Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013
4 3 2 1
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1 −2
1
2
3
4
1 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = 1) und einen beliebigen Winkel α.
r=1 x α −1
−1
Der Kreis beschreibt einen Winkel von 360 Grad. Die L¨ange der Kreislinie ist U = 2πr. Wegen r = 1 gilt U = 2π. Es scheint plausibel, dass anstatt Grad auch die L¨ange des Kreisbogens (rot) als Maß f¨ ur den Winkel α herangezogen werden kann. In beiden F¨allen tun wir das in Relation zum Gesamtkreis. Es muss also gelten: α x = 360 2π wobei x die L¨ ange des Kreisbogens ist, den der Winkel α aufspannt. Hieraus ergeben sich unmittelbar die Umrechnungsformeln f¨ ur Winkel nach Bogenmaß und umgekehrt als simpler Dreisatz. Ist α im Gradmaß gegeben, ermittelt man das Bogenmaß x durch Aufl¨osen der Verh¨altnisgleichung nach x. α x= · 2π 360 Ist umgekehrt das Bogenmaß x des Winkels gegeben, l¨ost man die Verh¨altnisgleichung nach α auf: x · 360 α= 2π Beispiel: Berechne α = 30 Grad im Bogenmaß:
2
Einsetzen in die Formel liefert: x
=
x
=
x
=
30 · 2π 360 60 · pi 360 π 6
Berechne π3 im Gradmaß: Einsetzen in die Formel liefert: α = α = α =
· 360 2·π 120 · π 2·π 60 π 3
1.1 Spezielle Werte Die Werte der folgenden Tabelle sollten Sie kennen. Es w¨are sinnvoll, sie mit der Formel als ¨ Ubung zu verifizieren: Gradmaß Bogenmaß
0 0
30 π/6
45 π/4
60 π/3
90 π/2
2 Sinus und Cosinus Wir betrachten wieder den Einheitskreis
P r=1 α −1
cos α
−1
3
sin α x . 1
Der Schnittpunkt des Winkelschenkels mit der Kreislinie ist P . Analog zur Definition am rechtwinkligen Dreieck (Schule) entspricht der Sinus von α der gr¨ unen senkrechten Strecke von P auf die x-Achse und die waagerechte blaue Linie dem Cosinus von α. Die Koordinaten von P sind also P = (cos α, sin α) In der Schule wurden Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck erkl¨art. C b a A
B
c
Hieraus resultieren die folgenden Zusammenh¨ange:
sin α =
a =⇒ a = c sin α c
cos α =
b =⇒ b = c cos α c
Analog ergibt sich dann f¨ ur den Punkt P bei einer Drehung entlang der Kreislinie mit Radius r > 0:
P = (r · cos α, r · sin α)
L¨asst man P gegen den Uhrzeigersinn um die Kreislinie laufen, erkennt man ferner, dass die Werte von Sinus und Cosinus stets zwischen −1 und +1 liegen. y
y 1
f (x) = sin(x)
1 α x −2π
−1
−π
π
−1
2π
3π
−1 f (x) = cos(x)
Offensichtlich ist auch, dass sich nach Durchlauf einer kompletten Drehung alles wiederholt. sin und cos besitzen die Periode 2π Gew¨ohnen Sie sich auch bitte daran, dass die Argumente der trigonometrischen Funktionen in der Regel im Bogenmaß angegeben sind.
4
x
Bogenmaß sin cos
√0 0 √ 2 4 =1 2
√ π/6 1 =0.5 2√ 3 2
π/4 √ 2 √2 2 2
π/3 √ 3 √ 2 1 =0.5 2
√π/2 4 =1 2 0
Beispiel: Herleitung von cos π3
C
1
60
60
60 A
H
B
C
H
B 60 30
A ∆ABC ist gleichschenklig, also gilt
∢ABC = ∢ACB =
1 1 1 (180−∢BAC) =⇒ ∢ABC = ∢ACB = (180−∢BAC) = (180−60) = 60 2 2 2
Somit ist ∆ABC gleichseitig mit Seitenl¨ange 1. Der H¨ohenfußpunkt H liegt in der Mitte der π Grundseite, also cos = 0.5. Mit Pythagoras folgt, dass in einem gleichseitigen Dreieck mit Sei3√ 3 tenl¨ange a die H¨ ohe a betr¨ agt. Im rechtwinkligen Dreieck ∆AHC ergibt sich mit Pythagoras 2 2
2
AH + HC 2 1 2 + HC 2 HC
2
= AC
2
= 12 =
√ 3 3 =⇒ HC = da HC > 0. 4 2
√ 3 π π also cos = sin = . 6 3 2 5
3 Eigenschaften von sin und cos y 1 x −π
−3π 2
3π 2
π
π 2
−π 2
−1
3.1 Additionstheoreme F¨ ur alle x, y ∈ R gilt: sin2 x + cos2 x = sin(x + y) = cos(x + y) =
1
(Pythagoras)
sin x cos y + cos x sin y cos x cos y − sin x sin y
Insbesondere gilt sin(2x)
= 2 sin x cos x
cos(2x)
= cos2 x − sin2 x
Beweis der wichtigen Spezialf¨ alle sin(2x)
= sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x
cos(2x)
= cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2 x − sin2 x
Schreibweise sin2 x = (sin x)2 , sin2 x 6= sin x2 .
sin und cos sind periodisch mit Periode 2π, d.h.
[cos(x + 2π) = cos x cos(2π) − sin x sin(2π)] | {z } | {z }
cos(x + 2π) =
cos x,
sin(x + 2π) =
sin x [sin(x + 2π) = sin x cos(2π) + cos x sin(2π) = sin x] | {z } | {z }
=1
=1
Symmetrie
sin(−x) = − sin x cos(−x) = cos x
6
=0
=0
Umrechnung sin x cos x
π = cos x − 2 π = sin x + 2
denn: π = cos x − 2 = π analog sin x + = cos x. 2
cos x cos(−π/2) − sin x sin(−π/2) = sin x sin(−π/2) − sin x · (−1) = sin x
Nullstellen im Intervall [0, 2π] sin x = 0 ⇐⇒ x ∈ {0, π, 2π} π 3π cos x = 0 ⇐⇒ x ∈ , 2 2 Alle Nullstellen: Wegen der Periode 2π unterscheiden sich die Nullstellen jeweils um Vielfache von 2π: sin x = 0 ⇐⇒ x = 0, π, 2π, . . . , −π, −2π . . . ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = kπ π 3π π π 3π ...− ,− ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = + kπ cos x = 0 ⇐⇒ x = , 2 2 2 2 2 Beispiel: Bestimme alle L¨ osungen im Intervall [0, 2π] 1 sin 2x − cos x = 0 2
(∗).
L¨osung: Aus dem Additionstheorem folgt sin 2x = sin(x + x) = 2 sin x cos x also in (∗) eingesetzt 0 = (∗)
sin x cos x − cos x = cos x(sin x − 1) ⇐⇒ cos x = 0 oder sin x = 1
Auf dem Einheitskreis: sin x = 1 ⇐⇒ x = π2 cos x = 0 ⇐⇒ x ∈
{ π2 , 3π 2 }.
Somit ergibt sich die L¨osungsmenge L =
Beispiel: Bestimme alle reellen L¨ osungen. 1 sin 2x − cos x = 0 2
7
(∗).
π 3π , 2 2
L¨osung: Wie oben folgt cos x = 0 oder sin x = 1 Beide Gleichungen haben unendlich viele L¨osungen. Man bekommt sie aus obigem Beispiel, indem man Vielfache von 2π addiert: Auf dem Einheitskreis: π sin x = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = + 2πk 2 π cos x = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = (2k + 1). Somit ergibt sich 2 π L = {x ∈ R|∃k ∈ Z : x = (2k + 1)} 2 Beispiel: L¨ose die Gleichungen √ 3 sin x = 2 √ 3 . cos x = 2 zun¨achst auf [0, 2π] und dann auf R. L¨osung: √ 3 π Laut Wertetabelle gilt sin = . Auf dem Einheitskreis ergibt sich die zweite L¨osung in [0, 2π]: 3 2 2π x= . Durch periodische Fortsezung folgt f¨ ur die erste Gleichung 3 o 2π nπ + 2kπ|k ∈ Z ∪ + 2kπ|k ∈ Z . L= 3 3 √ 3 π Laut Wertetabelle gilt cos = . Auf dem Einheitskreis ergibt sich die zweite L¨osung in 6 2 11π [0, 2π]: x = . Durch periodische Fortsetzung folgt f¨ ur die erste Gleichung 6 o 11π nπ + 2kπ|k ∈ Z ∪ + 2kπ|k ∈ Z . L= 6 6
8