EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD  MATRICES.   2008 1.

1 calcule el valor de a para que 0 1 2 · calcule la matriz 1 1

a) Dada la matriz b) Dada la matriz

2.

3.

sea la matriz nula.

1 0 1 b) Calcule la matriz inversa de 0 1 0 1 2 0 0 2 y 3 0 6 1 · a) Calcule los valores de a y b para que · b) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial Sean las matrices

4.

2

a) Dadas las matrices b) Dadas las matrices ·

verifique la ecuación

1 5 calcule los productos · y · 2 1 1 3 y calcule la matriz X que 1 0 1

1 3 y 2 1

0 , 1

·

1 2

1 2 5 · 3 4 2 1 3 b) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad 2 1 1 0 · · 1 3 1 1

5.

a) Halle la matriz X que verifica la ecuación

6.

Sean A y B las matrices siguientes:

·

1 2 , 0 1

0 2

1 4

a) Calcule · b) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial

2

·

2007 7.

8.

9.

1 2 1 , y 0 1 1 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que . b) Igualmente para que c) Determine x para que 3· .

Sean las matrices

0 1

1 2 .

1 2 1 0 1 0 1 3 0 a) Determine la matriz inversa de A. Sea la matriz

a) Sea la matriz

1 0 Calcule el valor de b para que 1

3 2 2 5 y resuelva la ecuación matricial 3 1 2 4   , donde X es una matriz cuadrada de orden 2.

10. b) Dadas las matrices

 

 

3

Matrices 2º Bachillerato

11. Sean las matrices

Curso 2009-2010

1 2

0 2 , 1 0

2 5

a) Calcule b) Halle la matriz X que verifica 2006 12.

13.

14.

15.

⎛ 2 1⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ Sean las matrices A = ⎜⎜ − 1 0 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ · 2 3 . a) Calcule b) Determine la matriz X para que ·

.

1 ⎞ ⎛x ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . Sean las matrices A = ⎜⎜ 1 x + 1 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Encuentre el valor o valores de x de forma que . b) Igualmente para que c) Determine x para que .

.

⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ Calcule a) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ − 2 0⎠ ⎝2 4 ⎠

.

2 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ y B = (1 − 1) . a) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ − 5 − 4⎠ Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuación Matricial 2 1 0 . Resuelva dicha ecuación. 2005

16.

17.

⎛ 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − 2 − 1 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ 2 Sean las matrices A = ⎜⎜ 0⎟ . 0 1⎠ ⎝−1 ⎜− 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ t t a) Calcule la matriz C = B ⋅ A − A ⋅ B . ⎛ 4⎞ b) Halle la matriz X que verifique .A⋅ B ⋅X= ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ 1⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ ⎛2 1 3 ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ 1 − 2 ⎟ . a) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝1 − 2 0 ⎠ ⎜1 1 ⎟⎠ ⎝ De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razone por qué. Efectúe las que se puedan realizar: A + B; A t + B; A·B; A·B t − 1⎞ ⎟. x ⎟⎠ a) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad A⋅ B = B ⋅ A.

18. Sean las matrices A = ⎛⎜ 1 3 ⎞⎟ y B = ⎛⎜ 2 ⎜ 0 1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝

2

Matrices 2º Bachillerato

Curso 2009-2010

b) Obtenga la matriz C tal que At⋅C = I2 x y⎞ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − y x⎠ ⎝ 1 0⎠ a) Calcule, si existe, la matriz inversa de B . b) Si A⋅B = B ⋅A y A +At = 3⋅I2 , calcule x e y.

19. Sean las matrices A = ⎛⎜ ⎜

2004 20.

⎛ −1 0⎞ ⎛0 −1 2⎞ ⎛ − 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Sean las matrices A = ⎜ , B=⎜ y C =⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎜1 −1 0⎟ ⎜ 0 1 − 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Calcule ( A − I 2 ) ⋅ B , siendo I 2 la matriz identidad de orden 2. b) Obtenga la matriz B t y calcule, si es posible B t ⋅ A . c) Calcule la matriz X que verifica A ⋅ X + B = C.

21.

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ De una matriz A se sabe que su segunda fila es (− 1 2) y su segunda columna es ⎜ 2 ⎟. ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 0 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A Halle los restantes elementos de A sabiendo que ⎜ . ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1⎟⎟ ⎜ 2 0 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

22.

⎛1 0 ⎞ ⎟ ⎜ b) Dada la matriz A = ⎜ , halle A 2004 . ⎜ 0 − 1⎟⎟ ⎠ ⎝

23.

⎛ 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛2 −1 0 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎜ 0 2 ⎟. Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 0 2 − 1⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎜− 2 0 ⎟ ⎝ ⎠ t t a) Calcule la matriz P que verifica B ⋅ P − A = C ( C indica traspuesta de C ) b) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A ⋅ M ⋅ C . c) Determine la dimensión de la matriz N para que C t ⋅ N sea una matriz cuadrada. 2003

− 1⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ ; B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2 0 ⎠ ⎝1 2 ⎠ Calcule ( At ⋅ B − 2I2 )-1; I2 es la matriz unidad de orden 2 y At la traspuesta de A).

24. b) Sean las matrices A = ⎛⎜ 1 ⎜

25. Sean las matrices M = ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟ y N = ⎛⎜ 4 3 ⎞⎟ ⎜3 4⎟ ⎜ 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Calcule la matriz A = M ⋅M t − 5M ; (M t indica la traspuesta de M ) b) Calcule la matriz B = M −1 y resuelva la ecuación N + X ⋅M = M ⋅ B , donde X es una matriz 2× 2.

3

Matrices 2º Bachillerato

Curso 2009-2010

26. Sea la matriz A = ⎛⎜ 2 ⎜

x ⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 x + 2⎠ a) Halle los valores de x para los que se verifica A2 = 2A. b) Para x = −1, halle A-1. Compruebe el resultado calculando A⋅ A-1 .

27.

1 3 −5 b) Resuelva la ecuación 4 2 + x x = 0 −1 1 −3

28. Sea la matriz A = ⎛⎜ 3 ⎜

m ⎞ ⎟⎟ . ⎝1 − m m + 1⎠ a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A⋅ X ⋅ A = I2 donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

29. b) Determine la matriz X de orden 2, que verifica la igualdad

⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎛ −1 7 ⎞ ⎟⎟ − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ ⎝ − 1 2 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠

2002 30.

1 0 1 Sea la matriz   0 m 6 1 1 m a) Determine para qué valores del parámetro m existe

b) Calcule 31.

para

2

⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ b) Dada la matriz A = ⎜1 1 0 ⎟ , determine, si existe, la matriz X que verifique ⎜1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

32. Sean las matrices A =

⎛ 2 −1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , B = ⎝ 3 − 2⎠

⎛ 0 1 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , C = ⎝ − 1 1 − 1⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

⋅

5⎞ ⎛−1 2 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 3 4 − 1⎠

a) Realice, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices:

,

,

.

b) Resuelva la ecuación matricial 33.

1 − 1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ Sea la matriz A = ⎜ 0 m−6 3 ⎟. ⎜m +1 2 0 ⎟⎠ ⎝

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m =4, resuelva la ecuación matricial

(3

1 1) .

4

Matrices 2º Bachillerato

Curso 2009-2010

2001 34.

⎛1 0 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ b) Siendo A = ⎜ 2 1 0 ⎟ y B = ⎜ 1 0 ⎟ , razone si posee solución la ecuación matricial ⎜1 0 1⎟ ⎜1 1⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ A ⋅ X = B y, en caso afirmativo, resuélvala.

35.

⎛0 −1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 0 1⎟ , ⎜1 1 0 ⎟⎠ ⎝

Resuelva la siguiente ecuación matricial: ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ − 2⎟ , ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

A ⋅ X − 2 B = C , siendo

⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 3⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

36. a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y − 1⎠ ⎝ 2 ⎠ . b) Determine la matriz X de orden 2, que verifica la igualdad

⎛1 X ⋅ ⎜⎜ ⎝2 37.

0⎞ 3 ⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ − 1 ⎟ ⎟⎟ − 2⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 5 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 3 − 1 ⎟⎠

⎛ 1 x − 1⎞ ⎟ ⎜ Se considera la matriz A = ⎜ 1 1 1⎟ . ⎜x x 0 ⎟⎠ ⎝ a) Calcule los valores de x para los que no existe la inversa de A . b) Para x = 3 , calcule, si es posible, A −1

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