ANÃLISE DINÃMICA DE PLACAS SANDWICH COMPRIMIDAS SIMPLESMENTE APOIADAS
ROBERTO FERNANDES DE OLIVEIRA
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.). Aprovada por:
Presidente
RIO DE JANEIRO ESTADO DA GUANABARA - BRASIL FEVEREIRO DE 1972
DO A
i.
A meus pais. A Titose, pelo apoio e estímulo nas horas menos fáceis.
i i.
AGRADECIMENTOS
Ao Professor SERGIO FERNANDES VILLAÇA, pela valiosa e dedicada orientação.
A CAPES, CNPq e BNDE pelo apoio financeiro prestado.
A WANDA F. ROCHA, pela confecção gráfica dêste balho.
tra
iii .
O presente trabalho aborda a determinação e a anãli se das equações das vibrações transversais de placas
sand-
wich retangulares, simplesmente apoiadas e uniformemente com primidas no seu plano mêdio, bem como o cãlculo das
cargas
criticas de instabilidade, por um processo dinâmico.
As equaçoes das vibrações da placa sandwich
foram
obtidas extremando a expressão da ação da mesma.
São apresentados grafices e tabelas fornecendo variação das frequências naturais de vibração e da carga instabilidade, com a rigidez ao cisalhamento da placa wich.
t elaborado tambêm, para uma dada placa, um Tal grãfico apresenta o modo de vibração no
a carga critica de instabilidade ê minima.
de sand
grâfico
do comportamento da carga de instabilidade com o modo de bração.
a
vi
qual
i V•
S U M M A R V
The scope of this dissertation is the analysis of the dynamical behavior of sandwich plates.
We have
considered
only simply supported rectangular plates under a compressive uniform load acting in the middle plane.
The
dynamical
instability was also analyzed.
The equations of motion were obtained
through
a
variationat approach.
The changes in the natural frequencies and stábility loads were analyzed according to the variations of the shear stiffness of the plate.
The results were plotted and
included in this dissertation.
are
lt was also plotted a curve
connecting the vibration modes with
the
critica]
loads.
Through this curve it was possible to find out the smallest value for the critica] load.
V•
l NDI C E Pãginas:
Capitulos:
........................................
l
I
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA PLACA SANDWICH
3
II
ENERGIA POTENCIAL TOTAL DA PLACA SANDWICH ..
18
...................
28
INTRODUÇÃO
III IV
EQUAÇÃO DE OSTROGRADSKI
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO DE
UMA
PLACA SANDWICH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
CARGAS CRITICAS E FREQUtNCIAS DE
45
VIBRAÇÃO
DE UMA PLACA SANDWICH RETANGULAR SIMPLESMEN TE APOIADA . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . .
55
VI
TABELAS E GRf;FICOS .......................•
66
VII
CONCLUSÕES ............................... .
76
TABELAS
79
GRÃFICOS
81
. ....................................... .
86
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .
91
NOTAÇÕES
~
l.
INTRODUÇÃO
Nêste trabalho denominaremos placa sandwich ao
ele
mento estrutural plano constituído por duas lâminas finas de material r~sistente, separadas por uma camada espessa consti tuída de um material leve e menos resistente.
As duas lâminas resistentes sao chamadas faces, e a camada espêssa ê chamada núcleo do sandwich.
O núcleo tem diversas funções vitais:
deve ser
su
ficientemente rígido na direçio ortogonal is faces para ass! gurar que elas permaneçam separadas a distância correta;
de
ve ser suficientemente rígido ao cisalhamento para assegurar que quando o sandwich ê deformado, as faces nio em relaçio a outra.
escorregam
Se esta última condição nio fÕr
satis
2.
feita, as faces simplesmente se comportam como duas
placas
independentes, e o efeito sandwich fica perdido.
Se o núcleo possuir uma certa resistência, êle tribuirá para a rigidez ã flexão do sandwich.
con
Por outro la
do, essa contribuição ê pequena no caso de núcleos com pouca resistência.
Como tais núcleos são usualmente
empregados,
e um expediente muito frequente ignorar tal contribuição,
e
isso leva a considerável simplificação na análise de tensões e deflexões.
3.
CAPITULO I
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA PLACA SANDWICH
Para dedução das equaçoes diferenciais que regem
o
fenômeno da flexão das placas sandwich, consideraremos as se guintes hipôteses básicas, alêm daquelas da Resistência
dos
Materiais: la.)
O núcleo tem rigidez transversal infinita e nêle
nao
atuam tensões normais paralelas ao plano médio da
pl~
ca.
2a.)
As faces sao consideradas membranas e têm a mesma
es
pessura. 3a.)
A placa ê ortôtropa e os eixos
e
sao os eixos pri~
cipais de ortotropia. 4a.)
O peso próprio da placa nao sera considerado.
Seja o elemento infinitesimal de placa sandwich Fig. l.l, o qual serã desenhado duas vezes para facilitar visualização dos esforços atuantes.
Consideraremos
da a
nesse
elemento todos os esforços que podem agir sôbre a placa, com
4.
exceçao dos momentos situados no plano medio da mesma.
Na figura consideramos Nxy TEMA 1
0
Nyx e Mxy
=
=
Myx
(PLA~
~
).
1
1 1
, , 1
9-
·~
r{
N':,1
-~:
~
1 1
1\.c.:R
1
íi'i+ êirv'l ,
1
ôd rrr +a rc Ô)
f>
sendo
w(x,y,z) laü conhecido e ao a fronteira de
indica que existe uma superfície À*
=
D.
Isso
no espaço xyzw;
w(a'í))
e cada argumento de v passa por _d* .
Para se calcular a primeira variação de levar em conta as duas seguintes hipóteses: F€
WE
e~. Por comodidade ponhamos:
º" - -€ ,
ÔW -
~~=f,
ÔW ~ 'YY\,
ô~
,
~t = '1·
ÔW
ô3
= IY\.
a
du.J
ôà'
:::::.Jt,
1
v
e~ em
devemos O
e
29.
Usando essas relações, (3.1) pode ser escrita:
v (w(x, 1J, z l l =
N
F ( x, y, z, w, l, m, n, p, q, IL ,-6, .t, u l dxdydz.
o
(3.2)
Vamos agora procurar a hiper-superficie que extreml Sejam, então, w(x,y,z) uma extremante de
za esse funcional.
v e w:~1.x,y,z) uma hiper-superficie de comparação. çao 6W de w
6W
=
e definida
A varia
da seguinte maneira:
W*(x,y,z) - w(x,y,z)
( 3. 3)
Consideremos a seguinte.familia de hiper-superficiesa um
P!
râme tro:
wl.x,y,z,a) = w(x,y,z)
Vemos que
w(x,y,z,O)
~
+
(3.4)
a6w .
w(x,y,zl e w(x,y,z,ll = w*(x,y,z) .
Consideremos, pois, que o domínio de v seja sõmente a lia w(x,y,z,a).
fami
Com isso, o funcional se transforma em uma
função de a sõmente.
Como w(x,y,zl
e uma
extremante de
por hipõtese, segue que a familia w(x,y,z,a) possui uma
v, ex
30.
tremante em a~o..
a
ªª
Consequentemente,
= o.
[v(w(x,y,z,al!] a=O
Porém,
a [v (w(x, y,z,a)
ªª
1]
= ôv
( ELSGOLC 2 ).
Logo:
a=O
ÔV =
0.
(3.5)
Calculemos ôv:
ÔV
=
:a [w
F(x,y,z,w,l,m,n,p,q,Jt,)
oa:ô~
3
ô~oi
··)d.x.cl~d.i, (3.29)
43.
sendo w-i.(x,y,zllaoconhecido, -i.=1,2, ••. n. . . . n'
F e w-i., -i.=1,2, •..
atendem as mesmas hipóteses de (3.1) .
Consideremos a variação da função wj, l~j~n, mante~ do as outras fixas.
Assim fazendo, o funcional v(w 1 ,
•••
,wj,
•.• ,wn) torna-se um funcional dependendo apenas da função wj,
Para êsse, a equaçao de Ostrogradski ê da forma:
sendo
owí = ~J' ôa:
ÔW
~ = rm! '
,
õ'w
oaci = fi'
•
~=-.À
•
J,
oa:O~
ºa~~= ~i, õw· { ~ -· Ôa'.Ôâ - ô'
OwÍ
Oi
•
=Mi'
Ow~ ~ ô ~
Jt.
ô'
õ'w· a~ o~ =...u.J'
1~1,;"'1..
Como êsse argumento ê vãlido para cada l~j~n, segue que extremantes de v(w 1 ,
• ••
as
,wn) são soluções do seguinte sistema
44.
de equaçoes de Ostrogradski:
~= 1,,, ·,""-
.e,yy,.
0. (3.30)
OBS:
Os símbolos
a ax
{.}'
a ay
{.}
e
a az
{.}
têm os segui.!1_
tes significados:
a ax
-,
{.}
sõmente sao consideradas constantes as y
a
{.}
ay
{.}
z;
sõmente são consideradas constantes as x
a az
e
e
e
variãveis
z;
sõmente sao consideradas constantes as y
variãveis
X.
variãveis
45.
CAPTTULO
IV
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO DE UMA PLACA SANDWICH
Vamos aplicar o principio de Hamilton ã da açao (equação (2.4)).
expressa o
tste principio garante que as
so
luções das equações de Ostrogradski, (3.30), fazem com que a ação assuma um valor extremo.
A função F, que aparece
equação (3.29), é o integrando da equação (2.4).
na
Então,
funcional A que queremos extremar é da forma:
íl[..u.,M,W,V'a,{J~Í((r(-a::,Lf,f,..u.,f\r,W,Y'~, Y,, élu., OU, ÔU O' , Jjj a o· 0 , õ21: a~ õt 'i)
~'Ir
o~at '
élfv
ô1u
º"'"~ ' º"ºt
I
Ôl\r,
ô-.:
O'lr
a~
1
Of\r,
ot
o
46.
Tal como fizemos no Capitulo III podemos escrever:
ou
ôa:
=g,'
•
•
= f:l
1
ti\)" =f,,,, ôa:-'
f,v
=J,'
ôa:ô~
êlw -
---
,,,
e3'
º"' • ÔUI =f,, êla:"
~} =
ô~ oa::êlt
ÔU)
q.,
i/\)" - Jt ?,t' - .,
t,2,
=IYYl3,
ô~
-clw -q, 31 ~~
oi.v
ila::à~
~=~,
~=/'"\,
~=t,, oa::•
-t3'
ô~
•
~=~,
ô , ~
cf.u. - u ôfôt - ,, Ô/\J" -
ôa::ât
º" "
=Jt "
f'(Y\. '
•
õw =J>,,
=/)'\,
•
êl:U. =-t 1'
~= ô~
a+
1-t•
ôa::ôt
'
ÔI.L
âu.
ªt =9-,,
~=-À11
º"' Ô2C
º~
='Yrl,'
ait
~;, =f,,
âa:il~
ôu
'
ôt -
'Yl
ª'
•
ÔN'
-.li
ô~ôt -
ôuJ
ôt
~·
= 'Y\.31
~
ÔW=.Jt,
,H'
3
•
ÔU/ - ,,U, ~ -
~
½à
?S.
-
'Yl
"'
~=.Jt,,
ôt"'
,,
47.
,
,
- "'
~--À
Oac ~
~=~5,
º" ?/ ~=t,, ílr
, ~=__,\s•
º"' º~
i
~-t ôa:êlt -
"'
~==,· ô~ ?J~
~=CJ-s•
ot
º~ -t,, ---m-= oa:c1t
à~~~
c--U.S'
~=m,, ôt
o"
~=As,
ílt'
o'
~ = L i ... ,
ô~êlt
Usando estas notações, a função F em (2.4) fica da
seguinte
maneira:
- 4r{"'J ({ + IYY\1 +
~/m1 +
~Cj-W,
( 4. 1 )
Usando {3.30) as cinco equaçoes de Ostrogradski são as seguintes:
48.
ar{.,
º"'
+
Qr{r
º~
=º,
( 4. 2)
( 4. 3)
sendo â o operador laplaciano em duas dimensões, isto e,
â =
a2 ax 2
-+
a2
-· ay2
A solução geral de (4.2) e (4.3} e (LANGHAAR 6 ) função ~(x,y) arbitrária, porem sujeita ãs seguintes
restri
çoes:
ay2
a2~ ax 2
=
32~
ax ay
= -
Nx.y.
uma
(4.7)
49.
~(x,y) e chamada função de tensão de Airy.
Para resolver (4.4), (4.5) e (4.6) basta
escolher
Entretanto, pode nao
funções de onda para w, Yx e Yy·
ser
fácil achar três funções de onda compativeis entre si,
sem
introduzir um grande número de parâmetros, o que levaria cálculos laboriosos (PLANTEMA 1 º).
a
Para evitar isso,
vamos
exprimir Yx e Yy em função de w e de dois parâmetros.
Para
tanto, devemos considerar a seguinte hipõtese:
cada
plana do núcleo originalmente perpendicular ãs faces,
secçao perm~
nece plana, porem gira em tôrno de uma linha paralela ao pl~ no xy, cuja distância ã face superior ê constante.
Como a
placa sandwich e isõtropa, essa linha paralela estã localiza da na metade da espessura do núcleo.
Consideremos o elemento de placa sandwich da figura 4.1, antes e depois de experimentar a flecha w.
Se não hou
vesse distorção do núcleo, a.bde,;g giraria de um ângulo
aw ax
e
ocuparia a posição a.'b'd'e;g' normal a GG', de acôrdo com as hipóteses da teoria ordinária da flexão. cleo experimenta uma distorção y
ex
Entretanto, o
, de modo que a.bdeg º
nu
pass~
ra a ocupar, na realidade, a posição a."b"d'e:g". a."b" e e:g" permanecem paralelas a a.b .e e,;g, porque as distorções das cessão desprezadas.
fa
50.
-
!'--------cl.x _ _ _ _ _--J' ,a. i
" , - ~ ~:'ll-·_ ' '
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--------