen (Stichwort: PISA, TIMSS). Nach den viel diskutierten Ergebnissen der PISA-Testungen und um dem internationalen Trend gerecht zu werden, ist am Beginn des 21. Jahrhunderts die Einführung nationaler Bildungsstandards am Ende der 4. und 8. Schulstufe diskutiert und realisiert worden. Mit ihrer Hilfe soll gezeigt werden, inwiefern Mathematik-Lehrer/innen ihre Kernaufgabe der Vermittlung von allgemein als notwendig angesehenen Kompetenzen erfüllen. Außerdem sollen sie Lehrer/innen unterstützen sich gegenüber Dritten professionell rechtfertigen zu können und eine bessere Orientierung und Sicherheit der Unterrichtstätigkeit ermöglichen.

2. Aufbau der Bildungsstandards Am Beginn des Klagenfurter Standardkonzepts [3] findet man eine bildungstheoretische Orientierung (S. 7 – 9), die dazu gedacht ist, den Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung darzustellen und die fachspezifischen Besonderheiten der mathematischen Bildungsstandards darzulegen. Da sich die fachlichen Standards im österreichischen Modell durch die jeweiligen fachlichen Kompetenzen beschreiben lassen, findet sich danach das mathematische Kompetenzmodell, das jedoch so gestaltet ist, dass es nach oben hin durchlässig ist. D.h., dass das Kompetenzmodell M8, das Modell für die Standards am Ende der 8. Schulstufe, das Kompetenzmodells M4, also das Modell für die Standards am Ende der 4. Schulstufe, beinhaltet bzw. Teilmengen des Kompetenzmodells M4 im Kompetenzmodell M8 deutlich ersichtlich sind. Die wichtigste Voraussetzung dabei ist, dass die erstellten Kompetenzmodelle lehrplankonform sind. Die Teilkompetenzen des jeweiligen Modells sind so ausführlich beschrieben, dass

11 man sie in den jeweiligen Aufgabenpools, unter www.gemeinsamlernen.at, zum Kompetenzmodell ohne Schwierigkeiten erkennen und mittels festgelegter Testverfahren prüfen kann. Dieser Aufgabenpool teilt sich in zwei Bereiche: •

Orientierungspool: Hier findet man freigegebene Aufgaben, welche zur Orientierung der Lehrer/innen und Schüler/innen dienen soll. Diese öffentlich zugänglichen Aufgaben findet man entweder unter dem vorhin schon genannten Link www.gemeinsamlernen.at oder in der Broschüre „Exemplarische Beziehungsreiche Aufgaben“ [2]. Daraus stammt auch folgendes Beispiel in dessen Mittelpunkt das Arbeiten mit Variablen und Funktionalen Abhängigkeiten steht:

Ziel der Aufgabenstellung ist es, möglichst vielfältige Begründungen für die Lösung der angegebenen Gleichung zu finden, die Argumentation und Begründung erfolgen auf Basis bekannter Repräsentationsformen – symbolisch durch Äquivalenzumformungen, tabellarisch und numerisch durch einsetzen verschiedener Werte für x grafisch durch das Zeichnen der linearen Funktion, also des Terms f(x) = 3x+10, und des konstanten Funktion, d.h. des Terms g(x) = 31. •

Um einen ersten Überblick über die dargestellten Beispiele zu erhalten, wird auch immer eine Bewertungstabelle angegeben, die jedoch ausschließlich auf dem Kompetenzmodell beruht und keine didaktische Analyse darstellt! Für das angeführte Beispiel sieht diese wie folgt aus:

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Beispiel B L Lügner A der 7. Schulstufe: Ab S Arbeiten mit m Variablen W Wesentliche e Handlungssdimension

W Wesentlich he Inhaltsdiimension

A Allgemeine e Informatiionen zum Beispiel

Eine didaktischee Analyse der in deer Broschürre angeführrten Beispiiele findet man in „Aufgabben als Kataalysatoren“ [1]. •

Testitempool: Die Beiispiele die sich in dieesem Teil befinden, T b siind der sow wohl der w. Schüler/innnen unbekaannt und dieenen der Schulbehörrde als auchh den Lehrerr/innen bzw T Testung.

Die Auffteilung derr Beispiele könnte k man folgenderm maßen verannschaulichenn:

Durchh den gegebbenen Orienntierungspool werden die d theoretissch formuliierten Komp petenzen unterstüützt. Lehrer/ r/innen erhaalten durch diese Aufg gaben eine wage Idee wie die wiirklichen Testaufg fgaben ausseehen könneen. Außerdeem erhalten n sie eine riiesige Aufggabensamm mlung die sie für den eigenenn Unterrichht nutzen düürfen bzw. sollen, um die im Koompetenzmo odell be-

13 schriebenen mathematischen Grundkompetenzen bei ihren Schüler/innen zu fördern und auch einzufordern. Die Grundkompetenzen der jeweiligen Altersstufen (M4 bzw. M8) sollen im Folgenden kurz dargestellt werden.

3. Bildungsstandards am Ende der 4. Schulstufe Am Ende der 4. Schulstufe werden sowohl Schüler/innen, als auch Lehrer/innen das erste Mal mit einem nationalen Testverfahren konfrontiert. Die vorhin beschriebene bildungstheoretische Orientierung kann man unter http://www.gemeinsamlernen.at/ siteVerwaltung/mOBibliothek/Bibliothek/M4neu06.pdf downloaden. Die Kompetenzbereiche die am Ende der 4. Schulstufe beherrscht werden, unterteilen sich in • Allgemeine mathematische Kompetenzen, • Inhaltliche mathematische Kompetenzen. Nicht berücksichtigt wird das (notwendige) Nachdenken über eine Aufgabe, wie es im Kompetenzmodell M8 ersichtlich ist. Die angeführten allgemeinen Kompetenzen unterteilen sich in 8 Teilkompetenzen: •

Allgemeine mathematische Kompetenzen, o Modellieren o Operieren und Darstellen o Kommunizieren o Probleme stellen und lösen • Inhaltliche mathematische Kompetenzen. o Arbeiten mit Zahlen o Arbeiten mit Operationen o Arbeiten mit Größen o Arbeiten mit Ebene und Raum Die hier angeführten Kompetenzklassen sind ausführlich beschrieben und durch Beispiele exemplarisch, wie nachstehend, dargestellt:

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Da eine der Grundbedingungen die Durchlässigkeit dieses Modells nach oben ist, müssen sich Teilbereiche dieses Modells auch im M8-Modell wiederfinden.

4. Bildungsstandards am Ende der 8. Schulstufe Die Kompetenzbereiche des M8-Modells haben – wie man auch an den unten aufgelisteten Dimensionen erkennen kann – viel mit den Kompetenzbereichen des M4 Modells gemeinsam. Allerdings unterscheiden sie sich auch in vielen Punkten, was aber aufgrund der größeren Grundmenge der mathematischen Grundkompetenzen am Ende der 8. Schulstufe einleuchtend ist. Der Kern dieses Kompetenzmodells kann durch 3 Dimensionen beschrieben werden: • • •

Handlungsdimension Inhaltsdimension Komplexitätsdimension

Grafisch lässt sich das Modell leicht mit Hilfe eines räumlichen Koordinatensystems darstellen. Die Teilkompetenzen werden durch sogenannte Kompetenzwürfel beschrieben (in der Abbildung blau dargestellt).

15 Auf den einzelnen Achsen kann man die Teilkompetenzen, die den jeweiligen Dimensionen zugeordnet sind, wiederfinden: • H 1. H 2. H 3. H 4.

Handlungsdimension (math. Handlung): Darstellen, Modellbilden Rechnen, Operieren Interpretieren Argumentieren, Begründen

• I 1. I 2. I 3. I 4.

Inhaltsdimension (math. Inhalt): Zahlen und Maße Variable, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen

• K 1. K 2. K 3.

Komplexitätsdimension (Komplexität): Einsetzen von Grundkenntnissen und Fertigkeiten Herstellen von Verbindungen Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren

Zu diesen Kompetenzklassen existieren jeweils ausführliche Erklärungen und Erläuterungen in einer Handreichung für Lehrer/innen [4], auch unter http://schule.salzburg.at/e3pi/ahs/ ahshandreichungen/Bildungsstandards_in_Mathematik_V2.pdf zu finden.

5. Ausblick – Bildungsstandards M12 Um die Bildungsstandards im österr. Bildungssystem erfolgreich zu implementieren, ist es notwendig, sich zu überlegen wie man am Ende der 12. bzw. 13. Schulstufe die im Laufe der Schulzeit erworbenen Kompetenzen „testen“ kann. Aus diesem Grund wird seit dem Schuljahr 2006/07 intensiv an einer Weiterentwicklung der Bildungsstandards gearbeitet. Das Ziel soll eine standardisierte Reifeprüfung sein, über die im Moment intensiv diskutiert wird, aber detailliert noch nichts bekannt ist. Derzeit beruht sie auf dem sogenannten M12-Modell, welches sich ebenfalls gerade in Entwicklung befindet. Da das M8-Modell nach oben wieder durchlässig ist, ist es ebenso wie bei M8 nicht verwunderlich, dass das M12-Modell auf diesem aufbaut. Der Kern des Modells besteht in den 3 Dimensionen, die man im M8-Modell findet. Eine Erweiterung findet man jedoch in den Inhaltsdimensionen, was aufgrund der Lehrplaninhalte augenscheinlich ist: •

Handlungsdimensionen: Darstellen, Modellbilden Rechnen, Operieren Interpretieren Argumentieren, Begründen

•

Inhaltsdimension: Algebra und Geometrie Funktionale Abhängigkeiten Differential- und Integralrechnung Wahrscheinlichkeit und Statistik

H 1. H 2. H 3. H 4. I 1. I 2. I 3. I 4.

16 • K 1. K 2. K 3.

Komplexitätsdimensionsachse: Einsetzen von Grundkenntnissen und Fertigkeiten Herstellen von Verbindungen Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren

Die Anordnung dieser Teilkompetenzen erfolgt wie im M8-Kompetenzmodell. Ebenso können die beschriebenen Teilkompetenzen durch Kompetenzwürfel beschrieben werden. Die Entwicklung der Bildungsstandards soll als „work in progress“ gesehen werden. Zu den Kompetenzbereichen werden laufend Aufgabenbeispiele zu den einzelnen Teilkompetenzen entwickelt. Außerdem werden ständig Änderungen (Stichwort Nachhaltigkeit) vorgenommen und eine intensive Diskussion innerhalb der Standardentwickler geführt. Dies alles soll dazu führen, dass das österreichische Bildungssystem international weiterhin beachtet wird und erfolgreiche eigenständige und gut ausgebildete Schüler/innen hervorbringt.

Literatur: [1] Fuchs, K. J.; Blum, W.: Aufgaben als Katalysatoren von Lernprozessen, in: Thonhauser, J.: Eine zentrale Komponente organisierten Lehrens und Lernens aus der Sicht von Lernforschung, Allgemeiner Didaktik und Fachdidaktik, Waxmann, Münster, 2008, S. 135–148 [2] BM:BWK: Exemplarische beziehungsreiche Aufgaben, bm:bwk, Wien, 2006 [3] Peschek, W.; Heugl, H.: Standards für die mathematischen Fähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe, Version 4/07, Hrsg: Institut für Didaktik der Mathematik – Österreichisches Kompetenzzentrum für Mathematikdidaktik – Fakultät für interdisziplinäre Forschung und Fortbildung Alpen-Adria-Universität Klagenfurt, Klagenfurt, 2007 [4] Siller, H.-St.: Bildungsstandards im Fach Mathematik – Das mathematische Kompetenzmodell – eine (kompakte) Handreichung für Lehrer/innen, ph-Salzburg, Salzburg, 2008

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„...Ihr Platz wird von allen der erste sein.“ Ein kleiner Nachtrag zum Eulerjahr

von Gerhard Hanebeck

Anfang 1783, St.Petersburg. Zum ersten Mal leitet eine Frau eine wissenschaftliche Akademie. Die Fürstin Jekaterina Daschkowa ist nicht einmal 40 Jahre alt, hochgebildet, vielbelesen, weitgereist und weltoffen. In Moskau hatte sie seinerzeit Mathematik studiert. Auf dem Weg in ihre erste Sitzung ist sie in Begleitung von Leonhard Euler, dem damals ältesten Mitglied der Akademie. Sie weiß um seine Bedeutung. Es ist Eulers letztes Lebensjahr. Er ist 76 und seit 12 Jahren fast völlig blind, aber nach wie vor wachen Geistes. Er kann noch schreiben und zwar mit Kreide auf eine schwarze Tafel. Ein Assistent, oft sein ältester Sohn Johann Albrecht, überträgt die Inhalte sofort auf Papier. Kurz vor seinem Tod beschäftigen ihn die Heißluft-Ballonfahrtversuche der Brüder Montgolfier in Annonay. Er arbeitet an den Gesetzen des Auftriebs. Von der ersten Ballonfahrt mit drei Versuchstieren in Paris erfährt er nichts mehr. Während er mit einem Enkelkind spielt, lässt ihn am 18. September ein Schlaganfall das Bewusstsein verlieren. Er stirbt noch am selben Abend. An einem sonnigen Februarnachmittag des Jahres 2008 besichtigt eine französische Touristengruppe den Friedhof des Alexander NewskiKlosters. Eine Führerin spricht ausführlich vor mehreren Gräbern berühmter Leute. Für Eulers Grab interessiert sich niemand. Man kann ungestört fotografieren. Ursprünglich war Euler auf dem protestantischen Friedhof der Wassilewski-Insel beigesetzt worden. 1957 - zu seinem 250. Geburtstag - hat man seine Gebeine mitsamt dem schweren Marmor hierher verlegt. Euler verbringt zwei lange Abschnitte seines Lebens in der Stadt an der Newa, unterbrochen von einer 25 Jahre langen Zeit in Berlin. Geboren 1707 in Basel als Sohn eines reformierten Pfarrers wird er mit 20 Jahren schon nach St.Petersburg berufen in die Stadt, die 4 Jahre vor seiner Geburt von Peter dem Großen gegründet worden war. Allein schon die Reise legt Gewicht auf den Entschluss. Sie dauert damals lang. Zuerst per Schiff den Rhein hinunter bis Mainz, dann mit Postkutschen nach Lübeck, dann weiter auf der Ostsee. Die meist westlichen Winde helfen dem Vorwärtskommen. Später wird er als erster die Idee eines Radantriebes für Schiffe haben.

Eulers Grab in St.Petersburg

Tiefe Frömmigkeit bewahrt er sich ein Leben lang. Sein Charakter macht diese in jeder Lebenslage glaubwürdig. Eine Gedenktafel in Riehen bei Basel am Wohnhaus seiner Kindheit spricht nicht nur vom großen Gelehrten, sondern auch vom „gütigen

18 Menschen“. Er wird Vater von 13 Kindern, aber bis auf fünf sterben sie früh, sehr früh. Nur drei überleben ihn. Er ist kinderliebend. „Mit einem Säugling auf dem Schoß habe ich die besten Ideen“, wird er zitiert. Mit 31 erblindet er halbseitig. „Nun werde ich weniger abgelenkt sein.“ Opfer von Ablenkung ist er wohl selten. Zu den hervorstechendsten Eigenschaften seines Genies gehört seine hochkonzentrierte, fixierende Aufmerksamkeit. Dazu kommen sein beharrlicher Arbeitseifer und ein phänomenales Gedächtnis, das alle, die ihn kennen, immer wieder erstaunen lässt. Er kann sich noch an Notizen erinnern, die er 50 Jahre vorher irgendwo gemacht hat. Und sein Fleiß ist bis heute legendär. Über 800 Schriften und Bücher zeugen davon. 3000 Briefe an ihn und von ihm sind erhalten. Seine Veröffentlichungen verfasst er meist in Latein, aber auch auf Deutsch und Französisch. Etliche schreibt er in Russisch. Und sie befassen sich nicht nur mit mathematischen Themen, auch mit Optik, Astronomie, Ballistik, Kanalbau, Schiffsbau, Brückenbau, Strömungslehre, Musik, Geographie, Navigation usw....

Gedenktafel am Wohnhaus

Der Leutnant Schmidt-Kai Richtung Meer

Eulers Wohnhaus

Von der Leutnant Schmidt-Brücke aus gesehen

Die Gedenktafel an seinem Wohnhaus (Leutnant Schmidt-Kai 15) auf der Wassilewski-Insel am Ufer der großen Newa nennt „Леонард Эйлер“ deshalb mit Recht einen großartigen Mathematiker, Techniker und Physiker. Unerwähnt geblieben ist die herausragende pädagogische Art, sich mitzuteilen. „Es fehlte ihm nur eine Eigenschaft zum Genie, nämlich unverständlich zu sein“, sagt Frobenius später nicht ohne Ironie. Eulers Lehrer und Förderer aus Jugendtagen, Johann Bernoulli (1667 - 1748), selbst berühmter Mathematiker, dem er über die

19 Zeit verbunden bleibt, steigert seine brieflichen Anreden von „Hochbegabter junger Mann“ oder dergleichen bis schließlich zum „Fürst unter den Mathematikern“. So groß ist der Respekt vor dem Schüler von einst geworden. Johann Bernoulli unterrichtet den jungen Euler unkonventionell. Die Basler Universität vermittelt Mathematik sehr elementar. Modernere Inhalte kann man nur in teuren Privatkursen hören, die sich Euler nicht leisten kann. Aber von Bernoulli erhält er Bücher zum Selbststudium mit der Einladung, ihn an Samstag-Nachmittagen zu besuchen, um anfallende Fragen zu klären. Indirekt über seinen Lehrer kommt Euler auch nach St.Petersburg. Denn im Sinn des bekannt westlich orientierten Zar Peter holt man zwei Söhne Johann Bernoullis an die neue Akademie, was Euler den Weg bereitet. Warum verdient Euler nach einem Vierteljahrtausend solche Verehrung? Vielleicht beruht seine wichtigste Leistung auf der Fähigkeit, schon vorhandenes Wissen auf Wesentliches hin durchschauen zu können und dementsprechend zu formulieren. Er ist der Vater mathematischer Bezeichnungskultur. Er erfindet Symbole, schafft Schreibweisen, die bis heute gültig sind und wichtig wie - der Vergleich sei erlaubt - die Notenschrift für die Musik. Euler macht Mathematik kommunizierbar. Er revolutioniert die Analysis, also den Bereich der Mathematik, der als wesentlicher Grundpfeiler von Physik und Technik angesehen werden kann. Erst seit Euler kann man funktionale Abhängigkeiten im modernen Sinn handhaben. Er entwickelt die Variationsrechnung, beschäftigt sich mit Differential- und Integralrechnung, klärt den Zusammenhang zwischen Winkelund Exponentialfunktionen und … und ... und ... Seine ungewöhnliche, stets lebendige Neugier ist immer darauf gerichtet, Grundsätzliches zu erkennen. Dazu einige Beispiele: Seit der Antike beschäftigt man sich mit Raumgeometrie. Wie gut muss etwa Johannes Kepler die platonischen Körper begriffen haben, um sein „Mysterium Cosmographicum“ zu finden, das zwar nach heutigen Messdaten keine astronomische Relevanz hat, seinen weiteren Forschungsantrieb aber entscheidend stimuliert. Aber erst Euler entdeckt den Polyedersatz, nach dem die Summe aus Ecken- und Flächenanzahl vermindert um die Kantenanzahl für konvexe Vielflächner stets 2 ist. Das ist einer der ersten topologischen Sätze der Mathematik. Damit öffnet Euler die Tür zur algebraischen Topologie, einem der wichtigen Forschungsgebiete der Gegenwart. Eine topologische Fragestellung ist auch die folgende: Euler kommt nie in seinem Leben nach Königsberg, dem heutigen Kaliningrad, aber er interessiert sich für das nach dieser Stadt benannte Brückenproblem. Der Fluss Pregel teilt sie in vier Bereiche. Damals sind sieben Brücken vorhanden, um Flussarme zu queren. Die Frage: Kann man durch je einmaliges Benutzen aller Brücken alle Stadtteile betreten und wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren? Euler systematisiert das Problem, ersetzt die Stadtteile durch Punkte (Knoten), die Brücken durch Verbindungslinien (Kanten), findet die Abhängigkeit von gerader bzw. ungerader Kantenanzahl, formuliert in Verallgemeinerung den "Eulerschen Satz" und beweist speziell für Königsberg die Unmöglichkeit einer Lösung. Damit legt er 1736 den Grundstein zur Graphentheorie.

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http://www.hanebeck.at/Euler/Springerproblem.html

Probieren Sie selbst!

Euler befasst sich intensiv mit lateinischen Quadraten, also solchen aus n mal n Feldern, in welche die natürlichen Zahlen von 1 bis n so eingetragen werden müssen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte jede Zahl genau einmal vorkommt. In späten Jahren veröffentlicht er sogar eine in Französisch verfasste Schrift darüber. Er ist fähig, mit unendlicher Geduld herumzuprobieren. So sitzt er immer wieder vor einem Schachbrett, um sich dem schon lange bekannten Springerproblem zu widmen. Auf einem sonst leeren Brett soll ein Springer entsprechend seiner Zugregel („2 Felder längs, 1 Feld quer“) so bewegt werden, dass er jedes Feld des Brettes genau ein Mal besetzt. Als erster nähert sich Euler dem kombinatorischen Problem mit mathematischen Methoden.

Aber inzwischen verlässt er St.Petersburg, lebt ein Vierteljahrhundert lang in Berlin und übersiedelt schließlich wieder zurück. Wie kommt es zu den Ortswechseln? 1740 stirbt die Zarin Anna Iwanowna und die politischen Verhältnisse erscheinen weniger sicher. Ferner lebt Eulers Frau Katharina in ständiger Furcht vor Bränden, da Petersburg regelmäßig von Feuersbrünsten heimgesucht wird. Immer sind alle Habseligkeiten gepackt, um sie im Notfall gleich retten zu können, was wiederum die Furcht bestärkt, sie bei einem Einbruch oder Überfall sofort samt und sonders zu verlieren. Außerdem sind immer wieder Offiziere einquartiert, da in der Stadt große Wohnungsnot herrscht. Euler selbst ist gezwungen, sehr anstrengende kartographische Arbeiten zu verrichten, was ihm wenig Freude bereitet. Infolge völliger Erschöpfung nach einer solchen Tätigkeit wird er sterbenskrank und verliert wegen einer dadurch bedingten Entzündung die Sehkraft des rechten Auges. So folgt er letzten Endes gerne 1741 einem verlockenden Angebot Friedrichs des Großen an die damals noch erst geplante Berliner Akademie.

Berlin, Behrenstraße, ehemaliges Wohnhaus mit Gedenktafel Unmittelbar südlich verläuft parallel zu Unter den Linden die Behrenstraße. Schon von weitem erkennt man an der Nummer 21 eine blau-weiße Fahne. Hier hat sich die Bayerische Vertretung in der deutschen Hauptstadt etabliert. Eine Tafel an der Fassade identifiziert aber auch das Haus als Wohnort Eulers während der meisten seiner Berliner Jahre. Natürlich sieht das Haus zu Eulers Zeiten nicht so aus wie heute. Selbst die ganze Straße entsteht erst so richtig ab 1774 im Zuge der so genannten zweiten Stadterweiterung. Da ist Euler längst wieder zurück

21 in St.Petersburg. Euler ist in seinen zweieinhalb Jahrzehnten in Preußen von unvergleichlicher Schaffenskraft. Er verbringt hier mit Katharina, der Mutter seiner 13 Kinder, glückliche Jahre. Berlin erinnert heute mit einer „Eulerstraße“ an seinen genialen Gast. Sie ist allerdings von geringer Bedeutung und liegt nördlich der S-Bahn-Station Nordkreuz. Was verheißungsvoll beginnt und Harmonie verspricht, muss nicht so enden. Im Laufe der Zeit kommt es zwischen Euler und dem Preußenkönig zur Entfremdung. Friedrichs Vorliebe für glatte französische Eloquenz verträgt sich schlecht mit der einfachen Art Eulers, der zwar des Französischen mächtig ist, aber Zeit seines Lebens Basler Dialekt spricht und dem jedes intellektuelle Geschwätz zuwider ist. Mehr und mehr gewinnen auch „Freigeister“ Einfluss am Hof, womit der tiefreligiöse Euler zunehmend Schwierigkeiten hat. Und obwohl Euler für das Land Erstaunliches leistet wie etwa die Verbindung Oder-Havel, den sog. Finow-Kanal mit vielen Schleusen, die Planung der Wasserspiele von Sanssouci, Verbesserung der Münzprägung usw., findet er keine hinreichende Wertschätzung des Monarchen, dem Mathematik nichts bedeutet und der auch keine Ahnung von ihr hat. Auch wird Euler in einen heftigen Gelehrtenstreit um einen angeblich gefälschten Leibniz-Brief an einen bis heute unbekannten Adressaten verwickelt, in dem er gemeinsam mit anderen nach Meinung mancher nicht gerade glücklich agiert. Schließlich verlässt er 1766 Berlin, um einem neuerlichen Ruf nach St.Petersburg zu folgen, wo er triumphal empfangen wird. Euler bleibt seiner Heimatstadt Basel immer verbunden. Selbstverständlich will die Universität den berühmten Sohn der Stadt zurück haben, besonders, nachdem sein ehemaliger Lehrer Johann Bernoulli gestorben ist, hat aber nicht die Möglichkeit, ihm die idealen Bedingungen zu gewähren, die er in Berlin und dann in St.Petersburg vorfindet. Er kann praktisch seine gesamte Zeit der Forschung widmen, vor allem nach Herzenslust schreiben -Bücher, die noch lange nach seinem Tod Standardwerke der Studierenden sind und Briefe, Briefe, Briefe..... - allein 234 an die junge Markgräfin Sophie Charlotte. Die „Lettres à une princesse d'Allemagne“ erscheinen in Buchform, übersetzt in viele Sprachen. Sie behandeln ausführlich und klar formuliert viele mathematische, naturwissenschaftliche und auch philosophische Themen des 18. Jahrhunderts. Ein wichtiger Briefpartner Eulers ist der um 17 Jahre ältere Christian Goldbach. Dieser schreibt ihm einmal, er glaube, dass jede natürliche Zahl größer als 2 als Summe dreier Primzahlen (einschließlich 1) geschrieben werden kann - die bekannte „Goldbachsche Vermutung“. Der graue Star und eine nicht ganz geglückte Operation ruinieren Euler das verbliebene Auge. Aber er arbeitet ungebrochen weiter. Wo andere in Unterlagen vor- und zurückblättern müssen, hat er sein einmaliges Gedächtnis. Dann stirbt 1773 nach fast 40-jähriger Ehe Katharina. Er arbeitet weiter. Auch heute noch ist sein Werk hochaktuell. So liegt etwa die nach ihm benannte φ-Funktion, die zu jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der im Intervall [1, n] zu n teilerfremden Zahlen liefert, der RSA-Kodierung zugrunde, dem wohl am meisten verbreiteten Public-Key-Verfahren moderner Datenübertragung. Immer wieder ehrt ihn die Wissenschaft. Zum Beispiel trägt ein Mondkrater seinen Namen ebenso wie ein erst kürzlich entdeckter Asteroid. Noch nach Jahrhunderten sorgt er für Überaschungen. Im Jahre 1944 lässt man in der ETH Zürich eine Turbine nach einer Vorlage Eulers bauen, die er ohne irgendwelche Experimente rein theoretisch entworfen hatte. Zur

22 Verwunderung aller erreicht sie einen Wirkungsgrad von 71 Prozent, ein erstaunlicher Wert, wenn man bedenkt, dass die modernsten, computerberechneten Turbinen von heute es auf gerade mal 80 Prozent bringen. Aber zurück ins Jahr 1783, wenige Monate vor Eulers Tod. Als die Fürstin Daschkowa mit ihm den Sitzungssaal der Akademie betritt, muss sie feststellen, dass sich auf dem Ehrenplatz neben dem Präsidentensessel schon ein anderer breit gemacht hat, wohl damit rechnend, dass Euler nicht mehr kommen würde. Dieser - in seiner Bescheidenheit - sucht woanders einen Stuhl, begleitet von den Worten der Fürstin: „Sie haben nicht den Platz, der Ihnen gebührt. Aber wo immer Sie auch sitzen werden, Ihr Platz wird von allen der erste sein.“ Über den Sitzungssaal hinaus und die Zeit hinweg mag die Bemerkung der Fürstin als Kompliment gelten, das man bis heute kaum einem anderen mit gleicher Berechtigung machen könnte.

Literatur: Euler kommt fast in jedem Mathematikbuch vor. Im Internet gibt es eine Fülle an Informationen über seine Leistungen. Es sei hier deshalb nur verwiesen auf Autoren der Universität Basel wie Hanspeter Kraft (Präsident der Euler-Kommission) und Hans Walser, dem ich für manchen Hinweis dankbar bin, sowie auf das EulerArchiv in Basel unter Martin Mattmüller, ferner auf die Bücher •

„Leonhard Euler“ von Emil A. Fellmann, Birkhäuser‐Verlag, 2006 ‐ eine Biographie, 

•

„Leonhard  Euler  Opera  Omnia“  Reihe  4A  (Commercium  Epistolicum),  Band  1,  Birkhäuser‐Verlag, 1975. 

Die Fotos entstanden im Februar 2008 auf Reisen, die den Verfasser „Eulers Spuren folgend“ nach Berlin und St.Petersburg geführt hatten.

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Was ist Didaktik der Mathematik? Die persönliche Sicht auf ein Universitätsfach Erweiterte schriftliche Fassung eines Impulsreferats am Lehrer/innen/fortbildungstag „West“ der ÖMG an der Universität Innsbruck, April 2008 von Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Abstract: Der Beitrag beschreibt das Universitätsfach Didaktik der Mathematik über die Aufgaben, die ein Fachdidaktiker in Lehre und Forschung zu erfüllen hat. Wesentliches Anliegen des Autors ist es, die Fachdidaktik als Vermittler zwischen Theorie und Praxis zu positionieren. Jede Vernachlässigung oder Überbetonung einer Seite wird dem Bild einer modernen Wissenschaft einer Didaktik der Mathematik nicht gerecht.

1. Über die Schwierigkeit einer Antwort Zunächst erlaube ich mir, die Frage „Was ist Didaktik der Mathematik?“ auf die nach meiner Meinung bedeutend einfacher zu beantwortende Anfrage „Was macht ein Fachdidaktiker1?“ herunter zu brechen. Der Blick richtet sich auf die Tätigkeit eines „professionellen“ Fachdidaktikers an einer österreichischen oder deutschen Universität. Nun bin ich mir sicher, dass die Antworten auf Anfragen wie „Was macht ein Dachdecker / ein Installateur?“ oder selbst Akademiker betreffend „Was macht ein Arzt / ein Richter?“ von zahlreichen „Leuten auf der Straße“ die jeweiligen Berufsgruppen trefflichst beschreiben. Allerdings wird man keine oder bestenfalls unbefriedigende Antworten auf unsere Eingangsfrage „Was macht ein Fachdidaktiker?“ erhalten. Unbefriedigend vor allem deshalb, weil die Antworten aufgrund ihrer „Kopflastigkeit“ von Theorie oder Praxis kein vollständiges Bild einer zeitgemäßen Fachdidaktik vermitteln. So weisen Ansichten wie etwa „Lehrer erlernen ihren Beruf ohnehin erst in der Schule“ auf die Wichtigkeit der Praxis hin, Meinungen wie „Die Fachdidaktik als theoretische Disziplin hat sich vor allem der Wissenschaft verpflichtet zu fühlen“ betonen wiederum die mindestens ebenso wichtige Rolle der Forschung neben der Lehre. Die Aufgabe moderner Fachdidaktik beiden Seiten, nämlich der Theorie und Praxis in gleicher Weise gerecht zu werden, möchte ich als Theorie – Praxis – Problem bezeichnen. Die moderne Fachdidaktik hat aber auf ihrem Weg der Emanzipation von anderen Disziplinen auch mit einem Synthese – Problem zu kämpfen. Ganz konkret meine ich damit, dass zum einen die Fachdidaktik zwar unter dem Einfluss zahlreicher Bezugswissenschaften steht, zum anderen, dass sie aber bemüht sein muss, ihre „Zuständigkeiten“ durch die Gewichtungen und Bewertungen einzelner Themen und Methoden klar herauszustellen. Aktuell muss sich die Fachdidaktik Mathematik auch noch mit einer ebenfalls nach Selbständigkeit strebenden In-formatikdidaktik auseinandersetzen [5]. Als Antwort auf die Eingangsfrage setze ich in diesem Beitrag keine explizite Definition von Fachdidaktik, die Theorie und Praxis in befriedigender Weise gerecht werden sollte. Vielmehr werde ich versuchen, die theoretischen Seite der Fachdidaktik durch eine Aufzählung einer Viel1

Im Beitrag habe ich von einer durchgehenden gendersensiblen Unterscheidung zwischen Fachdidaktikerin und Fachdidaktiker abgesehen. Selbstverständlich werden jedoch Vertreter beiderlei Geschlechts adressiert.

24 zahl von Themen und Methoden fest zu machen, die praktische Seite durch die Nennung von bedeutenden Funktionseigenschaften der Fachdidaktik für den Lehreralltag.

2. Über die Vielfalt der Themen Auch der Fachdidaktiker arbeitet zunächst als Mathematiker. Er entwirft praktikable Kurse [7] für den Mathematikunterricht, diskutiert alternative Begriffsbildungen (z. B. ein grenzwertfreier Zugang zur Differenzierbarkeit [11, 12]) oder präsentiert – wie in diesem Heft Fritz 1 Schweiger mit seinem Beitrag Kann man die Gleichung − = 1 + 3 + 9 + 27 + … sinnvoll 2 interpretieren? - Ein Einstieg zu p - adischen Zahlen – Einheiten jenseits des traditionellen Mathematikunterrichts. Geht es um die Beurteilung des Lehr- und Lernprozesses als Ganzes, um die Formulierung von Bildungsstandards (vgl. Hans – Stefan Siller in diesem Heft) oder um Fragen der Inneren Differenzierung im Mathematikunterricht so wird der Fachdidaktiker zum Erziehungswissenschaftler. Hoffnung auf Erfolg und Furcht vor Misserfolg sind Themen, die den Mathematik-unterricht seit jeher begleiten. Ein Fachdidaktiker, der dazu befragt wird, argumentiert als Psychologe, wenn er auf Motivationskonstrukte aus der differentiellen Psychologie zurückgreift. Nimmt der Fachdidaktiker zu gesellschaftsrelevanten Fragen seines Faches Stellung, so handelt er als Soziologe. Denken wir hier etwa an die große Bedeutung der bildungspolitischen Diskussion über Notwendigkeit und Umfang von Kenntnissen im Umgang mit Neuen Technologien, eine Debatte, bei der vor allem die Mathematik und die inhaltlich nahe verwandte Informatik eine zentrale Rolle spielten [8] und spielen [3, 14]. Sollte nun der Leser vermuten, dass sich meine Aufzählung an der von Erich Ch. Wittmann in seinen Grundfragen des Mathematikunterrichts präsentierten thematischen Charakterisierung [16] mit der Didaktik der Mathematik im Zentrum beeinflusst von einer Reihe von Bezugswissen-schaften

orientiert, so hat er Recht. Obwohl dieses Schema nahezu 25 Jahre alt ist, halte ich es immer noch für eine der gelungensten Darstellungen, aus der sich die Vielfalt der Themen mit denen sich ein Fachdidaktiker in Lehre und Forschung beschäftigt, unmittelbar ableiten lässt.

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3. Über die Vielfalt der Methoden Aus der Vielzahl der Themen sowie aus den Rollen, die der Fachdidaktiker übernimmt, leiten sich eine Fülle von Methoden ab. Als Mathematiker legt der Fachdidaktiker ein besonderes Augenmerk auf die formale Korrektheit der dargestellten Themen, auf immer wiederkehrende Strategien sowie auf grundlegende Beweistechniken. Als immer wiederkehrende Strategie möchte ich das zielführende Hinzufügen und Wegnehmen – von einigen Kollegen auch aussagekräftig Teleskop - Prinzip bezeichnet – nennen. Konkrete Beispiele aus dem Schulunterricht sind die Quadratische Ergänzung zur Ermittlung der Lösungs-formel einer quadratischen Gleichung

⎛ 2 ⎞ p2 p2 ⎜⎜ x + p ⋅ x + q = x 2 + p ⋅ x + − + q ⎟⎟ oder die Begründung der Produktregel der 4 4 ⎝ ⎠ Differenzialrechnung ⎛ f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x0 ) − f ( x) ⋅ g ( x0 ) − f ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) ⎞ ⎜⎜ lim ⎟⎟ = lim x → x0 x → x0 − − x x x x 0 0 ⎝ ⎠ Grundlegende Beweistechniken sind exemplarisch etwa der konstruktive Beweis für die Innenwinkelsumme eines Dreiecks,

der indirekte Beweis für die Irrationalität von Wurzel aus 2 oder der Beweis für die Summe

n

∑i = i =1

n ⋅ (n + 1) durch Vollständige Induktion. 2

Als Erziehungswissenschaftler, Psychologe und Soziologe benützt der Fachdidaktiker empirische Methoden, um Lernvoraussetzungen, Einstellungen und Verhaltensweisen der Lernenden zu studieren. Eine gute Übersicht über die große Zahl an quantitativen (Fragebogen, Test) und

26 qualitativen Methoden (Gespräch, Interview) erhält man in dem Buch Lehrer erforschen ihren Unterricht [1]. Der Fachdidaktiker arbeitet aber auch historisch – interpretierend, wenn er Themen des Schulunterrichts in ihrer historischen Entwicklung darstellt [10]. Lebendig ist ein Unterricht immer dann, wenn der Lehrstoff mit den Studierenden im Lehrer – Schüler – Gespräch, also dialogisch, entwickelt wird [8]. Macht der Fachdidaktiker die Verwendung von Symbolen und Symbolsystemen zum Gegenstand seiner Forschung, so ist er in gewissem Sinn sprachwissenschaftlich tätig [13]. Durch die Hinzunahme dieser historisch – interpretierenden, dialogischen und sprachwissenschaftlichen Methoden erfährt das in Kapitel 1 dargestellte Rollenbild des Fachdidaktikers noch einmal eine Erweiterung. Ich möchte sagen, der Fachdidaktiker handelt als Historiker, Philosoph und Sprachwissenschaftler.

4. Fachdidaktik als Orientierungshilfe und Berufswissenschaft Der Fachdidaktiker muss sich auch stets der Schulpraxis verpflichtet fühlen. Sehr treffend nennt der bereits zuvor genannte Wissenschaftler Erich Ch. Wittmann die Fachdidaktik die Berufswissenschaft des Mathematiklehrers. Wesentliche Aufgaben des Fachdidaktikers die Schulpraxis betreffend sehe ich •

• •

in der Bereitstellung von praktikablen Modellen zur Sequenzierung von Inhalten (logisch – deduktive, aufgabenzentrierte oder genetische Orientierung) bzw. zur Planung eines zielführenden Mathematikunterrichts einschließlich deren Bewertung. in der Formulierung von Leitideen – so genannter Fundmentaler Ideen [15] -, die das Lernen von Mathematik ‚durchsichtiger’ erscheinen lassen. in einer aktiven, verantwortungsbewussten Partizipation an der Bildungspolitik. Der Mathematiker und Fachdidaktiker Roland Fischer nennt dies die ‚Aktive Rolle’ des Wissenschaftlers in einer breiten – öffentlichen bildungs-politischen Diskussion [4].

Das weite Betätigungsfeld des Fachdidaktikers reicht dabei von einer regelmäßigen Beteiligung an Lehrerfortbildung und Weiterbildung [6] über die Mitwirkung in Lehrplankommissionen bis hin zur Diskussion über mathematische Kompetenzen. Nachwuchsförderung (d. h. Förderung von Publikationen, Vorträgen auf nationalen und internationalen Konferenzen, Fachdidaktische Diplomarbeiten und Dissertationen) ist schließlich ein bedeutsames Anliegen des Fachdidaktikers. Seit jeher ist die Lehrerschaft ein besonderer Adressatenkreis für dieses Anliegen. Bedauerlicher Weise wurden durch zahlreiche Novellierungen vor allem das Doktoratsstudium betreffend ein berufsbegleitendes Studium fast unmöglich gemacht.

5. Schlusswort

27 Ich möchte aber diesen Beitrag nicht mit pessimistischen Betrachtungen der augenblicklichen Rahmenbedingungen ausklingen lassen. Trotz aller bürokratischen Hindernisse sehe ich die Zukunft der Fachdidaktik optimistisch. In den genau 20 Jahren seit dem Abschluss meiner Dissertation und genau 10 Jahre nach der Verleihung der Venia Docendi aus Didaktik der Mathematik nach Abschluss des Habilitationsverfahrens habe ich zahlreichen Studierenden in Salzburg, Innsbruck und Brixen (Univ. Bozen) meine Sicht auf die Didaktik der Mathematik vermittelt. Viele dieser Studierenden haben mir positive Rückmeldung gegeben, einige ließen sich auch für fachdidaktische Diplomarbeiten und Dissertationen begeistern. Daher bin ich zutiefst überzeugt, dass ein vor ca. 30 Jahren von Johan van Dormolen [2] gezeichnetes Bild des Lehrers keine Gültigkeit mehr haben sollte: Zitat Dormolen: Die meisten Lehrer haben ihren Beruf fast ausschließlich in der Praxis erlernt. Ihre Art zu lehren hat handwerklichen Charakter. Man lehrt das Fach durch „Hinfallen und Aufstehen“ gepaart mit gefühlsmäßiger Intuition für Gutes und Unmögliches. Geleitet wird man von der Strategie eines Schulbuchs, das man einfach benutzt und das Kollegen geschrieben haben, die ihren Beruf auf genau dieselbe Art gelernt haben. Moderne Fachdidaktik wird heute von Lehrenden und Forschern im Sinne eines in den vorangehenden Kapiteln dargestellten Rollenbildes vertreten und weiter entwickelt.

Literatur: [1]

Altrichter, Herbert / Posch, Peter (1998): Lehrer erforschen ihren Unterricht: eine Einführung in die Methoden der Aktionsforschung. Bad Heilbrunn: Klinkhardt.

[2]

Dormolen, Johan von (1978): Didaktik der Mathematik. Braunschweig / Wiesbaden: Vieweg.

[3]

Eder, Christoph (2007): Bildungsstandards in Informatik. Diplomarbeit aus Didaktik der Informatik an der Universität Salzburg.

[4]

Fischer, Roland (1988) : Mittel und System: Zur sozialen Relevanz der Mathematik. In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. 1988, Nr. 1, S. 20-28.

[5]

Fuchs, Karl Josef (2005): How Strict May, Should, Must the Borders be Drawn? In: Innovative Concepts for Teaching Informatics (Micheuz, Antonitsch, Mittermeir Hrsg), Wien: Ueberreuther Verlag, S. 7 – 14.

[6]

Fuchs, Karl Josef (2005): Fördernde und Fordernde Lernumgebungen. Vortrag im Rahmen der Lehrerfortbildung, ARGE Mathematik, PI Salzburg – Sommersemester 2005.

[7]

Griesel, Heinz (1971): Die Neue Mathematik für Lehrer und Studenten. Hannover.

[8]

Hettrich, Monica (2005): Entdecken, Erleben, Beschreiben – Der Dialogische Mathematikunterricht. In: Magazin Schule, Ausgabe 15.

[9]

Hüffel, Clemens / Reiter, Anton (Hrsg) (1996): Praxis der EDV / Informatik. Wien: Jugend & Volk.

[10]

Kronfellner, Manfred (1998): Historische Aspekte im Mathematikunterricht. Eine didaktische Analyse mit unterrichtsspezifischen Beispielen (Habilitationsschrift),Wien: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky.

28 [11]

Kronfellner, Manfred (1979): Das Prinzip der Linearisierung. In: mathematica didactica 2, Heft 1, S. 1 – 32

[12]

Lunter, Karl Heinz (1982): Ein algebraischer Einstieg in die Analysis – 3.4. Ableitungsregeln. In: Didaktik der Mathematik 4/1982, S. 279 – 280.

[13]

Maier, Hermann / Schweiger, Fritz (1999): Mathematik und Sprache: Zum Verstehen und Verwenden von Fachsprache im Mathematikunterricht. Wien: öbv & hpt.

[14]

Öhlinger, Philipp (2007): Bildungsziele im Mathematikunterricht. Diplomarbeit aus Didaktik der Mathematik an der Universität Salzburg.

[15]

Schweiger, Fritz (2005): Fundamental Ideas. A Bridge Between Mathematics and Mathematics Education. In: New Mathematics Education Research and Practice (W. Schlöglmann / J. Maasz Hrsg.), S. 63 – 74.

[16]

Wittmann, Erich Ch. (1981): Grundfragen des Mathematikunterrichts. Braunschweig / Wiesbaden: Vieweg.

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Exaktheit im Mathematikunterricht von Georg Wengler & Rudolf Gruber, ph Salzburg Abstract: Fragen zur Benennung und Bezeichnung von Objekten. Sensibilisierung für Nomenklaturen und eine gewisse „Bezeichnungshygiene“. Bedeutung der Notation von Gedankenketten und der Anwendung von Rechengesetzen. Wie exakt muss/darf die Schulmathematik sein? Wo sind präzise Denkstrukturen aus didaktischer Sicht notwendig und wo genügt ein intuitiver Zugang?

1 Beispiele aus der Arithmetik Wenn wir in der unterrichtlichen Tätigkeit mit Zahlen hantieren, Berechnungen durchführen und Textaufgaben lösen, dann stellt sich in jeder Lernphase die Frage, wie exakt geht man mit den Rechenobjekten um. Da kann es ohne weiteres sein, dass man für einen intuitiven Zugang zu einem Problem ganz salopp eine Ideenskizze mit umgangssprachlicher Formulierung entwirft, die erst in der weiteren Analyse quasi im Nachhinein einen gewissen Grad an Exaktheit erfährt. Andrerseits kann es die Einführung eines neuen Begriffes notwendig machen, dass man diesen mit einer präzisen und wohldurchdachten Definition abgrenzt. In einer fortgeschrittenen Phase mag man diesen Begriff dann vielleicht auch unscharf verwenden, wenn aus dem Kontext ganz deutlich hervortritt, was der Partner meint. Der Lehrkraft wird es allerdings in jeder Unterrichtsphase helfen, wenn sie den exakten mathematischen Hintergrund kennt, damit sie entsprechend didaktisch entscheiden kann. Mit den folgend angeführten Beispielen möchten wir solche Situationen kurz beschreiben und zum Nachdenken anregen.

1.1.

Die direkte und indirekte Proportionalität

Diese wird im Schulalltag auch gerne als „direkte und indirekte Schlussrechnung“ bezeichnet und bedient sich oft der Formulierungen (1) „je mehr …, desto mehr …“ bzw. (2) „je mehr …, desto weniger …“. (3) In wie weit kann man diese sprachliche Ausdrucksweise akzeptieren? Was steckt mathematisch dahinter? Bei der direkten proportionalen Beziehung y = k ⋅ x , wie wir sie wohl kennen, wird in vielen Aufgabenstellungen unausgesprochen angenommen, dass der Proportionalitätsfaktor k>0 ist. Zumindest die klassisch gestellten Textaufgaben operieren mit einem positiven Faktor k. Schauen Sie sich in den entsprechenden Schulbüchern um. Bei einem negativen Faktor k stimmt die Formulierung (1) wohl nicht mehr, oder? Wenn man aber nun annimmt, es handelte sich um eine indirekte Proportion, weil ja Formulierung (2) zutrifft, dann läge man ganz ordentlich daneben. An Hand folgender Beispiele möge man sich selber vergewissern, dass man aus der Formulierung (2) nicht notwendigerweise auf eine indirekte Proportion schließen darf: Bsp.1: Peter hält seinen Radiergummi hoch und lässt ihn fallen. „je mehr Zeit vergeht, desto geringer wird die Höhe (Entfernung zum Boden).“

30 Bsp.2: Wenn jemand seine Schuld von 1000 € mit monatlich konstantem Betrag von 50 € zurückzahlt, dann kann man sagen: „je mehr Zeit vergeht, desto weniger Schulden.“ Bsp.3: Zahlt man die Schuld von 1000 € zu 5% monatlich zurück, dann wird man ebenfalls sagen: „je mehr Zeit vergeht, desto weniger Schulden.“ Bsp4: Wir teilen 600 € auf eine gewisse Anzahl von Personen gleichmäßig auf. Es wird gelten: „je mehr Personen vorhanden, desto weniger Geld bekommt jede einzelne Person.“ Was darf aus der Formulierung (2) gefolgert werden? Was haben alle vier Beispiele gemeinsam? Die Antwort zeigt die jeweilige grafische Darstellung der geltenden Beziehung: In allen vier Fällen ist der Graph nämlich monoton fallend. Formulierung (1) beschreibt hingegen einen monoton steigenden Graphen. Hat man etwa eine reziproke Funktion der c Art y = mit c s(t) = v.t, liegt direkte Proportion vor. Immer da, wo ein Produkt konstant bleibt, z.B. Rechteckfläche mit konstantem Inhalt F: F = l.b => l(b) = F/b, liegt indirekte Proportion vor.

32 Weiter Beispiele liefern das Hebelgesetz oder die Geschwindigkeit-Zeit-Beziehung bei konstantem Weg.

1.2.

Näherungswerte und Maßzahlen

In den meisten CAS-Programmen - wie etwa DERIVE - wird zwischen exaktem und Näherungsmodus unterschieden und für die jeweilige Auswertung das Zeichen „=“ bzw. „≈“ verwendet. Diese konsequente Unterscheidung scheint auch für den Alltagsunterricht nützlich. Wie können SchülerInnen besser zum Ausdruck bringen, ob sie gerade mit einem gerundeten, geschätzten, abgeschnittenen (abgebrochenen), gemessenen oder mit einem exakten Wert zu tun haben. Andererseits wird dadurch die Notwendigkeit der Symbolik bewusst. Wir schreiben etwa vom Taschenrechner ab: 2 ≈ 1.4142 statt 2 = 1.4142 . Gerade bei der Benutzung des Taschenrechners stellt sich speziell die Frage nach der sinnvollen Genauigkeit. Was bedeuten wohl folgende Maßangaben? 5,345275869 € oder 84,73281924 km/h etc. Maßzahlen unterliegen ebenfalls einer präzisen Schreibweise, was die Fehlerbehaftetheit angeht. Es ist ein Unterschied, ob man 1 cm schreibt oder 1,0 cm, weil damit die geforderte Genauigkeit einher geht. Die Angabe a ≈ 10±0,5 cm bedeutet als Intervall 9,5≤a≤10,5. Ist a = 10,0 als gerundeter Wert angegeben, dann gilt: 9,5≤a ST(A,B). In jedem Fall ist eine diesbezügliche Vereinbarung notwendig.

3.3.

der Strahl

Gibt es für die Halbgerade eine vernünftige Schreibweise? s(A,B), wobei hier die Reihenfolge der Parameter besonders wichtig ist, weil A der Anfangspunkt und der Strahl über den Punkt B hinaus gezeichnet wird.

Abb. 15 wie soll ein Strahl korrekt dargestellt und beschriftet werden?

41 Wie soll die unendliche Fortsetzung markiert werden? Verwechslung mit Vektoren liegt auf der Hand, ein Umstand, der in der Unterstufe allerdings weniger ins Gewicht fällt.

3.4.

die Gerade

Wie soll man eine Gerade durch zwei Punkte festlegen: g(A,B) oder g(AB) oder AgB

Abb. 16 wie kann die Unendlichkeit von Geraden vernünftig angedeutet werden?

Soll die Unendlichkeit mit Pfeilspitzen angedeutet werden? Ist eine Idee der Unendlichkeit ohne weitere grafische Pointierung zumutbar?

3.5.

das Dreieck

Auch für das Dreieck findet man unterschiedliche Schreibweisen: DE(A,B,C) oder ΔABC oder nur ABC?

Im Prototyp eines Dreiecks ist es üblich, dass eine Seite und der gegenüberliegende Eckpunkt mit dem selben Buchstaben benannt werden.

Abb. 17 Dreiecksbenennungen

Wie sieht die Situation bei speziellen Dreiecken wie rechtwinkeligem, gleichschenkeligem oder gleichseitigem Dreieck aus?

Soll der rechte Winkel immer in der Ecke C sitzen?

Abb. 18 rechtwinkeliges Dreieck

Soll die Basis immer AB sein? Sollen gleich lange Seiten unterschiedlich benannt werden? Die geometrischen Softwareprogramme tun dies, weil die Objekte für die Programmlogik eine eindeutig unterscheidbare Bezeichnung benötigen. In GeoGebra etwa wird im Hintergrund der Bezeichnung a dann doch die Länge zugewiesen.

Abb. 19 gleichschenkeliges Dreieck

42 Ist die Höhe in einem Dreieck eine Strecke oder eine Gerade? Um etwa die Höhe in einem stumpfwinkeligen Dreieck konstruieren zu können, muss man die Trägergerade der zugehörigen Dreieckseite vor sich haben. Deshalb scheint es günstiger, mit dem Begriff Höhe die Gerade zu meinen. Eindeutig wird es, wenn man von der Höhenlinie oder der Höhengerade spricht. Auch die Bezeichnung Trägergerade ist sinnvoll, weil sie die Strecke quasi auf sich „trägt“.

3.6.

der Winkel

Welche Schreibweise soll für Winkel verwendet werden? Griechische Buchstaben α, β, γ etc. oder ∠ACB oder w(A,C,B). Die Reihenfolge der Punkte in ∠ACB definiert den Winkel gemäß dem Gegenuhrzeigersinn, wobei der mittlere Buchstabe dem Scheitel entspricht: ∠ACB ∠BCA

Abb. 20 richtige Winkelbezeichnung über den Drehsinn

In der angelsächsischen Literatur findet man auch die Variante, dass der Winkel mit dem Eckbuchstaben identifiziert wird, d.h. im Dreieck ABC wäre mit „A“ gleichzeitig auch der Winkel bei A bezeichnet. Bei der funktionellen Sichtweise für den Winkel γ im Dreieck ABC ist die Form w(A,C,B) zweckmäßig. Wie soll der rechte Winkel markiert werden?

so? oder nach modernen Vorgaben in der Darstellenden Geometrie:

Abb. 21 Markierung des rechten Winkels

Ähnlich den Seiten eines Dreiecks stellt sich auch beim Winkel die Frage, ob mit dem griechischen Buchstaben der Name des Winkels oder das zugehörige Winkelmaß gemeint ist. Um gleich große Winkel hervorzuheben, werden auch gerne folgende Markierungsmöglichkeiten benutzt:

oder

Abb. 22 gleich große Winkel

Um den Drehsinn anzugeben, wird der Winkelbogen oft mit einem (Dreh-)Richtungspfeil versehen. Wann ist das sinnvoll?

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3.7.

das Viereck

Wie schreibt man am besten: VE(ABCD) oder VE(A,B,C,D)? Mit den Beistrichen ist klar erkennbar, dass die Funktion VE vier Parameter in einer bestimmten Reihenfolge als Input erhält. Was passiert, wenn ich in dieser Logik VE(A,C,B,D) schreibe? Der Flächeninhalt wird in vielen Büchern mit A bezeichnet, was Verwechslungen mit dem Eckpunkt A geben kann; deshalb bietet sich Area(A,B,C,D) oder kurz Ar(A,B,C,D) an. In der interaktiven Geometrie kann durch Ziehen mit der Maus aus einem allgemeinen Viereck ein Quadrat dynamisch hergestellt werden:

Abb. 23 dynamisch orientierte Geometrieprogramme bezeichnen keine zwei Objekte mit gleichem Symbol

In solchen Programmen lassen sich zwei Seiten gar nicht mit dem selben Buchstaben benennen. Darum bleiben auch bei einem Quadrat die Seitenbezeichnungen bei a, b, c, d. Nur die Länge der vier Seiten ist dann gleich, d.h. genau besehen gilt dann l(a)=l(b)=l(c)=l(d) oder |a|=|b|=|c|=|d| je nachdem, welche Schreibweise man für den Streckeninhalt wählt. Rechteck: RE(A,B,C,D) und Flächeninhalt Ar(RE) oder Ar(l,b). Quadrat: QU(A,B,C,D) und Flächeninhalt Ar(QU) oder Ar(a). In jedem Fall ist die funktionelle Sicht die Grundlage für die Form. Was unterscheidet aber ein Quadrat von einem Rechteck? Handelt es sich dabei um zwei verschiedene Figurentypen? Irrtümer im Umgang mit Rechteck und Quadrat bestehen bei SchülerInnen oft in der Tatsache, dass die Figuren als Angehörige zweier verschiedener Klassen1 betrachtet werden, obwohl es sich in Wahrheit um eine Teilmengenrelation handelt: QU ⊆ RE

1

Die Einteilung einer Menge in Klassen erfolgt so, dass je zwei Klassen disjunkt sind und alle Klassen zusammen die Grundmenge ergeben.

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Wie bringt man zum Ausdruck, dass ein Quadrat auch ein (spezielles) Rechteck ist?

Rechtecke: Ar=l.b, u = 2(l+b) Quadrate: l=b=a, Ar=a², u = 4a

Abb. 24 die Menge der Quadrate ist eine Teilmenge der Menge der Rechtecke

Wenn man dennoch zwischen einem typischen „Quadrat“ mit vier gleich langen Seiten und einem typischen „Rechteck“ mit zwei verschieden langen Seiten unterscheidet, was ja in manchen Situationen notwendig ist, wenn man etwa quadratische und nicht rechteckige Fliesen bestellen will, dann wählt man nicht das Mengenmodell, sondern hat jeweils einen Prototypen vor dem geistigen Auge. Die Sicht auf den Prototypen rechtfertigt zwar die Trennung zweier Objekte hinsichtlich ihrer Eigenschaften, aber die Teilmengenrelation muss dabei ja nicht aufgegeben werden.

3.8.

das Koordinatensystem

In vielen Grundschulbüchern wird das Koordinatensystem folgendermaßen mit Pfeilspitzen markiert:

Abb. 25 das kartesische Koordinatensystem mit der Windrosenmarkierung

45 Gegen diese Art der Markierung spricht die Tatsache, dass in der Ordnungsrelation z.B. auf der x-Achse alle Punkte, die weiter links liegen, kleiner sind als jene, die weiter rechts liegen. Die Pfeilspitze am negativen Achsenende widerspricht diesem Beziehungsmuster. Außerdem sieht es so aus, als würde das Koordinatensystem aus vier Strahlen bestehen. Es ist also zu überlegen, ob das Koordinatensystem nicht von Beginn an so wie in Abb. 26 eingeführt und beschriftet wird:

Abb. 26 Markierung entsprechend der Ordnungsrelation auf der Zahlengerade mit Beschriftung der Längeneinheiten

Bei der Einführung des Zahlenstrahls bzw. der Zahlengerade muss man bereits in Vorbereitung auf das Koordinatensystem diesen Sachverhalt berücksichtigen und ebenfalls eine korrekte Markierung und Beschriftung vornehmen. Um anzudeuten, dass die negativen Zahlen auf der Zahlengerade von minus unendlich „herkommen“, könnte man eine Pfeilspitze anbringen, welche die Orientierung von minus nach plus hat. Noch eine Bemerkung zum Koordinatensystem. Es bietet eine hervorragende Möglichkeit, die Multiplikation von ganzen (spez. negativen) Zahlen zu veranschaulichen, weil es mit den vier Quadranten und den zugehörigen Koordinatenvorzeichen die Möglichkeit von orientierten Flächen gibt.

Abb. 27 das Koordinatensystem mit orientierten Flächen

46 Es gibt orientierte Strecken(Vektoren), orientierte Halbgeraden (Strahlen), orientierte Winkel, bei Dreiecken bzw. Vielecken einen Umlaufsinn, gleich- und gegensinnige Figuren, was liegt folglich näher als auch bei Flächen von Orientierung zu sprechen. Man denke dabei an das bestimmte Integral, wo sich das Vorzeichen ändert, wenn man die Integrationsrichtung ändert oder Flächenteile vor sich hat, die unterhalb der x-Achse liegen. In Abb.27 kann man die Rechteckflächen in den einzelnen Quadranten je nach Orientierung der Seiten positiv oder negativ belegen. Über diesen Weg kann man auch die Multiplikation von ganzen Zahlen ohne viel Aufwand einführen und erklären: Quadrant Umlaufsinn ABCD: ( + 6).( + 5) = + 30 I. ( – 6).( + 5) = – 30 II. Quadrant Umlaufsinn ADC1B1: ( – 6).( – 5) = + 30 III. Quadrant Umlaufsinn AB1C2D2: ( + 6).( – 5) = – 30 IV. Quadrant Umlaufsinn AD2C3B: In diesem Zusammenhang werden die Vorzeichenregeln wie etwa „minus mal minus ist plus“ einsichtig, während diese in der problematischen Klammerregel von Abb.11 nicht angebracht ist.

4 Schlußbemerkung Die Sachanalyse des Lehrers verlangt ein hohes Maß an Exaktheit, weil so manche didaktische Entscheidung und Maßnahme davon abhängt. Ist das Minuszeichen z.B. ein Operationszeichen, ein Vorzeichen oder gar nur ein einstellige Umpolfunktion. Die Umsetzung im unterrichtlichen Alltag verlangt hingegen oft einen intuitiven Zugang, wenn man die SchülerInnen selbst entdecken und experimentieren lässt. Manche der im Text gestellten Fragen – speziell zu Bezeichnungen und Benennungen von geometrischen Obejkten – sind bewusst offen gelassen, weil sie aus unserer Seite nicht per Vorschrift sondern nur in der konkreten Unterrichtstätigkeit als überlegenswerte Maßnahme zu entscheiden sind. Die angeführten Beispiele sollten aber auch zeigen, wann eine Präzisierung für die SchülerInnen angebracht ist und wann nicht. Mit der Grundregel, dass eine didaktische Entscheidung den SchülerInnen in erster Linie eine Hilfe zum Verständnis und ein Gerüst für sachlich korrekte Grundvorstellungen sein soll, liegt man sicher richtig.

5 Literatur Gander, Walter [1985]: Computermathematik. Basel/Boston/Stuttgart: Birkhäuser (Programm-Praxis; Bd.3) Ade, Hans /Schell, Hugo [1975]: Numerische Mathematik. Stuttgart: Klett Humenberger,J. /Reichel, H.-Ch. [1995]: Fundamentale Ideen der Angewandten Mathematik. Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik Bd.31 Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich: BI Wissenschaftsverlag