Satz von Rolle und Mittelwertsatz Maren Groneberg Ausarbeitung zum Vortrag im

in der Analysis

Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele

(Semester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Zusammenfassung: An den Anfang dieser Arbeit möchte ich einen kurzen Abschnitt über Michel Rolle und seine mathematischen Leistungen stellen, da es mich sehr beeindruckt hat, wie dieser sich trotz geringer Bildung in seiner Jugend die Mathematik selbst beigebracht hat und neue mathematische Theorien aufstellen konnte. Danach soll neben dem gewöhnlichen Beweis des Satzes von Rolle, der die Beschränktheit der Funktion einem Punkt

x=ξ

f

verwendet und dass

f

in

sein Extremum erreicht, ein neuer Beweis gezeigt werden, der mit Hilfe des

Zwischenwertsatzes geführt wird. Zum Schluss dieser Arbeit soll der Mittelwertsatz der Differentialrechnung näher betrachtet werden und dabei möchte ich besonders auf quadratische Funktionen (Parabeln) eingehen.

Inhaltsverzeichnis 1 Michel Rolle

3

1.1

Leben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Werke

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Satz von Rolle

4

3 Der Mittelwertsatz der Dierentialrechnung

8

4 Der Mittelwertsatz bei quadratischen Polynomen 4.1

Anwendungsaufgabe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Resümee

10 12 13

2

1 Michel Rolle 1.1 Leben Michel Rolle wurde am 21. April 1652 in Ambert, Basse-Auvergne, in Frankreich geboren. Er war der Sohn eines Ladenbesitzers und erhielt daher in jungen Jahren nur eine geringe Bildung. Allerdings begann er schon sehr früh, sich viele Dinge selbst beizubringen. Mit 24 Jahren ging er, auf der Suche nach einem besseren Leben, nach Paris. Er heiratete dort und bekam Kinder. Neben seiner Arbeit als Rechenexperte für einen Rechtsanwalt brachte er sich die höhere Mathematik selbst bei. Besonders Algebra interessierte ihn sehr. Die Mathematik verhalf ihm dann zum Durchbruch: 1682 löste er ein mathematisches Problem, das von Jacques Ozanam öentlich gestellt wurde. Für diese sehr komplexe Aufgabe fand Rolle eine komplexe aber elegante Lösung. Das Problem war folgendes: "Finde vier Zahlen mit folgenden Eigenschaften: Die Dierenz von je zwei dieser Zahlen ist ein perfektes Quadrat (dh. eine Zahl, deren Wurzel man im Raum der natürlichen Zahlen ziehen kann). Zusätzlich muss die Summe der drei ersten Zahlen auch ein perfektes Quadrat sein." Ozanam hatte behaupet, dass die kleinste dieser vier Zahlen mindestens 50 Ziern hat. Rolle aber fand vier Zahlen, die das Problem lösten, mit nur sieben Ziern. Sein Ergebnis veröentlichte er in dem

Journal des scavans. Mit dieser Lösung wurde er bekannt.

Zusätzlich wurde er mit einer Pension belohnt, die ihm nanzielle Sicherheit bot, sodass er sich weiterhin mit der Mathematik beschäftigen konnte. Auÿerdem wurde er der Lehrer eines Sohnes eines mächtigen Ministers in Frankreich. Für kurze Zeit hatte er sogar einen Verwaltungsposten im Kriegsministerium inne, der ihm aber nicht geel, weshalb er ihn aufgab. Im Jahre 1685 wurde er als Mitglied in die

Académie Royale des

Sciences, der Pariser Akademie der Wissenschaft, aufgenommen. Diese Akademie war ein Zusammenschluss der hervorragensten französischen und ausländischen Vertreter der Wissenschaft. Das Ziel dieser Akademie war die Forschung. So führte sie im 17. Jahrhundert beispielsweise eine Erdmessung durch. Michel Rolle erlitt 1708 seinen ersten Schlaganfall, der ihn daran hinderte, weiterhin mathematische Beiträge zu liefern. Am 8. November 1719 starb er dann nach einem zweiten Schlaganfall in Paris.

1.2 Werke Im Jahre 1690 veröentlichte Michel Rolle seine Abhandlung über algebraische Gleichungen

Traité d'algébre. Darin übernahm er die Bezeichnung

√ n

x für

die

n-te

Wurzel,

woraufhin diese Schreibweise zur Standardschreibweise wurde. Auÿerdem suchte er mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gröÿten gemeinsamen Teiler zweier Polynome, um damit eine lineare diophantische Gleichung zu lösen. Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + c = 0 mit ganzzahligen Koezienten

ai

und es sind auch nur ganzzahlige Lösungen inter-

essant. Auch seine "Cascades"− Methode wurde sehr bekannt, obwohl er nie beweisen

3

konnte, dass seine Methode immer angewendet werden kann. Den bekannten

Satz von Rolle,

den er als Unterstützung für die Beweise seiner Me-

thoden benötigte, veröentlichte er in

Egalitez de tous les degrez

Demonstration d'une Methode pour resoudre les

in Jahre 1691. 150 Jahre später erhielt dieser Satz seinen

Namen nach Michel Rolle.

2 Satz von Rolle Theorem 2.1

Satz von Rolle

Sei f : [a, b] → R und sei diese gegebene Funktion f stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und auf dem oenen Intervall (a, b) dierenzierbar. Und es gelte f (a) = f (b). Dann gibt es mindestens ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0 (d.h. in ξ liegt ein Extremum von f vor) geometrische Deutung Der Graph von

f

durch die Punkte

besitzt in

(a | f (a))

ξ

eine waagerechte Tangente, die parallel zu der Sekante

und

(b | f (b))

ist.

4

Um den Satz von Rolle zu beweisen, muss man auf den Zwischenwertsatz zurückgreifen:

Zwischenwertsatz

Theorem 2.2

Ist eine Funktion f : [a, b] → R stetig, so nimmt sie jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an. Haben f (a) und f (b) auÿerdem verschiedene Vorzeichen, so existiert mindestens eine Nullstelle von f in dem Intervall (a, b). Nun zum Beweis

Beweis 2.3

geläuger Beweis des Satzes von Rolle

Beweisidee Bei diesem Beweis nutzt man, dass

f

beschränkt ist und in einem Punkt

Extremum erreicht, in dem die erste Ableitung gleich Fall 1:

∀x ∈ [a, b]

gilt

f (x) = f (a) = f (b) = c, ∀x : f 0 (x) = 0 .

0

mit

x = ξ

ein

ist.

c

konstant. Da

f

dann eine

konstante Funktion ist, gilt Fall 2:

∃x ∈ [a, b]

mit

f (x) 6= f (a) ⇒ f ist nicht konstant. Da aber f (a) = f (b), nach xmax beziehungsweise ein xmin aus dem Intervall 0 gibt es mindestens ein Extremum für das gilt: f (xmax/min ) = 0.

Voraussetzung, muss es mindestens ein

(a, b)

geben. Deshalb

q.e.d.

Beweis 2.4

neuer Beweis

Dieser Beweis wird nur mit Hilfe des Zwischenwertsatzes geführt. Beweisidee Mit Hilfe einer Zwischenbehauptung erhält man eine Folge von Intervallen, deren Grenzen für

n→∞

gegen

ξ

laufen. Mit der Denition von Dierenzierbarkeit kann dann

gezeigt werden, dass die erste Ableitung in werden, dass

ξ

zu stellen, dass die Funktion Sei

ξ

gleich

0 ist. Danach muss noch kontrolliert [a1 , b1 ] = [a, b] annimmt, um sicher

nicht die Werte der Intervallgrenzen

f

nicht konstant ist.

[a, b] := [a0 , b0 ]

Zwischenbehauptung Es gibt ein Intervall sodass

[a1 , b1 ] ⊂ [a0 , b0 ]

mit

b 1 − a1 =

f (a1 ) = f (b1 ).

5

b0 −a0 (∗) 2

Beweis der Zwischenbehauptung Deniere eine Hilfsfunktion

g(x) = f (x +

b−a ) 2

− f (x).

Dann ist:



a+b g 2

⇒ g( a+b ) 2

und

g(a)





   a+b b−a a+b =f + −f 2 2 2   a+b = f (b) − f 2   b−a = −f a + + f (a) 2 = −g(a)

haben verschiedene Vorzeichen.

g als Komposition stetiger und dierenzierbarer Funktionen auf [a, b] stetig und auf (a, b) dierenzierbar ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz 2.2, dass es ein ξ ∈ (a, a+b ) 2 gibt mit g(ξ) = 0.

Da

ξ ∈ (a, b) g(ξ) = 0

Wähle nun Dann gilt:

so, dass

⇒

) = f (ξ). f (ξ + b−a 2 [a1 , b1 ] = [ξ, ξ + b−a ] 2

Auÿerdem gilt:

− ξ = b−a ⇒ (∗) b1 − a1 = ξ + b−a 2 2 a+b a+b (ii) da ξ < (denn ξ ∈ (a, )) ⇒ξ+ 2 2 (i)

Mit (i) und (ii) folgt dann:

[ξ, ξ +

b−a ] 2

b−a 2