1. Los números negativos

2

Potencias, radicales y logaritmos

BLOQUE I: ARTIMÉTICA

E

l tema comienza con el estudio de las potencias; éste se inicia con las potencias de exponente natural, se prosigue con las de exponente entero y finaliza con las de exponente racional. En esta primera parte, se resaltan las propiedades de las potencias, la jerarquía de las operaciones y el uso de la calculadora, con el objetivo de evitar errores de cálculo posteriores. En la segunda parte del tema se estudian los radicales y la relación de escritura entre radicales y potencias. Se analizan con detalle las propiedades de los radicales, la simplificación, el procedimiento para extraer e introducir factores en el radical, las operaciones, la racionalización y el uso de la calculadora. En la última parte, se introducen los logaritmos como exponentes en una cierta base positiva y distinta de uno, y se resaltan los logaritmos decimales y neperianos. Se establece la relación entre potencias, radicales y logaritmos, y se explica el uso de la calculadora y, fundamentalmente, las propiedades de los logaritmos.

ORGANIZA TUS IDEAS POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS se trata de hallar una variable en la expresión an = p si se trata de hallar p se tienen

si se trata de hallar a se tienen

si se trata de hallar n se tienen

potencias: n) · a p=a·a·a·…

radicales: n a = √p

logaritmos: n = loga p

que tienen

que tienen

que tienen

propiedades: • an · ap = an + p • an : ap = an – p • (an)p = an · p • (a · b)n = an · bn • (a : b)n = an : bn

propiedades: n

n

• √a · √b = n

= √a · b n

n

• √a : √b = n

= √a : b • ( √a )p = √ap n p— n·p • ( √ √a ) = √a n

n

propiedades: • loga (p · q) = = loga p + loga q p = q = loga p – loga q

• loga

• loga pn = n · loga p n

• loga √p =

loga p n

31

1. Potencias de exponente natural y entero

PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente las siguientes potencias: b) (– 2)3 c) – 23 a) 23

d) – (– 2)3

1.1. Potencia de exponente natural Propiedades de las potencias ap

an + p

· = n a : ap = an – p (an)p = an · p (a · b)n = an · bn (a : b)n = an : bn

exponente

n

° § § ¢ § § £

an

Una potencia es un producto de factores iguales. an

=a·a·…·a La base de una potencia es el factor que se multiplica, y el exponente es el número de veces que se multiplica la base. base

Ejemplo 23 = 2 · 2 · 2 = 8

() 2 5

(– 2)3 = – 2 · (– 2) · (– 2) = – 8

3

= 2 · 2 · 2 = 8 5 5 5 125

Casos particulares

Ejemplo

a) Una potencia de base cero y exponente positivo es cero.

03 = 0

b) Un número distinto de cero, elevado a cero, es igual a uno.

50 = 1

c) Una potencia de base uno y exponente cualquiera es uno.

13 = 1

d) Un número elevado a uno es igual a dicho número.

51 = 5

1.2. Calculadora Nombres x2 Cuadrado x3 Cubo ì o xy Potencia

La calculadora tiene las teclas de cuadrado, x2 ; cubo, x3 ; potencia en general, ì o xy ; y potencia en base 10, EXP Ejemplo 7,52

7.5 x2 = 56,25

2,53

2.5 x3 = 15,625

28

2 ì 8 = 256

106

EXP 6 = 1000000

1.3. Signo de una potencia de exponente natural El signo de una potencia es positivo salvo cuando la base es negativa y el exponente es impar, en cuyo caso es negativo. Base

32

Exponente

Signo del resultado

Ejemplo 23

= 8; 24 = 16

+

Par o impar

+

–

Par

+

(– 2)4 = 16

–

Impar

–

(– 2)5 = – 32

BLOQUE I: ARTIMÉTICA

1.4. Potencia de exponente entero negativo Ejemplo

Una potencia de exponente entero negativo es igual a uno dividido por la misma potencia pero con exponente positivo. 1 siempre que a ? 0 a– n = – an

Calcula: 2– 3 2–3 = 13 = 1 8 2

1.5. Evitar errores habituales Casos particulares

Ejemplo

a) No debe confundirse potencia con producto:

an

5 · 3 = 15

c) (a + b)n no es igual que an + bn

= 5 · 5 · 5 = 125 (– 2)3 = – 8 (– 2)4 = 16 = 24 (3 + 5)2 = 82 = 64

– 23 = – 8 –24 = – 16 32 + 52 = 9 + 25 = 34

d) (a – b)n no es igual que an – bn

(8 – 3)2 = 52 = 25

82 – 32 = 64 – 9 = 55

b) No debe confundirse n es par, es igual a an

(– a)n

con

– an.

no es igual que a · n

53

Si n es impar, son iguales; y si

1.6. Jerarquía de las operaciones La jerarquía de las operaciones dice que éstas se realizan en el siguiente orden: a) Paréntesis. b) Potencias y raíces. c) Multiplicaciones y divisiones. d) Sumas y restas. e) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda.

( ) n an √

· : + –

Ejemplo (35 – 19) · √28,09 = (243 – 19) · 5,3 = 224 · 5,3 = 1 187,2 –

( 3 ì 5  19 ) Ò √ 28.09 = 1187,2

APLICA LA TEORÍA 1 Calcula mentalmente los cinco primeros cuadra-

dos perfectos.

a) 32

b) (– 2)4

c) – 24

d) – (– 2)4

3 Calcula mentalmente: 3

a)

( 23 )

( 23 )

3

3

b) –

c) –

( 23 )

( 23 )

3

d) – –

b) (– 5)0

c) 16

d) (– 6)1

raciones y redondea los resultados a dos decimales: a) c)

0,912

d) 1/32

raciones y redondea los resultados a dos decimales: a) (12,72 + 83) · √34,2 c) (2,55 – 67,7 : 4,3) · √444,4 8 Calcula mentalmente:

5 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes ope-

4,232

c) 1

b) (5,63 – 5,2 · 47,5) : √333,3

4 Calcula mentalmente:

a) 07

b) 2

7 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes ope-

2 Calcula mentalmente:

a) 24

6 Escribe en forma de potencia de base 2:

b)

2,53

d) 5,3 ·

a) (3 + 4)2 b) 32 + 42

c) (5 – 3)2

d) 52 – 32

9 Expresa el resultado en forma de una sola poten-

cia utilizando las propiedades de las potencias: a) x3 · x4

b) x7 : x3

c) (x3)2

d) x3 · x4 : x5

10 Una pecera tiene forma cúbica y su arista mide

107

· 8,4 ·

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

103

75 cm. Si está llena, ¿cuántos litros de agua contiene?

33

2. Radicales

PIENSA Y CALCULA Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 3

a) √1000 = x

6

x

b) √x = 10

c) √81 = 3

4

d) √16 = x

2.1. Radical Nombres n

√a Radical √

Signo radical

n a b

Índice Radicando Raíz

La raíz enésima de un número a es otro número b, tal que b elevado a n es a n– √ a = b ï bn = a La raíz enésima es la operación inversa de la potencia. Ejemplo 3

√8 = 2 porque 23 = 8

° 24 = 16

4

√16 = Ï 2 porque ¢

£ (– 2)4 = 16

2.2. Número de raíces de un radical Se pueden presentar los siguientes casos: Convenio En las operaciones con radicales de índice par, la raíz toma el signo que lleve el radical. √64 – √25 = 8 – 5 = 3

Nombres –

√ Raíz cuadrada –

3 √ Raíz cúbica

n

a) Si el índice del radical es impar, √a tiene una raíz y es del mismo signo que el radicando. n

b) Si el índice del radical es par y el radicando positivo, √a tiene dos raíces reales opuestas. n

3

√8 = 2 3

√– 8 = – 2 4

√81 = Ï 3

c) Si el índice del radical es par y el radicando negativo, √a no tiene raíz real.

4

√– 64 no tiene raíz real

2.3. Calculadora –

La calculadora tiene la tecla √x o x1/y . En el caso de que no la tenga, hay que pasar la raíz a potencia y utilizar la tecla ì o xy

–

x √ Raíz enésima

2.4. Relación en la escritura entre potencias y radicales Ejemplo 5

√47 –

5 √x 47 = 2,159830012

34

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente.

n

Potencia

a1/n = √a

Ejemplo

51/3 = √5

3

a–1/n =

1 ;a?0 √a n

2–1/5 =

1 5

√2

n

ap/n = √ap 5

32/5 = √32

a–p/n =

1 ;a?0 √ ap n

3– 2/5 =

1 5

√ 32

BLOQUE I: ARTIMÉTICA

2.5. Simplificación de radicales Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas raíces. Si en un radical se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número, el valor aritmético del radical no varía, es decir, se obtiene un radical equivalente. Ejemplo 3

6

9

12

√72 = √74 = √76 = √78 = … = 3,65930571…

Simplificación de radicales Ejemplo 6

6 :2

Para simplificar un radical, se divide el índice del radical y el exponente del radicando por el M.C.D. de ambos. Esta simplificación es válida si existen los dos radicales. ns Ä nÄ √aps = √ap

3

√54 = √54 :2 = √52 7 M.C.D.(6, 4) = 2

2.6. Introducir y extraer factores en el radicando Para introducir un factor en un radical, se eleva el factor al índice del radical y se introduce dentro del radical multiplicando al radicando. nÄ nÄ a√b = √ an · b Ejemplo 3

3

3

3

2√5 = √23 · 5 = √8 · 5 = √40 Para extraer un factor de un radical se divide el exponente entre el índice de la raíz; el cociente sale fuera del radical como exponente del número, y el resto se queda como exponente del número dentro del radical. 14 2

Ejemplo

3 4

3

3

√514 = 54 √52

APLICA LA TEORÍA 11 Calcula mentalmente el valor de los siguientes

radicales: a) √25

3

b) √ – 8

c) √ 16

Redondea los resultados a dos decimales. 3

b) √ 895,34

4

5

d) √ 1 000 b) x– 1/2

c) a2/3

d) 6– 3/4

5

b) √ a2

c)

1 √a 3

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

12

d) √ a8

16 Introduce dentro del radical el factor que está

delante: a) 3 √5

3

b) a √ 4

5

c) 24 a √ 2a2

4

d) 32 x3 √ 5x

tes radicales: a) √50 4

14 Escribe en forma de potencia los radicales:

a) √7

8

c) √ 56

17 Extrae todos los factores posibles de los siguien-

13 Escribe en forma de radical las potencias:

a) 51/3

b) √ x2

d) √– 36

12 Utilizando la calculadora, halla las siguientes raíces.

c) √ 89,45

6

a) √ 54

4

a) √345,67

15 Simplifica los siguientes radicales:

d)

1 √ 65 7

c) √ 81a11b6

3

b) √ 32a7 5

d) √ 64x17y11z

18 El volumen de un cubo es 2 m3. ¿Cuánto mide la

arista? Redondea el resultado a dos decimales.

35

3. Operaciones con radicales

PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones: a) √9 + 16 b) √9 + √16 c) √25 – 9 d) √25 – √9

Evitar errores habituales n

n

n

n

n

n

√a + b ? √a + √b √a – b ? √a – √b

3.1. Suma y resta de radicales Radicales semejantes son aquellos radicales que, después de simplificados, tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar y restar radicales, éstos tienen que ser semejantes. Si es así, se suman o restan los coeficientes y se deja el mismo radical.

Cálculo mental

Ejemplo

Para extraer factores de un radical cuadrático, se descompone el radicando como producto del mayor cuadrado perfecto y un número.

3 √50 – 4 √18 = 15 √2 – 12 √2 = 3 √2 Los radicales que no son semejantes no se pueden sumar ni restar. Si se quiere obtener el valor aproximado, se suman o restan con la calculadora. Ejemplo 3 √7 – 2 √5 = 3,47

Ejemplo

–

√50 = √25 · 2 = 5 √2

–

7  2 √

3 √

5 = 3,465117978

√18 = √9 · 2 = 3√2

3.2. Producto y cociente de radicales del mismo índice El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos.

√a · √b = √a · b

n

n

n

√2 · √4 = √8 = 2

El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicandos.

√a : √b = √a : b

n

n

n

√250 : √2 = √125 = 5

3

3

3

3

3

3

3.3. Producto y cociente de radicales cuando no tienen el mismo índice

Propiedades de los radicales n

n

n

n

n

n

√a · √b = √a · b √a : √b = √a : b p

(√a ) = n p— √√a = n·p√a n

n

√ap

Para realizar el producto y el cociente de radicales que no tienen el mismo índice, se sigue este procedimiento: a) Se reducen los radicales al mínimo índice común. Para ello: • Se halla el m.c.m. de los índices, que es el m.i.c. • Se divide el m.i.c. entre cada uno de los índices, y el resultado se multiplica por el exponente del radicando. b) Se multiplican o dividen los radicales que ya tienen índice común. Ejemplo 3 4 Multiplica los radicales: √52 y √73 m.i.c. (3, 4) = m.c.m (3, 4) = 12 3

4

12

12

12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

12

√52 · √73 = √58 · √79 = √58 · 79

36

BLOQUE I: ARTIMÉTICA

3.4. Potencia y raíz de un radical Operación

Ejemplo p

La potencia de un radical es igual al radical de la potencia.

n n p (√a ) = √a

La raíz de un radical es otro radical de índice el producto de los índices y de radicando el mismo.

√√a = n·p√a

n p

7 7 3 (√5 )3 = √5

—

5 3

—

√√7 = 15√7

3.5. Racionalización Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente.

En el denominador solamente hay una raíz cuadrada

Ejemplo

— 3 3√ 2 = 3√ 2 = — — 2 √2 √2 · √2

Se multiplica el numerador y el denominador por dicha raíz cuadrada.

En el denominador solamente hay una raíz enésima Se multiplica el numerador y el denominador por un radical del mismo índice, elevado al índice menos el exponente del radicando. Ejemplo 5 5 3 6 6 √ 73 6 √ 73 6 √ 73 = = = 5 5 5— 5 7 √ 72 √ 72 · √ 73 √ 75 Suma por diferencia

En el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradas Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de a + b es a – b, y viceversa.

Es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

Ejemplo — — — — 6 (√ 7 – √ 3 ) 6 6 (√ 7 – √ 3 ) = = = — — — — — — 7–3 √ 7 + √ 3 (√ 7 + √ 3 )(√ 7 – √ 3 ) — — — — 6 (√ 7 – √ 3 ) 3 (√ 7 – √ 3 ) = = 4 2

( √7 + √3 )( √7 – √3 ) = = ( √7 ) 2 – ( √3 ) 2 = =7–3=4

APLICA LA TEORÍA 19 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales:

22 Realiza los siguientes cocientes:

a) √72 – √50 + √18 – √8 + √200

a) √6 : √2

b) 2 √75 – 3 √12 + 5 √27 – 7 √48 + √300

c) √4 : √6

20 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma y

resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: 4 √35 – 7 √28 + 2 √47

3

c) √5 · √2

3

3

3

6

d) √9 : √18

23 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o dis-

tinto, ?: 3

3

3

a) √ 52 … (√ 52 )2

—

5

b) √ √ 7 … √7

24 Racionaliza:

a)

21 Realiza los siguientes productos:

a) √2 · √6

3

b) √40 : √5

3

3

6

8

b) √5 · √50 d) √3 · √5

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

d)

6

√3 4

√2

b) e)

10 —

c)

7 —

f)

3

√5 3

√14

—

2

—

√5 + √3 5 — 2 – √3

37

4. Logaritmos

PIENSA Y CALCULA Halla el valor de x en los siguientes casos: b) 10x = 1 000 000 c) x2 = 100 a) 103 = x

d) x1 = 10

e) 10x = 1

4.1. Logaritmos Logaritmo = exponente

El logaritmo en base a (a > 0, a ? 1) de un número p > 0 es el exponente x al que hay que elevar la base a para obtener el número p. Se representa por loga p. Se tiene que: loga p = x ï ax = p Ejemplo Halla log2 8 log2 8 = 3, porque 23 = 8 Casos particulares a) loga a = 1 ï a1 = a b) loga 1 = 0 ï a0 = 1

Logaritmos decimales log 1 000 = 3 ï 103 = 1 000 log 100 = 2 ï 102 = 100 log 10 = 1 ï 101 = 10 log 1 = 0 ï 100 = 1 log 0,1 = – 1 ï 10 – 1 = 0,1 log 0,01 = – 2 ï 10 – 2 = 0,01

Ejemplo: log5 5 = 1 Ejemplo: log5 1 = 0

4.2. Logaritmo decimal Los logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. En este caso, la base 10, que es el subíndice, no se escribe. log p = x ï 10x = p Ejemplo Calcula log 1 000 ò log 1 000 = 3, porque 103 = 1 000

4.3. Logaritmo neperiano Los logaritmos neperianos son los logaritmos en los que la base es el número e = 2,718281… Se representan por L o ln L p = x ï ex = p Ejemplo Calcula L 1 000 ò L 1 000 = 6,9077552…

4.4. Relación entre potencia, raíz y logaritmo

Ejemplo 23

a) Potencia: halla 23 = 8 b) Raíz: si a3

a3

= 8, halla a 3

= 8 ò a = √8 = 2

c) Logaritmo: si 2n = 8, halla n n = log2 8 = 3

38

Dada la expresión ° a es la base. § an = p ¢ n es el exponente o logaritmo. § £ p es el resultado de la potencia.

a) Potencia: conocidos a y n, debe hallarse p b) Raíz: conocidos n y p, debe hallarse a c) Logaritmo: conocidos a y p, debe hallarse n BLOQUE I: ARTIMÉTICA

4.5. Calculadora Las calculadoras tienen las teclas log para hallar el logaritmo decimal, y ln para calcular el logaritmo neperiano. Ejemplo Calcula log 25,43 log 25,43 = 1,4053 log 25.43 = 1,4053 Ejemplo Calcula L 18,56 L 18,56 = 2,9210

ln 18.56 = 2,9210

4.6. Propiedades de los logaritmos Propiedad

Logaritmos

Ejemplo

a) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

loga (p · q) = loga p + loga q

b) El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el del denominador.

loga

c) El logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

loga pn = n · loga p

d) El logaritmo de una raíz es el logaritmo del radicando dividido por el índice.

n loga √ p =

p = loga p – loga q q

loga p n

log (6 · 8) = log 6 + log 8 log

7 = log 7 – log 5 5

log 53 = 3 · log 5 3

log √7 =

log 7 3

Ejemplo Sabiendo que log 2 = 0,3010, calcula el logaritmo de 5 sin utilizar la calculadora. 10 log 5 = log = log 10 – log 2 = 1 – 0,3010 = 0,6990 2

APLICA LA TEORÍA 25 Halla el valor de x en los siguientes casos:

a) 32 = x

b) x3 = 27

c) 3x = 1/3

26 Halla el valor de x en los siguientes casos:

a) 2 – 3 = x

b) x3 = 8

c) 2x = 1/4

27 Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log 100

b) log 10

c) log 0,001

28 Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log2 32

b) log2 1

c) log2 1/8

29 Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-

ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 23,5

b) log 267

c) log 0,0456

30 Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-

31 Utilizando las propiedades de los logaritmos y la

calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) log 315

tinto, ?: a) log (7 + 5) … log 7 + log 5 b) log 52 … 2 log 5 6 c) log … log 6 – log 5 5 3 5 d) log √5 … log 3 33 Sabiendo que log 5 = 0,6990, halla:

a) log 2

a) L 3

b) log 20

c) L 0,5

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

c) log (0,530 · 723)

32 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o dis-

ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. b) L 23,7

7

b) log √23

39

Profundización: demostraciones Cuadro comparativo de las propiedades de las potencias y de los radicales Potencias

Ejemplo

Radicales

an = a · a · …n)… · a

23 = 2 · 2 · 2 = 8

√a = b ï b2 = a

√25 = Ï 5

0n = 0, n ? 0

05 = 0

√a = b ï b3 = a

3

√8 = 2

1n = 1

13 = 1

√a = b ï bn = a

n

√32 = 2; √81 = Ï 3

a0 = 1, a ? 0

50 = 1

√an = (√a ) = a

√75 = (√7 ) = 7 5

5

a1 = a

41 = 4

ns

10

5·2

an · ap = an + p

53 · 54 = 57

a√b = √an · b

2√5 = √23 · 5 = √40

an : ap = an – p

28 : 23 = 25

√a · √b = √a · b

n

n

n

√2 · √3 = √6

(an)p = an · p

(53)2 = 56

√a : √b = √a : b

n

n

n

√2 : √5 = √2 : 5

(a · b)n = an · bn

(2 · 3)5 = 25 · 35

n n p (√a )p = √a

3 3 2 (√7 )2 = √7

(a : b)n = an : bn

(5 : 7)3 = 53 : 73

√√ a = n·p√a

√√ 7 = 15√7

a – n = 1n , a ? 0 a

2 – 3 = 13 2 n

√5 = 51/3

n

61/5 = √6

1 n

√a

,a?0

n

a–p/n =

40

1 n

√ ap

6–3/4 =

n

n

n p

1

5–1/4 =

4

√5

72/3 = √72 ,a?0

n

n

—

√a = a1/n

3

ap/n = √ap

n

√aps = √ap

5

a1/n = √a a–1/n =

n

1 n

√a n

√ap = ap/n

1

1

√ 63

√ ap

4

= a–1/n, a ? 0

n

= a–p/n, a ? 0

Ejemplo

3

5

4

5

5

√76 = √73 · 2 = √73 3

3

3

5

5

5

3

3

3

5 3

—

3

1 5

√2

= 2–1/5

3

√52 = 52/3

1 4

√ 73

= 7–3/4

BLOQUE I: ARITMÉTICA

Profundización: demostración de las propiedades de los logaritmos Propiedad del producto El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: loga (p · q) = loga p + loga q Demostración Supongamos que: loga q = y ï ay = q loga p = x ï ax = p loga (p · q) = loga (ax · ay) = loga ax + y = x + y = loga p + loga q

Propiedad del cociente p El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos: loga — = loga p – loga q q Demostración Supongamos que: loga q = y ï ay = q loga p = x ï ax = p x p loga = loga ay = loga ax – y = x – y = loga p – loga q q a

Propiedad de la potencia El logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base: loga pn = n · loga p Demostración Supongamos que: loga p = x ï ax = p loga pn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga p

Propiedad de la raíz loga p El logaritmo de una raíz es el logaritmo del radicando dividido por el índice: loga n√ p = — n Demostración Supongamos que: loga p = x ï ax = p

n

n

loga √ p = loga√ax = loga ax/n =

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

log p x = na n

41

Ejercicios y problemas 1. Potencias de exponente natural y entero

4

perfectos.

b)

(– 3)4

3

( 32 )

c)

d)

– (– 3)4

( 32 )

b) –

b)

0

( ) 3 4

3

c) –

( 32 )

( 32 )

3

d) – –

c) 1– 5

d)

( ) 3 4

operaciones y redondea los resultados a dos decimales: a)

b)

c) 1,210

7,153

d) 4,7 · 1018 : 9,5 · 105

39 Escribe en forma de potencia de base 3:

a) 81

b) 3

c) a3/4

d) 7 – 4/5

46 Escribe en forma de potencia los siguientes 3

b) √ 52

a) √a

c)

1 √a

d)

4

1 √ 75 6

47 Simplifica los siguientes radicales: 1

38 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes

0,552

b) 5– 1/3

radicales:

3

37 Calcula mentalmente:

a) 010

45 Escribe en forma de radical las siguientes

a) x1/2 – 34

36 Calcula mentalmente:

a)

5

d) √524,5

potencias:

35 Calcula mentalmente:

a)

b) √100

c) √1,25

34 Calcula mentalmente los cinco primeros cubos

34

3

a) √1 000

c) 1

d)

1 27

40 Utilizando la calculadora, realiza las siguientes

operaciones y redondea los resultados a dos decimales:

6

a) √ 26

b) √ x3

9

12

c) √ a6

d) √ 59

48 Introduce dentro del radical el factor que está

delante: 3

b) a2 √5

a) 5 √2 3

c) 32 a4 √3a

4

d) 52 x2 y √ 5x3y2

49 Extrae todos los factores posibles de los si-

guientes radicales: 3

b) √ 81x15

a) √18 4

c) √ 64a17b9

5

d) √ 128x19y15x10

3. Operaciones con radicales 50 Realiza las siguientes sumas y restas de radi-

cales:

a) (7,52 – 23,5) · √7,5 b) (12,53 + 7,8 · 12,76) : √91

a) √75 – √12 + √27 – √48 + √300

c) (1,46 – 456,5 : 7,28) · √24,57

b) 3 √50 + 4 √18 – 5 √8 + 2 √200 51 Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma

41 Calcula mentalmente:

a) (5 + 6)2

b) 52 + 62

c) (10 – 8)2

d) 102 – 82

y resta de radicales. Redondea el resultado a dos decimales: 5 √23 – 2 √47 + 7 √19

42 Expresa el resultado en forma de una sola poten-

cia utilizando las propiedades de las potencias: a) x –2 · x5

b) x3 : x7

a) √3 · √6

c) (x – 4)3

d) x – 3 · x5 : x – 4

c) √3 · √2

43 Calcula mentalmente el valor de los siguientes

a) √6 : √3 3

c) √9 : √12

radicales: a) √64

3

3

3

b) √12 · √10 4

6

d) √5 · √3

53 Realiza los siguientes cocientes:

2. Radicales

3

b) √ 64

4

c) √ 81

d) √– 49

44 Utilizando la calculadora, halla las siguientes raí-

ces. Redondea los resultados a dos decimales.

42

52 Realiza los siguientes productos:

3

3

b) √40 : √5 3

5

d) √2 : √3

54 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o

distinto, ?: 3

a) √ 72 … (√7 )3

3

—

6

b) √ √ 5 … √5

BLOQUE I: ARITMÉTICA

Ejercicios y problemas a) log 405,75

55 Racionaliza:

a)

2 √2

b)

8 √ 72

7 c) — — √7 – √5

12 √4

c)

3

10 √6

b)

3

14 — 3 – √3

logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. a) L 5

c) 2x = 1/4

58 Halla mentalmente el valor de x en los siguien-

tes casos: a) 5 – 3 = x

b)

x3

= 125

c)

5x

64 Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o

distinto, ?: a) log (12 : 19) ··· log 12 – log 19

=1

3

b) log √7 ··· 3 log 7

59 Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log 1 000

c) log 10 – 6

b) log 1

c) log (22 + 8) ··· log 22 + log 8

60 Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log3 9

b) log3 1/27

c) log3 1

c) L 0,034

la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. 867 a) log 210 b) log c) log (523 : 3,415) 3

57 Halla mentalmente el valor de x en los siguien-

b) x – 1 = 2

b) L 25,8

63 Utilizando las propiedades de los logaritmos y

4. Logaritmos tes casos: a) 25 = x

c) log 0,0005

62 Utilizando la calculadora, halla los siguientes

56 Racionaliza:

a)

b) log 1,9

d) log (22 + 8) ··· log 30 65 Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla:

61 Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-

a) log 25

b) log 50

ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales:

Para ampliar 66 Escribe en forma de radical las siguientes

potencias y halla mentalmente el resultado: a) 81/3

b) 9 – 1/2

c) 253/2

Efectúa las siguientes operaciones: 67 a) ( √3 + √2 )2 68

b) ( √3 – √2 )2

( √3 + √2 )( √3 – √2 )

3

4

71 a) √5 √5

a)

√√a

Racionaliza: 8 73 a) √2 74 a)

6 √3

b)

9 √ 32

76 a)

21 √7

b)

35 √ 73

77 a)

√3 — — √3 + √2

b)

√2 — — √3 – √2

78 a)

√3 + √2 — — √3 – √2

5

—

b) √6 : √3 3

4

b) √7 : √7

b)

b) b)

—

3

5

—

— — √3 – √2 b) — — √3 + √2

Reduce al logaritmo de una sola expresión: 79 log 5 + log 6 – log 2

72 Escribe con un solo radical: —

4 √2 3

—

69 3 √50 – 5 √32 + 3 √98 70 a) √2 √3 √5

d) 82/3

75 a)

— —

√√√ x

1 + √3

√3 1 – √5

√5

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

80 2 log 7 + 3 log 5 81 3 log a + 2 log b – 5 log c 82 2 log x – 5 log y + 3 log z 83

1 1 log x + log y 2 3

43

Ejercicios y problemas Con calculadora Utilizando la calculadora, halla el valor de la siguiente expresión. Redondea el resultado a dos decimales. 5

84 (5,34 – 3,4 · 7,28)√12,2 85 a) 4π · 7,52 86 a) 52,25

b) eπ

87 a) πe

b)

4 · π · 7,53 3

Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales. 1 + √5 88 a) log π b) log c) log e 2 89 a) L π

b) L

b) 7,53,4

1 + √5 2

c) L 10

Problemas 90 Calcula el volumen de un cubo de área 5 m2

un edificio. Si la escalera mide 13 m de longitud y el pie de la escalera está a 5 m de la pared, ¿a qué altura de la pared llega la escalera?

duce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 5 · 1012 amebas?

92 Una población crece según la función dada por

99 Supongamos que, en cada uno de los 10 años

91 Una escalera está apoyada sobre la fachada de

1,0025t, donde

P(t) = p · t es el tiempo en años. Si en el año 2000 tenía un millón de habitantes, siendo p la población inicial, ¿cuántos habitantes tendrá en el año 2050? 93 Halla la arista de un cubo cuyo volumen es 7 m3.

Redondea el resultado a dos decimales. 94 La cantidad de madera de un bosque crece según

la función y = x · 1,025t, donde t es el tiempo en años y x es la cantidad de madera inicial. Si en el año 2000 el bosque tiene 1 000 km3 de madera, ¿cuánta madera tendrá en el año 2100? 95 Halla el volumen de un cono en el que el radio

de la base mide 3 m, y la generatriz, 5 m 96 La fórmula del capital final en el interés com-

puesto es C = c(1 + r)t, donde C es el capital final, c es el capital inicial, r es el tanto por uno y t es el tiempo en años. Calcula en cada caso la incógnita que falta: a) c = 10 000 €, r = 0,05, t = 6 años b) C = 15 000 €, r = 0,03, t = 8 años c) C = 30 000 €, c = 15 000 €, t = 10 años d) C = 50 000 €, c = 25 000 €, r = 0,07 97 Las medidas de las tarjetas de crédito están en

proporción áurea, es decir, el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es 1 + √5 f= . Si miden 53 mm de ancho, ¿cuánto 2 miden de largo?

44

98 Una ameba es un ser unicelular que se repro-

siguientes, el IPC es de un 2%. Si un producto cuesta actualmente 100 €, ¿cuánto costará al cabo de los 10 años?

Para profundizar 100 Racionaliza:

—

—

√a + √ b a) — — √a – √ b

—

—

√a – √ b b) — — √a + √ b

101 Una moto se devalúa un 15% cada año. Si nos

ha costado 5 000 €, ¿qué valor tendrá al cabo de 10 años? 102 Halla el área y el volumen de una esfera de

radio R = 3,5 m 103 Se ha obtenido experimentalmente que la presión

atmosférica viene dada por la función p(x) = 0,9x, donde x es la altura sobre el nivel del mar. La altura se mide en kilómetros, y, la presión, en atmósferas. a) Halla la presión en lo alto de una montaña de 3 500 m b) Halla la altura a la que hay que subir para que la presión sea de 0,8 atmósferas. 104 La masa de un cuerpo radioactivo viene dada

por la función M = m(1/2)t, donde t es el número de períodos. Un período de semidesintegración es el tiempo necesario para que la masa se convierta en la mitad. Si tenemos 30 g de un cuerpo radioactivo que tiene un período de 25 años, ¿cuántos años tienen que transcurrir para que tengamos 5 g de dicho cuerpo?

BLOQUE I: ARITMÉTICA

Aplica tus competencias Crecimiento de la población La fórmula del crecimiento de una población, sean personas, animales o vegetales, viene dada por: P = p(1 + r)t donde p es la población inicial, r es el tanto por uno al cabo de un año, t es el número de años y P es la población final. 105

Una ciudad tiene 200 000 habitantes, y su población crece un 2,5% cada año. ¿Cuántos habitantes tendrá al cabo de 40 años?

106

Una población de algas en un lago cubren una superficie de 25 m2. Si se reproducen a razón de 0,25 m2 cada año, ¿cuántos metros cuadrados cubrirán al cabo de 30 años?

107

Tenemos una población inicial de 100 conejos en una gran llanura con comida abundante. Si se reproducen a razón de 20 conejos cada año, ¿cuántos conejos habrá al cabo de 5 años?

Comprueba lo que sabes 1

Define qué es un logaritmo decimal y pon un ejemplo.

2

Escribe en forma de potencia de base 2: a) 64 b) 1

3

4

d) 1 8

c) 2

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: 3

4

a) √98

b) √81x8

c) √128a15b10

Racionaliza: 12 a) √6

8 b) 3 √2

5 + √3 c) √— — √5 – √3

—

5

d) √64x18y12z10

—

5

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) 2 – 4 = x b) x3 = – 8 c) 2x = 1/8

6

Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla: a) log 5 b) log 50

7

Halla la diagonal de un cubo de forma exacta, es decir, da el resultado en forma de un radical, cuando el volumen mide 5 m3

8

Una célula se reproduce por bipartición cada 5 horas. Si se parte inicialmente de 400 células, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que haya 1 millón de células?

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

45

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS Paso a paso 108

Solución:

Calcula: 2,53 Solución:

113

a) Para escribir la potencia en elige Potencia b) Haz clic en Calcular

109

110

46

Calcula: (35 – 19) · √28,09 Solución: a) Para escribir la raíz cuadrada en elige Raíz cuadrada b) Haz clic en Calcular

111

Calcula: 3 √50 – 4 √18 Solución:

112

Racionaliza: 3 √2

6 — — √7 + √3

Solución:

114

Calcula: log 25,43 Solución:

115

Calcula: L 18,56 Solución: En Wiris, logaritmo neperiano se escribe ln

5

Calcula: √47 Solución: a) Para escribir la raíz en elige Raíz b) Dentro de la raíz, después del 47 se escribe un punto para que dé el resultado como decimal.

Racionaliza:

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 116

Un coche cuesta 30 000 € y se devalúa cada año un 17%. ¿Cuántos años tardará en valer menos de 6 000 €. Solución: Para resolver la ecuación en elige

117

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

BLOQUE I: ARITMÉTICA

Linux/Windows Así funciona Menú operaciones Paréntesis

Fracción

Potencia

Raíz cuadrada

Raíz Logaritmos El logaritmo decimal es log(x) El logaritmo neperiano es ln(x) Comentarios Para escribir cada línea de comentario en se elige Comentar (Ctrl + T) Se conocen los comentarios porque aparecen escritos de color rojo. Si ya tenemos escrita parte de una línea, e incluso si la tenemos escrita entera y nos hemos olvidado de que era un comentario, aparecerá de color negro. Para hacer que sea un comentario y aparezca de color rojo no es necesario borrarla y volverla a escribir; es suficiente con tener el cursor en cualquier posición de dicha línea y hacer clic en Comentar (Ctrl + T) Por el contrario, si hemos escrito una operación como comentario y aparece de color rojo, con hacer clic en Comentar (Ctrl + T) se volverá en negro.

Practica 118

Calcula:

123

a) (12,72 + 83) · √34,2 b) (5,63 – 5,2 · 47,5) : √333,3 119

Calcula: 3

a) √345,67

b) √895,34

4

d) √1 000

Una pecera tiene forma cúbica y la arista mide 75 cm. Si está llena, ¿cuántos litros de agua contiene?

126

Supongamos que en cada uno de los 10 años siguientes el IPC es de un 2%. Si un producto cuesta hoy 100 €, ¿cuánto costará al cabo de los 10 años?

127

Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 5 · 1012 amebas?

Racionaliza:

122

6 √3

b)

10 √5

c)

2 — — √5 + √3

Calcula: a) log 23,5

c) log (0,530 · 723)

125

b) 2 √75 – 3 √12 + 5 √27

a)

7

b) log √23

c) L 0,5

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

Calcula: a) √72 – √50 + √18

121

Calcula: a) log 315

b) L 23,7

5

c) √89,45 120

124

Calcula: a) L 3

b) log 267

c) log 0,0456

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

47

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS Paso a paso Ajusta la configuración: en la barra de menús elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer 108

Elige 109

5

111

Calcula: 3 √50 – 4 √18 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 3√50 – 4√18 Elige

112

Introducir y Aproximar 2.1598

114

115

48

Introducir y Aproximar 1.4053

Calcula: L 18,56 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: ln(18.56) Elige

Introducir y Aproximar 2.921

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE: 116

3 √2

Un coche cuesta 30 000 € y se devalúa cada año un 17%. ¿Cuántos años tardará en valer menos de 6 000 €. Solución: Planteamiento: 30 000 · 0,83x = 6 000 En la Entrada de Expresiones escribe: 30000 · 0.83^x = 6000 Elige

Introducir Expresión

Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 3/√2

En la barra de herramientas elige Resolver o despejar, activa el botón Real y haz clic en el botón Resolver

Elige

En la barra de herramientas elige

Introducir y Simplificar 3√ 2 2

113

Calcula: log 25,43 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: log(25.43, 10) Elige

Introducir y Simplificar 3 √2

Racionaliza:

Introducir y Simplificar 3√ 7 3√ 3 – 2 2

Introducir y Aproximar 1187.2

Calcula: √47 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 47^(1/5) Elige

Elige

Introducir y Aproximar 15.625

Calcula: (35 – 19) · √28,09 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: (3^5 – 19)√28.09 Elige

110

Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 6/(√7 + √3)

Calcula: 2,53 Solución: En la Entrada de Expresiones escribe: 2.5^3

Racionaliza:

6 — — √7 + √3

Aproximar

x = 8.6376 Tardará 8,64 años. 117

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

BLOQUE I: ARITMÉTICA

Windows Derive Así funciona

➩

Potencias Signo de potencia, 53 se escribe 5^3 El signo ^ es el acento circunflejo francés. Se puede obtener en el teclado manteniendo pulsada la tecla [ ] Mayúsculas y pulsando la tecla [^]. Cuando se hace esto no aparece el acento ^, pues, como todos los acentos, está esperando la vocal correspondiente para ponerse encima; sin embargo, como lo que escribimos a continuación es un número y no se puede poner encima, aparecerán al mismo tiempo el signo ^ y el número. También se puede obtener en la Ventana de Símbolos El signo de potencia, ^, es el que está en la primera fila en el quinto lugar. No se debe confundir con el signo de conjunción, que es ì. Éste es muy parecido, pero es más grande y está más bajo; se encuentra en la segunda fila. Raíces Signo de raíz cuadrada. Se obtiene en la Ventana de Símbolos Para hallar una raíz cúbica o de orden superior, hay que expresarla como potencia. 3 √47 = 471/3 en DERIVE se escribe 47^(1/3) Si en el radicando hay una operación, ésta hay que ponerla entre paréntesis. Logaritmos El logaritmo neperiano es ln(x), o bien log(x). Cualquier otro logaritmo, incluido el decimal, se escribe log(x, b), donde b es la base.

Practica 118

Calcula:

123

a) (12,72 + 83) · √34,2 b) (5,63 – 5,2 · 47,5) : √333,3 119

Calcula: 3

a) √345,67

b) √895,34

4

d) √1 000

Una pecera tiene forma cúbica y la arista mide 75 cm. Si está llena, ¿cuántos litros de agua contiene?

126

Supongamos que en cada uno de los 10 años siguientes el IPC es de un 2%. Si un producto cuesta hoy 100 €, ¿cuánto costará al cabo de los 10 años?

127

Una ameba es un ser unicelular que se reproduce por bipartición. Si partimos de un cultivo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 5 · 1012 amebas?

Racionaliza:

122

6 √3

b)

10 √5

c)

2 — — √5 + √3

Calcula: a) log 23,5

c) log (0,530 · 723)

125

b) 2 √75 – 3 √12 + 5 √27

a)

7

b) log √23

c) L 0,5

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE:

Calcula: a) √72 – √50 + √18

121

Calcula: a) log 315

b) L 23,7

5

c) √89,45 120

124

Calcula: a) L 3

b) log 267

c) log 0,0456

2. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

49