Vom Einfachen zum Komplexen Mit Übungsformaten arbeiten von der Grundschule bis zur Oberstufe
Nürnberg
Vom Übungsformat …
? ? m i m b i b m i l KKlim
Nürnberg
… zum Aufgabenformat • Mathematische Reichhaltigkeit • Bezüge zu Standardstoff über Rechentraining hinaus • Eignung zur Realisierung von Bildungszielen – „Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik RS) – „Beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen … entwickeln sich Kreativität und Phantasie.“ (Bayerischer LP Mathematik Gy)
Nürnberg
= 12
alle Seitensummen haben denselben Wert Z („Zauberzahl“)
=1 2
Das Zauberdreieck
1
+ 6
+
+
3
+
2
+
+
7
4
= 12
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen vorgehen
Algebraisieren
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 1 Nürnberg
Schenkelsummen
3 5 4
3 8
7
5 1
4
3 8
7
5 1
4
8 7
1
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 2 Nürnberg
Eck-Gegenmitten-Differenz
3 5-1 = 4
5 4
8-4 = 4
8 7
7-3 = 4
1
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 3 Nürnberg
Teildreieckssummen T
3 5 4
7
3 5 4
1 3
3
8 7
3+5+8 = 16
8
1
5+4+7 = 16
5 4
5
8 7
1
4
8 7
1
8+7+1 = 16
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 4 Nürnberg
Bruderdreieck
= +
5 8
+
4
4
7
1
7
+
3 +
+
5
=1 6
16
3
1
+
8
= 16
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 5 Nürnberg
Zahlenkette M-T-Z-E
+4 +4
M = 20 3
T = 16 5
Z = 12 +4
E=8
4
8 7
1
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen vorgehen
Algebraisieren
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Algebraisieren
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1 Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberdreieck?
+c +c Veränderung einer Eckzahl
Veränderung einer Mittenzahl
Zaubereigenschaft geht verloren!
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Nürnberg
Gibt es zauberinvariante Operationen?
Eckzahl und Mittenzahl
alle Zahlen +c
+c +c +c
+c
+c +c
alle Mittenzahlen
alle Eckzahlen +c
+c +c
+c
+c
+c +c
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Algebraisieren
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen vorgehen
Algebraisieren
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
Erzeugen von Zauberdreiecken durch zauberinvariante Operationen:
Gibt es noch andere Zauberdreiecke?
a c +k b+k b
c
a+k
a c+k = b
f
d = b+k e
= a+k
c
Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg
a c+k b+k b
a+k
c
Satz: Jedes Dreieck obiger Form ist ein Zauberdreieck und jedes Zauberdreieck ist von obiger Form.
Zwischenbilanz „Die „Die Schüler Schüler lernen lernen zu zu beobachten beobachten und und nach nach Gesetzmäßigkeiten Gesetzmäßigkeiten zu zu suchen, suchen, zu zu ordnen, ordnen, zu zu klassifizieren klassifizieren und und zu zu strukturieren, strukturieren, zu zu verallgemeinern verallgemeinern und und zu zu spezifizieren, spezifizieren, zu zu kombinieren kombinieren und und zu zu variieren. variieren. Dadurch Dadurch wird wird auch auch kreatives kreatives und und intuitives intuitives Denken Denken als als ein ein wesentliches wesentliches Merkmal Merkmal der der Mathematik Mathematik gefördert.“ gefördert.“ (Bayerischer (Bayerischer LP LP Mathematik) Mathematik)
Nürnberg
Wie variieren? • nur bestimmte Zahlen • unterschiedliche Zauberzahlen • ...
Regel
Verkettung
Dimension
Art der Belegung Form Operation Anzahl
• Multiplikation • kgV • ggT • Mittelwert • ...
Nürnberg
Didaktisches Modell zu Übungsformaten
Variieren Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Analogisieren
Algebraisieren
Ausgangssystem
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Algebraisieren
Benachbartes System
Nürnberg
Wie variieren? • nur bestimmte Zahlen • unterschiedliche Zauberzahlen • ...
Regel
Verkettung
Dimension
Art der Belegung Form Operation Anzahl
• Multiplikation • kgV • ggT • Mittelwert • ...
Nürnberg
= 10
Das Zauberviereck
+
8
6
7
+
+
10 = 4
+ 2 +
+
0
+
5
+ 1
= 10
= 10
Nürnberg
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Analogisieren
Algebraisieren
Zauerdreieck
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Algebraisieren
Zauberviereck
Nürnberg
Phänomene des Zaubervierecks
Gleiche Phänomene – Entdeckung durch Identifizieren
Analoge Phänomene – Entdeckung durch Analogisieren
Neue Phänomene – Entdeckung durch Probieren
Phänomene im Zauberviereck: Identifizieren Nürnberg
Phänomene entdecken durch Identifizieren
3 5
99
4
8 7
99
1
Schenkelsummen
Phänomene im Zauberviereck: Identifizieren Nürnberg
Identisches Phänomen im Zauberviereck
88 0
10 10 8
2
66 10 10
99 6
7
4
5 99
1 66
Schenkelsummen
88
Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Nürnberg
3 5-1 = 4
5 4
8-4 = 4
8 7
1
7-3 = 4 Eck-Gegenmitten-Differenz
Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Nürnberg
Erster Analogisierungsversuch
0
8
6 4
2 7
5
1 13 13
Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Nürnberg
Erster Analogisierungsversuch
13 13
0
8
6 4 13 13
2
13 13
7 5
1 13 13
Eck-Gegendreiecks-Differenz
Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Nürnberg
Zweiter Analogisierungsversuch
0
8
6 4
2 7
5
1
Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Nürnberg
Zweiter Analogisierungsversuch
88--(4+1) (4+1)==33
0 6-(2+1) 6-(2+1) ==33
8
6 4
2 7
5
7-(4+0) 7-(4+0) ==33
1
5-(0+2) 5-(0+2) ==33 Mitte-Gegenecken-Differenz
Phänomene im Zauberviereck: Probieren Nürnberg
Neues Phänomen
13 13 0
8
6 4
2 7
5 Gegenmitten
1
13 13
Nürnberg
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Analogisieren
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Algebraisieren
Zauberviereck
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1 Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberviereck?
+c +c Veränderung einer Eckzahl Zaubereigenschaft geht verloren!
Veränderung einer Mittenzahl
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Nürnberg
Zauberinvariante Operationen
Zwei Eckzahlen
Eckzahl und zwei Mittenzahlen
+c
+c +c
+c
+c
Alle Mittenzahlen +c +c
-c +c
+c
Kombinationen solcher Operationen +c -c
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Nürnberg
Propädeutik des Vektorraumbegriffs
0 6 4
8
2
7
10 7 5
3
+
1
6
4
9
17 8
1
11
0
8
6
10 7
4
5
14
6
15
27
15
5
16
6
0
24
6
18
30
21
12
15
3
=
5
2
1
7
=
Nürnberg
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Analogisieren
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Analogisieren
Algebraisieren
Zauberviereck
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
d
a+ b a+b a +k
c+b b+c b +k
a
c a+d a+d a +k
d+c c+d c +k
b
Ist jedes Zauberviereck von dieser Form?
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
= a+b+k
d
a+ b a+b a +k
c+b b+c b +k
a
c a+d a+d a +k
d+c c+d c +k
b
b+c+k =
d
g
c
h
Zauberzahl = a+b+c+d+k
f
a
e
b
= c+d+k
Satz: Jedes Viereck obiger Form ist ein Zauberviereck und jedes Zauberviereck ist von obiger Form.
= a+d+k
Nürnberg
Das Zaubertetraeder
4 4
5
3
1
8
0 7
6 2
Zauberzahl Zauberzahl == 99
Nürnberg
Nürnberg
Verbindung zwischen Geometrie und Arithmetik
Phänomene entdecken
Operativ vorgehen
Geometrie/ Symmetrie
Algebraisieren
Nürnberg
• nur bestimmte Zahlen • unterschiedliche Zauberzahlen • ...
Regel
Verkettung
Dimension
Art der Belegung Form Operation Anzahl
• Multiplikation • kgV • ggT • Mittelwert • ...
Nürnberg
Zauberwürfel
3
7
2
8
9
1
6 4
Zauberwert = 20
Nürnberg
Phänomene im Zauberwürfel
3
7
2
8
9
1
6 4
Zauberwert = 20
Nürnberg
Phänomen 1: Raumdiagonalen
7-6 7-6
3
7
2
8
9
1
4-3 4-3
9-8 9-8 4
6
2-1 2-1
Nürnberg
Phänomen 2: Gegenkanten
15 15
10 10
55 10 10
88
12 12 10 10 15 15
12 12 55 10 10
88
Nürnberg
Phänomen 3: Gegenflächendiagonalen
--22 33
22
33 2 22 - 2
Nürnberg
Phänomen 4: Dreibeinsumme
21 21 3
7
2
8
21 21
21 21
9
1
6 4
21 21
Nürnberg
Phänomen 4: Dreibeinsumme
21 21 19 19
3
7
2
8
19 19
21 21 19 19 21 21
9
1
6 4
19 19
21 21
Nürnberg
Phänomen 4: Dreibeinsumme
21 21 19 19
3
7
2
8
19 19
19 19 21 21
9
1
6 4
19 19
21 21
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 1
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 2
Nürnberg
Struktur des Zauberwürfels
a a-k
b b+k
d d+k
c c-k
c
d
b a
Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel! Ist jeder Zauberwürfel aber auch von diesem Typ?
Nürnberg
Struktur des Zauberwürfels
Operativ erzeugter Zauberwürfel a-k
b+k c-k
d+k
c
d a
Beliebiger Zauberwürfel
g = a-k h = b+k f = d+k e = c-k
d b
c b
a Zauberwert = a+b+c+d
Satz: Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel und jeder Zauberwürfel ist von diesem Typ!
Nürnberg
Zauberdodekaeder
Zauberwert = 33
Nürnberg
Zahlenpaare
3
0
8
5
17 9 8
14 7
12
8
1 6
6 2
2
3 11
4 13
Nürnberg
Zahlenpaare
3
0
8
5
17 9 8
14 7
12
8
1 6
6 2
2
3 11
4 13
Nürnberg
Drei Summanden
25 25
3
0
8
5
17 9 8
14
7
12
8
1 6
6 2 4
2 13
3 11
25 25
Nürnberg
3
0
8
5
14 14
17 9
8
14
7
12
8
1 6
6 2 4 14 14
3 13
11
Nürnberg
3
0
8
5
14 14
17 9
8
14
7
12
8
1 6
6 2 4 14 14
3 13
11
Nürnberg
Nürnberg
Fünf Summanden
33 33
33 33
33 33
33 33
Nürnberg
Nürnberg
Zauberinvariante Operation
Nürnberg
Operative Erzeugung einer Lösung
d b e c
a
e
a c
d c b e a b d d c e a b
Nürnberg
Zweite operative Lösung
Nürnberg
Zweite operative Lösung
Nürnberg
Zweite operative Lösung
c‘ e‘
d b e c
a
e
a c
d c b e a b d d c e a b
d‘ a‘ b‘d‘ c‘a‘ d‘ b‘ c‘ e‘ a‘ b‘ e‘ e‘
b‘
d‘
c‘ a‘
Nürnberg
Zweite spezielle Lösung
Nürnberg
Struktur des gesamten Innentetraeder-Raums
d+c‘ b+e‘
e+d‘
a+b‘ c+a‘
e+a‘ a+d‘
d+d‘ c+c‘
e+e‘ b+b‘ d+e‘ b+c‘ a+a‘
d+b‘ a+e‘
c+d‘
e+c‘ b+a‘
c+b‘
Nürnberg
Lassen sich mit den Innentetraedern alle Zauberdodekaeder erzeugen?
Vektorraum der Zahlendodekaeder Untervektorraum der Zauberdodekaeder. Zauberdodekaederraum
.
z p
.
z t p+p‘ z q t+t‘ . . z r q+q‘ z s p t r+r‘ s+s‘ q p p‘ t r s t‘ p+p‘ q q‘ t+t‘ z.zp.o Innentetraederraum r s r‘ s‘ q+q‘ z.t . . o o+o‘ . zq . z s+s‘ n r+r‘ np‘ . po z k o‘ k z r z s n+n‘ p t t‘ . n t q j n‘ q‘ . k q k‘ i r‘ z j k+k‘ r s s‘ z i j rl s j‘ m j+j‘ . i i‘ o+o‘ z.m i+i‘ z l z.o l o mf l o‘ h m‘ n+n‘ o l+l‘ n h n‘ h‘ k+k‘ z.n z.h m+m‘ n k f . k‘gf‘ . z k k g i j d cj‘ g‘ i‘ z f. j+j‘ . h+h‘ j i i+i‘ z j f+f‘ c l d m d‘ c‘ m‘ l b z g z.i le m l+l‘ . m+m‘ b h af‘ b‘ h‘ z.l z.d z.g+g‘ m e f e‘ h z c f ga g‘ a‘ h+h‘ g d+d‘ . c+c‘ f+f‘ z.h d c d‘ c‘ . z b d c z.f z e g+g‘ b+b‘ b b‘ .zg.a b e ze+e‘ e‘ e a a‘ a d+d‘ a+a‘c+c‘ z.d z.c b+b‘ e+e‘ z.b z.e a+a‘ z.a
=
Innentetraederraum
. Hat der Innentetraederraum Hat der Innentetraederraum = = Z + .A A+B A B A Dimension dieselbe Dimension = Z . dieselbe + = wie der wie der Zauberdodekaederraum? Zauberdodekaederraum? Z
Nürnberg
Dimension des Zauberdodekaeder-Raums
a +b+ c +d + e =z a +b+g+h+m=z M M p+q+ r + s + t =z 21 Variable 12 Gleichungen
Der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum hat die Dimension 9
Der Vektorraum der Zauberdodekaeder hat die Dimension 9
Satz: Satz: Der Der Vektorraum Vektorraum der derZauberdodekaeder Zauberdodekaeder ist ist der der von vonden denInnentetraedern Innentetraedernaufgespannte aufgespannte Zauberraum. Zauberraum.
Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg
d+c‘ b+e‘ e+d‘
a+b‘ c+a‘
e+a‘
d+d‘ c+c‘
a+d‘
c+b‘
e+e‘ b+b‘ d+e‘ b+c‘ a+a‘ d+b‘ a+e‘
c+d‘
e+c‘ b+a‘
Jedes JedesDodekaeder Dodekaederentsprechend entsprechendobiger obigerBelegung Belegungist istein ein Zauberdodekaeder und Zauberdodekaeder und jedes jedesZauberdodekaeder Zauberdodekaederist istvon vonobiger obigerForm. Form.
Nürnberg
Zusammenfassung • Übungsformate aus der Grundschule können aufgrund ihrer mathematischen Reichhaltigkeit in der Sekundarstufe eingesetzt werden zum Erreichen – mathematischer Lernziele in verschiedenen Bereichen (Algebra, Gleichungslehre, Vektorraumbegriff,…) und – allgemeiner Bildungsziele ( beobachten lernen, nach Gesetzmäßigkeiten suchen, strukturieren, variieren)
• Als fruchtbar erweist sich dabei das Methodentripel: – Phänomene entdecken – Operativ vorgehen – Algebraisieren
• Systematisches Variieren und Analogisieren zeigen sich als schlagkräftiges Instrument kreativen Arbeitens in der Mathematik
