Der Satz von Pythagoras Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universit¨ at M¨ unchen

17. Oktober 2013

W. Kinzner (TUM)

Der Satz von Pythagoras

17. Oktober 2013

1/9

Inhaltsverzeichnis 1

Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras

2

Der Satz von Pythagoras

3

Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis

4

Erg¨anzungen Umkehrung und Kosinussatz

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Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras

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Der Satz von Pythagoras

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Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis

4

Erg¨anzungen Umkehrung und Kosinussatz

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Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras

2

Der Satz von Pythagoras

3

Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis

4

Erg¨anzungen Umkehrung und Kosinussatz

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Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras

2

Der Satz von Pythagoras

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Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis

4

Erg¨anzungen Umkehrung und Kosinussatz

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Einleitung

Historische Entwicklung

Historisches

Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden

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Einleitung

Historische Entwicklung

Historisches

Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden

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Einleitung

Historische Entwicklung

Historisches

Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden

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Einleitung

Historische Entwicklung

Historisches

Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Einleitung

Historisches zu Pythagoras

Historisches zu Pythagoras von Samos

* um 570 v. Chr. auf Samos; „ nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gr¨ undete die Schule der Pythagoreer geh¨ ort zu den r¨atselhaftesten Pers¨ onlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!)

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Der Satz von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die L¨angen der Katheten, und c die L¨ange der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedr¨ uckt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung

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Der Satz von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die L¨angen der Katheten, und c die L¨ange der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedr¨ uckt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung

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Der Satz von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die L¨angen der Katheten, und c die L¨ange der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedr¨ uckt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Vorbemerkungen

Vorbemerkungen zum Beweis

Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Pers¨ ohnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, ¨ Ahnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 ver¨ offentlicht.

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Vorbemerkungen

Vorbemerkungen zum Beweis

Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Pers¨ ohnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, ¨ Ahnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 ver¨ offentlicht.

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Vorbemerkungen

Vorbemerkungen zum Beweis

Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Pers¨ ohnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, ¨ Ahnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 ver¨ offentlicht.

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Vorbemerkungen

Vorbemerkungen zum Beweis

Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Pers¨ ohnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, ¨ Ahnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 ver¨ offentlicht.

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Vorbemerkungen

Vorbemerkungen zum Beweis

Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Pers¨ ohnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, ¨ Ahnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 ver¨ offentlicht.

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Geometrischer Beweis

Geometrischer Beweis durch Erg¨anzung (1) Beweis In ein Quadrat mit der Seitenl¨ange a + b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie es in den folgenden beiden Zeichnungen dargestellt ist. a2  

b    a

b2

 

  BB  B B 2 B c B b B B  BB

a

Abbildung : Beide Quadrete besitzen die Seitenl¨angen a + b

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Geometrischer Beweis

Geometrischer Beweis durch Erg¨anzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenl¨ange c. a2 

 

Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenl¨ange a und einem mit Seitenl¨ange b.   BB  B B 2 B c B b B B   BB



b 

b2

 

a

a Die Fl¨ache c 2 entspricht also der Summe der Fl¨ache a2 und der Fl¨ache b 2 , also a2 + b 2 = c 2 .  W. Kinzner (TUM)

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Geometrischer Beweis

Geometrischer Beweis durch Erg¨anzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenl¨ange c. a2 

 

Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenl¨ange a und einem mit Seitenl¨ange b.   BB  B B 2 B c B b B B   BB



b 

b2

 

a

a Die Fl¨ache c 2 entspricht also der Summe der Fl¨ache a2 und der Fl¨ache b 2 , also a2 + b 2 = c 2 .  W. Kinzner (TUM)

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Beweis des Satzes von Pythagoras

Geometrischer Beweis

Geometrischer Beweis durch Erg¨anzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenl¨ange c. a2 

 

Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenl¨ange a und einem mit Seitenl¨ange b.   BB  B B 2 B c B b B B   BB



b 

b2

 

a

a Die Fl¨ache c 2 entspricht also der Summe der Fl¨ache a2 und der Fl¨ache b 2 , also a2 + b 2 = c 2 .  W. Kinzner (TUM)

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Erg¨ anzungen

Umkehrung und Kosinussatz

Erg¨anzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegen¨ uber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: F¨ ur ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegen¨ uberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem H¨ ohensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM)

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Erg¨ anzungen

Umkehrung und Kosinussatz

Erg¨anzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegen¨ uber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: F¨ ur ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegen¨ uberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem H¨ ohensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM)

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Erg¨ anzungen

Umkehrung und Kosinussatz

Erg¨anzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegen¨ uber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: F¨ ur ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegen¨ uberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem H¨ ohensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM)

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Umkehrung und Kosinussatz

Erg¨anzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegen¨ uber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: F¨ ur ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegen¨ uberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem H¨ ohensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM)

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