Logaritmos Logaritmos
www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel
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Contenido 1. Logaritmos 1.1. Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números. 1.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Reglas del los logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Logaritmación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Logaritmo y potenciación. . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Ecuaciones Exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Aplicaciones comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8
Capítulo 1
Logaritmos 1.1. Definición.
Sean a, x ∈ R y 1 6= b > 0 tales que:
a = bx Entonces decimos que:
x = logb a 1.2. Ejemplos.
1. Como 53 = 125, entonces log5 125 = 3. 2. Como 25 = 32, entonces log2 32 = 5. 3. Como 10−3 = 0,001, entonces log10 0,001 = −3. 10 1 1 1 = 10. 4. Como = , entonces log1/2 2 1024 1024 1/2 1 1 1 5. Como = √ , entonces log1/2 √ = 1/2. 2 2 2 6. Si log10 100000 = 5, entonces 105 = 100000. 7. Si log3 81 = 4, entonces 34 = 81.
1.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números.
8. Si log3
1 1 = −4, entonces 3−4 = . 81 81
9. Si log10 0,01 = −2, entonces 10−2 = 0,01. −3 27 4 27 10. Si log 4 = . = −3, entonces 64 3 64 3
1.3. Hallar los logaritmos base 2 de los siguientes números.
1. De 32,
como 25 = 32, entonces log2 32 = 5.
1 2. De , 2 √ 3. De 2, √ 4. De 1/ 2, √ 5. De 3 4,
1 1 como 2−1 = , entonces log2 = −1. 2 2 √ √ como 21/2 = 2, entonces log2 2 = 1/2. √ √ como 2−1/2 = 1/ 2, entonces log2 1/ 2 = −1/2. √ √ √ 3 como 3 4 = 22 = 22/3 , entonces log2 3 4 = 2/3.
1.4. Ejercicios. Hallar los logaritmos base 10 de los siguientes números. 1. De 1000. 2. De 0, 0001. √ 3. De 3 100 4. De
1 √
10 10
Encontrar el valor de la incógnita: 5. x = log3 27 6. y = log5 0, 04 7. log1/2 n = −3 8. log8 z = −2 9. log3/2 u = 2
3
1.5. Reglas del los logaritmos.
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1.5. Reglas del los logaritmos.
Logaritmo de un producto = suma de logaritmos:
logb(xy) = logb x + logb y
Logaritmo de un cociente = resta de logaritmos:
x logb = logb x − logb y y
Logaritmo de una potencia = baja la potencia:
logb (xy ) = y logb x
1.6. Logaritmación.
1. y = a3 b2 , log(y) = log(a3 ) + log(b2 ), log(y) = 3 log(a) + 2 log(b).
aplicando logaritmo. bajando potencias.
1.7. Ejercicios.
5
√ 2. y = ab, log(y) = log(ab)1/2 , log(y) = (1/2) log(ab), log(y) = (1/2)(log(a) + log(b)),
aplicando logaritmo. bajando potencias. logaritmo del producto.
√ 3
ac , (a + b)2 √ log(x) = log( 3 ac) − log (a + b)2 , aplicando logaritmo del cociente. log(x) = (1/3)(log(a) + log(c)) − 2 log(a + b), bajando potencias.
3. x =
4. y =
s n
1 ab
r
b , a
r !! b log , baja potencia. a r !! 1 b 1 log + log , logaritmo del producto. n ab a b 1 log(1) − log(ab) + 1/2 log n a 1 (0 − (log(a) + log(b)) + 1/2(log(b) − log(a))) n 1 (− log(a) − log(b) + 1/2 log(b) − 1/2 log(a)) n 1 (−3/2 log(a) − 1/2 log(b)) n
1 log(y) = n log(y) = log(y) = log(y) = log(y) = log(y) =
1 ab
√ 4a ab √ , 5. y = 3 5b a2 b √ 1 √ 3 log(y) = log 4a ab − log 5b a2 b 2 1 log(y) = (log(4a) + 1/2(log(a) + log(b)) − log(5b) − 1/3(2 log(a) + log(b))) 2 log(y) = 1/2 log(4a) + 1/4 log(a) + 1/4 log(b) − 1/2 log(5b) − 1/3 log(a) − 1/6 log(b) log(y) = 1/2 log(4a) − 1/12 log(a) − 1/12 log(b) − 1/2 log(5b) s
1.7. Ejercicios. Aplicar logaritmo a las siguientes expresiones. s √ 2 a4 ab 1. y = 3 √ b2 3 bc
1.8. Logaritmo y potenciación.
2. y =
s
6
p √ 40 2 3 p √ 3 5 6
1 3. y = q p √ a b c p √ n p 4. y = m b2 p √ m an+1 n bp 5. y =
Encontrar el valor de la incógnita: 6. log x = log 5 − log 2 + log 3.
1 log(a + b) − [log a + 2 log(b + c)] 3 1 8. log y = [3 log(a − b) + 2 log(a + b) − 4 log a] 5 1 9. log y = [log a + 1/4(log a + 3 log c)] − [log b + 3 log(c + a) − log(b + 1)] 3
7. log u =
1.8. Logaritmo y potenciación.
La operación potencia es la inversa del logaritmo:
x = logb a Entonces:
bx = blogb a = a 1.9. Cambio de base.
1.10. Ecuaciones Exponenciales.
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Fórmula para el cambio de base:
logb a =
logc a logc b
1.10. Ecuaciones Exponenciales.
1.
√ x
2 = 2x , 21/x = 2x , 1 = x, x 1 = x2 , x = ±1.
x+3 1 , 2. 9−3x = 27 3x x+3 1 1 = , 32 33 6x 3x+9 1 1 = , 3 3 6x = 3x + 9, x = 3,
la raíz como exponente. se aplica log2 . se despeja x.
18 = 29, 3x x+1 x 3 3 + 18 = 29 · 3x , 3 · 32x − 29 · 3x + 18 = 0, y = 3x , 3y 2 − 29y + 18 = 0, 2 y= ,y=9 3 2 2 Si y = , = 3x . 3 3 2 Entonces x = log3 . 3 Si y = 9, 9 = 3x , 32 = 3x . Entonces x = 2.
se descomponen las potencias. se aplican reglas de potencia. se aplican logatirmo base 1/3. se despeja x.
3. 3x+1 +
se multiplica por 3x . se aplican reglas de exponentes. se hace un cambio de variable. se obtiene una cuadrática. se resuelve la cuadrática.
1.11. Ejercicios.
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1.11. Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones. 2
1. xx −7x+12 = 1 √ √ 2. x 16 = 4x 1 1 3. 4− x = 2 0,8x 64 5 = 4. 4 125 5. 25x+3 = 32x+1 2
6. 3x = 7 7. ln x = 1 + ln(x + 1) 8. log(x3 ) = (log x)3 Despejar a x: 9. y = 10. y = 11. y = 12. y =
10x + 10−x . 2 10x − 10−x 2 10x − 10−x 10x + 10−x ex − e−x 2
1.12. Aplicaciones comunes.
1. Decaimiento exponencial: algunos materiales radiactivos se desintegran respecto a la siguiente fórmula. N (t) = N0 e−λt
1.12. Aplicaciones comunes.
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Donde P0 es la cantidad inicial (en t = 0), λ es la constante de desintegración radiactiva, t es el tiempo. Así también τ = 1/λ, es el promedio de vida de un material radiactivo. 2. Crecimiento de población: el crecimiento de ciertas poblaciones se comportan por medio de una fórmula exponencial. P (t) = P0 ekt Donde P0 es la la población inicial (en t = 0), k es el promedio de crecimiento anual, t es el tiempo. 3. Intéres compuesto: el crecimiento de capital inicial C0 que se invierte a una tasa i, en n períodos esta dado por; C = C0 (1 + i)n 4. Depreciación: para calcular el tiempo n para que un objeto de valor C llegue a tener un valor V , donde el objeto tiene una esperanza de vida N , se obtiene con la fórmula: log V − log C n= 2 log 1 − N 5. Comparación de terremotos: La magnitud R en la escala de Richter de un terremoto se obtiene con la fórmula: a R = log +B T Donde a es la magnitud del movimiento vertical, T es el periódo de la onda sísmica y B es el debilitamiento de la onda sísmica con el aumento de la distancia con respecto al centro del terremoto. Si un terremoto tiene R = 7,9 y otro 5,9, se puede mostrar que el primero es 100 veces más fuerte que el segundo. 6. Ley de enfriamiento de Newton: un objeto que esta caliente se enfriará debido al medio ambiente, la temparatura T del objeto en el tiempo t se obtiene mediante la fórmula: T = Tm + (T0 − Tm )e−kt
Donde Tm es la temperatura del medio, T0 es la temparatura inicial del objeto, k constante de enfriamiento.