Bloque 31 Fracciones comunes

1

Este manuscrito es un extracto del libro Del Sentido Numérico al Pensamiento Prealgebraico, de T. Cedillo y V. Cruz (en proceso de edición)

Bloque 3

Fracciones comunes El propósito central del bloque es el estudio de fracciones comunes, sus operaciones con y propiedades. En las actividades que aquí se incluyen se trata la construcción de las fracciones a partir de fracciones con numerador 1 (fracciones unitarias), lo cual facilitacomponerlas y descomponerlas en diferentes maneras y expresarlasmediante fracciones equivalentes. En las actividades se abordanlas fracciones trabajando con la pareja de números que las conforman; la descomposición del numerador produce fracciones de una misma clase, la transformación del numerador y el denominador genera fracciones equivalentes y a su expresión decimal, todo esto prepara la introducción alas operaciones de suma y resta. El uso de la calculadora permite disponer de un ambiente de trabajo matemático para el trabajo de exploración con las fracciones, ya que retroalimenta en forma permanente el trabajo que se hace en la máquina, favoreciendo la reflexión y reorganización de ideas. Desde esta perspectiva, el estudio de las fracciones pretende generar un aprendizaje con significados, lo cual es un apoyocrucial para que los estudiantes no aprendan procedimientos estrictamente mecánicos. El significado inicial que se induce en estas actividades para las fracciones es como “números que expresan cantidad y tamaño”. Los contenidos y habilidades matemáticas del bloque están estrechamente relacionados con los que la educación básica propone, lo cual permite que las actividades de este bloque sean un material de utilidad para los futuros docentes, nuestra mayor expectativa es que logren un alto grado de comprensión de los saberes que en su momento deberán promover con sus estudiantes.

HOJA DE TRABAJO 23 NOCIÓN DE FRACCIÓN 1. La figura de abajo representa una tira de papel que se ha dividido en algunas partes. La tira de papel completa representa a la unidad. En cada parte del rectángulo escribe la fracción correspondiente.

1 8 Suma las fracciones que escribiste __________________ Si tus respuestas son correctasla suma debe darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1? ________________ Si no fue así, trata de encontrar los errores que cometiste e intenta de nuevo.

2. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de

papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción correspondiente.

1 9 Suma las fracciones que escribiste ______________________________________Si tus respuestas son correctasla suma debe darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1? __________ Si no te dio 1, trata de encontrar el error que cometiste e intenta de nuevo.

3. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de

papel que se muestra en la siguiente figura? En cada parte escribe la fracción que corresponda.

4. ¿Cómo puedes usar la calculadora para verificar que tus respuestas son correctas?___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 24 FRACCIONES EQUIVALENTES 1. Usa la calculadora para realizar las siguientes operaciones.

a)

1 1  = 2 3

b)

4 1  = 8 3

c)

5 1  = 10 3

d)

3 1  = 6 3

e)

8 1  = 16 3

f)

2 1  = 4 3

g)

7 1  = 14 3

h)

16 1  = 32 3

¿Qué observas? ___________________________________________________ ¿Por qué crees que esté pasando eso? _________________________________________

2. Ahora inventa otras cinco operaciones que den el mismo resultado que a)

b)

c)

d)

1 1  2 3 e)

3. En cada inciso, construye tres fracciones equivalentes a la fracción que se da.

a)

2 3

b)

3 4

c)

2 9

d)

4 20

e)

3 15

4. Encuentra fracciones equivalentes a las fracciones que se muestran en cada inciso. Esas fracciones deben cumplir la condición de tener el mismo denominador. Por ejemplo,

1 y 4

1 1 5 1 4 se pueden expresar con el mismo denominador como sigue: y .   4 20 5 20 5

a)

2 3 y 3 8

b)

2 3 y 5 7

c)

3 2 y 4 3

d)

5 y2 6

e) 5y

1 3

5. Describe detalladamente el método que utilizaste para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador del inciso anterior. _____________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 25 FRACCIONES Y RAZONES 1. Observa la figura de la derecha para contestar lo que se indica en cada inciso. a) ¿Qué fracción corresponde a la cantidad de puntos que están totalmente dentro del triángulo respecto al total de puntos que aparecen en la figura? _________________________ b) ¿Qué fracción representa la cantidad de puntos que están adentro del rectángulo respecto al total de puntos que hay en la figura? ___________________________________ c) Hay unos puntos que están en la parte en que se d) ¿Qué fracción corresponde a empalman el rectángulo y el triángulo. Qué los puntos que están afuera fracción representa esa cantidad de puntos del triángulo, pero dentro del respecto al total de puntos que hay en la figura? rectángulo, como parte del _______________________________ total de puntos que hay en la figura? ________________

2. Una alumna dice que las siguientes fracciones son equivalentes. Usa la calculadora para revisar sus respuestas y corrige las que no sean correctas. Escribe en cada cuadro las operaciones que usaste para contestar.

a)

60 55  72 67

b)

27 3  45 5

c)

90 3  120 4

d)

0 0 68

e)

84 12  91 13

f)

630 530  2520 2420

3. El Profesor González y el Profesor Pérez aplicaron el mismo examen a sus alumnos. En el grupo del Profesor González 20 de 25 estudiantes aprobaron el examen. En el grupo del Profesor Pérez 24 de 30 estudiantes aprobaron el examen. Uno de esos estudiantes se enteró de esos resultados y afirma que los grupos salieron iguales. ¿Lo que dice ese estudiante es correcto? Justifica tu respuesta. ___________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 26 FRACCIONES COMO OPERADORES 1.

Una alumna dice que para obtener la mitad de 1784 le da lo mismo hacer la operación 17842, que hacer la operación

1784 

1 . ¿Estás de acuerdo con ella? ________ Si tu 2

respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muéstralo con un ejemplo. _____________________________ 2. Un alumno dice que para obtener la tercera parte de 891 le da lo mismo dividir entre 3 que multiplicar por

1 ¿Estás 3

de acuerdo con él? ________ Si tu respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un ejemplo por qué. ____________________________ 3.

Otro alumno dice que para sacar dos quintas partes de 340 puede hacer cualquiera de estas dos operaciones: 340 

2 340  2 o . ¿Estás de acuerdo con él? ______ Si tu respuesta es 5 5

afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un ejemplo por qué. ____________ ____________________________________________________________________________________ 4. Usa fracciones para encontrar lo que se pide en cada caso. Escribe las operaciones que hiciste en los espacios correspondientes.

a) La onceava par- b) La quinceava te de 6457. parte de 11040.

c) Un quinto de 195. d) Dos décimos de 7830.

e) Tres veintavos de 11740.

g) Ocho séptimos de h) Siete novenos 4109. de 3708.

f) Cuatro quintas partes de 350.

HOJA DE TRABAJO 27 ¿CUÁLES SON LAS FRACCIONES QUE FALTAN?

1. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.

2 1 1 b)  a 1   c 1 5 3 5 La fracción que falta es: ________________ La fracción que falta es: ________________ a)

1 1   f 1 7 4 f  _________

2 1 1   h2 3 4 5 h  _________

c)

d)

2 1 1 e) 1  2  3  p  10 3 4 6 p  _________

f) 1  2  m  3

2 5

3 4

m  _________

1 1  11 6 2

2. ¿Qué hiciste para contestar las preguntas anteriores? __________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 3. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan. a)

1 2 x 3 5

La fracción que falta es: _________

3 3 y  4 8 La fracción que falta es: _________ b)

c) 3  m 

3 7 La fracción que falta es: _________

d)

27 q  6 4 La fracción que falta es: _________

f)

e)

5 1 a  8 5 La fracción que falta es: _________ 1 1 bc  3 4 La fracción que falta es: _________

4. ¿Encontraste un método para contestar las preguntas anteriores? ¿Cuál es tu método?____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 28 ¿CÓMO ENCUENTRO ESAS FRACCIONES?

1. En cada inciso encuentra dos fracciones cuya suma dé como resultado a)

b)

c)

d)

3 . 4 e)

3 8

2. En cada inciso encuentra tres fracciones cuya suma dé como resultado . a)

b)

c)

d)

3. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado a)

4. a)

5. a)

b)

c)

25 . 3

d)

En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado 3 b)

c)

d)

En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado b)

c)

4 . 5

d)

1 . 12

HOJA DE TRABAJO 29 UN POCO DE FRACCIONES Y RESTAS 1. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otra obtengas

a)

b)

c)

d)

e)

2. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otra obtengas a)

b)

c)

2 . 5

2 . 7

d)

3. En cada inciso escribe dos fracciones de manera que al restar una de la otra dé como resultado 3

1 3

a)

b)

c)

d)

4. Encuentra las fracciones que faltan. a)

4 a c 1    5 b d 10

b)

3 m p 1    7 n q 24

c)

27 d x 1    8 f y 3

d)

5 p a 1    8 q b 12

5. Un pasajero inició su jornada y justo a la mitad de su viaje se quedó dormido. Al despertar se

dio cuenta que todavía tenía que viajar la mitad de la distancia que había viajado mientras dormía. ¿Qué parte de toda la jornada permaneció dormido? _______________________ Escribe las operaciones que hiciste para obtener ese resultado _____________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 30 ¿QUÉ FÁCIL ES MULTIPLICAR CON FRACCIONES! 1. Realiza las siguientes operaciones usando la calculadora. a)

2 1  = 3 5

b)

3 7   4 8

c)

3 4   7 5

d)

2 5   9 11

Observa los resultados que obtuviste. ¿Qué operaciones crees que hizo la calculadora con esos números para realizar las multiplicaciones anteriores? ______________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 2. Encuentra las fracciones que faltan. a)

1 a  1 3 b

b)

3 c  1 4 d

c)

7 d  1 8 f

d) 7 

e)

2 r  1 5 s

f)

9 m  1 10 n

g)

5 x  1 7 y

h)

p 1 q

12 

y 1 z

4 3  le permite construir una fracción 5 3 4 4 6 . ¿Lo que dice es cierto? __________ ¿Si multiplicara equivalente a por también 5 5 6

3. Una alumna de otra escuela dice que la operación

obtendría una fracción equivalente? ______ Justifica tu respuesta ______________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 4.

De las siguientes fracciones encierra en un círculo las que sean equivalentes a

a)

8 12

b)

4 12

c)

1 3

d)

16 24

e)

40 120

f)

48 72

g)

4 6

h)

32 60

5.

8 24

Describe detalladamente el método que utilizaste para responder la pregunta anterior. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 31 ¿QUÉ FRACCIÓN ES MAYOR? 1. En cada inciso encierra en un círculo el número que creas que es el mayor.

a)

f)

2 3 3 5

y

y

3 4 4 6

b)

g)

3 8

y

11 12

4

c)

9

y

7

h)

8

3 5 1 3

y

y

2

d)

4 1

i)

2

2 7 5 8

y

y

3

2

e)

8 5

3 4

j)

9

5

y

y

4 5 5 6

2. ¿Cómo podrías usar la calculadora para verificar si las respuestas que diste a la pregunta 1 son correctas? Describe el método que encontraste. _______________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 3. Una alumna de otra escuela dice que para saber cuál es el número mayor resta uno de los números del otro, pero que a veces le da un número negativo y se confunde. Por ejemplo

2 3 1    .¿Cuál es el número mayor en este caso? __________________ ¿Por qué? 3 4 12 ___________________________________________________________________ 4. Otro alumno dice que él no usó la calculadora. Él encontró fracciones equivalentes. Por 4 5 24 25 con , él las transformó en y ejemplo, para comparar respectivamente. ¿Puedes 5 6 30 30 explicar qué hizo después para decidir cuál es la fracción mayor? ____________________ _____________________________________________________________________________________ 5. Ordena de mayor a menor los números que se muestran en cada inciso. a)

2 1 5 , , 5 3 8

b)

2 3 4 , , 3 8 5

c)

7 3 8 , , 8 4 10

d)

11 12 13 13 18 , , , , 5 6 8 6 9

6. ¿Qué método empleaste para responder la pregunta 5?___________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 7. En cada caso encuentra una fracción que esté entre las dos fracciones que se dan. a)

e)

1 1 y 2 3 3 5

y

4 5

b)

f)

1 1 y 4 5 6 8

y

7 8

c)

g)

2 3 y 3 4 7 9

y

8 9

d)

h)

3 4 y 4 5 11 24

y

12 24

HOJA DE TRABAJO 32 ¿QUÉ FRACCIONES DAN LA SUMA MAYOR? 2. Forma las trece fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, que pueden construirse con los números 3, 6, 8. Escríbelas en el espacio de abajo. 4, 5 y 6. ¿Cuáles son esas fracciones? ______________________________

1. Hay once fracciones distintas a

3

4

y

5

6

______________________________ (observa que

3 3



4 4



5 5



6 6

 1).

a) ¿Cuál de las parejas de fracciones que construiste produce la suma menor? _____________________________

a) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma menor. _____________________________ b) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma mayor. __________________________

b) ¿Cuál es la pareja cuya suma es mayor? _____________________________ 3. ¿Cuáles son las fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, 6 y 8? _________________________ ______________________________ ______________________________

4. Ahora tú elige cuatro números enteros y forma las fracciones que se pueden construir con ellos. Escribe esas fracciones en el espacio de abajo.

a) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma menor. a) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma menor. _____________________________ _____________________________ b) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma mayor. b) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma ma_____________________________ yor. __________________________

5. Elige cuatro de los números 9, 10, 13, 14, 15 y 26 de manera que con ellos se formen las dos fracciones cuya suma se la menor posible. ¿Cuáles son esas dos fracciones? _______________________________________________________________ 6. ¿Encontraste un método para saber cuál pareja o terna de fracciones dará la suma mayor y cuál dará la suma menor? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. _____________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. En la presentación de este bloque se hace mención a que el significado que se induce para las fracciones comunes es el de “números que expresan cantidad y tamaño”. Discute con tus compañeros y tu profesor estesignificado y haz un resumen con tus propias conclusiones. 2. Identifica los contenidos matemáticos que se incluyen de manera explícita e implícitaen las hojas de trabajo del bloque. 3. Elabora una tabla que relacione los contenidos de las hojas de trabajo del inciso anterior con los de la educación básica. 4. En la presentación sehace referencia a las fracciones unitarias para producir fracciones de una misma clase como parte importante para desarrollar el trabajo con las fracciones. Discute en grupo a qué se refiere esto e identifica en las hojas de trabajo ejemplos que lo ilustren. 5. Discute con tus compañeros el rol de la calculadora en las actividades de este bloque y elabora un breve ensayo al respecto. 6. Realiza lo que se indica a continuación: - Encuentra artículos de investigación que reporten las diferentes dificultades que han sido detectadas en la enseñanza y aprendizaje de las fracciones y elabora un reporte al respecto. Preséntalo a tus compañeros. - Selecciona una o más hojas de trabajo de este bloque para abordar alguna de las dificultades investigadas en el inciso anterior, realiza en caso necesario ajustes a la(s) hoja(s) de trabajo. Justifica la selección y modificaciones hechas. - Realiza una práctica con estudiantes de educación básica para poner a prueba las hojas de trabajo que seleccionaste en el inciso anteriory haz un registro de lo sucedido. - Comparte con tus compañeros lo realizado en la práctica y considera sus observaciones para realizar ajustes en tu plan de clase. 7. Realiza una investigación sobre los números racionales, elabora una presentación y compártela con tus compañeros.