Mathematik Lerneinheit 6
Trigonometrische Funktionen Leitidee Einheitskreis, periodische Funktionen, Funktionen, Umkehrfunktion, SinusSinus- und Kosinussatz, Kosinussatz, Schwingungen Theorie, Übungen, Partnerinterviews, dynamische Experimentiervorlagen, Experimentiervorlagen, Lernkontrollen
Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei) Mathematik ist nicht alles. Aber ohne Mathematik ist alles nichts.
Benno Frei ©2012/13
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Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS 1
Leitidee periodische Funktionen................................................................................................... 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2
Berechnungen am beliebigen Dreieck ....................................................................................... 75 2.1 2.2
3
Sinussatz und Kosinussatz ..................................................................................................... 75 Geometrie Memos allgemeines Dreieck ............................................................................... 88
Die allgemeine Sinusfunktion..................................................................................................... 94 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
4
Definition am Einheitskreis...................................................................................................... 4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant.................................................... 10 Erweiterung der Winkelfunktionen...................................................................................... 16 Funktionsgraph der Winkelfunktionen ............................................................................... 27 Eigenschaften der Winkelfunktionen ................................................................................... 32 Umkehrfunktionen .................................................................................................................. 38 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens......................................................... 47 Trigonometrische Gleichungen ............................................................................................. 52 Repetitionstest trigonometrische Funktionen ..................................................................... 68
Funktionstransformationen Sinusfunktion.......................................................................... 95 Memo allgemeine Sinusfunktion ........................................................................................ 101 Dynamische Arbeitsblätter................................................................................................... 103 Anwendung Modellbildung ................................................................................................ 108 Anwendung Biorhythmen ................................................................................................... 111 Sinus als Polynom ................................................................................................................. 113
Anwendung Schwingungen....................................................................................................... 114 4.1 4.2 4.3
Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung ................................................................ 114 Beispiele von Schwingungen ............................................................................................... 121 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik .......................................................... 123
Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei) Mathematik ist nicht alles. Aber ohne Mathematik ist alles nichts.
DialogMathe © Mathematik Lerneinheit 6 Skript Trigonometrische Funktionen 2012/13 Leitidee Einheitskreis, periodische Funktionen, Umkehrfunktion, Sinus- und Kosinussatz Theorie, Übungen, Partnerinterviews, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen Von Benno Frei ©
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Vorwort
Zum Inhalt
Kapitel 1
Wir erweitern die am rechtwinkligen Dreieck gewonnenen trigonometrischen Beziehungen auf beliebige Winkel. Dazu benutzen wir den Einheitskreis. Wir studieren die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Dabei stehen uns zwei verschiedene Repräsentationsformen zur Verfügung: Die Funktionsgraphen und die Darstellung am Einheitskreis. Die Zusammenhänge zwischen den beiden Darstellungsformen ist für das Verständnis von entscheidender Bedeutung. Weiter studieren wir die Umkehrfunktionen (Arcus-Funktionen) der trigonometrischen Funktionen. Wir lernen Gleichungen zu lösen, in denen die Unbekannte in den trigonometrischen Funktionen vorkommen. Für dieses Unterfangen braucht es geeignete Strategien und vor allem Kenntnisse von den Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.
Kapitel 2
In diesem Kapitel führen wir Berechnungen am beliebigen Dreieck durch. Dazu ist der Sinus- und Kosinussatz erforderlich. Es werden dir Strategien vorgestellt, mit denen diese Berechnungen effizient durchgeführt werden können. Bei diesen Problemstellungen entstehen Gleichungen oder Gleichungssysteme, die wir mit Hilfe des Rechners lösen werden, wobei hier ein behutsames Vorgehen angezeigt ist.
Kapitel 3
In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Sinusfunktion. Dabei können wir die Regeln für die Funktionstransformationen anwenden. Einige praxisorientierte Beispiele zeigen dir, wie die allgemeine Sinusfunktion in der Modellbildung angewendet werden kann.
Kapitel 4
Technische Anwendung: Schwingungen. Wir erhalten eine harmonische Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung. Diese Tatsache zeigt dir nochmals die Zusammenhänge zwischen den zwei Darstellungsformen Einheitskreis und Funktionsgraph auf.
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Definition am Einheitskreis
1 Leitidee periodische Funktionen trigonometrische Funktionen, Bedeutung in der Technik Die trigonometrischen Funktionen spielen in der Technik und dort vor allem zur Beschreibung von periodischen Vorgängen eine bedeutende Rolle. Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im Gegensatz zu anderen Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im geometrischen Bereich. Unsere Einführung in die trigonometrischen Funktionen wird ihrer geometrischen Herkunft Rechnung tragen. Die elektromagnetischen Phänomene (siehe Abbildung elektromagnetisches Spektrum, Seite 3), die unseren Alltag prägen, lassen sich alle mit dem Modell der trigonometrischen Funktionen einheitlich beschreiben (Schwingungen und Wellenausbreitung). Wellen können durch ihre Wellenlänge λ, ihre Frequenz f und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c beschrieben werden. Dabei besteht bei allen Wellen zwischen diesen drei Grössen der Zusammenhang: c = λ ⋅ f . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit für eine elektromagnetische Welle (z.B. Licht) beträgt in Luft c = 3 ⋅ 108 ms−1 . In der modernen Physik werden die Wellen auch als Energiepakete (Teilchen, Quanten, Photonen) beschrieben: E = h ⋅ f , wobei h = 4,14 ⋅ 10−15 eVs das Plancksche Wirkungsquantum ist. Die heutige Theorie der Materie und ihre Wechselwirkungen werden durch die Quantenphysik beschrieben, die als wesentliches Prinzip den sogenannten Welle-Teilchen Dualismus beinhaltet (Licht ist sowohl Welle als auch Teilchen). Eine eindimensionale nach rechts laufende Sinus-Welle kann durch die folgende Funktion beschrieben werden:
2π y ( x,t ) = ym ⋅ sin ⋅ ( x − c ⋅ t ) λ
http://www.walter-fendt.de/ph11d/emwelle.htm Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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Leitidee periodische Funktionen
Die elektrische Energie ist heute aus der Technik und dem alltäglichen Leben nicht mehr wegzudenken. Durch das Induktionsgesetz können mittels Generatoren Wechselspannungen erzeugt werden.
U ( t ) = U0 ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ0 ) wobei ω = 2π ⋅ f die Kreisfrequenz, ϕ0 die Phasenverschiebung und U0 die Amplitude sind.
http://www.walter-fendt.de/ph14d/generator.htm Induktionsgesetz Periodische Bewegung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ induziert eine Spannung Uind = −
∆Φ (Änderungsrate des mag. Flusses = Spannung) ∆t
Leider bringen die Errungenschaften der Technik immer auch Nachteile mit sich. Probleme wie Elektrosmog, Treibhauseffekt (IR-Strahlung), Ozonloch (UV-Strahlung) und Radioaktivität (Gammastrahlung) sind heute ernstzunehmenden Bedrohungen für unser Leben geworden. Mathematische Modelle können uns Zusammenhänge aufzeigen und uns bei einem ganzheitlichen Systemdenken behilflich sein. Dazu gehört auch die Einsicht, dass die komplex vernetzten Probleme in der Praxis nicht nur durch einseitiges technisches Denken und Handeln zu lösen sind, genauso wie die Einsicht, dass fundierte Kenntnisse der Naturwissenschaften beim Suchen nach optimalen Kompromissen unerlässlich sind.
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Definition am Einheitskreis
Elektromagnetisches Spektrum
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Leitidee periodische Funktionen
1.1 Definition am Einheitskreis 1.1.1 Definition Bogenmass Unter dem Bogenmass eines Winkels verstehen wir die Masszahl der Länge des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis. Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Mass, Winkel durch Zahlen und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmass. Die Grundidee liegt dabei in der Beobachtung, dass jeder Winkel, im Mittelpunkt eines vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert. Da allerdings ein Winkel bei verschieden grossen Kreisen unterschiedlich grosse Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis zwingend. Einheitskreis Zur Winkelmessung durch Bögen werden wir daher stets einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems zugrunde legen, den sog. Einheitskreis. Jedem gemäss nebenstehender Skizze eingetragenem Winkel α kommt nun neben seinem
⌢
(orientierten) Gradmass α auch sein (orientiertes) Bogenmass α = b , d.h. die Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht sich der Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, dass im Gegenuhrzeigersinn eingezeichnete Winkel positive Masszahlen haben, und Winkeln, die im Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Masszahlen zukommen. Der Winkel im Bogenmass ist eine Zahl und hat somit keine Einheit (Masszahl der Bogenlänge). Um den Winkel im Bogenmass trotzdem mit einer Einheit nennen zu können, wird das rad (Radiant) verwendet.
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Definition am Einheitskreis
1.1.2 Dynamisches Arbeitsblatt Bogenmass Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_Bogenmass Zeit: 10 Minuten
:α = b. Wir beschreiben den Winkel α mit Hilfe der Länge des Bogens AB
Da die Bogenlänge vom Radius abhängig ist, wählen wir einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis). Der Punkt B auf dem Einheitskreis lässt sich mit der Maus bewegen. So kannst du den Winkel α ändern. Arbeitsaufträge: 1) Beim Vollwinkel α = 3600 ist die Bogenlänge b = 2π ⋅ r = U gleich dem Kreisumfang U. Speziell im Einheitskreis b = U = 2π . b Bogenlänge Mach dir klar, dass der Quotient = als Winkelmass für α r Radius verwendet werden kann. 2) Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass? 3) Verändere den Winkel α durch Bewegen von B. Gib folgende Winkel im Bogenmass als Vielfache von π an: 180 , 300 , 450 , 600 , 900 , 1200 , 1350 ,
1500 , 1800 , 2100 , 2250 , 2400 , 2700 , 3000 , 3150 , 3300 , 3600 . 4) Welcher Winkel im Gradmass gehört zum Winkel α = 1 . 5) Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt.
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Leitidee periodische Funktionen
1.1.3 Übungen Bogenmass Umrechnung Die Umrechnungen vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt beruhen auf einem Dreisatz. Ein gestreckter Winkel α = 1800 entspricht im Bogenmass dem halben Kreisumfang im Einheitskreis (r = 1): α = Merke:
180o
U 2π ⋅ r = = π. 2 2
(α im Gradmass) = π (α im Bogenmass)
α (im Bogenmass) =
π ⋅ α (im Gradmass) 180o
α (im Gradmass) =
180o ⋅ α (im Bogenmass) π
Wichtige Winkel Rechne die angegebenen Winkel vom Gradmass ins Bogenmass um. Gib die Winkel als Vielfaches von π an. Gradmass
0o
30o
45o
180o
210o
60o
90o
120o
135o
150o
Bogenmass
Gradmass
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
Bogenmass Gib die Winkel im Bogenmass an: 1) als Vielfaches von π , 2) als reelle Zahl a) 10o
b) 3o
c) 67o
e) 0,5 o
f) 36,6o
g) 155o
d) 100o
Gib die Winkel im Gradmass an. a) 2 rad
d) 6
2 rad
b)
e)
2 7
⋅ π rad
22 7
rad
c) 0,234 rad
f)
5 8
rad
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Definition am Einheitskreis
1.1.4 Punkt P im ersten Quadrant Winkel α ∈ 0 o ; 90 o Wir betrachten rechtwinklige Dreiecke OBP, wobei die Ecke O im Koordinatenursprung, die Ecke B auf der x-Achse und die Ecke P auf dem Einkeitskreis liegen. Für solche Dreiecke gilt: Länge der Hypotenuse OP = 1 Länge der Gegenkathete BP = sin ( α ) Länge der Ankathete OB = cos ( α ) Die Koordinaten des Punktes P betragen: P ( cos ( α ) | sin ( α ) )
Wir erhalten ein weiteres rechtwinkliges Dreieck OCD, indem wir den Strahl OP mit der Tangente an den Einheitskreis im Punkt C ( 1| 0 ) schneiden (Schnittpunkt D). Für diese Dreiecke gilt: Länge der Ankathete OC = 1 Länge der Gegenkathete CD = tan ( α ) Tangensträger Der Tangens liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt C ( 1| 0 ) . Diese Tangente nennen wir Tangensträger.
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Leitidee periodische Funktionen
1.1.5
Definition sinα α und cosα cosα am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ] Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 90 o Da die Längen der Dreieckseiten keinen Einfluss auf die Seitenverhältnisse haben (Strahlensatz!), platzieren wir das rechtwinklige Dreieck OBP in den Einheitskreis (O im Koordinatenursprung, P auf dem dem Einheitskreis, B auf der x-Achse). Achse). Dadurch wird die Hypotenuse OP = 1 und wir erhalten aus den Definitionen für sin(α ) und cos(α ) :
sin( α ) =
Gegenkathete = Gegenkathete = y − Koordinate des Punktes P Hypotenuse
cos(α ) =
Ankathete = Ankathete = x − Koordinate des Punktes P Hypotenuse
Arbeitsaufträge: 1. Verändere den Winkel α ∈ 0 o ; 90 o und beobachte die Koordinaten des Punktes P ( x | y )
→ P ( cos ( α ) | sin ( α ) ) . Was stellst du fest?
2. Bestimme die Funktionswerte sin(α ) , cos(α ) für α = 0o und α = 90o . 3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel α ∈ 0 o ; 90 o gilt:
sin2 ( α ) + cos2 ( α ) = 1
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1.1.6
Definition am Einheitskreis
Definition tanα α am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_tan_am Einheitskreis [ 0 bis bis 90 ] Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 90 o Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete OC = 1 . Damit erhalten wir mit Hilfe der Definition des tan(α ) : tan( α ) =
Gegenkathete = Gegenkathete = CD Ankathete
Tangensträger: Der tan(α ) liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt C ( 1| 0 ) . Arbeitsaufträge: 1. Verändere den Winkel α ∈ 0 o ; 90 o und beobachte die Strecke
CD = tan(α ) 2. Bestimme die Funktionswerte tan(0o ) . Was kannst du über den Wert
tan(90o ) sagen? 3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel α ∈ 0 o ; 90 o gilt:
sin ( α ) tan ( α ) = cos ( α )
Kommentiere: tan ( 90
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o
sin ( 90o )
) = cos
( 90o ) 9
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Leitidee periodische Funktionen
1.2 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant Winkel α ∈ 0 o ; 90 o : Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck. Da im rechtwinkligen Dreieck ausser dem rechten Winkel nur spitze Winkel vorkommen, sind die trigonometrischen Funktionen bisher nur für spitze Winkel definiert.
1.2.1
Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Bild links:
Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten α ∈ 0o ; 90 o
sin ( α ) = CA = y − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis Bild rechts:
Funktionsgraph der Sinusfunktion sin ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o
Beachte:
Der Winkel α ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. Der Winkel α = 60o wird durch die Bogenlänge α = b = π beschrieben. 3 Graph der Sinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die y-Koordinate Koordinate des Punktes A zugeordnet.
Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 90 o (Bogenlänge b ∈ 0 ; π ) 2
Arbeitsaufträge: 1. Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von sin ( α ) . 2. Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion. ∆y
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten ∆x erfasst werden ∆y
( vgl. Gerade m = ∆x = konstant , Steigung der Geraden) 10
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
1.2.2 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Bild links: Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten α ∈ 0o ; 90 o
cos ( α ) = BC = x − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis Bild rechts:
Funktionsgraph der Kosinusfunktion cos ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o
Beachte: Der Winkel α ist sowohl sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. Der Winkel α = 60o wird durch die Bogenlänge α = b = π beschrieben. 3 Graph der Kosinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die x-Koordinate Koordinate des Punktes A zugeordnet. Schieberegler : Winkel α ∈ 0 o ; 90 o (Bogenlänge b ∈ 0 ; π ) 2
Arbeitsaufträge: 1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von cos ( α ) . 2) Beobachte und beschreibe beschreibe das Änderungsverhalten der Kosinusfunktion. Das ∆y
Änderungsverhalten kann durch den Quotienten ∆x erfasst werden ∆y
(vgl. Gerade m = ∆x = konstant , Steigung der Geraden)
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Leitidee periodische Funktionen
1.2.3 Dynamisches Arbeitsblatt SinusSinus und Kosinusfunktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin und cos_0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion Bild links:
sin ( α ) = CA = y − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis cos ( α ) = BC = x − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis
Bild rechts:
Funktionsgraph der Kosinusfunktion cos ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o Funktionsgraph der Sinusfunktion sin ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o
Schieberegler : Winkel α ∈ 0 o ; 90 o (Bogenlänge b ∈ 0 ; π ) 2
Arbeitsaufträge: 1) Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. 2) Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Welche Bedeutung hat diese Symmetrie? 3) Begründe die Identität: sin ( α ) = cos ( 90o − α ) (Identität = Aussage, die wahr ist für alle Winkel α ∈ 0 o ; 90 o . Für die Begründung kannst du das Bild rechts (Funktionsgraphen) oder das Bild links (Dreieck (Dreieck ABC im Einheitskreis) benützen!
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1.2.4
Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Bild links:
Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten α ∈ 0o ; 90 o . Der Strahl [BA durch α definiert schneidet den Tangensträger im Punkt H.
Bild rechts:
tan ( α ) = DH = y − Koordinate des Punktes H
Funktionsgraph der Tangensfunktion tan ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o
Beachte: Der Winkel α ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. Der Winkel α = 60o wird durch die Bogenlänge α = b = π beschrieben. 3 Graph der Tangensfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die y – Koordinate des Punktes H auf dem Tangensträger zugeordnet. Schieberegler : Winkel α ∈ 0 o ; 90 o (Bogenlänge b ∈ 0 ; π ) 2
Arbeitsaufträge: 1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von tan ( α ) . 2) Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion. ∆y
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten ∆x erfasst werden ∆y
(vgl. Gerade m = ∆x = konstant , Steigung der Geraden). Lerneinheit 6 | Trigonometrische igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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Leitidee periodische Funktionen
1.2.5
Dyn. Arbeitsblatt Sinus-, Sinus Kosinus- und Tangensfunktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Verlauf der Sinus- Kosinus- und Tangensfunktion Bild links:
sin ( α ) = CA = y − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis cos ( α ) = BC = x − Koordinate des Punktes A auf dem Einheit Einheitskreis tan ( α ) = DH = y − Koordinate des Punktes H auf dem Tangens Tangensträger
Bild rechts:
Funktionsgraph sin ( α ) , cos ( α ) und tan ( α ) für Winkel α ∈ 0o ; 90 o
Schieberegler : Winkel α ∈ 0 o ; 90 o (Bogenlänge b ∈ 0 ; π ) 2
Arbeitsaufträge: 1) Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität: sin ( α ) tan ( α ) = . cos ( α ) 2) Beobachte den Verlauf von sin ( α ) und tan ( α ) für kleine Winkel α .
3) Analysiere: sin ( α ) = cos ( α )
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⇒
α = 45 o
⇒
tan ( 45 o ) = 1
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Erweiterung der Winkelfunktionen auf beliebige Winkel Die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck lassen sich nun so erweitern, dass diese für beliebige Winkel definiert sind.
Durch die Definition am Einheitskreis werden die Winkelfunktionen als Koordinaten des Punktes P ( cos ( α ) | sin ( α ) ) definiert. Im ersten Quadranten sind die Koordinaten x und y positiv.
Eine erweiterte Definition ermöglicht, dass der Punkt P in einem beliebigen Quadranten liegt. Dabei gelten die gleichen Definitionen wie im 1. Quadrant, wobei jetzt die Koordinaten auch negativ sein können.
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Leitidee periodische Funktionen
1.3 Erweiterung der Winkelfunktionen Punkt P im zweiten Quadrant Winkel α ∈ 90o ; 180o
Punkt P im dritten Quadrant Winkel α ∈ 180 o ; 270 o
Punkt P im vierten Quadrant Winkel α ∈ 270o ; 360 o
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1.3.1
Erweiterung der Winkelfunktionen
Dyn. Arbeitsblatt Definition am Einheitskreis [ 90 bis 360 ] Dynamisches Arbeitsblatt Definition TrigoFunktion Einheitskreis [90 bis 360] Zeit: 10 Minuten
Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. sin(α ) = y − Koordinate des Punktes P cos(α ) = x − Koordinate des Punktes P tan(α ) = y − Koordinate des Punktes D auf dem Tangensträger Tangensträger
Schieberegler: Winkel α ∈ 0 0 ; 360 0 Arbeitsaufträge: 1) Verändere den Winkel α ∈ 0 0 ; 360 0 und beobachte die Koordinaten des Punktes P ( x | y )
→ P ( cos ( α ) | sin ( α ) ) sowie die y-Koordinate y des
Punktes D auf dem Tangensträger. Was stellst du fest bezüglich Vorzeichen? 2) Betrachte die Funktionswerte für α = 00 ,900 ,1800 ,2700 ,3600 am Einheitskreis. 3) Wie kannst nst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B. α = 1350 am Einheitskreis berechnen? 4) Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel α ∈ 0 0 ; 360 0 gilt: (1) sin2 ( α ) + cos2 ( α ) = 1 (2) tan ( α ) =
sin ( α ) cos ( α )
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Leitidee periodische Funktionen
MERKE: Wenn du nicht mehr weiter weisst, dann zeichne dir einen Einheitskreis!
1.3.2 Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen 1. Quadrant α ∈ 0 ; π
2. Quadrant α ∈ π ; π
3. Quadrant α ∈ π ; 32π
4. Quadrant α ∈ 32π ; 2π
+ + +
+ – –
– – +
– + –
2
sin ( α ) cos ( α ) tan ( α )
2
1.3.3 Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ] Beispiel α = 1500
sin ( 1500 ) = 1
2
cos ( 1500 ) = − 3
2
(
tan ( 1500 ) = 1 ⋅ − 2 2 3
)
=− 1 =− 3 3 3
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Erweiterung der Winkelfunktionen
1.3.4 Partnerinterview Definition der trigonometrischen Funktionen Partnerinterview Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen Zeit: 10 Minuten Wie sind sin ( α ) , cos ( α ) und tan ( α ) am Einheitskreis definiert?
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen. Fülle die Tabelle aus! 1. Quadrant α ∈ 0 0 ; 90 0
2. Quadrant α ∈ 90 0 ; 180 0
3. Quadrant α ∈ 1800 ; 2700
4. Quadrant α ∈ 270 0 ; 360 0
sin ( α )
cos ( α )
tan ( α )
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Leitidee periodische Funktionen
1.3.5 Partnerinterview exakte Werte für spezielle Winkel 90 bis 360 Partnerinterview Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ] Zeit: 10 Minuten 2. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!) α = 1200
α = 1350
α = 1500
α = 1800
sin ( α )
cos ( α )
tan ( α )
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Erweiterung der Winkelfunktionen
3. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!) α = 2100
α = 2250
α = 2400
α = 2700
sin ( α )
cos ( α )
tan ( α )
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Leitidee periodische Funktionen
4. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!) α = 3000
α = 3150
α = 3300
α = 3600
sin ( α )
cos ( α )
tan ( α )
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1.3.6
Erweiterung der Winkelfunktionen
Repetitionstest Repetitionstest Winkelfunktionen Was muss ich können? • Ich kenne die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis. •
Ich kann zu einem gegebenen Winkel die Vorzeichen der Winkelfunktionen ablesen.
•
Ich kann für spezielle Winkel die exakten Werte für Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis berechnen.
•
Ich verstehe, warum es zu einem gegebenen Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert immer zwei mögliche Winkel (zwischen 0° und 360°) gibt.
sin ( α ) = 1
2
→
α1 = 300 und
→ α 2 = 1500 Allgemein: → α1 = α → α2 = 1800 − α
sin ( α ) = sin ( 1800 − α )
Analog:
cos ( α ) = 1
2
→
α1 = 600 und
→ α2 = − 600 = 3000 Allgemein: → α1 = α → α 2 = −α cos ( α ) = cos ( −α )
tan ( α ) = 1 →
α1 = 450
→ α2 = 2250 Allgemein: → α1 = α →
α2 = α + 1800
tan ( α ) = tan ( α + 180 0 )
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Leitidee periodische Funktionen
1.3.7 Beziehungen durch Überlegung am Einheitskreis sin ( 90 0 − α ) = cos ( α )
cos ( 90 0 − α ) = sin ( α )
tan ( 900 − α ) =
1 tan ( α )
Beispiel: cos ( 90 0 − α ) = sin ( α ) Dreieck DCO ist deckungsgleich mit Dreieck OAB sin ( 180 0 − α ) = sin ( α )
cos ( 1800 − α ) = − cos ( α ) tan ( 1800 − α ) = − tan ( α )
sin ( −α ) = − sin ( α ) cos ( −α ) = cos ( α ) tan ( −α ) = − tan ( α ) Es gibt noch viele andere Beziehungen, die wir direkt am Einheitskreis ablesen können, welche aber nicht alle aufgeführt werden. Zum Beispiel : cos ( 2700 − α ) = − sin ( α ) Diese Beziehungen können auch mit Hilfe der Funktionsgraphen überlegt werden (siehe Kapitel 1.4)!
1.3.8 Übungen Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises für 00 ≤ α ≤ 900 a) cos ( α + 900 )
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Erweiterung der Winkelfunktionen
b) sin ( 2700 + α )
c) tan ( 180 0 + α )
d) cos ( 270 0 + α )
e) sin ( 3600 − α )
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Leitidee periodische Funktionen
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f) sin ( 1800 + α )
g) sin ( α − 1800 )
h) cos ( −1800 − α )
i) tan ( 180 0 + α )
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen
1.4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen 1.4.1
Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die y-Koordinate Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf des Punktes P ergibt sich die dargestellte Sinusfunktion für den Definitionsbereich α ∈ [ 0 ; 2π ] Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 360 o im Gradmass Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von α = 0o bis α = 360o und beobachte das Vorzeichen von sin ( α ) sowohl am Einheitskreis als auch 2) 3) 4) 5)
im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Sinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Sinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des MiniMin mums (Tiefpunkt) der Sinusfunktion. Untersuche den Graph Gr auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. z.B. Symmetrieachse α = π , die gespiegelten Funktionswerte des ersten 2 Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis Einheit wird P an der y-Achse gespiegelt. Es gilt: sin ( α ) = sin ( π − α ) .
6) Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Sinusfunktion anschliessend. Lerneinheit 6 | Trigonometrische igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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Leitidee periodische Funktionen
1.4.2
Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die x-Koordinate Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf des Punktes P ergibt sich die dargestellte Kosinusfunktion für den Definitionsbereich α ∈ [ 0 ; 2π ] Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 360 o im Gradmass Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von α = 0o bis α = 360o und beobachte das Vorzeichen von cos ( α ) sowohl am Einheitskreis als auch 2) 3) 4) 5)
im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Kosinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Kosinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des MiniMin mums (Tiefpunkt) der Kosinusfunktion. Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen(Achsen und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation Situa am Einheitskreis. π z.B. Punktsymmetrie bei α = , die gespiegelten Funktionswerte des erser 2 ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis wird P an der y-Achse y gespiegelt. Es gilt: cos ( α ) = − cos ( π − α ) .
6) Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen
1.4.3 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus und Kosinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra bra Datei: sin_cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Zusammenhänge der Sinusfunktion und Kosinusfunktion Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 360 o im Gradmass Arbeitsaufträge 1) Für die Darstellung der d Kosinusfunktion wird die x-Koordinate Koordinate des PunkPun o tes P um 90 gedreht und so als y-Wert dargestellt. Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die SinusfunkSinusfun tion und Kosinusfunktion? 2) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von α = 0o bis α = 360o und beobachte den Verlauf von sin ( α ) und cos ( α ) sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph. 3) Für welche α gilt sin ( α ) = cos ( α ) ? Interpretiere die Situation am EinEi heitskreis. 4) Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse α = π oder α = 5π so erhalten wir den Graph der Kosinusfunktion. 4 4 Aus dieser Achsensymmetrie ( α = π ) ergibt sich die Eigenschaft: 4 π sin ( α ) = cos 2 − α
(
)
5) Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die Kosinusfunktion erhalten. Formuliere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer Gleichung.
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Leitidee periodische Funktionen
1.4.4 Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die y-Koordinate Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf des Punktes P ergibt sich die dargestellte Tangensfunktion für den Definitionsbereich α ∈ [ 0 ; 2π ] , wobei die Tangensfunktion an den Stellen α = π und α = 3π nicht definiert ist. 2 2
Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 360 o im Gradmass Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von α = 0o bis α = 360o und beobachte das Vorzeichen von tan ( α ) sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph. 2) Bestimme den Wertebereich der Tangensfunktion. Tangensfunktio 3) Bestimme die Nullstellen der Tangensfunktion.
4) Warum ist die Tangensfunktion an den Stellen α = π und α = 3π nicht 2
2
definiert? 5) Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen(Achsen und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. 6) Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die Tangenswerte? 7) Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.
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1.4.5
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
Dyn. Arbeitsblatt Sinus, Kosinus und Tangens Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Zusammenhang Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion Schieberegler: Winkel α ∈ 0 o ; 360 o im Gradmass Arbeitaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von α = 0o bis α = 360o und beobachte den Verlauf von sin ( α ) , cos ( α ) und tan ( α ) sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph. 2) Für kleine α verlaufen die Graphen der Sinus – und Tangensfunktion nahe beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis. 3) Verifiziere folgende Aussagen: a) Die Nullstellen der Sinusfunktion Sinusfunktion sind auch Nullstellen der Tangensfunktion. b) Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion nicht definiert. c) An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1. Wie hängen sin ( α ) , cos ( α ) und tan ( α ) zusammen. Gib eine Gleichung an.
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Leitidee periodische Funktionen
1.5 Eigenschaften der Winkelfunktionen 1.5.1 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler: Winkel α ∈ 0o ; 360o bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreis Winkel β ∈ 0o ; 360 o bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreis Winkel γ ∈ 0 o ; − 180o bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis Arbeitsaufträge Untersuche die AchsenAchsen und Punktsymmetrien im Funktionsgraph. Verifiziere diee folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an. 1) sin ( −α ) = − sin ( α ) 2) sin ( π − α ) = sin ( α ) 3) sin ( π + α ) = sin ( −α ) 4) sin ( π − α ) = − sin ( π + α ) Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
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Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.5.2 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Kosinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Kosinus Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler: Winkel α ∈ 0o ; 360o bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreis Winkel β ∈ 0o ; 360 o bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreis Winkel γ ∈ 0 o ; − 180o bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis Arbeitsaufträge Untersuche die Achsen - und Punktsymmetrien im Funktionsgraph. Verifiziere diee folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an. 1) cos ( −α ) = cos ( α ) 2) cos ( π − α ) = − cos ( α )
(
)
(
3) cos 2π − α = − cos 2π + α
(
4) cos ( 2π + α ) = cos 32π − α
)
)
Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
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1.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus und Kosinus Zeit: 10 Minuten
Zusammenhang der Sinus- Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler: Winkel α ∈ 0o ; 360o bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreis Winkel β ∈ 0o ; 360 o bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreis Winkel γ ∈ 0 o ; − 180o bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis Arbeitsaufträge A) Ungleichungen: Für welche Winkel α ∈ 0o ; 360o gilt: sin ( α ) ≥ cos ( α ) B) Untersuche Achsensymmetrien und Verschiebungen im Funktionsgraph. Verifiziere diee folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an. 1) cos ( 90 0 − α ) = sin ( α ) 2) sin ( 900 − α ) = cos ( α )
3) sin ( 180 0 + α ) = cos ( 270 0 − α ) 4) cos ( 1800 + α ) = sin ( 270 0 − α ) 5) sin ( α + 900 ) = cos ( α )
6) cos ( α + 900 ) = − sin ( α ) = sin ( − α ) Die 6 Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
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Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.5.4 Überblick: Eigenschaften sin- cos- und tan-Funktion
Winkelfunktion
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Tangensfunktion D=R
{ 2π + k ⋅ π }
Definitionsbereich
D=R
D=R
Wertebereich
W = [ −1;1 ]
W = [ −1;1 ]
W =R
cos ( −x ) = cos ( x )
tan ( −x ) = − tan ( x )
Achsensymmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie zum Ursprung
sin ( x + k ⋅ 2π ) = sin ( x )
cos ( x + k ⋅ 2π ) = cos ( x )
tan ( x + k ⋅ π ) = tan ( x )
Periodenlänge 2π
Periodenlänge 2π
Periodenlänge π
Nullstellen (k ∈ Z )
sin ( k ⋅ π ) = 0
cos π + k ⋅ π = 0 2 xk = π + k ⋅ π 2
Hochpunkte (k ∈ Z )
sin π + k ⋅ 2π = 1 2 Hk π + k ⋅ 2π | 1 2
Tiefpunkte (k ∈ Z )
sin − π + k ⋅ 2π = −1 2 Tk − π + k ⋅ 2π | − 1 2
sin ( −x ) = − sin ( x ) Symmetrie zum Koordinatensystem Punktsymmetrie zum Ursprung
Periodizität (k ∈ Z )
(
xk = k ⋅ π
( (
( (
)
)
tan ( k ⋅ π ) = 0 xk = k ⋅ π
cos ( k ⋅ 2π ) = 1 Hk ( k ⋅ 2π | 1 )
)
)
k∈Z Asymptoten (*) x = π +k⋅π 2
keine
cos ( π + k ⋅ 2π ) = −1
)
Tk ( π + k ⋅ 2π | − 1 )
keine
(*) Asymptote Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich die Funktion immer enger anschmiegt, sie aber nie schneidet. tan(x) besitzt zum Beispiel die Asymptote x = 2π , d.h. die Tangensfunktion schmiegt sich beliebig nahe an die Gerade x = 2π (Senkrechte zur x-Achse).
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Leitidee periodische Funktionen
1.5.5 Repetition: Eigenschaften einer Funktion f Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion y = f ( x ) sind jene Stellen (also x – Koordinaten), an denen der Funktionsgraph die x – Achse schneidet oder berührt. D. h. es gilt: y = f ( x ) = 0
Monotonieverhalten Gilt für zwei beliebige Stellen x1 , x 2 eines Intervalls I mit der Eigenschaft x1 < x 2 , dass stets f ( x1 ) < f ( x2 ) , so heisst f in I streng monoton steigend. Ist
dagegen stets f ( x1 ) > f ( x2 ) , so heisst f in I streng monoton fallend.
Symmetrieverhalten Wir befassen uns mit zwei Fällen: a) Der Funktionsgraph ist symmetrisch bzgl. der y-Achse. Eine solche Funktion heisst gerade Funktion. b) Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs. Eine solche Funktion heisst ungerade Funktion. Eine Funktion y = f ( x ) ist genau dann gerade, wenn f ( − x ) = f ( x ) ungerade, wenn f ( − x ) = − f ( x ) Periodizität Eine Funktion f ( x ) heisst periodisch mit der Periode p, wenn f ( x + p ) = f ( x ) . Allgemein: f ( x + k ⋅ p ) = f ( x ) mit k ∈ Z Minimum und Maximum Eine Funktion f ( x ) besitzt an der Stelle x 0 ein lokales Maximum f ( x0 ) bzw. ein lokales Minimum f ( x0 ) , wenn für alle x ≠ x 0 in einer Umgebung von x 0 gilt: f ( x0 ) > f ( x ) bzw. f ( x0 ) < f ( x ) . Lokales Maximum: Hochpunkt mit den Koordinaten ( x0 | f ( x0 ) ) Lokales Minimum: Tiefpunkt mit den Koordinaten ( x0 | f ( x0 ) )
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Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.5.6 Partnerinterview Eigenschaften der trigo. Funktionen Partnerinterview Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Zeit: 20 Minuten Frage 1: Was ist eine Nullstelle? Gib die Nullstellen der folgenden Funktionen im Intervall x ∈ [ 0 ; 2π ] an.
sin ( x ) cos ( x ) tan ( x ) Frage 2: Was verstehen wir unter Monotonieverhalten? Gib ein Intervall I an, in dem folgendes Monotonieverhalten für die Funktion gilt. Das Intervall I soll möglichst gross und nahe am Ursprung des Koordinatensystems sein.
sin ( x ) ist streng monoton steigend cos ( x ) ist streng monoton fallend tan ( x ) ist streng monoton steigend Frage 3: Was verstehen wir unter Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie? Was kannst du bezüglich Symmetrie durch die folgenden Eigenschaften der Funktionen aussagen?
sin ( − x ) = − sin ( x ) cos ( − x ) = cos ( x ) tan ( − x ) = tan ( x ) Frage 4: Was verstehen wir unter Periodizität?
sin ( x + p ) = sin ( x ) , bestimme die Periode p. cos ( x + p ) = cos ( x ) , bestimme die Periode p. tan ( x + p ) = tan ( x ) , bestimme die Periode p. Frage 5: Was verstehen wir unter Minimum bzw. Maximum? Gib die Hochpunkte bzw. Tiefpunkte der folgenden Funktionen im Intervall x ∈ [ 0 ; 2π ] an.
sin ( x ) cos ( x ) tan ( x )
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Leitidee periodische Funktionen
1.6 Umkehrfunktionen Umkehrung der Sinusfunktion Zu jedem Winkel x ∈ R gibt es genau einen Sinuswert y. Wir fragen uns nun umgekehrt, wie wir von einem vorgegebenen Sinuswert y zurück zum Winkel x kommen. Mit dem Rechner gelingt dies bekanntlich wie folgt:
y = sin ( x ) Beispiel
sin ( x ) = 0,8
→ →
x = sin−1 ( y ) ( oder auch : x = arcsin ( y ) ) x = 0,927 ( = 53,10
)
Obwohl es unendlich viele Winkel zu einem Sinuswert gibt, errechnet der Rechner nur einen einzigen. Es ist immer ein spitzer Winkel, der im Intervall
− π ; π = − 900 ; 900 liegt. Die so definierte Funktion, die dem Rechner 2 2 zugrunde liegt, heisst Arcussinusfunktion.
1.6.1 Die Arcussinusfunktion Die Arcussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
− π ; π eingeschränkten Sinusfunktion, wo diese streng monoton steigend 2 2 und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcussinusfunktion ergibt sich durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden). Wir schreiben: y = arc sin ( x ) Definitionsbereich [ −1; 1] ; Wertebereich − 2π ; 2π
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Umkehrfunktionen
1.6.2 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Definitionsbereichs Sinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite b: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( b ∈ [ −1;1] ) d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( d ∈ [ −1;1] )
Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt Sc hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden. Arbeitsaufträge: 1) Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt. 2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinusfunktion hat. 3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
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Leitidee periodische Funktionen
1.6.3
Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Sinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arcsin_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet • • • • •
Einschränkung der Sinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen: 1) Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werwe den? 2) In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1 3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls? 4) Wie erhältst du die Arcussinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 Arcussi an! 5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcussinusfunktion Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
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Umkehrfunktionen
x
֏
sin ( x )
D = R ; W = [ −1;1] ; Periode 2π
π π . Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall − ; 2 2 π π ; W = − ; x ֏ arc sin ( x ) D = [ − 1 ; 1 ] 2 2 Achtung!
Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel β = 180o − α kann auch eine Lösung sein, denn es gilt sin ( α ) = sin ( 180o − α )
1.6.4 Die Arcuskosinusfunktion Die Arcuskosinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
[0 ; π]
eingeschränkten Kosinusfunktion, wo diese streng monoton fallend
und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcuskosinusfunktion ergibt sich durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden). Wir schreiben: y = arccos ( x ) Definitionsbereich [ −1; 1] ; Wertebereich [ 0 ; π ]
x
֏ cos ( x )
D = R ; W = [ −1;1] ; Periode 2π
Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall [ 0 ; π ] .
x
֏ arccos ( x )
D = [ −1 ; 1]
;
W =[ 0 ; π
]
Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der negative Winkel − α auch eine Lösung sein, denn es gilt cos ( α ) = cos ( −α )
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Leitidee periodische Funktionen
1.6.5 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite b: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( b ∈ [ −1;1] ) d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( d ∈ [ −1;1] )
Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden. schne Arbeitsaufträge: 1) Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt. 2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten SinusSinu funktion hat. 3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
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Umkehrfunktionen
1.6.6 Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Kosinus Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arccos_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet • • • • •
Einschränkung der Kosinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen: 1) Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden? 2) In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1 3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls? 4) Wie erhältst du die Arcuskosinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
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1.6.7 Die Arcustangensfunktion Die Arcustangensfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
− π ; π eingeschränkten Tangensfunktion, wo diese streng monoton stei2 2 gend und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcustangensfunktion ergibt sich durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden). Wir schreiben: y = arctan ( x ) Definitionsbereich R ; Wertebereich − 2π ; 2π
x
֏
D=R
{
tan ( x ) π x = ( 2k + 1) ⋅ ; k ∈ Z 2
}
; W =R
, Periode π
π π Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall − ; . 2 2 π π ; W = − ; x ֏ arctan ( x ) ; D = R 2 2 Achtung!
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Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel β = 180o + α kann auch eine Lösung sein, denn es gilt tan ( α ) = tan ( 180 o + α )
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Umkehrfunktionen
1.6.8 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arctan_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet • • • • •
Einschränkung der Tangensfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen: 1) Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden? 2) In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1 3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls? 4) Wie erhältst du die Arcustangensfunktion? Arcusta Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
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1.6.9 Partnerinterview Umkehrfunktionen Partnerinterview Umkehrfunktionen Zeit: 10 Minuten Frage 1: Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie umkehrbar ist?
Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h., zu einem Funktionswert gibt es bei der Umkehrung unendlich viele Winkel. Wie müssen die Definitionsbereiche eingeschränkt werden, damit es eine Umkehrfunktion gibt? Frage 2: Wie werden die Definitionsbereiche eingeschränkt?
sin ( x )
cos ( x )
tan ( x )
Wie wir wissen existieren zu einem Funktionswert im Bereich 0 ≤ x < 2π immer zwei Winkel. Der Rechner gibt uns aber bei der Verwendung der Umkehrfunktionen jeweils nur einen Winkel. Wie kannst du den möglichen zweiten bestimmen? Frage 3: Ergänzung der Lösung des Rechners.
arcsin ( x ) = yTR
46
→
y2 =
arc cos ( x ) = yTR
→ y2 =
arc tan ( x ) = yTR
→ y2 =
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Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
1.7 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens Beziehungen vom Einheitskreis
sin2 α + cos2 α = 1 tan α =
sin α cos α
(Pythagoras)
(Strahlensatz)
sinus
cosinus
tangens
sinus, cosinus
sin α =
cos α =
tan α =
Anwendung Gegeben: tan( α ) =
3 . Berechne sin(α ) , ohne α zu bestimmen. 4
Gegeben: cos( α ) =
3 . Berechne tan(α ) , ohne α zu bestimmen. 5
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1.7.1 Übungen Vereinfache a) tan α ⋅ cos α
48
b)
( 1 + sin ϕ ) ⋅ ( 1 − sin ϕ )
c)
1 − 1 cos2 β
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Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
d)
sin2 α 1 − cos α
e) sin4 α − cos4 α
f)
tan ϕ − 1 sin ϕ − cos ϕ
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Leitidee periodische Funktionen
g)
h)
i)
50
1 1 + tan2 ω
1 + cos α ⋅
1 − cos α
( sin δ + cos δ )2 + ( sin δ − cos δ )2
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Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
j)
1 sin α − 1 − sin α cos2 α
k)
1 + 1 tan2 α
1.7.2 Lösungen a) sin α
b) cos2 ϕ
c) tan2 β
d) 1 + cos α
e) sin2 α − cos2 α = 2sin2 α − 1 f)
1 cos ϕ
h)
sinα
j)
1 cos2 α
g) cos2 ω i) 2 k)
1 sin2 α
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51
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Leitidee periodische Funktionen
1.8 Trigonometrische Gleichungen 1.8.1 Strategien Gleichungen, in denen sich die Unbekannte innerhalb von trigonometrischen Funktionen befindet, sind anspruchsvoll. Im folgenden Kapitel lösen wir einige einfache Gleichungen. Versuche schon bekannte Strategien auf die trigonometrischen Gleichungen zu übertragen. Eine wichtige Strategie wird der Produkt – Null – Satz sein!
1.8.2 Aufgaben Löse die folgenden Gleichungen. Fasse verschiedene Lösungsstrategien im Lernjournal zusammen! Aufgabe 1 bis 8: Bestimme die Lösungen x der folgenden Gleichungen in der Grundmenge 0 ≤ x < 3600 Aufgabe 1 a) sin ( 3x ) = 0
b) tan ( 2x ) = 3
52
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Trigonometrische Gleichungen
c) sin ( x − 20 0 ) = 0,8
d) cos ( 1000 − x ) = − 0, 4
e) sin ( 10 0 − x ) = 1,2
f) tan ( x + 500 ) = 2,8
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53
Leitidee periodische Funktionen
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Aufgabe 2 a) sin2 x = 0,2
b) tan2 x = 10
c) cos2 ( x − 500 ) = − 0,36
54
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Trigonometrische Gleichungen
Aufgabe 3 a) sin x ⋅ cos x = 0
b) sin x − cos x = 0
c)
sin x = 0 cos x
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55
Leitidee periodische Funktionen
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d) sin x ⋅ ( 1 + cos x ) = 0
e) tan x ⋅ ( 1 + sin x ) = 0
Aufgabe 4 a) 2 ⋅ cos2 x + cos x = 0
56
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Trigonometrische Gleichungen
b) 5 ⋅ sin2 x = 3 ⋅ sin x
Aufgabe 5 a) 4 ⋅ sin2 x − 4 ⋅ sin x + 1 = 0
b) cos2 x + 2,1 ⋅ cos x + 0,2 = 0
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57
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Leitidee periodische Funktionen
c) 5 ⋅ sin2 x + sin x = 1
d) tan x +
1 = 3,5 tan x
Aufgabe 6 a) sin x + tan x = 0
58
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Trigonometrische Gleichungen
b) tan x + 3 ⋅ sin x = 0
c) sin x ⋅ cos x ⋅ tan x = 0,25
d) sin x = 5 ⋅ cos x
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59
Leitidee periodische Funktionen
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e) cos x − 3 ⋅ sin x = 0
f) 4 ⋅ sin x − 46 ⋅ cos x = 0
g) 2 ⋅ sin2 x = 7 ⋅ cos2 x
60
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Trigonometrische Gleichungen
Aufgabe 7 a) 3 ⋅ sin x = 2 ⋅ cos2 x
b) sin2 x − cos2 x = 0,2
c) 10 ⋅ cos2 x + 7,5 ⋅ sin x = 11
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61
Leitidee periodische Funktionen
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d) sin2 x + 1,6 ⋅ cos x = 0,2
Aufgabe 8 a) sin x ⋅ cos x = 0,6
b) sin x + cos x = 0,8
62
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Trigonometrische Gleichungen
c) cos x = 2 ⋅ tan x
Aufgabe 9 Für welche Werte von a hat die Gleichung sin2 x + cos x = a mindestens eine Lösung?
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63
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Leitidee periodische Funktionen
1.8.3 Lösungen Lösungen Aufgabe 1 a) 00 ,
600 , 1200 , 1800 , 2400 , 3000
b) 35,80 , 125,80 , 215,80 , 305,80 c) 73,10 , 146,90 d) 213,60 , 346,40 e)
{ }
f) 20,40 , 200,30
Lösungen Aufgabe 2 a) 26,60 , 153,40 ,
206,60 , 333,40
b) 72,50 , 107,50 , 252,50 , 287,50 c)
{ }
Lösungen Aufgabe 3 a) 00 , 900 , 1800 , 2700 b) 450 ,
2250
c) 00 , 1800 d) 00 , 1800 e) 00 , 1800
Lösungen Aufgabe 4 a) 900 , 1200 ,
2400 , 2700
b) 00 , 36,90 , 143,1 0, 1800
Lösungen Aufgabe 5 a) 300 , 1500 b) 95,70 , 264,30 64
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Trigonometrische Gleichungen
c) 21,00 , 159,00 , 213,90 , 326,1 0 d) 17,40 , 72,60 , 197,40 ,
252,60
Lösungen Aufgabe 6 a) 00 , 1800 b) 00 , 109,50 , 1800 , 250,50 c) 300 , 1500 ,
2100 , 3300
d) 78,70 , 258,70 e) 18,40 , 198,40 f) 85,00 , 265,00 g) 61,90 , 118,1 0 , 241,90 , 298,1 0
Lösungen Aufgabe 7 a) 300 , 1500 b) 50,80 , 129,20 , 230,80 , 309,20 c) 10,00 , 35,20 , 144,80 , 170,00 d) 113,60 , 246,40
Lösungen Aufgabe 8 a)
{ }
b) 100,60 , 349,50 c) 24,50 , 155,50
Lösungen Aufgabe 9
−1 ≤ a ≤ 1,25
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65
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Leitidee periodische Funktionen
1.8.4
Trigonometrische Gleichungen mit dem Rechner In den Aufgaben 1 bis 8 im vorangegangenen Kapitel wurde der bereich für die Lösungen x eingeschränkt auf die Grundmenge 0 ≤ x < 3600 . Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, haben die Gleichungen oftmals unendlich viele Lösungen. Da es genügt die Lösungen von Gleichungen in einer Periode zu kennen, müssen wir beim solve-Befehl diese Einschränkung dem Rechner mitteilen.
Aufgabe 1
a) sin ( 3x ) = 0
Ohne Einschränkung der Grundmenge gibt uns der Rechner unendlich viele Lösungen: x = 60o ⋅ n1 Für n1 kann eine ganze Zahl eingesetzt werden, z.B. n1 = 0 oder n1 = 1 usw. Schränken wir die Grundmenge ein: 0 ≤ x < 3600 , so erhalten wir die 6 Lösungen der ersten Periode. d) cos ( 1000 − x ) = − 0, 4
e) sin ( 10 0 − x ) = 1,2
Aufgabe 2 a) sin2 x = 0,2
66
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Trigonometrische Gleichungen
Aufgabe 3
a) sin x ⋅ cos x = 0
Aufgabe 4
b) 5 ⋅ sin2 x = 3 ⋅ sin x
b) sin x − cos x = 0
1. Lösung exact-Modus / 2. Lösung approximativ-Modus
1 = 3,5 tan x
Aufgabe 5
d) tan x +
Aufgabe 9
Für welche Werte von a hat die Gleichung sin2 x + cos x = a mindestens eine Lösung? Graphische Lösung mit Schieberegler.
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67
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Leitidee periodische Funktionen
1.9 Repetitionstest trigonometrische Funktionen Repetitionstest Einheitskreis, Eigenschaften trigonometrischer Funktionen, Umkehrfunktionen Ohne Hilfsmittel, d.h. keine Formelsammlung , ohne Rechner. Löse die Aufgaben mit Hilfe des Einheitskreises oder mit einer Skizze der Funktionsgraphen. Zeit: 60 Minuten Aufgabe 1 Zeichne sin(α ) (rot); cos( α ) (grün); tan(α ) (blau) in die Zeichnung ein!
y
α O
1 x
Aufgabe 2 Setze das richtige Zeichen: = (gleich) ; < (kleiner) ; > (grösser)
68
sin(45 0 )
cos(45 0 ) ; cos(60 0 )
sin(35 0 )
tan(350 ) ; sin(20 0 )
sin(200 )
sin( −20 0 ) ; sin(700 )
cos(500 ) ; sin(1100 )
sin(160 0 ) ; cos(500 )
cos(70 0 ) ; tan(1200 )
sin(120 0 )
cos(3100 )
sin(120 0 )
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Aufgabe 3
Repetitionstest trigonometrische Funktionen
α = 135o Berechne: sin ( α ) , cos ( α ) , tan ( α )
Aufgabe 4 α=
5π Berechne: sin ( α ) , cos ( α ) , tan ( α ) 3
Aufgabe 5 Berechne, ohne α zu bestimmen: cos( α ) und tan(α ) , wenn sin(α ) =
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4 5
69
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Leitidee periodische Funktionen
Aufgabe 6 Gib alle Winkel 00 ≤ α ≤ 3600 an für die gilt: 1 a) sin( α ) = 2 b) cos( α ) = −
1 2
Aufgabe 7 Fülle die Tabelle aus Winkelfunktion
sin(α )
cos( α )
tan(α )
Definitionsbereich Wertebereich Periodizität Nullstellen Maxima Minima
70
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Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Aufgabe 8 Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises:
sin(900 + α ) cos(1800 + α )
Aufgabe 9 Du erhältst von deinem Rechner, bei Verwendung der Umkehrfunktionen, die folgenden Winkel. Bestimme die zweite Lösung.
Arcsinus : α = 360
Arccos:
α = 1230
Arctan:
α = 500
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Leitidee periodische Funktionen
Aufgabe 10 a) Bestimme: arc sin(1) =
arc sin( −1) =
arc cos(0) =
arc cos(1) =
arc cos( −1) =
arctan(0) =
b) Ergänze arc sin(0,5) =
π , weil sin(………) = ……… 6
arc tan(4) = 1,326 , weil
c)) Sinnvoll oder nicht sinnvoll? arc sin( −0,2) arc sin(0) arc sin(1, 4) arc cos(2) arc tan(3, 4)
Aufgabe 11 Vereinfache:
72
sin( π − α ) sin( π + α ) 2
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Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Aufgabe 12 Kreuze richtig oder falsch an: richtig falsch Es gilt für alle Winkel α : tan(α ) ≤ 1 Die Sinuswerte nehmen zu, wenn α von 900 bis 1800 zunimmt. Der Definitionsbereich der arc sin ( x ) Funktion ist
D = [ −1 ; 1 ] .
Der Wertebereich der arc cos ( x ) Funktion ist
W = [0 ; π ] .
Der Definitionsbereich der arc tan ( x ) Funktion ist D = R . Wenn der Rechner dir arcsin(x) = α1 als Lösung ausgibt, so ist α 2 = 1800 + α1 auch eine mögliche Lösung. Wenn der Rechner dir arctan(x) = α1 als Lösung ausgibt, so ist α 2 = 1800 + α1 auch eine mögliche Lösung.
1 π arcsin − = − 2 6 Aufgabe 13 Richtig oder falsch?
cos( − α ) = cos(α )
Überlegungen:
sin( − α ) = sin(α )
richtig falsch
tan( − α ) = − tan( α )
sin(α − 900 ) = cos(α ) sin(1800 − α ) = sin(α ) sin(1800 − α) = sin(1800 + α) tan(1800 − α ) = − tan(α )
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Leitidee periodische Funktionen
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Aufgabe 14 Bestimme alle Lösungen im Bereich 00 ≤ x < 3600 für die folgende Gleichung: [ 3 ⋅ sin ( x ) − 4 ] ⋅ [ 2 ⋅ sin ( x ) − 1] = 0
Aufgabe 15 Bestimme alle x ( 0 ≤ x ≤ 2π ), welche die folgenden Gleichungen erfüllen:
sin2 (x) − cos2 (x) = 0
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Sinussatz und Kosinussatz
2 Berechnungen am beliebigen Dreieck Für die Berechnungen am beliebigen Dreieck stehen uns zwei Sätze zur Verfügung: der Sinussatz und der Kosinussatz.
2.1 Sinussatz und Kosinussatz Wenn bei einem beliebigen Dreieck drei Grössen gegeben sind (jedoch nicht die drei Winkel), so lassen sich die anderen Grössen berechnen. Merke
Die Berechnungen laufen über Teildreiecke! Falls diese Teildreiecke rechtwinklig sind kann und soll mit elementarer Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck gearbeitet werden.
2.1.1 Der Sinussatz In einem Dreieck gilt der Sinussatz
a sin ( α ) a sin ( α ) b sin ( β ) = = = ; ; b sin ( β ) c sin ( γ ) c sin ( γ )
Berechnungsbeispiel Sinussatz Berechne aus einem Dreieck mit a = 7cm , c = 10cm und α = 400 die Seite b und die Winkel β und γ .
Sinussatz: Berechnung von γ : sin ( γ ) =
a sin ( α ) = c sin ( γ )
c 10 ⋅ sin ( α ) = ⋅ sin ( 400 ) = 0,91827 a 7
γ = sin−1 ( 0,91827 ) = 66,670
Der Rechner liefert nur spitze Winkel!
γ könnte aber auch stumpfwinklig sein!
γ 2 = 1800 − γ TR = 1800 − 66,670 = 113,330
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
Hier gibt es tatsächlich zwei Lösungen! Wann gibt es zwei Lösungen, wann nur eine? Siehe folgendes dynamisches Arbeitsblatt!
Innenwinkelsumme: Berechnung von β :
β1 = 1800 − α − γ1 = 73,330 ; β2 = 1800 − α − γ 2 = 26,670
Sinussatz: Berechnung von b:
a sin ( α ) = b sin ( β )
→ b = a⋅
sin ( β ) sin ( α )
sin ( 73,330 ) sin ( β1 ) b1 = a ⋅ = 7⋅ = 10, 43cm sin ( α ) sin ( 400 ) sin ( 26,67 sin ( β2 ) = 7⋅ sin ( α ) sin ( 400 )
0
b2 = a ⋅
) = 4,89cm
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Sinussatz_zweite Lösung Zeit: 10 Minuten
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Sinussatz und Kosinussatz
2.1.2 Übungen Sinussatz Berechne die fehlenden Winkel und die fehlende Seite. Beachte die Anzahl Lösungen! a) b = 8,5cm ; a = 8,9cm ; α = 65,30
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
b) a = 30,9 cm ; c = 19,8 cm ;
78
γ = 34,60
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Sinussatz und Kosinussatz
c) a = 6,4 cm ; c = 5,5 cm ;
γ = 72,00
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79
DialogMathe
Berechnungen am beliebigen Dreieck
2.1.3 Partnerinterview Sinussatz Partnerinterview Sinussatz Zeit: 10 Minuten Frage 1:
Wie kannst du den Sinussatz bei folgendem Problem anwenden? Berechne x, wenn v, α und β gegeben sind!
Frage 2:
80
Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Sinussatz gelöst werden? (Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben) Welcher Fall hat zwei Lösungen, welcher nur eine!
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Sinussatz und Kosinussatz
2.1.4 Der Kosinussatz
In einem Dreieck gilt der Kosinussatz
a2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos ( α ) b2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos ( β ) c 2 = a 2 + b2 − 2ab ⋅ cos ( γ )
Berechnungsbeispiel Kosinussatz Gegeben: a = 6cm , b = 9cm ,
w γ = 6,5cm (Winkelhalbierende) Gesucht: γ und c
Einführen der beiden Unbekannten x = AD und y = DB Berechnung von γ und c (gleichzeitig):
γ Kosinussatz im Dreieck ADC: x 2 = w γ2 + b2 − 2w γ b ⋅ cos 2 γ Kosinussatz im Dreieck DCB: y 2 = w γ2 + a2 − 2w γ a ⋅ cos 2 Satz über Winkelhalbierende:
x b = y a
Gleichungssystem für die drei Unbekannten γ , x und y, wobei c = x + y. Auflösen mit Rechner. Vorgehen: Bekannte Zahlen einsetzen und weil γ γ cos transzentent ist durch eine Variable substituieren z.B. u = cos . 2 2
x 2 = 6,52 + 92 − 2 ⋅ 6,5 ⋅ 9 ⋅ u y 2 = 6,52 + 62 − 2 ⋅ 6,5 ⋅ 6 ⋅ u x = 1,5 y
x 2 = 123,25 − 117 ⋅ u →
y 2 = 78,25 − 78 ⋅ u x = 1,5 ⋅ y
[Resultat u = 0,9027778 ; x = 4,198 ; y = 2,799 ] γ = 50,950 ; c = 7,0cm Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
2.1.5 Partnerinterview Kosinussatz Partnerinterview Kosinussatz Zeit: 10 Minuten Frage 1:
Wie kannst du den Kosinussatz bei folgendem Problem anwenden? Berechne x, wenn u, v und α gegeben sind!
Frage 2:
82
Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Kosinussatz gelöst werden? (Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben)
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Sinussatz und Kosinussatz
2.1.6 Übungen Kosinussatz Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC. a) a = 16,1cm ; b = 15, 4 cm ; sb = 14,5 cm
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
b) b = 18,2 cm ;
84
sa = 15,9 cm ;
sc = 13,2 cm
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Sinussatz und Kosinussatz
c) a = 8,1cm ;
w β = 10,6 cm ; β = 35,20
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
d) α = 47,350 ;
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sa = 14,00 cm ; c = 10,95 cm
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Sinussatz und Kosinussatz
2.1.7 Lösungen Übungen Sinussatz a) eine Lösung
c = 8,0 cm ; β = 60,20 ;
γ = 54,50
b) zwei Lösungen
α1 = 62,40 ; β1 = 83,00 ; b1 = 34,6 cm α2 = 117,60 ; β2 = 27,80 ; b2 = 16,3 cm
c) keine Lösung
Übungen Kosinussatz a) γ = 64,1 0 ; c = 16,7 cm ;
α = 60,1 0 ; β = 55,80
b) c = 15,6 cm ; a = 11,8 cm ;
α = 39,9 0 ; β = 81,90 ;
γ = 58,2 0
c) γ = 122,0 0 ; α = 22,8 0 ; c = 17,7 cm ; b = 12,1cm
d)
a = 14,4 cm ; b = 19,4 cm ; β = 98,7 0 ;
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γ = 33,9 0
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
2.2 Geometrie Memos allgemeines Dreieck Auf den folgenden zwei Seiten erhältst du zwei Memos, die dich bei den Berechnungen am beliebigen Dreieck unterstützen werden.
2.2.1 Geometrie Memo Trigonometrische und Arcus – Funktionen Memo Trigonometrische und Arcus - Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunktionen) sind in der Praxis sehr wichtig. Daher solltest du die Funktionsgraphen von sin(x), cos(x) und tan(x) jederzeit per Hand skizzieren können. Definitionsbereiche und Wertebereiche der Funktionen, sowie die wichtigsten Eigenschaften sollten jederzeit im Kopf abrufbar sein.. Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, müssen diese für die Umkehrung eingeschränkt werden. Wenn du deinen Rechner verwendest, um die Umkehrfunktionen zu berechnen, solltest du wissen, welche Lösungen dir dein Rechner geben kann, und welche du selbst finden musst. Die Einschränkung der Definitionsbereiche und deren Konsequenzen bei den Umkehrfunktionen solltest du unbedingt verstehen!
2.2.2 Geometrie Memo Sinussatz Kosinussatz Memo Sinussatz und Kosinussatz
Wann können wir den Sinussatz, wann den Kosinussatz anwenden? Diese Frage kann mittels Schaufigur beantwortet werden. Jeder Satz hat eigene Muster, welche der Kopf direkt mit der abstrakten Gleichung der beiden Sätze in Verbindung bringen kann.
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Geometrie Memos allgemeines Dreieck
Memo Trigonometrische und Arcus - Funktionen
Definition Merke: Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitionsbereich eingeschränkt werden. (EINDEUTIGKEIT!!)
x
֏
sin ( x )
D = R ; W = [ −1;1 1; 1] ; Periode 2π Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich eingeeing π π schränkt auf das Intervall − ; . 2 2 x ֏ arc sin ( x )
π π W = − ; 2 2 Achtung: Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel β = 180o − α kann auch eine Lösung sein, D = [ −1 ; 1]
;
denn es gilt sin ( α ) = sin ( 180 o − α )
x
֏ cos ( x )
D = R ; W = [ −1;1 1; 1] ; Periode 2π Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich eingeeing 0 ; π schränkt auf das Intervall [ ].
x
֏ arccos ( x )
D = [ −1 ; 1]
;
W =[ 0 ; π
]
Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der negative Winkel − α auch eine Lösung sein, denn es gilt cos ( α ) = cos ( −α )
x
֏
{
tan ( x )
}
π x = ( 2k + 1) ⋅ ; k ∈ Z ; W = R 2 Periode π Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich eingeeing π π schränkt auf das Intervall − ; . 2 2 x ֏ arctan ( x ) D=R
π π W = − ; 2 2 Achtung: Der Rechner echner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel β = 180o + α kann auch eine Lösung sein, D=R
;
denn es gilt tan ( α ) = tan ( 180o + α )
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
Memo Sinussatz und Kosinussatz
Merke: zuerst Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck anwenden!!
Sinussatz:
a sin ( α ) = b sin ( β )
Kosinussatz:
a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos ( α )
Die vier Grundaufgaben der Dreiecksberechnung 1. Gegeben: drei Seiten Beginn mit Kosinussatz
2. Gegeben: zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel Beginn mit Kosinussatz
3. Gegeben: zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt!
Beginn mit Sinussatz Eindeutig lösbar, wenn der gegebene Winkel der grösseren Seite gegenüberliegt!
1 Lösung
2 Lösungen
4. Gegeben: eine Seite und zwei Winkel Beginn mit Sinussatz!
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Geometrie Memos allgemeines Dreieck
2.2.3 Prüfungsaufgaben allgemeines Dreieck Aufgabe 1 Die Strecke von P nach Q ist aus den folgenden Messungen zu berechnen. Messungen: AB = 380m
α = 41 o ; β = 77 o γ = 82 o ; δ = 34 o
Lösung: PQ = 582,9 m
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Berechnungen am beliebigen Dreieck
Aufgabe 2 Im Dreieck ABC gilt: M ist der Seitenmittelpunkt.
α = ε = 45 o Wie gross sind β und γ ?
Lösungen: β = 30o
92
;
γ = 105o
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Geometrie Memos allgemeines Dreieck
Aufgabe 3 Zwei Leuchtbojen befinden sich in den Punkten C und D. Von den Punkten A und B am Seeufer sind diese Bojen unter den folgenden Winkeln sichtbar:
α 1 = ∡CAB = 11,3° ; α 2 = ∡DAC = 85,1° β 1 = ∡ABD = 27,9° ; β 2 = ∡DBC = 113° Die Entfernung von A nach B beträgt 245 m. a) Das Licht der beiden Bojen ist jeweils auf die beiden Uferpunkte A und B ausgerichtet. Berechne die Fläche, die von beiden Bojen beleuchtet wird (Dreieck ABS). b) Berechne den Abstand der zwei Bojen (Strecke CD).
Lösungen: a) A = 4353,9 m2 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
b) DC = 348,1m
93
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Die allgemeine Sinusfunktion
3 Die allgemeine Sinusfunktion Wie eingangs schon gesagt, sind sehr viele Vorgänge in der Natur oder bei technischen Abläufen periodisch. Nicht immer aber reicht die Sinusfunktion in ihrer reinen Form zu deren Beschreibung aus. Dies hat mehrere Ursachen: Zum einen besitzt die Sinusfunktion nur Werte zwischen – 1 und 1, zum anderen sind die angesprochenen Vorgänge gewöhnlich nicht winkelabhängig, sondern zeitabhängig mit einer Periode, die nicht einfach als Vielfaches von 2π zu fassen ist. Daher muss die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser Vor-
gänge entsprechend modifiziert werden.
y = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d Diese Modifikationen und ihre Auswirkungen sind in der folgenden Übersicht zusammengefasst. Analoges gilt auch für die übrigen Winkelfunktionen, in der Praxis ist jedoch die Sinusfunktion (bzw. die ihr gegenüber um 2π verschobene Kosinusfunktion) am bedeutendsten.
94
Funktion
Auswirkung
Anwendungsbereich
y = sin ( x )
Grundfunktion
Allgemein periodischer Vorgang
y = a ⋅ sin ( x )
Veränderung der Amplitude Faktor – 1 entspricht einer Phasenverschiebung um π
Ausschlag eines Pendels
y = sin ( b ⋅ x )
Veränderung der Periode b > 1 : Beschleunigung 0 < b < 1 : Verlangsamung b < 0 : „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwingungen (z.B. bei Klängen von Musikinstrumenten)
y = sin ( x + c )
Phasenverschiebung
Beschreibung von Stromund Spannungsverlaufs im Wechselstromkreis
y = sin ( x ) + d
Verschiebung in y-Richtung
Überlagerung einer Gleich- und Wechselspannung
y = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d
allgemeiner Fall
Komplexer periodischer Vorgang
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Funktionstransformationen Sinusfunktion
3.1 Funktionstransformationen Sinusfunktion 1
Aus einer Grundfunktion können alle weiteren Funktionen des gleichen Typs durch -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Transformationen hergeleitet werden. Grundfunktion: y = sin ( x ) Transformationen:
-1
f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d
Transformationsregeln Wie bekommen wir aus dem Graph der Grundfunktion f ( x ) = sin ( x ) den Graph der Funktion f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d ? Wir studieren die Effekte der Parameter a, b, c und d auf den Graph der Funktion einzeln.
3.1.1 Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y-Richtung Transformation y = f ( x )
y = sin ( x )
→
y = a⋅f(x)
→ y = a ⋅ sin ( x )
Fallunterscheidung für den Parameter a Für a > 1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung mit dem Streckungsfaktor a Für 0 < a < 1 eine Stauchung des Graphen in y-Richtung mit dem Stauchungsfaktor a1 Spiegelung an der x-Achse Spezialfall: a = −1 der Graph wird an der x-Achse gespiegelt
y = sin ( x )
→
y = − sin ( x )
Für −1 < a < 0 zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor a1 eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse. Für a < −1 zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor a eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse. Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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10
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Die allgemeine Sinusfunktion
Streckung oder Stauchung in x-Richtung Transformation y = f ( x )
y = sin ( x )
→
y = f (b ⋅ x)
→ y = sin ( b ⋅ x )
Fallunterscheidung für den Parameter b Für b > 1 eine Stauchung des Graphen in x-Richtung mit dem Stauchungsfaktor b Für 0 < b < 1 eine Streckung des Graphen in x-Richtung mit dem Streckungsfaktor b1 Spiegelung an der y-Achse
Spezialfall: b = −1 der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
y = sin ( x )
→
y = sin ( − x )
Für −1 < b < 0 zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor b1 eine Spiegelung des Graphen an der y-Achse. Für b < −1 zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor b eine Spiegelung des Graphen an der y-Achse.
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Funktionstransformationen Sinusfunktion
Beachte: Es gilt y = sin ( b ⋅ x ) ≠ sin ( b ) ⋅ sin ( x ) , d.h. eine Stauchung in x-Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann nicht als Streckung in y-Richtung mit dem Streckungsfaktor a = sin ( b ) interpretiert werden.
3.1.2 Verschiebung Verschiebung in x-Richtung Transformation: y = f ( x )
→ y = f(x +c)
y = sin ( x ) → y = sin ( x + c ) Fallunterscheidung für den Parameter c Für c > 0 eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach links Für c < 0 eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach rechts
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Die allgemeine Sinusfunktion
(
)
Merke: y = sin b ⋅ x + bc , b muss ausgeklammert werden: Verschiebung bc
Beispiel: b = 1, c = 60 :
y = 1,5 ⋅ sin ( x + 60 )
Verschiebung um 600 nach links. Beispiel: b = 2, c = 60 :
y = sin ( 2x + 60 ) = sin ( 2 [ x + 30 ] )
Verschiebung um 300 nach links. Verschiebung in y-Richtung Transformation: y = f ( x )
→ y = f(x) + d
y = sin ( x ) →
y = sin ( x ) + d
Fallunterscheidung für den Parameter d Für d > 0 eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach oben Für d < 0 eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach unten
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Funktionstransformationen Sinusfunktion
3.1.3 Übungen Sinusfunktion Partnerinterview Funktionstransformationen Sinusfunktion Zeit: 20 Minuten Grundfunktion:
f ( x ) = sin ( x )
Transformation:
f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d
Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gib die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! (1)
f ( x ) = 2 ⋅ sin ( x )
(2)
f ( x ) = sin ( 2 ⋅ x )
(4) f ( x ) = sin ( x + 60 )
(5) (3)
f ( x ) = sin ( 21 ⋅ x )
f ( x ) = sin ( x − 30 )
2
1.5
1
0.5
0 -180 -150 -120 -90
-60
-30
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
-0.5
-1
-1.5
-2
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Die allgemeine Sinusfunktion
(6)
f(x) =
(7)
f(x) =
1 2
⋅ sin ( 2 ⋅ x + 180 )
(8) f ( x ) = 2 ⋅ sin ( 3 ⋅ x − 90 )
⋅ sin ( 2 ⋅ x ) + 1
(9)
1 2
f ( x ) = 1,5 ⋅ sin ( 21 ⋅ x + 60 )
2
1.5
1
0.5
0 -180 -150 -120 -90
-60
-30
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
-0.5
-1
-1.5
-2
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Memo allgemeine Sinusfunktion
3.2 Memo allgemeine Sinusfunktion Memo Allgemeine Sinusfunktion
3.2.1 Allgemeine Sinusfunktion im Gradmass Gradmass y = A ⋅ sin ( B ⋅ α + C ) A : Streckung (Stauchung) in y – Richtung
Der Faktor A ändert die Nullstellen der sin-Funktion nicht.
B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung Änderung der Periode von 3600 auf B > 1 Stauchung;
3600 B
B < 1 Streckung
Periode von sin ( α ) : 3600 Periode von sin ( B ⋅ α ) :
3600 B
3600 sin ( B ⋅ α ) = sin ( B ⋅ α + 3600 ) = sin B ⋅ α + B
C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis α 0 = −
C B
C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):
C A ⋅ sin ( B ⋅ α + C ) = A ⋅ sin B ⋅ α + B Nullstellen: y = sin ( α ) = 0 ; α = k ⋅ 1800 mit k = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 , …… Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung liegende Nullstelle (k=0) α0 berechnen.
y = A ⋅ sin ( B ⋅ α + C ) = 0
→ B ⋅ α + C = k ⋅ 1800
für k = 0 ergibt sich B ⋅ α 0 + C = 0
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→
α0 = −
C B
101
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Die allgemeine Sinusfunktion
3.2.2 Allgemeine Sinusfunktion im Bogenmass Bogenmass: y = A ⋅ sin ( B ⋅ x + C ) B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung
Änderung der Periode von 2π auf
2π B
Periode von sin ( x ) : 2π Periode von sin ( B ⋅ x ) :
2π B
2π sin ( B ⋅ x ) = sin ( B ⋅ x + 2π ) = sin B ⋅ x + B C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis α 0 = −
C B
C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):
C A ⋅ sin ( B ⋅ x + C ) = A ⋅ sin B ⋅ x + B Nullstellen: y = sin ( x ) = 0 ; x = k ⋅ π mit k = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 , …… Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung liegende Nullstelle (k=0) α0 berechnen.
y = A ⋅ sin ( B ⋅ x + C ) = 0 → B ⋅ x + C = k ⋅ π für k = 0 ergibt sich B ⋅ x 0 + C = 0
102
→
x0 = −
C B
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Dynamische Arbeitsblätter
3.3 Dynamische Arbeitsblätter 3.3.1 Allgemeine Sinusfunktion Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Sinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)
Grundfunktion y = sin ( x ) (Sinusfunktion) Transformation :
y = sin ( x )
y = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d
→
Schieberegler: Parameter a ∈ [ − 5 ; 5 ] ; b ∈ [ − 5 ; 5 ] ; c ∈ [ − 7 ; 7
] ; d∈[ − 5;5 ]
Arbeitsaufträge: 1) Zeichne die Sinusfunktion: y = ( −1) ⋅ sin ( 2 ⋅ x − 6 ) + 3 Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 2 ausklammern: y = ( −1) ⋅ sin ( 2 ⋅ [ x − 3 ] ) + 3
(
)
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben − bc / d = ( 3 / 3 ) Schritt 3: y = ( −1) ⋅ sin ( 2 ⋅ x ) im neuen Koordinatensystem aufzeichnen. a = −1: Spiegelung an der neuen x – Achse b = 2 : Stauchung in x – Richtung um Faktor 2. 2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von c ∈ [ − 7 ; 7 ] in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = – 2) und mache die
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x – Richtung (c). 3) Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung ( in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. 4) Zeichne die Sinusfunktionen: y = 2 ⋅ sin ( −x − 5 ) + 3 y = 1 ⋅ sin ( 3x − 6 ) + 2 3
(
)
y = 4 ⋅ sin 21 ⋅ x + 2 + 5 Lerneinheit 6 | Trigonometrische igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
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Die allgemeine Sinusfunktion
3.3.2 Allgemeine Kosinusfunktion Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Kosinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)
Grundfunktion y = cos ( x ) (Kosinusfunktion) Transformation :
y = cos ( x )
y = acos ( b ⋅ x + c ) + d
→
Schieberegler: Parameter a ∈ [ − 5 ; 5 ] ; b ∈ [ − 5 ; 5 ] ; c ∈ [ − 7 ; 7
] ; d∈[ − 5;5 ]
Arbeitsaufträge: 1) Zeichne die Sinusfunktion: y = 2 ⋅ cos ( 0,5 ⋅ x − 3 ) Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 0,5 ausklammern: y = 2 ⋅ cos ( 0,5 ⋅ [ x − 6 ] )
(
)
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben − bc / d = ( 6 / 0 ) Schritt 3: y = 2 ⋅ cos ( 0,5 ⋅ x ) im neuen Koordinatensystem aufzeichnen. a = 2 : Streckung in y – Richtung um Faktor 2 b = 0,5 : Streckung in x – Richtung um Faktor 2. 2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von c ∈ [ − 7 ; 7 ] in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = – 2) und mache die
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung hung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x – Richtung (c). 3) Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben! 4) Zeichne die Sinusfunktionen: y = 2 ⋅ cos ( 2x − 5 ) y = 1 ⋅ cos ( 3x − 6 ) + 2 3
(
)
y = 4 ⋅ cos 21 ⋅ x + 2 + 5
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Dynamische Arbeitsblätter
3.3.3 Repetitionstest Repetitionstest Allgemeine Sinusfunktion Ohne Hilfsmittel, Zeit: 45 Minuten Aufgabe 1 Wie lauten die Funktionsgleichungen der folgenden Graphen? Graph 1:
Graph 2:
Graph 1 2 1.5 1 0.5
-180 -150 -120 -90 -60
0 -30 0 -0.5
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
-1 -1.5 -2
Graph 2 2 1.5 1 0.5 0 -180 -150 -120 -90 -60 -30
0
-0.5 -1 -1.5 -2
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Die allgemeine Sinusfunktion
Aufgabe 2 Wie lautet die Funktionsgleichung des folgenden Graphen?
1 0.75 0.5 0.25 0 -180 -150 -120 -90
-60
-30
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
-0.25 -0.5 -0.75 -1
Der Funktionsgraph wird an der y-Achse gespiegelt. Wie lautet nun die Funktionsgleichung?
Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f(x) = ( −3 ) ⋅ sin(2x + 30°) . Durch welche Abbildungen erhalten wir den Graphen von f aus der Sinusfunktion y = sin(x) ? Nenne alle Abbildungen mit den zugehörigen Funktionsgleichungen. (keine Graphen zeichnen)
Bestimme: die Periode von f(x) die Wertemenge von f(x) (Wertebereich) die Nullstellen der Funktion f(x) im Bereich 00 ≤ x ≤ 1800 .
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Dynamische Arbeitsblätter
Aufgabe 4 Untenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Sinus-Funktion f(x). Ermittle die Funktionsgleichung von f. Zeichne für die Rechnung die wichtigen Grössen ein. Das Ergebnis soll Brüche (keine Dezimalbrüche) enthalten.
Aufgabe 5
(
)
Gegeben ist die Funktion: f(x) = 0,5 ⋅ sin 3 ⋅ x + π mit x ∈ R . 3 Bestimme die Periodenlänge und die Wertemenge von f.
Bestimme die Nullstellen der Funktion f im Intervall [ 0 ; π ] .
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Die allgemeine Sinusfunktion
3.4 Anwendung Modellbildung 3.4.1 Modellbildung Temperaturverlauf Der Tagesverlauf der mittleren Oberflächentemperatur einer Hausfassade kann durch die allgemeine Sinusfunktion T ( t ) = A ⋅ sin ( B ⋅ t + C ) + D beschrieben werden. a) Bestimme die Parameter A, B, C und D, wenn folgendes bekannt ist: – Der zeitliche Verlauf erstreckt sich über einen Tag von 0 Uhr bis 24 Uhr. – Die maximale Temperatur beträgt Tmax = 40o C und wird um 13 Uhr erreicht. – Die minimale Temperatur beträgt Tmin = −20o C b) Für welche Zeiten t beträgt die Oberflächentemperatur 0o C ? c) Die Lufttemperatur in der Nähe der Fassade wird durch untenstehendes Diagramm beschrieben. Ermittle eine Funktionsgleichung für die Lufttemperatur. d) Zu welchen Zeiten sind die Oberflächentemperatur und die Lufttemperatur gleich? Lufttemperatur in oC 20
4 Zeit in h O
2
10
20
24
–4
Lösung a) T ( t ) = A ⋅ sin ( B ⋅ t + C ) + D A=
2π π 40 + 20 40 − 20 = = 30 ; D = = 10 ; B = 2 2 24 12
π T ( t ) = 30 ⋅ sin ( 12 ⋅ t + C ) + 10
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Anwendung Modellbildung π ⋅ 13 + C ) + 10 = 40 Berechnung von C: T ( 13 ) = 30 ⋅ sin ( 12 π sin ( 12 ⋅ 13 + C ) = 1 →
→
C=
π 2
π 7π − 13 = − 12 12
π 12
→
⋅ 13 + C =
π 2
π 7π T ( t ) = 30 ⋅ sin ( 12 ⋅ t − 12 ) + 10
π T ( t ) = 30 ⋅ sin ( 12 ⋅ [ t − 7 ] ) + 10
b) Zeit t bei der die Oberflächentemperatur 0o C beträgt. π T ( t ) = 30 ⋅ sin ( 12 ⋅ t − 712π ) + 10 = 0 π sin ( 12 ⋅ [ t − 7 ] ) = − 31 Rechner: t1 = 5,7 h ;
t 2 = 20,3 h
solve Befehl
Graphisch
c) Betragsfunktion für die Lufttemperatur. T ( t ) = − 2 ⋅ ( t − 12 ) + 20 = − 2 ⋅ t − 24 + 20 T ( t ) = ( −2 ) ⋅ t − 12 + 20 d) Zeit wo die Oberflächentemperatur und die Lufttemperatur gleich sind? Rechner (graphisch, Intersection) t1 = 7 h ; t 2 = 19,7 h
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Die allgemeine Sinusfunktion
3.4.2 Modellbildung Wirtschaftsindex Ein Wirtschaftsindex kann im Jahresverlauf durch eine Sinusfunktion
WI ( t ) = A ⋅ sin ( B ⋅ t + C ) + D dargestellt werden. Der Verlauf wird wöchentlich 0 ≤ t ≤ 52 ermittelt, wobei der maximale Wert 17 und der minimale Wert –3 beträgt. Das Maximum wird in der 5. Woche erreicht. a) Bestimme die Funktion WI(t). b) Wie gross ist der Index am Beginn des Jahres WI(0)? c) In welchen Wochen wird der Index Null? d) Ein Wachstumsindex kann durch die Funktion WA ( t ) = 0,2 ⋅ t beschrieben werden. Wann sind der Wirtschaftindex und der Wachstumsindex gleich gross? Lösung: a) Bestimmung von A: A = Bestimmung von B: B =
17 − ( −3) = 10 2
2π 52
Bestimmung von D: D = 17 − 10 = 7
2π ⋅ 5 + C + 7 = 17 Bestimmung von C: WI ( 5 ) = 10 ⋅ sin 52 → → →
2π sin ⋅ 5 + C = 1 52 2π π ⋅5 + C = 52 2 π 5π 1 5 4π C= − = π ⋅ − = 2 26 2 26 13
2π 4π 2π WI ( t ) = 10 ⋅ sin ⋅t+ + 7 = 10 ⋅ sin ⋅ [ t + 8 ] + 7 13 52 52
4π + 7 = 15,23 b) WI ( 0 ) = 10 ⋅ sin 13 2π ⋅ t + 8 + 7 = 0 c) WI ( t ) = 10 ⋅ sin [ ] 52 In der 24. und 37. Woche wird WI Null. d) WI ( t ) = WA ( t )
2π → 10 ⋅ sin ⋅ [ t + 8 ] + 7 = 0,2 ⋅ t 52
In der 20. und 45. Wochen sind die beiden Indices gleich.
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Anwendung Biorhythmen
3.5 Anwendung Biorhythmen 3.5.1 Theorie vom Biorhythmus (Quelle: Mathematik mit Computern von Georges Murbach) Begründer der Biorhythmik-Lehre ist Dr. Wilhelm Fliess, ein Zeitgenosse und Verehrer von Sigmund Freud. Für den geistigen Vater der Biorhythmen „rollt das ganze Dasein nach einer inneren Ordnung ab, kraft derer die Zeiten des Geborenwerdens und Sterbens, des Wachsens und Vergehens ihren festen Platz einnehmen“. Seit dem Moment der Geburt eines Menschen schwanken seine körperlichen und seelischen Lebenskräfte in immer gleich bleibenden Rhythmus der körperliche währt 23 Tage, der seelische 28 Tage und der intellektuelle 33 Tage.
2π y ( t ) = sin ⋅ t : Sinusfunktion mit der Periode T T
Korrekt besagt die Theorie vom Biorhythmus, dass jeder Mensch sich elfeinhalb Tage körperlich in einer Hoch- oder Aktivitätsphase, ebenfalls elfeinhalb Tage in einer Tief- oder Regenerationsphase befindet. Das gleiche geschieht im seelischen Bereich, dessen beide Phasen 14 Tage dauern, und im Intellektbereich mit je 16,5-tägigen Phasen. Weil aber die drei Phasen unterschiedlich lang sind, kommt es zu unterschiedlichen, immer wechselnden Kombinationen des individuellen körperlichen, seelischen und geistigen Wohl- oder Missbefindens. Der amerikanische Pharmakonzern PFIZER teilt seine Produktionsarbeiter nach ihrem Biorhythmus ein und senkte die Unfallrate um fast 60%. Biorhythmen sind Lebens-Rhythmen, Perioden gesteigerter oder verminderter Leistungsfähigkeit und Widerstandskraft gegen aussergewöhnliche Anstrengungen oder Belastungen körperlicher oder geistiger Art. Sie sind nach dem heutigen Stand der Wissenschaft und Technik im Voraus feststellbare Kräfteverhältnisse im Organismus des Menschen. Nach der Theorie von Fliess sind Tage besonders kritisch, wo mehrere Perioden gleichzeitig einen Nulldurchgang haben, sich also von der Aktivitäts- in die Regenerationsphase bewegen und umgekehrt.
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Die allgemeine Sinusfunktion
3.5.2
Beispiele Am 1. August 1976 erlitt der bekannte Formel-1-Pilot Niki Lauda auf dem Nürburgring einen fürchterlichen Unfall. Schon Tage zuvor fühlte er sich in einer schlechten Verfassung, obschon der medizinische Befund ganz ausgezeichnet war. (Geburtsdatum: 22. 2. 1949)
Niki Lauda
1
3
5
7
9
11
13
15
physisch
17
19
21
psychisch
23
25
27
29
27
29
31
intellektuell
Benno Frei
1
3
5
7
9
11
13
physisch
15
17
19
psychisch
21
23
25
31
intellektuell
Eigene Berechnungen mit der mitgelieferten Excel – Datei!
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Sinus als Polynom
3.6 Sinus als Polynom Dynamisches Arbeitsblatt sinus_Polynom Zeit: 10 Minuten
Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion dargestellt werden, wobei der Grad unendlich ist.
sin(x) = x −
x3 x5 x7 x9 x11 x13 x15 x17 x19 + − + − + − + − +⋯ −⋯ 3! 5! 7! 9! 11! 13! 15! 17! 19!
( 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 Fakultät) Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt sin( − x) = − sin(x) , d.h. sin(x) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung). Je nach Genauigkeit kann diee Sinusfunktion als Polynom n-ten n Grades dargestellt werden. Schieberegler a bis j (0: Funktion ausgeblendet, 1: 1 Funktion eingeblendet) a) sin(x) ≈ x (Polynom 1. Grades): Grades Schieberegler a Beachte: Für kleine x ist die Sinusfunktion eine Gerade mit Steigung 1. x3 b) sin(x) ≈ x − (Polynom 3. Grades): Grades) Schieberegler b 3! x3 x5 + c) sin(x) ≈ x − (Polynom 5. Grades): Grades) Schieberegler c 3! 5! x3 x5 x7 + − d) sin(x) ≈ x − (Polynom 7. Grades):: Schieberegler d usw. 3! 5! 7! Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion. Für die Kosinusfunktion gilt (gerade Funktion):
cos(x) = 1 −
x2 x4 x6 x8 x10 x12 x14 x16 x18 + − + − + − + − +⋯−⋯ 2! 4! 6! 8! 10! 12! 14! 16! 18!
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Anwendung Schwingungen
4 Anwendung Schwingungen 4.1 Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
Ein kleiner Körper P bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit Radius r. Diese Kreisbewegung wird durch parallel einfallendes Licht auf eine Wand projiziert, die normal zur Kreisbahn steht. Der Schatten P’ vollführt eine Auf- und Abbewegung.
r ⋅ cos ( ω ⋅ t ) Der Körper P kann durch seinen Ortsvektor r ( t ) = OP = r ⋅ sin ( ω ⋅ t ) beschrieben werde. Für die Projektion erhalten wir dann die y-Komponente des Ortsvektors: y ' ( t ) = r ⋅ sin ( ω ⋅ t ) . Diese wird in Funktion der Zeit als Funktionsgraph dargestellt. Eine Bewegung nach diesem zeitlichen Gesetz heisst Sinusschwingung oder harmonische Schwingung mit der Amplitude r und der Kreisfrequenz ω . Damit ist der enge Zusammenhang zwischen einer Kreisbewegung und einer Sinusschwingung aufgezeigt. Ist ϕ der in der Zeit t durchlaufene Drehwinkel, so gilt ω =
ϕ t
→
ϕ = ω⋅t.
Wenn der Körper für einen Umlauf auf der Kreisbahn die Zeit T benötigt, so folgt noch der wichtige Zusammenhang zwischen ω und T: ω =
2π T
Harmonische Schwingung: y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ0 ) A: Amplitude ; ω : Kreisfrequenz ; ϕ0 : Nullphasenwinkel
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/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
4.1.1 Periodendauer Wird ω bei gleich bleibender Amplitude verändert, so ändert dies die Periode der Sinusfunktion. Wir können dies allgemein überlegen: Da die Periodenlänge der Sinusfunktion 2π beträgt gilt:
2π y ( t ) = sin ( ω ⋅ t ) = sin ( ω ⋅ t + 2π ) = sin ω ⋅ t + ω Da also die Addition von
2π zu t wieder den gleichen Funktionswert ergibt, ω
hat sich die Periode von bisher 2π auf
2π geändert. Wir bezeichnen allgemein ω
die Periode bei einer zeitabhängigen Sinusfunktion mit dem Buchstaben T und nennen sie auch Periodendauer oder Schwingungsdauer. Periodendauer (Periode) einer Sinusfunktion: T =
2π ω
ω = 0,5
ω = 1,5
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Anwendung Schwingungen
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: t ∈ [ 0 ; 29 ] : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
ω ∈ [ 0 ; 2 ] : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω ∈ [ 0 ; 2 ] rads−1 Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht werden. Arbeitsaufträge: 1) Bedeutung der Nullphase/ positiv Linksverschiebung 2) Setze den Schieberegler auf ω = 1rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander. 3) Setze den Schieberegler auf ω = 0,25 rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest? 4) Setze den Schieberegler auf ω = 2 rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst stells du fest?
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/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: zweiPunkte_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: t ∈ [ 0 ; 29 ] : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
ω ∈ [ 0 ; 2 ] : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt Q rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 1rads−1 Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω ∈ [ 0 ; 2 ] rads−1
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte Punkt gelöscht werden. Arbeitsaufträge: 1) Setze den Schieberegler auf ω = 1rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander. 2) Setze den Schieberegler auf ω = 0,25 rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest? 3) Setze den Schieberegler auf ω = 2 rads−1 und lass die beiden Punkte P und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
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Anwendung Schwingungen
4.1.2 Phasenverschiebung Die Sinusfunktion y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t ) beschreibt einen Vorgang, der mit dem Funktionswert 0 beginnt. Die Sinusfunktion y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ0 ) besitzt zum Zeitpunkt t = 0 bereits den Wert y ( 0 ) = A ⋅ sin ( ϕ0 ) und ist gegenüber jener mit ϕ0 = 0 nach links oder rechts verschoben, sonst aber deckungsgleich. Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung liegende Nullstelle t0 berechnen: y = 0 für ω ⋅ t + ϕ0 = k ⋅ π ( k = 0, ± 1, ± 2, …… )
Und daraus mit k = 0 : t 0 = −
ϕ0 ω
Nullstelle zur Berechnung der Verschiebung: t 0 = −
ϕ0 ω
Nach der Nullstelle t0 steigt die Sinusfunktion an (überlege!). ω ⋅ t + ϕ0 wird Phasenwinkel, ϕ0 Nullphasenwinkel genannt. Die Richtung der
Verschiebung gegenüber dem Graphen von y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t ) folgt aus dem Vorzeichen von ϕ0 (begründe!): ϕ0 > 0 : Linksverschiebung ϕ0 < 0 : Rechtsverschiebung
Zusammenfassung der Bedeutung der Grössen A, ω und ϕ0
y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ0 ) A: Streckung in y – Richtung ω : Änderung der Periode von 2π auf
ϕ0 : Verschiebung bis t 0 = −
2π ω
ϕ0 ω
ϕ y ( t ) = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ0 ) = A ⋅ sin ω ⋅ t + 0 ω
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/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Nullphase_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler:
t ∈ [ 0 ; 29 ] : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
ω ∈ [ 0 ; 2 ] : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
ϕ0 ∈ [ 0 ; 2π ] = [ 0 ; 6,28 ] : Nullphase von P
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω ∈ [ 0 ; 2 ] rads−1 Startposition von P : ϕ0 ∈ [ 0 ; 2π ] = [ 0 ; 6,28 ]
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht werden. Arbeitsaufträge: 1) Bedeutung der Nullphase: Wähle einige Werte für die Nullphase ϕ0 ∈ [ 0 ; 2π ] = [ 0 ; 6,28 ] und interpretiere den Effekt auf die Sinusfunktion. 2) Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer FeF der): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden. π 3π Diskutiere einige Spezialfälle: ϕ0 = ; ϕ0 = π ; ϕ0 = 2 2 3) Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine LinksLink verschiebung der Sinusfunktion. Videoclip: Datei 0501analogie Analogie Federpendel / Kreisbewegung Projizierte Kreisbewegung und Federpendel synchron
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Anwendung Schwingungen
4.1.3 Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven Zeit: 15 Minuten Frage 1: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t ∈ R )? a) P ( cos ( t ) | sin ( t ) )
b) P ( a ⋅ cos ( t ) | a ⋅ sin ( t ) )
Frage 2: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t ∈ R )?
P ( a ⋅ cos ( t ) | b ⋅ sin ( t ) )
Frage 3: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t ∈ R )?
P ( t ⋅ cos ( t ) | t ⋅ sin ( t ) )
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Beispiele von Schwingungen
4.2 Beispiele von Schwingungen Java-Applets zur Physik (Java 2.0) von W. Fendt http://www.walter-fendt.de/ph11d/
4.2.1 Federpendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm
4.2.2 Fadenpendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/fadenpendel.htm
4.2.3 Gekoppelte Pendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/gekopendel.htm
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Anwendung Schwingungen
4.2.4 Erzwungene Schwingung (Resonanz)
http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm
4.2.5 Stehende Längswellen
http://www.walter-fendt.de/ph11d/stlwellen.htm
4.2.6 Elektromagnetischer Schwingkreis
http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwingkreis.htm
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Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
4.3 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/uebersicht.htm Unterrichtseinheit erstellt von Judith Preiner, 8.4.2005 In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die FourierAnalyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden. Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weitgehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie heraus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experimentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeitsblätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittelbarem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zusammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikalischen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Bedeutung für die Physik und die Musik kennen.
4.3.1 Überlagerung von harmonischen Schwingungen Harmonische Schwingungen wenig verschiedener Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (Schwebung). Phänomen Schwebung: Sinus-Schwingung: y = A ⋅ sin ( ω ⋅ t ) A = Amplitude (Luftdruckschwankung → Lautstärke)
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Anwendung Schwingungen
ω = 2πf = Kreisfrequenz f = Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde → Tonhöhe) T = Schwingungsdauer T =
1 2π = f ω
Überlagerung von zwei Sinus-Schwingungen:
y = A1 ⋅ sin ( ω1 ⋅ t ) + A2 ⋅ sin ( ω2 ⋅ t ) Voraussetzung: A1 = A2 = A , ω1 ≈ ω2
( ω1 > ω2 )
α − β ⋅ sin α + β Mathematik: sin ( α ) + sin ( β ) = 2 ⋅ cos 2 2 α = ω1 ⋅ t
; β = ω2 ⋅ t einsetzen
ω − ω2 ω + ω2 y = A ⋅ sin ( ω1 ⋅ t ) + A ⋅ sin ( ω2 ⋅ t ) = 2A ⋅ cos 1 ⋅ t ⋅ sin 1 ⋅t 2 2 Der Kosinus-Term beschreibt die langsame Amplitudenänderung (Schwebung). Schwebungsfrequenz: fSchweb = f1 − f2 ( ω1 − ω2 ) Warum nicht durch 2 dividiert? Der Sinus - Term beschreibt die Frequenz der resultierenden mittleren Frequenz. fResult =
f1 + f2 2
(
ω1 + ω2 ) 2
http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwebung.htm Rechnung demonstrieren: Stimmgabel: f1 = 440Hz , f2 = 438Hz
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Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
4.3.2 Anwendung Physik lineare Rückstellkraft Ursache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft FR . Sie ist die Resultierende der auf einen Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungsschwingungs fähigen System ein lineares Kraftgesetz ( FR proportional y) vor, so kommt es zu einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung). Umgekehrt können wir aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung auf ein lineares Kraftgesetz schliessen.
Kreisbewegung: FZ = m ⋅
v2 mit v = ω ⋅ r folgt r
FZ = m ω2 ⋅ r (lineares Kraftgesetz: FZ proportional r) Wenn wir dem Radius r eine Richtung geben, geben ist die Kraft entgegengesetzt geg richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen FZ = − m ω2 ⋅ r . Federschwingung Eine Kugel (Masse m ) bewegt sich an einer Feder (Federkonstante D ). Die Kugel wird aus der Ruhelage (Weg = 0) 0,4m nach rechts ausgelenkt und dann aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.
v
Graphische Modellbildung
a=
Fres m
Weg = 0,4
v =0
Fres = −D ⋅ Weg
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