Das Multi Traveling Salesman Problem Harald Voit Seminar Ganzzahlige Optimierung 19. bis 21. Januar 2007 Wallenfels
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.1/26
Übersicht → Vom TSP zum ATSP
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.2/26
Übersicht → Vom TSP zum ATSP → Lösen von ATSP → Lösen von m-ATSP
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.2/26
Übersicht → Vom TSP zum ATSP → Lösen von ATSP → Lösen von m-ATSP → Das m-Cost ATSP Polytop
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.2/26
Übersicht → Vom TSP zum ATSP → Lösen von ATSP → Lösen von m-ATSP → Das m-Cost ATSP Polytop → Das Einmaschinenproblem
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.2/26
Übersicht → Vom TSP zum ATSP → Lösen von ATSP → Lösen von m-ATSP → Das m-Cost ATSP Polytop → Das Einmaschinenproblem → Die Facetten
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.2/26
Vom TSP zum m-ATSP
563
Das klassische Traveling Salesman Problem
359
Gegeben:
n Städte und Straßenlängen
46
233
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.3/26
Vom TSP zum m-ATSP Das klassische Traveling Salesman Problem
Gesucht:
kürzeste zusammenhängende Rundreise durch alle Städte
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.3/26
Vom TSP zum m-ATSP Das klassische Traveling Salesman Problem Sei G = (V, A) ein vollständiger Graph mit Knotenmenge V = {1, . . . , n}
und Kantenmenge A = {(i, j) | i, j ∈ V }
mit Gewichten de für e ∈ A
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.3/26
Vom TSP zum m-ATSP Das klassische Traveling Salesman Problem
Gesucht ist der Hamiltonsche Kreis mit minimaler Kantenlänge
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.3/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1, . . . , n}
und Kantenmenge A = {(i, j) | i, j ∈ V, i 6= j}
mit Gewichten de und dij 6= dji
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.4/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Asymmetrische Traveling Salesman Problem
Gesucht ist der gerichtete Hamiltonsche Kreis mit minimalem Kantengewicht
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.4/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Multi Salesman Problem Bisher:
nur ein Handelsreisender
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.5/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Multi Salesman Problem Bisher: Jetzt:
nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.5/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Multi Salesman Problem Bisher: Jetzt:
nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende
0 Das Multi Traveling Salesman Problem – p.5/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Multi Salesman Problem Bisher: Jetzt:
nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende vollständiger Digraph mit Knotenmenge V = {1, . . . , n} ∪ {0}
und Kantenmenge A = {(i, j) | i, j ∈ V, i 6= j} 0 Das Multi Traveling Salesman Problem – p.5/26
Vom TSP zum m-ATSP Das Multi Salesman Problem Bisher: Jetzt:
nur ein Handelsreisender mehrere Handelsreisende
Gesucht ist eine Auswahl an Handlungsreisenden und eine Zuordnung von Touren, so dass alle Knoten genau einmal besucht werden. 0 Das Multi Traveling Salesman Problem – p.5/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen?
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
neues Problem:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
neues Problem: Definiere G = (V, E) mit
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
neues Problem: Definiere G = (V, E) mit V = W ∪ {n + 1, n + 2, . . . , 2n}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
neues Problem: Definiere G = (V, E) mit V = W ∪ {n + 1, n + 2, . . . , 2n} E = {(i, n + i) | i = 1, 2, . . . , n} ∪ {(n + i, j) | (i, j) ∈ A}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP Wie kann man ein ATSP lösen? altes Problem: D = (W, A) mit W = {1, 2, . . . , n} A ⊆ W ×W dij für (i, j) ∈ A
neues Problem: Definiere G = (V, E) mit V = W ∪ {n + 1, n + 2, . . . , 2n} E = {(i, n + i) | i = 1, 2, . . . , n} ∪ {(n + i, j) | (i, j) ∈ A} ci,n+i = −M für i = 1, 2, . . . , n cn+i,j = dij für (i, j) ∈ A
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.6/26
Lösen von ATSP d21
1
2 d12
d23 d31 d32
d13
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP 1
2
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP 1
2 5
4
6
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP 1
2 −M −M
5
4
6 −M
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP d21
1
2 −M −M
5
4
6 −M
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP d12
d21
1
2 −M −M
5
4
6 −M
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von ATSP d12
d21
1
2 −M −M
5
4
d31
d32
6 d13
−M
d23
3
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.7/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi .
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ )
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0} V′
= V ∪ {n + 2, n + 3, . . . , n + m}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0} V′
= V ∪ {n + 2, n + 3, . . . , n + m}
A′
= A
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0} V′
= V ∪ {n + 2, n + 3, . . . , n + m}
A′
= A ∪ {(n + i, j) | 2 ≤ i ≤ m, (n + 1, j) ∈ A}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0} V′
= V ∪ {n + 2, n + 3, . . . , n + m}
A′
= A ∪ {(n + i, j) | 2 ≤ i ≤ m, (n + 1, j) ∈ A} ∪ {(j, n + i) | 2 ≤ i ≤ m, (j, n + 1) ∈ A}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP Gegeben: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} ∪ {0}, A ⊆ V × V , dij , wi . neues Problem: Definiere neuen Digraph D′ = (V ′ , A′ ) {n + 1} := {0} V′
= V ∪ {n + 2, n + 3, . . . , n + m}
A′
= ∪ ∪ ∪
A {(n + i, j) | 2 ≤ i ≤ m, (n + 1, j) ∈ A} {(j, n + i) | 2 ≤ i ≤ m, (j, n + 1) ∈ A} {(n + i, n + i − 1) | 2 ≤ i ≤ m} Das Multi Traveling Salesman Problem – p.8/26
Lösen von m-ATSP 5
4
3
2
1
0 Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Lösen von m-ATSP 5
4
6
3
7
2
1
8
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.9/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher:
Kosten für alle Handelsreisende identisch
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell: Für jedes k ∈ M : Digraph Dk0 = (Vk , Ak )
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell: Für jedes k ∈ M : Digraph Dk0 = (Vk , Ak ) Vk = J ∪ {0}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell: Für jedes k ∈ M : Digraph Dk0 = (Vk , Ak ) Vk = J ∪ {0} Ak = {(0, 0)k } ∪ {(i, j)k |i, j ∈ Vk , i 6= j}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell: Für jedes k ∈ M : Digraph Dk0 = (Vk , Ak ) Vk = J ∪ {0} Ak = {(0, 0)k } ∪ {(i, j)k |i, j ∈ Vk , i 6= j} m [ Ak A = k=1
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Bisher: Jetzt:
Kosten für alle Handelsreisende identisch Kosten für Handelsreisende unterschiedlich
Modell: Für jedes k ∈ M : Digraph Dk0 = (Vk , Ak ) Vk = J ∪ {0} Ak = {(0, 0)k } ∪ {(i, j)k |i, j ∈ Vk , i 6= j} m [ Ak A = k=1
dijk
∀(i, j) ∈ A, k ∈ M
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.10/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus?
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.11/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1
k=2
k=3
(m-Cost ATSP) minimiere {d(AF )|AF ∈ Fnm } 0
0
0
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.11/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sehen zulässige Lösungen aus? k=1
k=2
k=3
(m-Cost ATSP) minimiere {d(AF )|AF ∈ Fnm } 0
Fnm
0
= {C1 ∪ . . . ∪ Cm |
0
Pm
k=1 |Ck |
= n + m, ∀k ∈ M : Ck ⊆ Ak mit 0 ∈ Vk (Ck ), ∀v ∈ J : ∃k ∈ M : v ∈ Vk (Ck )} Das Multi Traveling Salesman Problem – p.11/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus?
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.12/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor xA ∈ {0, 1}|A| für ein A ⊆ A durch ( 1, falls ijk ∈ A A xijk = 0, sonst
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.12/26
Das m-Cost ATSP Polytop Wie sieht das Polytop nun aus? Definiere Inzidenzvektor xA ∈ {0, 1}|A| für ein A ⊆ A durch ( 1, falls ijk ∈ A A xijk = 0, sonst Das Polytop: Pnm = conv{xA | A ∈ Fnm }
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.12/26
Das m-Cost ATSP Polytop x00k + x(δk+ (0)) = 1
k∈M
(1)
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.13/26
Das m-Cost ATSP Polytop x00k + x(δk+ (0)) = 1 + x(δ k∈M k (j)) = 1
P
k∈M
(1)
j∈J
(2)
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.13/26
Das m-Cost ATSP Polytop x00k + x(δk+ (0)) = 1 + x(δ k∈M k (j)) = 1
P
x(δk− (j)) − x(δk+ (j)) = 0
k∈M
(1)
j∈J
(2)
j ∈ J, k ∈ M
(3)
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.13/26
Das m-Cost ATSP Polytop x00k + x(δk+ (0)) = 1
k∈M
(1)
j∈J
(2)
x(δk− (j)) − x(δk+ (j)) = 0
j ∈ J, k ∈ M
(3)
x(δk+ (S)) − x(δk+ (v)) ≥ 0
k ∈ M, S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S (4)
+ x(δ k∈M k (j)) = 1
P
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.13/26
Das m-Cost ATSP Polytop x00k + x(δk+ (0)) = 1
k∈M
(1)
j∈J
(2)
x(δk− (j)) − x(δk+ (j)) = 0
j ∈ J, k ∈ M
(3)
x(δk+ (S)) − x(δk+ (v)) ≥ 0
k ∈ M, S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S (4)
+ x(δ k∈M k (j)) = 1
P
xijk ∈ {0, 1} ijk ∈ A
(5)
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.13/26
Das m-Cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor xA
∈ Q|A| von A ⊆ A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A ∈ Fnm
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.14/26
Das m-Cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor xA
∈ Q|A| von A ⊆ A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A ∈ Fnm
Beweis:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.14/26
Das m-Cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor xA
∈ Q|A| von A ⊆ A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A ∈ Fnm
Beweis: ⇐ hinschauen
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.14/26
Das m-Cost ATSP Polytop Lemma 1: Ein Inzidenzvektor xA
∈ Q|A| von A ⊆ A ist genau dann eine zulässige Lösung von (1)-(5), wenn A ∈ Fnm
Beweis: ⇐ hinschauen ⇒ Sei x Lösung von (1)-(5) (3) x Inzidenzvektor von C1 ∪ . . . ∪ Cr (1)&(4) für jedes k ∈ M : 0 ∈ Vk (Ci ) (2) für jedes v ∈ J ∃1 Ci mitv ∈ Vi (Ci )
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.14/26
Das m-Cost ATSP Polytop Satz 1:
Für n ≥ 3 und m ≥ 2 gilt: dim(Pnm ) = mn2 − n
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.15/26
Das m-Cost ATSP Polytop Satz 1:
Für n ≥ 3 und m ≥ 2 gilt: dim(Pnm ) = mn2 − n
Beweis: → dim(Pnm ) ≤ mn2 − n → durch geschicktes Aufteilen der Kanten zeigt man Gleichheit
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.15/26
Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: → nur eine Maschine, d.h. m = 1 → diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten → kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten → oder gar keinen Auftrag bearbeiten
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.16/26
Das Einmaschinenproblem Betrachte Teilproblem: → nur eine Maschine, d.h. m = 1 → diese Maschine muss nicht alle Aufträge bearbeiten → kann eine beliebige Teilmenge von Aufträgen bearbeiten → oder gar keinen Auftrag bearbeiten
Modell: Digraph D1 = (V 1 , A1 ) mit V 1 = J ∪ {0} und A1 = {(0, 0)} ∪ {(i, j) | i, j ∈ V 1 , i 6= j}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.16/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Fn1 = {C|C ⊆ A1 Dizykel mit 0 ∈ V 1 (C)}
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Fn1 = {C|C ⊆ A1 Dizykel mit 0 ∈ V 1 (C)}
Polyeder:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Fn1 = {C|C ⊆ A1 Dizykel mit 0 ∈ V 1 (C)}
Polyeder:
Pn1 = conv{xA |A ∈ Fn1 }
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Fn1 = {C|C ⊆ A1 Dizykel mit 0 ∈ V 1 (C)}
Polyeder:
Pn1 = conv{xA |A ∈ Fn1 }
Ungleichungen:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Zul. Menge:
Fn1 = {C|C ⊆ A1 Dizykel mit 0 ∈ V 1 (C)}
Polyeder:
Pn1 = conv{xA |A ∈ Fn1 }
Ungleichungen: x00 + x(δ + (0)) = 1 x(δ − (j)) = x(δ + (j)) j ∈ J x(δ + (S)) ≥ x(δ + (v)) S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S xij ∈ {0, 1} ∀ij ∈ A1
(6) (7) (8) (9)
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.17/26
Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor xA von A ⊂ A1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A ∈ Fn1
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.18/26
.
Das Einmaschinenproblem Lemma 2: Ein Inzidenzvektor xA von A ⊂ A1 ist genau dann eine zulässige Lösung von (6)-(9) wenn A ∈ Fn1
Beweis: analog zum Beweis von Lemma 1.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.18/26
.
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Beweis:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2
dim(P ) = n − rg(Aeq(P )· )
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2 → Konstruiere n2 + 1 zulässige Dizykel
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: C = {00} dim(Pn100) = n2 Ci0 = {0i, i0} Cij = {0i, ij, j0} Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2
i∈J i, j ∈ J, i 6= j
→ Konstruiere n2 + 1 zulässige Dizykel
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 2:
Für das Polytop Pn1 gilt: dim(Pn1 ) = n2
Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2 → Konstruiere n2 + 1 zulässige Dizykel → Ordne Inzidenzvektoren geschickt an
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem 12 21 00 10 20 01 02 1 0 0 0 1 1 0 C gilt: Satz 2: Für das Polytop Pn1 12 0 1 0 dim1(P 10) = n02 1 C21 n 0 0 1 0 0 0 0 C00 0 0 0 1 0 1 0 C10 Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2 0 0 0 0 1 0 1 C20 → Konstruiere n2 + 1 zulässige Dizykel → Ordne Inzidenzvektoren geschickt an
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem 12 21 00 10 20 01 02 1 0 0 0 1 1 0 C gilt: Satz 2: Für das Polytop Pn1 12 0 1 0 dim1(P 10) = n02 1 C21 n 0 0 1 0 0 0 0 C00 0 0 0 1 0 1 0 C10 Beweis: → dim(Pn1 ) ≤ n2 0 0 0 0 1 0 1 C20 → Konstruiere n2 + 1 zulässige Dizykel → Ordne Inzidenzvektoren geschickt an → Inzidenzvektoren linear unabhängig
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.19/26
Das Einmaschinenproblem Satz 3:
1. Sei xij ∈ A1 und n ≥ 3. Dann definiert xij ≥ 0 eine Facette von Pn1 . 2. Für S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) ≥ x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn1 .
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.20/26
Das Einmaschinenproblem Satz 3:
1. Sei xij ∈ A1 und n ≥ 3. Dann definiert xij ≥ 0 eine Facette von Pn1 . 2. Für S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) ≥ x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn1 .
Beweis:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.20/26
Das Einmaschinenproblem Satz 3: F) =
( dim 1 − ) P ( dim
1. Sei xij ∈ A1 und n ≥ 3. Dann definiert xij ≥ 0 eine Facette von Pn1 . 2. Für S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) ≥ x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn1 .
Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n2 unabhängigen Touren.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.20/26
Das Einmaschinenproblem Satz 3: F) =
( dim 1 − ) P ( dim
1. Sei xij ∈ A1 und n ≥ 3. Dann definiert xij ≥ 0 eine Facette von Pn1 . 2. Für S ⊆ J, |S| ≥ 2, v ∈ S sind die Ungleichungen x(δ + (S)) ≥ x(δ + (v)) facettendefinierend für Pn1 .
Beweis: 1. Ähnlich zum Beweis von Satz 2, nur mit n2 unabhängigen Touren. 2. Durch geschickte Angabe von n2 zulässigen Dizykeln, deren Inzidenzvektoren linear unabhängig sind. Das Multi Traveling Salesman Problem – p.20/26
Das Einmaschinenproblem Satz 4:
Für x ∈ Qn(n+1)+1 , x ≥ 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.21/26
Das Einmaschinenproblem Satz 4:
Für x ∈ Qn(n+1)+1 , x ≥ 0. x erfülle (7). Dann sind die Ungleichungen (8) in polynomialer Zeit separierbar.
Beweis: → Konstruiere Digraph Dv = (V 1 , Av ) mit Av = {ij | i ∈ J, j ∈ Vs \{v}} → Definiere Kapazitäten cvij = xij für ij ∈ Av → Löse in polynomialer Zeit ein v0-max flow Problem min-cut δ + (Sv ) mit v ∈ Sv ⊂ J
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.21/26
Die Facetten Satz 5:
1. Sei xijk ∈ A und n ≥ 3, m ≥ 2. Dann definiert xijk ≥ 0 eine Facette von Pnm . 2. Falls n ≥ 3 und m ≥ 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.22/26
Die Facetten Satz 5:
1. Sei xijk ∈ A und n ≥ 3, m ≥ 2. Dann definiert xijk ≥ 0 eine Facette von Pnm . 2. Falls n ≥ 3 und m ≥ 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend.
Beweis:
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.22/26
Die Facetten Satz 5:
1. Sei xijk ∈ A und n ≥ 3, m ≥ 2. Dann definiert xijk ≥ 0 eine Facette von Pnm . 2. Falls n ≥ 3 und m ≥ 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend.
Beweis: 1. Konstruiere mn2 − n unabhängige Touren.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.22/26
Die Facetten Satz 5:
1. Sei xijk ∈ A und n ≥ 3, m ≥ 2. Dann definiert xijk ≥ 0 eine Facette von Pnm . 2. Falls n ≥ 3 und m ≥ 2 sind die v0-cut Ungleichungen (4) facettendefinierend.
Beweis: 1. Konstruiere mn2 − n unabhängige Touren. 2. Für n ≥ 3 und m ≥ 3, alle facettendefinierenden Ungleichungen sind auch hier facettendefinierend. Für m = 2 konstruiere geschickt mn2 − n zulässige Touren. Das Multi Traveling Salesman Problem – p.22/26
Die Facetten Satz 6:
Für x ∈ Q|A| , x ≥ 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.23/26
Die Facetten Satz 6:
Für x ∈ Q|A| , x ≥ 0. x erfülle (3). Dann sind die Ungleichungen (4) in polynomialer Zeit separierbar.
Beweis: Folgt aus Satz 4.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.23/26
Die Facetten Satz 7:
Sei y ∈ Q|B| , x ∈ Q|A| , x ≥ 0. Sei y der Variablenvektor des auf Standardform transformierten m-ATSP und es gelte y = T x. Sei V die Knotenmenge der Transformation, S ⊂ V mit 2 ≤ |S| ≤ |V | − 2. Dann: y(B(S)) ≤ |S| − 1
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.24/26
Zusammenfassung → Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.25/26
Zusammenfassung → Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. → Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.25/26
Zusammenfassung → Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. → Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. → Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-Cost ATSP.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.25/26
Zusammenfassung → Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. → Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. → Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-Cost ATSP. → Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.25/26
Zusammenfassung → Ein ATSP kann auf ein TSP transformiert werden. → Ein Multi ATSP kann auf ein ATSP transformiert werden. → Facetten des Einmaschinenproblems sind auch Facetten des m-Cost ATSP. → Die v0-cut Ungleichungen können in polynomialer Zeit separiert werden. → Falls die v0-cut Ungleichungen erfüllt sind, sind auch die Subtour Elimination Constraints des auf Standardform transformierten ATSP erfüllt.
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.25/26
Auf Wiedersehen
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Das Multi Traveling Salesman Problem – p.26/26
