IV Verallgemeinerungen bei Funktionen und Gleichungen

Binomische Formeln – Ein Arbeitsplan 

ht

Arbeitszeit

2 Schulstunden + Hausaufgaben Vorüberlegungen

1 Berechne den Flächeninhalt des nebenstehenden Quadrates mit der Seitenlänge (a + b) auf zwei verschiedene Arten: – als Produkt der Seitenlängen des Quadrates,  – als Summe der Flächeninhalte der Teilflächen. 

sic

Zeige durch Ausmultiplizieren, dass die beiden für den Flächeninhalt gefundenen Terme äquivalent sind.

2 Bestimme durch Ausmultiplizieren einen äquivalenten Term für (a – b)2. Versuche, die Äquivalenz der Terme in der nebenstehenden Figur zu veranschaulichen.

ra n

3 Betrachtet man ein Rechteck mit den Seitenlängen (a + b) und (a – b), so erhält man durch Umlegen   eines Rechtecks mit den Seitenlängen (a – b) und b eine neue Figur mit gleichem Flächeninhalt.  Welche Termäquivalenz ergibt sich hieraus? Überprüfe durch Ausmultiplizieren.

Erarbeitung und Heftaufschrieb

Vo

Die in den Vorüberlegungen erarbeiteten Termäquivalenzen nennt man binomische Formeln. Sie ermöglichen ein schnelles Multiplizieren von Summen. Im Schülerbuch auf der Seite 102 findest du eine Infobox zu den binomischen Formeln. Lies sie durch und kontrolliere deine Ergebnisse. Erstelle nun einen Heftaufschrieb zum Thema „Binomische Formeln“.  Er soll eine Überschrift, einen Merksatz und einige Rechenbeispiele enthalten. Übungen

Bearbeite nun im Schülerbuch Seite 102 die Aufgaben Nr.16, 17, 21a, 19, 20. Für schnelle Rechner

Berechne mithilfe der binomischen Formeln folgende Terme: a)  (ruck – zuck)   (ruck + zuck)  b)  (halli – galli)2

90 min + Hausaufgaben

Einzel-/Partnerarbeit

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c) (a + b)3

d) (a + b)4

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IV Verallgemeinerungen bei Funktionen und Gleichungen

Der Sprung ins kalte Wasser

ht

Wer springt an einem heißen Sommertag nicht gern ins kühle Wasser? Vor allem vom Sprungturm im Schwimmbad macht das großen Spaß. Dieser Meinung sind auch Harald und Silvia. Dass ein solcher Sprung auch etwas mit Mathe zu tun hat, wissen die beiden jedoch nicht.

1 Zuerst springt Harald. Er geht bis ganz vor an die Kante des 5-m-Brettes und lässt sich dann einfach fallen. Fallweg s (in Metern) angenähert s = 5 t2.

Hierbei gilt für die Funktion Fallzeit t (in Sekunden) a) Fülle die Tabelle für Haralds Sprung aus. 0,2

0,4

Fallweg s in m

0,6

0,8

sic

Fallzeit t in s

b) In welcher Höhe über der Wasseroberfläche befindet sich Harald nach einer Fallzeit von 0,3 s? Wo wäre er nach dieser Zeit bei einem Sprung vom 3-m-Brett? c) Berechne, zu welchem Zeitpunkt Harald auf die Wasseroberfläche trifft.

2 Silvia nimmt Anlauf und springt vom Brett. Ihre Flugbahn wird dann durch folgende Parabel beschrieben: y

5 v2

x2

h.

x: horizontale Entfernung vom Absprungsort in m y: Höhe in m v: Anlaufgeschwindigkeit in m h: Höhe des Sprungturms in m s

x

y

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75

Vo

ra n

a) Zeichne Silvias Flugbahn für die Anlaufgeschwindigkeit v = 2 beim Sprung vom 5-m-Brett in das unten abgebildete Koordinatensystem. Bestimme die dazu nötige Wertetabelle mit dem GTR.

b) Berechne, in welcher horizontalen Entfernung vom Absprungsort Silvia ins Wasser eintaucht. c) Betrachte mit dem GTR gleichzeitig die Flugbahnen für die Anlaufgeschwindigkeiten v = 2, v = 1 und v = 0,5. Was ändert sich bei kleinerer Anlaufgeschwindigkeit? Notiere deine Beobachtungen. Wie müsste also Haralds Flugbahn aussehen?

3 Harald behauptet, dass er bei gleichzeitigem Absprung schneller auf der Wasseroberfläche auftrifft als Silvia, da sein Fallweg kürzer ist. Hat er Recht? Diskutiert darüber und versucht, durch Experimente, z. B. mit fallenden Kugeln, eine Antwort zu finden.

40 min

Einzel-/Partner-/Gruppenarbeit

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IV Verallgemeinerungen bei Funktionen und Gleichungen

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Gruppenpuzzle: Expertengruppe 1: Anzahl der Lösungen und zeichnerische Näherungslösung Problemstellung

Die Suche nach Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 ist gleichbedeutend mit der Frage, wann eine Funktion f mit einer Funktionsgleichung y = ax2 + bx + c den Wert 0 annimmt, d. h., wo die Nullstellen der Funktion sind. Erarbeitung

1 Betrachtet nacheinander mithilfe des GTR die Graphen der Funktionen mit

sic

a) y = 2x2 + 3x – 2,   b) y = x2 + 2x + 4 sowie c) y = 3x2 – 12x + 12  und übertragt die Graphen in drei verschiedene Koordinatensysteme in euer Heft.

2 a) Was lässt sich in den drei Fällen jeweils über die Anzahl der Nullstellen und damit über die Anzahl der Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sagen? b) Formuliert drei Sätze nach dem folgenden Muster: Liegt der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel …, so hat die Funktion … Nullstellen und die  zugehörige quadratische Gleichung … 

3 Man kann die Lösungen der quadratischen Gleichungen jeweils am Graphen der Funktion ablesen. Gebt in allen drei Fällen die Lösungen näherungsweise an.

4 Bestimmt Näherungslösungen für die quadratischen Gleichungen. Benutzt nicht den GTR, sondern erstellt zum Zeichnen des Graphen eine Wertetabelle. a) 3x2 – 2x + 1 = 0  b) x2 – 5x + 1 = 0  c) 0 = 4x2 – 2x – 3 

ra n

Vorbereitung der Ergebnispräsentation

Vo

Jeder von euch muss in seiner Stammgruppe die hier erarbeiteten Lerninhalte präsentieren. Dazu ist notwendig, dass ihr –  eine übersichtliche Musterlösung der Aufgaben erstellt,  –  die wesentlichen Schritte eurer Lösung erläutern und für Rückfragen zur Verfügung stehen könnt und –  einen sinnvollen, klar gegliederten Heftaufschrieb erstellt. Dieser  sollte eine Überschrift, Beispiele von quadratischen Funktionen mit keiner, einer und zwei Nullstellen sowie die zugehörigen Merksätze (siehe 2b) enthalten.

30 min

Gruppenarbeit

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Gruppenpuzzle: Expertengruppe 2: Zeichnerische Näherungslösung mithilfe der Normalparabel Problemstellung

Die Suche nach Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 kann durch geschickte Umformungen auf ein Schnittpunktproblem zurückgeführt werden. Dabei werden die Schnittstellen der Normalparabel mit einer Geraden betrachtet. Die Gleichung der Geraden erhält man durch Umformen der Ausgangsgleichung. Erarbeitung

1 Hannah hat die Gleichung 6x2 + 3x – 3 = 0  so umgeformt, dass auf der linken Seite nur noch  x 2 steht.

sic

Übertragt die Schritte in euren Aufschrieb und schreibt jeweils hinter jede Zeile, welche Umformung Hannah durchgeführt hat. 6x2 + 3x – 3 = 0  6x2 + 3x = 3 6x2 = –3x + 3  x2 = –0,5x + 0,5 

2 Formt die untenstehenden Gleichungen wie in Aufgabe 1 um. a) 2x2 – 7x + 3 = 0 

b)  –x2 + 4x – 5 = 0 

c) 4x + 2x2 + 2 = 0

3 Nun können beide Seiten der umgeformten Gleichung als Funktionsgleichung angesehen werden. Also im

ra n

Beispiel aus Aufgabe 1: y = x2 und y = –0,5x + 0,5.   a) Zeichnet die Graphen beider Funktionen in ein gemeinsames Achsenkreuz ein. Verwendet für die Normalparabel nach Möglichkeit eine Schablone. Nun lest ihr die x-Werte der Schnittpunkte ab. Sie sind die Lösung der Gleichung 6x2 + 3x – 3 = 0. Diese Werte sind aufgrund von Ungenauigkeiten beim Zeichnen und  beim Ablesen natürlich nur Näherungswerte. Je exakter ihr arbeitet, desto besser sind eure Lösungen. b) Findet auf die gleiche Art und Weise die Lösungen der Gleichungen aus Aufgabe 2. Was fällt euch dabei auf?

4 Bestimmt Näherungslösungen für die quadratischen Gleichungen. Benutzt das oben erarbeitete Verfahren. a) 3x2 – 2x + 1 = 0 

b) x2 – 5x + 1 = 0 

c) 0 = 4x2 – 2x – 3 

Vorbereitung der Ergebnispräsentation

Vo

Jeder von euch muss in seiner Stammgruppe die hier erarbeiteten Lerninhalte präsentieren. Dazu ist notwendig, dass ihr –  eine übersichtliche Musterlösung der Aufgaben erstellt,   –  die wesentlichen Schritte eurer Lösung erläutern und für Rückfragen zur Verfügung stehen könnt und –  einen sinnvollen, klar gegliederten Heftaufschrieb erstellt. Dieser  sollte eine Überschrift und eine ausführlich kommentierte Musteraufgabe enthalten.

30 min

Gruppenarbeit

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S60

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IV Verallgemeinerungen bei Funktionen und Gleichungen

Problemstellung

ht

Gruppenpuzzle: Expertengruppe 3: Rechnerische (und damit exakte) Lösung Bei der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 kann man nicht durch geschicktes Umformen, so wie etwa bei linearen Gleichungen, die Lösungsvariable x auf eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und die Lösung auf diese Weise berechnen. Es gibt jedoch eine Lösungsformel. Erarbeitung

1 a) Übertragt den folgenden Satz in euren Aufschrieb.

Bei einer quadratischen Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 kann man die Lösungen mit den Formeln b

b2 2a

4ac

; x2

b

b2 2a

4ac

berechnen.

sic

x1

b) Bei der quadratischen Gleichung 2x2 – 7x + 3 = 0  ist a = 2; b = –7 und c = 3. Berechnet mithilfe der  Lösungsformeln die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung.

2 Wendet ebenfalls die Lösungsformeln an, um die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen. Was fällt euch dabei auf? a) 4x2 – 2x – 7 = 0 

b) 3x2 + 2x + 2 = 0

c) 5x2 + 30x + 45 = 0

3 In Aufgabe 2 ist euch aufgefallen, dass die Lösungsformeln nicht immer zu zwei verschiedenen Lösungen

ra n

führen. Der Term unter der Wurzel (b2 – 4ac) heißt Diskriminante. Überlegt, wie man an der Diskriminante ablesen kann, ob es zwei verschiedene, eine oder keine Lösung bei einer quadratischen Gleichung gibt. Formuliert einen Merksatz.

4 Bestimmt mithilfe der Formeln die Lösungen der quadratischen Gleichungen. a) 3x2 – 2x + 1 = 0 

b) x2 – 5x + 1 = 0 

c) 0 = 4x2 – 2x – 3 

Vorbereitung der Ergebnispräsentation

Vo

Jeder von euch muss in seiner Stammgruppe die hier erarbeiteten Lerninhalte präsentieren. Dazu ist notwendig, dass ihr –  eine übersichtliche Musterlösung der Aufgaben erstellt,   –  die wesentlichen Schritte eurer Lösung erläutern und für Rückfragen zur Verfügung stehen könnt und –  einen sinnvollen, klar gegliederten Heftaufschrieb erstellt.   Dieser sollte eine Überschrift, einen Merksatz mit den Formeln aus Aufgabe 1 und mit einem Hinweis auf die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von der Diskriminante (siehe Aufgabe 3) sowie ein Beispiel enthalten.

30 min

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