Model decyzyjny – sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne – decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna – decyzja dopuszczalna realizująca w sposób możliwie najlepszy cel, który chce osiągnąć jednostka podejmująca decyzję. Ze względu na rolę w procesie podejmowania decyzji w matematycznym modelu decyzyjnym wyróżniamy 2 rodzaje decyzji: 1. zmienne decyzyjne – wielkości te w modelu należy wyznaczyć; x1, x2,..., xn. 2. parametry – wielkości niezależne od jednostki podejmującej decyzję. Model deterministyczny – model decyzyjny przy założeniu, że wszystkie parametry są stałe i zmienne. Problem wyboru optymalnej decyzji – za pomocą modelu matematycznego polegać będzie na wyznaczeniu takich punktów x1, x2,..., xn ze zbioru decyzji dopuszczalnych D, dla których funkcja celu f(x1, x2,..., xn) przyjmuje wartość ekstremalną (min lub max). Matematyczne modele decyzyjne możemy podzielić na: -

modele liniowe

-

modele nieliniowe.

LINIOWY MODEL DECYZYJNY Zadanie programowania liniowego polega na tym, żeby ze zbioru rozwiązań układu m-równań a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... +a2n xn = b2 ............................................... am1 x1 + am2 x2 + ... +amn xn = bm spełniających warunki nieujemności x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0 wyznaczyć takie rozwiązanie, przy którym funkcja celu osiąga wartość ekstremalną. Z (x) = cT x Ax = b x≥0 Układ równań ma wiele rozwiązań, bo n > m. Przyjmujemy, że n – m = 0 Rozwiązywanie programów liniowych sprowadza się do przeglądu wielu rozwiązań układów równań przy warunku ekstremalnym. Metody rozwiązywania układów równań: -

graficzna (geometryczna)

-

Simpleks

Programy liniowe postaci standardowej możemy zapisać: Max Z (x) = cT x

lub

min Z (x) = cT x

Ax ≤ b

Ax ≥ b

x≥0

x≥0

A – warunki ograniczające Posługując się metodą Simpleks przeglądamy rozwiązania układów równań. Zmienne swobodne – służą do przejścia od postaci standardowej do postaci kanonicznej; mają interpretację ekonomiczną, służą do likwidacji znaków nierówności. Warunki ograniczające: Układ równań

a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... +a2n xn = b2 ............................................... am1 x1 + am2 x2 + ... +amn xn = bm można zapisać wektorowo:

a1 x1 + a2 x2 + ... +an xn = b. Układ wektorów nazywamy układem niezależnym, a wektory d liniowo niezależnymi jeśli równość: d1 a1 + d2 a2 + ... +dn an = 0 jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki dj = 0. Bazą układu wektorów, który jest rzędu m, nazywamy każdy jego podzbiór m-wektorów liniowo niezależnych. Zmienne bazowe – zmienne stojące przy wektorach tworzących bazę; jest ich (n – m). Pozostałe (n – m) to zmienne niebazowe (resztowe). Warunki ograniczające postaci kanonicznej Ax = b [B:R] xB = b xR B xB + R xR = b xR = 0 B xB = b (lewostronnie pomnożymy przez B-1) B-1 BxB = B bB Wygodnie jest żeby macierz B była macierzą jednostkową, bo tworzy ona układ wektorów

liniowych niezależnych, wyznacznik = 1. B=I xB = bB z (x) = CT x = CT xB = CTB xB + CTR xR = CTB bB Zmienne sztuczne –wprowadzamy je gdy w macierzy A warunków ograniczających nie ma macierzy jednostkowej o wymiarach m; nie mają interpretacji ekonomicznej, nie mogą znaleźć się w rozwiązaniu optymalnym. Metoda Simpleks – uniwersalna metoda rozwiązywania programów liniowych; to ukierunkowany, systematyczny przegląd rozwiązań bazowych. Twierdzenie 1. Jeżeli istnieje rozwiązanie optymalne programu liniowego to jest ono osiągane albo w jednym punkcie tzw. wierzchołkowym zbioru D rozwiązań dopuszczalnych albo w nieskończenie wielu punktach zbioru D tworzących jego krawędź lub ścianę łączącą wierzchołki zbioru D. Twierdzenie 2. Jeżeli xopt jest dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym programu liniowego to xopt jest wierzchołkiem zbioru D rozwiązań dopuszczalnych tego programu. Wniosek: skoro rozwiązanie optymalne jest wierzchołkiem (tw 1) a bazowe jest wierzchołkiem (tw 2) to w metodzie Simpleks wystarczy ograniczyć się do przeglądu dopuszczalnych rozwiązań bazowych. Istota metody Simpleks polega na badaniu rozwiązań bazowych programu liniowego postaci kanonicznej w taki sposób, że: 1. znajdujemy rozwiązanie wyjściowe, bazowe programu, 2. mając rozwiązanie bazowe przekonujemy się czy jest ono optymalne, 3. jeżeli dane rozwiązanie bazowe nie jest optymalne konstruujemy następne rozwiązanie bazowe lepsze (lub przynajmniej nie gorsze od poprzedniego), z którym postępujemy tak samo jak z rozwiązaniem wyjściowym. Wyjściowe rozwiązanie bazowe programu: xR = 0 xB = bB - wyraz wolny w danym rozwiązaniu bazowym z(xB) = cTB bB

Związek między wartościami zmiennych bazowych i nie bazowych: Załóżmy, że zmienne nie bazowe mogą przyjmować pewne dowolne wartości. Warunki ograniczające: Ax = b BxB + RxR = b B=I I xB + RB xR = bB Z równania xB = bB - RB xR wynika, że istnieje bezpośredni związek między wartościami zmiennych bazowych i nie bazowych. Ten związek zależy od współczynników przy zmiennych nie bazowych, czyli od macierzy R. Te współczynniki określają o ile zmienią się wartości zmiennych bazowych po wprowadzeniu do następnego rozwiązania bazowego zmiennej nie bazowej. Zakładamy, że xR może przyjmować różne wartości. Z(x) = cTB xB + cTR xR = cT (bB - RB xR )+ cTR xR = cTB bB -cT RB xR + cTR xR = cTB bB + (cTR - cT RB ) xR = z(xB ) + (cTR - zTB ) xR Dotychczasową wartość funkcji celu z(xB ) można zmienić przechodząc do innego rozwiązania bazowego przez wprowadzenie do niego zmiennej dotąd nie bazowej. Taką zmianę robimy tylko wtedy gdy to się opłaca, tzn. gdy daje wzrost przy max funkcji celu, lub spadek przy min f.celu. z(xB ) + (cTR - zTB ) xR

⇒ z(x) = z(xB ) + Σ(cj – zjB )xj

Wielkość (cj – zjB ) wyraża zmianę w wartości celu z(x) względem dotychczasowej z(xB ) wywołaną wprowadzeniem zmiennej nie bazowej xj. (cj – zjB ) to kryterium optymalności, informuje czy dane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli przy max z(x) wszystkie (cj – zjB ) są niedodatnie tzn. że posiadanego rozwiązania nie można poprawić. Kryterium wejścia (optymalności) informuje, którą ze zmiennych nie bazowych należy wprowadzić do następnego rozwiązania bazowego. Wprowadzamy tę zmienną dla której wartość (cj – zjB ) jest największa dodatnia dla max z(x). Kryterium wejścia w metodzie Simpleks – to zasada wg. której usuwamy z rozwiązania bazowego jedną ze zmiennych nie bazowych aby zrobić miejsce dla wprowadzanej zmiennej dotąd nie bazowej xj. xB = bB - RB xR a11 ... a1k … a1s RB = ai1 … aik … ais am1 … amk … ams

j=1,...,k,....,s.

Zmiana xk na miejsce xi powoduje także spadek wartości innych zmiennych pozostających w bazie. Ten spadek nie może być zbyt duży – rozwiązanie musi być dopuszczalne (zmienne muszą być nieujemne). Spadek wartości wyniesie aik xk.

Jeżeli xi = bi to bi - aik xk ≥ 0, stąd xk ≤ bi / aik , aik > 0. Jeżeli jest kilka aik dodatnich, kilka zmiennych kandydujących do wyprowadzenia z bazy to musimy dobrać taką wartość zmiennej wprowadzanej xk aby zachować warunek xk ≤ bi / aik dla i należącego do bazy i∈ B. Dlatego wprowadzamy taką zmienną dla której zachodzi min bi / aik (to jest kryterium wyjścia). Analiza pooptymalizacyjna – to analiza stabilności rozwiązania optymalnego. W ramach analizy pooptymalizacyjnej można badać wiele aspektów zmiany postaci modelu. max z(x) = cT x Ax = b x≥0

dla którego wyznaczono wektor xo = xo B 0

Warunki: 1. optymalności

c – zB ≤ 0

2. dopuszczalności xo B = B-1 b ≥ 0 Współczynniki funkcji celu Z postaci warunków optymalności i dopuszczalności wynika, że zmiana współczynników funkcji celu z c na c’ nie narusza dopuszczalności rozwiązania x opt do sprawdzenia pozostaje jedynie optymalność rozwiązania xo. Należy rozpatrzyć: 1. zmianie ulega współczynnik cj przy zmiennej nie bazowej.

cj na cj′

j∉B

Wynika stąd, że dla zbadania optymalności xo wystarczy obliczyć tylko wskaźnik optymalności dla j – tej zmiennej . Jeżeli c’j - zjB ≤ 0 to xo będzie rozwiązaniem optymalnym RO Jeżeli c’j - zjB > 0 to xo będzie rozwiązaniem dopuszczalnym RD. 2. Zmianie ulega współczynnik cj przy zmiennej bazowej. zmianie ulega wektor cB, żeby sprawdzić warunek optymalności należy obliczyć od nowa wszystkie składniki optymalności dla zmiennych nie bazowych. c’j - zjB ≤ 0 to xo będzie rozwiązaniem optymalnym RO c’j - zjB > 0 to xo będzie rozwiązaniem dopuszczalnym RD Innym ważnym zagadnieniem analizy pooptymalizacyjnej jest wyznaczanie zakresu zmienności

wybranego współczynnika cj, przy którym aktualne rozwiązanie optymalne nie zmieni się. Należy rozwiązać nierówność c’j - zjB ≤ 0 Wyrazy wolne b ⇒ b’ Warunek dopuszczalności: należy dla wektora b’ obliczyć wartość zmiennych bazowych. Obliczamy x’B = B-1 b’ i sprawdzić czy spełniony jest warunek dopuszczalności, a więc czy zachodzi B-1 b ≥ 0. W celu sprawdzenia tego warunku trzeba znać postać macierzy B-1, można ją odczytać z ostatniej tablicy simpleksowej. Macierz tę tworzą kolumny odpowiadające tym zmiennym, które w pierwszej iteracji były zmiennymi bazowymi. Przy wyznaczaniu zakresu zmienności dowolnego wyrazu wolnego bi wektora b dążymy aby rozwiązanie optymalne nie zmieniło swojej struktury bazowej. Celem wyznaczenia zakresu zmienności dla bi należy rozwiązać nierówność B-1 b’ ≥ 0. Dualizm w programowaniu liniowym. Program liniowy max z(x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cS xS a11 x1 + a12 x2 + ... + a1S xS ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2S xS ≤ b2 .......................... am1 x1 + am2 x2 + ... + amS xS ≤ bn x1 , x2 , …, xS ≥ 0 z(x) = cT x Ax ≤ b x≥0 jest programem pierwotnym. Każdemu takiemu programowi można jednoznacznie przyporządkować pewien program zwany programem dualnym. Jeżeli program pierwotny - max, to program dualny - min min z(y) = b1 y1 + b2 y2 + ... + bS yS a11 y1 + a21 y2 + ... + am1 ym ≥ c1 a12 y1 + a22 y2 + ... + am2 ym ≥ c2 .......................... a1S y1 + a2S y2 + ... + amS ym ≥ cS y1 , y2 , …, ym ≥ 0

min z(y) = bT y AT y ≥ c y≥0 Twierdzenia o dualizmie. Założenie: oba programy są niesprzeczne. 1. Przy dowolnych rozwiązaniach dopuszczalnych programu pierwotnego i dualnego zachodzi nierówność CT X ≤ bT y tzn. wartość minimalizowanej funkcji celu zawsze jest nie mniejsza od wartości maksymalizowanej funkcji celu. 2. Jeśli jedno z zagadnień dualnych programowania liniowego posiada rozwiązanie optymalne xo, to rozwiązanie optymalne yo posiada również jego zagadnienie dualne a przy tym nierówność CT Xo ≤ bT yo jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby rozwiązania xo i yo były rozwiązaniami optymalnymi swoich zagadnień. a11 x1 + a12 x2 + ... + a1S xS + xS+1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2S xS

= b1 + xS+2

= b2

.......................... am1 x1 + am2 x2 + ... + amS xS

+ xS+m = bn

x1 , x2 , …, xS ≥ 0 m równań s+m wszystkich równań s zmiennych decyzyjnych m zmiennych swobodnych a11 y1 + a21 y2 + ... + am1 ym - ym+1 a12 y1 + a22 y2 + ... + am2 ym

= c1 - ym+2 = c2

.......................... a1S y1 + a2S y2 + ... + amS ym y1 , y2 , …, ym ≥ 0 s równań (warunków ograniczających) m+s wszystkich zmiennych

- ym+S = cS

m zmiennych decyzyjnych s zmiennych swobodnych (tyle ile w pierwotnym zmiennych swobodnych) 3. Jeżeli wektory xo i yo są rozwiązaniami optymalnymi swoich zagadnień to muszą zachodzić następujące związki xjo × yom+j = 0; xoS+i × yjo = 0. Zmienne x i y występujące we wzorach w tej samej parze nazywamy zmiennymi dualnymi sprzężonymi. Wniosek: jeżeli xjo ≥ 0 to yom+j musi się równać 0, co oznacza, że w zagadnieniu dualnym warunek j – ty jest spełniony jako równość przy rozwiązaniu yo. yio > 0 to xoS+i = 0 w programie pierwotnym warunek i – ty jest spełniony jako równość. 4. Jeśli wśród rozwiązań optymalnych programu pierwotnego nie ma rozwiązań, których liczba zmiennych przyjmujących wartości dodatnie jest mniejsza od liczby warunków spełnionych z równością to program dualny ma jedyne rozwiązanie optymalne yo a wartość i – tej zmiennej yio pokazuje jak wielki przyrost wartości funkcji celu w optymalnym rozwiązaniu programu pierwotnego przypada na wzrost wyrazu wolnego bi o jednostkę przy nie zmienionych pozostałych bk. Zagadnienia transportowe (metoda potencjału Dantzig) Szukamy macierzy a nie wektora zmiennych decyzyjnych. x32 –ładunek przewożony od 3 – go dostawcy do 2 – go odbiorcy Zadaniem transportowym nazywamy zadanie określenia optymalnego planu przewozu ładunków z danych punktów dostaw do danych punktów odbioru. Problem minimalizacji kosztów transportu. Znaleźć: macierz X x11 x12 … x1n X=

x21 x22 … x2n

xm1 xm2 … xmn Mając dane: c11 c12 … c1n C=

c21 c22 … c2n

cm1 cm2 … cmn

macierz kosztów Wektor podaży: a1 a=

a2

am oferta dostawcy m - tego Wektor popytu: b1 b=

b2

bn Obszar dopuszczalnych rozwiązań Dopuszczalnym planem przewozu nazywamy taką macierz przewozu X, której nieujemne elementy xij ≥ 0 spełniają następujące warunki: 1. Σxij = ai Σxij = bj 2. Σxij < ai

dostawcy wszystko oddają odbiorcom odbiorcy biorą ile chcą dostawcy nie oddają wszystkiego

Σxij = bj Optymalnym planem przewozu nazywamy taki dopuszczalny plan, który minimalizuje funkcję celu w postaci min z(x) =ΣΣcijxij Jeżeli suma Σai = Σbj mówimy, że mamy do czynienia z zagadnieniem transportowym zamkniętym. Jeżeli Σai > Σbi – zagadnienie transportowe otwarte, wprowadzamy je do zagadnienia trasportowego zamkniętego wprowadzając fikcyjnego odbiorcę. Rozwiązania bazowe dopuszczalne. Łączna ilość niewiadomych decyzyjnych = liczbie elementów macierzy X, czyli m×n Łączna liczba warunków ograniczających = m+n Spośród m+n równań każde jest kombinacją pozostałych, a z tego wynika, że tylko (m+n)- 1 równań jest liniowo niezależnych. A więc liczba zmiennych bazowych w dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniu bazowym równa jest (m+n – 1).

Metody otrzymywania wyjściowego rozwiązania bazowego: 1. m. kąta północno – zachodniego 2. m. minimum w wierszu (minimalnego elementu) 3. m. minimum w kolumnie 4. m. minimum w macierzy Metoda potencjałów – metoda otrzymywania rozwiązania optymalnego. Macierzą równoważną do macierzy kosztów C jest macierz C, której elementy spełniają równość: C ij = cij + ui + vj Ui, vj – potencjały dowolne,stałe Twierdzenie Rozwiązanie dopuszczalne x = [xij] zagadnienia transportowego minimalizuje funkcję celu Z(x) = ∑∑cij xij wtedy i tylko wtedy, gdy minimalizuje ono funkcję z (x) = ∑∑cij xij Zerową macierzą równoważną jest macierz CB w której cijB= 0 dla xij należących do rozwiązania bazowego. Zerową macierzą równoważną macierzy C względem zbioru bazowego b jest taka macierz CB =[ cijB] = [cij + ui + vj], której elementy spełniają układ równań: cij + ui + vj = 0, dla i, j є B Ponieważ jest to zawsze układ (m+n-1) równań (ilości zmiennych bazowych) z m+n niewiadomymi (ilość ui i vj) to jedną niewiadomą (potencjał) możemy wyznaczyć dowolnie. Interpretacja elementów zerowej macierzy równoważnej CB jest analogiczna do interpretacji kryterium optymalności w metodzie Simpleks. Model bilansowy. Przepływy międzywydziałowe. Modele bilansowe – są jednym z rodzajów modeli ekonomiczno – matematycznych wyrażających strukturę nakładów na produkcję i podział produkcji a także wartości nowo wytworzonych układów produkcyjnych. Równania bilansowe umożliwiają analizę powiązań między jednostkami produkcyjnymi uczestniczącymi w procesie wytwarzania oraz będącymi dla siebie dostawcami i odbiorcami surowców, półfabrykatów i dóbr inwestycyjnych. - W ujęciu ilościowym: Qi – produkcja globalna i-tego wydziału qii – produkt i-tego wydziału zużyty w i-tym wydziale

qij – produkt i-tego wydziału zużyty w j-tym wydziale qi – produkt i-tego wydziału przeznaczony na sprzedaż na zewnątrz Pr = Σprj Qi = Σqij + qi Zależność między qij a qi można zapisać funkcją liniową

qij = aij × Qj

aij = qij/Qj to techniczny współczynnik produkcji – określa ile jednostek wyrobu produkowanego w i-tym wydziale należy zużyć na jednostkę produktu globalnego w j-tym wydziale. Qi = ΣaijQj + qi Q1 = a11 Q1 + a12 Q2 + ... + a1n Qn + q1 Q2 = a21 Q1 + a22 Q2 + ... + a2n Qn + q2 .......................... Qn = an1 Q1 + an2 Q2 + ... + ann Qn + qn (1 - a11 ) Q1 - a12 Q2 - … - a1n Qn = q1 -a21 Q1 + (1- a22 )Q2 + ... + a2n Qn = q2 -an1 Q1 - an2 Q2 + ... + (1 - ann )Qn = qn Zapis macierzowy. (I – A)Q = q Q = (I – A)-1 q A – macierz współczynników technicznych produkcji Pr = Σprj Brj = prj/Qj technologiczny współczynnik dostaw – wyraża zużycie r-tego dobra nabywanego na zewnątrz przedsiębiorstwa przypadające na jednostkę produktu globalnego w j-tym wydziale. b11 b12 … b1n B=

.............

Bm1 bm2 … bmn P = BQ -

W ujęciu wartościowym:

Ustalenie programu produkcji w jednostkach wartościowych wymaga wykorzystania dwóch kategorii cen: 1. cen zakupu dóbr produkcyjnych (dostaw) c’r

2. cen zbytu wyrobów przedsiębiorstwa ci Wykorzystując te ceny oblicza się: 1. wartość dostaw poszczególnych dóbr Vr = c’r × Pr 2. wartość dostaw dóbr dla poszczególnych wydziałów Vrj = c’r × Prj 3. produkcję globalną poszczególnych wydziałów Xi = ci × Qi 4. przepływy międzywydziałowe w ujęciu wartościowym Xij = ci × qij 5. produkcja finalna poszczególnych wydziałów Xi = ci × qi Równanie równowagi przepływu. Sprawdzianem zgodności programu produkcji w ujęciu wartościowym jest równanie: Σxij + xi = Σxij + Σvrj + xo j Równanie to oznacza, że suma przepływów z i-tego wydziału do pozostałych + produkcja finalna tego wydziału = sumie przepływów z pozostałych wydziałów do tego wydziału + suma dostaw z zewnątrz do tego wydziału + zysk tego wydziału + wartość siły roboczej zatrudnionej w tym wydziale. Gdy produkcja i przepływy są ujęte w jednostkach pieniężnych pojęciem odpowiadającym współczynnikowi technologicznemu aij jest współczynnik kosztów kij: kij = xij/Xj, wyraża on nakład pieniężny i-tego wydziału na jednostkę pieniężną wartości produktu j-tego wydziału. Między współczynnikami a współczynnikiem kosztów zachodzi relacja: kij = aij × ci/cj Współczynnikowi technologicznemu dostaw odpowiada współczynnik kosztów dostaw hrj = vrj/xj hrj = brj × c’r/cj - określa, jaki nakład pieniężny na r-ty produkt nabyty z zewnątrz jest zawarty w jednostce pieniężnej wartości produktu j-tego wydziału. X = (I – K)-1 x

K – macierz współczynników kosztów produkcji

X = (I – K)x V = HX ∆q = (I – A) Q -prognoza pierwszego rodzaju ∆Q = (j – A)-1 ∆q -prognoza drugiego rodzaju. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. W każdym procesie decyzyjnym występują następujące elementy: 1. podmiot podejmujący decyzję

2. zbiór decyzji dopuszczalnych D (muszą być co najmniej 2 decyzje) 3. zbiór stanów świata zewnętrznego 4. cechą charakterystyczną każdego procesu decyzyjnego jest funkcja korzyści (trzeba rozpoznać która sytuacja jest lepsza, która gorsza). Każdej decyzji Di (i = 1,...,n) i Zj (j = 1,...,m) przypiszemy pewną wartość, którą nazwiemy korzyścią kij = f(Di, Zj) Tablica korzyści (tab. Konsekwencji, kosztów) D1 D2 ... Dn

Z1 k11 k21 ... kn1

Z2 k12 k22 ... kn2

...

Zm k1m k2m ... knm

5. cechą charakterystyczną procesu decyzyjnego jest niepewność co do stanu świata zewnętrznego. Zakres informacji dostępnej przy podejmowaniu decyzji jest opisywany w postaci 3 stanów: -

pewności

-

ryzyka

-

niepewności

Stan pewności: w momencie podejmowania decyzji znamy stan świata zewnętrznego. Zbiór Z składa się z 1elementu Z1. Zadanie polega na wybraniu decyzji spośród korzyści. Model, w którym nie występuje niepewność to model deterministyczny. Stan ryzyka: taka sytuacja w której na skutek decyzji może wystąpić każdy z 2 lub więcej wyników. Przy czym wszystkie z tych wyników oraz prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich są znane podmiotowi podejmującemu decyzję (np. gry hazardowe). Sytuacja niepewności: gdy w rezultacie działania może zaistnieć 1 lub więcej wyników. W odróżnieniu od sytuacji ryzyka nie może być ściśle określone zaistnienie tych wyników i nie mogą być obiektywnie wyznaczone prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Należy podjąć decyzję, który z wariantów D1 , D2 ... Dn należy wybrać. Wyniki zależą od tego, który ze stanów świata zewnętrznego zaistnieje (Z1 , Z2 ... Zm ) a element kij macierzy konsekwencji określa wynik jaki przyniesie wariant Di w razie zaistnienia stanu zewnętrznego Zj.

kij może być ujemne. Należy stworzyć reguły aby wybrać Di w sposób najkorzystniejszy. Zajmuje się tym teoria gier 1) suma wygranych = 0, albo wygrywa jeden albo drugi. 2) Gry z naturą. Reguły decyzyjne w warunkach niepewności: 1. Kryterium maksyminowe (Wald) – wybieramy min wartość w każdym z wierszy (zakładamy, że zajdą warunki najbardziej niekorzystne) wybieramy max wartość z wartości minimalnych.

Kij = maxi minj (k)

jest to bardzo ostrożna strategia, bo zakładamy

pesymistyczną wizję świata. 2. Kryterium Hurowicza – wprowadza się tzw. współczynnik ostrożności a. Współczynnik ostrożności jest zadaną przez podmiot podejmujący decyzję liczbą z przedziału (ale nie 0 i nie 1). Oblicza się dla każdego wariantu przedsięwzięcia di = a × mini kij + (1 – a)maxj kij

Spośród możliwych wariantów przedsięwzięć wybiera się dk = maxi (di)

Jeśli współczynnik a jest bliski 1 ⇒ kryterium Hurowicza jest regułą ostrożną, pesymistyczną. Jeśli a jest bliski 0 ⇒ regułą hazardową. 3. Kryterium wartości średniej (Bayes) – najlepsza jest strategia, która daje największą przeciętną wygraną (kij). Dla każdej decyzji oblicza się wartość średnich wyników ‾d = 1/m Σ kij Wybiera się decyzję ‾dk = max‾di (gdy zakładamy, że wszystkie stany świata zewnętrznego są tak samo prawdopodobne). 4. Kryterium Savage (kryterium minimaksowych skutków błędnych decyzji) – nie ocenia się wyników podjętych decyzji lecz skutki (straty) wynikające z niepodjęcia decyzji, która przy danym stanie natury byłaby najlepsza. W celu dokonania wyboru wariantu działalności buduje się macierz względnych strat uij będących różnicami między max do osiągnięcia a wynikiem uzyskanym w razie podjęcia decyzji o wyborze wariantu di. Każdemu wariantowi przedsięwzięcia przyporządkowuje się max względną stratę jaką można ponieść wybierając dany wariant, a podejmujemy decyzję o takim wariancie przedsięwzięcia dk który zapewnia najmniejszą z max strat. Istota zasady Savage sprowadza się do tego, aby unikać strat spowodowanych błędnymi decyzjami.