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Jan Lunze

Regelungstechnik 1 Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen Zweite neubearb. Auflage mit 331 Abbildungen, 53 Beispielen, 132 Übungsaufgaben sowie einer Einführung in das Programmsystem MATLAB

Springer

Inhaltsverzeichnis

xv

Beispiele für praktische Regelungsaufgaben Inhaltsübersicht des zweiten Bandes

xviii

Hinweise zum Gebrauch des Buches

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Teil 1: Einführung 1 Zielstellung und theoretische Grundlagen der Regelungstech-

nik 1.1 1.2 1.3 1.4 2

Aufgaben der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . Prinzipielle Funktionsweise von Regelungen . . . . Lösungsweg für Regelungsaufgaben . . . . . . . . . Theoretische Grundlagen der Regelungstechnik . .

. . . .

1 ....... 1 . . . . . . . . 4 . . . . . . . . 8 . . . . . . . . 10

Beispiele für technische und nichttechnische Regelungsaufgaben 2.1 Gebäudeautomatisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Prozeßregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Regelungsaufgaben in Energiesystemen . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Robotersteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Regelung von Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Flugregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Der Mensch als Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Biologische Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Gemeinsamkeiten von Regelungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 14 16 19 21 22 23 24 25 28

Teil 2: Modellbildung und Systemanalyse 3 Strukturelle Beschreibung dynamischer Systeme 29 3.1 Ziele und wichtige Schritte der Modellbildung . . . . . . . . . . . 29 3.2 Blockschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Signalflußgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

X

INHALTSVERZEICHNIS

4 Systembeschreibung im Zeitbereich 4.1 Beschreibung linearer Systeme durch Differentialgleichungen . . . 4.1.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung . . . . . . . . 4.1.2 Aufstellung der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Linearität dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Kausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Zustandsraumdarstellung linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . 4.3 Aufstellung des Zustandsraummodells . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Ableitung des Zustandsraummodells aus der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Aufstellung des Zustandsraummodells aus den physikalischen Grundbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Zustandsraummodell gekoppelter Systeme . . . . . . . . . . 4.3.4 Gültigkeitsbereich und Normierung . . . . . . . . . . . . . 4.4 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Linearisierung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Totzeitsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Zeitvariable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 MATLAB-Funktionen für die Beschreibung dynamischer Systeme Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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42 42 43 50 51 54 54 62 62 67 72 77 81 81 88 89 89 91

5 Verhalten linearer Systeme 92 5.1 Lösung der Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.1 Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung 92 5.1.2 Lösung eines Differentialgleichungssystems erster Ordnung 96 5.1.3 Verhalten linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Normalformen des Zustandsraummodells . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.1 Transformation der Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . 104 5.2.2 Kanonische Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2.3 Erweiterung der kanonischen Normalform für nicht-diagonalähnliche Systemmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.4 Bewegungsgleichung in kanonischer Darstellung . . . . . . 116 5.2.5 Weitere Normalformen des Zustandsraummodells . . . . . 121 5.3 Eigenschaften und Berechnungsmethoden für die Übergangsmatrix 125 5.4 Kennfunktionen des dynamischen Übertragungsverhaltens . . . . . 127 5.4.1 Übergangsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4.2 Gewichtsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5 Übergangsverhalten und stationäres Verhalten linearer Systeme . 136 5.6 Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Zeitbereich . . . . 142 5.6.1 Proportionalglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.6.2 Integralglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6.3 Differenzierglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.6.4 Totzeitglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.7 Modellvereinfachung und Kennwertermittlung . . . . . . . . . . . 152 5.7.1 Modellvereinfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.7.2 Approximation dynamischer Systeme durch PT1-Glieder . 157

5.7.3 Kennwertermittlung für PT2-Glieder . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Kennwertermittlung für PT1Tt Glieder . . . . . . . . . . . 5.8 MATLAB-Funktionen für die Analyse des Zeitverhaltens . . . . . Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich 170 6.1 Zielstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.2 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.2.1 Zerlegung periodischer Signale . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.2.2 Zerlegung nichtperiodischer Signale . . . . . . . . . . . . . 176 6.3 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.3.1 Verhalten linearer Systeme mit sinusförmigem Eingangssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.3.2 Berechnung des Frequenzganges . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.3 Eigenschaften und graphische Darstellung . . . . . . . . . . 183 6.4 Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.4.2 Wichtige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.5.2 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.5.3 Eigenschaften und graphische Darstellung . . . . . . . . . . 203 6.5.4 Pole und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.5.5 Berechnung der Signalübertragung mit Hilfe der Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.5.6 Übertragungsfunktion zusammengeschalteter Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.6 Beziehungen zwischen den Kennfunktionen . . . . . . . . . . . . . 224 6.7 Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich 225 6.7.1 Proportionalglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.7.2 Integralglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.7.3 Differentialglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.7.4 Übertragungsglieder mit Nullstellen . . . . . . . . . . . . . 239 6.7.5 Übertragungsglieder mit gebrochen rationaler Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.7.6 Allpaßglieder und nichtminimalphasige Systeme . . . . . . 245 6.8 MATLAB-Funktionen für die Systemanalyse im Frequenzbereich 255 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7 Der Regelkreis 261 7.1 Regelungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.2 Modell des Standardregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 7.2.1 Beschreibung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . 266 7.2.2 Beschreibung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.3 Stationäres Verhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.3.1 Stör- und Führungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.3.2 Stationäres Verhalten bei sprungförmiger Erregung . . . . 274 7.3.3 Sollwertfolge durch Vorfilterentwurf . . . . . . . . . . . . . 277

7.3.4 Inneres-Modell-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Übergangsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Beschränkungen für die erreichbare Regelgüte . . . . . . 7.4.2 Auswirkungen von Modellunsicherheiten . . . . . . . . . 7.4.3 Vorgehen beim Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Reglertypen und Richtlinien für die Wahl der Reglerstruktur . . Lit.eraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278 . 282 . 282 . 288 . 292 . 293 298

8 Stabilität rückgekoppelter Systeme 299 8.1 Zustandsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.1.1 Definition der Zustandsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.1.2 Stabilitätsprüfung anhand der Eigenwerte . . . . . . . . . . 301 8.1.3 Hurwitzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.1.4 Routh-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.2 Eingangs-Ausgangs-Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.2.1 Definition der Eingangs-Ausgangs-Stabilität . . . . . . . . 309 8.2.2 Kriterien für E/A-Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.2.3 Beziehungen zwischen Zustandsstabilität und E/A-Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.3 Stabilitätsprüfung von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.3.1 E/A-Stabilität von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.3.2 Innere Stabilität von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . 316 8.4 Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4.1 Herleitung des Nyquistkriteriums . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4.2 Nyquistkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 8.4.4 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 8.4.5 Phasenrandkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 8.5 Robuste Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.5.1 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.5.2 Beschreibung der Modellunsicherheiten . . . . . . . . . . . 337 8.5.3 Nachweis der robusten Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . 338 8.6 Stabilitätsanalyse mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Teil 3: Entwurf einschleifiger Regelkreise 9 Entwurf einschleifiger Regelkreise 9.1 Allgemeiner Lösungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Übersicht über die Entwurfsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Rechnergestützter Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Einstellregeln für PID-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

346 346 . 348 350 351 354

INHALTS SrERZEICHNIS

xiii

10 Reglerentwurf anhand des PN-Bildes des geschlossenen Krei-

ses 356 10.1 Beziehungen zwischen dem PN-Bild und den Güteforderungeri . . 356 10.2 Definition der Wurzelortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.3 Eigenschaften und Koristruktionsvorschriften . . . . . . . . . . . . 363 10.4 Reglerent.wurf unt.er Verwendung der Wurzelortskiirve . . . . . . . 370 10.5 MATLAB-Funktionen zum Entwurf anhand des PK-Bildes . . . 380 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 11 Reglerentwurf anhand der F'requenzkennlinie der offenen Kette384 11.1 Frequenzkennlinie und Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 11.1.1 Näherung des Regelkreises durch ein PT2-Glied . . . . . . 384 11.1.2 Statisches Verhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . 385 11.1.3 Führungsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . 386 11.1.4 Störverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . 391 11.2 Reglerentwurf auf Führungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . 396 11.2.1 Entwurfsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 11.2.2 Entwurfsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 11.3 Reglerentwurf auf Störkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.4 MATLAB-Programm zum Requenzkennlinienentwurf . . . . . . . 409 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 12 Weitere Entwurfsverfahren 411 12.1 Kompensationsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 12.2 Modellbasierte Regelung (Internai Model Control) . . . . . . . . . 416 12.2.1 Grundidee des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 12.2.2 Entwurf von IMC-Reglern durch H2-Optimierung . . . . . 420 12.2.3 Entwurf robuster IMC-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.2.4 Beziehung zwischen klassischen Reglern und IMC-Reglern 426 12.3 Smith-Prädiktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 13 Erweiterungen der Regelungsstruktur 436 13.1 Vermaschte Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 13.1.1 Störgrößenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 13.1.2 Regelkreis mit Hilfsregelgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 13.1.3 Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 13.1.4 Regelkreis mit Hilfsstellgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 13.2 Mehrgrößenregelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 13.3 Robuste und adaptive Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Literaturverzeichnis

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