MATEMÁTICA Unidad 2 División de polinomios Triángulos Factorización
Objetivos de la unidad: Interpretarás la realidad, valorando y utilizando el lenguaje algebraico y propondrás soluciones a problemáticas a través de la división de polinomios y cociente notables. Construirás soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno utilizando los triángulos, con sus teoremas y rectas notables, valorando la opinión de los demás.
55
División de polinomios Método convencional División sintética Cocientes notables
Triángulos Rectas y puntos notables Semejanza de triángulos Concepto Casos Igualdad de triángulos Concepto Casos
Factoreo Factor común (monomio y polinomio) Trinomio cuadrado perfecto Trinomio factorizable de la forma x2 + bx + c Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Descripción del Proyecto Al finalizar la unidad aplicarás los conceptos estudiados para darle solución a una situación del entorno.
56 Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Segunda Unidad
División de polinomioS Motivación
Una fábrica de alimentos empaca su producto en cajas
de formas cúbicas que poseen volúmenes de 125x3, dichas cajas son empacadas en un recipiente cúbico de 1500x12 de volumen. ¿Cuántas cajas caben en el recipiente grande? ¿Cómo puedes resolver esta situación? Efectuando una división, es decir: 1500x12 ÷ 125x3... 12 Al operar tienes: 1500 x = 12 x 12−3 = 12 x 9 125 x 3 (Revisa el punto de apoyo en esta página) Caben 12x9 cajas. Indicadores de logro: Realizarás con seguridad la división de polinomios entre monomios. Aplicarás y explicarás con seguridad las propiedades de las potencias en la división de polinomios.
Resolverás problemas usando la división de polinomios. Demostrarás perseverancia en la solución de problemas utilizando la división sintética.
División de polinomio entre monomio El esquema básico de la división de polinomios es el mismo utilizado en aritmética. Efectúa 15 ÷ 3 Obtienes que 15 ÷ 3 = 5, lo que también puedes expresar 15 así: = 5 3 Ahora, realiza (8 + 20 − 12) ÷ 4 Puedes efectuarla de dos formas: 8 + 20 − 12 16 a) = =4 4 4
8 20 −12 + + = 2+ 5−3= 4 4 4 4 Observa que los resultados son iguales.
b)
Aplícalo, ahora a una expresión algebraica.
Punto de apoyo Recuerda que en la división algebraica debes usar la propiedad de cociente de potencias de igual base: an = a n −m am
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 2 Ejemplo 1 José, encargado de una bodega tiene que cargar un contenedor que tiene una capacidad de 100x21 más otro contenedor de 50x12 de volumen los cuales contienen material almacenado en cajas de 5x3 de volumen, ¿cómo crees que José encontrará la cantidad de cajas que irán en los contenedores?
Solución: Mediante una división, que la planteas así: (100 x 21 + 50 x 12 ) ÷ ( 5 x 3 )
Al efectuar la operación obtienes: 100 x 21 + 50 x 12 100 x 21 50 x 12 = + = 20 x 21−3 + 10 x 12−3 = 20 x 18 + 10 x 9 3 3 3 5x 5x 5x A partir de este ejercicio, puedes observar que: Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y sumas algebraicamente los cocientes que resultan.
Ejemplo 2 Efectúa: ( 9a 6b 5 − 6 a 5b 4 + 12a 4b 3 ) ÷ ( 3a 3b 2 )
Solución: 9a 6b 5 6 a 5b 4 12a 4b 3 − + = 3a 3b 3 − 2a 2b 2 + 4 ab 3a 3b 2 3a 3b 2 3a 3b 2
1
Actividad
Realiza las siguientes divisiones: a)
( 9a 6b 5 − 6 a 5b 4 + 12a 4b 3 ) ÷ ( 3a 3b 2 )
c)
2a 4 3a 3 5a a 3 − 2 + 3 ÷ 3
b)
(16 c 8 − 8c 7 − 12c 4 + 4 c 3 ) ÷ ( 2c 3 )
d)
(14 m 3 n 2 +
58 Matemática - Octavo Grado
4 m 2n 3 − 3mn 4 ) ÷ ( mn ) 5
UNIDAD 2
División de polinomio entre polinomio El área de la pizarra está expresada por el polinomio x2 + 5x + 6; sabes que el ancho mide x + 2 .¿cuál es el largo de la pizarra?
¿Cómo puedes resolver esto? El área del rectángulo es igual al producto de la base por la altura, es decir: A = bh En este caso, conoces el área y la altura, entonces tienes A que al despejar la base queda así: b = h Esto significa que para darle solución a la situación planteada, tienes que efectuar la operación:
x2 + 5x + 6 ÷ x + 2
Para realizar la división procedes de la siguiente manera:
Paso 1
x 2 + 5x + 6 x + 2
Paso 2 x 2 + 5x + 6 x + 2 x
Paso 3
x 2 + 5x + 6 x + 2 − x 2 − 2x 0 + 3x
Paso 4
x 2 + 5x + 6 x + 2 − x 2 − 2x ↓ 0 + 3x + 6
Paso 5
x
x
x 2 + 5x + 6 x + 2 − x 2 − 2x ↓ x + 3 0 + 3x + 6
Paso 6
x 2 + 5x + 6 x + 2 − x 2 − 2x ↓ x + 3 0 + 3x + 6 − 3x − 6 0 0
Ordenas los polinomios descendentemente con respecto al exponente de la letra, no siempre se da el caso que los polinomios tengan completo sus términos, entonces se coloca un cero en el lugar del término que falta. Divides el primer término del dividendo entre el primer termino del divisor y el resultado es el primer término del cociente, así: x2 ÷ x = x Ahora, multiplicas el cociente calculado (x), por el divisor: x(x + 2) = x2 + 2xy lo restamos del dividendo. La resta da un residuo de 3x. Luego a este residuo, agregas (bajas) el término que falta del dividendo, en este caso particular es 6. Observa que el residuo no es cero y que el exponente de la variable es igual al del divisor. Después de observar el residuo, nota que puedes continuar la división. Regresa entonces al paso 2 y efectúa.
Multiplica 3(x + 2) = 3x + 6, luego restas y llegas a un residuo cero. En este caso la división es exacta. Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo es menor que el exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.
El largo de la pizarra es x + 3. Si el valor de x es 0.30 m: ¿Cuál es el ancho y el largo de la pizarra? De seguro llegarás a la respuesta: ancho = 2.3 m y largo = 3.3 m
Octavo Grado - Matemática 59
UNIDAD 2 Ejemplo 3
Ejemplo 5
Encuentra la base de una pared que tiene un área de 6x2 + 11x + 4 con la altura señalada en la figura.
Efectúa – 2x2 + 5x + 3x3 −12 ÷ – 5 + x2 – 3x
Solución: 3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 12 x 2 − 3 x − 5 − 3 x 3 + 9 x 2 + 15 x
2x+1
0 + 7 x 2 + 20 x − 12 − 7 x 2 + 21x + 35 0 + 41x + 23 Residuo
Solución: Así como el ejemplo anterior, tienes que la operación a realizar es:
3x + 7
6x2 + 11x + 4 ÷ 2x + 1
Sigue los pasos descritos anteriormente, y compara tu respuesta con la siguiente:
Como podrás observar has llegado a obtener un cociente inexacto por que tienes un residuo diferente de cero. El resultado de esta división es 3x + 7 con residuo 41x + 23.
6 x 2 + 11x + 4 2 x + 1 − 6 x 2 − 3x 8x + 4 − 8x − 4
0
Observa
3x + 4
0 La base de la pared es 3x + 4
Observa que para hacer la división de polinomios primero tienes que ordenar los polinomios de forma descendente con respecto al exponente de la variable.
Ejemplo 4 Efectúa a3 − a ÷ a + 1
2
¿Cómo lo resolverías? Recuerda que si hacen falta términos, los sustituimos con ceros. a3 + 0 − a a + 1 − a3 − a2
a2 − a
0 − a2 − a + a2 + a 0
Efectúa las siguientes divisiones. a)
5a 2 + 8ab − 21b 2 entre a + 3b
b)
4 x 3 + 5 x - 6 entre 2 x - 3
c)
4 c 3 + 5 + 4 c 2 - 13c entre 2c + 5
d)
10 x + 8 x 3 + 1 entre 4 x + 2
e)
6 x 4 + 13 x 3 + 15 x - 6 entre 2 x 2 - x + 2
El resultado es a2 − a
60 Matemática - Octavo Grado
Actividad
UNIDAD 2
División sintética Recuerda que para efectuar una división, tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados en forma decreciente.
c)
Ubica estos coeficientes en la siguiente posición. 1 - 5
+ 3 +
14
3
Ejemplo 6 Luego multiplica el término independiente del divisor que es 3 por 1 y lo colocas debajo del segundo término que es – 5 luego lo sumas y obtienes –2.
Divide x3 − 5x2 + 3x + 14 entre x − 3
Solución: Primero efectúa siguiendo el proceso anterior.
x 3 − 5 x 2 + 3 x + 14 − x 3 + 3x 2
x −3 x 2 − 2x − 3
0 − 2x 2 + 3x + 2x 2 − 6 x 0 − 3 x + 14 + 3x − 9 5 ¿De qué otra forma se puede resolver? Observa ahora, ésta forma de hacer la división: a) Separa solamente los coeficientes y el término
independiente.
De x3 − 5x2 + 3x + 14 Obtienes 1 − 5 + 3 + 14 b)
Luego analiza el divisor x – 3.
De este término, sólo utilizarás el término independiente –3 pero con signo contrario, en este caso particular será 3.
1 - 5
+ 3
+
14
3
3 1 - 2 Ahora, se multiplica 3 por –2 y obtienes –6, lo colocas debajo del término 3, efectúa la suma y obtienes – 3, continuando este proceso, multiplicas este resultado por 3 y obtienes – 9 que sumado con 14 resulta 5. 1 - 5
+ 3
+
14
3 1- 2
- 6 - 3 +
9 5
3
El resultado final es 1 – 2 –3 + 5, el polinomio resultante tendrá como coeficientes 1 – 2 –3 y el último número, en este caso 5, será el residuo. El grado del polinomio será disminuido en 1. 1 - 5
+ 3
+
14
+ 3 - 6 1 - 2 - 3 +
9 5
3
Residuo El resultado se escribe así: x2 – 2x − 3, que es el cociente que obtuviste al principio y con residuo 5. Al procedimiento anterior se le denomina división sintética o división abreviada. Este procedimiento se puede utilizar en la división de polinomios en una variable con divisor de la forma x – a.
Octavo Grado - Matemática 61
UNIDAD 2 Ejemplo 7
Ejemplo 8
Divide 5x4 + 3x2 – 6 entre x + 2
Efectúa: a 3 − 2a 2 + 9 entre a + 2
Solución:
Solución:
Primero separa los coeficientes, verificando que los términos del polinomio estén completos: 5 + ? + 3 + ?–6
Los coeficientes y el término independiente son:
Nota que hacen falta dos términos que luego los sustituyes con ceros, así: 5+0+3+0−6
Identifica el término independiente del divisor y lo utilizas con su signo contrario, en este caso es – 2.
Ahora aplica el proceso anterior de la división sintética: 5 + 0 + 3 + 0 –
6
–2
Tomas el resultado final, 5 −10 23 – 46 + 86, donde 5 −10 23 – 46 serán los coeficientes del polinomio cociente y 86 será el residuo. El grado del polinomio cociente estará disminuido en 1 o sea quedará grado 3. Entonces el resultado es: 5x3–10x2 + 23x – 46 con residuo de 86.
5 x 3 − 10 x 2 + 23 x − 46 +
62 Matemática - Octavo Grado
1 –2
1 –4
–10 + 23 –46 + 86
Lo que también se puede expresar así:
Aplica el proceso de división sintética: 0
9
–2
– 2 + 8 –16
–10 + 20 –46 + 92 5
1 – 2 0 9, ubica 0 en el término que falta.
86 x +2
+8
–7
Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, excepto el último que es el residuo. El grado del polinomio cociente queda disminuido en 1. Entonces el resultado es:
a 2 − 4 a + 8 con residuo – 7, lo que también puede expresarse así: 7 a 2 − 4a + 8 − a +2
UNIDAD 2
3
Actividad Efectúa las siguientes divisiones, utilizando la división sintética: a)
x 3 + 2 x 2 + x + 2 entre x - 2
b)
m 4 - 5m 3 + 4 m - 48 entre m + 2
c)
−6 − 20a 2 + 2a 4 −3a 3entre 3 + a
d)
2a 4 − a 3 − 18a 2 − 7 entre a + 3
e)
8b 5 − 3b 2 − 1 entre b − 1
Resumen En esta lección repasaste la división de polinomios entre monomios. El cociente de un polinomio por un monomio es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen de dividir cada término del polinomio por el monomio. Cuando dividistes polinomio entre polinomio hiciste los siguientes pasos: a) Ordenaste los polinomios descendentemente con respecto a una letra, no siempre se da el caso
que los polinomios tengan completo sus términos, entonces colocaste un cero en el lugar del término que falta.
b) Dividiste el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el
primer término del cociente.
c) Multiplicaste el cociente del primer término dividiendo entre el primer término del divisor
calculado, por el divisor y lo restaste del dividendo. La resta dio un resultado.
d) Luego a este resultado, agregaste (bajaste) el término que falta del divisor. Observaste que el
residuo no es cero.
e) Observaste el residuo, si el exponente de la variable es mayor o igual al del divisor, puedes
continuar la división. Regresa entonces al paso 2.
f) Si el residuo es cero, la división es exacta. Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo
es menor que el exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.
Octavo Grado - Matemática 63
UNIDAD 2
Autocomprobación
c)
a n xa m = a n +m
d)
c)
2 + 3m
b) 2 – 3m
d)
3m – 2
m4
n 3 n2
n
n2
n
a) Efectúo la división sintética entre −3.
a n axa ...xa n = b m bxb ...bn
b) No se puede usar la división sintética por que hay
un divisor grado 2. c) Verifico si los términos del polinomio están completos y luego efectúo la división sintética. d) Efectúo la división sintética entre 3 por que siempre se le cambia signo al coeficiente divisor.
a m m ÷n =a an
3. d.
b)
a m m −n =a an
a) 3m + 2
encontrar el cociente de: 44 Para 9 +18 −4 +24 −16 entre 2 + 4 −3
Para dividir polinomios nos debemos de auxiliar de la propiedad: a)
Al efectuar 15m 2 + 12 − 28m entre 5m – 6 resulta:
2. a.
3
3x es: 4 4 x 16 8 + − 9 9 x 4x − 8x + 1 9
entre
1. c.
2
x 2 4x + -6 3 3 9x 8 1 + − x c) a) 4 9 2 4x 1 b) − x + 1 d) 9 2
El cociente de
Soluciones
1
4. b.
UN POCO DE HISTORIA En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de AlJwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Aritmética de Diofanto.
Al-Jwarizmi
64 Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Segunda Unidad
Cocientes Notables Motivación
R osa necesita un marco para colocar el dibujo de un
paisaje que tiene forma rectangular, cuya área es x2 – 16, si su base mide x – 4, ¿cómo encontrarías la medida de la altura? Para encontrar la respuesta tienes que recordar que el área de un rectángulo es: A=bh Como en este caso conoces la base, entonces tienes que despejar la altura así: A h = Ahora, sustituye los datos de la situación b planteada: x 2 − 16 h= =x +4 Entonces la altura mide x + 4 x −4 Indicadores de logro: Resolverás problemas aplicando el cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades con confianza. Resolverás problemas aplicando el cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades.
Resolverás con seguridad problemas aplicando el cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades, entre la suma o diferencia de las cantidades.
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades German piensa como encontrar la longitud de una tabla que tiene la forma rectangular si sabe que el área está representada por el polinomio: x2 − y2, y el ancho es x − y
¿Cómo puede resolver German?
x2 − y2 y su cociente Decide dividir x2 – y2 entre x –y ó x − y será la longitud. x2 − y2 x− y x2 − y2 o sea =x + y x− y − x 2 + xy x+ y xy − y 2 − xy + y 2 0
Octavo Grado - Matemática 65
UNIDAD 2 Ejemplo 2
¿De que otra forma puede resolver? Notarás que el cociente no es más que el mismo denominador o divisor con signo contrario, o sea que no es necesario hacer todo el procedimiento de cociente de polinomios basta con poner el divisor con signo diferente.
4 a 2 − 9b 2c 4 Encuentra por simple inspección: 2a − 3bc 2
Solución:
Aplicando la regla: 4 a 2 − 9b 2c 4 = 2a + 3bc 2 2a − 3bc 2
A partir de las situaciones anteriores, se tiene que a todo cociente que obedece a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección se les llama “Cocientes Notables”
De lo anterior concluyes que el cociente: x2 − y2 =x − y x+ y
Solución:
Ejemplo 3 Efectúa por simple inspección:
16 − 25m 2 4 − 5m
Aplicando la regla tenemos que: 16 − 25m 2 = 4 + 5m 4 − 5m
Observa Regla La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.
Ejemplo 1
1
Actividad
Efectúa por simple inspección: a)
9 x 2 − 25 3x + 5
c)
49 y 2 − 36 z 2 7 y −6z
b)
16b 2 − c 2 4b − c
d)
81a 2 − 100 9a + 10
Encuentra el cociente por simple inspección de: 25n2 − 36 entre 5n + 6
Solución: Al aplicar la regla anterior obtenemos 5n − 6, ya que 25n 2 = 5n y 36 = 6 Entonces:
25n 2 − 36 = 5n − 6 5n + 6
Observa Regla La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de dichas cantidades es igual a la suma de las cantidades.
66 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades Si el volumen de dos cubos está representado por a3 y b3, y su suma la quieres dividir entre la suma de sus aristas, es decir entre a + b.
= b
a
+
Ejemplo 4 Encuentra el cociente de: 27 x 3 + 1 ( 3 x )3 + 13 = 3x + 1 3x + 1
Solución: Al aplicar la regla: ( 3 x ) − ( 3 x )(1) + (1) y resolviendo primero las potencias y luego los productos que quedan indicados, llegas a obtener el cociente. 2
a
a3 ¿Cómo lo harías?
b
a
b
b3
+ a3 + 0 + 0 + b3 − a 3 − a 2b
=
a +b a 2 − ab + b 2
− a 2b + a 2b + ab 2
ab 2 + b 3 − ab 2 − b 3 0
De esta división observas que: La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. a3 +b3 ? ¿De qué otra forma puedes resolver a +b 3 3 Aplicando la regla: a + b = a 2 − ab + b 2 a +b
2
Entonces tienes: 27 x 3 + 1 = ( 3 x )2 − ( 3 x )(1) + (1)2 = 9 x 2 − 3 x + 1 3x + 1
Ejemplo 5 Encuentra el cociente de: 64 m 3 n 6 + 27 4 mn 2 + 3
Solución: Aplicas la regla
2 3 2 64 m 3 n 6 + 27 ( 4 mn ) + 3 = = ( 4 mn 2 ) − ( 4 mn 2 )( 3 ) + ( 3 )2 2 2 4 mn + 3 4 mn + 3
3
=16m2n4 – 12mn2 + 9
Entonces tienes:
64 m 3 n 6 + 27 = 16 m 2 n 4 − 12mn 2 + 9 4 mn 2 + 3
Punto de apoyo La propiedad potencias de potencias es:
(an )m = anm
Octavo Grado - Matemática 67
UNIDAD 2 Ejemplo 6
Ejemplo 7
Encuentra por simple inspección el cociente de:
125m 3 − n 3 ( 5m )3 − n 3 Efectúa: = 5m − n 5m − n
Solución:
8a 3 + 125 2a + 5
Solución:
Aplicando la regla tenemos: 125m 3 − n 3 = ( 5m )2 + ( 5m )( n ) + ( n )2 5m − n = 25m2 + 5mn + n2
Aplicas la regla: 8a 3 + 125 ( 2a )3 + 53 = = ( 2a )2 − ( 2a )( 5 ) + 52 2a + 5 2a + 5 = 4 a 2 − 10a + 25 Entonces tienes: 8a 3 + 125 = 4 a 2 − 10a + 25 2a + 5
Entonces: 125m 3 − n 3 = 25m 2 + 5mn + n 2 5m − n
Ejemplo 8
La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades a −b = a −b 3
Sigamos estudiando otro cociente notable
a 3 + 0 + 0 −b 3 − a 3 − a 2b
a −b
3
a 2 + ab + b 2
+ a 2b + a 2b + ab 2
ab 2 − b 3 − ab 2 + b 3 0
Luego concluyes que:
a −b3 2 = a + ab + b 2 a −b 3
Observa La regla es: La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
68 Matemática - Octavo Grado
Efectúa:
1 ,000a 3b 9 − 27 x 6 10ab 3 − 3 x 2
Solución:
3 2 1 ,000a 3b 9 − 27 x 6 (10ab ) − ( 3 x ) = 10ab 3 − 3 x 2 10ab 3 − 3 x 2 3
3
= (10ab 3 ) + (10ab 3 )( 3 x 2 ) + ( 3 x 2 ) 2
= 100a 2b 6 + 30ab 3 x 2 + 9 x 4
Entonces: 1 ,000a 3b 9 − 27 x 6 = 100a 2b 6 + 30ab 3 x 2 + 9 x 4 3 2 10ab − 3 x
2
UNIDAD 2
Actividad
2
Encuentra el cociente aplicando reglas, es decir, por simple inspección de: n 3x 3 +1 a) nx + 1 b)
125 + 64 y 3 5+ 4 y
c)
8a 9 + y 9 2a 3 + y 3
27 p 12 − 8r 3 d) 3 p 4 − 2r e)
1 − n 21 1− n 7
f)
27 m 3 − 125n 3 3m − 5n
Cociente de la suma o diferencia de dos potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades Para seguir dividiendo potencias mayores que 3 como un cociente notable, puedes hacerlo, siempre y cuando se conozcan algunas leyes para este tipo de cociente. Por regla general tienes: a4 − b4 3 2 1. = a + a b + ab 2 + b 3 a −b 2.
a4 −b4 3 2 = a − a b + ab 2 − b 3 a +b
a5 − b5 4 3 3. = a + a b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 a −b 4.
a5 − b5 4 3 = a − a b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 a +b
Observa De lo anterior puedes concluir que: La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares o impares es siempre divisible por la diferencia de an − bn las bases. , para n par o impar, y el total de a −b términos del cociente es igual al exponente (número) de los términos del dividendo o el numerador.
Ejemplo 9 Efectúa:
x 5 − 32 x −2
Solución:
x 5 + 32 =(x )4 + (x )3 (2) + (x )2 (2)2 + (x )(2) 3 + (2) 4 x +2 = x 4 + (x )3 (2) + (x )2 (4) + (x )(8) + 16 = x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16
Entonces:
x 5 − 32 4 = x + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16 x −2
Octavo Grado - Matemática 69
UNIDAD 2 Ejemplo 10 Efectúa:
x 6 − 64 x +2
Solución:
x 6 − 64 = (x )5 –( x )4 (2) + (x )3 (2)2 − (x )2 (2)3 + (x )(2)4 − (2) 5 x +2 = x 5 − (x 4 )(2) + (x 3 )( 4 ) –(x 2 )(8) + (x )(16 ) − 32 = x 5 – 2 x 4 + 4 x 3 − 8 x 2 + 16 x – 32 Observa que el cociente tiene 6 términos igual que el exponente del dividendo.
Punto de apoyo La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la diferencia. Estos son algunos ejemplos que no puedes hacer como cocientes notables ya que no son divisibles:
x6 + y6 , x+ y
x6 + y6 , x− y
x8 + y8 , x+ y
x8 + y8 x− y
Ejemplo 11 Efectúa:
x 7 +1 x +1
Solución: x 7 +1 = (x )6 –(x )5 (1) + (x )4 (1)2 − (x )3 (1)3 + (x )2 (1)4 − (x )(1)5 + (1)6 x +1 = x 6 –x 5 + x 4 –x 3 + x 2 − x + 1
Punto de apoyo a4 +b4 = no se puede porque no es exacta la división. a +b a4 +b4 = no se puede porque no es exacta la división. a −b
70 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
Actividad Encuentra el cociente por simple inspección de: 64 m 8 + 1 a) 2m 2 + 1
d)
x4 + y4 x2 + y2
b)
100 x 4 − 1 10 x 2 − 1
e)
243h 5 − 32 3h − 2
c)
x 4 − 16 x −2
f)
512a 9 + b 9 2a + b
3
Resumen De todo lo anterior tenemos:
x2 − y2 =x − y x+ y
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.
x2 − y2 =x + y x− y
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de dichas cantidades es igual a la suma de las cantidades.
x3 + y3 2 = x − xy + y 2 x+ y
La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
x3 − y3 2 = x + xy + y 2 x− y
La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
a4 − b4 3 2 = a + a b + ab 2 + b 3 a −b 4 a −b4 3 2 = a − a b + ab 2 − b 3 a +b a5 − b5 4 3 = a + a b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 a −b
La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares o impares es siempre divisible por la diferencia de las bases. La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma de las bases. La diferencia de potencias iguales impares es siempre divisible por la diferencias de las bases.
a5 +b5 4 3 = a − a b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases. a +b
Octavo Grado - Matemática 71
UNIDAD 2
Autocomprobación 27a 6 + 1 se obtiene: 3a 2 + 1
3
9a 4 − 3a 2 + 1 b) 9a 4 + 3a 2 + 1 c) 3a 4 − 3a 2 + 1 4 2 d) 9a + 3a − 1
a)
Toda aquella división de polinomios que cumple con ciertas reglas fijas y su cociente se puede escribir por simple inspección se conocen algebraicamente como: a) Divisiones exactas de polinomios b) Cocientes notables c) Productos notables d) Divisiones inexactas
4
b 7 − 128 Cuando efectuamos obtenemos: b −2 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b 3 6 5 4 3 2 b) b + 2b − 4b + 8b − 16b + 32b − 64 c) b 6 − 2b 5 + 4b 4 − 8b 3 + 16b 2 − 32b + 64 d) b 6 + 2b 5 + 4b 4 + 8b 3 + 16b 2 + 32b + 64 a)
2. b.
2
16 a 4 − 81b 4 es: 2a − 3b
8a 3 − 12a 2b + 18ab 2 − 27b 3 b) 8a 3 + 12a 2b − 18ab 2 + 27b 3 c) 2a 3 + 6 a 2b + 6 ab 2 + 3b 3 d) 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b 3
a)
El resultado de efectuar
1. a.
Al efectuar
Soluciones
1
3. d.
4. d.
EL LENGUAJE ALGEBRAICO En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo en ocasiones; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.
72 Matemática - Octavo Grado
Lección 3
Segunda Unidad
Triángulos, rectas y puntos notables Motivación
Una persona que diseña su casa desea que la fachada de la entrada
principal tenga forma de triangulo, pero los constructores le piden que elija que tipo de triángulo le gustaría que sea la fachada; ¿sabes cuántos tipos de triángulo hay?
Indicadores de logro: Resolverás con precisión problemas aplicando el teorema “la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º“. Determinarás y explicarás con seguridad el circuncentro de un triángulo cualquiera.
Determinarás y explicarás con seguridad el incentro de un triángulo cualquiera. Determinarás y explicarás con seguridad el baricentro de un triángulo cualquiera.
Para dar una respuesta a la interrogante definiremos:
¿Qué es triángulo?
Primero lo que es ángulo: es la abertura que forman en un plano dos semirrectas unidas en un punto llamado vértice.
Es un polígono de tres lados. Los puntos donde éstos se cortan se llaman vértices. Un triángulo se designa con el símbolo ∆ se puede representar como ∆ABC donde las letras están representando sus vértices.
¿Cómo se clasifican los triángulos? Por la medida de sus lados
Por la medida de sus ángulos
Equilátero:
Acutángulo:
Es el que tiene sus tres lados iguales.
Es el que tiene sus tres ángulos agudo.
Isósceles:
Rectángulo:
Es el que tiene dos lados iguales..
Es el que está formado por un ángulo recto.
Escaleno:
Obtusángulo:
Es el que tiene sus tres lados desiguales.
Si tiene un ángulo obtuso.
Octavo Grado - Matemática 73
UNIDAD 2
Teorema de Pitágoras El siguiente diagrama ilustra una de las demostraciones más conocidas del Teorema de Pitágoras.
Al despejar uno de los catetos se tiene: 2 2 a 2 = c 2 − b 2 luego: a = c − b
Ejemplo 1 Luís quiere saber la medida del tensor del poste que está frente a su casa la cual tiene una altura de 3 m, la distancia que hay del poste a la base del tensor es de 4 m. Los ángulos de un triángulo generalmente se representan con letras griegas minúsculas como: θ(teta), β(beta), α (alfa) Pitágoras observó que en un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. En un triángulo rectángulo, se pueden distinguir los siguientes elementos:
3m
Tensor
4m
Solución: ¿Cómo se puede resolver? Utilizando el teorema de Pitágoras.
c = x 2 + y 2 x = 4, y = 3
Cateto
Luego sustituyes en el teorema y resulta: Hipotenusa
c = 4 2 + 32
c = 16 + 9 = 25 = 5 c = 5
R: La medida del tensor es 5 m. Cateto
Tres lados: dos catetos y una hipotenusa. Tres ángulos: dos son agudos y el otro es un ángulo recto. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
c 2 = a 2 + b 2 al despejar el valor de la hipotenusa tienes: c = a2 +b2
74 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2 Ejemplo 2 ¿Cuál será la altura de la casa de José que proyecta en un momento determinado una sombra de 5 m y la distancia que hay del techo al extremo de la sombra es de 9 m?
Distancia 9 m
x = 5 m sombra
Solución: ¿Qué haces para resolver? Primero identificas cual lado hace falta. Denominas “y” a la altura y utilizas, c 2 = x 2 + y 2 es decir: y = c 2 − x 2 Sustituyes c = 9 y x = 5 para encontrar “y”.
y = 92 − 52 = 81 − 25 = 56 = 7.5 Esto indica que la altura de la casa mide 7.5 m
Actividad
1
a) Construye un triángulo de cada tipo: isósceles, obtusángulo,
escaleno, acutángulo y equilátero.
b) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide
sus catetos 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
8 cm y uno de
c) Una escalera de 5 m de longitud se coloca contra una pared, de
manera que su extremo inferior está a 3 m de la base de la pared. ¿A qué altura de la pared está apoyada?
d) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
Octavo Grado - Matemática 75
UNIDAD 2
Teorema: la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º Los ángulos exteriores de un triángulo son los que se forman con uno de sus lados y la prolongación de otro. Así en la figura, se tiene que para el triángulo ABC, los ángulos internos son: α, β, y θ . Sus ángulos externos son: θ'
Aplica el teorema: Encuentra la suma de los ángulos exteriores del siguiente triángulo: 3
C
70̊
θ A
α'
α
β
β1
50̊
B
1
60̊
2
Así tienes que si: ∠α , ∠β y ∠θ son los ángulos interiores del triángulo
El ángulo 1 es igual a 180 º − 60 º = 120 º
ABC y ∠α ', ∠β ' , ∠θ ' son los ángulos exteriores del triángulo ABC.
El ángulo 2 es igual a 180 º − 50 º = 130 º
Entonces:
Si ∠1 = 120º , ∠2 = 130º y ∠3 = 110º
∠α + ∠α ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Entonces al sumar 120 º + 130 º + 110 º = 360 º
∠β + ∠β ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Ejemplo 3
∠θ + ∠θ ' = 180º por ser adyacentes (suplementarios)
Determina el valor de cada ángulo exterior del siguiente triángulo. x
Al efectuar la suma tenemos: ∠α + ∠β + ∠θ + ∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º
El ángulo 3 es igual a 180 º − 70 º º = 110 º
∠α + ∠β + ∠θ = 180 º
Entonces: 180 º + ∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º
∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 540 º − 180 º
∠α ' + ∠β ' + ∠θ ' = 360 º
Punto de apoyo La suma interna de los ángulos de todo triángulo es 180º
2x
Solución:
2x
Sabes que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360 º, entonces: ∠ x + ∠ 2 x + ∠ 2 x = 360 0 5 x = 360
0
Los ángulos miden: 144º, 144º y 72º
76 Matemática - Octavo Grado
360 0 x = ; 5 x = 720
UNIDAD 2
Rectas y puntos notables Alturas: la altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular, trazada desde cada vértice al lado opuesto o sus prolongaciones. Observa la figura, se han trazado las tres alturas, son rectas perpendiculares que parten del vértice al lado opuesto. A R Q
O
B
C
P
Dichas alturas se cortan en un mismo punto que se le llama ortocentro.
A
C Ortocentro
hc B
A
B En un triángulo acutángulo, el ortocentro es un punto interior del triángulo.
c
ha C hb H Ortocentro
En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior del triángulo.
a
Ortocentro
b
En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto.
Octavo Grado - Matemática 77
UNIDAD 2
Medianas
Bisectrices
En un triángulo, son las rectas que se trazan desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Bisectriz es el segmento que divide al ángulo en dos partes iguales.
Observa el triángulo de la figura, AP , BQ y CR son las medianas de los lados, BC AC y AB respectivamente. El punto donde se intersecan las medianas se llama baricentro.
Trazamos un ángulo. Lo medimos con un transportador y señalamos un punto M en la mitad del arco que abarca. B
A
M R
Q
g
O
P
A C
B
C
P
Mediatrices Mediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado, es decir, que divide al segmento en dos partes iguales. Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares trazadas en el punto medio de cada uno de sus tres lados. En la figura se ha dibujado la mediatriz de cada lado. Con una regla puedes hallar el punto medio M.
O
m
B
La perpendicular al segmento AB por el punto de intersección de las mediatrices se le llama circuncentro. El circuncentro se encuentra a igual distancia de los tres vértices del triángulo, verifícalo.
78 Matemática - Octavo Grado
Cada punto de la bisectriz está a igual distancia de los lados del ángulo si P es un punto de la bisectriz, se cumple que: PA = PB En todo triángulo, el punto de intersección de la bisectrices se llama incentro.
C
A
A B La semirrecta OM, que divide al ángulo en dos partes iguales es la bisectriz.
UNIDAD 2
2
Actividad a) Dibuja un triángulo obtusángulo y ubica el ortocentro. b) Dibuja un triángulo obtusángulo y otro rectángulo. Señala el circuncentro en cada uno de ellos.
c) Construye un triángulo cualesquiera y ubica el incentro, luego verifica que este punto esté a igual
distancia de los lados.
Resumen En esta lección estudiaste lo siguiente:
Por sus ángulos.
Teoremas:
Equilátero. Isósceles. Escaleno.
Acutángulo. Rectángulo. Obtusángulo.
Por sus lados.
Triángulo:
Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos: c 2 = a 2 +b 2 La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º En todo triángulo:
Rectas notables
Puntos notables
Altura
Son las rectas que se trazan desde el vértice y son perpendiculares al lado opuesto.
Ortocentro donde se cortan las alturas.
Mediana
Son las rectas que se trazan desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Baricentro donde se intersectan las medianas.
Mediatriz
Son las perpendiculares que se trazan en Circuncentro donde se el punto medio de cada lado del triángulo. intersectan las mediatrices.
Bisectriz
Son las rectas que dividen un ángulo en dos partes iguales.
Incentro donde se intersectan las bisectrices.
A cada triángulo corresponden tres bisectrices, una para cada ángulo.
Octavo Grado - Matemática 79
UNIDAD 2
Autocomprobación
3
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a: a) 360º
a) Circuncentro
180º c) 270º d) 90º
b) Baricentro
b)
c) Incentro d) Ortocentro
4
Los triángulos que poseen un ángulo obtuso y dos agudos son:
La suma de los ángulos externos de los triángulos es: a) 360º
a) Acutángulos
180 º c) 270 º d) 90 º b)
b) Rectángulos c) Obtusángulos d) Escálenos
1. b.
2
El punto de intersección de las alturas de un triángulo se llama:
Soluciones
1
2. c.
3. d.
4. a.
APLICACIONES DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo: Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares. La altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra. Bajar frutos de un árbol y se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.
Galileo Galilei
80 Matemática - Octavo Grado
Lección 4
Segunda Unidad
Criterios de igualdad y semejanza de triángulos Motivación
Los triángulos además de clasificarse por sus lados y sus ángulos,
también pueden compararse para determinar si son iguales o semejantes a partir de sus lados y ángulos. Recorta dos triángulos como el siguiente, coloca uno sobre el otro, observarás que coinciden en todas sus partes. Se dice entonces que estos triángulos son iguales porque tienen la misma forma e igual tamaño. Indicadores de logro:
Resolverás problemas aplicando los criterios de igualdad de triángulos. Determinarás y explicarás con seguridad la semejanza de triángulos.
Resolverás problemas aplicando la semejanza de triángulos.
Criterios de igualdad Para que dos triángulos sean iguales o congruentes, no es necesario demostrar la igualdad de sus tres lados y sus tres ángulos iguales. Estudiarás algunos criterios para determinar si son iguales partiendo de sus lados y sus ángulos. El término congruencia es utilizado para indicar la igualdad entre dos figuras geométricas. Dos triángulos iguales son congruentes.
¿Cómo haces para decidir si dos lados son homólogos o congruentes entre si? Los lados homólogos son los que ocupan la misma posición en ambos triángulos. AB ≅ KL , BC ≅ LM y CA ≅ MK ; además sus ángulos también son congruentes:
θ ≅θ ' , α ≅ α ' , y β ≅ β '
El símbolo que utilizarás para establecer congruencia es ≅
De esto se concluye que ∆ ABC ≅ ∆ KLM
¿Qué observas en los triángulos ABC y MLK?
A
α’
C
K
θ’
θ β’
B
M
α
β
L
Octavo Grado - Matemática 81
UNIDAD 2
Criterio Lado Ángulo Lado (LAL) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente es congruente.
Criterio Ángulo Lado Ángulo (ALA) Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y el lado que los subtiende respectivamente congruentes.
Así tenemos: AB ≅ DE , AC ≅ DF , ∆ ABC ≅ ∆ DEF
C
F
β
β''
E
B
β
β
A
α B
θ
D
α'' E
θ''
Luego esto se simboliza así:
Con base a lo anterior puedes afirmar que : ∠A ≅ ∠D y AC ≅ DF y ∠C ≅ ∠F , también lo puedes plantear de esta manera: θ ≅ θ " y AC ≅ DF y α ≅ α "
∆ ABC ≅ ∆ DEF por LAL
Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por ALA.
α
θ
A
C
D
α
θ
F
Ejemplo 1
Criterio Lado – Lado – Lado (LLL)
Verifica si los triángulos :
Dos triángulos son iguales si sus lados correspondientes son congruentes. ∆ ABC ≅ ∆ DEF porque AB ≅ DE BC ≅ EF y AC ≅ DF
∆ ABC ≅ ∆ KLM , son iguales. C
M
α
A
θ
α
β
B
K
β
θ
L
Solución:
Observa que AC ≅ LK y AB ≅ LM y α ≅ α " por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ KLM tanto por LAL.
Por consecuencia también: θ ≅θ" α ≅ α " y β ≅ β" Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por LLL.
¿Te has dado cuenta que los triángulos pueden tener diferentes posiciones? Para este caso puedes colocar un triángulo sobre otro virtualmente para ver si coinciden todos sus lados. Para demostrar la igualdad de dos triángulos, no necesariamente deben de tener las mismas posiciones.
82 Matemática - Octavo Grado
A
θ
C
F
α
α''
β
B
D
θ''
β''
E
UNIDAD 2
1
Actividad
a) Construye dos triángulos, luego aplica los criterios estudiados sobre igualdad
y comprueba si cumplen alguno de esos criterios.
b) Aplica uno de los criterios de igualdad y construye dos triángulos que
cumplan esos criterios.
Semejanza de triángulos El concepto de semejanza en la vida cotidiana: Cuando utilizas el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué te estas refiriendo? Será acaso: Un objeto que se parece a otro. Objetos de igual tamaño. Objetos de igual forma. Objetos exactamente iguales. Es difícil que puedas seleccionar una opción que responda en forma correcta a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.
Por ejemplo: El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique. Hay gemelas que son tan semejantes que es difícil diferenciarlas. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.
Octavo Grado - Matemática 83
UNIDAD 2 Nota que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros. El uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al “parecido”, en una o más características, que existe entre dos personas u objetos. Antes de analizar lo que es semejanza de triángulos, verifica primero solamente el concepto de semejanza. Para ello es necesario que conozcas lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad. ¿Qué observas en la figura que se muestra? c = 5 cm
Tienes entonces que, dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. Se aclara que dos triángulos para que sean semejantes no deben de tener el mismo tamaño ni posición y la relación de semejanza se denota con el símbolo ≅ ∆ ABC ≅ ∆ DEF y se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF. Entonces, se tiene que en dos triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales. En este caso se escribe: AB AC CB = = DE DF FE
a = 3 cm
C
F
b = 4 cm c1 = 10 cm
a1 = 6 cm
b1 = 8 cm Los lados correspondientes son respectivamente: c y c’ (lado grande y lado grande) a y a’ (lado pequeño y lado pequeño) b y b’ (lado mediano y lado mediano)
Observa El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. Si realizas la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5; 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.
84 Matemática - Octavo Grado
A
B D
E
Puedes concluir que dos figuras geométricas poligonales serán semejantes, si existe una correspondencia entre los vértices,con tal que sus ángulos y sus lados correspondientes sean congruentes.
UNIDAD 2 Ejemplo 2 Encuentra el valor del lado desconocido del triángulo siguiente: C
x
8 A
B
9 F
3
4 D
4.5
Teorema Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.
E
Solución:
Demostración:
Primero debes establecer las relaciones de proporcionalidad: 8 x 9 ya que ∆ ABC ≅ ∆ DEF = = 4 3 4.5 Los lados que se han relacionado son: AC = 8 , AB = 9 , CB = x Luego del otro triángulo, DF = 4 DE = 4.5 FE = 3 como el lado que quieres encontrar es CB = x y es x homólogo con FE = 3 , estableces la relación , ésta la 3 igualas a cualquiera de las otras dos razones en este caso 9 particular tomas a y las igualas: 4.5
Sea el triángulo ∆ ABC con una paralela XY a la base del triángulo AB.
x 9 = = despejas 3 4.5 (3)9 27 x= =x = 4.5 4.5 x =6 El valor desconocido del triángulo ∆ ABC es x
=6
C
X A
Y B
Lo que se quiere demostrar es que ∆ ABC ≅ ∆ XYC (Son semejantes) Primero, los tres ángulos de cada triángulo son iguales: ∠C = ∠C , ∠A = ∠X , ∠B = ∠Y Por que son ángulos correspondientes entre líneas paralelas, además por proporcionalidad sabes que: CX CY = Esto significa que los lados laterales de CA CB ambos triángulos son proporcionales Por lo tanto, los triángulos son semejantes porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Octavo Grado - Matemática 85
UNIDAD 2 Ejemplo 3
Encuentra el lado que hace falta en el triángulo. Si DE es paralela a AB C 6
4
D A
Solución: Primero encuentra las razones: CE 4 CE 4 , = y = CB 4 + 5 CB 9 6 4 Luego igualas las dos razones = y despejas 6+x 9 6 ( 9 ) = 4 ( 6 + x ) ; 54 = 24 + 4x 54 = 24 + 4 x 54 − 24 = 4 x 30 = 4 x 30 x= 4
15 x = 7.5 2 R: El valor buscado es x = 7.5 Simplificando queda: x =
86 Matemática - Octavo Grado
5 B
X
Resuelves la ecuación:
E
UNIDAD 2
2
Actividad 1. Con una regla graduada en centímetros dibuja los triángulos que se te indican y determina si los siguiente triángulos son semejantes (escala en milímetros). a) 5, 7, 12 y 10, 15, 24,
c) 4, 5, 6 y 8, 10, 1
b) 3, 7, 9 y 8, 10, 12
d) 8, 3, 5 y 4, 1, 5
2. Determina el valor de los lados que hacen falta en las siguientes parejas de triángulos. a)
b)
C
C
4 N
6 A
8
10
8
X
4
5 B
9
3
B
12
A
3. Determina las razones por qué los triángulos ∆ ABC y ∆ CDE son semejantes y encuentra el segmento: AB ≅ DE B
A
4 cm
C
5 cm
E 3 cm D
Resumen Criterios para verificar si dos triángulos son iguales: Lado – Ángulo – Lado Ángulo – Lado – Ángulo Lado – Lado – Lado
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruente. Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y el lado que los subtiende respectivamente congruentes. Dos triángulos son iguales si sus lados correspondientes son congruentes.
Además se afirma que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Octavo Grado - Matemática 87
UNIDAD 2
Autocomprobación Cuando dos triángulos tienen sus lados y ángulos congruentes se dice que son triángulos:
3
~ b) = c) ≈ d) ≅
equivalentes b) iguales c) semejantes d) alternos
a)
a)
equivalentes b) iguales c) semejantes d) alternos a)
4
Al trazar una paralela a un lado de un triángulo este forma con los otros dos lados un triángulo que es: equivalente al primero b) igual al primero c) alterno d) semejante al primero a)
2. c.
Si en dos triángulos, sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales se dice que son:
1. b.
2
El símbolo que denota cuando dos triángulos son semejantes es:
Soluciones
1
3. d.
4. d.
APLICANDO SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada. En el caso de dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3 × 4 pulgadas y otra de 6 × 8 pulgadas, ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
88 Matemática - Octavo Grado
Lección 5
Segunda Unidad
Factoreo Motivación
E
n nuestro diario vivir , en centros de estudio , en el trabajo etc. siempre hay algo que tenemos en común, por ejemplo: En nuestro centro de estudios todos tenemos bolígrafo, cuadernos, pupitres, el mismo docente, etc., y todo esto se vuelve un factor común de los estudiantes que participan en un salón de clases. El señor Monterrosa, tiene un terreno en una lotificación y compra dos lotes colindantes a los lados del terreno, pero necesita comprar un predio de 16 m 2 para que su terreno sea cuadrado y tenga las dimensiones siguientes: (ver ilustración) ¿Cómo puedes escribir las dimensiones del terreno del señor Monterrosa?
16 m2
x2
Indicadores de logro: Determinarás y aplicarás con seguridad el factor común polinomio en una o más expresiones algebraicas.
Resolverás con seguridad problemas utilizando el factor común monomio o polinomio
Factor común monomio En el polinomio, 5ac3+7bc2 – bc ¿Cuál es el factor que se encuentra en todos sus términos? Es “c”, por que es la variable (factor) que está presente en todos los términos; pero observas que tiene diferente exponente, entonces. ¿cuál de las tres es el factor común c3, c2 ,ó c?, la respuesta es “c”. Siempre tomarás la variable con su menor exponente. El polinomio factorizado, queda así: 5ac3+7bc2 – bc = c (5ac2 + 7bc –b)
Octavo Grado - Matemática 89
UNIDAD 2 Ejemplo 1 Factoriza 12x3y2 + 6x2yz −3xyz
Solución: 12x3y2 + 6x2yz −3xyz
Primero encuentras el MCD de los coeficientes:
12 6 3 4 2
3
1
Esto indica que el factor común de los coeficientes es 3. De la parte literal, los comunes son x, y, las tomas con su menor exponente. 3xy es el factor común del polinomio, por que 3xy, se repite en los tres términos. Ahora, divides cada término del polinomio entre el factor común:
12 x 3 y 2 6 x 2 yz 3 xyz + − 3 xy 3 xy 3 xy Luego escribes el factor común como producto del cociente de la división que efectuaste: 3xy(4x2y + 2xz − z) Y este seria la expresión factorizada por que si multiplicas el producto de esos factores obtienes 12x3y2 + 6x2yz −3xyz 3xy(4x2y + 2xz − z)
Entonces: 12x3y2 + 6x2yz − 3xyz = 3xy (4x2y + 2xz − z)
Ejemplo 2 Factoriza 4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 ¿Cómo encuentras el factor común?
Solución: Paso 1 4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 lo primero es encontrar el MCD de los coeficientes 4, 16 y 7.
Luego haces la división del polinomio entre el factor común: 4 m 3 n 4 p 2 16 m 2 n 3 p 3 7 m 2 n 2 + − 2 2 m 2n 2 m 2n 2 mn Y obtienes m2n2(4mn2p2 + 16np3 – 7) como respuesta: 4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 = m2n2 (4mn2p2 + 16np3–7)
Ejemplo 3
Pero en este caso no existe divisor común, por lo que afirmas que no hay factor común en los coeficientes. ¿Por qué dices que no hay factor común en los coeficientes?
Factoriza: 8x2 – 4x
Paso 2
Luego x es la variable común, la tomas con su menor exponente. Se tiene entonces que 4x es el factor común,
Encuentras el factor común de las variables, y observas que m, n está repetida en los tres términos, pero p no puede ser factor común dado que no está en el tercer término. Luego tienes que tomar las variables m, n con su menor exponente m2 y n2 entonces, el factor común es m2n2 .
90 Matemática - Octavo Grado
Solución: El MCD de los coeficiente 8 y 4 es igual a 4.
8x 2 4 x − = 2 x − 1 y obtienes un 4x 4x polinomio factorizado igual a 4x (2x – 1) Por lo tanto 8x2 – 4x = 4x (8x – 1)
divides entre 4x;
UNIDAD 2
Actividad
1
Factoriza: a) x
2
b) 24a
2
Factoriza:
+ xb 2
Actividad a) (n + 4) – 4x(n + 4)
xy − 36x y 2
2 4
b) 8m2n2(x – 1) + 2n(x – 1)
c) 34ax2 + 51a2y – 68ay2
c) (h + 2x) +3n2 (h + 2x) – 4y (h + 2x)
d) x3 – 6x4
d) 3x3(2n – 5) + (2n – 5)
e) a3 + a2 x + ax2
e) 4y2 (p – x) − (p – x)
f) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3
Factor común de polinomios Ejemplo 4 Factoriza: 3x2(2a + b) − 5(2a + b) ¿Cuál es el factor común? Observa que la expresión tiene dos términos 3x2(2a + b) y −5 (2a + b), en ambos términos se repite el factor (2a + b); por lo tanto el factor común es (2a + b)
Solución: Escribes (2a + b), y los términos que quedan los agrupas así:( 3x2 – 5) Entonces: 3x2(2a + b) − 5(2a + b) = (2a + b)(3x2 – 5) En este caso el factor común es un polinomio. (Binomio).
Ejemplo 5 Factoriza: 3m (5xy – 3) – (5xy – 3) ¿Cuál es el factor común? Observa y te darás cuenta que el factor común es el binomio (5xy – 3). Luego el coeficiente de (5xy – 3) es 1 por lo que al agrupar los coeficientes te queda 3m – 1.
Trinomio Cuadrado Si recuerdas el estudio de los productos notables el cuadrado de un binomio es un trinomio, observa los siguientes casos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a −b)2 = a2 − 2ab + b2 Los resultados a2 +2ab + b2 y a2 − 2ab + b2 son trinomios cuadrados perfectos porque son el resultado del cuadrado de un binomio.
Trinomio Cuadrado Perfecto ¿Cuándo un trinomio es cuadrado perfecto? Cuando una vez ordenado el trinomio, el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. La factorización de cuadrados perfectos la puedes obtener mediante el uso de una regla o desde el punto de vista geométrico, analizando esta expresión como el área de un cuadrado del cual quieres conocer las dimensiones de sus lados.
Solución: 3m (5xy – 3) – (5xy – 3) = (5xy – 3)(3m – 1)
Octavo Grado - Matemática 91
UNIDAD 2 Ejemplo 6
Ejemplo 7
¿Cúales son las dimensiones del terreno del señor Monterrosa?
Factoriza: x2 + 10x + 25
4
4x
16 m2
x2
x
x2
16 m2 4
4x
x
Solución: De la situación inicial retomas la representación gráfica. Observa que está dividido en cuatro regiones. Analizando cada una de las regiones del cuadrado anterior se observa que se puede escribir el cuadrado con los términos siguientes y sus áreas.
¿De que otra forma se puede factorizar?
Solución: Primero tienes que determinar si es un trinomio cuadrado perfecto, para hacerlo, observas si x2 y 25 tienen raíz cuadrada exacta.
x 2 = x y 25 = 5 luego multiplicas por dos las raíces 2(x)(5) y obtienes el segundo término del polinomio. En este caso es 2(x) (5) = 10x Entonces x2 + 10x + 25 es un trinomio cuadrado perfecto. Sumas ambas raíces con el signo del segundo término y el binomio resultante lo elevas al cuadrado así: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
Si sumas todas las áreas tienes:
Ejemplo 8
x2 + 4x + 4x + 16
Factoriza el siguiente trinomio: 100x2 − 20xy + y2
Como se tienen dos regiones iguales (4x), se suman las dos áreas obteniendo como resultado 8x; luego: x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x + 16
¿Qué diferencias observas en este trinomio?
R: Las dimensiones del terreno del señor Monterrosa son: (x + 4) por (x + 4) equivalente a: x2 + 8x + 16
Verificas si el trinomio está ordenado, es decir los términos que tienen raíz cuadrada exacta estén en los extremos de 100x2 − 20xy + y2, luego verificas si es un trinomio cuadrado perfecto. Extraes la raíz cuadrada a los términos de los extremos así:
Puedes decir que la factorización del trinomio cuadrado perfecto de este ejemplo es:
x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2
Solución:
Para 100x2 − 20xy + y2 .Verificas que 100 x 2 = 10 x y y2 = y A continuación verificas si al efectuar 2(10x) (y) obtienes el segundo término, en este caso, se cumple, lo que indica que es un Trinomio cuadrado perfecto. 100x2 − 20xy + y2 = (10x − y)2 ó (10x − y) (10x − y) Observa los signos
92 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 2
3
Actividad Factoriza los siguientes trinomios: a) x2 – 10x + 25 b) 36 – 12m
2
+m
4
c) 25n2 + 90nm + 81m2
En este ejemplo se tiene que x2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2) Se te sugiere que si te dificulta encontrar la pareja de números, puedes factorizar el término independiente, en x2 + 7x + 10 es 10
d) 9x2 + 12xy + 4y2 e) 1 + 20n + 100n
10 5 1
2
f) 4 − 16x2 + 64x2
Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos Ejemplo 9 Factoriza: x2 + 7x + 10: ¿Qué diferencias encuentras con los trinomios anteriores? ¿Es un trinomio cuadrado perfecto?
2 5
2 + 5 = 7; 2 por 5 es 10. Los números son 2 y 5 tienes que escribir como segundo término en cada paréntesis (x + 5) (x + 2), generalmente el número mayor se ubica en la primera posición.
Trinomio de la forma x2 + bx +c Se caracteriza por tener dos variables iguales, una cuadrática y una lineal y un término independiente, otra característica es que el término cuadrático siempre tendrá coeficiente 1. Por ejemplo: a) x2 + 5x – 6
Solución:
b) p2 – 2p + 1
Primero tienes que determinar que no es trinomio cuadrado perfecto, para lo cual verificas que el tercer término no tenga raíz cuadrada exacta. ¿Cómo lo resuelves?
c) a2 − 20a – 800
Lo descompones como el caso anterior en dos factores: (x + )(x + ), x es la raíz cuadrada del primer término. El signo del segundo término del primer binomio (+) es el que tiene el segundo término del trinomio, y el signo del segundo es el que resulta de multiplicar el primer signo por el signo del segundo término del trinomio:
Ahora observa cómo factorizar estos trinomios: Puedes pensar en el producto de dos binomios, pero como un proceso inverso: a2 +
ab + ac
= a2 +
(b + c) a
Producto de los términos comunes
Suma de los términos no comunes por el término común
(a + b)(a + c) =
bc
+ +
bc
Producto de los términos no comunes
+ por + = +
Observa que los dos signos son iguales. Cuando se tienen signos iguales buscarás dos números que sumados resulten el coeficiente del segundo término del trinomio en este caso es"7 " Y el resultado de estos mismos números multiplicados es el coeficiente del tercer término del trinomio. Para este trinomio es 10.
Octavo Grado - Matemática 93
UNIDAD 2 Ejemplo 10
Solución:
Factoriza: x2 + 2x – 15
Primero multiplicas el trinomio por el coeficiente de x2 que en este caso es “6”; pero cuando multiplicas por el segundo término, dejas indicado.
Solución: Como los signos son diferentes en x2 + 2x – 15 entonces los factores serán: (x + )(x – ) Es decir buscarás dos números que restados den el segundo término (2) y multiplicados (15). 15 5 1
3 5
5 − 3 = 2; 5 por 3 = 15
Por lo tanto x2 + 2x – 15 = (x + 5) (x − 3)
Ejemplo 11 Factoriza: −4y +3 + y2 ¿En este caso cómo resuelves?
Solución:
Así: 6 (6x2 + 7x + 2) = 36x2 – 6(7x) – 12 Luego lo expresas de la siguiente manera: (6x)2 + 7 (6x) + 12 Luego aplicas los mismos procedimientos que en el caso anterior, descomponiendo el trinomio siempre en dos factores, donde el primer término será la raíz cuadrada del primer término cuadrático (6x + ) (6x + ) usas el mismo criterio para colocar los signos en cada factor. Ahora, buscas dos números que sumados se obtenga 7 y multiplicados 12. 12 6 3 1
2 2 3
= 4
4 + 3 = 7 y 4 por 3 = 12
=3
Primero tienes que ordenar el trinomio y2 − 4y + 3, una vez ordenado procedes igual que los anteriores.
Tienes: (6x + 4) (6x + 3)
6, así , ( 6 x + 4 )( 6 x + 3 ) porque en este caso el 6 coeficiente de x2 es 6.
y2 − 4y + 3 = (y − ) (y − )
Los signos son iguales, por lo que buscas dos números que sumados resulten − 4y multiplicados 3; entonces los dos números que buscas son: 3 y 1 3 + 1 = 4; 3 por 1 = 3 Es decir: y2 − 4y + 3 = (y − 3) (y − 1)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Para no alterar la expresión, divides los factores entre
Procedes a simplificar buscando factor común en cada uno de los factores resultantes y el denominador (6) lo descompones en: 2 × 3. ( 6 x + 4 )( 6 x + 3 ) 2 ( 3 x + 2 ) 3 ( 2 x +1) = = ( 3 x + 2 )( 2 x +1) 2×3 2×3
Luego tienes que 6x2 + 7x + 2 = (3x + 2) (2x + 1)
Ejemplo 12 Factoriza: 6x2 + 7x + 2 ¿Qué diferencias observas con el caso anterior? ¿Cómo lo resuelves?
94 Matemática - Octavo Grado
Observa La expresión ax2 + bx + c, se diferencia del trinomio cuadrado estudiado antes en que el término x2 tiene coeficiente diferente de 1. Las siguientes expresiones tienen la forma anterior: 7y2 – 23m + 6 3x2 + 7x – 6; 2n2 + 11n + 5;
UNIDAD 2 Ejemplo 13 Factoriza: 5x2 + 13x – 6
Solución: 5x2 + 13x – 6 = 5 (5x2 + 13x – 6) = (5x)2 + 13(5x) – 30 = (5x + )(5x − ) Buscas dos números que restados resulte 13 y multiplicados 30 30 15 5 1
15 – 2 = 13 y 15 × 2 = 30
2 3 5
Luego (5x +15) (5x − 2)
Como se multiplicó por 5 entonces divides también por 5 ó simplificas. (5 x + 15)(5 x − 2) 5(x + 3)(5 x − 2) = = (x + 3)(5 x − 2) 5 5 Por lo tanto: 5x2 + 13x – 6 = (x + 3) (5x – 2)
4
Actividad Factoriza: a) x2 – 4x + 3
e) y2 + 7y + 6
i) 4c2 + 15c + 9
b) n2 – 9n + 20
f) n2 −2n − 35
j) 6x2 −5x − 6
c) c2 + 5c – 24
g) 2x2 +3x − 2
k) 20y2 + y −1
d) x2 − 4x + 3
h) 3n2 – 5n − 2
l) 2n2 +5n + 2
Resumen En esta lección hemos estudiado algunos casos de factorización: Caso Factor común monomio Factor común polinomio 2 Trinomio de la forma x + bx + c 2 Trinomio de la forma ax + bx + c
Ejemplo 6t – 4t – 2t = 2t(3t2 – 2t – 1) 3z(z + 3) + (z + 3) = (z + 3)( 3z + 1) 4y 2– 12yz + 9z2 = (2y – 3z)2 x2 + 2x – 24 = (x + 6)(x – 4) 3
2
4y2 + 3y – 10 = (y + 2)(4y – 5)
Octavo Grado - Matemática 95
UNIDAD 2
Autocomprobación Factoriza el siguiente polinomio: 2 x 2 + 9x + 4
3
a) (2x + 5) (x – 1)
a) (3x – 2)2
b) (x + 4) (2x + 1)
b) (3x – 2) (3x + 2)
c) (2x + 8) (2x + 1)
c) (3x + 2)2
d) (x + 1) (2x + 4)
d) (x – 2) (3x + 2)
Al descomponer en factores la expresión 20a 3b 2 − 45a 2b 5 resulta:
( 4a − 9b ) b) 5a b ( 4b − 9a ) c) 5ab ( 4 a b − 9ab ) d) 5a b ( 4 a − 9b ) 3 2
3 5
a) xz (8 + y) b) (8 + y) (x + z)
3
2
c) xz (8 + y)2
4
2 2
Cuando se factoriza el polinomio x (8 + y) + z (8 + y) resulta:
d) (8 + y)2 (x + z)
3
2. d.
a)
4
1. b.
2
Al factorizar el polinomio 9 x 2 − 12 x + 4 obtenemos:
Soluciones
1
3. a.
4. b.
EL TRIÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA
1
1
1
1 2
1
1
3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
96 Matemática - Octavo Grado
El triángulo de Pascal, o de Tartaglia, es un conjunto de números enteros, infinito, ordenados en forma de triángulo, que expresan coeficientes binomiales y se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3). Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los binomios como: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Solucionario Lección 1 Actividad 1. a) 3a3b3 − 2a2b2 + 4ab b)
8c 5 − 4 c 4 − 6 c + 2
Actividad 2.
9 2a 3 − a 2 + 5 2 4 2 2 3 d) 14 m n + mn − 3n 5 c)
a) 5a – 7b
d)
2x2– x + 3, residuo – 5
b) 2x2 + 3x +7 con residuo 15
e)
− 3x2+ 8x + 4 residuo 3x – 14
c) 2c2
– 3c + 1
Actividad 3. a) x2 + 4x + 9 residuo 20
d) 2a3 – 7a2 + 3a – 9 con residuo 20
b) m3 – m2 + 14m – 24 residuo 0
e) 8b4 + 8b3 + 8b2 + 5b +5 con residuo 40
c) 2a3 − 9a2 + 7a – 21
residuo 57
Lección 2 Actividad 1 a) 3x – 5
b) 4b
+ c
c) 7y + 6z
d) 9a – 10
Actividad 2. n 2 x 2 − nx + 1
c)
4 a 6 − 2a 3 y 3 + y 6
e) 1 + n 7 + n 14
b) 25 – 20y + 16y
d)
9 p 8 + 6 p 4r + 4r 2
f)
a)
9m 2 + 15mn + 25n 2
Actividad 3. a) no son divisibles
c) x3+ 2x2
b) 10x2 + 1
d) no son divisibles
f)
+ 4x + 8
e) 81h4 + 54h3 + 18h2 + 6h + 16
256 a 8 − 128a 7b + 64 a 6b 2 − 32a 5b 3 + 16 a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4 a 2b 6 − 2ab 7 + b 8
Octavo Grado - Matemática 97
Solucionario Lección 3 Actividad 1 b)
48
c) 4 m
d) 10 cm
Lección 4 Actividad 2 1. a) si son semejantes
b) no
2. a) n = 12
b) x = 8
c) si son semejantes
d) no 3. AB = 2.4
Lección 5 Actividad 1 a) x(x – b)
d) x3(1 – 6x)
b) 12xy2 (2a2 – 3xy2)
e) a (a2 + ax + x2)
c) a (34x2 + 51ay – 68y2)
f) 3a (3a – 4b + 5a2b2 – 8b3)
Actividad 2 a) (n + 4) (1 – 4x)
c) (h + 2x) (1 + 3n2 – 4y) e) (p – x) (4y2 – 1)
b) (x – 1)(8m2n2 + 2n)
d) (2n – 5)(3x3 + 1)
Actividad 3 a) (x – 5)2
c) (5n + 9m)2
e) (1 + 10n)2
b) (6 – m2)2
d) (3x + 2y)2
f) (2 – 8x)2
a) (x – 3) (x – 1)
e) (y + 6) (y + 1)
i) (4c + 3) (c + 3)
b) (n − 5 )(n – 4)
f) (n − 7 )(n + 5 )
j) (3x + 2) (2x – 3)
c) (c + 8) (c – 3)
g) (2x – 1) (x + 2)
k) (4y + 1) (5y − 1)
d) (x − 3)(x – 1)
h) (3n + 1) (n – 2)
l) (2n + 1) (n + 2)
Actividad 4
98 Matemática - Octavo Grado
Proyecto Un albañil tiene que construir una casa cuyo tejado sea de dos aguas que formen un ángulo de 120 º, como la figura.
120º
a) Clasifica el triángulo de acuerdo a sus lados y sus ángulos. b) Calcula la base del techo sobre la pared, si la altura del tejado es de 2 m. c) Al trazar la altura del techo se forman dos triángulos, obsérvalos, describe sus
características y clasifícalos de acuerdo a sus lados y ángulos.
d)
Una de las ventanas de la casa debe tener de área 4x2 − 2x, y quieren ubicar la puerta de vidrio y para comprarla tiene que conocer sus dimensiones, si un lado mide 2x − 1, ¿cuánto mide el otro lado?
Octavo Grado - Matemática 99
Recursos Materiales: regla, compás, transportador
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p. Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p. Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado
