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TEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

2.1. Repaso de polinomios - Expresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios 2.2. Identidades notables - Cuadrado de una suma y de una diferencia - Cubo de una suma y de una diferencia - Diferencia de cuadrados 2.3. Factorización de polinomios - Regla de Ruffini - Teorema del resto - Raíces de un polinomio. Factorización 2.4 Fracciones algebraicas - Definición de fracción algebraica - Simplificación - Operaciones con fracciones algebraicas.

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2.1. Repaso de polinomios. Recordemos que una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados entre sí por las operaciones matemáticas. Los números que aparecen son los coeficientes y a las letras se les llama variables. Por ejemplo, son expresiones algebraicas 3x²y, 45ab³, 2m+3, 4(x-1)+7x²,… Si una expresión algebraica está formada solo por el producto de un número por una o varias letras se llama monomio. En este caso el coeficiente es el número que aparece y la parte literal está formada por las variables. Por ejemplo, las expresiones algebraicas 3x²y, 45ab³ son monomios, pero las expresiones 2m+3, 4(x-1)+7x² no lo son. En 3x²y, el coeficiente es 3 y la parte literal es x²y. Es un monomio de grado 3 (suma de exponentes de la parte literal) y 45ab³ será por tanto de grado 4. Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Los monomios 2x²z y 4x²z son semejantes, pero no lo son 2x²z y 4xz². Para sumar dos monomios semejantes se deja la misma parte literal y se suman las partes numéricas. Si no son semejantes no se pueden sumar. 2x²z³ + 4x²z³ = 6x²z³. 2x²y+5xy³ no se pueden sumar. El resultado de multiplicar dos monomios es otro monomio obtenido multiplicando sus coeficientes y sus partes literales, respectivamente. 2x²z³ · 4xz² = 8x³z5. 3x·2x²·4x² = 24x5. 1.

Completa la siguiente tabla:

Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

Valor numérico para: a = -1, b = 3, c= -2 x = 1/2, y = -2 x = 1/2, y = -2

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios. Cada uno de los monomios que aparecen se llama término del polinomio, el grado del

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polinomio es el mayor de los grados de los monomios y el coeficiente que aparece aislado (sin estar multiplicado por ninguna variable) se llama término independiente.

Ej. El polinomio 3x³ + 4x² - 5x + 7 está formado por 4 términos y su grado es 3. Su término independiente es 7 y su término principal es 3x³

2.

Completa la siguiente tabla:

Polinomio

Coeficiente

Término

Coeficiente de

Principal

independiente

grado 3

Grado

Valor numérico del polinomio para:

2x6  5x3  x2  2x 1

X = -1

16x4  x3  x2  2x

X=2

5  2x  x 2  x8

X = -2

X=3

X = -2

Para sumar ( restar) dos polinomios se suman (o se restan) sus términos semejantes. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los términos del otro y luego se agrupan los monomios semejantes obtenidos.

3.

Considera los polinomios A = 5x2 + 2x - 9, B = - 3x3 + 4x2 + 6x - 7 y C = 6x3 + 4x2 – x + 7. a) Indica el grado, el coeficiente principal y término independiente de A. b) Calcula el valor numérico del polinomio B para x=0, x=1, x=-1 c) Calcula A + B, 2B - C, A – B - C y C – A + B.

4.

Dados los polinomios A = 5x2 - 2x + 4, B = 3x4 + 5x3 - 4x2 + 2x - 2 y C = x3 - 2x2 - x. a) Indica el grado, el coeficiente principal y término independiente de C. b) Calcula el valor numérico del polinomio C para x=0, x=1 x=2, x=-2 x=-10. c) Calcula A - B+C, B -2 A y C – A - B.

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5.

Calcula: 



d (5x³+x²-2x-1) · x  5x

b) (x  4 · 2x  3x  2x  6 



e) x  3 · x  2x  3x  5

c) x x · x  2x  3x  5 



f)  x - x  3 · 3x  2x  6

a) x 5 · x  2x  3 2

3

3

2

6.

2

3

2

4

2

2

3

2

2

2

3

2

Dados los polinomios P(x) = 5x + 2x – 6 , Q(x) = x – 2x – 8 y R(x) = 3x + 2 calcula: 2

b) P(x) – [Q(x) − R (x)]

a) P(x) +Q(x)·R(x)

Para dividir dos polinomios debemos tener en cuenta: a) En el dividendo se dejan huecos por los términos que faltan. b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor. c) Se multiplica el término obtenido en el apartado anterior por el divisor y se le resta al dividendo. d) Se repiten los pasos anteriores mientras el resto parcial sea de grado mayor o igual que el divisor.

Ej:

Veamos cómo se hace la división de 6x4+9x²+7x+40 entre 2x²-4x+5: 6x4

+9x² + 7x

40

2x² - 4x + 5

-6x4 + 12x3 -15x2

3x2 + 6x + 9

12x3 - 6x2 + 7x + 40 -12x3 + 24x2 -30x 18x2 -23x

+ 40

-18x2 +36x - 45 13x - 5

7.

Divide los siguientes polinomios, e indica el cociente y el resto :

   b) x  3x  5x  10 : x  3 c)  12x  18x  8x  27x  6 :  6x  3x  2 d)  5x  15x  8x  33x  15x : 5x  3x  e) 3x  2x  3x  x  5 :  x  3 a) 4x 3  2x 2  6x  12 : x 2  3x  4 3

2

4

3

6

4

2

5

3

4

2

3

2

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2

2

3

2

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f) g) h)

8.

Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y realiza la prueba de la división para comprobar el resultado obtenido.

 b) 2x

  5 : x

  x  2 .

a) 3x 4  7x3  6x  7 : 3x 2  x  1 4

 x 3  2x 2

2

9. Saca factor común en las siguientes expresiones: a) b) c) d) e)

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2.2. Identidades notables

Cuadrado de una suma Cuadrado de una resta Suma por diferencia Cubo de una suma Cubo de una resta

1. Desarrolla: a)

h)

o)

b)

i)

p)

c)

j)

q)

d)

k)

r)

e)

l)

s)

f)

m)

t)

g)

n)

u)

2. Escribe como cuadrado de un binomio o como suma por diferencia:



a) x2  4x  4

2 g) x  2x  1

2 m) 9  16x

b) 25  16x 2

4 2 h) 4x  4x  1

4 2 n) 4x  4x  1

c) x 2  2x  1

2 i) 36x 

d) x 2  6x  9

2 4 j) 9  12x  4x

4 o) 4x  9

e)

k)

p)

f)

l)

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9 4

2 ñ) 9x  6x  1

q)

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3. Completa las siguientes expresiones para conseguir cuadrados de binomios: a)

d)

b)

e)

c)

f)

4. Completa las siguientes igualdades: a) (x + ___ )² = x² + ___ + 9 b) ( ___ - ___ )² = ___ + x² - 4x c) ( 2x - ___ )2 = ____+ 16 - ______ d) ( 3 + __ )3 = ____ + 27x + _____ + ____ e) (x - ___ )3 = _____ - 12x2 + ______ -____

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2.3. Factorización de polinomios. Recordemos con un ejemplo cómo se usa la regla de Ruffini. Para dividir se hace lo siguiente: 7

3 7

-11

0

-94

7

21

30

90

-12

10

30

-4

-5

Con lo que el cociente es:

y el resto es -5

1. Calcula, el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:

  b) x  x  5x  x  6 : x  2 c) 2x  5x  6 : x  5 d) 3x  5x  33x  23x  12: x  1 e) 3x  5x  33x  23x  12 : x  4 f) 7x  11x  94x  7 : x  3 g) x  2x  x  2 : x  1 h)  x  3x  2x  1 : x  1 i) x  3x  2x: x  2 j) 7x  11x  94x  7: x  2 a) 2x 3  x 2  5x  3 : x  2 4

3

2

2

4

3

4

3

4

2

2

3

5

4

4

4

2

2

4

3

Teorema del resto. El resto de dividir un polinomio P(x) entre x-a, es el valor numérico de P(x) para x = a, es decir, R=P(a)





2. Comprueba el teorema del resto con P( x)  2x 3  x 2  5x  3 y x  2 3. Calcula razonadamente y sin hacer la división, el resto de las divisiones:





a) 2x 3  8x 2  31x  42 : x  6





b) 3x 3  8x 2  3x : x  1 4º ESO. Matemáticas B Tema 2. Polinomios y fracciones algebraicas

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 d) x



c) x 5  2x 4  x  2 : x  1

4.

4



 3x 2  2x : x  2

Indica razonadamente y sin hacer la división, si las divisiones siguientes son exactas:

 b)  x

  2x  1 : x  1

a) x 5  x 4  x 3  2x 2 : x  2

5.

4

 3x 2

Halla en cada caso el valor que debe tomar m para que se cumplan las condiciones que se especifican:





a) La división de 2x 2  mx  15 entre x+5 sea exacta.

 c) La división 7x



b) La división 4x 3  mx2  6 : x  2 tenga por resto -2 4



d) La división de x 4  mx2 e) El polinomio

6.

  2x  1 entre x+3 sea exacta.

 11x 3  mx  7 : x  3 tenga por resto -5

sea divisible por

Aplica el teorema del resto para resolver las siguientes cuestiones: a) El resto de dividir P( x)  x3  x 2  kx  1 por x 1 es 2. Halla el valor de k. b) Halla K para que Q( x)  x 4  x3  kx2  10x  3 sea divisible por x+3. c) Averigua los valores de a y b sabiendo que el polinomio x 4  ax2  b es divisible por x  1 y que el resto de dividirlo entre x  2 es 6.

Un número “a” se dice que es una raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0. Si x = a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible entre x-a, o lo que es lo mismo el resto de la división P(x) : (x-a) es cero. Un polinomio de grano n puede tener a lo sumo n raíces reales. Además sus raíces enteras del polinomio son siempre divisores de su término independiente.

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7.

Dado el polinomio P( x)  x 3  3x 2  5x  1 a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo? b) ¿Cuántas raíces enteras puede tener como máximo? c) ¿Quiénes son las posibles raíces enteras? d) ¿Cuáles son sus raíces enteras?

8.

Dado el polinomio P(x)  2x 4  x 2  4 a) Indica sus posibles raíces enteras. b) Calcula sus raíces enteras.

9.

Justifica, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todo polinomio de grado 6 tiene 6 raíces reales. b) 1 es raíz entera del polinomio P( x)  x 2  3 porque es divisor del término independiente. c) 5 raíz del polinomio P(x)  2x 4  x 2  41

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible.

15. Factoriza los polinomios y

16. Factoriza los polinomios: a) P( x)  2x 4  4x 3  6x 2  8x  4 b) P( x)  x 5  x 4  x 3  2x 2 . c) P( x)  x 3  x 2  2x . d) P( x)  x 4  3x 2  2x e) P( x)  2x 5  9x 4  9x 3  x 2  3x f) Q( x)  x 4  2x 3  2x 2  2x  1 g) P( x)  x 4  4x 3  x 2  20x  20 h) Q( x)  x 3  3x 2  5x  15 i) R( x)  x 4  3x 2  2x j) S ( x)  x 5  2x 4  5x 3  6x 2

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,

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17. Saca factor común y usa las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a) b) c)

d) e) f)

18. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) P(x) = x 2  x  12 y Q(x) = x 2  9 b) P(x) = x 2  5x  4 y Q(x) = x 3  5x2  4x c) P(x) = x 2  2x  1, Q(x) = x 2 1 y R(x) = x 3  1 d) P(x) = x3 1 , Q(x) = x 2 1 y R(x) = x 2  x e) P(x)= y Q(x) = f) P(x) = , Q(x) =

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2.4. Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios Son ejemplos de fracciones algebraicas:

3 x2 ; x 1 x 1 2

y

2x  1 x  2x  1 2

Igual que con las fracciones numéricas, éstas también se pueden simplificas hasta obtener una fracción irreducible. 1. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x 2  x  12 x 2  5x  6 a) b) x 2  8x  15 x2  9

c)

2x 3  17x  3 3x 2  5x - 12

d)

x4 2 x  x - 12

e)

2x  5 2 2x  x 15

f)

x 2  25 x 2  10x  25

g)

x2 1 x4 1

h)

9x 2  4 3x  2

c)

x 2  2x x 2  5x  6

2. Averigua si los siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes: a) x  2

x 3 b)

x 2 x 5

x 2  2x x 2  3x

c)

y

x2  x x 3  5x

d)

y

x2 x 2  2x

y

x2 x 5

x 2  2x  15 x 2  50x  25

y

1 x

3. Calcula:

2 x2 a) + x2 x 1 2 2x b) + x x2 2x  1 2 c) - 3 2 x x 2 2 x d) : x  2 x 1 2 2x e) · x x2 2x  1 2 f) : 3 x2 x

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2 9 + x2 xx  2 x 1 2 h) 2 + - 2 x  4 x  2 x  3x  2 3 x2 2x  1 i) 2 + + 2 x  1 x  1 x  2x  1 9x x 2  1 j) . · 3x  3 3x 2 x  3 x 2  3x k) · x x2 9 4x 2x - 1 l) : 3 2 x  2 x x  2x 2 g)

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4. Opera y simplifica:



3x 3  1  : 2 x  2  x  2  x  2

c)  x   :  x  ·x  1

 3 x   1 1  :   3   x 3 x

d) ·

a) 

b) 

 

1  x 

1  x 

2 1 1  :  x  x x 1 

5. Opera y simplifica: a)

x 1 3 x2   2 x 1 x 1 x 1

c) 1 

b)

2x  3 x  1 x  2   x2  9 x  3 x  3

d)  

 

1 x

x  1 x 2 1 · x  x3

1  3 : x  3 x2

6. Simplifica:

2x 2 y  xy 2 a) 10x  5 y

3a 2 b 2  6ab3 b) 3a 3b  6a 2 b 2

7. Opera y simplifica:

 x  y x  y  x2  y2 ·   x  y x  y  2xy

a) 

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

b) 1 



x y  x y x y :   x  y   x  y x  y 