Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Trigonometrische Funktionen Die hier behandelten trigonometrischen Funktionen sind sin, cos, tan, cot. Es zeigt sich, dass die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nur st¨ uckweise definiert werden k¨onnen. Die trigonometrischen Funktionen sind st¨ uckweise streng monoton, und nur f¨ ur diese Teile l¨asst sich eine Umkehrfunktion bilden. ¨ F¨ ur den Cotangens und seine Umkehrfunktion bedarf es einiger zus¨atzlicher Uberlegungen, da die Bezeichnung Cotangens nicht allen Taschenrechnern gel¨aufig ist. Bei den Beschriftungen auf Taschenrechnern bezeichnet tan−1 in der Regel die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcus Tangens oder atan. 1 . Man beachte, dass cot(x) = tan(x) 1 In algebraischen Ausdr¨ ucken bezeichnet a−1 den Term . a Die Bezeichnungen atan und arctan werden simultan verwendet. Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens. Die Umkehrfunktion des Cotangens ist gleich der Funktion

π − arctan(x) 2

Das wird im folgenden gezeigt.

1

Tangens, Arcustangens, Cotangens, Arcuscotangens

Die nachfolgende Abbildung zeigt, wie man den Graphen der Funktion atan aus dem Graphen der Funktion tan konstruieren kann. Man erh¨alt den Graphen der Funktion atan aus dem Graphen der Funktion tan durch Spiegelung an der Geraden y = x. Dabei wird der Zweig des Tangens gespiegelt, dessen Graph durch den Nullpunkt des Koordinatensystems geht.

1

1.1

Graphen der Funktionen Tangens, Arcustangens

Abbildung 1: tan, atan Hat man den Arcustangens (atan) auf diese Weise konstruiert, so kann man hieraus den π Graphen der Funktion − atan(x) bestimmen. 2

2

1.2

Bildung des Graphen der Funktion

π 2

− atan(x) = arccot(x)

Abbildung 2: tan, atan, acot

3

1.3

ArcusCotangens

π Den Graphen von − atan(x) erh¨alt man auch durch Spiegelung eines Zweiges der Cotan2 gens Funktion an der Geraden y = x. Diese Spiegelung ergibt aber gerade die Umkehrfunktion des Cotangens, den Arcus Cotangens oder acot. Damit ist graphisch gezeigt, dass acot(x) =

π − atan(x) 2

Die graphische Darstellung folgt auf der n¨achsten Seite.

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1.4

Graphen der Funktionen Cotangens, Arcuscotangens

Abbildung 3: cot, arccot

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Abbildung 4: arccot

6

2

ArcusSinus

Abbildung 5: sin, arcsin

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2.1

Aufgabe 1: Berechne arcsin(1, 5), wenn m¨ oglich

π π Der Sinus ist streng monoton zwischen − und + und somit dort umkehrbar. Die Um2 2 kehrfunktion f¨ ur diesen Teilbereich des Sinus wird als Arcussinus bezeichnet. ¨ Uber Definitionsbereiche und Wertebereiche von Funktionen und ihre Umkehrfunktionen gelten folgende Aussagen: Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion ist gleich dem Wertebereich der Funktion, aus der die Umkehrfunktion gebildet wurde. Da die Funktionswerte des Sinus im Intervall zwischen −1 und +1 liegen, kann auch der Definitionsbereich des Arcus-Sinus nur Punkte dieses Intervalls beinhalten. 1, 5 liegt außerhalb dieses Intervalles. Daher ist arcsin(1, 5) nicht definiert.

2.2

Aufgabe 2: Bestimme x aus arcsin x = 2, 5, wenn m¨ oglich

Aus dem Funktionsgraphen erkennt man: arcsin(x) = 2, 5 ist nicht l¨osbar im Bereich der reellen Zahlen. Der Wertebereich von arcsin ist gleich dem Definitionsbereich seiner Umkehrfunktion, das π π ist der Bereich zwischen − und . 2 2 π π π ist ungef¨ahr 1, 57. Der Wert 2, 5 liegt außerhalb des Intervalles [− , ]. 2 2 2

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3

ArcusCosinus

Abbildung 6: cos, acos

3.1

Aufgabe 3: Man l¨ ose die Gleichung arccos x = 0, 25

Die vorangehende Abbildung zeigt die L¨osbarkeit der Gleichung. cos(arccos x) = x ⇒ x = cos(0, 25)

9

x = 0.9689 (approximativ) L¨osung mit Taschenrechner.

4

Bogenmaß und Gradmaß

Der Umfang des Kreises berechnet sich nach der Formel U = 2rπ. Zur Festlegung des Bogenmaßes betrachtet man einen speziellen Kreis, den Einheitskreis. Das Bogenmaß ist die L¨ange eines Kreisbogens auf dem Einheitskreis. Ein Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung eines zweidimensionalen xy-Koordinatensystems mit dem Radius r = 1. Der Umfang des Einheitskreises betr¨agt 2π. Ein Viertelkreis hat die π Bogenl¨ange . 2 Die Angabe

◦

bezeichnet einen Winkel im Gradmaß.

Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Einheitskreis mit eingezeichnetem Winkel α = 90◦ . Das zugeh¨orige Bogenmaß ist die L¨ange des Kreisbogens, der diesem Winkel entspricht. π F¨ ur α = 90◦ ist das gerade die L¨ange des Viertelkreises . 2

10

4.1 4.1.1

Bogenmaß und Gradmaß am Einheitskreis Der Einheitskreis

Abbildung 7: Einheitskreis Der Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Gradmaß: x α = 2π 360 x · 180 α= π α·π x= 180 Dabei wird α in Grad (deg, ◦ ) gemessen und x im Bogenmaß.

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F¨ ur α = 90◦ betr¨agt das Bogenmaß gerade ein Viertel des Einheitskreis-Umfanges. Beispiel: x=

π α 1 ⇒ = 2 360 2

α = 90◦ α = 90◦ ⇒ x =

π 2

F¨ ur einen Kreis mit Radius r = 2 erh¨alt man als Kreisumfang 4π. Einem Winkel von α = 90◦ entspricht in diesem Fall ein Kreisbogenst¨ uck der L¨ange π.

12

5 5.1 5.1.1

Aufgabe 4: Funktionsgraphen Aufgabe 4.a: y = 4 sin(3x − π) Dynamische HTML Datei fu ¨ r Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π)

Link auf eine dynamische HTML Datei Link: 4 sin(3x − π) Dieser Link wurde dynamisch eingerichtet (relativer Link). Die dynamische HTML Datei befindet sich im gleichen Directory (Folder) wie das pdf file. Adobe macht hier Probleme. Falls der Link nicht funktioniert, bitte den nachfolgenden Link verwenden (Link2). Er beinhaltet eine fest definierte URL. Link2: 4 sin(3x − π) Falls beide Links nicht funktionieren, der nachfolgenden Paragraph umfasst die Inhalte der dynamischen HTML Datei. Das Dynamische hat hier folgende Bedeutung: man kann einzelne Funktionsgraphen einblenden bzw. ausblenden.

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5.1.2

Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π)

Schwarz: y = sin(x) Rot: y = sin(3x) Blau: y = 4 sin(3x) Gr¨ un: y = 4 sin(3x − π)

Abbildung 8: Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π)

5.2

Aufgabe 4.b: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x

Direkte graphische Addition der beiden Funktionen

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5.2.1

Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x

Rot: y = 3 sin(2x) Blau: y = 4 cos(2x) Gr¨ un: y = 3 sin(2x) + 4 cos(2x)

Abbildung 9: Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x

5.3

Aufgabe 4.c

y = 3 sin x + 2 sin x −

π 2




15

5.3.1

Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin x −

π 2




Rot: y = 3 sin x
Blau: y = 2 sin x − π2
Gr¨ un: y = 3 sin x + 2 sin x − π2

Abbildung 10: Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin x −

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π 2




Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tan, atan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan, atan, acot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot, arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin, arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos, acos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π) . . . Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x .
. Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin x − π2

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2 3 5 6 7 9 11 14 15 16

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 Tangens, Arcustangens, Cotangens, Arcuscotangens 1.1 Graphen der Funktionen Tangens, Arcustangens . . . . . . . 1.2 Bildung des Graphen der Funktion π2 − atan(x) = arccot(x) 1.3 ArcusCotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Graphen der Funktionen Cotangens, Arcuscotangens . . . .

. . . .

1 2 3 4 5

2 ArcusSinus 2.1 Aufgabe 1: Berechne arcsin(1, 5), wenn m¨oglich . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Aufgabe 2: Bestimme x aus arcsin x = 2, 5, wenn m¨oglich . . . . . . . . . . .

7 8 8

3 ArcusCosinus 3.1 Aufgabe 3: Man l¨ose die Gleichung arccos x = 0, 25 . . . . . . . . . . . . . .

9 9

4 Bogenmaß und Gradmaß 4.1 Bogenmaß und Gradmaß am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Der Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 11

5 Aufgabe 4: Funktionsgraphen 5.1 Aufgabe 4.a: y = 4 sin(3x − π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Dynamische HTML Datei f¨ ur Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π) 5.1.2 Bildung des Graphen von y = 4 sin(3x − π) . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Aufgabe 4.b: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Graphische Addition: y = 3 sin 2x + 4 cos 2x . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aufgabe 4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Graphische Addition: y = 3 sin x + 2 sin x − π2 . . . . . . . . . . . .

13 13 13 14 14 15 15 16

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