Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: a) 5 x 2 − 45 = 0

45 = 9 → x = ± 9 = ±3 5 Soluciones: x1 = 3 , x2 = −3 5 x 2 − 45 = 0 → x 2 =

b) 5 x 2 + 45 = 0

5 x 2 + 45 = 0 → x 2 = −

45 = −9 5

No tiene solución.

c) 3 x 2 − 21x = 0

 x=0 3 x 2 − 21x = 0 → x(3 x − 21) = 0 →  3 x − 21 = 0 → x = 7 Soluciones: x1 = 0 , x2 = 7 - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver una ecuación debemos pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver ecuación’. En ese momento, aparecerá el esquema de la ecuación, con un hueco para cada miembro. Para despejar la ecuación y obtener nuestro resultado sólo debemos rellenar los huecos y pinchar en el icono ‘=’. Figura 1.

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

2. Apartado a. Figura 2.

3. Apartado b. Figura 3.

4. Apartado c. Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2. Resolver las siguientes ecuaciones completas: a) x 2 + x − 6 = 0

− 1 ± 1 + 24 − 1 ± 5 = 2 2 Soluciones: x1 = 2 , x2 = −3 x2 + x − 6 = 0 → x =

2

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. b) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0

9x2 + 6x + 1 = 0 → x = Solución única: x = −

− 6 ± 36 − 36 − 6 ± 0 6 1 = =− =− 2⋅9 18 18 3

1 3

c) 5 x 2 − 7 x + 3 = 0

5x 2 − 7 x + 3 = 0 → x =

7 ± 49 − 60 7 ± − 11 Sin solución. = 10 10

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos una ecuación pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver ecuación’. Después, veremos el esquema de la ecuación, con un hueco en el lugar de cada miembro. Para despejar la ecuación y obtener nuestro resultado sólo debemos rellenar los huecos y pinchar en el icono ‘=’. Figura 5.

2. Apartado a. Figura 6.

3

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] 3. Apartado b. Figura 7.

4. Apartado c. Figura 8.

Se puede apreciar como el apartado c) no tiene solución.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 3. Resolver la ecuación x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 . =z x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 x  → z 2 − 13 z + 36 = 0 2

z=

 z = 9 → x = ±3 13 ± 169 − 144 13 ± 5 = → 2 2  z = 4 → x = ±2

Soluciones: 3, -3, 2, -2.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver un una ecuación, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que se encuentra dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá lo siguiente:

4

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 9.

2. En cada hueco, debemos escribir un miembro de nuestra ecuación (ayudándonos de la función ‘Potencia’, dentro de la misma pestaña) y cuando esté planteada pincharemos en el icono ‘=’. Figura 10.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 4. Resolver

1 1 3 − = . x x + 3 10

Multiplicamos los dos miembros por 10 x( x + 3) .

10( x + 3) − 10 x = 3x( x + 3) → 10 x + 30 − 10 x = 3x 2 + 9 x → 3x 2 + 9 x − 30 = 0 →

→ x 2 + 3x − 10 = 0 → x =

− 3 ± 9 + 40 − 3 ± 7 = 2 2

Hay dos soluciones: x1 = 2 , x2 = −5 . Comprobadas en la ecuación inicial, ambas son válidas:

1 1 5−2 3 − = = 2 5 10 10

1 1 1 1 3 − =− + = −5 −2 5 2 10

5

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Este ejercicio lo resolveremos pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver ecuación’. A continuación nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 11.

2. Rellenando el esquema (para insertar una potencia pinchamos en el icono ‘Potencia’, dentro también de la pestaña ‘Operaciones’), lo único que nos queda para obtener nuestra solución es pinchar en el botón ‘=’. Figura 12.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 5. Resolver la ecuación

x2 + 7 + 2 = 2x

x2 + 7 + 2 = 2x → x2 + 7 = 2x − 2 Elevando al cuadrado los dos miembros:

x 2 + 7 = 4 x 2 − 8 x + 4 → 3x 2 − 8 x − 3 = 0 → x = Hay dos posibles soluciones: x1 = 3 , x2 = −

8 ± 64 + 36 8 ± 10 = 6 6

1 . Las comprobamos sobre la ecuación: 3

32 + 7 + 2 = 16 + 2 = 6 ; 2 ⋅ 3 = 6 . La primera, x1 = 3 , sí es solución.

6

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. 2   1  − 7 + + 64 8 14   2= + 2 = + 2 =  La segunda, − 1 , no es solución.  3 9 3 3 3 2  1  2 −  = −  3  3

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver un una ecuación, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que se encuentra dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá lo siguiente: Figura 13.

2. En cada hueco, debemos escribir un miembro de nuestra ecuación (ayudándonos de la función ‘Potencia’, dentro de la misma pestaña) y cuando esté planteada pincharemos en el icono ‘=’. Figura 14.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 6. Resolver la ecuación Pasamos

x+4 − 6− x = 2

6 − x al segundo miembro:

x + 4 = 2 + 6 − x . Elevamos al cuadrado los dos miembros:

7

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

x + 4 = 4 + (6 − x) + 4 6 − x → x + 4 = 10 − x + 4 6 − x → → 2x − 6 = 4 6 − x → x − 3 = 2 6 − x Volvemos a elevar al cuadrado:

x 2 − 6 x + 9 = 4(6 − x) → x 2 − 6 x + 9 = 24 − 4 x → x 2 − 2 x − 15 = 0 → →x=

2 ± 4 + 60 2 ± 8 = 2 2

x1 = 5 x2 = −3

Comprobamos las dos posibles soluciones:

5 + 4 − 6 − 5 = 9 − 1 = 3 − 1 = 2 → 5 sí es solución.

− 3 + 4 − 6 − (−3) = 1 − 9 = 1 − 3 = −2 → −3 no es solución. Solución: x = 5

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Este ejercicio lo resolveremos pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver ecuación’. A continuación nos aparecerá el esquema de la ecuación.

Figura 15.

2. Rellenando el esquema (para insertar una potencia pinchamos en el icono ‘Potencia’, dentro también de la pestaña ‘Operaciones’), lo único que nos queda para obtener nuestra solución es pinchar en el botón ‘=’.

8

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 16.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 7. Resolver la ecuación x 3 − 5 x 2 + 4 x = 0 Sacamos x factor común en el primer miembro:

 x 2 − 5x + 4 = 0 x − 5 x + 4 x = 0 → ( x − 5 x + 4) x = 0 →  x = 0 3

2

2

La ecuación de arriba tiene dos soluciones: x1 = 1 , x2 = 4 Por tanto, la ecuación inicial tiene tres soluciones: 1, 4 y 0

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver un una ecuación, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que se encuentra dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá lo siguiente: Figura 17.

2. En cada hueco, debemos escribir un miembro de nuestra ecuación (ayudándonos de la función ‘Potencia’, dentro de la misma pestaña) y cuando esté planteada pincharemos en el icono ‘=’.

9

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 18.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 8. Resolver la ecuación ( x 2 − 2 x − 15) ⋅ (7 x + 2) = 0

 x 2 − 2 x − 15 = 0 → x = − 3, x = 5 ( x − 2 x − 15) ⋅ (7 x + 2) = 0 →  7 x + 2 = 0 → x = −2 / 7 2

Las soluciones de la ecuación inicial son las de las dos ecuaciones a las que da lugar. Soluciones: x1 = −3 , x2 = 5 , x3 = −

2 7

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Este ejercicio lo resolveremos pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver ecuación’. A continuación nos aparecerá el esquema de la ecuación.

Figura 19.

2. Rellenando el esquema (para insertar una potencia pinchamos en el icono ‘Potencia’, dentro también de la pestaña ‘Operaciones’), lo único que nos queda para obtener nuestra solución es pinchar en el botón ‘=’.

10

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 20.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 9. Resolver por el método de sustitución y por el método de igualación.

3 x + 2 y = 7   5 x − y = 16 Figura 21.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la y en la 2.ª ecuación: y = 5 x − 16 Sustituimos en la 1.ª: 3 x + 2(5 x − 16) = 7 Resolvemos la ecuación: 3 x + 10 x − 32 = 7 → 13 x = 39 → x = 3

11

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Sustituimos arriba: y = 5 ⋅ 3 − 16 = 15 − 16 = −1 Solución: x = 3 , y = −1 . O bien (3, -1) MÉTODO DE IGUALACIÓN Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

3 x + 2 y = 7 → y = 7 − 3 x   2  → Igualamos 5 x − y = 16  → y = 5 x − 16 

7 − 3x = 5 x − 16 2

Resolvemos la ecuación:

7 − 3x  = 5 x − 16 → 7 − 3 x = 10 x − 32 → x = 3  Solución: (3, -1) 2  Sustituimos arriba : y = 5 ⋅ 3 − 16 = −1

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones es pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. En ese momento, nos aparecerá una pequeña ventana, en la que debemos indicar en número de ecuaciones que queremos que tenga y pinchar en ‘Aceptar’. Figura 22.

2. A continuación nos aparecerá el esquema de nuestro sistema, que consta de tantas líneas como ecuaciones queremos que tenga y en cada una de ellas, los dos miembros de la ecuación separados por un signo =.

12

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 23.

3. Por último, para obtener nuestro resultado, rellenaremos los huecos con nuestros datos y pincharemos en el icono ‘=’. Figura 24.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 10. Resolver por el método de reducción.

6 x − 5 y = −3  3 x + 2 y = 12 Multiplicamos por 2 la 2.ª ecuación para igualar los coeficientes de la x :

6 x − 5 y = −3  Restamos, 2.ª - 1.ª: 9 y = 27 → y = 3 6 x + 4 y = 24 Sustituimos en una de las dos ecuaciones iniciales:

6 x − 5 ⋅ 3 = −3 → 6 x = −3 + 15 → 6 x = 12 → x = 2 Solución: x = 2 , y = 3 . O bien (2, 3)

13

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolver un sistema de ecuaciones con Wiris es muy sencillo. En primer lugar, pinchamos en en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después, nos aparecerá una ventana, en la que escribiremos el número de ecuaciones que queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’. Figura 25.

2. El siguiente paso es rellenar el esquema de nuestro sistema con las ecuaciones de nuestro enunciado.

Figura 26.

3. Finalmente, obtendremos la solución del sistema pinchando en el icono ‘=’. Figura 27.

14

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 11. Resolver aplicando dos veces el método de reducción.

19 x + 15 y = 142   5 x + 21 y = 26 Obtención de la x :

Obtención de la y : .ª ⋅5 1→  95 x + 75 y = 710 2.ª ⋅19 → 95 x + 399 y = 494 Restando: − 324 y = 216

1.ª ⋅21

 → 399 x + 315 y = 2982 2.ª ⋅15 → 75 x + 315 y = 390 Restando: 324 x = 2592 Solución: x =

2592 216 2 = 8; y = − =− 324 324 3

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones es pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. En ese momento, nos aparecerá una pequeña ventana, en la que debemos indicar en número de ecuaciones que queremos que tenga y pinchar en ‘Aceptar’. Figura 28.

2. A continuación nos aparecerá el esquema de nuestro sistema, que consta de tantas líneas como ecuaciones queremos que tenga y en cada una de ellas, los dos miembros de la ecuación separados por un signo =.

15

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 29.

3. Por último, para obtener nuestro resultado, rellenaremos los huecos con nuestros datos y pincharemos en el icono ‘=’. Figura 30.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 12. Resolver por el método más conveniente:

 y − x =1  2 2 x + y = 5  y − x =1  2 2 x + y = 5

Utilizaremos el método de sustitución

Despejamos y en la 1.ª: y = x + 1 Sustituimos en la 2.ª: x 2 + ( x + 1) 2 = 5 Desarrollamos el paréntesis: x 2 + x 2 + 2 x + 1 − 5 = 0 Agrupamos: 2 x 2 + 2 x − 4 = 0 Resolvemos: x =

16

− 2 ± 4 + 32 − 2 ± 6 = → x1 = 1 , x2 = −2 4 4

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Si x = 1 , entonces y = 1 + 1 = 2 . Si x = −2 , entonces y = −2 + 1 = −1 .

 x1 = 1, y1 = 2  x2 = −2, y2 = −1

Solución: 

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolver un sistema de ecuaciones con Wiris es muy sencillo. En primer lugar, pinchamos en en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después, nos aparecerá una ventana, en la que escribiremos el número de ecuaciones que queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.

Figura 31.

2. El siguiente paso es rellenar el esquema de nuestro sistema con las ecuaciones de nuestro enunciado. Figura 32.

3. Finalmente, obtendremos la solución del sistema pinchando en el icono ‘=’.

17

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 33.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 13. Resolver el sistema siguiente:

 x 2 + y 2 = 58  2 2  x − y = 40  x 2 + y 2 = 58 Utilizaremos el método de reducción.  2 2  x − y = 40 Sumando las dos ecuaciones, se obtiene:

2 x 2 = 98 → x 2 = 49 → x = 7, x = −7 Si x = 7 , entonces y 2 = 58 − 7 2 = 9 → y = 3, y = −3 Si x = −7 , entonces y 2 = 58 − (−7) 2 = 9 → y = 3, y = −3

 x1 = 7, y1 = 3  x = 7, y = −3  2 2 Solución:  x y3 = 3 7 , = −  3  x4 = −7, y4 = −3 - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones es pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. En ese momento, nos aparecerá una pequeña ventana, en la que debemos indicar en número de ecuaciones que queremos que tenga y pinchar en ‘Aceptar’.

18

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 34.

2. A continuación nos aparecerá el esquema de nuestro sistema, que consta de tantas líneas como ecuaciones queremos que tenga y en cada una de ellas, los dos miembros de la ecuación separados por un signo =. Figura 35.

3. Por último, para obtener nuestro resultado, rellenaremos los huecos con nuestros datos y pincharemos en el icono ‘=’. Figura 36.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

19

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Ejercicio 14. Resolver este sistema:

 x = 2y +1   x+ y − x− y=2 Utilizaremos el método de sustitución, reemplazando en la segunda ecuación el valor de la

x de la primera: (2 y + 1) + y − (2 y + 1) − y = 2 Simplificamos:

3y + 1 − y + 1 = 2

Aislamos una raíz:

3y + 1 = 2 + y + 1

Elevamos al cuadrado: 3 y + 1 = 4 + ( y + 1) + 4 y + 1 Simplificamos y aislamos la raíz: 2 y − 4 = 4 y + 1 Simplificamos: y − 2 = 2 y + 1 Elevamos al cuadrado: y 2 − 4 y + 4 = 4( y + 1) Simplificamos: y 2 − 8 y = 0 → y1 = 0, y2 = 8 Hallamos los correspondientes valores para x : Si y1 = 0 , entonces x1 = 2 ⋅ 0 + 1 = 1 Si y2 = 8 , entonces x2 = 2 ⋅ 8 + 1 = 17 Posibles soluciones:

x = 1, y = 2 x = 17, y = 8

Ahora, hemos de comprobar estas posibles soluciones sobre el sistema de ecuaciones inicial:

x = 1 , y = 0 cumple la primera ecuación, pero no la segunda. No es solución.

x = 17 , y = 8 cumple las dos ecuaciones. Sí es solución. Solución: x = 17 , y = 8

20

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolver un sistema de ecuaciones con Wiris es muy sencillo. En primer lugar, pinchamos en en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después, nos aparecerá una ventana, en la que escribiremos el número de ecuaciones que queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.

Figura 37.

2. El siguiente paso es rellenar el esquema de nuestro sistema con las ecuaciones de nuestro enunciado. Figura 38.

3. Finalmente, obtendremos la solución del sistema pinchando en el icono ‘=’. Figura 39.

21

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 15. Resolver.

1 1 1  + = 1− xy x y  xy = 6 Empezamos simplificando la primera ecuación:

y + x xy − 1 = → y + x = xy − 1 xy xy  y + x = xy − 1 Por tanto, el sistema queda:   xy = 6 Sustituyendo el valor de xy de la 2.ª en la 1.ª: y + x = 6 − 1 → y = 5 − x Ahora, sustituimos este valor en la 2.ª:

x(5 − x) = 6 → − x 2 + 5 x = 6 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → x =

5 ± 25 − 24 2

x1 = 3 x2 = 2

Si x1 = 3 → y1 = 5 − 3 = 2 Solución: x1 = 3 , y1 = 2 Si x2 = 2 → y 2 = 5 − 2 = 3

Solución: x2 = 2 , y2 = 3

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones es pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. En ese momento, nos aparecerá una pequeña ventana, en la que debemos indicar en número de ecuaciones que queremos que tenga y pinchar en ‘Aceptar’.

22

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 40.

2. A continuación nos aparecerá el esquema de nuestro sistema, que consta de tantas líneas como ecuaciones queremos que tenga y en cada una de ellas, los dos miembros de la ecuación separados por un signo =. Figura 41.

3. Por último, para obtener nuestro resultado, rellenaremos los huecos con nuestros datos y pincharemos en el icono ‘=’. Figura 42.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

23

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Ejercicio 16. ¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación x 2 − 8 x < 12 ? a) b) c) d) e) f) g) h)

-5 0 1,1 2 5/2 3,2 5,3 10

Resolveremos la inecuación y según el resultado, sabremos qué valores están dentro de la solución.

x 2 − 8 x < 12 → x 2 − 8 x − 12 < 0 Ahora tenemos que factorizar la ecuación:

x 2 − 8 x − 12 = 0 → x =

8 +    8 − 

8 ± 8 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) 8 ± 64 + 48 8 ± 112 = = = 2 ⋅1 2 2

112 8 + 2 4 ⋅ 7 8 + 2 2 7 = = = 4+2 7 2 2 2 112 8 − 2 4 ⋅ 7 8 − 2 2 7 = = = 4−2 7 2 2 2

Ahora la inecuación tiene esta forma: (x − 4 − 2 7 ) ⋅ (x − 4 + 2 7 ) < 0 El último paso es tratar los dos paréntesis como inecuaciones independientes:

(x − 4 − 2 7 ) < 0 → x < 4 + 2 7 (x − 4 + 2 7 ) < 0 → x > 4 − 2 7 Por lo tanto, son soluciones los valores situados entre -1,29 y 9,29. Son solución b, c, d, e, f y g.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos una inecuación escribiendo “resolver_inecuación” y después, entre paréntesis la inecuación.

24

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 43.

2. Para escribir la inecuación, necesitaremos insertar algunos símbolos. Para hacerlo, pincharemos en la pestaña ‘Símbolos’ y después en el símbolo que queramos utilizar. Figura 44.

3. Cuando tengamos todo planteado, sólo tenemos que pinchar en el icono ‘=’ y conoceremos nuestro resultado. Figura 45.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 17. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones: a) 3 x > 9

25

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 46

b) 3 x ≥ 9 Figura 46

c) 3 x + 2 < 11 Figura 47

26

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. d) 3 x + 2 ≥ 11 Figura 48

e) 2 x − 3 < 5 Figura 49

f)

2x − 3 ≤ 5

Figura 50

27

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver este ejercicio, debemos representar las inecuaciones. Para ello, escribimos “representar” y a continuación, entre paréntesis la inecuación que queremos representar. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos nuestra representación. Figura 51.

2. Apartado a. Figura 52.

Figura 53.

28

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. 3. Apartado b. Figura 54.

Figura 55.

4. Apartado c. Figura 56.

29

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 57.

5. Apartado d. Figura 58.

30

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 59.

6. Apartado e. Figura 60.

31

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 61.

7. Apartado f.

Figura 62.

32

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 63.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 18. Resuelve algebraicamente las siguientes inecuaciones: a) 2 x + 4 ≥ 0 → 2 x ≥ −4 → x ≥

−4 → x ≥ −2 2

b) 2 x + 4 < 0 → 2 x < −4 → x


x x − 3 → −2 x + 7 + 3 > → 2 ⋅ (−2 x + 10) > x → −4 x + 20 > x → 2 2

5 x < 20 → x < 4 d) − 2 x + 7 ≤

x x − 3 → −2 x + 7 + 3 ≤ → 2 ⋅ (−2 x + 10) ≤ x → −4 x + 20 ≤ x → 2 2

5 x ≥ 20 → x ≥ 4 e) − x 2 + 4 x ≥ 2 x − 3 → − x 2 + 4 x − 2 x + 3 ≥ 0 → − x 2 + 2 x + 3 ≥ 0 → x ≥ −1 , x ≤ 3 f)

− x 2 + 4 x < 2 x − 3 → − x 2 + 4 x − 2 x + 3 < 0 → − x 2 + 2 x + 3 < 0 → x < −1 , x > 3

33

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver una inecuación escribimos “resolver_inecuación” y después, entre paréntesis la inecuación. Cuando tengamos todo planteado, pincharemos en el icono ‘=’ y conoceremos nuestro resultado. Figura 64.

2. Apartado a. Figura 65.

3. Apartado b. Figura 66.

4. Apartado c. Figura 67.

34

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. 5. Apartado d. Figura 68.

6. Apartado e. Figura 69.

7. Apartado f. Figura 70.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 19. Resuelve algebraicamente: a) 3 x − 5 ≥ 13 → 3 x ≥ 13 + 5 → x ≥ 6 b) 5 x + 1 < x + 9 → 5 x − x < 9 − 1 → 4 x < 8 → x < 2

35

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] c) 3 − 2 x > x + 5 → 2 x + x < 3 − 5 → 3 x < −2 → x
0 − 2 x + 7 ≥ x − 3  2

37

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] 1.ª inecuación: 2 x + 4 > 0 → 2 x > −4 → x > −2 . Solución: (−2,+∞) 2.ª inecuación: − 2 x + 7 ≥

x 20 − 3 → −4 x + 14 ≥ x − 6 → −5 x ≥ −20 → x ≤ =4 2 5

Solución: (− ∞,4]



2x + 4 > 0

x Sistema:  − 2x + 7 ≥ − 3 

2

Solución: (−2,+∞) ∩ (− ∞,4] = (− 2,4]

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos un sistema de inecuaciones escribiendo “resolver_inecuación” y a continuación, en vez de un paréntesis con la inecuación correspondiente, como se trata de varias, insertaremos una lista vertical. Para ello, pinchamos en el icono ‘Lista vertical’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas filas queremos que tenga (o lo que es lo mismo, cuántas inecuaciones tendrá nuestro sistema) y aceptaremos. Figura 77.

2. Entonces, tendremos completo el esquema de nuestro sistema; el que rellenaremos con los datos de nuestro ejercicio.

38

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. Figura 78.

3. Finalmente obtendremos nuestra solución cuando, después de haber terminado de plantear el sistema, pinchemos en el icono ‘=’. Figura 79.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 21. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

x + 3 < 7  x −1 ≥ 0

a) 

1.ª inecuación: x + 3 < 7 → x < 7 − 3 → x < 4 . Solución: (−∞,4) 2.ª inecuación: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1 . Solución: [1,+∞ ) Solución: (−∞,4) ∩ [1,+∞ ) = [1,4 )

 2 x − 3 < 3x + 5 7 x + 1 ≤ 13 + 4 x

b) 

1.ª inecuación: 2 x − 3 < 3 x + 5 → 3 x − 2 x > −3 − 5 → x > −8 . Solución: (−8,+∞)

39

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

2.ª

inecuación:

7 x + 1 ≤ 13 + 4 x → 7 x − 4 x ≤ 13 − 1 → 3 x ≤ 12 → x ≤ 4 . Solución:

(− ∞,4] Solución: (−8,+∞) ∩ (− ∞,4] = (− 8,4]

 2 x − 3 < 3x + 5 7 x + 1 ≥ 13 + 4 x

c) 

1.ª inecuación: 2 x − 3 < 3 x + 5 → 3 x − 2 x > −3 − 5 → x > −8 . Solución: (−8,+∞) 2.ª

inecuación:

7 x + 1 ≥ 13 + 4 x → 7 x − 4 x ≥ 13 − 1 → 3 x ≥ 12 → x ≥ 4 . Solución:

[4,+∞ ) Solución: (−8,+∞) ∩ [4,+∞ ) = [4,+∞ )

x2 − 7 x + 6 ≤ 0  3x + 2 > 17

d) 

1.ª inecuación: x =

7±

(− 7 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅1

[1,6]

2.ª inecuación: 3 x > 17 − 2 → x >

=

7 ± 49 − 24 7 ± 5 x = 6 . Solución: = = x =1 2 2

15 → x > 5 Solución: (5,+∞ ) 3

Solución: [1,6] ∩ (5,+∞ ) = (5,6]

x 2 − 7 x + 6 ≤ 0 e)   2x + 5 < 7 1.ª inecuación: x =

[1,6]

7±

(− 7 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅1

=

7 ± 49 − 24 7 ± 5 x = 6 . Solución: = = x =1 2 2

2.ª inecuación: 2 x + 5 < 7 → 2 x < 7 − 5 → 2 x < 2 → x < 1 Solución: (− ∞,1) Solución: [1,6] ∩ (− ∞,1) = No tiene solución.

40

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas.

f)

x 2 − 7 x + 6 ≤ 0   2x + 5 ≤ 7

1.ª inecuación: x =

7±

(− 7 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6

[1,6]

2 ⋅1

=

7 ± 49 − 24 7 ± 5 x = 6 . Solución: = = x =1 2 2

2.ª inecuación: 2 x + 5 ≤ 7 → 2 x ≤ 7 − 5 → 2 x ≤ 2 → x ≤ 1 Solución: (− ∞,1] Solución: [1,6] ∩ (− ∞,1]= x=1

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos un sistema de inecuaciones escribiendo “resolver_inecuación” y a continuación una lista vertical. Para ello, pinchamos en el icono ‘Lista vertical’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas filas queremos que tenga, las rellenamos con nuestras inecuaciones y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado. Figura 80.

2. Apartado a. Figura 81.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] 3. Apartado b. Figura 82.

4. Apartado c. Figura 83.

5. Apartado d. Figura 84.

6. Apartado e. Figura 85.

42

TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] y sistemas. 7. Apartado f. Figura 86.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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