Fracciones Algebraicas 1

Conceptos básicos

De…nición 1 P(x) , Una fracción algebraica en la indeterminada x (o cualquier otra letra) es una expresión de la forma Q(x) donde tanto P como Q son polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Al igual que en el caso de los polinomios, este tipo de expresiones simbolizan para un determinado valor de la indeterminada x un número real, siempre que el polinomio Q(x) no sea el polinomio nulo, es decir, Q(x) 6= 0. Al polinomio P(x) se le denomina polinomio numerador, mientras que al polinomio Q(x) se le llama polinomio denominador. P(x) Una fracción algebraica se dirá que es propia si gr(P) gr(Q). En caso contrario, se dirá que es Q(x) impropia. Ejemplo 1 Son ejemplos de fracciones algebraicas las siguientes: (a)

3x

5

4x2 + 2x

(b)

3

4x5 13 x + 7 2x2 + 3x

La fracción algebraica del apartado (a) se corresponde con una fracción propia, mientras que la del apartado (b) sería impropia. De…nición 2 Al conjunto de todas las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales lo simbolizaremos por R(x). Observemos que R(x) es distinto de R [x] ; que es el anillo de los polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Estudiaremos aquí también la estructura algebraica de este conjunto, y veremos que R(x) tiene estructura de cuerpo conmutativo, llamado el cuerpo de fracciones de R [x]. De…nición 3 P(x) R(x) Dos fracciones algebraicas ; 2 R(x) se dice que son equivalentes, y lo representaremos escribiendo Q(x) S(x) P(x) R(x) que si se verifica la siguiente condición: Q(x) S(x) P(x) Q(x)

R(x) , P(x) S(x) = Q(x) R(x) S(x)

Comentario 1 Nótese cómo la definición de equivalencia de fracciones algebraicas es completamente análoga a la equivalencia establecida para fracciones con números enteros, de manera que podremos decir aquí también que dos fracciones (algebraicas) son equivalentes cuando los productos en cruz son iguales. En adelante, para nosotros dos fracciones algebraicas equivalentes son iguales: P(x) Q(x)

R(x) P(x) R(x) ) = S(x) Q(x) S(x)

Ejemplo 2 x + 1 x2 + 2x + 1 Las fracciones algebraicas y son equivalentes. En efecto: 2 2x + 2 (x + 1)(2x + 2) = 2x2 + 4x + 2 = 2(x2 + 2x + 1)

1

Ejemplo 3 x Las fracciones algebraicas x

2) (x2

(x

2

2 x2 y 3 x2

4x + 4 son equivalentes igualmente: 5x + 6

5x + 6) = x3

7x2 + 16x

12 = (x

3) (x2

4x + 4)

Obtención de fracciones equivalentes a una dada

Podemos obtener fracciones algebraicas equivalentes a una dada de dos formas: 1. Amplificando la fracción. Si

P(x) P(x) R(x) 2 R(x), y R(x) 2 R[x], entonces la fracción es equivalente Q(x) Q(x) R(x)

P(x) . Esto es obvio pues los productos en cruz son claramente iguales (téngase presente que el producto Q(x) de polinomios es conmutativo). a

P(x) 2 R(x) y R(x) 2 R[x] cumple ser un divisor común de los polinomios Q(x) P(x) y Q(x), entonces la fracción C1 (x) P(x) : R(x) = C2 (x) Q(x) : R(x)

2. Reduciendo la fracción. Si

P(x) . En efecto, si el polinomio R es un divisor de P y de Q, entonces existen polinomios Q(x) C1 (x) y C2 (x) tales que P(x) = R(x) C1 (x) y Q(x) = R(x) C2 (x). Es evidente de esta manera que es equivalente a

C1 (x) R(x) P(x) = : C2 (x) R(x) Q(x)

C1 (x) C2 (x) Ejemplo 4 x 1 |x {z 2}

=

(x2 (x2

2x + 1) : (x 3x + 2) : (x

Fracción Reducida

2.1

1) x2 2x + 1 (x2 = 2 = 2 1) 3x + 2} (x |x {z Fracción Original

2x + 1) (x + 1) x3 x2 x + 1 = 3 2 3x + 2) (x + 1) |x 2x{z x + 2} Fracción Amplificada

Fracción irreducible o canónica de una fracción algebraica

Ejemplo 5 x3 + 3x2 + 3x + 1 Obtener la fracción irreducible de la fracción . x2 + 3x + 2 Para obtener su fracción irreducible deberemos previamente factorizar los polinomios numerador y denominador: Se puede comprobar fácilmente que sus descomposiciones son las siguientes: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) Por tanto: x3 + 3x2 + 3x + 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x2 + 2x + 1 = = = x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+2 x+2 siendo esta última fracción la fracción irreducible buscada. Ejemplo 6 x2 Obtener la fracción irreducible de la fracción 2 x x2 x2

5x + 6 . 4x + 4

5x + 6 (x 2)(x 3) x = = x 4x + 4 (x 2)2 2

3 2

3

Operaciones con fracciones algebraicas

En el conjunto de las fracciones algebraicas con coeficientes reales en la indeterminada x tenemos establecidas las siguientes operaciones que, como se podrá comprobar, están bien definidas y son cerradas en R(x).

3.1

Suma o Adición

Dadas dos fracciones algebraicas

P(x) R(x) ; 2 R(x), se define su suma como una nueva fracción algebraica Q(x) S(x)

P(x) R(x) + dada por: Q(x) S(x) P(x) R(x) P(x) S(x) + Q(x) R(x) + = Q(x) S(x) Q(x) S(x) Comentario 2 La fracción algebraica suma se obtiene análogamente a como se hacía con números racionales. De igual forma se reduce a común denominador, de manera que, aunque no se haya establecido previamente, la suma de fracciones con igual denominador arroja una fracción con denominador idéntico y con numerador la suma de los numeradores de los sumandos, es decir, P(x) R(x) P(x) + R(x) + = : Q(x) Q(x) Q(x) También se puede aquí reducir a común denominador determinando el mínimo común múltiplo de los denominadores, tal y como se obtenía en el apartado de factorización de polinomios. Ejemplos 1

1.

5x 2 x2 + 4 x2 + 5x + 2 + = 3x2 3x2 3x2

2.

x 5 3x 1 (x + = 2x + 1 x

3.

3x 2 x+1 (3x + 2 = 2 x(x 1) x (x 1)

5)x + (2x + 1)(3x x(2x + 1)

1)

2)x + (x + 1)(x x2 (x 1)2 | {z }

=

x2

1)

=

5x + 6x2 + x 2x2 + x

1

=

7x2 4x 1 2x2 + x

4x2 2x 1 x4 2x3 + x2

mcm(x(x 1)2 ;x2 (x 1))

3.1.1

Propiedades algebraicas de la suma

En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto de la operación suma definida anteriormente se cumplen las siguientes propiedades: Interna La suma es una buena operación: La suma de fracciones algebraicas es, según la definición, otra fracción algebraica. La suma de fracciones algebraicas es, en sentido estricto, una operación. Asociativa

P R T + + Q S U

Conmutativa

=

P R T P R T + + ; 8 ; ; 2 R(x) Q S U Q S U

P R R P P R + = + ; 8 ; 2 R(x) Q S S Q Q S

P E P E E P P 2 R(x); 9 0 2 R(x), tal que + 0 = 0 + = . Evidentemente, la Q E Q E E Q Q E 0 fracción 0 es la fracción nula, es decir, la fracción = 0. E 1

Existencia de Elemento Neutro 8

3

Existencia de elemento simétrico (opuesto) 8 probar que la fracción

P0 P P0 P0 P P 2 R(x); 9 0 2 R(x); tal que + 0 = 0 + = 0. Es fácil Q Q Q Q Q Q

P0 (x) P(x) P(x) = = = Q0 (x) Q(x) Q(x) y se la llama la fracción opuesta de la fracción

3.2

P(x) . Q(x)

Resta o Diferencia (Sustracción)

Dadas dos fracciones algebraicas braica

P(x) ; Q(x)

P(x) Q(x)

P(x) R(x) ; 2 R(x), se define su diferencia como una nueva fracción algeQ(x) S(x)

R(x) dada por: S(x) P(x) Q(x)

R(x) P(x) S(x) Q(x) R(x) = S(x) Q(x) S(x)

La diferencia está bien definida como operación, aunque no posee propiedades notables. Otra manera de definir la diferencia entre fracciones algebraicas es la siguiente: P(x) R(x) P(x) La diferencia entre las fracciones algebraicas ; 2 R(x) es otra fracción algebraica Q(x) S(x) Q(x) dada por: R(x) P(x) R(x) P(x) = + Q(x) S(x) Q(x) S(x) donde

R(x) S(x)

P(x) P(x) es la fracción opuesta de la fracción . Q(x) Q(x)

De igual forma que en el caso de la suma, cuando las fracciones algebraicas que deseamos restar poseen idéntico denominador, la diferencia se realizará restando directamente los numeradores manteniendo el mismo denominador, o sea: P(x) R(x) P(x) R(x) = Q(x) Q(x) Q(x) y por supuesto también podremos reducir a común denominador obteniendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplos 2

1.

2.

3.3

8x 2x2

6 5x + 6

x 5 2x + 1

3x

6x2 + 4x 6x2 + 4x 6 = 2x2 5x + 6 2x2 5x + 6 1

x

=

(x

5)x

(2x + 1)(3x x(2x + 1)

1)

=

x2

5x

6x2 + x 2x2 + x

1

=

5x2 6x + 1 2x2 + x

Producto o Multiplicación

Dadas dos fracciones algebraicas fracción algebraica

P(x) R(x) ; 2 R(x), se define su fracción algebraica producto como una nueva Q(x) S(x)

P(x) R(x) 2 R(x) dada por: Q(x) S(x) P(x) R(x) P(x) R(x) = Q(x) S(x) Q(x) S(x) 4

El resultado de multiplicar dos fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica que está bien definida en tanto que como debe ser Q(x) 6= 0; S(x) 6= 0, entonces es también Q(x) S(x) 6= 0. Comentario 3 El producto de fracciones algebraicas es análogo al producto de fracciones con números enteros. De la misma forma no es necesario en el producto reducir a común denominador las fracciones. Hacerlo suele llevar a realizar un producto mal efectuado. Ejemplos 3

1.

5x 2 x2 + 4 (5x 2)(x2 + 4) 5x3 = = 3x2 3x2 3x2 3x2

2.

x 5 3x 1 (x 5)(3x 1) 3x2 16x + 5 = = 2x + 1 x (2x + 1)x 2x2 + x

3.3.1

2x2 + 20x 9x4

8

Propiedades algebraicas del producto

En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto del producto definido anteriormente se cumplen las siguientes propiedades: Interna El producto es una buena operación: el producto de fracciones algebraicas es, según la definición, otra fracción algebraica. El producto de fracciones algebraicas es, en sentido estricto, una operación. Asociativa

P Q

Conmutativa

R T S U

=

P R Q S

T P R T ; 8 ; ; 2 R(x) U Q S U

P R R P P R = ; 8 ; 2 R(x) Q S S Q Q S

P E E P P E P = 0 2 R(x); 9 0 2 R(x) tal que = . Evidentemente, la 0 Q E Q E E Q Q 1 E fracción 0 es la fracción unidad, es decir, la fracción = 1. E 1

Existencia de elemento neutro 8

Existencia de elemento simétrico (inverso) 8 fácil probar que la fracción aludida es:

P P P0 P P0 P0 P 2 R(x); 6= 0; 9 0 2 R(x) tal que = 0 = 1. Es 0 Q Q Q Q Q Q Q

P0 (x) Q(x) 1 = = 0 P(x) Q (x) P(x) Q(x) y se la denomina fracción inversa de la fracción Distributiva

P Q

R T + S U

=

P(x) . Q(x)

P R P T P R T + ; 8 ; ; 2 R(x): Q S Q U Q S U

Todas las propiedades estudiadas hasta ahora, confieren a R(x) de una estructura algebraica de gran importancia: es un cuerpo conmutativo.

5

3.4

División (Cociente)

Dadas dos fracciones algebraicas

P(x) R(x) ; 2 R(x), se define su cociente como una nueva fracción algebraica Q(x) S(x)

dada por: P(x) R(x) P(x)S(x) : = : Q(x) S(x) Q(x)R(x) Observemos que el cociente de fracciones algebraicas podría haberse definido por: P(x) R(x) P(x) S(x) : = ; Q(x) S(x) Q(x) R(x) S(x) siendo R(x) la fracción inversa de la fracción R(x) S(x) : Por otra parte, recordemos que el cociente de fracciones algebraicas puede representarse, a su vez, en notación fraccionaria, en cuyo caso se define:

P(x) R(x) : = Q(x) S(x)

P(x) Q(x) R(x) S(x)

P(x)S(x) ; Q(x)R(x)

=

por lo que también podemos aplicar aquella regla mnemotécnica utilizada en las fracciones con números enteros: el cociente de fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica, en donde el numerador es el producto de los extremos, y el denominador es el producto de los medios. Por último, decir que la división de fracciones algebraicas no posee propiedades relevantes que merezcan un análisis detenido.

4

Valor verdadero de una fracción algebraica

De…nición 4 P(x) Sea Q(x) una fracción algebraica con coeficientes reales, y sea a 2 R: Se define el valor verdadero de P(a) Q(a) ;

cuando x = a, al valor real, si existe,

teniendo en cuenta que si simultáneamente es P(a) = Q(a) = 0;

entonces el valor verdadero es el número real, si existe, de la fracción

P(x) Q(x)

P(x) Q(x) :

b P(a) b ; Q(a)

donde

b P(x) b Q(x)

es la fracción irreducible (o canónica)

La definición anterior muestra la existencia de casos en los que a priori no es posible obtener valores P(x) numéricos (el valor en el que se evalúa la expresión Q(x) es simultáneamente raíz de los polinomios P(x) y Q(x)). Veamos algunos ejemplos de cómo obtener el valor verdadero. Ejemplo 7 Dada la fracción F(x) =

x2 2x+1 ; x2 3x+2

Observemos que F(0) =

obtener F(0), F(1) y F(2).

02 2 0+1 02 3 0+2

= 21 : Por otra parte,

12 2 1 + 1 0 = : 12 3 1 + 2 0 Como se ha visto en la definición, deberemos calcular el verdadero valor a partir de la fracción irreducible de F(x): Dejamos al lector los detalles de la descomposición factorial de los polinomios intervinientes. Es fácil comprobar que (x 1)2 x 1 F(x) = = ; (x 1)(x 2) x 2 de modo que el valor de F(1) será: 1 1 0 F(1) = = = 0: 1 2 1 F(1) =

Para finalizar, observemos que F(2) = cuando x = 2 no existe.

22 2 2+1 22 3 2+2

= 01 ; por lo que hemos de razonar que el verdadero valor de F

6