UNIDAD 3 La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno:

Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la derivada en situaciones de administración, economía y ciencias sociales.

2

Matemáticas

Introducción

E

l problema fundamental de los procesos económicos que se modelan

la función. Si se trata de un problema de costos, se quiere conocer el costo mínimo y el valor para el cual se produce; si se trata de ingresos o de utilidades se quiere saber cuándo se produce su máximo valor y a cuánto asciende este valor. En esta unidad se presenta el concepto de derivada y su interpretación geométrica, la cual nos permitirá aplicar la derivada no sólo en problemas de optimización, sino que la convierte en una herramienta para la elaboración de los de derivada es a través de un ejemplo de optimización de utilidades, el cual nos

un desarrollo del álgebra de las derivadas, en el que se presenta una serie de métodos para calcular la derivada de funciones, como la suma, la resta, el producto o el cociente de otras funciones.

3.1. Definición geométrica de la derivada En los problemas de optimización es importante tener claridad con respecto manera geométrica, por ejemplo, el valor óptimo de venta de cierto artículo para obtener máximas utilidades. Para enfrentar esta clase de problemas con el uso de la tangente de una curva. De manera particular esta sección se inicia con un problema de optimización que permiten resolverlo.

Ejemplo 1 Un fabricante produce balones de futbol a un costo de $100 por unidad. Los balones se venden en el comercio a $200 cada uno. Con este precio se venden

127

Unidad

3

3 000 balones al mes. El productor no puede aumentar su producción y decide aumentar el precio de los balones para acrecentar sus ingresos. Como es de vendidos. De hecho, el fabricante sabe que por cada $10 de aumento se venderán 100 balones menos. La pregunta que se hace es, ¿cuál es el precio al que debe vender los balones para obtener las mayores utilidades? Solución: las utilidades se obtienen multiplicando el número de balones vendidos y la ganancia obtenida en cada balón, es decir: Utilidad = (número de balones vendidos) (ganancia en cada balón)

(i)

Los datos que nos interesa utilizar son:

Con estos datos tenemos que: Al aumentar el precio en $10 la venta disminuye a 3 000 – 100 balones. Si el aumento es de n veces $10, la venta será de 3 000 – 100(n) balones, por lo tanto ésta es la cantidad de balones vendidos. Si el nuevo precio es x, el aumento será x – y si lo dividimos entre 10, que es el aumento para que se disminuyan 100 balones, entonces obtendremos el valor de n (número de veces que aumento 10 pesos): x 200 n 10 Por lo tanto el número de balones vendidos es x 200 3 000 100 10

128

= 3 000 –10 (x – 200) = 3 000 –10x + 2 000 = –10x + 5 000 (ii) A su vez la ganancia en cada balón está dada por (precio menos costo): x–100 (iii) De esta forma, al sustituir las expresiones (ii) y (iii) en (i) obtenemos la expresión que nos da la utilidad obtenida en función del precio de venta: U(x) = (–10x + 5 000)(x – 100) = –10x2 + 1 000x + 5 000x – 500 000 = –10x2 + 6 000x – 500 000

2

Matemáticas Para obtener el precio de venta que produce la mayor utilidad observemos en la de venta en el que la ganancia del productor será la mayor. El precio óptimo es la coordenada x U (x) (300, 4 105)

x

Figura 3.1.

podemos observar, la curva se puede caracterizar utilizando rectas tangentes a es horizontal. A la izquierda y a la derecha de este punto las rectas tangentes son inclinadas. Así, para determinar el valor óptimo de la función utilidad, necesitamos conocer el punto donde la recta tangente es horizontal, es decir, la recta tangente cuya pendiente es cero.

Pendiente de la recta tangente a una curva que uno de los elementos teóricos a conocer es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. curva en un punto, desde el planteamiento intuitivo de lo que es esta recta en un punto P de un círculo. Pues bien, es la recta perpendicular al radio que pasa por el punto P

129

Unidad

3 y

P

x

Figura 3.2. Como se señaló en el ejemplo anterior, se tiene que de manera intuitiva una recta es tangente a una curva en un punto P si la toca solamente en ese punto.

maneras de trazarlas. y

y

y

P

P P

x

x

x

Figura 3.3. Recta tangente a una curva en un punto.

130

sea aplicable cuando la curva sea dada a través de su expresión algebraica. Desde esta perspectiva se tiene que la ecuación de una recta está determinada si se conoce su pendiente y las coordenadas de un punto cualquiera que pertenezca a la recta. Es decir, si m es la pendiente de la recta y P(x0, y0) es un punto de la recta, su ecuación tiene la forma: y – y0 = m(x – x0)

2

Matemáticas Para este caso el punto P es conocido, sólo se requiere el valor m de la pendiente para determinar la ecuación. tomar puntos Q cercanos a P

la recta secante que pasa por P y Q, Q a P y la recta que se obtiene es la recta tangente a la curva en el punto P. En otras palabras la idea

una secante se obtiene una tangente. La recta tangente en el punto P no sería entonces más que el límite de las rectas secantes que pasan por P y por puntos cercanos a P. f(x)

Q P

rectas secantes x

Figura 3.4. Acercamiento por rectas secantes al punto de tangencia.

3.5, se determinan primero las coordenadas del punto cercano. f(x) Q (x0 + x, f (x0 + x))

f (x0 + x) f (x0)

(x0, f(x0)) P

y

x x0

Figura 3.5.

x

x0 + x

131 y = f(x).

Luego se denota el incremento en la abscisa mediante el símbolo x, que es la variación de la coordenada x entre el punto dado P y el punto cercano Q. La abscisa del punto cercano es x0 + x y como el punto está situado sobre la f (x), su ordenada es f(x0+ x).

Unidad

3

De este modo y es el incremento en la ordenada f(x0+ x) – f(x0), y la pendiente de la recta secante puede calcularse utilizando la fórmula para calcular la pendiente de una recta. y f ( x0 x) f ( x0 ) Pendiente de la recta secante x x Entonces se tiene que la pendiente de la recta tangente será el número al que se aproxima este cociente cuando x se aproxima a cero, es decir Q P. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(x0, f(x0)) está dada por el límite: lim x

f ( x0

x)

f ( x0 )

x

0

(1)

Ejemplo 2 f(x) = x2 en el punto (1, 1)? Solución: función dada, procedemos de la siguiente forma: a) Hallamos la pendiente de la recta secante en el punto 1 + x, como se Pendiente de la recta secante = = =

132 =

f (1

x)

f (1)

x (1

x)

2

(1)

2

x 1 2 x ( x) 2 1 x 2 x ( x) 2 x x(2

x) x

Pendiente de la recta secante = 2 + x

2

Matemáticas b) Hallamos el límite de la pendiente de la secante cuando tiende a cero: lim ( 2 x

x) 2

0

Por lo tanto, en el punto (1, 1) la pendiente de la tangente es 2. f(x)

(1 + x, f (1 + x)2)

(1, 1) 1

Figura 3.6.

x

(1 + x)

y = x2 y de una secante cercana al punto (1, 1).

3.2. Definición de la derivada con límites Se ha estudiado la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, pues bien, la función obtenida es denominada la derivada de f y está representada por el símbolo f que se lee: f prima f (x): La derivada de f en x0 es f ( x0 )

lim x

f ( x0

0

x) x

f ( x0 )

(2) (1) para

la pendiente de la recta tangente en el punto (x0, f(x0)). y (3) x 0 x Se puede concebir la derivada desde otro punto de vista tal como se muestra (3): 1. x, y son los incrementos de las variables x, y, respectivamente. Más exactamente un incremento x en la variable x produce un incremento y en la variable y. f ( x0 )

lim

133

Unidad

3

y f ( x2 ) f ( x1 ) es la razón o tasa promedio de cambio de y con respecto x x2 x1 a x en el intervalo [x1, x2]. Este valor dice qué tanto varíay por cada unidad de y 3 = = 1.5, es decir, y cambio en x. Por ejemplo, si y = 3 cuando x = 2, x 2 aumenta 1.5 unidades cuando x se incrementa en 1 unidad. y puede interpretarse como la 3. De esta forma la derivada f ( x) lim x 0 x razón o tasa instantánea de cambio de y con respecto a x, en el punto x1. 2.

Precisamente una notación para la derivada que hace referencia a la tasa dy que se lee: la derivada de y con respecto a x. instantánea de cambio es dx x , se escribe: y ( x0 )

dy dx

x x0

Ejemplo 3 ¿Cuál es la derivada de la función y = x2 + 1 en cualquier punto x de su dominio? f (x x) f ( x) f ( x) lim Solución: tenemos que: x 0 x y

dy dx

f (x

lim x

x

x

x

x

2x x ( x) x(2x

0

lim ( 2x 2x

0

2

x

0

lim x

2x x ( x) 2 1 x2 1

0

lim

x

1 ( x2 1) x

2

x

x)

2

0

li m

f ( x)

x (x

lim

134

x)

0

x x)

x)

2

Matemáticas

Es decir y

dy dx

2x

Ejemplo 4 ¿Cuál es la razón de cambio (instantánea) de la función f(x) = 3x2 en x = 2? Solución: como la razón de cambio de una función es la derivada de la

f ( x)

f ( x)

x) f ( x) 3( x lim x 0 x 0 x 2 3x 6x x 3( x) 2 3x2 lim x 0 x 6x x 3( x) 2 lim x 0 x lim (6x 3 x) 6x

lim

f (x

x) 2 3x2 x

x 0

Por tanto, la razón de cambio en x = 2 es igual a f (2) = 12

Ejemplo 5 Dada la curva de oferta O(p) = 5p2 de cierto artículo: a) ¿Cuál es el cambio promedio en la oferta cuando el precio cambió de p = 3 a p =4? b) ¿A qué razón cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 3? (cambio instantáneo) c) ¿A qué razón porcentual cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p= 3?

135

Solución: a) El cambio promedio es: O( 4) O(3) 4 3

5( 4) 2 5(3)2 1

35

b) La razón de cambio instantánea está dada por la derivada de la función en el valor considerado. Para calcular la derivada aplicamos la expresión (2) a la función O(p) = 5p2, es decir:

Unidad

3

O ( p)

lim p

O( p

0

p) O( p) p

lim p

5( p

0

p) 2 5 p2 p

Continuando los cálculos en la misma forma que lo hicimos con los ejemplos 3 y 4 se obtiene: O (p) = 10p y, por lo tanto, la razón instantánea de cambio es: O (3) = 10 · 3 = 30 p=3 la oferta cambia en 30 unidades cuando el precio cambia una unidad. c) La razón porcentual para cualquier función f(x) en el valor x está dada por: f ( x) 100 f ( x) Para el caso que nos ocupa obtenemos: O (3) 30 100 % 100 % 67% O(3) 45 es igual a 3 pesos.

Ejemplo 6 Retomamos el ej empl o de maxi mi zaci ón de l as uti l i dades del f abr i cant e de bal ones, el cual est á dado por l a f unci ón U ( x) 10(500 x)( x 100) 10x2 6 000x 500 000, donde x es el precio al que se venden los balones. El objetivo es hallar el precio de la venta que maximiza las utilidades.

136

Solución: por el anál isis gráfico que hicimos anteriormente sabemos que el valor de x que maximiza la utilidad U(x) es el valor cuya tangente es paralela al eje x. Es decir, es el valor x donde la derivada de la función se anula (igual a cero).

a la función utilidad U ( x) 10(500 x)( x 100)

10x2

6 000x 500 000.

2

Matemáticas

x) f ( x0 ) x Por lo tanto la derivada de la función utilidad es: U (x x) U ( x) U ( x) lim x o x f ( x0 )

lim

6 000( x

10( x

x) 2

6 000x 6 000 x 10x2 x

10 ( x

x)2

x

10[ x

2

0

lim

x 0

6 000x 500 000)

6 000x

6 000 x

2x x ( x)2 x

10( 2x x

x 0

lim

x2

x) 500 000 ( 10x2 x

x

x 0

lim

f ( x0

0

x) 2

x 0

lim

x

10( x

x 0

lim

lim

2

x ] 6 000 x

x2 ) 6 000( x) x

x[ 20x 10 x 6 000] x

= –20x + 6 000 Se tiene que U (x) = –20x + 6 000 Entonces para conocer el valor de x, se iguala la derivada de la función utilidad a cero: –20x + 6 000 = 0 Se determina el valor óptimo al conocer el valor de x, es decir: 6 000 20x,

x

6 000 300 20

De las operaciones anteriores vemos que x = 300 y podemos observar en la

137

Unidad

3

U (x) (300, 4 105)

x

Figura 3.7.

Ejercicio 1

138

1. Calcula la tasa de cambio instantánea de la siguiente función en cualquier 1 punto x de su dominio f ( x) . x 2. Dada la curva de oferta O(p) = 6p2 + 10 de cierto artículo: a) ¿Cuál es el cambio promedio en la oferta cuando el precio cambió de p = 10 a p = 11? b) ¿A qué razón cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 10? c) ¿A qué razón porcentual cambiará la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 10? 3. Las funciones lineales f(x) = mx + b una línea recta, siendo su pendiente el valor m. derivada demuestra que la razón de cambio instantánea es el mismo valor m, y da una explicación para esta igualdad. 4. Un fabricante sabe que al vender su producto en x pesos obtiene un ingreso dado por la función I(x) = –2x2 + 100x – 50, pero no se sabe a qué precio debe vender su producto para obtener la mayor cantidad de ingresos. Ayuda al fabricante a obtener el precio óptimo. 5. y = x2 – 3x y utiliza la derivada para determinar su vértice.

2

Matemáticas

6. Dada la función g (t )

2 t

, calcula su derivada en cualquier valor t y t = 1/2.

3.3. Álgebra de derivadas Igual que con los límites, ahora se determinan fórmulas para calcular las derivadas. Es decir, se calcula la derivada de ciertas funciones básicas y después con la ayuda del álgebra de derivadas se puede obtener la derivada de las funciones más conocidas.

La derivada de una función constante La derivada de una función constante es cero. Veamos por qué: sea la función f (x) = c y calculando su derivada en cualquier punto f ( x)

lim x

f (x

0

x) x

f ( x)

lim x

0

c c x

0

La derivada de la función idéntica La derivada de la función idéntica es igual a 1. Ya que la función idéntica tiene la forma f(x) = x, de derivada y se tiene: f ( x)

lim x

0

f (x

x) x

f ( x)

lim x

0

(x

x) x x

lim x

0

x x

l im 1 1 x

0

La derivada de la suma y resta de funciones (f ± g) (x) =f (x) ± g (x) Se tiene que la derivada de una suma o de una resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas.

139

Unidad

3

La derivada del producto de funciones (f g) (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x) La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera función.

La derivada del cociente f g

( x)

g ( x) f '( x) f ( x) g ( x) [ g( x)]2

La deri vada del coci ente de dos funci ones es i gual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo esto dividido por el cuadrado del denominador.

Ejemplo 7 ¿Cuál es la derivada de f(x) = x2? Solución: como f(x) = x · x se trata del producto de la función idéntica por sí misma, por lo tanto aplicando la derivada del producto de dos funciones y la derivada de la función idéntica: f (x) = x · 1 + 1 · x = 2x

Ejemplo 8 ¿Cuál es la derivada de f(x) = x3?

140

Solución: como f(x) = x2 · x se trata de la derivada de la función del ejemplo 7 y de la idéntica, luego: f (x) = x2 · 1 + x · 2x = 3x2

La derivada de una potencia Observando las expresiones para las derivadas obtenidas en los ejemplos anteriores no es difícil convencerse de la veracidad del siguiente resultado.

2

Matemáticas La derivada de la función f(x) = xn donde n es cualquier número real está dada por la expresión: f ( x) nxn 1 Es decir, la derivada de una potencia es igual al producto del exponente multiplicado por la variable con el exponente disminuido en 1. Ya sin problemas para derivar potencias podemos preguntarnos, ¿qué sucede con la derivada si la potencia está multiplicada por una constante?

Ejemplo 9 ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = 10x5? Solución: apl icando l a expresión para la deri vada de un producto y recordando que la derivada de una constante es cero, se tiene que: f (x) = 10 · 5x4 + x5 · 0 = 50x4

La derivada de una función por una constante La derivada de una función por una constante es la constante por la derivada de la función. [kf (x)] =kf (x) En particular si g(x) = cxn con c constante, su derivada es g (x) = cnxn–1 c constante

Ejemplo 10 ¿Cuál es la derivada de f(x) = 7x3 –5x2 +4x + 15? Solución: se determina la derivada de cada una de las potencias y como la derivada de una suma es la suma de las derivadas, tenemos: f (x) = 7(3)x3–1–5(2)x2–1 + 4(1)x1–1 + 0 f (x) = 21x2 –10x + 4

Ejemplo 11 ¿Cuál es la derivada de la función f ( x)

x2 x ? x3 1

Solución: se aplica la expresión para la derivada de un cociente y se obtiene:

141

Unidad

f ( x)

3 ( x3 1)(2x 1) ( x2 ( x3 1) 2 2x4

x)( 3x2 )

2x x3 1 3x4 3x3 ( x3 1) 2

x4 2x3 2x 1 (1 x3 ) 2

Ejemplo 12 1 x

Sea la función f ( x)

a) ¿Cuál es la derivada? x = 2? 1 x 0 11 2 x x2 b) En general, para encontrar la ecuación de una recta, necesitamos conocer

Solución: a) aplicamos la derivada de un cociente f ( x)

pasa la recta tangente es el punto de tangencia mismo; en este caso el punto

1 2 1 Así, la recta tangente de que se trata es la recta que pasa por 2, y que 2 1 1 tiene como pendiente f '( 2) 2 4 2 La ordenada de este punto es f(2)=

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente tiene la forma: y y1 m( x x1 ) y

142

y f (x

1 2

1 ( x 2) 4 1 x 1 4

2

Matemáticas

Figura 3.8.

y = 1/x y su tangente en el punto (2, ½).

1 x 1 la derivada se calcula con x 1 1x 2 la regla de la derivada de una potencia, es decir f ' ( x) x2 Si escribimos la función en la forma f ( x)

Ejemplo 13 ¿Cuál es la derivada de la función f ( x)

3

x2 ?

Solución: la función dada se puede reescribir como una función potencia en 2 2 13 2 la forma f ( x) x 3 . Es decir, f ( x) x . 3 3 3 x

Ejercicio 2 En los ejercicios 1 a 9 encuentra la derivada de las funciones dadas: 1. y = –x2 + 6x –1 1 2. y 3x 7 3. y

x

4. y = (2x3 – 4x2 + 7x) (x2 – 9)

143

Unidad

5. y 6. y

3 4x3 11 3x2 7 5

x2

7. y = (x2 + 6)(4x – 5)(x3 + 8) 8. y = 12x x (1+ 3x2 ) 9. y

2 5 x x 10

7 x3 ; x 1 4x 9 2 11. g ( x) x 3 ; x 2 x 10. f ( x)

12 f (x) = x3 en el punto (0, 0).

3.4. Derivabilidad y continuidad Se ha estudiado la noción de la continuidad de una función en un punto y la también estudiamos el concepto de derivada cuya interpretación geométrica es la de ser la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto donde es derivable. Ahora bien, con respecto a estos conceptos se va a mostrar que existe relación entre los conceptos de derivabilidad y continuidad. De manera general esta relación se encuentra dada de la siguiente forma: Si una función es derivable en un punto a, entonces la función es continua en este punto.

144 explícitas: Las funciones para las cuales existe la derivada son funciones continuas. Si una función es discontinua en un punto a se puede concluir que tampoco tiene derivada en ese punto, es decir, geométricamente no es posible a. La relación inversa: “ si es continua es derivable” no siempre es cierta.

2

Matemáticas Esta última relación fácilmente se asume como una relación equivocada, por ello, se da un ejemplo de una función que siendo continua en un punto no es derivable en ese mismo punto.

Ejemplo 14 ¿La función valor absoluto dada por f ( x)

x

x si x 0 es una x si x 0

función continua y derivable en x = 0? Solución: para ver que es continua debemos probar que lim x x 0

a) lim x x

0

x

0

0. Para

lim ( x) 0 x

b) lim x

0

0

lim x 0 x

0

Para comprobar si existe la derivada recordemos que como ésta también es un a) lim x

f (0

0

b) lim x 0

f (0

x) x x) x

f (0)

lim x

f (0)

0

lim x 0

x 0 1 x x 0 1 x

derivada en 0, lo que da a entender que la derivada en x = 0 no existe. f(x) = |x pico en el punto (0,0), característica común de las funciones que siendo continuas

145

Figura 3.9.

x = 0.

Unidad

3

Ejercicio 3 1. En a) La función no es continua. b) La función no es derivable. c) Si los puntos no son los mismos explica la razón.

Figura 3.10. 2. Dada la función y = x – 2 encuentra: a) Los puntos de continuidad. b) Los puntos donde la función no es derivable. c) La expresión para la derivada.

Determina los puntos de discontinuidad y de no derivabilidad de la siguiente función: 3. y = |x + 1|

146

2

Matemáticas

Ejercicios resueltos 1. ¿Cuál es la derivada de y

x

5

2

x

5

2

?

Solución: se trata de calcular la derivada de la suma de dos funciones que son potencias, entonces: 5 1 5 1 y 5 x2 ( 5 )x 2 2 2 3 7 5 x2 5 x 2 2 2 2. ¿Cuál es la derivada de y = (x2 –1)(x + 5)? Solución: se aplica la regla de la derivada de un producto para obtener: y ' ( x2 1) (1) ( x 5)( 2x) 3x2 10x 1 3. ¿Cuál es la derivada de y

x 1 ? x 5

Solución: aplicando la regla de la derivada de un cociente obtenemos: y

( x 5)1 ( x 1)1 ( x 5)2

x 5 x 1 6 2 ( x 5) 2 ( x 5)

En los ejercicios 4 y 5 determina las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes curvas en el punto dado. (La ecuación de una recta tiene la forma y – y0 = m(x – x0) donde m es la pendiente y (x0, y0) son las coordenadas de un punto de la recta.) 4. f ( x)

x

1 4

2x

3

4

en x 16

Solución: y0 = f (x0), es decir, en este caso y0 = f (16) = 18 1 14 1 3 3 1 f '( x) x 2( ) x 4 4 4 1 3 4 6 14 f ( x) x x con lo que la pendiente de la recta es f (16) 4 4

147

25 32

Unidad

3

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente tiene la forma: 25 y 18 ( x 16) 32 25 11 y x 32 2 x 1

5. f ( x)

x2 1

en x 1

Solución: y0 = f (x0) = f (1) = 0 f ( x)

( x2 1)(1) ( x 1) 2x ( x2 1) 2

produce f (1)

x2 2x 1 que aplicada a nuestro caso ( x2 1) 2

1 2

Así la ecuación de la recta tangente tiene la siguiente forma: 1 y 0 ( x 1) 2 1 1 y x 2 2

Ejercicios propuestos En los ejercicios 1 a 11 calcula la derivada de las funciones dadas: 1. y = x2 –2 2. y x 5 3. y = (5x3 + 8x2)(4x5 –2)

148

4. y 5. y

2x3 4x2 3 5x3 6 10x4 2 x 8x 25 3

6. y

x 2 x2 x4 99

2

Matemáticas 7. y = x3(x2 + 1)(x + 1) 1 8. y 3 4x 8x 5 5 9. y 3 3 2x x 2 10. y

x7 15x

11. y

1 5

5 x 2x2 3

En los ejercicios 12 a 16 determina la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en el valor dado: x 1 12. f ( x) ; en x 5 x 5 x2 13. g ( x) ; en x 2 x3 1 14. h( x)

1 x

1

1 x2

; en x 2

6 ; en t 3 1 t2 1 16. s(u) 2u ; en u 0.5 u 15. r (t )

Autoevaluación ¿Cuál de las siguientes opciones es la derivada de las siguientes funciones? 1 1. f ( x) = (2x2 1) ( 2 4x+ 8) x 2 x3

a) f (x) = 24x2 b) f (x) = x2

2

x3 2 2 c) f (x) = 24x x5

32x 4 32x 7 32x 4

149

Unidad

3 2

d) f (x) = 24x2

4

x3

3

2. g ( x) 2 x4

x

3

2

3

3

8x

2

a) g (x) =

( 2x

x 3

4

x 2) 2 3

3(8x3

2

b) g (x) =

( 2x

x 2) 2

8x3

3 x 2

( 2 x4

x 2)

c) g (x) =

3. h( x)

1

x 2)

3

4

d) g (x) =

1 2

3

8x

x

3

( 2x4 x

1 2

x 2)

2

( x 1) ( x 2)

a) h '( x)

3x2 4x ( x 1) 2 ( x 2) 2

b) h '( x)

3x2 4x ( x 1) ( x 2)

c) h '( x)

7x ( x 1) ( x 2) 2

d) h '( x)

x(3x 4) ( x 1) ( x 2) 2

150

2

2

Matemáticas 4. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva: f ( x) ( x 1) ( x 3) ( x 4) en x 1 x 5. Determina los puntos donde la función f ( x) no es derivable y x 1 explica tus razones. 6. sea falsa explica la razón de tu respuesta o da un ejemplo (un contraejemplo) que demuestre su falsedad: a) Toda función derivable es continua. b) Toda función continua es derivable. c) Si una función no es derivable en un punto tampoco es continua en ese punto. d) Si una función no es continua en un punto tampoco es derivable en ese punto.

151

2

Matemáticas

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 dy 1 dx x2 2. a) 126 b) 120 c) 19.67% dy f (x lim 3. x 0 dx

1.

x) x

f ( x)

lim x

m( x

0

x) b mx b x

lim x

0

m x x

m

El resultado pone en evidencia el hecho de que la pendiente de una recta es precisamente la tasa de cambio de y respecto a x, tasa que es la misma para cualquier x. 4. x = $25 5.

6. g (t) = –2/t2 y m= –8

Ejercicio 2 1. y = –2x + 6 3 2. y 3x 7 3. y 4. y

2

1 2 x 10x4 16x3 33x2 72x 63

153

Unidad

5. y

3 12x4 84x2 66x (3x2 7) 2 2

6. y

5

5

x3

7. y ' 24x5 25x4 96x3 6x2 80x 192 1

8. y

24 x (10 x) 2

9. y 10. y

5

18x 2 126x 2

245 154 x 169 169

11. y

1 2

2

1 x 3 2 3

1 2

8 3

3

2

12. y = 0

Ejercicio 3 1. a) x = a b) x = a, x = b c) En x = b la curva tiene forma de pico y no existe derivada. 2. a) Todos los reales b) 2 1 si x 2 c) f ( x) 1 si x 2 f(x)

d)

154 1 2

y = |x – 2| 3. No derivable en x = –1

x

2

Matemáticas

Respuestas a los ejercicios propuestos 1. y ' 2. y '

2x 1 2 x

3. y ' 160x7

224x6 30x2 32x

4. y '

20x4 9x2 48x (5x3 6) 2

5. y '

20x3 ( x2 12x 50) ( x2 8x 25) 2 2x5

6. y '

5 92 297 12 198x x x 2 2 ( x4 99) 2

7. y ' 6x5 5x4 8. y '

4x3 3x2

12x2 8 ( 4x3 8x 5) 2 3 12 x 2

5 6 x2 9. y ' ( 2x4

10. y ' 7x6 3x 11. y '

3

x 2 )2 6

5

15x2 20x ( x3 2x2 ) 2

3 1 x 50 10 4 20 y x 27 27 y=4 9 39 y t 16 16 y = 6u – 4

12. y 13. 14. 15. 16.

155

Unidad

3

Respuestas a la autoevaluación 1. a) 2. b) 3. a) 4. y = 6x – 6 5. la derivada no son iguales. 6. a) Verdadero. b) Falso, y = |x| c) Falso, y = |x| no es derivable en x = 0 pero sí es continua en x = 0 d) Verdadero.

156