SIMPLESMENTE APOIADAS ROBERTO FERNANDES DE OLIVEIRA

ANÃLISE DINÃMICA DE PLACAS SANDWICH COMPRIMIDAS SIMPLESMENTE APOIADAS ROBERTO FERNANDES DE OLIVEIRA TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO D...
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ANÃLISE DINÃMICA DE PLACAS SANDWICH COMPRIMIDAS SIMPLESMENTE APOIADAS

ROBERTO FERNANDES DE OLIVEIRA

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.). Aprovada por:

Presidente

RIO DE JANEIRO ESTADO DA GUANABARA - BRASIL FEVEREIRO DE 1972

DO A

i.

A meus pais. A Titose, pelo apoio e estímulo nas horas menos fáceis.

i i.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor SERGIO FERNANDES VILLAÇA, pela valiosa e dedicada orientação.

A CAPES, CNPq e BNDE pelo apoio financeiro prestado.

A WANDA F. ROCHA, pela confecção gráfica dêste balho.

tra

iii .

O presente trabalho aborda a determinação e a anãli se das equações das vibrações transversais de placas

sand-

wich retangulares, simplesmente apoiadas e uniformemente com primidas no seu plano mêdio, bem como o cãlculo das

cargas

criticas de instabilidade, por um processo dinâmico.

As equaçoes das vibrações da placa sandwich

foram

obtidas extremando a expressão da ação da mesma.

São apresentados grafices e tabelas fornecendo variação das frequências naturais de vibração e da carga instabilidade, com a rigidez ao cisalhamento da placa wich.

t elaborado tambêm, para uma dada placa, um Tal grãfico apresenta o modo de vibração no

a carga critica de instabilidade ê minima.

de sand

grâfico

do comportamento da carga de instabilidade com o modo de bração.

a

vi

qual

i V•

S U M M A R V

The scope of this dissertation is the analysis of the dynamical behavior of sandwich plates.

We have

considered

only simply supported rectangular plates under a compressive uniform load acting in the middle plane.

The

dynamical

instability was also analyzed.

The equations of motion were obtained

through

a

variationat approach.

The changes in the natural frequencies and stábility loads were analyzed according to the variations of the shear stiffness of the plate.

The results were plotted and

included in this dissertation.

are

lt was also plotted a curve

connecting the vibration modes with

the

critica]

loads.

Through this curve it was possible to find out the smallest value for the critica] load.

V•

l NDI C E Pãginas:

Capitulos:

........................................

l

I

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA PLACA SANDWICH

3

II

ENERGIA POTENCIAL TOTAL DA PLACA SANDWICH ..

18

...................

28

INTRODUÇÃO

III IV

EQUAÇÃO DE OSTROGRADSKI

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO DE

UMA

PLACA SANDWICH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

CARGAS CRITICAS E FREQUtNCIAS DE

45

VIBRAÇÃO

DE UMA PLACA SANDWICH RETANGULAR SIMPLESMEN TE APOIADA . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . .

55

VI

TABELAS E GRf;FICOS .......................•

66

VII

CONCLUSÕES ............................... .

76

TABELAS

79

GRÃFICOS

81

. ....................................... .

86

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .

91

NOTAÇÕES

~

l.

INTRODUÇÃO

Nêste trabalho denominaremos placa sandwich ao

ele

mento estrutural plano constituído por duas lâminas finas de material r~sistente, separadas por uma camada espessa consti tuída de um material leve e menos resistente.

As duas lâminas resistentes sao chamadas faces, e a camada espêssa ê chamada núcleo do sandwich.

O núcleo tem diversas funções vitais:

deve ser

su

ficientemente rígido na direçio ortogonal is faces para ass! gurar que elas permaneçam separadas a distância correta;

de

ve ser suficientemente rígido ao cisalhamento para assegurar que quando o sandwich ê deformado, as faces nio em relaçio a outra.

escorregam

Se esta última condição nio fÕr

satis

2.

feita, as faces simplesmente se comportam como duas

placas

independentes, e o efeito sandwich fica perdido.

Se o núcleo possuir uma certa resistência, êle tribuirá para a rigidez ã flexão do sandwich.

con

Por outro la

do, essa contribuição ê pequena no caso de núcleos com pouca resistência.

Como tais núcleos são usualmente

empregados,

e um expediente muito frequente ignorar tal contribuição,

e

isso leva a considerável simplificação na análise de tensões e deflexões.

3.

CAPITULO I

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA PLACA SANDWICH

Para dedução das equaçoes diferenciais que regem

o

fenômeno da flexão das placas sandwich, consideraremos as se guintes hipôteses básicas, alêm daquelas da Resistência

dos

Materiais: la.)

O núcleo tem rigidez transversal infinita e nêle

nao

atuam tensões normais paralelas ao plano médio da

pl~

ca.

2a.)

As faces sao consideradas membranas e têm a mesma

es

pessura. 3a.)

A placa ê ortôtropa e os eixos

e

sao os eixos pri~

cipais de ortotropia. 4a.)

O peso próprio da placa nao sera considerado.

Seja o elemento infinitesimal de placa sandwich Fig. l.l, o qual serã desenhado duas vezes para facilitar visualização dos esforços atuantes.

Consideraremos

da a

nesse

elemento todos os esforços que podem agir sôbre a placa, com

4.

exceçao dos momentos situados no plano medio da mesma.

Na figura consideramos Nxy TEMA 1

0

Nyx e Mxy

=

=

Myx

(PLA~

~

).

1

1 1

, , 1

9-

·~

r{

N':,1

-~:

~

1 1

1\.c.:R

1

íi'i+ êirv'l ,

1

ôd rrr +a rc Ô)

f>

sendo

w(x,y,z) laü conhecido e ao a fronteira de

indica que existe uma superfície À*

=

D.

Isso

no espaço xyzw;

w(a'í))

e cada argumento de v passa por _d* .

Para se calcular a primeira variação de levar em conta as duas seguintes hipóteses: F€

WE

e~. Por comodidade ponhamos:

º" - -€ ,

ÔW -

~~=f,

ÔW ~ 'YY\,

ô~

,

~t = '1·

ÔW

ô3

= IY\.

a

du.J

ôà'

:::::.Jt,

1

v

e~ em

devemos O

e

29.

Usando essas relações, (3.1) pode ser escrita:

v (w(x, 1J, z l l =

N

F ( x, y, z, w, l, m, n, p, q, IL ,-6, .t, u l dxdydz.

o

(3.2)

Vamos agora procurar a hiper-superficie que extreml Sejam, então, w(x,y,z) uma extremante de

za esse funcional.

v e w:~1.x,y,z) uma hiper-superficie de comparação. çao 6W de w

6W

=

e definida

A varia

da seguinte maneira:

W*(x,y,z) - w(x,y,z)

( 3. 3)

Consideremos a seguinte.familia de hiper-superficiesa um

P!

râme tro:

wl.x,y,z,a) = w(x,y,z)

Vemos que

w(x,y,z,O)

~

+

(3.4)

a6w .

w(x,y,zl e w(x,y,z,ll = w*(x,y,z) .

Consideremos, pois, que o domínio de v seja sõmente a lia w(x,y,z,a).

fami

Com isso, o funcional se transforma em uma

função de a sõmente.

Como w(x,y,zl

e uma

extremante de

por hipõtese, segue que a familia w(x,y,z,a) possui uma

v, ex

30.

tremante em a~o..

a

ªª

Consequentemente,

= o.

[v(w(x,y,z,al!] a=O

Porém,

a [v (w(x, y,z,a)

ªª

1]

= ôv

( ELSGOLC 2 ).

Logo:

a=O

ÔV =

0.

(3.5)

Calculemos ôv:

ÔV

=

:a [w

F(x,y,z,w,l,m,n,p,q,Jt,)

oa:ô~

3

ô~oi

··)d.x.cl~d.i, (3.29)

43.

sendo w-i.(x,y,zllaoconhecido, -i.=1,2, ••. n. . . . n'

F e w-i., -i.=1,2, •..

atendem as mesmas hipóteses de (3.1) .

Consideremos a variação da função wj, l~j~n, mante~ do as outras fixas.

Assim fazendo, o funcional v(w 1 ,

•••

,wj,

•.• ,wn) torna-se um funcional dependendo apenas da função wj,

Para êsse, a equaçao de Ostrogradski ê da forma:

sendo

owí = ~J' ôa:

ÔW

~ = rm! '

,

õ'w

oaci = fi'



~=-.À



J,

oa:O~

ºa~~= ~i, õw· { ~ -· Ôa'.Ôâ - ô'

OwÍ

Oi



=Mi'

Ow~ ~ ô ~

Jt.

ô'

õ'w· a~ o~ =...u.J'

1~1,;"'1..

Como êsse argumento ê vãlido para cada l~j~n, segue que extremantes de v(w 1 ,

• ••

as

,wn) são soluções do seguinte sistema

44.

de equaçoes de Ostrogradski:

~= 1,,, ·,""-

.e,yy,.

0. (3.30)

OBS:

Os símbolos

a ax

{.}'

a ay

{.}

e

a az

{.}

têm os segui.!1_

tes significados:

a ax

-,

{.}

sõmente sao consideradas constantes as y

a

{.}

ay

{.}

z;

sõmente são consideradas constantes as x

a az

e

e

e

variãveis

z;

sõmente sao consideradas constantes as y

variãveis

X.

variãveis

45.

CAPTTULO

IV

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO DE UMA PLACA SANDWICH

Vamos aplicar o principio de Hamilton ã da açao (equação (2.4)).

expressa o

tste principio garante que as

so

luções das equações de Ostrogradski, (3.30), fazem com que a ação assuma um valor extremo.

A função F, que aparece

equação (3.29), é o integrando da equação (2.4).

na

Então,

funcional A que queremos extremar é da forma:

íl[..u.,M,W,V'a,{J~Í((r(-a::,Lf,f,..u.,f\r,W,Y'~, Y,, élu., OU, ÔU O' , Jjj a o· 0 , õ21: a~ õt 'i)

~'Ir

o~at '

élfv

ô1u

º"'"~ ' º"ºt

I

Ôl\r,

ô-.:

O'lr

a~

1

Of\r,

ot

o

46.

Tal como fizemos no Capitulo III podemos escrever:

ou

ôa:

=g,'





= f:l

1

ti\)" =f,,,, ôa:-'

f,v

=J,'

ôa:ô~

êlw -

---

,,,

e3'

º"' • ÔUI =f,, êla:"

~} =

ô~ oa::êlt

ÔU)

q.,

i/\)" - Jt ?,t' - .,

t,2,

=IYYl3,

ô~

-clw -q, 31 ~~

oi.v

ila::à~

~=~,

~=/'"\,

~=t,, oa::•

-t3'

ô~



~=~,

ô , ~

cf.u. - u ôfôt - ,, Ô/\J" -

ôa::ât

º" "

=Jt "

f'(Y\. '



õw =J>,,

=/)'\,



êl:U. =-t 1'

~= ô~

a+

1-t•

ôa::ôt

'

ÔI.L

âu.

ªt =9-,,

~=-À11

º"' Ô2C

º~

='Yrl,'

ait

~;, =f,,

âa:il~

ôu

'

ôt -

'Yl

ª'



ÔN'

-.li

ô~ôt -

ôuJ

ôt



= 'Y\.31

~

ÔW=.Jt,

,H'

3



ÔU/ - ,,U, ~ -

~

½à

?S.

-

'Yl

"'

~=.Jt,,

ôt"'

,,

47.

,

,

- "'

~--À

Oac ~

~=~5,

º" ?/ ~=t,, ílr

, ~=__,\s•

º"' º~

i

~-t ôa:êlt -

"'

~==,· ô~ ?J~

~=CJ-s•

ot

º~ -t,, ---m-= oa:c1t

à~~~

c--U.S'

~=m,, ôt

o"

~=As,

ílt'

o'

~ = L i ... ,

ô~êlt

Usando estas notações, a função F em (2.4) fica da

seguinte

maneira:

- 4r{"'J ({ + IYY\1 +

~/m1 +

~Cj-W,

( 4. 1 )

Usando {3.30) as cinco equaçoes de Ostrogradski são as seguintes:

48.

ar{.,

º"'

+

Qr{r

º~

=º,

( 4. 2)

( 4. 3)

sendo â o operador laplaciano em duas dimensões, isto e,

â =

a2 ax 2

-+

a2

-· ay2

A solução geral de (4.2) e (4.3} e (LANGHAAR 6 ) função ~(x,y) arbitrária, porem sujeita ãs seguintes

restri

çoes:

ay2

a2~ ax 2

=

32~

ax ay

= -

Nx.y.

uma

(4.7)

49.

~(x,y) e chamada função de tensão de Airy.

Para resolver (4.4), (4.5) e (4.6) basta

escolher

Entretanto, pode nao

funções de onda para w, Yx e Yy·

ser

fácil achar três funções de onda compativeis entre si,

sem

introduzir um grande número de parâmetros, o que levaria cálculos laboriosos (PLANTEMA 1 º).

a

Para evitar isso,

vamos

exprimir Yx e Yy em função de w e de dois parâmetros.

Para

tanto, devemos considerar a seguinte hipõtese:

cada

plana do núcleo originalmente perpendicular ãs faces,

secçao perm~

nece plana, porem gira em tôrno de uma linha paralela ao pl~ no xy, cuja distância ã face superior ê constante.

Como a

placa sandwich e isõtropa, essa linha paralela estã localiza da na metade da espessura do núcleo.

Consideremos o elemento de placa sandwich da figura 4.1, antes e depois de experimentar a flecha w.

Se não hou

vesse distorção do núcleo, a.bde,;g giraria de um ângulo

aw ax

e

ocuparia a posição a.'b'd'e;g' normal a GG', de acôrdo com as hipóteses da teoria ordinária da flexão. cleo experimenta uma distorção y

ex

Entretanto, o

, de modo que a.bdeg º

nu

pass~

ra a ocupar, na realidade, a posição a."b"d'e:g". a."b" e e:g" permanecem paralelas a a.b .e e,;g, porque as distorções das cessão desprezadas.

fa

50.

-

!'--------cl.x _ _ _ _ _--J' ,a. i

" , - ~ ~:'ll-·_ ' '

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--------