MATEMÁTICA Unidad 4

Medidas de peso, la proporcionalidad e introducción al álgebra

Objetivos de la unidad: Aplicarás las medidas y estimaciones de peso, al proponer soluciones a situaciones problemáticas de tu vida cotidiana. Resolverás problemas de la vida cotidiana aplicando con seguridad proporciones, regla de tres y tanto por ciento, valorando la opinión de los demás. Interpretarás y convertirás informaciones del entorno al lenguaje algebraico –del valor numérico– a fin de proponer con seguridad soluciones a situaciones cotidianas. Propondrás soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno, utilizando la potenciación, respetando la opinión de los demás.

55

La unidad de peso del SI es El kilogramo y se estudiaron Introducción al Álgebra

Los submultiplos

Los multiplos

y se estudiaron Las expresiones algebraicas esta formada por Términos

pueden ser Monomios

La proporcionalidad se basa en Razones

se utiliza en Regla de tres

Proporciones

Tanto por ciento

pueden ser Directa

Inversa

Descripción del proyecto En una fábrica artesanal de queso se necesita averiguar si un grupo de personas puede cumplir con determinada producción, en kg, en un plazo específico.

56 Matemática - Séptimo Grado

Polinomios

Lección 1

Cuarta Unidad

Medidas de peso Motivación

C

uando vas al mercado o al supermercado a comprar productos comestibles como leche en polvo o carne, ¿cuáles son las unidades de peso más comunes que se utilizan?

Indicadores de logro: Convertirás con destreza unidades de peso. Relacionarás con disposición y análisis las unidades de capacidad, volumen y peso.

Resolverás con certeza problemas donde se apliquen conversiones.

Peso de un cuerpo Observa la ilustración. ¿Quién pesa más: Liliana o Carlos?

Todos los cuerpos tienen peso porque la Tierra los atrae.

Peso de un cuerpo es la medida de la fuerza con que la Tierra atrae a ese cuerpo.

Unidades de peso en el SI En el Sistema Internacional de unidades (SI), la unidad fundamental de peso es el gramo. Recibe el nombre de gramo el peso de 1 cm3 de agua destilada, a 4º C y a nivel del mar.

1 cm 1 cm

Séptimo Grado - Matemática 57

UNIDAD 4 Acá te presentamos algunos cuerpos cuyo peso está dado en gramos. Hay cuerpos cuyo peso es muy grande para expresarlo en gramos. Hay otros cuyo peso es muy pequeño. Por ello existen los múltiplos y sub múltiplos del gramo.

Múltiplos del gramo Las unidades que son múltiplos del gramo son: Múltiplo decagramo hectogramo kilogramo

Abreviatura dag hg kg

Equivalencia 10 g 100 g 1,000 g

Observa que los múltiplos del gramo forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior.

Ejemplo 1 Expresa en gramos: 3 kg, 15 hg, 7 dag, 2 kg, 5.2 dag.

Solución: a)

b)

 1000 g  3 kg  = 3000 g  1 kg  3 kg = 3000 g

 100 g  15 hg  = 1500 g  1 hg  15 hg = 1500 g

c)

d)

 10 g  7 dag  = 70 g  1 dag  7 dag = 70 g  10 g  5.2 dag  = 52 g  1 dag  5.2 dag = 52 g

Ejemplo 2

Si una bolsa de frijoles pesa 5 kg, expresa su peso en dag, hg y g.

Solución: Observa el siguiente cuadro:

5 kg = 5 kg = 5 kg =

kg 5 5 5

Tienes que: 5 kg = 50 hg = 500 dg = 5,000

58 Matemática - Séptimo Grado

hg 0 0 0

dag 0 0

g

0

= 50 hg = 500 dag = 5,000 g

UNIDAD 4

La tonelada métrica Cuando se afirma que un camión es de cuatro toneladas, significa que ésta es la máxima carga que debe trasportar. La tonelada métrica o tonelada, representada por t, es la unidad de peso del SI que equivale a mil kilogramos.

1 t = 1,000 kg

Ejemplo 3 Un camión de 4 t debe transportar 15,000 kg de piedra. ¿Cuántos viajes debe realizar?

Solución: Comienzas convirtiendo los kg a t:  1t  15 ,000 kg  = 15 t  1 ,000 kg 

= 15 ,000 kg = 15 t Luego, como el camión debe transportar un máximo de 4 t en cada viaje, el número de viajes es:

15 ÷ 4 = 3

Con residuo 3.

R: Entonces el camión necesitaria 4 viajes. Puedes ver entonces que el camión realiza 3 viajes de 4 t cada uno y 1 viaje de 3 t.

Ejemplo 4 En un bus se transportan 50 personas con un peso promedio de 75 kg cada una. ¿Cuántas toneladas de carga lleva el bus?

Solución: Como cada persona pesa un promedio de 75 kg, el peso de 50 personas es: 75 × 50 = 3,750 kg  1t  3 , 750 kg = 3 , 750 kg   = 3.75 t  1 ,000 kg 

R: El peso de las 50 personas que se transportan en el bus es de 3.75 toneladas.

Séptimo Grado - Matemática 59

UNIDAD 4

1

Actividad

1. Un vagón de ferrocarril transporta 8 t con 385 kg de café. ¿Cuántos hectogramos transporta? 2. Una balanza señala que un cuerpo pesa 38 g. ¿Cuántos kilogramos pesa? 3. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades: a) 52 g =

hg

c) 0.8 t =

kg

b) 365 dag =

kg

d) 3.6 kg =

dag

4. Un camión lleva una carga de 3 t y 786 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la carga? 5. Expresar 3,824 kg en una sola expresión que contenga kg, hg, dag y g.

Submúltiplos del gramo El siguiente cuadro te muestra los sub múltiplos del gramo, su abreviatura y equivalencia. Submúltiplo decigramo centigramo miligramo

Abreviatura dg cg mg

Ejemplo 5 Expresa 46 cg en dg, mg, y g.

g 46 cg =

Equivalencia 0.1 g 0.01 g 0.001 g dg 4

cg 6

Solución:  10 mg  Como en 1 cg existen 10 mg, 46 cg = 46 cg  = 460 mg  1 cg 

60 Matemática - Séptimo Grado

mg 0

= 460 mg

UNIDAD 4 Solución: 46 cg =

4

6

= 4.6 dg

 1 dg  = 4.6 dg O sea: 46 cg   10 cg 

46 cg =

g 0

dg 4

cg 6

La cubeta llena de agua pesa: 9 kg = 9 kg 6 hg = 6 ÷ 10 kg = 0.6 kg 9.6 kg Como vacía pesa 1.2 kg, la diferencia: 9.6 kg − 1.2 kg = 8.4 kg es lo que pesa el agua.

mg = 0.46 g

 1g  O sea: 46 cg  = 0.46 g  100 cg 

Luego, como 1  de agua pesa 1 kg, el cubo contiene 8.4  de agua.

Ejemplo 8 ¿Cuánto pesa 1 dm3 de agua?

Punto de apoyo Recuerda que: Para pasar a una unidad inmediata inferior multiplicas por 10. Y para pasar a una inmediata superior divides por 10.

Ejemplo 6 Una caja de leche tiene un peso de 464 g. Expresa el peso en kg y dg.

10 cm

Solución

10 cm

10

cm

1 dm3 = 1,000 cm3.

Además, 1 cm3 de agua pesa 1g Luego, 1,000 cm3 de agua pesan: 1,000 g = 1 kg.

Ejemplo 9 ¿Cuál es el peso de 1 m3 de agua?

Solución: Como 1 m3 = 1,000 dm3 y el peso de 1 dm3 de agua es 1 kg

Solución:

Entonces el peso de 1 m3 = 1, 000 dm3 de agua es de 1,000 kg, o sea, una tonelada.

Como 1 kg = 1,000 g Como 1 g = 10 dg, entonces: 464 g = 464 × 10 dg = 4,640 dg.

Ejemplo 7 Una cubeta llena de agua pesa 9 kg y 6 hg, y vacío 1.2 kg. ¿Cuántos litros de agua contiene la cubeta?

Séptimo Grado - Matemática 61

UNIDAD 4 Ejemplo 10 ¿Cuál es el peso en gramos de 2,300 milímetros cúbicos de agua?

Solución:

 1 cm 3  2,300 mm3  = 2.3 cm 3 3  1 ,000 mm 

Luego, 2,300 mm3 = 2.3 cm3 Por tanto: 2, 300 mm3 de agua son 2.3 cm3 , y su peso es 2.3 g.

Ejemplo 11 ¿Cuánto pesa un litro de agua?

Solución: Como 1  = 1 dm3 = 1,000 cm3, entonces un litro de agua pesa 1,000 g, o sea, 1 kg.

Ejemplo 12 El volumen de un recipiente es de 3.14 cm3. ¿A cuántos mililitros equivale? ¿Cuántos gramos de agua contiene?

Solución:

1  = 1 dm3 = 1,000 cm3

Además,

1  = 1, 000 m 

Luego

1 cm3 = 1 m 

Entonces, un volumen de 3.14 cm3 = 3.14 m  , contiene 3.14 g de agua. 1  = 1 dm3 pero 1 dm3 = 1 × 1,000 cm3 = 1,000 cm3 Luego, 1  = 1,000 cm3 Como la sustancia contenida es agua y 1 cm3 de agua pesa 1 gr, entonces 1,000cm3 de agua pesan 1,000 gr. Como 1,000 gr = 1 kg, el peso de 1,000 cm3 de agua es 1,000 gr ó 1 kg.

62 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4

Actividad

2

1. El peso de una caja para galletas es 25 g. Cuando se le agregan las galletas, el peso sube a 2.58 kg. ¿Cuánto pesan las galletas?

2. El peso de la leche en polvo contenida en una caja de cartón es de 0.008 kg. Si la caja sola pesa 25 g, ¿Cuál es el peso total de la caja? 3. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala. 3 kg = 5 hg = 13 dag = 14 hg = 5 dg =

kg 3

hg 0

dag 0

g 0

dg

cg

mg = 3 000 g = ______ dag = ______ cg = ______ mg = ______ dag

4. Explica cómo harías para convertir 184 mg a dg. 5. El volumen de un tanque para almacenar agua es de 3 m3. a) ¿Cuántos litros contiene el tanque? b) ¿Cuántos gramos pesa el agua que contiene? ¿Y cuántos kilogramos? 6. Si un líquido pesa 3 veces más que el agua y ocupa un volumen de 150 cm3, ¿cuánto pesa el líquido?

Resumen El gramo es la unidad de peso fundamental en el SI. Es el peso de 1 cm3 de agua destilada a 4 ºC y a nivel del mar. Sus múltiplos son el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg). Los submúltiplos del gramo son el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg). El peso de un volumen determinado de agua puede determinarse, ya que 1 cm3 de ese líquido pesa 1 g. Por tanto, como el litro contiene 1,000 cm3, el peso de un litro de agua es de 1,000 g, o sea, 1 kg. De igual forma, como en 1 m3 hay 1,000 litros, entonces el peso de 1 m3 de agua es de 1,000 kg. Si un líquido es ”n“ veces más pesado que el agua, entonces 1 cm3 de ese líquido pesará “n “gramos.

Séptimo Grado - Matemática 63

UNIDAD 4

Autocomprobación 1,000 g b) 1 l c) 1 kg d) a y c son correctas a)

Una carga pesa 9.5 t, y será transportada en un camión cuya carga máxima es 1,900 kg. El número de viajes que tiene que realizar el pick-up es: 4 b) 6 c) 5 d) 3 a)

Si una sustancia es 5 veces más pesada que el agua, entonces el peso de 2 cm3 de esa sustancia es:

El mayor de los siguientes pesos es: 0.004 kg b) 4 g c) 40 dg d) Todos los pesos son iguales a)

2. b.

10 kg b) 10 g c) 0.01 kg d) 20 g a)

4

1. d .

2

3

El peso de 1 dm3 de agua es:

Soluciones

1



3. c.

4. d.

PESO DE LA TIERRA

TM7P156 Vista satelital de la Tierra

El peso mejor dicho, la masa de la Tierra fue calculada por primera vez en 1798 por el físico inglés Henry Cavendish. Naturalmente, no logró colocar el globo terráqueo sobre un balanza. Aún así, Cavendish resolvió el problema mediante un experimento mucho más sutil, cuyo resultado: La Tierra pesaba 6,600 trillones de toneladas. Ahora se sabe que la Tierra tiene un área de 510 101 000 km2; un volumen de 1 083 320 000 000 km3 y un peso de 5,975 trillones de toneladas, o sea: ¡ 5,975,000,000,000,000,000,000 t!

64 Matemática - Séptimo Grado

Lección 2

Cuarta Unidad

Razones y proporciones Motivación

E

n los hospitales se establece la relación que hay entre el número de enfermeras y el número de pacientes. Por ejemplo, si en un hospital hay 2 enfermeras por cada 24 pacientes, ¿cuál es la relación matemática que existe entre ambos?

Indicadores de logro: Utilizarás con orden las proporciones en ejercicios y problemas de aplicación.

Determinarás y ejemplificarás razones con seguridad. Aplicarás las razones en ejercicios y problemas. Utilizarás la propiedad fundamental de las proporciones.

Razones En la situación anterior, como hay 2 enfermeras por cada 24 enfermos, la relación entre el número de enfermeras y el de pacientes es de 2 a 24. O sea, el número de 2 del total de pacientes. enfermeras es

Elementos de la razón. En la razón anterior, 2 se llama antecedente y 3 se denomina consecuente. Se lee: “2 es a 3”.

24

A esta forma de expresar la relación entre dos cantidades, se le llama razón. O sea: razón es el cociente entre dos números. Así, las siguientes expresiones son ejemplos de razones.

2 3

,

3 5

,

5 4

,

4 5

,

7 8

,

2:3 Antecedente

1 2

Una razón puede representarse en forma fraccionaria, en forma horizontal o en forma decimal. La razón entre 2 y 5 es: 2 que también se escribe así 2:5.

2 3

Consecuente

Antecedente Consecuente

5

Séptimo Grado - Matemática 65

UNIDAD 4 Ejemplo 1

Ejemplo 3

La señora. Gómez gasta $40 en alimentos de los $100 que lleva.

¿Representa

Solución:

Solución:

2 5

la razón de 2 m a 5 cm?

antecedente y 100 el consecuente.

Para comparar la medida de un segmento de 2 m con otro de 5 cm, debes convertir los metros a centímetros para encontrar la razón.  100 cm  = 200 cm Como 2 m = 2 m   1 m 

Ejemplo 2

La razón es:

a)



La razón entre lo que gasta en alimentos y lo que lleva es 40 100

; lo cual se lee “40 es a 100”. En esta razón, 40 es el

El carro de Manuel recorre 40 km por cada galón de gasolina.

b) Con 3 galones de pintura María pinta una pared de

50 m2 .

b) La razón es:

5

Ejemplo 4 En un centro escolar, la razón del número de niñas al número de niños es 4:3. ¿Cuántas niñas hay en la escuela?

Solución: a) La razón es:

200

1

Probablemente decidiste que hay 40 niños y 30 niñas, 40 4 es igual a , pero puede haber 100 niños porque 30 3 100 4 y 75 niñas, ya que = = . 75 3

40 3 50

¿Puedes escribir otras soluciones a la situación? ¿Cuántas soluciones presenta esta situación?

1

Actividad

1. Determina la razón entre las cantidades que intervienen en cada caso. a) En una escuela hay 2 maestras por cada 65 estudiantes. b) De cada 10 conductores de transporte colectivo, sólo cuatro respetan las normas de tránsito. c) Un terreno de 150 manzanas, 95 son cultivadas.

2.En una cooperativa de ahorro y préstamo, por cada $ 1,000 ahorrados recibes $ 150 de utilidades al año. En otra, por cada $ 1,500 ahorrados recibes $ 200. ¿En cuál de las dos te conviene más ahorrar?

66 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4

Proporciones 4 75 3 Cuando tienes la igualdad de dos razones obtienes una proporción. 40 4 = se lee "40 es a 30 como 3 es a 4". La proporción 30 3 Otra forma de representarla es 40 : 30 : : 3 : 4 En el ejemplo anterior comprobastes que:

100

=

Elementos de la proporción Observa qué nombre reciben los elementos de una proporción. Los elementos 40 y 4 se llaman extremos. Los elementos 30 y 3 se llaman medios. Observa: (40) (4) = (30) (3) Extremos 40 : 30 : : 3 : 4 Medios

Observa

Dos razones son equivalentes si el producto de los medios es igual al producto de los extremos. En a : b : : c : d ad = bc

2

Actividad Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala: Proporción 2 6

=

8 24

Lectura 2 es a 6 como 8 es a 24

Extremos 2 y 24

Medios 6y8

5y6 3y8

3 y 10 2 y 12

4 : 7 : : 12 : 21 3 2

=

12 8

Séptimo Grado - Matemática 67

UNIDAD 4

Propiedades de las proporciones 2

Trabaja con la proporción

6

=

3 9

. Encuentra el

producto de sus extremos y el producto de sus medios. ¿Cómo son esos productos? Haz lo mismo con las proporciones siguientes.

a)



c)



d)

9

=

24 8 5 5 16

24

=

3 8

16

Dada la proporción: 2



5

b

=

c d

15

30 = 30



10

=

Observa

10 32

Has comprobado que en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es decir: a

6

Comprueba las siguientes igualdades: 2 × 15 = 5 × 6

Si

¿Llegaste a la misma conclusión?

Si

=

{

b)

8

21

=

Cálculo de medios y extremos.

{



7

Esta propiedad recibe el nombre de propiedad fundamental de las proporciones.

, entonces a × d = b × c

a

=

b

c d

, entonces a × d = b × c

¿A qué es igual el valor de un extremo en una proporción? ¿Y a qué es igual el valor de un medio en una proporción? Comprueba tus respuestas con las siguientes: Un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo. e1 m1

=

m2 e2





e1 =

m 1´ m 2 e2

Un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio: e1 m1

=

m2 e2



m1 =

e1 x e 2 m2

Esta es otra propiedad de las proporciones. Te diré cómo calcular el valor de un extremo o de un medio dados los otros tres términos.

68 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4 Ahora en tu cuaderno encuentra el término desconocido en las siguientes proporciones: 8 4 9 a y = = 12

a

4

Compara tu solución con la siguiente:

8 12

=

4

a

12

significa que: 8 × a = 4 × 12

4 × 12 =6 8 Un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo. 9 a significa que: 4 × a = 9 × 12 = Luego: a =



4

12

a=

9 x 12 4

= 27

Un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.

Ejemplo 5 El Centro Escolar Calle Real tiene matriculados 180 niños. ¿Cúantas niñas se encuentran matriculadas si existen 4 niños por cada 3 niñas?

Solución: Sea n: el número de niñas. La razón del número de niños al de niñas es de 4 : 3 entonces: 4 180 . = 3 n Fórmula:

a c = b d

a×d=b×c



d=

b ×c a



n=

3 × 180 = 135 4

Sustituyendo: 4 × n = 3 × 180

R: El Centro Escolar tiene 135 niñas matriculadas.

Séptimo Grado - Matemática 69

UNIDAD 4 Ejemplo 6 1

Un tren de carga recorre 210 km en 3 horas. Suponiendo que la velocidad es 2 constante, ¿cuántos kilómetros viaja en 5 h?

Solución: Sea d los kilómetros que recorre en 5 h.

1 7 210 . 3 = (convirtiendo de número mixto a fracción) formas la razón 7 2 2 Como recorre “d” kilómetros en 5 h, formas la razón

d 5

2

.

Como la velocidad es la misma en ambos recorridos tienes:



d 210 = 5 7 2

Fórmula a c = b d

a × d = b × c

a=

b ×c d

Sustituyendo: 5 × 210 1050 d= = 7 2 2 2 1050 7 d= ÷ 1 2 1050 2 = × = 300 1 7 R: El tren recorre 300 km en 5h

70 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4

Observa Conversión de número mixto a fracción. (ver pág. 74) 1 3 se convierte así: 2 1 7 (2) (3) + 1 = 7 es el numerador y se deja el mismo denominador, asi: 3 = 2 2

3

Actividad 1. En las siguientes proporciones, encontrar el valor del término desconocido.

a)

y 3

=

8 12



b)

3 4

=

t 20





c)

12 9

=

w 3

2. Un vehículo recorre 162 km en 3 h. ¿En cuántas horas recorre 297 km si su velocidad es constante? 3. Calcula la velocidad media de un avión que recorre 1,925 km en 3.5 h.

4. Cinco galones de cierto líquido pesan 36 lb. ¿Cuánto pesa un galón del líquido?

Resumen Se le llama razón al cociente entre dos números. Ésta puede expresarse en forma de fracción, a en forma decimal o en forma horizontal se escribe también a : b; se lee “a es a b”. b

Proporción y la igualdad de dos razones. El principio fundamental de las proporciones establece que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Otro principio de las proporciones establece que el valor de un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo. El valor de un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.

Séptimo Grado - Matemática 71

UNIDAD 4

Autocomprobación

b)

5 2 3

= =

6

10 14 21



c)



d)

4

5 9 1

= =

12

9

El valor del término desconocido de la proporción y = 5 es: 1 b) 5 c) 10 d) 20 a)

4

20

5

7 b) 12 c) 4 d) No puede determinarse, hay múltiples soluciones. a)

10 18

3. d.

2



3

Si la razón entre el número de maestros y maestras de un centro 4 educativo es , el número de maestras que allí laboran es:

4

Si en el problema anterior hay 20 maestros entonces el número de maestras es: 20 b) 16 c) 12 d) 25 a)

2. a.

a)

3

1. c.

De las siguientes expresiones, la que no cumple con la igualdad es:

Soluciones

1

4. d.

RELACIÓN ENTRE NÚMERO DE AUTOS Y BICICLETAS En muchos países se utiliza la bicicleta como medio de transporte. Así Holanda, Bélgica, Luxemburgo y Francia son países donde se utiliza mucho. En China Continental, a fines de los años ochenta la relación entre el número de autos y el número de bicicletas que circulaban era de 1 a 500. En forma de una razón ésto se representa así: 1 500 Circular en bicicleta debería ser visto como un placer y orgullo culto. Mientras no consigamos transmitir nuestros valores no aumentarán los ciclistas urbanos.

72 Matemática - Séptimo Grado

Lección 3

Cuarta Unidad

Relaciones de proporcionalidad y regla de tres Motivación

Muchas veces usamos los términos derivados de la palabra

“proporcional” en nuestro diario vivir. Y así decimos que “de forma proporcional un escarabajo es más fuerte que el hombre, ya que puede levantar 850 veces el peso de su cuerpo. Esto proporcionalmente equivale a que un hombre levantara una roca que pesa ¡50 toneladas! En matemática, las relaciones de proporcionalidad tienen un significado más preciso, el cual estudiarás en esta lección. Indicadores de logro:

Explicarás con seguridad el plano cartesiano y sus elementos y lo trazarás con aseo, a partir de la recta numérica. Localizarás con exactitud la posición de pares ordenados sobre el plano cartesiano. Utilizarás y explicarás con seguridad la proporcionalidad directa en ejercicios y problemas Elaborarás con orden y aseo el gráfico y = a x, y = – a x sobre el plano cartesiano. Utilizarás y explicarás con seguridad la proporcionalidad directa en ejercicios y problemas.

Graficarás con orden y aseo y = a / x, y = – a / x sobre el plano cartesiano. Resolverás y explicarás con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres directa e inversa. Resolverás y explicarás problemas de porcentaje, valorando su utilidad. Resolverás y explicarás problemas utilizando la regla de tres compuesta, con seguridad y confianza.

El plano cartesiano Éste sirve básicamente para ubicar puntos. ¿Cuántos ejes lo determinan? ¿Qué ángulo forman al cortarse? ¿Qué representa cada eje? Observa que tanto el eje “x” o de las ordenadas representan la línea recta. Ambos se cortan en el punto “O” perpendicularmente. Observa que los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se numeran del 1 al 4. Se dice que las coordenadas del punto A son 4 en “x” y 3 en “y”, lo cual representas así: A (4, 3). Las coordenadas de B son – 5 en x y 4 en y, lo cual se escribe: B (− 5, 4). ¿Cómo representas los puntos (x, y)? ¿Dónde ubicas al punto E (1.5, − 4)? ¿Y dónde ubicas al punto F (− 4, 1.5)? ¿Son iguales los puntos E y F, o sea: (1.5, − 4) = (− 4, 1.5)?

2

y B

5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1

3

1 A

1 2 3 4 5

x

4

Como puedes ver, en un punto interesa el orden de sus elementos. Por ello, se le llama también par ordenado. Observa que el origen O tiene de coordenadas x = O, y = O. Esto significa que las coordenadas del origen O son: O(0,0)

Séptimo Grado - Matemática 73

UNIDAD 4

1

Actividad

Dibuja el plano cartesiano y ubica los puntos: P (5, 4), Q (− 6, 4), R (− 8, − 3) y S (3, − 3). ¿Qué representa la figura PQRS?

Proporcionalidad directa Considere los casos siguientes: Caso 1 En la tabla siguiente se relacionan los metros cuadrados (m 2) que se pintan de una pared y la cantidad de pintura necesaria en litros (l). m2 de pared l de pintura

1.5 0.33

2 0.44

3 0.66

5 1.1

Caso 2 Un conductor observa un obstáculo en una carretera. Frena de inmediato, pero antes de detenerse el vehículo recorre cierta distancia, la cual aparece en la siguiente tabla. Tiempo (seg) Distancia recorrida (m)

4 1

6 1.5

8 2

12 3

16 4

Caso 3 El precio por estacionarse en un parqueo es: Tiempo “t” (h) Precio ($)

Hasta 1 h 0.60

Hasta 2 h 1.20

Hasta 3 h 1.80

Hasta 4 h 2.40

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes: cuando una varía, la otra también lo hace. Ahora vas a graficar los datos del caso 1. 1.1

y

L de pintura

0.88

Luego, puedes afirmar que:

0.66

“El área de la pared a pintar es directamente proporcional a la cantidad de litros de pintura”.

0.44 0.22 0

74 Matemática - Séptimo Grado

m2 de pared 1

2

3

4

5

x

UNIDAD 4 2. Si la magnitud A toma valores x1, x2, x3,...... y la magnitud B toma valores y1, y2, y3, ... decimos que A es directamente proporcional a B si cumple: y1 y 2 y 3 = = = ........ constante, es decir: x1 x 2 x 3

Ahora observa el cuadro siguiente y su gráfico respectivo. Tiempo (t) Distancia recorrida (seg) (d)(m) 4 seg 1m 6 1.5 8 2 12 3 16 4

y =k y=kx x donde k es una constante denominada constante de proporcionalidad. 3. El gráfico en el plano cartesiano de una relación directamente proporcional es una recta.

y Distancia (m) 4 3 2 1 0

“El tiempo transcurrido es directamente proporcional a la distancia recorrida”. ¿Cómo haces para comprobarlo?

Tiempo (s) 2 4

Debido a que al multiplicar un valor de “t” por un número el valor de “d” se multiplica por dicho número, entonces:

6 8 10 12 14 16 x

1



Propiedades

4

=

1.5 6

=

2 8

=

3 12

=

4 16

ó 0.25

Esta constante recibe el nombre de razón o constante de proporcionalidad. La fórmula que relaciona ambas magnitudes en este caso es: d = 0.25 × t.

1. Dos magnitudes son directamente proporcionales si están relacionadas de tal forma que al multiplicar una de ella por un número se encuentra que la otra magnitud también está multiplicada por el mismo número.

2

Actividad 1. En las siguientes tablas averigua cuáles corresponden a una proporcionalidad directa. Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad. a)

x y

2 3

0.57 10.5

3 2

c)

x y

4 3

12 9

10 7.5

e)

x y

−3 15

4 − 20

−7 35

b)

x y

−3 6

4 −8

−7 14

d)

x y

3 7

4 12

−7 8

f)

x y

−3 − 5.5

4 1.5

−7 − 9.5

2. Construye el gráfico correspondiente a las tablas del numeral anterior donde las magnitudes sean directamente proporcionales. Escribe en cada caso la fórmula que relaciona ambas magnitudes.

Séptimo Grado - Matemática 75

UNIDAD 4

Proporcionalidad inversa

Tres puntos que son claves para la proporcionalidad inversa. 1. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si estan relacionadas de tal forma que al multiplicar el valor de una de ella, por un número de valor correspondiente de la otra viene dividido entre dicho número. 2. Si la magnitud A toma valores x1, x2, x3,...... y la magnitud B de los valores y1, y2, y3,......... decimos que A es inversamente proporcional si cumple:

Diez personas tardan 6 días en sembrar un maizal. ¿Cuánto tiempo tardarán 5 personas?

x1 . y1 = x2 . y2,

Observa que en este caso.

entonces: y =

Copia y completa la tabla respectiva. Número de personas (x) Número de días (y)

5 12

10 6

20

30

En este ejemplo, ¿Qué valor obtienes al multiplicar cada valor de “y” por el correspondiente valor de x? Ensaya una fórmula que te permita obtener directamente el número de días (y) dado el número de personas, (x). Observa que cada producto es igual a 60; luego: xy = 60; o sea: y =

60

x

El producto xy = 60 se llama constante de proporcionalidad inversa. En tu cuaderno copia y completa el gráfico respectivo. ¿Te resulta una línea recta o una curva? 20

N0 de días

15 10

k x Donde k es un número constante que puede ser entero o racional y se llama constante de proporcionalidad. 3. Cuando se representa la proporcionalidad inversa en el plano cartesiano, se obtiene una curva descendente.

3

Actividad

1. Determina en cada tabla si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. a)

x y

5 1

10 2

15 3

20 4

b)

x y

1 20

4 5

5 4

10 2

5

10

15

20

25

30

N0 de personas

76 Matemática - Séptimo Grado

20 1

2. En el cantón El Tamarindo los y las estudiantes se organizan para limpiar la playa. Calculan que 18 estudiantes tardarían 24 días en limpiarla. En base a esa información, completa la siguiente tabla. Nº de estudiantes Nº de días

5 0

constante, es decir x x.y = k

18 24

36 3

1

1 2

UNIDAD 4

Regla de tres Cuando en un problema solo intervienen dos magnitudes, se dice que es un problema de regla de tres.

Ejemplo 1 Si 5 lb de papas cuestan $ 2.10, ¿cuánto cuestan 8 libras?

Solución: lb papas 5 8

valor en $ 2.10 x

Luego: 5x = 8 (2.10) “Producto de extremos es igual a producto de medios” Entonces:

x=

8 ( 2.10 ) 5

= 3.36

R: Las 8 libras de papa cuestan $ 3.36

Ejemplo 2 Una empresa importadora de ganado compra 1,140 reses, con la bonificación de recibir 13 reses por cada 12 que compre. ¿Cuántas reses debe recibir?

Ejemplo 3 Si dos personas hacen un trabajo en 7 días, ¿cuánto tardan en hacerlo 4?

Solución: Como al doble de personas el tiempo se reduce a la mitad, entonces las magnitudes son inversamente proporcionales. 2 4

2(7) = 4(x) → x =

Solución: Como a mayor número de reses que compre, mayor reses de bonificación recibe, las magnitudes son directamente proporcionales. Luego: No. de reses que compran 12 1,140

Regla de tres inversa

No. de reses que recibe 13 x

Luego: 12 (x) = 13 (1,140) 13 x 1 ,140 x= 12 x = 1,235

7 x

2 (7) 4

= 3.5 días

Observa al haber más empleados el número de días se reduce. En este caso al duplicarse el número de empleados el tiempo se reduce a la mitad. R: Las 4 personas tardarian en hacer el trabajo 3.5 días. Un esquema para resolver una regla de tres inversa es: Magnitud a a c

Magnitud b b x

a(b) = cx → x =

a ⋅b c

R: La empresa compra 1,140 reses y recibe 1,235.

Séptimo Grado - Matemática 77

UNIDAD 4 Ejemplo 4

Ejemplo 6

Una cuadrilla de trabajadores del Ministerio de Obras Públicas (MOP) ha reparado una calle en 20 días, trabajando 6 horas. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas al día?

En un centro educativo, el 40% de los estudiantes son varones, y el resto señoritas. Si en total hay 320 estudiantes, ¿cuántos son varones y cuántas son señoritas?

Solución:

Solución:

Como trabajando más horas al día se reduce el número de días, las magnitudes son inversamente proporcionales.

¿Qué cantidad de estudiantes representa la totalidad, o sea, el 100%? ¿Qué porcentaje son varones? ¿Cuál es tu primera incógnita o dato desconocido? Trata de calcular el número de varones planteando la regla de tres en base a las preguntas que te hemos formulado. Al conocer el número de varones, ¿cómo haces para encontrar el número de señoritas? ¿Estarías de acuerdo en plantear así el problema?

No. de horas No. de días diarias de trabajo de trabajo

6 x

20 8

Luego: 6 (20) = 8x 6(20) = 15 días x= 8

R: La cuadrilla se tarda 15 días si trabaja 8 horas diarias.

Tanto por ciento Otra forma de aplicación de las reglas de tres es la resolución de problemas de porcentajes o tanto por ciento.

Ejemplo 5 El almacén “El trébol” anuncia una rebaja del 15 por ciento (15%) en algunos de sus productos. Si una camisa vale $ 9, ¿cuál es la rebaja que experimenta?

Solución: Como $ 9 representa el cien por ciento o 100%, entonces: Precio 9 x

% 100 15

Como a doble precio doble descuento las magnitudes son directamente proporcionales.

Luego: 100 x = 9 (15)

x =

9 (15 ) 100

= 1.35

R: La camisa experimenta una rebaja de $ 1.35

78 Matemática - Séptimo Grado

Número de estudiantes 320 x

x =

Porcentaje (%) 100 40

( 320 )( 40 ) 100

= 128

Son 128 varones. Total → 320 Varones = − 128 192 R: Son 192 señoritas

UNIDAD 4

Regla de tres compuesta Ejemplo 7 Si 18 máquinas mueven 1,200 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días se necesitan para que 24 máquinas muevan 1,600 m3 de tierra?

Como doble o triple número de máquinas tardarán la mitad o la tercera parte de tiempo, esta relación de proporcionalidad es inversa. Luego:

x=

Solución:

m3 1,200 1,600

18 (12 ) 24

Comienzas planteando el problema, así: Máquina 18 24

m3 1,200 1,600

Días 12 x

Ahora relacionas la magnitud donde aparece la incógnita (número de días), con cada una de las otras magnitudes. Máquina 18 24

Días 12 x

Como a doble o triple número de m3 tardarán doble o triple número de días, esta relación de proporcionalidad es directa. Luego:

x =

18 (12 ) (1 ,600 ) 24 (1 , 200 )

para recorrer 351 km si mantiene la misma velocidad?

b) En una realización, un artículo de $45 tiene una rebaja del 20%.

Si después de 15 días a lo rebajado se le agrega otro descuento del 10%, ¿cuál es el nuevo precio del artículo?

= 12

R: Las 24 máquinas mueven 1,600 m3 de tierra en 12 días.

Actividad a) Un vehículo recorre 162 km en 3 horas. ¿Cuántas horas necesita

Días 12 x

4

c) En una excursión para acompañar a la selección nacional de fútbol,

se calcula que los gastos de alojamiento y alimentación para 200 personas durante 15 días equivalen a $ 5,400. ¿A cuánto ascienden los gastos para 250 personas por 10 días?

Resumen El plano cartesiano está determinado por los ejes que se cortan en ángulo recto. Se divide en 4 cuadrantes los cuales se nombran del 1 al 4. Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, su cociente es una constante llamada razón o constante de proporcionalidad. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, su producto es una constante llamada constante de proporcionalidad inversa.

Séptimo Grado - Matemática 79

UNIDAD 4

Autocomprobación El punto (−3, −2) se ubica en el plano cartesiano en el cuadrante número:

3

a)

Es una línea recta b) Es una línea curva c) Pasa por el origen d) a y c son correctas

b) Dos

Tres d) Cuatro c)

2

Considerando la tabla siguiente: x y

3 6

5 10

7

10 20

4

El dato que falta en la casilla es: 7 b) 21

14 d) 28 c)

1 b) 2 c) 2.5 d) 5 a)

2. c.

3. d.

a)

El 20% de 5 es igual a:

1. c.

a) Uno

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, entonces su gráfico:

Soluciones

1

4. a.

PESO Y ALARGAMIENTO DE UN RESORTE En situaciones reales los gráficos de las relaciones de proporcionalidad directa pueden no seguir del todo una línea recta por inexactitudes en la medida. Esto lo puedes comprobar graficando el peso “p” en gramos y el alargamiento “l” de un resorte en mm. p I

50 80

100 80

150 250

200 350

250 435

Grafica en tu cuaderno todos los puntos anteriores. ¿Todos los puntos están en una misma recta?

80 Matemática - Séptimo Grado

Lección 4

Cuarta Unidad

Introducción al álgebra Motivación

S

e tiene $250 en billetes de $5 y $10. ¿De qué forma representas esa cantidad de dinero?

Indicadores de logro: Determinarás y explicarás valorando la importancia de utilizar letras como elementos generalizadores. Interpretarás, aplicarás y explicarás con interés el uso de la parte literal como parte de la nomenclatura algebraica. Interpretarás y utilizarás letras para generalizar propiedades observadas o fórmulas matemáticas. Establecerás y explicarás con interés, el “valor numérico” que puede tomar la parte literal. Identificarás con interés signos algebraicos.

Resolverás problemas utilizando nomenclatura algebraica. Reconocerás y explicarás con seguridad “término” y sus elementos a partir de cualquier expresión algebraica. Diferenciarás con seguridad un monomio de un polinomio. Determinarás con seguridad el grado absoluto y relativo de los monomios. Utilizarás con confianza el grado relativo y absoluto en ejercicios de aplicación.

Notación algebraica Como no sabes cuántos billetes de $5 ni cuántos de $10 posees, le asignas a esos números las letras a y b respectivamente. Entonces puedes escribir:

5a + 10b = 250 En álgebra se trabaja mucho con letras, números y símbolos aritméticos, por lo tanto el álgebra es la rama de la matemática que considera las cantidades en la forma más general posible.

Se utiliza el álgebra en fórmulas geométricas por ejemplo: Longitud de la circunferencia se representa así:  = πd Área del trapecio: A = (B + b ) × h 2

d

b h B

En cualquiera de los dos casos anteriores, cada letra puede sustituirse por un número.

Séptimo Grado - Matemática 81

UNIDAD 4

Lenguaje algebraico Si observas, las formas en como se representan las cantidades en los billetes de $ 5 y $ 10, puedes notar que el planteamiento de problemas y su solución requiere un lenguaje simbólico, que de manera general, muestra la idea del problema y permite una solución eficaz y razonada. Para llegar a ella es necesario usar un lenguaje matemático mediante el cual se expresen tanto los datos conocidos como aquellos que se desea encontrar. Esas expresiones matemáticas forman el lenguaje algebraico y están formadas por números, letras y signos de operación. El lenguaje algebraico permite usar expresiones con elementos indeterminados, por ejemplo, cuando una persona dice, "x horas del día", se observa que hace uso una letra del abecedario, pero en matemática también se acostumbra sustituir las letras y signos para representar operaciones, es decir, que a través de estos símbolos se generalizan un proceso. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un polígono regular se aplica la fórmula: P − n  , donde los símbolos indican que el perímetro del polígono se obtiene multiplicando el número de lados de dicha figura por la medida de uno de ellos. Esta interpretación se conoce como traducción del lenguaje común a lenguaje algebraico. Ejemplo de traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico. a) Un número cualquiera

x

b) La suma de dos números

x+y

c) La diferencia de dos números

x−y

d) El producto de dos números

f) El doble de un número

ab a b 2d

g) Un número aumentado en 3

x+3

h) El cuadrado de un número

x2

e) El cociente de dos números

Es de gran importancia que aprendas a traducir el lenguaje común al lenguaje matemático, ya que de esta forma te va a permitir entender los plateamientos de muchos problemas.

82 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4

Expresión algebraica Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ella es posible resolver problemas en las que intervienen variables que representan números, los que permite garantizar, tanto a lo que se refiere a las cantidades y a las operaciones que se realizan en ellas. Una expresión algebraica es aquella que está formada tanto por números como por literales (letras) con sus exponentes y signos de operación.

Ejemplo 1 a)

y

2

y

y

2

2

c)

3y2

a

c

a+b+c

b b)

a a a²

b ab

b ab

b²

d)

a2 + 2ab + b2

a−b

b

a−b

a

Ejemplo 2 Indica el coeficiente de los términos 7x,

Solución:

Término 7x − 8a3 4(3x – 5) 3

− 8a3, 4 (3x – 5),

3

Coeficiente 7 −8 4 3

Término Una expresión algebraica está constituida por uno o más términos, un término es la forma más simple de una expresión algebraica, por lo general se puede identificar como un solo símbolo o varios símbolos que están separados por + ó −

Expresión algebraica



x5 − 3y2 + 2z3

Coeficiente

2z3

Exponente Variable

Cuando un símbolo (en general es un literal) representa a un valor que no está definido es una variable.

Séptimo Grado - Matemática 83

UNIDAD 4 Ejemplo 3

1

¿Cuál es el coeficiente de los términos? 2x



5

Solución:

,

x −7 4

,x

Término 2x

5 x −7 4

5 1

, ya que

2x

=

2

x

5 5 x −7 1 , ya que = (x – 7) 4 4 4



x



1. Escribe tres ejemplos de expresiones algebraicas que sean fórmulas geométricas que tú conoces. Coeficiente

2



1 , ya que x = 1x

¿Cuál es el coeficiente de un término al cual no le aparece escrito?

Ejemplo 4 A continuación se te presentan varios términos y su respectivo coeficiente: Término a −y ab (x + 7) − b2 − ab − ( x − 7)

Coeficiente 1 −1 1

Actividad

Debido a que a = 1a −y = − 1y ab = 1ab

−1 − ab = − 1ab −1

Solución: ¿Puedes completar de forma mental los datos que faltan? ¿Qué observas en el segundo término de la expresión 3x + 4? Si una expresión tiene un término que es sólo un número, éste se llama término constante o constante. En la expresión 3x + 4, ¿cuál es la constante?

84 Matemática - Séptimo Grado

2. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean de tu invención. 3. Determina cuáles son los términos en las siguientes expresiones: a) 3x2 – 5x + 4 b) 2x3

−

23

20 c) 5 (x – 3) – 7

x − 8

d) 5 (x – 3) e) – 9

4. Encuentra las constantes de las expresiones anteriores. 5. Determina el coeficiente de los términos siguientes: 3x − 5

a) 5 x3y

d)

b) – x7

e) −

c)

2x 7

4 3x − 5 4

UNIDAD 4

Monomios Las fórmulas del volumen V de los siguientes cuerpos geométricos son expresiones como abc, a3, y

bh

y se llaman monomios. Monomio es una expresión algebraica que x2 y consta de un solo término, como por ejemplo: 2a , − 3b , . 4a ¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios? 2

c b

a V = abc 1

5x7

− 5y−2

x2

Los monomios son:

5x3y

− 8

5x7, − 8, 5x3y, −2

¿Por qué las expresiones 5 y ,

1 x2

a a V = a³ 3 4 3 4

a

h b A = bh 2

x7 x7

no son monomios?

Grado de un monomio El grado absoluto o grado del monomio 7 x2y3z 4 es igual a 2 + 3 + 4 = 9. Intenta encontrar el grado del monomio – 8x5y2 . Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables. Así el grado del monomio: 5 + 2 = 7. El grado del monomio es 7. – 8x5y2

Ejemplo 5

El grado relativo de un monomio con respecto a una variable, es el exponente de dicha variable. El grado relativo del monomio – 8x5y2 con respecto a x es 5 y con respecto a y es 2. Cuando una variable no presenta exponente, éste es igual a la unidad. El grado de una constante es igual a cero. Así, el grado del monomio 3x es 1. El grado del monomio 6 es cero.

Determina el grado absoluto y relativo de los monomios: 2xy2, − 5x7y2, xy, 4x3y, 7

Solución: Monomio 2 xy2 − 5 x7y2 xy 4 x 3y 7

Equivalente 2 x1y2 − 5 x7y2 x1y1 4 x3y1 7

Absoluto 1+2=3 7+2=9 1+1=2 3+1=4 0

Grado Con respecto a x 1 7 1 3 0

Con respecto a y 2 2 1 1 0

Séptimo Grado - Matemática 85

UNIDAD 4

Clasificación de expresiones algebraicas

Polinomios ¿A qué es igual el perímetro de las figuras?

Expresión algebraica

¿Cómo haces para calcularlo?

Nombre

Ejemplo

a)

x

Un término

2z

Más de un término Polinomio de dos términos Polinomios de tres términos

2x b)

y 2x

y

y 2z 3z

3x Como el perímetro P de una figura es la medida del contorno, en la figura a) se tiene: P = 2x + x + 2x + x = 6x

P = 2x + 3x + 3z + 2z + 2z + y + y + y P = 5x + 7z + 3y La expresión anterior es la suma de varios monomios, es decir, es un polinomio. ¿Puedes decir cuáles de las siguientes expresiones son polinomios? a) 3x

b) 5x

– 2x + 8x – 7xy

−3

4

2

+ 6y

− 5x3;

1 2 y 2

Polinomio x − 4; x2 + 2xy + y2 Binomio

a2 − b2; x3 − 3y

Trinomio

3x2 + 2x + 2; a + b + 1

Ejemplo 6 Encuentra el grado del polinomio 5a3b4 + 6ab7 – 8b5 + 7.

Solución:

En la figura b) se tiene:

5

Monomio

2 3 c) 4 x

d) 3x

2

−5

–2

Habrás analizado que la expresión c) no corresponde a un polinomio. ¿Por qué?,¿ y la expresión b)?

86 Matemática - Séptimo Grado

El grado de:

5a3b4 6ab7 – 8b5 7

es 3 + 4 = 7 es 1 + 7 = 8 es 5 es 0

Luego, el grado del polinomio es 8.

Ejemplo 7 ¿Cuál es el grado del trinomio 5x5 – 8b6 – 4?

Solución: El grado del trinomio es 6, ya que el monomio – 8b6 tiene grado 6 y es el mayor grado de los monomios que lo componen.

UNIDAD 4

2

Actividad

1. Escribe en tu cuaderno cinco ejemplos de monomio. También escribe tres ejemplos de expresiones que no son monomios, indicando en cada una el porqué de ello. 2. Determina el grado de los siguientes monomios: a) 3x5

b)

2 3

a3b2c

c) 8x

d) – 7

e) 8x7y4z

3. ¿Cuál es el grado relativo del monomio 8x7y4z con respecto a z? 4. Escribe con tus propias palabras qué es un polinomio y encuentra el grado de: a) 3x5 – 2x4b2 + 5z

b) 2ab4 – 3b5 – 4x

c) 5x2y3+2x4y − x3y4

Resumen En álgebra se usan letras para representar números. Como una letra puede representar varios valores, se llama variable. Se llama expresión algebraica aquella formada por números y variables relacionados con signos de operación o de agrupación. Las partes que se suman o restan en una expresión algebraica se llaman términos. La parte numérica de un término se llama coeficiente. El coeficiente de un término como “x” es 1. Los términos que sólo están formados por un número se llaman constantes. Toda expresión que es un número o un producto de números y variables con exponentes enteros no negativos se llama monomio. Polinomio es la suma de uno o más monomios.

Séptimo Grado - Matemática 87

UNIDAD 4

Autocomprobación

b)

d)

El coeficiente del término – 4 (5x – 8) es: a)

4 b) – 4 c) 5 d) − 8

a) b)

 1  1   a   b  3 3

3. c.



2



3ab

3 c) ab

Un ejemplo de binomio es:

4



3

2





5x + 3 –2

c)

5x – 4

2 3 d) 7 x

El grado del polinomio 3x5 – 3x5y – 4 es: 5 b) – 4 c) 6 d) – 3 a)

2. b.

ab a) 3

3

1. a.

¿Cuál es la expresión algebraica de "la tercera parte del producto de dos números"?

Soluciones

1

4. c.

CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS TM07P180 Fotografía o dibujo de la torre de Pisa.

88 Matemática - Séptimo Grado

Los polinomios se presentan en muchos contextos de la vida real. Un ejemplo es la caída libre de los cuerpos. Uno de los primeros científicos en estudiar el movimiento de los cuerpos en caída libre fue el italiano Galileo Galilei (1564-1642). Galileo Galilei arrojó desde lo alto de la torre de Pisa varias esferas de distintos pesos: bolas de mármol, de plomo y de madera, y comprobó que llegaban al mismo tiempo al suelo. La fórmula: 1 2 h = gt con t, indica el tiempo transcurrido 2 desde que comenzó a caer el cuerpo; g es la aceleración de la gravedad en la Tierra (9.8 m/s2) y h el espacio recorrido en el tiempo t.

Lección 5

Cuarta Unidad

TÉRMINOS SEMEJANTES Motivación

En la figura de la derecha

sus medidas están dadas en metros. ¿Cuál es su perímetro? Si tu respuesta es 24 m, tu procedimiento fue correcto.

2

2 2

6

6

Ahora fíjate en la siguiente figura. ¿Cómo haces para calcular su perímetro?

9x 3x

8y

6y

2y 6x

6

Indicadores de logro: Interpretarás con confianza los términos semejantes. Describirás con confianza los términos semejantes a partir de varios monomios. Simplificarás con seguridad términos semejantes. Resolverás con confianza ejercicios de reducción de términos semejantes.

Resolverás problemas utilizando la reducción de términos semejantes. Interpretarás y explicarás con interés el valor numérico de un monomio. Utilizarás el valor numérico en el desarrollo de ejercicios Resolverás con precisión y orden problemas de valor numérico.

¿Qué son términos semejantes? Para encontrar el perímetro de la figura anterior sumas los términos:

Ejemplo 1

Observa los términos que se han sumado.

Solución:




A continuación se presentan algunos términos que son semejantes y otros que no lo son.




9x + 3x + 6x + 8y + 2y + 6y = 18x + 16y

¿Por qué crees que se sumaron los términos? Se sumaron los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Así, los términos 4a y a son semejantes, igual que 2b y b. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal y el mismo exponente.

Términos semejantes 3a; − 2a 4x; 16x 7; − 8 5(x – 1); − 3(x – 1) 5y2; − 2y2

Términos no semejantes 3a; 5: las variables difieren 3a; − 5b: las variables difieren x; 7 : las variables difieren 5a; − 5ab las variables difieren 4y2; − 7y3: las variables difieren

Séptimo Grado - Matemática 89

UNIDAD 4 Ejemplo 2

Ejemplo 4

Identifica los términos semejantes en cada una de las siguientes expresiones:

Reduce términos semejantes:

a) 5x + y – 3x – 4

a)

2 3

x–

4

x

Solución:

b) 2x + 5y – 6

2

c) x + 5 – 2x2 + 4

3

x–

2 1 x=  − x  3 4 4

1

Solución:

a) 5x y,– 3x son términos semejantes b) No existen términos semejantes

a a a

2

1

3

4

5 12

x=

x 5 12

x

b) 3x – 10x + 7y – 2y

Reducción de términos semejantes a a

=

R: x –

c) 5 y 4 son téminos semejantes

2b

1

Solución: b

4a El perímetro de esta figura lo calculas así: 2b + 4a + b + a + a + a + a + a

3x – 10x + 7y – 2y = (3 − 10)x + (7 −2)y

= − 7x + 5y

Luego: 3x – 10x + 7y – 2y = − 7x + 5y

Ejemplo 5 Simplifica la expresión: 5 + (7 – a)

= 3b +

5 + (7 – a) = 5 + 7 – a




Solución:




= 2b + b + 4a + a + a + a + a + a + a 10a

Ejemplo 3



Reduce términos semejantes:

El paréntesis va precedido por el signo+

= 12 – a

a) 13a − 6a = 7a

Ejemplo 6

b) 2x + 7x – 8x = 9x − 8x = x

Simplifica:

De los ejemplos anteriores concluyes que para reducir o simplificar términos semejantes: a) Identificas los términos semejantes. b) Sumas o restas los coeficientes de los términos

semejantes.

c) Multiplicas el resultado del paso anterior por la

respectiva variable.

90 Matemática - Séptimo Grado

5 – (7 – a)

Solución: 5 – (7 – a) = 5 – 7 + a

= − 2 + a

El paréntesis va precedido por el signo − 5–7=−2

UNIDAD 4

1

Actividad 1. Determina el perímetro de: a)

b)

x

2x

y

y 2z

y

3z

2z

3x

2x 2. Simplifica las siguientes expresiones a) 5x – 3y + 4x – 10y

c) 5y – 10y – 8y – 3x

e) x – 3y + 2x + 4

b) 2a – 7a – 6b – 8b

d) 2− 4x + 6y – 10y – 2x

f)

3 5

x–3–

7 4

x–2

Valor numérico Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por determinados números y efectuar las respectivas operaciones.

Ejemplo 7 La distancia recorrida por un vehículo que se mueve con una velocidad constante de veinte metros por segundo (20 m/s), está dada por la expresión d = 20 t, donde d es la distancia en metros y t el tiempo en segundos. Determina la distancia recorrida luego de:

a) 20 s

b) 40 s

c) 1 minuto

d) 1 hora

Solución:

a) d = 20 t = 20(20) = 400 m : sustituyendo t = 20



b) d = 20 t = 20(40) = 800 m: sustituyendo t = 40



c) d = 20 t = 20(60) = 1,200 m = 1.2 km: sustituyendo t = 1 min = 60 s



d) d = 20 t = 20(3,600) = 72,000 m = 72 km: sustituyendo t = 1 h = 3,600 s

Séptimo Grado - Matemática 91

UNIDAD 4 Ejemplo 8 El área de un trapecio está dada por la expresión A =

a) B = 5 m, b = 3 m, h = 2 m



b) B = 7 cm, b = 5 cm, h = 3 cm

(B + b) h

, calcula el área si:

2

b h

Solución: B

Sustituyes los respectivos valores, obtienes: a) A =



2

( 5 + 3) × 2 2

= 8x 2 = 8 m2

b) A =

2

( 7 + 5) × 3 2

= 18 cm2

Actividad

Determina el valor numérico de las siguientes expresiones: a)

5 mnp 2

, si m = 4, n = 3, p = 6

b) 3.14 r2, si r = 7

c) 2(b + h), d)

bh 2

si b = 4 , h = 3

si b = 5 , h = 3

Exponente entero positivo Éste es un cubo que tiene 5 cm de arista. 5 cm 5 cm 5 cm Recuerda que para calcular su volumen V, elevas el valor de su arista “  ” al cubo. O sea, V =  3 = 53 = 5. 5. 5

53

Exponente Base

En esa expresión, 5 se llama base y 3 exponente. El número 53 se lee “5 al cubo” , 5 a la tercera potencia o “tercera potencia de 5”. En general, el número “b a la n-ésima potencia” se denota por bn, y significa:

bn = b.b.b….. b = bn



n factores de b

Así, b5 = b. b. b. b. b = b b b b b Observa que en álgebra el producto se representa por un punto, debido a que la x de la multiplicación puede confundirse con la variable x.

92 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 4 Ejemplo 9

Ejemplo 11

Evalúa las siguientes expresiones:

Evalúa:

a) 52

d) 23

a) – 54

c) – 23

b) 25

e) (− 3)2

b) (− 5)4

d) (− 2)3

c) 14

f) (− 3)3

Solución:

Solución:

a) – 54 = (−1)54 = (−1) (5) (5) (5) (5) = − 625

a) 52 = 5.5 = 25

b) (− 5)4 = (− 5 (− 5) (− 5) (− 5) = 625

b) 25 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32

c) – 23 = (− 1) (2) (2) (2) = − 8

c) 14 = 1. 1. 1. 1 = 1

d) (− 2)3 = (− 2) (− 2) (− 2) = − 8

d) 23 = 2. 2. 2 = 8

Observa (−5)4 =−54

e) (− 3)2 = (− 3) (− 3) = 9

Te habrás dado cuenta que si un número negativo se eleva a un exponente par el resultado es positivo: por las leyes de los signos del producto (−) (−) (−) (−) = +.

f) (− 3)3 = (− 3) (− 3) (− 3) = − 27

Al elevar (− 2)11, ¿el resultado es positivo o negativo?

Ejemplo 10

Si un número negativo se eleva a un exponente impar, el resultado es negativo: (−) (−) (−) = −

Observa más ejemplos de notación exponencial. a) b. b. b. b. b = b5

e) x. y. x. x = x3y

b) x. x, y. y. y = x2y3

f) a. b. x. x. b = ab2 x2

c) a. a. b = a2b

g) 5.a. a. b = 5a2b

d) x. x. x. y. y = x

h) 5. 5. 5. x x z = 5

y

3 2

Actividad xz

3

3 2

Punto de apoyo En 24 , la base es + y en (− 2)4 , la base es negativa.

1. Evalúa: a) 34

c) (− 3)5

b) (− 3)2

d) – 32

2. Evalúa: a) x2 para x = 4

Observa − a = (−1) a n

n

b) (− x)2 para x = 4

3. Escribe como un producto de factores: a) x3y2

c) 3x4yz3

b) x2y3z

d) 24 x3zy2

Séptimo Grado - Matemática 93

UNIDAD 4

Exponente cero 5

Ejemplo 13 3

7

2 ¿Cómo efectúas las divisiones a) 3 , b) 7 y c) 3 ? 2 2 3 7 ¡Intenta efectuarlas!

Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades de exponentes:

Una manera de efectuarlas es:

a) x7bo = x7. 1 = x7

d) – (xº) = − 1

b) 3x4yo = 3x4(1) = 3x4

e) yo 72 = 1.72 = 72 = 49

a)

3

5

3

2

3. 3. 3. 3. 3 = 33 3. 3

=

c) 34yo = 34.1 = 34 = 81

73

7. 7. 7 b) = = 72 7 7 c)

2

7 3

=

Exponente negativo

2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 24 2. 2. 2

2 ¿Qué otra forma te sugieren los resultados anteriores? Observa que para dividir potencias de bases iguales, para hallar el exponente del cociente solo restas los exponentes.

¿Cómo efectúas las divisiones a)

y7 c) 4 = y7 – 4 = y3 y

54 a) = 54 – 1 = 53 5 86 b) 2 = 86− 2 = 84 8

5

d)

Solución:

7

m .n = m5 – 2 n 7 – 5 = m 3 n 2 2 5 m .n

32

a)

3

73

Luego:

73 59



5

9

= 1. Además, = 1. Además,

73 73 59 5

9

= 73 − 3 = 7o = 59 − 9 = 5o

¿Cómo son las expresiones 1 y 7o ? ¿Y cómo son 1 y 5o? Como 1 y 7o equivalen a Como 1 y 5o equivalen a Luego, si a ≠ 0,

am am

=1y

73 3

7 59 59

am am

5

1 72

b)

23

c)

27

7 73

y c)

23 27

?

3.3 1 = 3 3. 3. 3. 3. 3 3 7 1 = = 2 7. 7. 7 7 1 2. 2. 2 = = 4 2. 2. 2 . 2. 2. 2. 2 2 =

Como las bases son iguales, puedes efectuar las divisiones restando los exponentes: 32 3

Sabes que si divides un número diferente de cero entre él mismo, el resultado es 1. a = 1 , a ≠ 0 a

35

, b)

¡Intenta efectuarlos! ¿Lo haces así?

Ejemplo 12 Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades de exponentes:

32

5

= 32 − 5 = 3− 3

7 7

3

= 71 – 3 = 7− 2

23 2

7

= 2 3 – 7 = 2− 4

De los resultados anteriores obtienes las siguientes igualdades: 1 1 1 7− 2 = 2 2− 4 = 4 3− 3 = 3 3 7 2 Luego, para todo entero a diferente de cero tendremos: 1 si a ≠ 0 a−n = n a

, entonces 7o = 1

Observa

, 5º = 1 = a , luego, a = 1 o

94 Matemática - Séptimo Grado

o

Todo número diferente de cero, elevado al exponente cero es igual a 1 ao = 1

UNIDAD 4 Ejemplo 14

Ejemplo 15

Expresa con exponente positivo:

Efectúa: 32 + 3−2

a) 3− 5

b) 7− 1

c) 2− 3

d) 5− 4

Solución: a) 3− 5 = c) 2− 3 = 1 e) -2

x

1 35 1

2 =

3



b) 7− 1 =



d) 5− 4 =

1

1

1 x2

=

1

÷

1

x -2

e)

1

x

1 32 1 81 1 82 = 9+ = + = 9 9 9 9 82 1 =9 9 9 1 1 Luego: 9+ = 9 9 9

Solución:

-2

32 + 3−2 = 9 +

1

7 1

54 2 1 x = = x2 1 1

Observa Para a ≠ 0, a−n =

1 an

4

Actividad 1. Simplifica las siguientes expresiones: a) 3x7x− 7

b) 5x6yº

c) 4x4 x− 4



d) − 3xº

2. Expresa con exponente positivo y simplifica cuando sea necesario. 1 c) 6− 3 e) - 3 g) x− 7 a) y− 5 3 1 1 d) f) y− 8 h) - 3 b) 5− 1 -4 3

2

i) 2− 3.2 j) 26.2− 2

Resumen Términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables y los mismos exponentes de las variables. Para reducir términos semejantes se suman o restan los coeficientes y se multiplica el resultado por la respectiva variable. Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado de sustituir las variables por determinados números y efectuar las respectivas operaciones. Si un número negativo se eleva a un exponente par, el resultado es positivo. Si se eleva a un exponente impar, el resultado es negativo. Si un número es distinto de cero, al elevarlo al exponente cero es igual a uno. Si a ≠ 0, a−n =

1

an

.

Séptimo Grado - Matemática 95

UNIDAD 4

Autocomprobación

3

5x2(3y)0 es igual a:

4

5x−2 es igual a:



a)

8a b) 15a2 c) 16a d) Ninguna de las anteriores

Al simplificar la expresión 3x2y + 5xy2 resulta: 8x2y b) 8xy2 c) 15x2y d) No se puede simplificar. a)



1 b) 0 c) 5x2 d) 15x2y

a)

5x2

b)

x2 5

2. d.

3. c.

2



a)

1 5x 2 5 d) 2 x c)

1. c.

Si la base de un rectángulo es 5a y su altura 3a, su perímetro es:

Soluciones

1



4. d.

EL TANGRAM

x

1

x2

3

4

El tangram es un juego chino de formas: Una especie de rompecabezas. Consta de siete piezas, con las que se puede hacer figuras, como una bailarina, una casa, un bote, etc.

5

7

6

2x 96 Matemática - Séptimo Grado

En la figura están las siete partes formando un cuadrado. Con los datos se obtiene el área de cada pieza, y la suma coincide con el área de todo el cuadrado. El área total es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Por otra parte: (x + x) (2x) = 4x2 Resolviendo 4x2 = 28 obtienes x = 7

Solucionario Lección 1

Actividad 3

Actividad 1

1. a) y = (3 × 8) ÷ 12 = 2 b) t = ( 3 × 20) ÷ 4 = 15 c) w = (12 × 3) ÷ 9 = 4

1. 8 t = 8 × 1,000 = 8,000 kg 2. 38 g = 38 ÷ 1,000 kg = 0.038 kg

2. x = (3 × 297) ÷ 62 = 5.5 h

3. a) 52 g = 52 ÷ 100 hg = 0.52 hg

3. 550 km/h

b) 365 dag = 365 ÷ 100 kg = 3.65 kg

4. x = 7.2 lb

c) 0.8 t = 0.8 × 1,000 kg = 800 kg

Lección 3

d) 3.6 kg = 3.6 × 100 dag = 360 dag

Actividad 2

4. 3 t = 3 × 1,000 kg = 3,000 kg + 786 kg = 3,786 kg 5. 3,824 kg = 3 kg, 8 hg, 2 dag, 4 g

1 1. b) k = − 2

Actividad 3

c)

4 k= 3

d)

k =−

1 5

1. a) Como su razón es 5, son d.p.

Actividad 2 1. 25 ÷ 1,000 kg = 0.025 kg, luego 2.58 − 0.025 = 2.555 kg es el peso de las galletas

b) Como su producto es 20, son i.p.

3. 50 dag; 13,000 cg; 1,400,000 mg; 0.05 dag

2. 150 viajes, si dispusiera de 3 camiones haría 50 viajes.

4. Se divide entre 100 ó usando un cuadro.

Actividad 4

5. a) 3,000 litros

a) 162 – 3

b) 3,000 kg = 3,000,000 g

x = (351 × 3) ÷ 162 = 6.5 horas

351 – x

6. 150 × 3 = 450 g

Lección 2

b) 45 – 100 %

Actividad 1

x – 20 %

2 150 10 b) c) 65 95 4 150 200 2. Como es mayor que , conviene más 1 , 000 1 , 500 ahorrar en la primera.

Luego, el precio es $45 – $9 = $36 como el 10 % de 36 es 3.60, el nuevo precio es

1. a)

x = (45 × 20) ÷ 100 = $9

36 – 3.60 = $32.40. c) Persona

Días

200 250

15 10

Precio

$ 5,400 x =

x

250 × 5 , 400 × 10 = $4 ,500 200 × 15

Séptimo Grado - Matemática 97

Solucionario Lección 4 Actividad 1 4. a) 4

23 x −8 20 b) − 8

5. a) 5

b) − 1

c)

b) 6

c) 1

b) 5

c) 7

3. a) 3x2, − 5x, 4

b) 2x3,

−

c) 5(x – 3); − 7

d) 5(x − 3)

e) − 9

c) − 7

d) 0

e) − 9

Actividad 2 2. a) 5

2 7

d)

1 4

e)

d) 0

−

1 4

e) 12

3. 1 4. a) 6

Lección 5 Actividad 1 1. a) 2x + 4x = 6x

b) 5x + 3y + 7z

2. a) 9x – 13y

b) –5a – 14b

c) – 13y – 3x

f)

b) 3.14 (7)2 = 153.86

c) 2 (4 + 3) = 14

d) 7.5

1. a) 34 = 81

b) (− 3)2 = 9

c) (− 3)5 = − 243

d) − 32 = − 9

2. a) 16

b) (− 4)2 = 16

b) 5x6

c) 4xº = 4

d) − 3xº

d) 24

g)

e) 33

h) y7

Actividad 2 a) 180

−

23 x −5 20

Actividad 3

Actividad 4 1. a) 3xº = 3 1 y5 1 b) 5 1 c) 3 6

2. a)

f)

1 y8

98 Matemática - Séptimo Grado

i)

1 x7

2−3+1 = 2−2

1 22

= − 3(1) = − 3

j) 26 ÷ 22 = 24

Proyecto En una fábrica artesanal de queso trabajan seis personas. Éstas producen 4,500 kg en treinta días. Reciben una orden de 6,000 kg de queso para importar, la que deberán entregar en un máximo de 30 días, para lo cual contratan dos personas más. Desean saber si saldrán con el plazo establecido. Determina si el personal de la fábrica saldrá con el pedido de queso en el plazo que les dan. Para cumplir con la demanda de queso dentro del país, ¿cuántas personas deben laborar en total?

Séptimo Grado - Matemática 99

Recursos ALCALDE, Fuente y otros, Matemáticas. Editorial Magisterio español, S.A, Primera edición, 1980, España DOLCCIANI, Wooton y otros, Editorial Publicaciones Cultural, Matemáticas modernas para escuelas secundarias, Tomos 1 y 2. Séptima reimpresión, 1980, México FLEMING, Walter. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial Prentice Hall, Primera edición, 1991, México SESTIER, Andrés. Historia de las Matemáticas. Editorial Limusa, Noriega editores, 2ª edición, México

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/ proporcionalidad/proporc_p.html

100 Matemática - Séptimo Grado