Dyskretne modele populacji

Michal Machtel Adam Soboczy´ nski

19 stycznia 2007

– Typeset by FoilTEX –

Dyskretne modele populacji

[1]

Wstep ֒

Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w kt´ orych nie ma zjawiska zachodzenia na siebie pokole´ n. Bedziemy anali֒ zowa´c modele opisywane przez uklady dynamiczne postaci: xn+1 = f (xn) Sztuka modelowania polega na umiejetnym dobraniu f(x) tak, aby powy˙zsze ֒ r´ ownanie dobrze oddawalo obserwowane fakty.

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[2]

Przyklady wa˙zniejszych modeli

• liniowy

xn+1 = rxn ⇒ xn = r nx0

• liniowy logistyczny xn+1 = xn[1 + r((K − xn)/K)]

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[3]

Przyklady wa˙zniejszych modeli cd..

• eksponencjalny logistyczny xn+1 = xn exp[r((K − xn)/K)] • z op´ o´znieniem(delay model) xn+1 = f (xn, xn−T )

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[4]

Prosty model rozwoju populacji

Na wstepie rozwa˙zymy bardzo uog´olniony model, kt´ory mo˙zna za֒ stosowa´c przy charakeryzacji rozwoju populacji prymitywnych zwierz¸at. rozmna˙zaja sie raz w roku. Znamy Zakladamy, ze nasze zwierzeta ֒ ´sredni¸a ilo´s´c potomstwa przypadaj¸acego na samice֒ (s) , oraz wsp´olczynnik przy˙zywalno´sci zwierz¸at przez rok z˙ ycia (b) . Zakladamy, z˙ e ilo´s´c samc´ow i samic jest jednakowa, wiec zemy w naszym modelu rozwa˙za´c tylko ֒ mo˙ samice. W´ owczas w n+1 - wszym roku z˙ ycia naszej populacji jej liczbe֒ bedzie ֒ mo˙zna okre´sli´c r´ ownaniem: xn+1 = s(1 + b)xn

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[5]

Prosty model rozwoju populacji ptak´ ow Poprzedni model opisywal przyrost populacji bardzo prostych gatunk´ow zwierz¸at kt´ ore caly czas mialy zdolno´s´c do reprodukcji. Niestety nie jest tak u ptak´ ow. Ptaki mo˙zemy podzieli´c na 3 grupy, ze wzgledu na ich rozw´oj: - opiekuj¸a sie nimi rodzice • piskleta ֒ • mlode ptaki - ju˙z nie opiekuj¸a sie nimi rodzice, ale nie maj¸a jeszcze zdolno´sci do reprodukcji • dorosle ptaki - s¸a to ptaki, kt´ore przetrwaly i maj¸a zdolno´s´c do rozmna˙zania – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[6]

Prosty model rozwoju populacji ptak´ ow

Przy wyznaczaniu liczebno´sci populacji musimy mie´c dane nastepuj¸ ace ֒ wska´zniki: • b - ´srednia ilo´s´c piskl¸at na doroslego osobnika • sc, sj , sa - wsp´ olczynniki prze˙zycia odpowiednio piskl¸at, mlodych i doroslych osobnik´ ow

Cn+1 = bAn Jn+1 = scCn An+1 = sj Jn + saAn – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[7]

Model rozwoju populacji ptak´ ow

Poprzednie modele mialy znacz¸ac¸a wade, z nie uwzglednia ly one ֒ gdy˙ ֒ maksymalnej pojemno´sci ´srodowiska. Moglo doj´s´c do takich sytuacji w kt´ orych wieloko´s´c naszej populacji d¸az˙ ylaby do niesko´ nczono´sci lub do zera, w zale˙znosci od naszych wsp´ olczynnik´ow. W naszym nowym modelu mamy warto´s´c K, kt´ora odpowiada za pojemno´s´c naszego ´srodowiska. W´owczas nasz model bedzie mial posta´c: Cn+1 = bAn Jn+1 = sc(1 − PKn )Cn An+1 = sj (1 − PKn )Jn + sa(1 − PKn )An

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[8]

Populacje o rozmiarze stalym po kilku pokoleniach Z punktu widzenia ukladow dynamicznych i stabilno´sci najbardziej interesuj¸a nas modele w kt´ orych bedzie mo˙zna przewidzie´c sytuacje populacji ֒ po n-latach. W takich modelach bedziemy szuka´c punkt´ ow stalych. Rozwa˙zmy nastepuj¸acy model: Cn+1 = 2An Jn+1 = 0.8Cn An An+1 = An(1 − 500 )Jn + 0.7An przy warunkach pocz¸atkowych: C0 = J0 = 0, A0 = 100

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[9]

Populacje o rozmiarze stalym po kilku pokoleniach cd..

Obliczamy uklad r´ owna´ n postaci: C = 2A J = 0.8C A A = A(1 − 500 )J + 0.7A i otrzymujemy punkty stale postaci: (0, 0, 0), (531, 425, 266).

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[10]

Model eksponencjalno - logistyczny Stabilno´s´c populacji w zale˙zno´sci od parametr´ow modelu jest wa˙znym zagadnieniem. Badania wplywu parametr´ow przeprowadza sie֒ m.in. przy okre´slaniu ogranicze´ n na polowy ryb, regulowaniu populacji drapie˙znik´ow i ofiar, lub te˙z kontroli szkodnik´ ow. Nawet proste modele mog¸a wykazywa´c do´s´c zr´ oz˙ nicowane zachowanie. Oto model Ricker’a: xt+1 = xt exp[r(1 − xt/K)], r > 0 Po przeskalowaniu przez pojemno´s´c ´srodowiska ut = xt/K uzyskujemy ut+1 = ut exp[r(1 − ut)] R´ ownanie to jest zale˙zne od parametru r i od populacji pocz¸atkowej u0 – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[11]

Szukanie ekwilibri´ ow

Szukamy stan´ ow r´ ownowagi, czyli ekwilibri´ow (punkt´ow stalych) u = u exp[r(1 − u)] Mamy wiec ֒ u = 0. Dla u > 0 1 = exp[r(1 − u)] ⇒ r(1 − u) = 0 ⇒ u = 1 S¸a to wiec ֒ jedyne ekwilibria. 0 jest repelerem, bo dla ut ∈ (0, 1) r(1 − ut) > 0 ⇒ er(1−ut) > 1 ⇒ ut+1 > ut – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[12]

Kryterium r´ oz˙ niczkowe Obliczamy pochodn¸a funkcji f (u) = uer(1−u) f ′(u) = er(1−u) + uer(1−u)(−r) = er(1−u)(1 − ur) Pamietaj¸ ac o tym,˙ze r > 0, wyliczamy ֒ • u=0 • u=1

| f ′(0) |=| er (1 − 0) |= er > 1 | f ′(1) |=| e0(1 − r) |=| 1 − r |

Zatem mamy stabilno´s´c dla r ∈ (0, 2). Co sie֒ dzieje, gdy r przekracza 2? – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[13]

Badamy zachowanie modelu

Badamy zachowanie dla r r´ownego odpowiednio 0.5, 1.9, 2.3, 2.6 i 3 przy K = 200. Na ostatnim wykresie mo˙zna zobaczy´c, kiedy pojawia sie֒ oscylacja i chaos.

Po lewej stabilny wykres dla r = 0.5, po prawej, przy r bliskim 2, mo˙zna zaobserwowa´c zanikaj¸ac¸a oscylacje֒ wok´ol K.

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[14]

Badamy zachowanie modelu cd..

Przy r > 2 populacja oscyluje wok´ol K, po przekroczeniu 3 na dolnym wykresie wida´c chaos.

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[15]

Badamy zachowanie modelu cd..

Wykres pokazuj¸acy zachowanie ostatnich 75 populacji z 200. – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[16]

Model dyskretny z op´ o´ znieniem

Model eksponencjalno - logistyczny z op´o´znieniem T xt+1 = xt exp[r(1 − xt−T /K)] Ustalamy T = 1. Po przeskalowaniu przez K otrzymujemy: ut+1 = ut exp[r(1 − ut−1)] Podobnie jak w poprzednim modelu, mamy ekwilibria w u = 0 i u = 1. Je´sli ut−1, ut < 1, to ut+1 > ut, czyli 0 nadal jest repelerem. Nie mo˙zemy jednak w prosty spos´ ob zastosowa´c kryterium r´oz˙ niczkowego do zbadania stabilno´sci u = 1. – Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[17]

Model dyskretny z op´ o´ znieniem - linearyzacja

Skorzystamy z innej metody na sprawdzenie stabilno´sci u = 1: linearyzacji. Zapisujemy ut = 1 + vt, vt ≪ 1 i otrzymujemy 1 + vt+1 = 1 + vt exp[r(−vt−1] ≈ (1 + vt)(1 − rvt−1) ≈ 1 + vt − vt−1 St¸ad mamy vt+1 − vt + rvt−1 = 0 o r´ownaniu charakterystycznym postaci λ2 − λ + r = 0 . Mamy ∆ = 1 − 4r i jeden lub√dwa pierwiastki: λ1, λ2. Dla r ≤ 14 pierwiastki s¸a rzeczywiste: λ1 , λ2 = [1± 21−4r] < 1 . Zatem vt = Aλt1 + Bλt2, lim vt = 0 t→∞

Przy r =

1 4

mamy vt = (A + B ∗ t)( 12 )t. Je´sli r > 14 , to λ1, λ2 ∈ C

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[18]

Model dyskretny z op´ o´ znieniem - linearyzacja cd.. √ Niech ρ = r, θ = tan−1(4r − 1)1/2. W´owczas λ1, λ2 = ρe±iθ . Dodatkowo λ1λ2 =| λ1 |2= ρ2 = r, wiec ֒ dla r < 1 mamy | λ1 λ2 |< 1. vt = Aλt1 + Bλt2 = Aλt1 + Bλ∗t 1 ∗ Poniewa˙z vt ∈ R, wiec B = A , sk¸ad otrzymujemy ֒

vt = 2 | A | ρt cos(tθ + γ) √ gdzie γ = arg A. Przy r → 1 θ → tan ( 3) = Π/3. Gdy r > 1, vt ro´snie wraz z t. Po cos(tΠ/3 + γ) o okresie 6 spodziewamy sie֒ 6-cyklowej okresowo´sci. Przy du˙zym r pojawia sie֒ chaos. −1

– Typeset by FoilTEX –

LATEX

Dyskretne modele populacji

[19]

Dodatki:

Programy napisane w Maple • modeledyskretne.mws

– Typeset by FoilTEX –

LATEX