Trigonometrische Funktionen
Wir wollen einer Zeichnung und nicht dem Taschenrechner mehrere Sinuswerte entnehmen und graphisch darstellen. Falls c = 1 ist, gilt a = sin α. Die Strecken der L¨ ange 1 liegen auf einem Kreis mit dem Radius 1.
c
a ·
α b
y
r=1 Die Bogenl¨ ange des Viertelkreises betr¨ agt Es ist sinnvoll, 90◦ bei
π 2
20◦
90◦ x
60◦
π . 2
abzutragen.
Um physikalische Schwingungsvorg¨ ange und biologische Rhythmen beschreiben zu k¨ onnen, wird die Sinusfunktion durch Aneinanderf¨ ugen der 90◦ -B¨ ogen so erweitert, dass eine zusammenh¨ angende, periodische Kurve entsteht. Uberdies bleiben bei einer derartigen Erweiterung die trigonometrischen S¨ atze auch f¨ ur stumpfwinklige Dreiecke (ein Winkel gr¨ oßer als 90◦ ) g¨ ultig.
y bc
bc
bc
bc
bc
x
120◦
20◦
M bc
bc
S
Dieselbe Kurve ergibt sich bei folgendem Vorgang: Eine Stange rotiert um den Punkt M . Licht f¨allt in Pfeilrichtung ein. Wir betrachten auf dem Schirm S den Schatten der Stange. Werden die zu den Winkeln x geh¨orenden Schattenl¨angen y in ein Koordinatensystem eingetragen, so entsteht erneut die Sinuskurve. Dieser rotierende Stab steht im Zusammenhang mit einer Pendelbewegung, so dass diese mathematisch erfasst werden kann.
c Roolfs
1
Trigonometrische Funktionen
y
f (x) = sin x
x
90◦
1 Periode
Der Graph von f (x) = cos x ergibt sich aus dem Graphen von f (x) = sin x durch eine Verschiebung nach links um 90◦ .
Das Bogenmaß
b α r=1 Umrechnungsformel: b α = 2π 360◦ Die Gr¨ oße des Winkels α kann eindeutig durch die L¨ ange des Bogens b erfasst werden.
Ausblick: Fourier (1768 - 1830) bewies, dass periodische Funktionen durch eine Summe einfacher trigonometrischer Funktionen approximiert werden k¨onnen. Die G¨ ute der N¨aherung steigt mit der Anzahl der Summanden. 8
1
1
1
y 2 1
1
f (x) = π (sin x+ 3 sin 3x+ 5 sin 5x+ 7 sin 7x+ 9 sin 9x 1
Skizziere die Graphen der Funktionen. ¨ Uberlege hierzu, wo die Nullstellen sind und wie groß die Amplitude ist. Die Amplitude ist die gr¨ oßte Abweichung von der x-Achse. a) f (x) = 2 · sin x
b) f (x) = sin 2x
c) f (x) = 1 + sin x
d) f (x) = sin(x − 20◦ )
e) f (x) = 2−x · sin x
f) f (x) = − sin x c Roolfs
2
2
3
4
5
6
x
Bogenmaß
Stelle dir vor, dass der Kreis mit dem Radius 1 (er kann jedoch auch vergr¨ oßert gezeichnet werden) auf der x-Achse abrollt und sie dabei beschriftet. Die Zahlen geben jeweils die L¨ ange des Kreisbogens an.
3 4 2 bc
5 1 6
5 4π
0
π
1
3
4
5
6
2π
x
3 4π
π 2
3 2π bc
7 4π
2
0
π 4 π 1 4
π 2
2
3 4π
3π
4
5
6
2π
x
π 2
2
3 4π
3π
4
5
6
2π
x
180◦ 225◦
270◦
135◦
90◦ bc
315◦
45◦ 0
π 1 4
c Roolfs
3
Sinus-, Cosinusfunktion
y
1
f (x) = sin x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f (x) = cos x
-1
Begr¨ unde, dass gilt: sin(α) = cos(90◦ − α) y
α
90◦ − α
Erl¨ autere die Beziehungen: a) sin x = − sin(−x) b) cos x = cos(−x) c) sin2 x + cos2 x = 1 π
d) sin(x + 2 ) = cos x
trigonometrische Formeln: e) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y f)
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
g) sin 2x = 2 sin x cos x h) cos 2x = cos2 x − sin2 x c Roolfs
4
x
9
10
11
x
Periodenl¨ange y f (x) = sin x
1
−π 2
π 2
3π 2
π
2π
5π 2
3π x
−1
Ein Vorgang, der sich in gleichen zeitlichen Abst¨ anden wiederholt, heißt Schwingung. Diese wird durch eine periodische Funktion erfasst. Es gilt dann: f (x) = f (x + n · a), n ∈ Z. Hierbei ist a die Periode. F¨ ur die Sinusfunktion ist a = 2π (oder ein Vielfaches davon). Pflanzt sich eine periodische Zustands¨ anderung im Raum fort, spricht man von einer Welle. Es gen¨ ugt, eine periodische Funktion auf einem (beliebig w¨ ahlbaren) Perioden-Intervall der L¨ ange a zu untersuchen. Es muss im Allgemeinen nicht das kleinste a sein.
Welche Periode hat g(x) = sin 2x ? ¨ Die folgende Uberlegung f¨ uhrt zu einer begr¨ undeten Antwort. 2x
sin
[ ?, ? ] −→ [ 0, 2π ] −→
∼
y f (x) = sin 2x
1
−π 2
π 2
3π 2
π
2π
5π 2
3π x
5π 2
3π x
−1
1
Untersuche g(x) = sin 2 x und formulierte den allgemeinen Zusammenhang. y 1
1
−π 2
g(x) = sin 2 x
π 2
3π 2
π
−1 c Roolfs
5
2π
Verschiebung
g(x) = sin(x − π) ist lediglich gegen¨ uber g(x) = sin x verschoben, nach rechts um π, gemeint ist nat¨ urlich der Graph.
y f (x) = sin(x − π)
1
−π 2
π 2
3π 2
π
3π x
5π 2
2π
−1 sin
x−π
[ π, 3π ] −→ [ 0, 2π ] −→
∼
Untersuche g(x) = sin(2x + π) und formulierte den allgemeinen Zusammenhang. 2x+π
sin
[ ?, ? ] −→ [ 0, 2π ] −→
∼ y
Welche Funktion passt zum Graphen? Tipp: Achte auf die Extrema.
8 7 6 5 4 3 2 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
c Roolfs
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
Vergleich mit der Sinusfunktion
f (x) = a sin(bx + c) + d
|a|
heißt Amplitude.
2π |b|
ist die Periode. Der Graph von sin(bx) geht aus dem Graphen von sin(x) durch 1 Streckung/Stauchung mit dem Faktor b hervor. c
sin(bx + c) = sin(b(x + b ))
Hieraus ist die Verschiebung des Graphen in x-Richtung unter Beachtung des Vorzeichens zu erkennen. ist die Verschiebung in y-Richtung unter Beachtung des Vorzeichens.
d
Mit [ 0, a ] ist auch [ 0, ka ] ein Periodenintervall, k ∈ Z. Zwei periodische Funktionen haben als gemeinsame Periode ein gemeinsames Vielfaches ihrer Perioden.
Welche Funktion passt zum Graphen? Tipp: Achte auf die Wendepunkte. y 5 4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5
c Roolfs
7
2
3
4
5
x
Sinusfunktionen ermitteln
Welche Sinusfunktion passt zum Graphen?
y a) 1
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
-1
b) y 6
4
2
-10
10
20
-2
c Roolfs
8
30
x
Sinusfunktionen ermitteln
Ergebnisse
Welche Sinusfunktion passt zum Graphen?
y a) 1
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
-1
f (x) = 1,5 · sin(1,848(x − 0,4))
b) y 6
4
2
-10
10
20
-2
f (x) = 5 · sin(0,449(x − 8)) + 2
c Roolfs
9
30
x
Sinus-Regression
GTR
Mit dem GTR kann zu gegebenen Messpunkten eine m¨ oglichst gut passende Sinusfunktion bestimmt werden. Dazu werden zun¨ achst die Koordinaten z.B. in die Listen L1 und L2 (STAT, EDIT) eingegeben. Mit dem Befehl STATPLOT (STAT, CALC) kann man einen Plot der Werte festlegen. Das Bestimmen der Funktionsgleichung erfolgt z. B. mit: SinReg L1, L2, 10, Y1 Die Periode (hier 10) sollte unbedingt angegeben werden. Bei der grafischen Ausgabe ist der Modus Bogenmaß zu beachten.
c Roolfs
10
