TEMA 3. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES.

3.1. Repaso de ecuaciones de primer grado. 3.2. Repaso de ecuaciones de segundo grado. - Ecuaciones incompletas. - Ecuaciones completas. - Número de soluciones. - Descomposición del polinomio de segundo grado. 3.3. Ecuaciones bicuadradas. 3.4. Ecuaciones polinómicas. - Factorización. 3.5. Ecuaciones racionales. 3.6. Ecuaciones irracionales. 3.7. Sistemas de ecuaciones. - Métodos de resolución. - Clasificación. - Sistemas con tres incógnitas. - Sistemas no lineales con dos incógnitas. 3.8. Intervalos y semirrectas. 3.9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. 3.10 .Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. 3.11. Inecuaciones de grado superior a uno con una incógnita e inecuaciones racionales. 3.12. Resolución de problemas mediante inecuaciones. 3.13. Otros problemas.

3.1. Repaso de ecuaciones de primer grado. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x-5+2x-7=-x+7-2x+13

 x=4

b) 7x-2(5-x)=3+2x+1

 x=2

c) 11-(x+7)=3x-(5x-6)

 x=2

d) 5x-(1-x)=3(x-1)+2

 x=0

e) X -

x5 4 2

 x=3

f) 3 -

2x 3x  1  x 5 2

 x=-25

g)

x 1 x  2 x  3   2 3 4

 x=11

h)

2( x  2) x  4 x   4 2 8

 x=8

i)

2  1 x 1 5    32 4  6

 x=-4

j)

3( x  1) 2( x  2) x  3 2( x  7)    6 7 2 4

 x=5

k)

x  1 12  2 x x  2   4 5 5

 x=5

l)

2( x  3) x 3( x  6) x    4 2 3 4

 x=-6

m) 1-

2x  x 1  x  3   3  5 3

x  n) 3x-5   1  6 2  o) 4x-2(x+7)-

 x=2  x=7

1 x  2  1  x  4  3 5 3

 x=-2

x7  8(1  x) 2

 x=1

x  9 1  2 x 11  x 3x  5    2 7 14 4

 x=-3

p) x-

q) 4(x-2)+ r)

3 x  2 2 2

 x=0

3.2. Repaso de ecuaciones de segundo grado. Dada la ecuación de segundo grado incompleta incógnita despejamos x de la siguiente forma:

Si la ecuación es del tipo

, para hallar el valor de la

, sacamos factor común x:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: 2 a) 10 x  250  0

2 f) 3x  75  0

2 b) 2 x  50  0

2 g) 2 x  50 x  0

2 c) x  64  0

h)  3x 2  54 x  0

2 d) 3x  75x  0

2 2 i) 3x  5  x  40

e)

j)

Si tenemos ahora la ecuación es:

, la fórmula para hallar sus soluciones

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 a) 2 x  10 x  12  0

x 2  3x x  20 5 f) 2 4

b) x  4 x  5  0

g) x  7 x  3  13x  3

c) x  5x  14  0

h)

2

2

2

2

x  22 5

x 2  9 x  3 1   4 2 5 2



d) 5x  3x  10  4 x  3x  7 2

2

3x  1  3x  1  1 x  22  1  2 x 2

e)

Si nos fijamos en la solución

i)

5x  32  5x4x  5  5xx  1

j)

2 x  1  2 x  1  x  22 3

4



4  3x x 2  6 3

, observamos que una parte está dentro

de una raíz cuadrada y se sabe que ésta puede tener una, dos o ninguna solución, en función del signo del radicando. Por tanto lo mismo ocurre con las soluciones de la ecuación de segundo grado: - Si

la ecuación tiene dos soluciones reales que son:

- Si

, la ecuación tiene una sola raíz real (o dos raíces iguales) que es:

- Si

la ecuación no tiene solución en los números reales.

A

se le llama discriminante de la ecuación.

3. Clasifica las siguientes ecuaciones según su número de soluciones: a)

d)

b)

e)

c)

f)

Dado el polinomio . Si resolvemos la ecuación y obtenemos como soluciones y , entonces podemos escribir la descomposición factorial del polinomio de la siguiente forma:

4. Escribe la descomposición factorial de los siguientes polinomios de grado dos: a)

d)

b)

e)

c)

f)

3.3. Ecuaciones bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas son las del tipo

donde

.

Veamos un ejemplo:

x 4  10 x 2  9  0

Hacemos la sustitución resuelve:

, y la ecuación se transforma en z 2  10 z  9  0 . Se

Como hicimos , deshaciendo el cambio ecuación bicuadrada son:

, con lo que las soluciones de la

y En la práctica resolvemos como en las ecuaciones de segundo grado, pero despejamos x² en lugar de x y luego se hacen las raíces cuadradas de las soluciones. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 4  10 x 2  9  0

e) 36 x  13x  1  0

b) x  20 x  64  0

f) x  5x  36  0

c) x  6 x  27  0

g)

d) x  13x  36  0

h)

4

4

4

2

2

2

4

4

2

2

25x 4  26 x 2  1  0

3x 4  1 1  4 x2  x2  5    x  2  4 2 2  4

3.4. Ecuaciones polinómicas. Estas ecuaciones se resuelven factorizando previamente. Veamos un ejemplo: x 3  2 x 2  x  2  0 Mediante la regla de Ruffini: 1 1 1 -1 1 -2 1

2 1 3 -1 2 -2 0

-1 3 2 -2 0

-2 2 0

Se puede descomponer: x 3  2 x 2  x  2  x  1·x  1·x  2  0 , y como tenemos un producto de tres factores igualado a cero tiene que ocurrir que alguno de ellos sea cero, con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 x 3  5x 2  4 x  3  0

h) x 4  100 x 2  0

b) 4 x 3  12 x 2  11x  3  0

i) x 3  2 x 2  0

c) 2 x 4  5x 3  5x  2  0

j) x 3  9 x  0

d) x 4  2 x 3  10 x 2  4 x  16  0

k) x 4  4 x 3  5x 2  0

e) x 3  2 x 2  15x  0

l) 2 x 4  2 x 3  6 x 2  2 x  4  0

f) 9 x 4  10 x 2  1  0

m) x 4  6 x 3  11x 2  6 x  0

g) x 3  6 x 2  16 x  0

n) 6 x 5  x 4  19 x 3  9 x 2  5x  2  0

3.5. Ecuaciones racionales. Son las llamadas ecuaciones con x en el denominador. En ellas los denominadores algebraicos se suprimen haciendo su m.c.m. y se llega a una ecuación de uno de los tipos anteriores. En el proceso de multiplicar por expresiones algebraicas pueden aparecer soluciones falsas, por tanto, siempre que lo hagamos se deben comprobar las soluciones obtenidas. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

1 1 3   x x  3 10

g)

9  13x  13x 2 x  3 x  4   x 3  x 2  12 x x  4 x  3

b)

x 2x  3 x 1 x 1

h)

x x  1 10 x  1   2 x 1 x x x

c)

4 2  x  1  4 x 3  x  2

i)

x2 5x  6  3x  x 2 1 1 3   x x2 4

c)

x  8 x  4 12 x   x 1 x 1 x2 1

j)

d)

x2 x2 x 1   x  1 x  1x  2 x  2

k)

x2 5x  6  3x  x 2

e)

x x x   2 x  2 x  1 x  3x  2

l)

x 1 2x  20 x2 x2

f)

x 1 2 x 3 x 1 x

m)

3x  4 1 x  19   x  3 2 4x  6

3.6. Ecuaciones irracionales. Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolverla: - Se aísla la raíz en un miembro de la ecuación. - Se elevan al cuadrado ambos miembros. - Si todavía hay raíces se repite el proceso. - Se resuelve la ecuación obtenida. Al elevar al cuadrado pueden introducirse nuevas soluciones que hay que rechazar, por la que siempre hay que comprobar las soluciones. Veamos un ejemplo: -

Aislamos una raíz:

-

Elevamos al cuadrado:

-

Desarrollamos los cuadrados:

-

Agrupamos:

-

Volvemos a elevar al cuadrado: Agrupamos: Resolvemos Comprobamos las soluciones: sí es solución no es solución

1. Resuelve las siguientes ecuaciones: h)

2 x 2  3x  5  x  3

b) 3x  5  1  3x

i)

x 2  5x  4  x  3  1

c) 2 x  3  1  x

j)

x2  3  3  x  0

d) x  169  x 2  17

k) 2  2 x  x  6

a)

x7 40

e)

2x  x  1  1

l)

f)

2x  4  x  5  5

m)

g) x  25  x 2  2 x  1

2 x  5x  6  4 9 x  6 x  3

n) x  1  5x  1  0

3.7. Sistemas de ecuaciones. 1. Resuelve por los métodos de sustitución, igualación y reducción cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

2x-y=11

x=3

5x+7=-2

x=1

2x+y=1

y=-5

7x-3y=10

y=-1

3x-y=-3

x=0

3x+2y=7

x=1

X+2y=6

y=3

4x-5y=-6

y=2

2. Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones:

3. Resuelve los siguientes sistemas:

x 2y   6   5 3  - x 5y   6  10 6 

3x - 1  2 y  2  0   2x  y - 2  3 y  2

x y   6  2 3   2 y  x  4

x y 11     2 5 5   4x  5 y  2  2 

x  4y x - y 2     3 5 3   x  5 y  13 

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

y x2

 

x y2

 1   5

x 2  y 2  40   2 2 x  y  58 

x 2  2 y 2  46  x  y  84  x  y  15   x  y  100

2 xy  3x  0  3 x  2 y  0 x 2  y 2  0  3x  y  8 

x 2  xy  y 2  21  x  y 1 

x  2y 1

1 1 1  1  x y xy   x y 6 

2x  y  1  0   x 2  7  y  2

x  y  18   x  y  y  6 x  4

y  8  x2   y  2 x  0

x ²  y ²  41  x 2  y²  9 

3x ²  2 y ²  35  x 2  2 y²  1 

   x  y  x  y  2 

x ²  y ²  x  y  32   x 2  y ²  x  y  28

5. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

3.8. Intervalos y semirrectas. Ya vimos en el tema 1 que dados dos números reales , se define el intervalo cerrado de extremos a y b como el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Con notación matemática: Gráficamente:

Cambiando (a , b) = {

< se obtienen los intervalos abiertos ( a , b ). : a < x < b}

Se diferencian en que el intervalo cerrado contienen a los extremos y el abierto no. También hay intervalos semiabiertos (o semicerrados) [a , b) ={

: a x < b}

(a , b] ={

:aa } (

, b) ={

El intervalo

: x < b} =

( es toda la recta real.

, b] ={

: x b}

3.9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Una inecuación de primer grado con una incógnita está formada por dos expresiones algebraicas unidas por uno de los signos , o . Así como en las ecuaciones la solución (si la hay) es un número real, en las inecuaciones es un intervalo o una semirrecta. Se resuelven siguiendo los mismos pasos que las ecuaciones, por ejemplo, vamos resolver la inecuación -

Hacemos m.c.m.

-

Quitamos denominadores Quitamos paréntesis Agrupo

5(x-1) < 2(3-2x) 5x-5 < 6-4x 9x < 11

-

Despejo

x
12 , entonces cambiamos de signo y queda 2x < -12, y ahora ya despejamos x < -6.

Resuelve las siguientes inecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

x 1 x  2 x  3   2 3 4 3( x  1) 2( x  2) x  3 2( x  7)    6 7 2 4 x  1 12  2 x x  2   4 5 5 2( x  3) x 3( x  6) x    4 2 3 4

3.10 .Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que lo forman. Ejemplo:

La solución de la primera inecuación es x < 7, y la solución de la segunda es x > -2. Por tanto la solución del sistema está formada por todos los números mayores que -2 y menores que 7, es decir, está formada por todos los números del intervalo (-2, 7). Si las dos soluciones son incompatibles el sistema no tiene solución. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

3.11. Inecuaciones de grado superior a uno con una incógnita e inecuaciones racionales. Veamos un ejemplo: - Factorizamos el polinomio - Hacemos una tabla 2 3 x-2 + + x-3 + (x-2)(x-3) + + - Como en la inecuación aparece el signo 0 2. (x -4)·(x – 2) < 0 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

x 2  3x 2 x  20 5  2 4

3.12. Resolución de problemas mediante inecuaciones. 1. ¿Cuáles son los números cuyo triple no sobrepasa su doble en más de 20? 2. El triple de la edad de Ángel más tres años es mayor que el doble de su edad más 18 años. ¿Cuál es la edad mínima de Ángel? 3. Las dimensiones de una clase rectangular se han medido con un error menor que 1 dm. Los valores para las longitudes “a” y “b son: 100 dm < a