Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur I Junktoren: t, f (nullstellig), ¬ (einstellig), ∨, ∧, →, ↔ (zweistellig) I aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln (p, q, r , . . .): Aussagenvariablen IS zusammengesetzte Formeln (ϕ, ψ, η, . . .): Verknüpfung von Formeln durch Junktoren

Semantik Bedeutung der Syntaxelemente I eines Junktors: Wahrheitswertfunktion I einer Aussagenvariablen: Wahrheitswert I aller Aussagenvariablen einer Menge P: Interpretation (Belegung) W : P → {0, 1} I einer Formel aus AL(P): Interpretation (Fortsetzung einer Belegung) W : AL(P) → {0, 1}

Menge aller Variablen einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ ∈ AL(P) ist die Menge var(ϕ) aller in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann var(ϕ) = {p} IS: nullstellige Junktoren: für ϕ = t oder ϕ = f gilt var(ϕ) = ∅ einstellige Junktoren: für ϕ = ¬ϕ1 gilt var(ϕ) = var(ϕ1 ) zweistellige Junktoren: für ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 mit ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔} gilt var(ϕ) = var(ϕ1 ) ∪ var(ϕ2 ) Beispiel: Für ϕ = p → ((q ↔ t) ∨ (r → q)) gilt var(ϕ) = {p, q, r }

Größe einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ ∈ AL(P) ist ihre Größe size(ϕ) definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann size(ϕ) = 1 IS: nullstellige Junktoren: size(t) = size(f) = 0 einstellige Junktoren: size(¬ϕ) = size(ϕ) zweistellige Junktoren: size(ϕ ∗ ψ) = size(ϕ) + size(ψ) für ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔} Beispiel: ϕ = p → ((q ↔ t) ∨ (r → q)) gilt size(ϕ) = 4 size(ϕ) ist die Anzahl aller mit Variablen makierten Blätter im Formelbaum von ϕ Allgemein gilt size(ϕ) ≥ |var(ϕ)|

Menge aller Teilformeln einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ ∈ AL(P) ist die Menge TF(ϕ) aller in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann TF(ϕ) = {p} IS: nullstellige Junktoren: für ϕ = t oder ϕ = f gilt TF(ϕ) = ϕ einstellige Junktoren: für ϕ = ¬ϕ1 gilt TF(ϕ) = {ϕ} ∪ TF(ϕ1 ) zweistellige Junktoren: für ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 mit ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔} gilt TF(ϕ) = {ϕ} ∪ TF(ϕ1 ) ∪ TF(ϕ2 ) Bestimmung von Variablenmenge, Größe, Menge der Teilformeln einer aussagenlogischen Formel nach Schema Induktion über Struktur der Formel

Wahrheitswerttabellen

W

Untersuchung der Werte einer Formel ϕ ∈ AL(P) in allen möglichen Interpretationen W ∈ (P) Darstellung in einer Tabelle mit Zeilen – Interpretationen W : var(ϕ) :→ {0, 1} Spalten – Teilformeln von ϕ W (p1 ) · · · 0 ··· .. . 1

···

W (pn ) W (ψ) für Teilformeln ψ von ϕ W (ϕ) 0 ··· .. . 1

···

Beispiel (Tafel): ϕ = p → ((q ↔ t) ∨ (r → q)) Wertetabelle einer n-stelligen Booleschen Funktion fϕ : {0, 1}n −→ {0, 1}. Die Semantik jeder aussagenlogischen Formel mit n Aussagenvariablen ist eine n-stellige Boolesche Funktion.

Modelle Definition 2.3 Jede aussagenlogische Interpretation W mit W (ϕ) = 1 heißt Modell (oder erfüllende Belegung der Aussagenvariablen) für ϕ. Menge aller Modelle von ϕ ∈ AL(P): Mod(ϕ) = {W : P −→ {0, 1} | W (ϕ) = 1} Beispiel: Mod(p → p) =

W({p}), Mod(p ∧ ¬p) = ∅

Fakt 2.4 Für alle Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) gilt Mod(¬ϕ) =

W(P) \ Mod(ϕ)

(1)

Mod(ϕ ∨ ψ) = Mod(ϕ) ∪ Mod(ψ)

(2)

Mod(ϕ ∧ ψ) = Mod(ϕ) ∩ Mod(ψ)

(3)

Zusammenhang: logische Junktoren –Mengenoperationen

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Definition 2.5 Eine Formel ϕ ∈ AL(P) heißt erfüllbar , wenn sie ein Modell hat (Mod(ϕ) 6= ∅) Beispiel: ¬p → p unerfüllbar (Widerspruch), wenn sie kein Modell hat (Mod(ϕ) = ∅, für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 0), Beispiel: p ∧ ¬p allgemeingültig (Tautologie), wenn jede Belegung ein Modell für ϕ ∈ AL(P) ist (Mod(ϕ) = (P), für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 1). Beispiel: p ∨ ¬p

W

Fakt 2.6 Eine Formel ϕ ∈ AL(P) ist genau dann allgemeingültig, wenn die Formel ¬ϕ unerfüllbar ist.

Semantische Äquivalenz Definition 2.7 Zwei Formeln ϕ und ψ mit Mod(ϕ) = Mod(ψ) heißen (semantisch) äquivalent (ϕ ≡ ψ). Nachweis z.B. durch Wahrheitswerttabellen Beispiele: I

ϕ → ψ ≡ ¬ϕ ∨ ψ

I

ϕ ∨ ψ ≡ ¬ϕ → ψ

I

ϕ ∧ ψ ≡ ¬(ϕ → ¬ψ)

I

ϕ ↔ ψ ≡ (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)

Äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitswertfunktion (Semantik). Achtung: Das Symbol ≡ ist kein Junktor (Syntax), sondern ein Symbol für eine Relation zwischen Formeln (Semantik).

Wichtige Äquivalenzen I I

I

I

I I

I

I I

ϕ ∨ ϕ ≡ ϕ, ϕ ∧ ϕ ≡ ϕ ϕ ∨ ψ ≡ ψ ∨ ϕ, ϕ ∧ ψ ≡ ψ ∧ ϕ (Kommutativität von ∧ und ∨) ϕ ∨ (ψ ∨ η) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∨ η ϕ ∧ (ψ ∧ η) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∧ η (Assoziativität von ∧ und ∨) ϕ ∧ (ψ ∨ η) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ η) ϕ ∨ (ψ ∧ η) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ η) (Distributivgesetze) ¬¬ϕ ≡ ϕ (Doppelnegation) ¬(ϕ ∨ ψ) ≡ ¬ϕ ∧ ¬ψ, ¬(ϕ ∧ ψ) ≡ ¬ϕ ∨ ¬ψ (DeMorgansche Regeln) ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ), ϕ ∧ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ) (Dualität von ∧ und ∨) ϕ → ψ ≡ ¬ψ → ¬ϕ (Kontraposition) ϕ ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ ¬ψ)

Umformen von Formeln

Satz 2.8 (Ersetzbarkeitstheorem) Für drei Formeln ϕ, ψ, η ∈ AL(P), wobei ψ ≡ η und ψ eine Teilformel von ϕ ist, gilt: ϕ ≡ ϕ0 , wobei ϕ0 entsteht, wenn in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η ersetzt wird.

Formeln können also durch Ersetzung äquivalenter Teilformeln in semantisch äquivalente Formeln umgeformt werden. (Änderung der Syntax bei unveränderter Semantik)