34 EJERCICIOS de LOGARITMOS

Función exponencial y logarítmica: 1. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación gráfica. ii) Signo de f(x). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntotas. vii) lim f(x) y lim f(x) x → -∞

a) f(x) = 10

x

x→ ∞

b) f(x) = 0,1x y f(x) = log 0,1 x

y f(x) = log x

  ex  e) f(x) = x 2 + x + 1   2x   x−5

d) f(x) = 3 x y f(x) = log 3 x

c) f(x) = e x y f(x) = ln x

si x < 0 si 0 ≤ x < 3 si x ≥ 3

2. El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) obtuvo en 1743 las siguientes fórmulas:

co s θ =

e iθ + e − iθ 2

e iθ − e − iθ 2i

se n θ =

Comprobar que verifican sen2 θ + cos 2 θ = 1 N = x a

⇔

x = N a g o l

Definición de logaritmo:

(donde a>0, a≠1)

Sistemas de logaritmos más utilizados:

log

a=e

Ln, ln

Logaritmo neperiano

1

N = x e

a=10

DEFINICIÓN

N = x 0 1

Logaritmo decimal

⇔ ⇔

NOTACIÓN

x = N n l

BASE

x = N g o l

NOMBRE

donde e ≅ 2,718281828459… se llama cte. de Euler; es un número irracional.

3.

Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: a) log3 9

e) log2 2

i) log4 64

m) log4 256

q) log2 1024

b) log3 81

f) log2 8 g) log101000 h) log4 2

j) log10 0,01

n) log41/64

r) log21/64

k) log41/16

o) log2 0,125

s) log3 27

l) log5 0,2

p) log41

c) log31/9 d) log3(-9)

(Soluc: a) 2;

t) log2 log2 4

b) 4; c) -2; d) ∃ / ; e) 1/2; f) 3/2; g) 3; h) 1/2; i) 3; j) -2; k) -2; l) -1; m) 4; n) -3; o) -3; p) 0;

q) 10; r) -6; s) 3/2; t) 1)

4. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado:

1

En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos.

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Matemáticas I LOGARITMOS ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

a) 10.000

b) 1.000.000

g) 10

h) 1

(Soluc: a) 4; 5.

c) 0,001

8

d) 1/1.000.000

-7

e) 10

f) 10

b) 6; c) -3; d) -6; e) 8; f) -7; g) 1; h) 0)

Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: a) log2 8=x

f) log3 x=-2

k) logx 25=-1

p) logx 2=0

b) log21/8=x

g) logx 49=2

l) log1/100100=x

q) log0,25 x=2

c) log 100=x

h) logx 8=3

m) logx 0.01=2

r) log2 (-16)=x

3

u) logx 1=0

d) log3 x=3

i) ln e =x

n) lnx=-1/2

s) logx 125=-3

e) lnx=2

j) logx 64=1

o) log1/36x=2

t) log3 log3 3=x

(Soluc: a) 3;

b) -3; c) 2; d) 27; e) e ; f) 1/9; g) 7; h) 2; i) 3; j) 64; k) 1/25; l) -1; m) 0,1; n) √e/e; o) 1/1296; 2

p) ∃ / ; q) 0,0625; r) ∃/ ; s) 1/5; t) 0 u) ∀ℝ)

q g o l + p g o l = q · p g o l

Cálculo logarítmico:

(

)

q g o l p g o l = p q g o l


Fórmulas del cálculo logarítmico:

p g o l 1 n = p n g o l

p g o l · n = n p g o l

e

=x

x n l

x = x e n l

a

x a g o l

x = x a a g o l

Casos particulares:

(todas son válidas en cualquier base)

=x

0 = 1 n l

1 = e n l

0 = 1 a g o l

1 = a a g o l

6. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación): 1. log6

1 36

2. log3 4 27 3. log3 243 3

4. loga 1

a

2

5. ln e

6. log4

9.

log4 2

64

12. ln 3 e

1 14. log4 64

16. log3

26. log3

19. log2 3 32 27. ln

20. log3 27

13. log2 64

15. log3

10

18. log4 ( − 4)

11. log 8 32

7. log3 3 9 8. ln 1 e

e

10. log8 2

1 5

3 25. log 100

17. ln e

3 5

81

3 9

1 27 3 9

e 4

32. log5 33. ln

1 5 3 25

1 e

2

e

34. log 2 + log 3 + log 4 + log 5 2

e

3

5

21. log2 64

28. log 10

8

22. ln

0,1

1 3

23. log3 24. log

29. ln e 3 2

e2

e

1

30. log3

243 20 + log

5

1 4

3 27

31. log1/5 125

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4

Matemáticas I LOGARITMOS ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

(Soluc: 1) -2;

2) 3/4; 3) 3/2; 4) -1/2; 5) 2; 6) -3/5; 7) 2/3; 8) -1; 9) 1/2; 10) 1/3; 11) 5/6; 12) 1/3; 13) 6; 14) -3; 15) 1/5; 16) -3/2; 17) -1/2; 18) ∃ / ; 19) 5/3; 20) 3/2; 21) -9/5; 22) -2/3; 23) -5/2; 24) 1; 25) -1/3; 26) -11/3; 27) 3/4; 28) 3/2; 29) 1/3; 30) -7/4; 31) -3; 32) -5/3; 33) -5/2; 34) log 5)

7. Volver a hacer el ejercicio 3, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico. 8. Expresar en función de log 2 los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora:

h) log

k) log 0,08

i) log 16/5

n) log2 + log 3 + log 4 + log 5

l) log

e) log 0,625

c) log 32/5

f) log 250

3

b) log 5

5

0 8

2 g o l 43

e 2 n l

d)

; i) -1+5log 2;

−

83

; g) −

3 n3 l

; f)

3e

23 + 3 n l 53

; e)

3 g) ln 9e 3

f) ln 9e 3

e) 2 n2 l + 1

b) 1-ln 2; c) 3-2 ln 2; d) −

4

; n) 1-log 2)

) ; m) −

2 n l 4 e 2 n l + 12

c)

3

2 g o l + 23

2 g o l 3 + 1 15

3 4 e n l

8 n l

e 2 n l

9. Expresar en función de ln 2 o ln 3:

(Soluc: a) 3 ln 2;

2

b) 1-log 2; c) -1+6log 2; d) -2log 2; e) 1-4log 2; f) 3-2log 2; g) -1-2log 2; h)

j) -2+5log 2; k) -2+3log 2; l)(

b)

6 1

g) log 1/40

a)

3

m) log

d) log 0,25

(Soluc: a) 4log 2;

8 0 , 0

j) log 0,32

a) log 16

3e

)

10. Expresar en función de log 2 y log 3 los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: 6 , 3

g) log 162

j) log 90

b) log 24

e) log

h) log 3,6

k) log 0,27

c) log 4/3

f) log 30

i) log 1,2

l) log 0,72

3

d) log 9/4

6

a) log 25

m) log

3 g o l +3 2 g o l

(Sol: a) 2-2 log 2; b) 3 log 2+log 3; c) 2 log 2-log 3; d) 2 log 3-2log 2; e)

; f) 1+log 3; g) log 2+4 log 3;

h) -1+2 log 2+2 log 3; i) -1+2 log 2+ log 3; j) 1+2 log 3; k) -2+3 log 3; l) -2+3 log 2+2 log 3; m) -1/2+ log 2+ log 3)

11. Expresar en función de log 2, log 3 y log 7 los logaritmos siguientes: 3

b) log 0,128

c) log 0,125

12. Calcular: a) e 4ln 2 − 5e3ln 2 + 5e2ln 2 + 5eln2 b) 2 e c) 9 e

e) log

(Sol: 6)

ln3 − ln2

−3ln3

d) log 14,4

2 1

a) log 84

(Sol: 3)

− 8 e −2ln3 + e − ln3

(Sol: -2/9)

b) log 125=3(1-log 2)

c) log 6 + log 3-log 2 = 2 log 9 − log 3

d) 10 −2 log 2

4

=

g o l 2 + 5 g o l

e)

1 =

8 g o l + 1

−

1 =

a)

1 = 6 g o l 8 g o l + 9 g o l

2 g o l + 6 g o l

13. Justificar las siguientes igualdades:

(*) f) 4log3/log2

9

4

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Matemáticas I LOGARITMOS ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

14. Sabiendo que log 7,354 = 0,866524..., hallar (sin calculadora): a) log 735,4

b) log 0,007354

c) log 7354

3

g)

l)

c) 2 log 2+2 log x-2 log y;

)

−) ; p) (

; l)

)

(

−) −

;

;

(

( )

(

b n l

a n l 2 3

b n l 2 + 2 a n l = x n l

(

− )

)

6 d a b 6 a 2 4 a c b = = x x : : c c u u l l o o S S

d g o l + c g o l 2 1 2

b g o l 3 + a g o l

2 = x g o l

) −(

−(

2 a 0 1 = x : c u l o S

a g o l 2 + 1 = x g o l

(

)

)

. 17. Sabiendo que x=7 e y=3, utilizar la calculadora para hallar:

7

f)

g)

(

)

(Soluc: a=49)

N 3 3 N g4 o l

b) Si log4 N=3, ¿cuánto vale

e) log x + y

2 = b 7 g o l + a b

g o l

18. a) Hallar a sabiendo que

d) log (x+y)

y + x 2 g o l

c) log2x

b) log (2x)

y + 2 x g o l

a) log x2

? ¿Cuánto vale N?

19. ¿En qué base se cumple que loga 12+loga 3=2?

(Soluc: -8; N=64)

(Soluc: a=6)

20. ¿V o F? Razonar la respuesta:

2

c)

x n l = x 2 2 n l

a) log (A+B)=log A + log B

)

; s) n log x+m log y; t) log 2+2 log m+3 log n-log p-4 log q

)

a)

c)

(

n

−

(

16. Obtener x en las siguientes expresiones:

b)

d) ln a+2 ln x; e) 2 ln a+2 ln x; f)

m g o l +2 n + m p g g o l o l

−

; o)

m g o l

c g o l 25 2 + b g o l 3 + a g o l 2

x x g3 l n o l + 12 1

u) −

; r)

u)

; i) r log m+r log n-r log p; j) -1-ln x; k)

m) log(x+y)+log(x-y); n) q)

t)

x n g m o l g +2 o l m + g x o l + m g o l

g) log m+log n+log p-log q-log r; h)

m

2 x + x 2 c n m g l g o 32 o l l 13 12

b) log 2+3 log x;

q g a o l g r o l 3 4p g o l m g o l n

a) 3 log 2+3 log x;

5 c 3 p b m 2 a

n m g o l

k)

(Sol:

)

x x n l

−

2

p)

2 2 x x +

2

m m g o l

−

x

3 n 4 2 q m p 2 g o l

2

o)

3

s) log (x y )

2 n

m g o l

c

3

g o l

j)

f)

r

n m p

2

n

  

x 1 e n l

d) ln (ax )

n)

r)

r n q m p g o l

4 /

g o l   

i)

2

2

m) log (x -y )

h)

  

e) ln (ax)

2

3 a g o l

2

x 2 y g o l

c)

  

q) log 10 g o l

3

b) log (2x )

(

3 x n l

a) log (2x)

p r n q m g o l

15. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máximo las expresiones siguientes:

2

b) log (A +B )=2log A+ 2log B

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e)

B A C g o g l o x l n = l = B A C x 2 2 g n o l l

d)

(

f) El logaritmo de un número siempre da como resultado un número irracional.

)

g) Los logaritmos decimales de números