TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas PÁGINA 156 Actividades 1.

Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de la ecuación 3x

3 1 y 4 Sustituimos estos valores en la ecuación: 3 3 4 1 8 4 9 4 8 4 9 1 8 CIERTÍSIMOOOOO!!!!! Luego si es solución. Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación x Tenemos las soluciones siguientes:

4y

8

x

f)

x

3

y

1

x

2

y

2

pues 3

1

4

pues 2

2

4

x

2

y

6

x

1

y

3

x

3. 5

y

0. 5

x

3

y

7

pues 2

pues 1

6

3

4

4

4

pues 3. 5

pues 3

y

0. 5

7

4. 0

4

Etcétera.................................................. nos podemos morir sin haber terminado de dar parejas de valores cuya suma sea 4. Por eso, decimos que las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Tareas 11-03-2013: 2 3 Copia y completa en tu cuaderno la tabla, con soluciones de la ecuación 3x y 12. x 0 y

3 9

5 -1 0

-3 18

Si x 0 tenemos que hallar y : 3 0 y 12 0 y 12 y 12 Si y 9 tenemos que hallar x : 3x 9 12 3x 12 9 3x 3 3 1 x 3 Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 3 1

Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones: a) 2x 5 y 2x y 5 x y x 1 d) 5 3 5x y 3x 1 5x 5y 3x 3 5x 5y 3x 3 2x 5y 3 Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 4. 4

Página 157 Actividades Completa la tabla para cada ecuación y representa la recta correspondiente. b) x 2y 2 Vamos a despejar la "y" en función de la " x" : x 2 2y x 2 y 2 De esta forma al dar valores a la x y sustituirlas en la expresión anterior, nos salen los valores correspondientes de y. 5

Tenemos la tabla x -6 -4 -2 0 2 4 6 ........ y -4 -3 -2 -1 0 1 2 Vamos a completarla, es decir, rellenar los valores de y. 6 2 8 x 6 y 4 2 2 4 2 6 x 4 y 3 2 2 2 2 4 x 2 y 2 2 2 0 2 2 x 0 y 1 2 2 2 2 0 x 2 y 0 2 2 4 2 2 x 4 y 1 2 2 6 2 4 x 6 y 2 2 2 La representación gráfica quedaría como

Pero en realidad, para representar cualquier recta nos basta con conocer dos puntos nada mas. Por lo tanto, a partir de ahora, para representar rectas sólo daremos tablas con dos valores. Tareas 12-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 5. 6 Representa gráficamente: 2

f) 2x 3y 3 0 Despejamos la "y" en función de la "x": 2x 3 3y 2x 3 y 3 2 Tabla de valores x -2 y -2.3 0.3 2 2 3 4 3 7 x 2 y 2. 333 3 2. 3 3 3 3 2 2 3 4 3 1 x 2 y 0. 333 33 0, 3 3 3 3 Vamos a pintar los puntos A 2, 2. 3 y B 2, 0. 3 para luego unirlos mediante una recta:

Tareas 13-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 6

7.2 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está asociado a la representación gráfica de dos rectas en el plano, que pueden ocupar las siguientes posiciones relativas: Rectas paralelas: no tendrían ningún punto en común, por lo que el sistema no tendría solución. Diremos que es un sistema incompatible.

y

-5

-4

-3

-2

-1

16 14 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18

1

2

3

4

5

x

Rectas coincidentes: tendrían infinitos puntos en común, por lo que el sistema tendría infinitas soluciones. Diremos que es un sistema compatible indeterminado.

3

y

14 12 10 8 6 4 2

-5

-4

-3

-2

-1

-2

1

2

3

4

5

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14

Rectas que se cortan en un punto: por lo que el sistema tendría una única solución. Diremos que el sistema es compatible determinado.

y 20

10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-10

-20

Tareas 13-02-2013: todos los ejercicios de la página 158

7.3 Métodos para la resolución de sistemas lineales 7.3.1 Método de sustitución

Página 159 Actividades Tareas 19-03-2013: todas las actividades de esa página 7.3.2 Método de igualación Tareas 20-03-2013: todas las actividades de esa página. 7.3.3 Método de reducción Tareas 21-03-2013: todas las actividades de esa página.

7.4 Resolución de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaciones Página 162 Actividades 1.

En una clase hay 29 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera en tres al número de chicos. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase? CHICOS x CHICAS y CHICOS CHICAS 29 x y 29 CHICAS CHICOS 3 y x 3 4

Tenemos el siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x

y

y

29 x

3

Utilizaremos el método de reducción para resolverlo x

y x

29 y

3

b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita: 0x 2y 32 2y 32 32 y 16 2 d) Sustituimos este valor y 16 en cualesquiera de las ecuaciones iniciales: x 16 29 x 29 16 13 Solución del sistema

x

13

y

16

Respuesta a la pregunta: hay 13 chicos y 16 chicas. Tareas 02-04-2013: 2

Página 163 Actividades En la frutería, un cliente ha pagado 3.90 euros por un kilo de naranjas dos de manzanas. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, y ha pagado 5.70 euros. ¿Cuánto cuesta un kilo de manzanas y un kilo de naranjas? 1 x naranjas 2 x manzanas 3.90 x 2y 3. 9 3 x naranjas 1 x manzanas 5.70 3x y 5. 7 4

Llamamos

x precio de un kilo de naranjas y precio de un kilo de manzanas

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x

2y

3. 9

3x

y

5. 7

Vamos a resolverlo por el método de igualación. a) Despejamos x en ambas ecuaciones. x 3x

3. 9 5. 7

2y y

x

3. 9 2y 5. 7 y x 3 b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. 5. 7 y 3. 9 2y 3 c) Resolvemos la ecuación en y. 3 3. 9 2y 5. 7 y 11. 7 6y 5. 7 y 11. 7 5. 7 y 6y 6 5y 6 1. 2 y 5 Lo hacemos con números decimales pues sabemos que se trata de un precio en euros. d) Sustituimos el valor y 1. 2 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x. 5

x

3. 9

2 1. 2

3. 9

2. 4

1. 5

x

1. 5

y

1. 2

Solución del sistema

Respuesta a la pregunta: un kilo de naranjas vale 1.50 euros y un kilo de manzanas vale 1.20 euros. Tareas 03-04-2013: 3 6 ¿Qué cantidad de oro, a 8 euros/gramo, y de plata, a 1.7 euros/gramo, se necesitan para obtener 1 kg de aleación que resulte a 4.22 euros/gramo? cantidad (g) precio (euros/g) coste (euros) oro

x

8

8x

plata

y

1.7

1.7y

aleación

1000

4.22

4220

Recordamos que 1kg 1000 g. Sacamos el siguiente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x 8x

y

1000

1. 7y

4220

Aplicamos el método de sustitución a) Despejamos x en la primera ecuación. x 1000 y b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 8 1000 y 1. 7y 4220 c) Resolvemos la ecuación de primer grado en y obtenida. 8000 8y 1. 7y 4220 8y 1. 7y 4220 8000 6. 3y 3780 3780 y 600. 0 6. 3 d) Sustituimos el valor de y 600 en la expresión obtenida al despejar x, y calculamos. x 1000 600 400 Solución del sistema

x

400

y

600

Respuesta a la pregunta: necesitamos 400 gramos de oro y 600 gramos de plata. Tareas 03-04-2013: 5

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1.

a)

Resuelve gráficamente. x x

y 2y

1 5

Cada una de las ecuaciones lineales del sistema se representa como una recta. Para representar una recta me hacen falta dos puntos de la misma. Vamos a construir para cada una de ellas una tabla de dos valores. a.1) recta de ecuación x y 1 Despejamos "y" en función de "x": y 1 x Tabla de valores

x

2

4

y -1 -3

Se completa según las operaciones siguientes: si x 2 y 1 2 1 6

si x

4

y

1

4

3

La recta pasará por los puntos

A

2, 1

B

4, 3

a.2) recta de ecuación x 2y 5 Despejamos "y" en función de "x": x x 5 y 2 x 1 3 Tabla de valores y 3 4

5

2y

Se completa según las operaciones siguientes: 1 5 6 si x 1 y 3 2 2 3 5 8 si x 3 y 4 2 2 C 1, 3 La recta pasará por los puntos B 3, 4 La representación gráfica sería:

Las rectas se cortan en un punto x

1

y

2

1, 2 , entonces la solución del sistema es

Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1. 2 Observa el gráfico y contesta.

7

a) Escribe un sistema cuya solución sea 3x

El sistema será

x

y

2

2y

10

x

2

y

4

pues ese punto se encuentra sobre estas dos rectas.

Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 2 3 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada. d)

4x

3y

3

5x

2y

5

d.a) Despejamos y en la primera ecuación. 4x 3 3y 4x 3 y 3 d.b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 5x 2 4x 3 5 3 d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, x. La resolvemos. 5x 8x 6 5 3 Calculamos el m. c. m. 1, 3 3 8x 6 15 15x 3 3 3 Como todos los denominadores son iguales los puede eliminar. 15x 8x 6 15 15x 8x 6 15 7x 15 6 7x 21 21 x 3 7 d.d) Sustituimos el valor de x 3 en la expresión obtenida al despejar y, y calculamos: 4 3 3 12 3 15 y 5 3 3 3 x 3 Solución del sistema y 5 Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 3 4 Resuelve por igualación. d)

5x

2y

1

7x

3y

0

d.a) Despejamos la y en las dos ecuaciones. 2y

1

3y

5x 7x

5x 2 7x y 3 d.b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para y: 1 5x 7x 2 3 d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, y. La resolvemos. 3 1 5x 2 7x 3 15x 14x 3 14x 15x y

1

8

3 x d.d) Sustituimos el valor de x 3 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar y, para calcularla. 21 7 3 y 7 3 3 x 3 Solución del sistema y 7 Tareas 08-05-2013: todos los ejercicios que faltan del 4. 5 Resuelve por reducción. d)

2x

3y

5

3x

5y

9

d.a) Elegimos la x. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación 2. 2x

3y

5 3

3x

5y

9 2

6x

9y

15

6x

10y

18

d.b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, y: 0x y 3 y 3 d.d) Sustituimos el valor y 3 en cualquiera de las ecuaciones iniciales. 2x 3 3 5 2x 9 5 2x 5 9 4 2 x 2 x 2 Solución del sistema y 3 Tareas 08-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas 08-04-2013: 6 Tienen que resolverse empleando al menos dos veces método!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 9 La suma de dos números es 57, y su diferencia es 9. ¿Cuáles son esos números? Planteamiento Sean x e y los números buscados. suma de dos números es 57 x y 57 su diferencia es 9 x y 9 Resolución Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x

y

57

x

y

9

cada

Vamos a resolverlo por el sistema de sustitución. a) Despejamos la x en la primera ecuación. x y 57 x 57 y b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 57 y y 9 c) Ya tenemos una ecuación con una sóla incógnita. La resolvemos. 57 9 y y 48 2y 9

48 24 2 d) Sustituimos el valor de y x 57 24 33 y

Solución del sistema

24 en la expresión obtenida al despejar x.

x

33

y

24

Solución del problema. Los números son 33 y 24. Tareas 09-04-2013: 10,11 12 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿Cuánto ha tardado en bajar? ¿Y en subir? Planteamiento x los minutos que tardamos en bajar

Sean

y los minutos que tardamos en subir

en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada x y 23 la duración total del paseo ha sido de 87 minutos x y 87 Resolución Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x

y

23

x

y

87

Aplicamos el método de igualación. a) Despejamos la x en las dos ecuaciones. x y 23 x 23 y x y 87 x 87 y b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. 23 y 87 y c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos. y y 87 23 2y 64 64 y 32 2 d) Sustituimos el valor y 32 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, y calculamos. x 87 32 55 Solución del sistema

x

55

y

32

Solución del problema. Tardó 55 minutos en subir y bajó en 32 minutos. Tareas 09-04-2013: 13,14,15 16 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 euros el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 euros, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6600 euros. ¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? Planteamiento Llamamos

x al número de juegos no rebajados vendidos y al número de juegos rebajados vendidos 10

pone a la venta 100 juegos x y 100 La recaudación total ha sido de 6600 euros(a 70 euros el juego y rebaja a 50 euros) 70x 50y 6600 Resolución del problema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x

y

70x

100

50y

6600

Aplicamos el método de reducción. a) Elegimos una incógnita en las dos ecuaciones, la y. Multiplicamos la primera ecuación por 50 y la segunda por 1. 50 x y 100 50x 50y 5000 Nos queda el sistema 50x

50y

5000

70x

50y

6600

b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, x: 20x 0y 1600 c) Resolvemos la ecuación obtenida. 1600 x 80 20 d) Sustituimos el valor x 80 en cualquiera de las ecuaciones iniciales. 80 y 100 y 100 80 20 Solución del sistema

x

80

y

20

Solución del problema Vendió 80 juegos no rebajados y 20 rebajados. Tareas 10-04-2013: 17,18,19 20 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una? hoy dentro de diez años Cristina

x

x 10

María

y

y 10

Planteamiento del problema Cristina tiene el triple de edad que su prima María x 3y dentro de diez años solo tendrá el doble x 10 2 y 10 Resolución del sistema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x x

10

3y 2y

10

Aplicamos el método de sustitución. a) Despejamos la x en la primera ecuación. b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 3y 10 2 y 10 c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos. 3y 10 2y 20 3y 2y 20 10 y 10 11

d) Sustituimos el valor y x 3 10 30 Solución del sistema

10 en la expresión obtenida al despejar x, y calculalmos. x

30

y

10

Solución del problema Cristina tiene 30 años y María 10 años. Tareas 10-04-2013: 21 22 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

Planteamiento del problema Diferencia entre los lados x y 8 Perímetro x y x y 42 Resolución del problema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x

y

8

2x

2y

42

Como en la segunda ecuación todos son pares, podemos dividirla entre dos, quedando. x

y

8

x

y

21

Aplicamos el método de reducción. b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la x: 2x 0y 29 c) Resolvemos la ecuación obtenida. 29 x 2 De nuevo aplicamos b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la y: 0x 2y 13 c) Resolvemos la ecuación obtenida. 13 13 y 2 2 29 x 2 Solución del sistema 13 y 2 Solución del problema La base mide 29 14. 5 cm y la altura mide 13 6. 5 cm. 2 2 12

24 Un concurso de televisión está dotado de un premio de 3000 euros para repartir entre dos

concursantes, A y B. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el concursante A ha superado cinco pruebas, y el B, siete. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Planteamiento del problema Llamamos

x la cantidad que se lleva el concursante A y la cantidad que se lleva el concursante B

premio de 3000 euros para repartir entre dos concursantes, A y B x y 3000 reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas:A ha superado cinco pruebas, y y el B, siete x 5 7 Resolución del sistema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x

y 3000 y x 5 7 Aplicamos el método de igualación. a) Despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones. x 3000 y 5y x 7 b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. 5y 3000 y 7 c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, la y. 7 3000 y 5y 21000 7y 5y 21000 5y 7y 21000 12y 21000 y 1750 12 d) Sustituimos el valor y 1750 en cualesquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, y calculamos x. x 3000 1750 1250 Solución del sistema

x

1250

y

1750

Solución del problema A se lleva 1250 euros y B se lleva 1750 euros.

13