4 Reflexion der Unterrichtseinheit Um eine praktische Umsetzung der Förderung der Argumentationskompetenzen innerhalb der Unterrichtseinheit zu verdeutlichen, wird unter Verwendung von Schüleraussagen anhand von Audiomitschnitte in Transkriptform der Verlauf ausgewählter Unterrichtsstunde näher betrachtet und ausgewertet. Abschließend wird ein Versuch aufgestellt, die zentralen Fragen der Arbeit hinsichtlich der theoretischen Einbettung sowie der Ergebnisse der praktischen Umsetzung der Unterrichtseinheit zu beantwortet.

4.1 Verlauf und Auswertung der ersten Unterrichtsstunde Da die Schüler bereits in der Stunde des Vortests mit dem Legespiel „Tangram“ bekannt gemacht worden sind, galt es, die ersten mathematischen Zusammenhänge anhand einer Forscherfrage herzustellen. Den Lernenden sind die geometrischen Figuren des Tangrams begannt, jedoch hat ein direkter Flächenvergleich von mindestens zwei Figuren wie beispielsweise Parallelogramm und Dreieck sehr wahrscheinlich noch nicht stattgefunden. Hinsichtlich des Gesamtlernziels der Unterrichtseinheit bestand das Groblernziel der ersten Stunde (Verlauf siehe Anhang) darin, die Größenverhältnisse aller geometrischen Figuren des C-Tangrams durch Flächeninhaltsvergleiche verständlich zu erläutern. Um das Verständnis der Forscherfrage zu überprüfen, wurde der Begriff ‚Flächeninhalt‘ wiederholt sowie der Flächeninhaltsvergleich der beiden kleinen Dreiecke und des kleinen Dreiecks mit dem Quadrat eingefordert. An dieser Stelle wurde von XXX die Kongruenz der beiden kleinen Dreiecke mit Hilfe der Tans begründet und von XXX der Flächeninhaltsvergleich des kleinen Dreiecks und des Quadrates vorgenommen. Somit war gewährleistet, dass allen Schülern der Klasse bewusst war, wie der Vergleich zweier Flächen im Umgang mit den Tans des Tangrams durchgeführt werden kann. In der Einzel- und Gruppenarbeit wurde deutlich, dass diese Vorgehensweise das Begründen der Größenverhältnisse der Flächen erleichterte. In der „Ich-Phase“ wurden weitere Vergleiche von mindestens zwei beliebigen Figuren des Tangrams unter der Fragestellung „Was haben die Figuren gemeinsam?“ durchgeführt. Die Bearbeitung dieser Aufgabe konnte auf der enaktiven, ikonischen oder symbolischen Darstellungsebene

durchgeführt

werden.

In

der

Beobachtungsgruppe

hat

der

Flächenvergleich jeweils zwischen dem großen Dreieck und dem Parallelogramm oder dem kleinen Dreieck ausschließlich auf der ikonischen Ebene stattgefunden, um die Größe des Flächeninhalts mit Hilfe des passgenauen Auslegens mit dem kleinen Dreieck zu begründen. XXX begründete die Beziehung zwischen dem kleinen und großen Dreieck neben der ikonischen Darstellung mit notierten Zahlen und schlussfolgerte: 2 U: […] Also das Kleine ist viermal kleiner als das Große und 3 das Große ist viermal größer als das Kleine. (07.11.2011 Szene 1)

Alle Kinder der Beobachtungsgruppe sind nach der Präsentation ihrer Entdeckungen zur Erkenntnis gekommen, dass das Parallelogramm mit zwei kleinen Dreiecken und das große Dreieck mit vier kleinen Dreiecken passend ausgelegt werden kann. Erst im weiteren Verlauf stellte die Gruppe fest, dass hinsichtlich der Vollständigkeit des Herausfindens der Beziehungen aller Tans, die Fixierung des Flächeninhaltes des Quadrats sowie des mittlere Dreiecks fehlt. Bei der Darstellung des Flächeninhaltes des Quadrates und des mittleren Dreiecks stellten die Kinder fest, dass sich die jeweiligen Flächen, ebenso wie das Parallelogramm, mit zwei kleinen Dreiecken auslegen lassen und somit den gleichen Flächeninhalt aufweisen. Um zur Begründung zu gelangen, dass alle Tans in einem bestimmten Größenverhältnis zueinander stehen, ordnen die Kinder der Gruppe die Tans nach der Größe des Flächeninhaltes, wie folgt beschrieben: 1 M: […] „Der große Flächeninhalt ist .. hm.. die 2 Erklärung ist, dass - jetzt mal als Beispiel, weil da vier kleine Dreiecke rein passen. 3 4

Bei den mittlersten Flächeninhalten ist die Erklärung, weil da zwei reinpassen und bei dem kleinsten Flächeninhalt ist halt die Erklärung, dass da nur eins reinpasst.“ (07.11.2011 Szene 3)

Das Größenverhältnis wurde anhand der Aufzeichnungen verständlich dargestellt und begründet. Für die Darstellung der Begründung wurden die jeweiligen geometrischen Figuren durch das Umranden der Tans aufgezeichnet sowie die Begrenzungsflächen der innenliegenden kleinen Dreiecke markiert. In einem Gespräch zwischen XXX und XXX wurde diese Begründung präzisiert und Folgendes hinzugefügt: „Sie haben gemeinsam, dass in jeder Figur mindestens ein kleines Dreieck ist.“ Dieses Argument beherbergt das Argument, dass sich jede geometrische Figur des Tangrams mit kleinen Tan-Dreiecken auslegen lässt. Die Schüler der anderen Kleingruppen haben ähnliche Vorgehensweise angewendet und sind hinsichtlich der Entdeckung der Größenverhältnisse der Flächeninhalte zu gleichen Ergebnissen gekommen. Während der Präsentation konnten sie die Ergebnisse begründen, indem sie mit Hilfe des Plakates ihre Vorgehensweise zum Finden der Flächeninhalte aller Figuren verbalisierten und der Klasse vorstellten. Alle Plakate dienten als Argumentationshilfe. In der Reflexion wurde die Aussage „, dass […] in das riesige Quadrat, aus den zwei Teilen, acht kleine Dreiecke reinpassen […], näher betrachtet. Diese Darlegung gab Anlass, die Schüler aufzufordern, das beschriebene Größenverhältnis der Fläche des kleinen Dreiecks und der Gesamtfläche des Tangrams in Form des Quadrates zu hinterfragen. Die Schüler konnten diese Aussage widerlegen, indem sie schrittweise die Überlegung aufstellten, welche Tans im Tangram vorhanden sind und mit wie vielen kleinen Dreiecken diese jeweils passend ausgelegt werden können. So kamen sie zu dem Ergebnis, dass das C-Tangram mit 16 kleinen Tan-Dreiecken ausgelegt werden kann und somit ein Größenverhältnis zwischen der Fläche des kleinen Dreiecks und des Tangrams von 16:1 besteht. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass sich alle Schüler der Klasse zunächst auf die Forscheraufgabe einließen und motiviert an der Lösung arbeiteten. Die Schüler nutzten in

der Stunde die Möglichkeit, einen einfach zu durchschauenden Sachverhalt vollständig und schlüssig zu begründen, in dem sie die Größenverhältnisse der geometrischen Figuren des C-Tangrams durch Flächeninhaltsvergleiche verständlich erläuterten. Um nun in der Gruppe herauszufinden, in welcher Beziehung allen Tangram-Teilen hinsichtlich des Flächeninhaltes stehen, nutzten die Schüler einen aus der vorherigen Stunde aufgestellten Fahrplan (1. Ergebnisse präsentieren und vergleichen; 2. Über Forscheraufgabe diskutieren; 3. Entdeckungen begründen). Wie sich herausstellte erwies sich dieser in der beschriebenen Stunde als dienlich, um eine Begründungsabfolge in der Gruppenarbeit zu gewährleisten.

4.2 Verlauf und Auswertung der fünften Stunde Das Hauptanliegen der Stunde bestand darin, dass die Schüler die Beziehung zwischen den Ähnlichkeitsabbildungen mit Hilfe der Vergrößerungen des Tangram-Quadrates kausal begründen können (Stundenverlaufsplan siehe Anhang). Das bedeutet, dass die Schüler in der Lage sind, diesen komplexen Sachverhalt (Seitenlänge und Flächeninhalt) in Form einer „Wenn-Dann-Beziehung“ zu beschreiben und somit eine Begründung impliziert wird. Auch für diese Stunde wurde für die methodische Vorgehensweise das Vier-PhasenUnterrichtsmodell nach Bezold angewendet. Der Einstieg diente der Wiederholung des Begriffs Flächeninhalt, der für den weiteren Verlauf der Stunde von Bedeutung war. An dieser Stelle ermittelten die Schüler den Flächeninhalt des C-Tangrams mit Hilfe des kleinen Tan-Dreiecks. An dieser Stelle nutzten sie die Erkenntnisse zum Flächeninhalt der Tans der vorangegangenen Stunden. Zur

Überprüfung

des

Verständnisses

der

Forscheraufgabe

wurde

zunächst

eine

Handlungsabfolge zu mehreren Vergrößerungen des kleinen Dreiecks eingefordert. Schnell war ihnen klar, dass das mittlere und das große Tan-Dreieck eine Vergrößerung des kleinen Tan-Dreiecks

darstellten.

Es

ist

davon auszugehen,

dass

die Schüler

aufgrund

vorangegangener Stunden das Prinzip der Verdopplung des Flächeninhalts nachvollziehen können,

da

sie

in

der

Lage

waren,

genau

unter

diesem

Aspekt

weitere

Ähnlichkeitsabbildungen des großen Tan-Dreiecks zu konstruierten. An dieser Stelle fand lediglich eine handelnde Begründung statt, sodass ein Transfer zur Lösung des Forscherauftrages gezogen werden konnte. Die Kinder hatten nun in der „Ich-Phase“ die Möglichkeit, sich individuell mit der Vergrößerung

des

Quadrates

auseinanderzusetzten

und

erste

Begründungen

zu

formulieren, wie und warum sich die Figur vergrößert und welche Beziehung zwischen den Ähnlichkeitsabbildungen

besteht.

Auch

dieser

Forscherauftrag

wurde

unter

einer

Fragestellung bearbeitet. Um ihre Vorgehensweise verständlich darzustellen, haben sie die jeweiligen Quadrate (Ähnlichkeits-abbildungen) zunächst mit Hilfe der Tan-Dreiecke gelegt und diese anschließend auf ein leeres Blatt übertragen. An dieser Stelle wurden die Schüler dazu angehalten, die enaktive in die ikonische Darstellungsebene zu überführen.

Die Vergrößerung des Quadrates fand auf zwei Wegen statt: 1. Weg Tan-Quadrat Quadrat aus mittleren und zwei kleinen Dreiecken Quadrat aus zwei großen Dreiecken Quadrat aus vier großen Dreiecken (oder unterschiedlich großen Dreiecken) 2. Weg Tan-Quadrat Quadrat aus vier Tan-Quadraten Die Schüler der Beobachtungsgruppe haben voneinander unabhängig den ersten Weg gewählt und ihre Ergebnisse zur Vergrößerung zunächst präsentiert und verglichen. Dabei stellten sie fest, dass sie jeweils die gleichen Ähnlichkeitsabbildungen des Quadrates fanden. Letztendlich unterschied sich lediglich nur die Auswahl und Anordnung der Dreiecke zum Konstruieren des größten Quadrates. Im Verlauf der Diskussion, wie sich die Quadrate vergrößert haben, handelte es sich zunächst um geeignete Begründungsideen, die jedoch im Sinne einer schlüssigen Argumentation nicht zu Ende geführt wurden. In diesem Abschnitt vertieften sich die Kinder darin, zu beschreiben wie vergrößert wurde. Jedoch ist von der Beschreibung eine Begründung nicht eindeutig abzutrennen. Im Verlauf der Diskussion entwickelte sich eine Argumentation hinsichtlich der Beziehung der Ähnlichkeitsabbildungen auf Grundlage des Flächeninhaltes. Es wurde herausgefunden, dass sich der Flächeninhalt jeweils zur nächst größeren Ähnlichkeitsabbildung verdoppelt. 74 75 76 77 78

M […] Da waren nur zwei und da haben wir noch zwei mehr dran gelegt. Also ist die Figur größer geworden. A: Ja stimmt. Das hat man eigentlich nur auseinandergelegt, hier hingesetzt und das Gleiche nochmal verdoppelt. (12.12.2011 Gruppenarbeit Szene 1)

1 3 11 12 13 14

M: So haben wir herausgefunden, dass wir die Figuren immer verdoppeln. […] LAA: Was verdoppelt sich denn? N: Die Flächeninhalte verdoppelt. M: Der Flächeninhalt wird verdoppelt. Ja stimmt! A: Stimmt! M: Der Flächeninhalt verdoppelt sich. Wir haben immer nur gesagt, dass sich die Figuren verdoppeln, obwohl sich doch der Flächeninhalt verdoppelt. A: Nein. Es verdoppelt sich ja beides, die Figur mit dem Flächeninhalt. (Szene 2)

15 16

Schritt für Schritt entwickelte sich die Argumentation weiter, indem sie die Veränderung des Flächeninhaltes

und

der

Seitenlänge

zweier

Ähnlichkeitsabbildungen

in

einen

Zusammenhang brachten. 28 29 30

A: Aber hier beim Zweiten also es verdoppelt sich ja immer die Seitenlänge. Das wird frei gelassen. (zeigt auf das zweite Quadrat) Die Seitenlängen sind immer doppelt so groß und der Flächeninhalt ist viermal so groß. (Szene 2)

Die Schüler der Beobachtungsgruppe stellten ihre Ergebnisse auf einem Plakaten nachvollziehbar dar. Sie konnten zum einen den Lösungsweg und zum anderen die Begründung hinsichtlich der Beziehung der Ähnlichkeitsabbildungen verdeutlichen. Weiterhin war es ihnen möglich Kausalzusammenhänge der Ähnlichkeitsabbildungen zu beschreiben, indem die Veränderung des Flächeninhaltes und der Seitenlänge implizit begründeten. In dieser Stunde stellte hinsichtlich der Weiterentwicklung der Argumentation die Reflexionsphase eine bedeutende Rolle dar. Auf die Frage des Lernzuwachses, wurde von einem Schüler verallgemeinert, dass „[…] man alle Figuren vergrößern kann“ (XXX in Reflexionsphase). Diese Aussage wurde durch Martha hinsichtlich der Vorgehensweise des Vergrößerns detaillierter beschrieben. M: Wir haben gelernt, dass Figuren – wenn man Figuren an andere Figuren dazulegt sie sich vergrößern können aber immer noch die gleiche Figur bleiben. […] (12.12.2011 Reflexionsphase) In einer Gruppe wurde eine Ähnlichkeitsabbildung mit vier Quadraten dargestellt, welche jeweils aus zwei großen Dreiecken bestehen. Albert beschrieb aus den Erkenntnissen dieser Stunde die Vorgehensweise der Vergrößerung dieses Quadrates 6 7 8 9 10 11 12

A: […] Das hier ist die Vergrößerungsform von dem. Das hier (zeigt auf ein mit 4 Dreiecken ausgelegte Quadrat) ist einfach darein gesetzt, viermal. LAA: Begründe, warum? A: Weil das hier ist auch in der Mitte (fährt mit dem Finger die Diagonale des Quadrates ab) geteilt und das wird dann einfach viermal hier reingesetzt (zeigt auf Vergrößerung). Und weil alles gleich ist (12.12.2011 Reflexionsphase).

Dies gab zwei Schülern der Lerngruppe Anlass, Vermutungen über eine weitere Ähnlichkeits-abbildung bzw. die nächste Vergrößerung aufzustellen und diese zu begründen. Wie die Begründung aufgestellt wurde, wird im nächsten Punkt „Reflexion“ der Unterrichtseinheit anhand der Vorüberlegungen näher erläutert. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass alle Schüler der Lerngruppe sehr eifrig an der Forscheraufgabe arbeiteten und aufgrund der Kooperation in der Gruppenarbeit zu den gleichen Ergebnissen gelangten. Die Lernenden konnten einen komplexen mathematischen Sachverhalt, die Beziehung von Ähnlichkeitsabbildungen mit Hilfe der Vergrößerungen des Tan-Quadrates, kausal begründen.

4.3

Gesamtreflexion

unter

Berücksichtigung

der

zentralen

Fragestellungen der Arbeit Abschließend wird betrachtet, inwieweit die Unterrichtseinheit „Tangram-Knobeleien“ zur Förderung der Argumentationskompetenzen anhand geometrischer Forscheraufgaben bei den Schülern beitragen konnte. Dabei sollen aus den in der Unterrichtseinheit aufgeführten

Unterrichtsstunden einige Sequenzen mit Blick auf die der Hausarbeit zugrundeliegenden Fragen betrachtet werden. Kann innerhalb dieser Einheit eine Förderung der Argumentationskompetenzen verzeichnet werden?

Dass

innerhalb

der

Unterrichtseinheit

eine

punktuelle

Förderung

der

Argumentations-kompetenzen, vor allem in den Phasen der Gruppenarbeit und der Reflexion stattgefunden hat, ist exemplarisch dem vorangegangenen Punkt „Darstellung ausgewählter Unterrichtsstunden“ zu entnehmen. Wie aus dem Theorieteil hervorgeht, ist die Förderung nicht nur im Zusammenhang mit gegebenen Hilfen, wie passenden Fragestellungen zur Thematik zu betrachtet, sondern beinhaltet ebenso eine Weiterentwicklung. Eine Weiterentwicklung der Argumentationskompetenzen konnte an dieser Stelle nicht konkret überprüft werden. Jedoch konnten die Schüler durch immer komplexer werdende geometrische

Sachverhalte

ihre

Fähigkeit

hinsichtlich

der

bereits

vorhandenen

Argumentationskompetenzen ggf. unter Verwendung von Hilfestellungen aktivieren sowie üben. Wie argumentieren Grundschüler hinsichtlich geometrischer Sachverhalte und was lässt sich daraus folgern? Um eine Antwort auf diese Frage zu erzielen, werden an dieser Stelle weitere ausgewählte Schüleraussagen aus den Gruppenarbeiten sowie Reflexionsphasen anhand von Audiomitschnitte in Transkriptform herangezogen. Mit Blick auf den theoretischen Teil beinhalten die Argumentationskompetenzen das Erkennen, Beschreiben und Hinterfragen von mathematischen Zusammenhängen sowie das Finden und Nachvollziehen von Begründungen. An Szenen (siehe Anhang), die aus der Stunde vom 07.11.2011 entstammen, soll die Argumentationskette dargestellt werden. In der Einzelarbeitsphase entdeckte jeder Schüler der Beobachtungsgruppe mathematische Zusammenhänge, welcher er zu Beginn des Forschertreffs präsentierte, indem mindestens ein Größenverhältnis hinsichtlich des Flächeninhalts zweier Tan-Teile auf unterschiedlichen Niveaus beschrieben wurde. 16 N: […] In das Parallelogramm passen zwei kleine Dreiecke und 17 in das großen Dreieck passen vier kleine Dreiecke rein.(Gruppenarbeit Szene 1) Diese Aussage spiegelt eine einfache Beschreibung der Entdeckung wieder, indem anhand einer Skizze das Größenverhältnis zweier geometrischer Figuren verbalisiert wird. Es wurde ein Zusammenhang zwischen dem kleinen Tan-Dreieck und einer weiteren Figur des Tangrams hergestellt. Eine Aussage zu dem Zusammenhang zwischen den ausgewählten Tan-Figuren (großes Dreieck ist doppelt so groß wie das Parallelogramm) bleibt an dieser Stelle aus. 2 3

[…] Also das Kleine ist viermal kleiner als das Große und das Große ist viermal größer als das Kleine. (Gruppenarbeit Szene 1)

In dieser Beschreibung wird das Größenverhältnis konkreter dargestellt, wobei das Verhältnis von dem kleinen zum großen Tan-Dreieck und umgekehrt beschrieben wurde. Im weiteren Verlauf des Forschertreffs wurden die noch fehlenden Tan-Figuren (Quadrat und mittleres Dreieck) auf ihren Flächeninhalt überprüft und mit den bereits bestehenden

Entdeckungen verglichen, wobei wiederholt demonstriert wurde, wie die Tan-Figuren mit dem kleinen Dreieck auszulegen sind. 1 M: Aber eigentlich – guck mal hier (nimmt Parallelogramm) Das nimmt doch eigentlich 2 die gleiche Fläche weg mit dem Quadrat, weil zwei kleine Dreiecke in beiden drin sind. 3 Nimmt doch eigentlich die gleiche Fläche weg. Oder? 4 A: Ja! Da ist noch eine Figur dran. 5 M: Deshalb sind sie gleich groß eigentlich. […] (Gruppenarbeit Szene 2) 7 M: Wir haben immer noch das Problem beim Mittleren. Da passt nur einmal hier das 8 Kleine rein und sonst nirgends noch! 9 A: Das haben wir doch schon festgestellt! (legt kleines Dreieck in ins mittlere Dreieck, 10 sodass die lange Seite des kleinen Dreiecks an der kurzen Seite des mittleren Dreiecks 11 genau anliegt und dreht es um eine kurze Seite) 12 M: Ach so! (ahmt das Auslegen nach) Aber dann ist das doch auch die gleiche Fläche 13 wieder! (Gruppenarbeit Szene 2) An dieser Stelle wurde die Gleichheit des Flächeninhalts des Tan-Parallelogramms, Quadrates und mittleren Tan-Dreieck so begründet, dass an das kleine Dreieck ein weiteres kleines Dreieck durch ein bestimmtes Vorgehen (bspw. Achsenspiegelung an Kathete oder Hypotenuse des kleinen Dreiecks) so angelegt werden muss, dass die vorliegenden TanFiguren entstehen. Über den Weg des Auslegens der Tan-Figuren mit Hilfe des kleinen Dreiecks erfolgt die Begründung für einen einfach zu durchschauenden Sachverhalt. 18 U: Bei den Größten ist der Flächeninhalt vier, bei den mittlersten ist der Flächeninhalt 19 zwei und bei den kleinsten…. 21 U: Ist der Flächeninhalt eins. 24 A: Sie haben gemeinsam, dass in jeder Figur mindestens ein kleines Dreieck ist. (Gruppenarbeit Szene 3) Diese Begründung beinhaltet, dass die Tan-Figuren in einem bestimmten Größenverhältnis hinsichtlich des Flächeninhaltes zueinander stehen, da sich jede geometrische Figur mit mindestens einem kleinen Dreieck passend auslegen lässt. In der Stunde vom 12.12.2011 sollten die Schüler die Ähnlichkeit der Tan-Dreiecke (klein, mittel, groß) schlüssig begründen. An dieser Stelle wird vordergründig dokumentiert, wie ein Teil des Ähnlichkeitssatzes von zueinander ähnlichen Dreiecken (α=α´, β=β´, γ=γ´) bzw. der Begriff Winkel in die Begründungsfindung einfließen und die Illustration zustande kommt. Der anfängliche Begründungsversuch von XXX „Ja oder sie sind alle […] ähnlich, weil alle drei Ecken haben und alle drei Seiten“ scheiterte an dem vom Ulrich vorgetragenen plausiblen Argument „Na und? Das hat doch jedes Dreieck.“ Folglich wurde dieser Begründungsversuch verworfen. Im Laufe der Diskussion bezüglich der Ähnlichkeit der Dreiecke wurden zwei Fakten, die Streckung der Seitenlängen und die Winkel, voneinander abgegrenzt. Hinsichtlich der Seitenverhältnisse wurden Begründungsideen verbalisiert, jedoch nicht als vollständige Begründung geliefert.

70 71

M: Die werden auseinander gezogen. Die werden lang gezogen? A: Die Seiten werden verdoppelt. Sie werden bei jeden zweiten verdoppelt.

Diese Aussage impliziert lediglich ein Verständnis für die Vorstellungskraft der Streckung der Tan- Dreiecke um die doppelte Seitenlänge, kann jedoch nicht mit den gleichbleibenden Seitenverhältnissen in Verbindung gebracht werden. Eine konkrete Verbalisierung der Seitenverhältnisse und deren vollständige Begründung ist in einer vierten Jahrgangsstufe noch nicht zu erwarten, da die mathematischen Voraussetzungen (Strahlensätze) nicht gegeben sind. Dem entgegen haben die Lernenden der Beobachtungsgruppe eine sich auf einer

Begründungsidee

aufbauende

schlüssige

Argumentation

hinsichtlich

der

gleichbleibenden Winkel zu Ende geführt. Zu Beginn wurde der Versuch aufgestellt, inwieweit die entsprechenden Winkel von mindestens zwei Dreiecken übereinstimmen, ohne den Begriff Winkel zu verwenden. 30 31 32 33

[…]. Das kann man hier mal ausprobieren. Hier (legt zwei Dreiecke in einem Winkel genau aufeinander,) das passt da rein (schiebt Winkel α übereinander), das passt da rein (schiebt Winkel γ übereinander) und das passt da rein (schiebt Winkel β übereinander).

Dabei wurden die entsprechenden Winkel auf der enaktiven Darstellungsebene miteinander verglichen, indem zwei Dreiecke so aufeinander gelegt wurden, dass die entsprechenden Winkel zueinander deckungleich sind. Für alle drei Winkel wurde dieses Verfahren durchgeführt. Diese Aussage wurde durch die Hinzunahme des kleinen Tan-Dreiecks bekräftigt, sodass die Gleichheit der entsprechenden Winkel von nun drei Tan-Dreiecken in Verbindung gebracht wurde. 44 45

A: Ich such mein Dreieck. Ja hier das passt auch wieder da rein (nimmt kleines Dreieck und legt es in den Winkeln an) Sogar das Kleinste passt da rein. Hier.

Die Schüler nutzten zum Belegen der Gleichheit der entsprechenden Winkel der zueinander ähnlichen Dreiecke verschiedene Kombinationen von jeweils zwei Tan-Dreiecken. Eine komplexere Darstellung der Ähnlichkeit aller Dreiecke bot XXX, indem sie das kleine Dreieck und dessen Ähnlichkeitsabbildungen so übereinanderlegte, dass sie in einem Winkel (α) zueinander deckungleich sind. Um zu zeigen dass dies auch auf den rechten Winkel aller Tan-Dreiecke zutrifft, wurde diese Herangehensweise auf den Winkel übertragen. Diese Darstellungen, welche für die Illustration genutzt wurden, stellte die Grundlage zur allgemeinen Aussage der Gleichheit der entsprechenden Winkel dar. 60 61 62 63 64 65 66

A: Alle Winkel sind gleich. U: Ja. ähm! A: Doch! U: Bei allen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel gleich. A: Jaaaa! U: Weil der und der ist nicht gleich (zeigt Vergleich von rechten und weiteren Winkel mit zwei Dreiecken).

Aus dem Transkriptionsausschnitt ist zu entnehmen, wie die Gruppe zu dem Begriff „entsprechenden Winkel“ kam. Zunächst wurde verbalisiert, dass alle Winkel gleich sind. An dieser Stelle wurde der zutreffende mathematische Sachverhalt gemeint, jedoch nicht korrekt

zum Ausdruck gebracht. Von einem Schüler wurde die Aussage revidiert, indem er sinngemäß erklärte, dass es sich nicht um ein gleichwinkliges Dreieck handelt, sondern der rechte Winkel und die beiden anderen Winkel voneinander zu unterscheiden sind. So wurde diese Aussage präzisiert, indem nicht alle Winkel gleich sind, sondern die entsprechenden Winkel. Die Darstellung dieser Überlegungen sind dem Anhang zu entnehmen. Die Schüler der Beobachtungsgruppe betrachteten lediglich den Winkel α und den rechten Winkel der Dreiecke. An dieser Stelle ist nur zu vermuten, dass die Schüler wussten, dass der Winkel β dem Winkel α aufgrund der Kenntnis der Achsenspiegelung entspricht. Die Ähnlichkeit der Tan-Dreiecke wurde anhand der Gleichheit der entsprechenden Winkel durch

eine

verbale

Beschreibung

in

Verbindung

einer

ikonischen

Darstellung

operationalisiert begründet, auch wenn diese nicht als vollständig zu betrachten ist. Eine weitere operationalisierte Begründung verbunden mit einem Gegenbeispiel fand in der fünften Stunde der Einheit statt. Die Schüler beschäftigten sich mit dem Herstellen von Ähnlichkeitsabbildungen

durch

das

Vergrößern

des

Tan-Quadrates

und

gaben

Begründungen für deren Beziehungen. Zunächst argumentierte ein Schüler, dass „man alle Figuren vergrößern kann“. Es ist daraus zu schließen, dass nach dem Vergrößern des TanDreiecks in der Erarbeitungsphase und des Tan-Quadrates die folgerichtige Erkenntnis besteht, dass alle geometrischen Figuren vergrößert werden können. XXX erweitert diese Aussage, indem sie die Vorgehensweise der Vergrößerung bzw. Ähnlichkeitsabbildungen wie folgt beschreibt. M: Wir haben gelernt, dass Figuren – wenn man Figuren an andere Figuren dazulegt sie sich vergrößern können aber immer noch die gleiche Figur bleiben. […] Anhand dieser Begründung wird deutlich, dass die Schülerin verallgemeinert darstellt, dass die jeweiligen Ähnlichkeitsabbildungen die geometrischen Eigenschaften der Originalfigur beibehalten und lediglich in ihrer Größe verändert werden. In Folge der Erläuterung des Lernzuwachses blieb die Thematik des Findens von Ähnlichkeitsabbildungen gegenwärtig, indem Albert die Beziehung zwischen zwei Ähnlichkeitsabbildungen des Tan-Quadrates entdeckte, beschrieb und plausibel begründete. 6 7 8 9 10 11 12

A: Ich habe gerade noch was rausgefunden. Das hier ist die Vergrößerungsform von dem. Das hier (zeigt auf ein mit 4 Dreiecken gebildetes Quadrat) ist einfach darein gesetzt, viermal. LAA: Begründe, warum? A: Weil das hier ist auch in der Mitte (fährt mit dem Finger die Diagonalen des Quadrates ab) geteilt und das wird dann einfach viermal hier rein gesetzt (zeigt auf Vergrößerung). Und weil alles gleich ist.

Diese Aussagen bestätigen die Ergebnisse der Gruppenarbeit: Wenn sich die Seitenlänge verdoppelt, sich er Flächeninhalt vervierfacht. Auch wenn der Schüler diese Begründung an dieser Stelle nicht verbalisiert, ist davon auszugehen, dass er auf Grundlage dieser Erkenntnis, die besagte Ähnlichkeitsabbildung als eine Vergrößerungsform einer weiteren Ähnlichkeits-abbildung des Tan-Quadrates deklariert. An diese Aussage schließt sich ein Begründungs-versuch an, der verallgemeinert, wie eine weitere Ähnlichkeitsabbildung

hergestellt werden kann. Zunächst wird eine Vermutung durch ein „mentales Ansetzen“ weiterer Quadrate durch die Verlängerung der Seitenlängen von einem Schüler aufgestellt. 13 14 15 16 17 18 19

J: Ähm ich habe auch noch sowas rausgefunden. Aber das ist nur so ne GedächtnisVermutung, erstmal. Also wenn ich hier von wieder das Größere will, dann muss ich an jede Seite immer zwei legen. Dann ist es noch größer. So aber dann ist es an den Seiten wieder größer und dann springt es an zwei. Dann sind es vier und dann muss ich es vier machen. Und dann sage ich mal ist das so groß. (fährt den Umfang des Quadrates mit einem Finger ab). Und dann kann ich wieder vier machen und dann ist ne, also das ist ne Gedächtnis.

Dieser Aussage liegt das von XXXs vorgegebene Muster zugrunde. Zunächst ist ein Quadrat aus wiederum vier Quadraten (2x2-Quadrat) vorhanden. Durch das Ansetzen von jeweils zwei Quadraten an der a1 und a2 Seite und den „Auffüllquadraten“ entsteht eine weitere Ähnlichkeits-abbildung (4x4-Quadrat). Die Seitenlänge wurde verdoppelt und somit der Flächeninhalt vervierfacht. Diese Argumentation wird zunächst durch eine weitere Vorgehensweise zur Findung weiterer Ähnlichkeitsabbildungen erweitert, indem nicht die Verdopplung der Seitenlänge, sondern die Vervierfachung des Flächeninhaltes betrachtet wurde. 21 22 23

Ja: Er hat im Prinzip schon Recht. Man kann dreimal das Quadrat drum legen. Aber man muss das immer verdreifachen. Man muss immer vier davon machen. Und dann muss man wieder acht davon machen. Dann erhält man nur ein Rechteck.

Der Schüler spricht von einer Verdreifachung, da das Quadrat jeweils dreimal angesetzt wird. Jedoch meint er die Vervierfachung des Flächeninhaltes. Seine Begründung für die Vergrößerung eines Quadrates erschließt sich darin, dass er das neuentstandene Quadrat als Ganzes betrachtet und von diesem ausgehend wieder drei Quadrate gleicher Größe ansetzt und somit den Flächeninhalt jeweils vervierfacht. Aus der Aussage, dass eine Abbildung aus acht Quadraten nur ein Rechteck bilden kann, ergibt sich ein Gegenbeispiel. Dieses belegt, dass ein Quadrat, welches wiederum aus Quadraten besteht, gleich lange Seiten haben muss. Eine sehr interessante Beobachtung hinsichtlich des „Zusammenbegründens“ ist der Stunde vom 28.11.2011 zu entnehmen. Das Agieren im Forschertreff, welcher in dieser Einheit aus maximal vier Schülern bestand, stellte sich nicht immer als einfach heraus, dass es galt, maximal vier Vorgehensweisen hinsichtlich des Argumentierens zu berücksichtigen. Hinzu kommt, dass die vorliegenden Ergebnisse hinsichtlich des Begründens mathematischer Zusammenhänge nicht allen Schülern der Gruppe genügte und Wege zu finden waren, neue Argumente aufzustellen oder Argumentationen zu erweitern. Aus diesen Annahmen heraus, begründet sich die Abkapslung der beiden Jungen von der Kleingruppe (siehe Anhang Nebendiskussion).

Um einer

Entdeckung

zur

allgemeingültigen Vergrößerung des

Flächenumfangs nachzugehen, gingen diese in Partnerarbeit über, da die Mädchen keinerlei Interesse zeigten dieser zu folgen. An dieser Stelle könnte vorsichtig vermutet werden, dass den Schülerinnen die rein mentalen Handlungen der beiden Jungen nur mit Hilfe ihrer aufgezeichneten Tangram-Figuren zu abstrakt erscheinen. Dabei stellte XXX den Versuch

auf, XXX zu begründen, wie der Umfang seiner erstellten Tangram-Figur durch das Verschieben bzw. Auseinanderziehen zweier Tan-Figuren weiterhin vergrößert werden könnte. Im Vorfeld wurde die Regel aufgestellt, dass sich die Seiten der anliegenden Seiten berühren müssen. Seine Begründung ist plausibel, denn 110 U: […] Wenn du das hoch schiebst und das runter, dann 111 könnte man das Kleine runter schieben und das bleibt immer noch da dran. (Nebendiskussion) Das impliziert die Begründung: Wenn die Tan-Figuren so verschoben werden, ein kleiner Teil der Seitenlänge zweier Tan-Figuren noch aneinander liegt. So kann die nach außen verschobene Seitenlänge der jeweiligen Tan-Figuren zum Flächenumfang gerechnet werden und trägt zur Vergrößerung des Umfangs der Tangram-Figur bei. Es spitzte sich eine spannende Diskussion zu, da XXX irrtümlicher Weise der Meinung war, dass XXX sich nicht an die Legeregel hielt. Somit lehnte er Ulrichs Begründung vehement ab. Nach der verbalen Begründungsform, welche mit der ikonischen Darstellung gekoppelt war, folgte die Verlagerung des Problems in die enaktive Darstellungsebene, da diese erlaubte die bereits mentalen Handlungen in eine wirkliche Handlung umzusetzen. Jedoch löste auch diese Darstellungsform die unterschiedliche Auffassung der Legeregel nicht, sodass Albert die Begründung in der Vergrößerung des Flächenumfangs ausschließlich in der Drehung ausgewählter Tan-Figuren seiner Tangram-Figur sah. 119 A: Doch, weil guck mal. Hier bleibt das nur noch übrig (zeigt auf das äußere große 120 Dreieck) Also kann ich das einfach drehen und dann reinsetzten. Auf eine Begründung hinsichtlich der Drehung wurde in der handelnden Phase nicht weiter eingegangen, da die Diskussion leider durch Martha gestoppt und für nichtig erklärt wurde. Letztendlich tragen beide Ergebnisse neben den bereits aufgestellten Begründungen dazu bei, den Flächenumfang einer aus einer bestimmten Anzahl geometrischen Figuren bestehende Gesamtfigur allgemeingültig zu vergrößern, wobei der Flächeninhalt gleich bleibt. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Schüler einer vierten Jahrgangsstufe in der Lage sind, die von Bezold beschriebene Argumentationskette zu durchlaufen, wobei nur in wenigen Fällen ein bewusstes Hinterfragen der geometrischen Zusammenhänge bzw. Entdeckungen stattfand. Die Handlungen der Schüler bezogen sich auf mathematische Zusammenhänge innerhalb des Tangrams. Somit setzten sich die Argumentationen aus einer Fragestellung, die sich aus der Initiierungsphase ergab und dem Beleg anhand von Beispielen zusammen. Da es galt, mathematische Zusammenhänge im Bereich Raum und Form zu erschließen, wählten die Kinder die zeichnerische bzw. ikonische sowie die operative Begründungsform. Die operativen Begründungen basierten oft auf verbalen Beschreibungen oder ikonischen Darstellungen. Da die Schüler im Verlauf der prozessbezogenen Planung einfache bis komplexe geometrische Sachverhalte ggf. mit Hilfestellung lösten, war zu beobachten, dass sie dementsprechend ihre Argumentationen von einfachen Begründungen zu komplexen

schlüssigen Begründungen weiterentwickelten. Dazu wendeten sie zunehmend häufiger Kausalzusammenhänge

in

Form

einer

„Wenn-Dann-Beziehung“

für

komplexe

Zusammenhänge an, die eine Begründung implizieren. Ihre Argumentationen wurden durch die zunehmende Verwendung mathematischer Fachbegriffe verstärkt. Welche methodischen Möglichkeiten eigenen sich zur Förderung der Argumentationskompetenzen? Jeder Stunde der Unterrichtseinheit lag das Vier-Phasen-Unterrichtsmodell nach

Bezold

zugrunde,

welches

durch

immer

gleichbleibenden

Ablauf

der

Unterrichtsstunden ein Orientierungsrahmen für die Schüler darstellte. Den Kindern war neu, dass sie in der Phase des individuellen Entdeckens keine Fragen stellen durften. Sie waren zunächst verunsichert, da sie ohne Tipps zurechtkommen mussten. Im Verlauf der Unterrichtseinheit gewannen sie an Selbstvertrauen, sodass auch die leistungsschwächeren Schüler ein selbstständiges Ergebnis erzielen konnten. Vor allem die leistungsstarken Schüler der Klasse arbeiteten sehr eifrig, da sie für sich sein konnten und nicht unmittelbar in einen Wissensaustausch treten mussten. Diese Phase war für jedes Kind gewinnbringend und motivierend, da jeder nach seinem Leistungsniveau etwas entdecken konnte. Für Schüler in der vierten Klasse ist es wichtig, dass sie sich selbstständig mit Aufgaben auseinandersetzen können. Der Forschertreff, die Phase des gemeinsamen Forschens, stellt für die Schüler eine gewohnte Unterrichtsform dar. Die Voraussetzung für eine funktionierende Gruppenarbeit ist die Festlegung eines Ablaufs. Dieser wurde durch die Kinder in einer auf die Unterrichtseinheit vorbereitenden Stunde selbstständig erstellt. Der Ablauf wurde von der Autorin für jede Stunde aufgegriffen und in eine Art Arbeitsauftrag schriftlich fixiert. Im Laufe der Unterrichtseinheit stellte sich heraus, dass hingegen der Aussagen nach Bezold, schriftlich

fixierte

Arbeitsaufträge

sehr

nützlich

waren.

Sie

dienten

lediglich

als

Orientierungsrahmen und kamen auch nur dann zum Einsatz, wenn die Gruppenarbeit stockte. Neben der inhaltlichen Erschließung stand die Selbsttätigkeit der Schüler im Vordergrund, sodass der Lehrende vor allem die Handlungen beobachtete und bei Bedarf die Rolle des Beraters übernahm. Die Hilfestellungen bezogen sich in der Regel nicht auf inhaltliche Tipps, sondern auf das strategische Vorgehen, um das Entdecken und somit das Argumentieren voranzubringen. Jedoch stellte es sich oft als schwierig heraus, abzuschätzen, an welchen Stellen eine Unterstützung stattfinden könnte und welche Tipps in diesem

Moment

sinnvoll

sind.

Das

„Zusammenargumentieren“

zu

geometrischen

Sachverhalten stellte zunächst eine große Herausforderung dar. Dabei gelang es den Schülern der Beobachtungsgruppe zunehmend sachlich aufeinander einzugehen und Argumente miteinander aufzubauen. Auch die leistungsschwachen Schüler wie XXX profitierten von der Gruppenarbeit. Schüler die „weniger“ entdeckten, waren in der Lage, den Erklärungen ihrer Mitschüler zu folgen und aufzunehmen sowie einen Transfer aus ihren Ergebnissen

zu

ziehen.

Sie

entwickelten

für

das

Ergebnis

gewinnbringende

Begründungsideen, die sie jedoch nicht verständlich verbalisieren konnten. Diese wurden von der Gruppe aufgegriffen und verständlich dargestellt bzw. ‚übersetzt‘.

Für die Schüler war und ist die die Präsentationsphase von großer Bedeutung, denn hier durften sie ihre Ergebnisse darstellen und sich austauschen. Dabei nutzten sie vor allem Sprachmuster wie „Wir haben entdeckt, dass …“. An dieser Stelle war es für die Schüler der jeweiligen Kleingruppen zunächst schwierig, nicht ausschließlich die einzelnen Ergebnisse voneinander

unabhängig

zu

präsentieren.

Im

Verlauf

der

Unterrichtseinheit

war

diesbezüglich ein Fortschritt zu erkennen, da die Schüler zunehmend in der Lage waren, aktiver zuzuhören, die Präsentation somit flexibler zu gestalten und bereits vorgetragene Ergebnisse nicht eins zu eins wiederzugeben. Selbstständig formulierten sie die Ergebnisse mit anderen Worten und teilten ggf. ausschließlich ergänzende Informationen mit. Somit beinhaltete der Lernprozess herauszufinden, was für neue Sachinformationen den Beitrag erweitern. Zunehmend konnten sie auf Fragen eingehen und ihre Ergebnisse kritisch betrachten und auch überdenken. Da den Kleingruppen offen stand, wer die Ergebnisse vorträgt, war zu beobachten, dass in jeder Stunde in der Regel die gleichen Schüler präsentierten. Das könnte abgeändert werden, indem im Verlauf der Unterrichtseinheit jedes Kind der Kleingruppe dazu aufgefordert wird und die Gruppenmitglieder diesen Beitrag lediglich unterstützen.