Labor Mess- und Regelungstechnik Teil Regelungstechnik

Labor Mess- und Regelungstechnik Teil Regelungstechnik Prof. Niklaus Degunda Windisch, HS 2012 FHNW Hochschule für Technik Studiengang WING Dieses S...
Author: Sofie Amsel
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Labor Mess- und Regelungstechnik Teil Regelungstechnik Prof. Niklaus Degunda Windisch, HS 2012

FHNW Hochschule für Technik Studiengang WING

Dieses Script ist eine Arbeitsunterlage zum Modul  Labor Mess- und Regelungstechnik im Studiengang WING und enthält den Inhalt der Vorlesung, die auf die Laborübungen vorbereitet. Die Theorie beschränkt sich aufs Nötigste. Fürs Labor stehen separate Anleitungen zur Verfügung. Nach einer Einführung, welche die Sprache der Regelungstechnik und die üblichen graschen Darstellungen von dynamischen Systemen vorstellt, wird das Übertragungsverhalten von dynamischen Systemen behandelt, vor allem die Antwortfunktionen als einfachste Beschreibungsform. Für die Elementar-Übertragungsglieder werden auch die Dierenzialgleichungen angegeben. Bei den Regeleinrichtungen werden konventionelle Regler (2-, 3-Pkt, PID) behandelt. Die Dynamik des Regelkreises wird qualitativ und mit Hilfe von Simulationen untersucht. Für den Reglerentwurf werden Einstellregeln verwendet. Als begleitendes Simulationstool wird Vensim eingesetzt.

1

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

3

2 Regelungstechnik Grundbegrie

4

2.1

Anwendungen der Regelungstechnik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Fundamentalaufgaben der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Das Blockdiagramm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elemente des Blockdiagramms

2.3.2

Blockdiagramm Anwendung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.3

Blockdiagramm und Ursache-Wirkungsdiagramm in Vensim . . . . . . . . .

9

2.3.4

Von der Realität zum Modell

2.4

Steuerungen

2.5

Regelungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.1

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Das Übertragungsverhalten

12

3.1

Systeme und Systemgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Mathematisches Modell

3.3

Beschreibungsformen dynamischer Systeme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 14

3.3.1

Dierenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3.2

Antwortfunktionen

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Elementarübertragungsglieder

3.5

Vensim-Modelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4 Regelstrecken

23

4.1

Regelstrecken mit Ausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2

Regelstrecken ohne Ausgleich

23

4.3

Kennwerte und ihre Bestimmung aus der Sprungantwort

. . . . . . . . . . . . . .

24

4.4

Regelbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Regeleinrichtungen

26

5.1

Regeleinrichtung: Messorgan, Regler und Stellorgan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Unstetige Regeleinrichtungen 5.2.1

5.3

Schaltende Regler

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Stetige Regeleinrichtungen: Der PID-Regler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.3.1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.3.2

Qualitative Beschreibung der PID-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5.3.3

P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5.3.4

I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5.3.5

PI-Regler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.3.6

PD-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5.3.7

PID-Regler

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Dynamik des Regelkreises, Stabilität

35

6.1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Stabilität

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

6.3

Regelgüte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

7 Einstellverfahren

36

37

7.1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

7.2

Reglerwahl

38

7.3

Einstellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

7.3.1

Einstellregeln nach Ziegler und Nichols (Schwingversuch)

. . . . . . . . . .

39

7.3.2

Einstellregeln nach Sprungantwortparametern . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Einleitung Die zukünftigen Wirtschaftsingenieure werden in ihrem Leben immer wieder in wichtigen und komplexen Entscheidungssituationen stehen. Mit diesen Entscheidungen werden sie in vielfach vernetzte, ökonomische, technische und soziale Systeme eingreifen. Diese Systeme sind gekennzeichnet durch eine Vielzahl von zusammenwirkenden Rückkopplungsmechanismen und können in aller Regel mit gesundem Menschenverstand oder einfachen Ursache-Wirkungs-Denkschemata nicht mehr verstanden werden. Im Gegenteil, solche Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass einfache, oensichtliche und im guten Glauben getroene Massnahmen häug einen gegenteiligen als den gewünschten Eekt bewirken (J.W. Forrester "Counterintuitive Behaviour of Social Systems", Technology Review, 1971, pp52-68). Ein Instrument zum besseren Verständnis solcher Systeme bietet die Systemtheorie. In den Ingenieurwissenschaften wird eine Systemtheorie verwendet, der mathematische Beschreibungen von Systemen zu Grunde liegen. Sie ist als mathematische Systemtheorie der Kybernetik entwickelt worden. Sie ist ein wichtiges Werkzeug in der Elektrotechnik und im Maschinenbau, kommt zunehmend auch in anderen Disziplinen wie Ökonomie, Biologie, Soziologie, etc. zum Einsatz. Mit ihrer Hilfe kann untersucht werden, wie Systeme so beeinusst werden können, dass sie gewünschte Eigenschaften zeigen. Die Beschreibung von Systemen beruht im Wesentlichen auf Dierenzialgleichungen, die erlauben, die zeitliche Entwicklung der Zustände des betrachteten Systems mathematisch zu modellieren. Die Systemtheorie liegt heute als eine ausgereifte Theorie vor allem in der Regelungstechnik und in der Nachrichtentechnik vor. Im Zentrum der Regelungstechnik stehen Regelkreise, die besonders leistungsfähige Strukturen zur Systembeeinussung sind. Mit Hilfe der Systemtheorie kann man die geschlossenen Wirkkreise, die dabei auftreten, besonders einfach mathematisch behandeln. Die Regelungstechnik ist ein Gebiet der Ingenieurwissenschaft und Teilgebiet der Automatisierungstechnik. Sie befasst sich mit der Beeinussung dynamischer Systeme mittels des Prinzips der Rückkopplung, so dass deren Ausgangsgrösse einem gewünschten Verhalten möglichst nahe kommt. Damit geregelt werden kann, muss gemessen werden. Die Messtechnik ist deshalb in Verbindung mit Steuerungs- und Regelungstechnik eine wichtige Grundlage der modernen Automatisierungstechnik. Aber auch ausserhalb der Automatisierungstechnik wird oft gemessen, z. B. um die Qualität der Produktion zu überprüfen. Der Wirtschaftsingenieur wird mit grosser Wahrscheinlichkeit Automatisierungsprojekte initiieren, bearbeiten oder gar konzipieren. Im vorliegenden Modul erhalten die Studierenden eine Einführung in die Denkweise der Regelungstechnik. Sie lernen zum einen, einfache Modelle aufzustellen und mit diesen Modellen das Systemverhalten zu untersuchen, zum anderen lernen sie im Labor, für einfache technische Prozesse geeignete Regler auszuwählen und einzustellen. Die Studierenden erfahren so Möglichkeiten und Grenzen der Mess- und Regelungstechnik und werden zu seriösen Diskussionspartnern für Ingenieure, die Automatisierungsprojekte realisieren.

3

2 Regelungstechnik Grundbegrie Lernziele:

ˆ

Sie kennen die Grundstruktur eines Regelkreises.

ˆ

Sie können Wirkungspläne und Blockdiagramme einfacher Systeme erstellen.

ˆ

Sie können einfache geregelte Systeme mit Vensim simulieren.

Inhalte:

ˆ

Dynamische Systeme

ˆ

Steuerung  Regelung

ˆ

Wirkungsplan und Blockdiagramm

Transfer:

ˆ

Blockdiagramme für diverse Prozesse, technische und nichttechnische

ˆ

Simulation mit Vensim

2.1

Anwendungen der Regelungstechnik

Dynamische Prozesse zu beherrschen ist ein altes, faszinierendes Spiel. Lange bevor das invertierte Pendel die Hochschulen beschäftigte, begeisterten Balancevorführungen die Leute im Zirkus. Wie für den Artisten das Kunststück, ist es für den Techniker eine Herausforderung, eine Maschine zu bauen, die automatisch schwierige Aufgaben beherrschen soll. Eine der dazu benötigten Techniken ist die Regelungstechnik. Die Regelungstechnik ist ein Teilgebiet der Automatisierungstechnik. Mit ihrer Hilfe werden die in vielen Fällen schwierigsten Probleme der Automatisierung eines Prozesses gelöst, nämlich die

andauernde Beeinussung der Dynamik eines Systems. Das angewandte Prinzip

wird als eine Regelung und die dazu verwendete Einrichtung als Regler bezeichnet. Typisch für eine Regelung sind also die zeitlich andauernde Beeinussung eines Prozesses und die dazu benötigten Messungen, welche Informationen über den Prozess liefern können. Die Regelungstechnik kümmert sich also nicht nur um eine statische Betrachtung eines Systems. Die Automatisierungstechnik beschäftigt sich viel allgemeiner mit dem Problem, wie ein Prozess für den Menschen möglichst einfach geführt werden kann. Die Automation soll dem Menschen ermöglichen, zum Beispiel komplizierte, schnelle oder gefährliche Aufgaben überhaupt durchführen zu können. Bei einer vollständigen Automatisierung kann sich die Führung dann lediglich auf das Ein- und Ausschalten der Maschine beschränken. Das zur Automatisierung verwendete System wird als Automat bezeichnet. Zur Automatisierungstechnik gehören die Techniken der Realisierung der Automaten, also die zur Automatisierung benötigten Geräte und Programme. Wenn nun für die Automatisierung die Dynamik eines Prozesses zeitlich andauernd beeinusst werden muss, so ndet hier die Regelungstechnik ihren Platz in der Automatisierung von Prozessen. Der Ersatz des Menschen als Regler war und ist mit wenigen Ausnahmen immer noch der erste Schritt in der Automatisierung eines Prozesses. Warum wohl? ............................................................................................................... Nennen Sie 3 Regelaufgaben, die Sie öfters in ihrem Leben ausführen. Man achte darauf, dass es sich um eine zeitlich andauernde Beeinussung eines dynamischen Systems handelt: 1. ................................................................................................................ 2. ................................................................................................................ 3. ................................................................................................................

4

Es gibt nicht eine Regelungstechnik der Mechanik, der Elektrotechnik, der Prozesstechnik oder der Natur. Die Gesetze einer Regelung sind sehr allgemein und können auf beliebige Systeme angewendet werden. Sie bilden einen Teil der

Kybernetik 1 , d.h. der Lehre der informationsverarbeitenden

Systeme. Um diese Übertragbarkeit der Regelungstechnik zu erleben und auch das Interdisziplinäre an der Arbeit eines Regelungstechnikers zu fördern, werden wir mit Beispielen aus verschiedenen Anwendungsgebieten arbeiten. Nennen Sie drei Beispiele aus jedem Anwendungsgebiet. Wie bei den obigen Beispielen achte man darauf, dass es sich um eine zeitkontinuierliche Beeinussung eines dynamischen Systems handelt. Zu jedem Anwendungsgebiet soll ein Alltags-, ein Industrie- und ein `High-Tech-Beispiel angegeben werden. Aus der Mechanik: 1. Alltag: .................................................................................................. 2. Industrie ............................................................................................... 3. High-Tech ............................................................................................ Aus der Elektrotechnik: 1. Alltag: .................................................................................................. 2. Industrie ............................................................................................... 3. High-Tech ............................................................................................ Aus der Prozesstechnik: 1. Alltag: ................................................................................................. 2. Industrie .............................................................................................. 3. High-Tech ...........................................................................................

2.2

Fundamentalaufgaben der Regelungstechnik

Anhand des Beispiels Raumheizung soll gezeigt werden, welche grundsätzlichen Aufgaben bei der Beeinussung eines dynamischen Systems gelöst werden müssen.

Abbildung 1: Raumheizung

1 kybernetes

ist altgriechisch und bedeutet Steuermann 5

Die Aufgabe der Heizungssteuerung ist es, die Heizung so zu steuern, dass die sich Raumtemperatur im Tagesverlauf gemäss dem vorgegebenen Temperaturprogramm einstellt. Das Temperaturprogramm kann z.B. vorsehen, dass in der Nacht eine Temperatur von 15 Grad und am Tag eine von 20 Grad gehalten wird. Dieses Beispiel zeigt die Lösung der

ersten Fundamentalaufgabe :

Die Innentemperatur entlang einem vorgegebenen zeitlichen Temperaturverlauf zu führen. Nun stellt sich die Frage, ob diese Heizung auch zu unserer Zufriedenheit funktioniert. Der intelligente Heizrechner kann wohl eine genaue Vorstellung über die Wärmeverluste und die Raumgrössen haben, aber er kann nicht herausnden, ob ich gerade noch das Fenster oen gelassen habe. Folgende Störeinüsse können zu einer nicht befriedigenden Raumheizung führen: 1. .................................................................................................................................. 2. .................................................................................................................................. 3. .................................................................................................................................. Daraus leitet sich die

zweite Fundamentalaufgabe

ab: Die Raumtemperatur soll trotz Störeinüs-

sen auf dem gewünschten Temperaturverlauf gehalten werden. In der Regel können Störeinüsse nie ganz eliminiert werden. Man ist in der Regel zufrieden, wenn man Störeinüsse innerhalb bestimmter Grenzen abfangen kann. Da die Raumheizung in Abbildung 1 keine Möglichkeit hat, irgendwelche Störungen zu entdecken, kann sie die zweite Aufgabe sicher nicht erfüllen. Verbessern Sie in Abbildung 2 die Raumheizung, so dass auch die zweite Fundamentalaufgabe erfüllt werden kann:

Abbildung 2: zu verbessernde Raumheizung

Diskussion der Fundamentalaufgaben

Wie das vorangehende Beispiel gezeigt hat, stellen

sich bei der Beeinussung von Prozessen folgende Fundamentalaufgaben: 1. ausgewählte Zielgrössen eines Prozesses auf zeitlich vorgegebene Werte bringen. 2. den erwünschten Verlauf auch bei Störeinüssen möglichst gut einhalten. Das Verhalten des Prozesses bezüglich der Anforderungen der 1. Aufgabe wird in der Fachsprache als das

Führungsverhalten bezeichnet. Entsprechend heisst das Verhalten bezüglich der 2. Aufgabe 6

Störverhalten oder Sensitivität. Meistens stellt sich in der Regelungstechnik das Problem, erfüllbare Fundamentalaufgaben zu formulieren. So kann man wohl fordern, dass das Haus von der Nachttemperatur von 15

°C

in 1 Minute auf 20

°C

aufgeheizt werden muss, die daraus resultierenden

technischen Konsequenzen sind aber auch leicht abschätzbar. Was sind nun typische Aufgaben? Es sollen hier ein paar einfache Beispiele von Elementaraufgaben vorgestellt werden, eine ausführliche Behandlung ndet beim Thema Reglerentwurf statt. 1. Aufgabe: Aufgabe

Beispiel

Erreichen eines gewünschten Werts

Niveauregelung

Erreichen eines gewünschten Werts

Temperaturregelung in einem

innerhalb einer bestimmten Zeit

Reaktor

Fahren eines Stifts entlang einer

Plotter

vorgegebenen Kurve 2. Aufgabe: Aufgabe Störungen dürfen zu keinen Abweichungen ausserhalb des

Beispiel Temperaturregelung in einem Reaktor

Toleranzbereichs führen Amplitude von Störungen müssen um einen Faktor 100 reduziert werden

2.3

Einuss von Wind auf Radioteleskop, Aktive Federung an einem Fahrzeug

Das Blockdiagramm

Ziele: Im Folgenden sollen Sie die Sprache der Regelungstechnik erlernen, d.h.

ˆ

Sie können alle Elemente eines Blockdiagramms einer Regelstrecke benennen.

ˆ

Sie können eine Regelung in einem Blockdiagramm darstellen.

ˆ

Sie können sicher zwischen Steuerung und Regelung unterscheiden

Begründung: Wörter und Satzbau sind wichtige Elemente einer Sprache. Auch jeder technische Bereich hat seine Sprache. Das Denken in einem Fachbereich ist stark an die verwendeten Begrie und Strukturen gebunden. In der Regel ist Erkenntnis mit der Denition neuer Begrie und Formalismen verbunden. Will man sich in der Welt der Regelungstechnik zu Recht nden, so führt kein Weg am Erlernen der grundlegenden Begrie und Strukturen vorbei. Die Sprache der Regelungstechnik umfasst Begrie, Abkürzungen und graphische Darstellungen. Im Folgenden sollen zuerst die graphischen Darstellungen erklärt werden. Mit ihrer Hilfe können dann die spezisch regelungstechnischen Begrie und Abkürzungen festgelegt werden. Regelungstechnische Systeme können anhand einer graphischen Darstellung im Blockdiagramm eindeutig und übersichtlich beschrieben werden. Das Zeichnen eines Blockdiagramms (nach DIN 19226 'Wirkungsplan') ist der erste Schritt zur Analyse eines Systems. Es wird davon ausgegangen, dass zwischen Eingang und Ausgang eine

Ursache-Wirkungs-Beziehung besteht. Aus der Sicht des Regelungstechnikers besteht ein Regelsystem aus Elementen, die Information verarbeiten. Eine graphische Darstellung eines Regelsystems ist darum eine Darstellung der Pfade der Informationsverarbeitung. Informationen werden mittels Signalen übertragen.

Signal : Bezeichnung für eine sich zeitlich verändernde Grösse, die durch ihren Wert oder zeit-

lichen Verlauf Informationen übertragen kann.

2.3.1 Elemente des Blockdiagramms Der Signalpfad In einer graphischen Darstellung eines Regelsystems müssen die Wege der Informationsübertragung und die Informationsverarbeitung symbolisch dargestellt werden. Die Darstellung des Wegs der Informationsübertragung erfolgt mit Hilfe von Linien. Diese Linien heiÿen

7

Signalpfade. Die Informationsussrichtung ist wesentlich und geschieht nur in einer Richtung. Sie wird, falls nicht eindeutig, durch Pfeilspitzen angegeben. Längs eines Signalpfads hat das Signal zu einer gegebenen Zeit überall den gleichen Wert. Signale werden in der Regel mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet. Ein Analogiebeispiel für Signalpfade sind z.B. elektrische Leitungen mit einer Diode. Signalpfade sagen nichts über die Struktur der Information aus. So kann ein Signalpfad z.B. ein EIN/AUS-Signal oder mehrere Analogwerte übertragen.

Der Block

Die Informationsverarbeitung wird symbolisch mit einem Rechteck dargestellt. Ein

solches Rechteck wird im Blockdiagramm als ein Block bezeichnet. Da eine Informationsverarbeitung in der Regel mit einer Ein- und Ausgabe von Information verbunden ist, sind an einem Block dementsprechend auch Eingangssignalpfade und Ausgangssignalpfade angehängt. Ein Block versinnbildlicht also die Abhängigkeit der Ausgangssignale von den Eingangssignalen. Die Abhängigkeit wird oft als Übertragungsfunktion oder allgemeiner als

Übertragungsverhalten

bezeichnet.

Entsprechend wird ein Block auch als Übertragungsglied bezeichnet. Die Informationsverarbeitung in einem Block geschieht in der Regel von links nach rechts, d.h. Eingangssignalpfade sind links, Ausgangssignalpfade rechts an einem Block angeordnet. Blöcke werden in der Regel mit Grossbuchstaben bezeichnet. Es gibt ein paar ganz einfache Signalverarbeitungen, die oft nicht in Blöcken dargestellt werden. Dies sind die Verzweigung eines Signals und die positive (+) oder negative (-) Überlagerung von Signalen (Addition oder Subtraktion). Folgende Darstellungen werden dafür verwendet: Verzweigung

Überlagerung +

Überlagerung -

u1=u2=u

y=x+d

e=r-y

Tabelle 1: Signalpfadverknüpfungen

2.3.2 Blockdiagramm Anwendung In einem Blockdiagramm kann ein System sehr allgemein, aber auch sehr detailliert dargestellt werden. Die folgende Serie von Abbildungen zeigt verschiedene Detaillierungsgrade mit ihren Anwendungsmöglichkeiten

8

Blockdiagramm

Anwendung

Das einfache Blockdiagramm zeigt einen Überblick über das System S. Der Ausgang y wird aus den Eingängen r und d erzeugt.

Eine etwas detailliertere Darstellung des Systems S zeigt nun, dass es die Blöcke C und P enthält, die entsprechend den Signalpfaden miteinander verbunden sind. Das Diagramm gibt also schon eine Information über die grobe Struktur von S.

Wiederum kann z.B. der Block P detaillierter dargestellt werden. Man kann nun die einzelnen Elemente von P erkennen. Diese können natürlich fast beliebig fein wieder präzisiert werden. Tabelle 2: Detaillierungsgrad von Blockdiagrammen

Es gehört zur Kunst der Blockdiagramme, diese gerade so detailliert zu zeichnen, dass nur die nötige Information darauf enthalten ist. Zu detaillierte Diagramme verlieren ihre Übersichtlichkeit.

Spezielle Blöcke

Irgendetwas produziert Signale und irgendwo werden sie ausgewertet. Diese

Funktionen werden in Blockdiagrammen oft nicht dargestellt. Bei der Simulationstechnik ist es aber nötig, diese Signalquellen und Auswerteeinheiten zu denieren. Die dazu verwendeten Blöcke sind so genannte

Signalquellen

und

Signalsenken.

Die dazugehörenden Blöcke haben für Quel-

len nur Ausgangssignalpfade, für Senken nur Eingangssignalpfade. Typische Beispiele für Quellen sind Funktionsgeneratoren, die Impulse, Schritte, Rampen oder Sinusschwingungen produzieren. Beispiele für Senken sind graphische Anzeiger, Schreiberfunktionen oder eine File-Aufzeichnung.

2.3.3 Blockdiagramm und Ursache-Wirkungsdiagramm in Vensim Arbeitet man mit Vensim, erstellt man oft sogenannte Ursache-Wirkungsdiagramme. Sie stellen die Wirkungsabläufe zuerst in qualitativer Art dar. Aus ihnen lassen sich leicht Blockdiagramme gewinnen. Übung:Versuchen Sie am Beispiel WC-Spülung zuerst ein Ursache-Wirkungsdiagramm und daraus ein Blockdiagramm zu entwickeln.

2.3.4 Von der Realität zum Modell Wie kommt man zu einem Modell eines dynamischen Systems?

9

Zuerst deniert man das System mit seinen Grenzen. Man zeichnet ein

Prinzipschema, das alle

wesentlichen Systemteile und deren Kopplungen enthält. Dann verschat man sich Klarheit über die Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge. Was ist Ursache, was Wirkung? Man geht am besten von der interessierenden Grösse aus, z.B. bei einer Heizungsregelung von der Raumtemperatur, beim Autofahren von der Geschwindigkeit und der Richtung, usw. Dann sucht man die Grössen, die diese bewirken und weiter wiederum die Ursache für diese Grössen, usw. Bei der Heizungsregelung wirkt der Wärmestrom, der über die Heizungsanlage in den Raum geführt wird, auf die Raumtemperatur ein. Ebenso wirken auch Wärmeverluste durch die Wände und Fenster, die wiederum von der Aussentemperatur und der Raumtemperatur abhängen, auf die Raumtemperatur. Weiter sind Wärmegewinne durch Menschen, Maschinen

Ursache-WirkungsDiagramm (causal loop diagram) darstellen. In Vensim kann man solche Diagramme zeichnen, ohne und Sonneneinstrahlung zu berücksichtigen. Das kann man sehr gut in einem

dass man die mathematischen Zusammenhänge kennen muss. Will man allerdings ein lauähiges Modell, müssen die mathematischen Zusammenhänge bekannt sein. Vom Ursache-Wirkungs-Diagramm zum Blockdiagramm (oder Wirkungsplan nach DIN 19226) ist es nur noch ein kurzer Schritt. Dies lässt sich am Beispiel des Spülkastens gut erkennen. Signale sind Träger der Information; sie sind physikalische Grössen mit einer Einheit. Blöcke sind Systeme, die Informationen verarbeiten: die Ausgangsgrössen ändern sich in Abhängigkeit der Eingangsgrössen; die Eingangsgrössen sind die Ursachen, die Ausgangsgrössen die Wirkungen.

Abbildung 3: Von der Realität zum Modell am Beispiel des Spülkastens

2.4

Steuerungen

Eine Steuerung verwendet ein Stellglied zur direkten Beeinussung des Prozesses, ohne dass eine Rückkopplung stattndet. Kennzeichen für das Steuern ist die

oene Wirkungskette

der einzelnen

Übertragungsglieder. Im vorangehenden Abschnitt wurde die Steuerung einer Raumtemperatur aufgezeichnet. Die

10

Denition auf die Raumheizung übertragen lautet: Mit einer Steuerung wird versucht, die Raumtemperatur auf einen bestimmten Wert zu bringen. Die dazu zur Verfügung stehenden Informationen sind die Leistung des Heizkessels und ein Modell des Zimmers. Man beachte, dass die Zimmertemperatur nicht gebraucht wird. Die Steuerung der Raumtemperatur kann durch folgendes Blockdiagramm dargestellt werden:

Abbildung 4: Steuerung der Zimmertemperatur

Das Blockdiagramm zeigt die wirkungsmässige Abhängigkeit der Zimmertemperatur `T innen' vom Temperaturprogramm. Die Aussentemperatur `T aussen' steht der Steuerung als zusätzliche Information zur Verfügung. Aufgrund des wirkungsmässigen Zusammenhangs ist klar, dass die erste Fundamentalaufgabe, nämliche die Führung der Zimmertemperatur gemäss einem Temperaturprogramm durch die Heizung, möglich ist. Gedanken über die Qualität der Einrichtung wurden bereits im vorangehenden Kapitel gemacht. Das Prinzip einer Steuerung ist im folgenden Blockdiagramm dargestellt. Die einzelnen Elemente werden später detailliert behandelt.

Abbildung 5: prinzipielles Blockdiagramm einer Steuerung. F steht für Feedforward Control, P für Plant. (deutsch: Steuereinrichtung und Steuerstrecke oder Prozess)

2.5

Regelungen

Bei einer Regelung wird die zu regelnde Grösse fortlaufend mit dem gewünschten Wert verglichen. Entsprechend der Abweichung wird versucht, das System korrigierend zu beeinussen. Kennzeichen für eine Regelung ist ein

geschlossener Wirkungskreis

der einzelnen Übertragungsglieder.

Für die Regelung der Zimmertemperatur heisst dies, dass die Zimmertemperatur `T innen' fortlaufend mit dem durch das Temperaturprogramm vorgegebenen Wert verglichen wird und je nach Resultat mehr oder weniger geheizt wird. Das Blockdiagramm der Heizungsregelung sieht folgendermassen aus:

Abbildung 6: Blockdiagramm der Heizungsregelung

11

Das Blockdiagramm zeigt den wirkungsmässigen Zusammenhang zwischen dem Raumtemperaturprogramm und der Zimmertemperatur `T innen'. Man sieht, dass die Störungen `d', z.B. die Sonneneinstrahlung oder ein oenes Fenster über die Temperaturmessung `T innen' auf die Regelung zurückwirken. Diese Regelung kann also beide Fundamentalaufgaben lösen, d.h. einem Sollverlauf der Temperatur folgen und Störungen ausgleichen.

Abbildung 7: allgemeines Blockdiagramm des Regelkreises. C steht für Controller, P für Plant (deutsch: Regler und Regelstrecke)

Leider gibt es bezüglich der verwendeten Abkürzungen keine internationale Norm. Grosse Unterschiede bestehen vor allem zwischen den die Literatur beherrschenden amerikanischen und den DIN-Abkürzungen im deutschen Sprachraum. Aufgrund der grossen Verbreitung der amerikanischen Abkürzungen in der Literatur werden im Script vorwiegend diese verwendet. Das Leben fordert aber, dass man beide kennt. Deutsche Bezeichnung

Bedeutung

Englische

verwendete

DIN

Namen

Abk.

Abkür-

output

y

x

r

w

zungen Istwert, Regelgrösse,

Grösse, die durch eine

Messgrösse

Regelung beeinusst werden soll.

Sollwert,

Wert, auf den der

reference,

Führungsgrösse

Istwert geregelt

setpoint

Regelabweichung,

Abweichung zwischen

Regeldierenz

Ist- und Sollwert

Störgrösse

zufällige oder nicht

werden soll. error

e (=r-y)

xw (=w-x)

disturbance

d

z

berücksichtigte Störung des Systems Stellgrösse

Reglerausgang

control

u

y

Regler

Einrichtung zur

controller

C

R

plant

P

S

Korrektur von Abweichungen zwischen Soll- und Istwert Regelstrecke

Anlage, der zu regelnde Teil einer Anlage

Tabelle 3: Bezeichnungen und Abkürzungen deutsch und englisch.

3 Das Übertragungsverhalten Lernziele:

ˆ

Sie kennen die Antwortfunktionen als Beschreibungsform des Übertragungsverhaltens.

12

ˆ

Sie kennen die Elementar-Übertragungsglieder mit ihren Sprungantworten und Dierenzialgleichungen

Inhalte:

ˆ

Denition des dynamischen Systems

ˆ

Beschreibungsformen (Dierenzialgleichungen, Antwortfunktionen)

ˆ

LZI-Glieder, Elementar-Übertragungsglieder

Transfer:

ˆ 3.1

Anwendung auf Systeme des Alltags und einfache technische Systeme

Systeme und Systemgrenzen

Abbildung 8: System und Umwelt

Die Systemumwelt umfasst alles, was ausserhalb eines bestimmten Systems liegt. Sie enthält nur Elemente, die für die Betrachtung des Systems von Interesse sind. Die Nahtstelle zwischen Umwelt und System wird als Systemgrenze bezeichnet. Sie entspricht keiner real existierenden Grenze und wird willkürlich entsprechend des Untersuchungszwecks gezogen. Geben Sie eigene Beispiele für

ˆ

ein technisches System

ˆ

ein biologisches System

ˆ

ein ökologisches System

ˆ

ein soziales System

ˆ

ein ökonomisches System

Nennen Sie die Elemente, die Beziehungen zwischen den Elementen, die Grenze und die Wechselwirkungen zur Umwelt. Skizzieren Sie Ihr System mit den Elementen und Beziehungen.

Beispiel : polizeiliche Repression im Drogenmarkt

Man weiss schon seit langem aus

empirischen Studien (z.B. Brown et al 1973, Silverman et al 1977, White et al 1983), dass der Heroinpreis äusserst elastisch auf Angebotsänderungen reagiert. Das heisst, dass eine Verringerung des Angebotes um vielleicht 10% den Preis pro Gramm Heroin möglicherweise bereits verdoppelt, weil kein Süchtiger auf seine Ration verzichten will und kann! Auf diese Weise können unvorstellbare Preise für eine Tagesration von ÖS 2000,- ÖS 4000,- und mehr zustande kommen. Diese enormen Geldbeträge können die Süchtigen in der Regel nicht mehr mit legalen Mitteln aufbringen. Daher hat ein höherer Heroinpreis zwei Hauptauswirkungen: Süchtige versuchen, durch kleinere kriminelle Delikte ("Beschaungskriminalität") oder dadurch, dass sie selbst zu Kleindealern werden, ihre Sucht zu nanzieren. Ein neuer Kleindealer muss sich i.a. seinen "Markt" erst schaen und das heisst in der Praxis, dass er versucht, Freunde, Bekannte usw. zur Sucht anzustiften, um sie dann beliefern zu können. Damit erhöht eine steigende Zahl der Süchtigen, die als Kleindealer auftreten, tendenziell auch die Anzahl der Süchtigen insgesamt. Schliesslich wird der Drogenmarkt für die

13

organisierte Kriminalität umso attraktiver, je höher der Heroinpreis ist. Folglich bewirkt ein Steigen des Heroinpreises tendenziell auch ein Steigen des Umsatzes der Drogenmaa. (Quelle : G. Ossimitz: Systemisches Denken und Systemisches Management) Diese Zusammenhänge können in einem Ursache-Wirkungs-Diagramm dargestellt werden:

Abbildung 9: Heroinmarkt  ein sozioökonomisches System

3.2

Mathematisches Modell

Ein mathematisches Modell ist eine mathematische Beschreibung eines Systems, welche es erlaubt, aufgrund bekannter Eingänge das zukünftige Verhalten des Systems vorherzusagen. Beim

boxmodell

White-

entsprechen die Gleichungen und Parameter des Modells physikalischen Gesetzen und

Konstanten oder wurden aus solchen hergeleitet. Beim

Blackboxmodell

sind die Gleichungen des

Modells ein allgemeiner Ansatz. Die Parameter werden so angepasst, dass das Modell ein bekanntes System möglichst gut beschreibt. Den Prozess der Bestimmung dieser Parameter nennt man Identikation.

Merke: Es gibt kein Modell, welches die Wirklichkeit exakt beschreibt! Ein Modell ist immer ein Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit. 3.3

Beschreibungsformen dynamischer Systeme

Was ist ein dynamisches und was ist ein statisches System? Bei einem dynamischen System hängt der zeitliche Verlauf der Ausgangsgrössen von den aktuellen

sen

und den vergangenen Eingangsgrös-

ab. Beim statischen System hängt der zeitliche Verlauf der Ausgänge nur von den aktuellen

Eingangsgrössen ab. Charakteristisch für die Regelungstechnik ist die dynamische Betrachtung von Systemen. Zur Analyse der meisten Regelprobleme der Praxis genügt in der Regel eine qualitative Beurteilung der Regelstrecke. Dazu nötig ist die Kenntnis der Antwortfunktionen verschiedener elementarer Übertragungsglieder. Es braucht aber auch ein minimales Wissen über die mathematische Beschreibung dieser Blöcke, wenn man die heutzutage komfortablen Hilfsmittel der Simulation einsetzen will.

ˆ

Die theoretische Analyse dynamischer Systeme führt auf

Dierenzialgleichungen, deren Lö-

sung im allgemeinen aufwändig ist.

ˆ ˆ

Antwortfunktionen ).

Testsignalantworten sind eine einfache Beschreibungsform (

Die Antwort auf harmonische Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen führt zum

quenzgang.

Fre-

Ein dynamisches System kann als Übertragungsglied aufgefasst werden. Das Blockdiagramm ist die Darstellung von dynamischen Systemen als Anordnung von Übertragungsgliedern.

14

LZI-Glieder )

Im Folgenden werden wir uns auf lineare, zeitinvariante Übertragungsglieder (

beschränken. Regelsysteme sollen ja die Regelgrösse möglichst nahe beim Sollwert halten. Man begeht keine grossen Fehler, wenn man das System um den Arbeitspunkt linearisiert, weil man in der Regel nur kleine Abweichungen vom Sollwert hat. Im Kleinen kann jedes System als ein lineares betrachtet werden. Wir nehmen also an, dass wir ein lineares System zu regeln haben. Zeitinvariant heisst, dass sich die Parameter des linearen Modells in der Zeit nicht ändern.

Abbildung 10: LZI-Glied

Wenn der Arbeitspunkt zu null gesetzt wird (d.h. es werden nur Abweichungen vom Arbeitspunkt betrachtet> Ausgangslage: u(t) = v(t) = 0 ), gelten für LZI-Glieder folgende Gesetze: Verstärkungsprinzip : cu(t) > cv(t) für beliebige u(t) Überlagerungsprinzip : u(t)=u1(t)+u2(t) > v(t)=v1(t)+v2(t) Verschiebungsprinzip : u2(t)=u1(t-tV) > v2(t)=v1(t-tV) Aufgabe: Veranschaulichen Sie diese Prinzipien zeichnerisch.

3.3.1 Dierenzialgleichung Beschränkt man sich auf LZI-Systeme, können diese durch

stanten Koezienten

lineare Dierenzialgleichungen mit kon-

beschrieben werden. Bei der Behandlung der Elementarübertragungsglieder

werden wir sehen, wie man auf die Dierenzialgleichung kommt.

3.3.2 Antwortfunktionen Eine Antwortfunktion ist der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals gung mit einem Testsignal

ˆ

Impuls,

ˆ

Sprung (Schritt),

ˆ

Rampe

xe (t).

xa (t)

eines Systems bei Anre-

Als Testsignal werden üblicherweise verwendet:

Die Antwortfunktionen werden nach der Eingangsfunktion bezeichnet, d.h. ein Impulseingang bewirkt eine Impulsantwort, ein Sprung eine Sprungantwort und die Rampe eine Rampenantwort. Die grösste Bedeutung hat die Sprungantwort, weil sie einfach und genügend genau erzeugt werden kann und weil sich Kennwerte des Übertragungsverhaltens einfach ermitteln lassen. So wird die Sprungantwort im Blockdiagramm oft als kleines Bild im Block dargestellt. Dies kann zum Beispiel so aussehen:

Abbildung 11: Beispiel für eine Sprungantwortdarstellung im Blockdiagramm

Spezielle Bezeichnungen Die Antwort auf einen Einheitsimpuls (Dirac-Stoss) wird Gewichtsfunktion g(t), diejenige auf einen Einheitssprung (Heaviside-Funktion) wird Übergangsfunktion h(t) genannt. Die einzelnen Testsignale wie auch die entsprechenden Antwortfunktionen lassen sich durch Integration bzw. Dierentiation auseinander herleiten.

15

Aufnahme einer Antwortfunktionen 1. Arbeitspunkt anfahren, Beharrungszustand abwarten 2. Testsignal 3. Ausgang

xe (t)

xa (t)

auf Eingang geben

messen

4. Kennfunktion ermitteln (Normierung, z.B. Sprungantwort auf Sprunghöhe des Eingangs xa (t)−xa0 beziehen (Abweichung vom Arbeitspunkt!) =⇒ Übergangsfunktion h(t) = mit x (t)−x e

(xe0 , xa0 )= 3.4

e0

Arbeitspunkt)

Elementarübertragungsglieder

Sprungantworten verschiedenster Übertragungsglieder können in Tabellen nachgeschaut werden. Mit 6 charakteristischen Übertragungsgliedern, im folgenden Elementarübertragungsglieder genannt, löst man schon viele Aufgaben in der Welt der Regelungstechnik. Die sechs Übertragungsglieder sind:

ˆ

Proportionalglied

ˆ

Verzögerungsglied 1. Ordnung

ˆ

Verzögerungsglied 2. Ordnung

ˆ

Totzeit

ˆ

Integrator

ˆ

Dierentiator

Die Eigenschaften der Elementarübertragungsglieder sollen anhand von praktischen Beispielen selber erarbeitet werden. Für verschiedenste Anwendungsgebiete werden Beispiele vorgeschlagen, für die zuerst eine Antwortfunktion skizziert werden soll. In einem zweiten Schritt werden die mathematischen Gleichungen für diese Systeme hergeleitet. Dies ergibt für zeitkontinuierliche Systeme eine Dierenzialgleichung. Das Elementarübertragungsglied 2. Ordnung ist das schwierigste, die anderen sind vergleichsweise einfach. Das Vorgehen soll darum für Systeme 2. Ordnung gezeigt werden. Die Blätter für die anderen Übertragungsglieder sollen dann nach dem gleichen Vorgehen ausgefüllt werden. Bei der Behandlung der Systeme 2. Ordnung soll auch der Begri der Ordnung eingeführt werden. Beispiel: gedämpft schwingende Masse

Abbildung 12: gedämpft schwingende Masse

16

Auf die Masse m wirkt eine Kraft Fe, die auf irgend eine Art erzeugt wird. (z.B. elektrisch oder magnetisch). Gesucht ist das zeitliche Verhalten der Position x bei Änderungen von Fe. Die zu erwartenden Antwortfunktionen sind in der folgenden Tabelle skizziert.

Abbildung 13: Antwortfunktionen der gedämpft schwingenden Masse

Die Herleitung der Dierenzialgleichung in der dritten Spalte erfolgt aufgrund der physikalischen Gesetze. Es resultiert eine Dierenzialgleichung bei der die höchste Ableitung die zweite Ableitung von x ist. Aus diesem Grunde wird das System als ein System 2. Ordnung bezeichnet. Die Ordnung eines Systems ergibt sich also aus der höchsten Ableitung der Ausgangsvariable. Übung: Komplettieren Sie die folgenden Abbildungen wie oben beschrieben.

17

Abbildung 14: Antwortfunktionen von Proportionalgliedern (P)

Abbildung 15: Antwortfunktionen von Verzögerungsgliedern erster Ordnung (PT1)

18

Abbildung 16: Antwortfunktionen von Totzeitgliedern (Tt)

Abbildung 17: Antwortfunktionen von Integralgliedern (I)

19

Abbildung 18: Antwortfunktionen von Dierenzialgliedern (D)

3.5

Vensim-Modelle

Im Folgenden werden die Elementarübertragungsglieder in einer Tabelle zusammengestellt, zusammen mit einem Vensim-Modell.

20

Abbildung 19: Dierenzialgleichung, Sprungantwort und Vensim-Modell der Elementarübertragungsglieder, u(t)=Eingang, v(t)=Ausgang 21

Abbildung 20: Dierenzialgleichung, Sprungantwort und Vensim-Modell der Elementarübertragungsglieder, u(t)=Eingang, v(t)=Ausgang 22

4 Regelstrecken Lernziele

ˆ

Sie kennen die Kurzbezeichnungen der häugsten Regelstrecken.

ˆ

Sie können die Kennwerte der Regelstrecke aus der Sprungantwort bestimmen.

ˆ

Sie können Modelle für die besprochenen Regelstrecken erstellen.

Regelstrecken können mit den oben behandelten Methoden beschrieben werden. Eingang einer Regelstrecke ist die Stellgrösse, Ausgang ist die Regelgrösse. Beim Beispiel der Heizungsregelung ist die Stellgrösse die Stellung des Mischventils, die Regelgrösse die Raumtemperatur.

4.1

Regelstrecken mit Ausgleich

Regelstrecken, deren Regelgrösse nach einer Änderung der Stellgrösse wieder einen konstanten Wert annimmt, nennt man Regelstrecken mit Ausgleich. Solche Strecken weisen im Allgemeinen P, PT1 oder PTn-Verhalten auf, evtl. kombiniert mit einer Totzeit. Sie werden beschrieben durch eine Verstärkung Ks und durch eine oder mehrere Zeitkonstanten. Bei PT2-Gliedern werden bei schwingungsfähigen Systemen anstelle der Zeitkonstanten die natürliche Frequenz

ω0

und die Dämpfung

D angegeben. Beispiel: Die Drehzahl eines Gleichstrommotors wird durch Verstellen der Ankerspannung beeinusst. Bei einer Änderung der Ankerspannung wird die Drehzahl einen neuen stabilen Wert annehmen. Trägt man die Beharrungswerte der Regelgrösse in Funktion der Stellgrösse auf, erhält man die

statische Kennlinie. Die Verstärkung

Ks (oder der Übertragungsbeiwert) der Regelstrecke entspricht der Steigung

der statischen Kennlinie. Das heisst, die Verstärkung ist die Änderung der Regelgrösse bezogen auf die Änderung der Stellgrösse im betrachteten Arbeitspunkt.

Abbildung 21: Statische Kennlinie einer Luftheizung.

Bestimmen Sie die Verstärkung dieser Regelstrecke mit der abgebildeten statischen Kennlinie.

4.2

Regelstrecken ohne Ausgleich

Nimmt die Regelgrösse nach einer Veränderung der Stellgrösse keinen konstanten Wert mehr an, spricht man von Regelstrecken ohne Ausgleich. Ein Beispiel ist ein Behälter, dessen Füllstand geregelt wird. Ist die Dierenz zwischen Zuuss und Abuss nicht null, ändert sich der Füllstand kontinuierlich. Diese Regelstrecken haben Integralverhalten. Sie werden beschrieben durch die Steilheit der Übergangsfunktion. TI gibt an, wie lange es dauert, bis der Wert 1 erreicht wird (bei einem 1 Einheitssprung am Eingang). KI = TI wird als Integrierbeiwert bezeichnet. Er gibt an, welchen Wert die Übergangsfunktion zur Zeit 1 erreicht.

23

4.3

Kennwerte und ihre Bestimmung aus der Sprungantwort

In den folgenden Abbildungen sind die wichtigsten Daten zu den Elementarübertragungsgliedern zusammengestellt. Insbesondere ist ersichtlich, wie ihre Kennwerte aus den Sprungantworten bestimmt werden können. Die Eingangsgrösse ist hier xe (t), die Ausgangsgrösse xa (t).

Abbildung 22: Übertragungsverhalten der Proportional-Glieder

Abbildung 23: Übertragungsverhalten der Integral-Glieder

24

Abbildung 24: Übertragungsverhalten der Dierenzial-Glieder

4.4

Regelbarkeit

Bei P-Gliedern mit mehreren Verzögerungen hat die Sprungantwort einen S-förmigen Verlauf, wie in folgender Abbildung.

Abbildung 25: Sprungantwort einer PTn-Regelstrecke

Durch Anlegen der Wendetangente lassen sich die Zeitkennwerte Tu (Verzugszeit) und Tg (Ausgleichszeit) bestimmen. Das Verhältnis Tu/Tg ist ein Mass für die Regelbarkeit der Regelstrecke. Ist Tu/Tg0.3, ist sie schlecht regelbar. Je grösser dieses Verhältnis ist, umso schwieriger ist die Strecke zu regeln und umso mehr nähert sie sich einer Totzeitstrecke. Auch eine Strecke mit zahlreichen Verzögerungen, das heisst eine Strecke hoher Ordnung gleicht einer Regelstrecke mit Totzeit.

25

Für die Simulation lassen sich solche Regelstrecken gut durch eine Serieschaltung von Totzeit Tu und PT1 mit Zeitkonstante Tg annähern.

Übung 1. Erstellen Sie ein Vensim-Modell für eine PT1-Regelstrecke mit den Parametern Ks (Verstärkung) und T (Zeitkonstante). Dokumentieren Sie die Sprungantwort für Ks=2 und T=10s. 2. Erstellen Sie ein Vensim-Modell für eine Serieschaltung von einer Totzeit und einem PT1Glied mit den Parametern Tt (Totzeit), Ks (Verstärkung) und T (Zeitkonstante). Dokumentieren Sie die Sprungantwort für Tt=3, Ks=2 und T=10s. 3. Ein Servomotor wird mit einer Gleichspannung von -5 bis +5V angesteuert. Die statische Kennlinie sehen Sie in untenstehendem Bild. Aufgrund der Sprungantwort identizieren Sie ihn als PT1-Glied mit einer Zeitkonstante von 0.4s. Erstellen Sie ein Vensim-Modell für kleine Änderungen um den Arbeitspunkt bei 3000 U/min.

5 Regeleinrichtungen Lernziele:

ˆ

Sie kennen die konventionellen Regler (2-, 3-Pkt, PID).

ˆ

Sie kennen die Wirkung des P-, I- und D-Teils des PID-Reglers

Inhalte:

ˆ

Regeleinrichtung: Messorgan, Regler und Stellorgan

ˆ

unstetige Regler (2-, 3-Pkt)

ˆ

PID-Regler

Transfer:

ˆ 5.1

Kennenlernen der Eigenschaften mittels Simulation

Regeleinrichtung: Messorgan, Regler und Stellorgan

Damit geregelt werden kann, muss die Regelgrösse gemessen werden. Die dazu nötige Einrichtung wird als

Messorgan bezeichnet. Ein Fühler oder Sensor misst die Regelgrösse, das heisst, er wandelt

sie in ein Signal, das im Regler verarbeitet werden kann. Für elektronische Regler sind das elektrische, für pneumatische Regler Luftdruck- und für hydraulische Regler Flüssigkeitsdruck-Signale. Oft muss das Signal verstärkt und über eine gewisse Distanz übertragen werden.

26

Der Regler muss auf den Prozess, die Anlage, d.h. auf die Regelstrecke einwirken können. Dazu braucht es meist mehr Leistung als der Regler liefern kann. Diese Aufgabe übernimmt dann ein

Stellorgan. Es ist meist ein Verstärker.

Beispiel: mechanisch-hydraulischer Steller Durch das kleine Schieberventil Sch wird als Hilfsenergie ein Druckwasser- oder Druckölstrom H auf die eine oder andere Seite des Kolbens K geleitet. Dieser wird dadurch verstellt.

Abbildung 26: mechanisch-hydraulischer Steller Die Regeleinrichtung besteht also aus Messorgan, Regler und Stellorgan, wie im folgenden Bild dargestellt.

Abbildung 27: Die Regeleinrichtung im Regelkreis Für den Reglerentwurf werden Mess- und Stelleinrichtung aber der Regelstrecke zugeschlagen, da die Dynamik dieser Übertragungsglieder berücksichtigt werden muss.

Abbildung 28: Die Regelstrecke mit Mess- und Stelleinrichtung

5.2

Unstetige Regeleinrichtungen

Schaltende Regler kennen nur wenige Werte für die Stellgrösse. Diese sind z.B. AUS oder EIN, oder BREMSEN, NICHTS und BESCHLEUNIGEN. Dies führt natürlich zu einer relativ groben

27

Regelung. Eine feinere Regelung ergibt sich, wenn man fast beliebige Werte der Stellgrösse in einem gegebenen Stellbereich zulässt. Diese als stetig bezeichneten Regler werden im nächsten Kapitel behandelt. Wieso werden trotz des technischen Fortschritts immer noch schaltende Regler eingesetzt? Die Kosten sind das entscheidende Argument. Beispiel: Belüftung eines Tanks (Ex-Zone): schaltender Regler

stetiger Regler

Element

Realisierung

Preis (Fr.)

Realisierung

Preis (Fr.)

Sensor

2 Druckschalter

400

Drucktransmitter

2000

Wandler

2 Exi-Relais

225

Speisetrenner

500

Regler

Relais

50

Kompaktregler

1500

Stellglied

2 Auf-Zu-Ventile

2000

2 Regelventile

Total

2675

7000 11000

Tabelle 4: Kostenvergleich Regeleinrichtung schaltend/stetig

Es gibt aber auch Fälle, wo schaltende Regler technische Vorteile haben. So z.B. dann, wenn schaltende Aktoren Vorteile gegenüber kontinuierlich verstellbaren Aktoren haben. Auf-Zu-Ventile können im Allgemeinen besser dicht schliessen als steige Regelventile. Wird nun eine Begasung mit einem teuren Inertgas durchgeführt, so kann es sich lohnen, dichte Auf-Zu-Ventile zusammen mit schaltenden Reglern einzusetzen.

5.2.1 Schaltende Regler Die Benennung schaltender Regler erfolgt aufgrund der Anzahl Schaltzustände für die Stellgrösse. Ein Regler, dessen Stellgrösse nur 2 Werte annehmen kann, heisst ist der

Dreipunktregler

Zweipunktregler. Entsprechend

deniert: In Abhängigkeit vom Istwert und von Schaltgrenzen schaltet der

Dreipunktregler die Stellgrösse auf drei mögliche Werte. Gelingt es einem schaltenden Regler, den Istwert bei einer Schaltgrenze zu halten, so wird der Regler sehr oft schalten müssen. Ist der Istwert zudem mit Rauschen gestört, so ergibt sich ein wildes Hin- und Herschalten. Da Schaltvorgänge oft mit unerwünschtem Verschleiss gekoppelt sind, werden die Schaltpunkte für steigenden Istwert höher gelegt als die Schaltpunkte bei fallendem Istwert. Für die Kennlinie des Reglers ergibt sich daraus eine sogenannte

Schalthysterese.

Abbildung 29: Kennlinie eines Zweipunktreglers mit Hysterese

28

Abbildung 30: Kennlinie eines Dreipunktreglers mit Hysterese

Dynamik von Regelkreisen mit schaltenden Reglern

Regelkreise mit schaltenden Reglern

können nur dann einen stationären Istwert erzeugen, wenn es einen Wert der Stellgrösse gibt, bei dem sich der Istwert nicht mehr verändert. So verändert sich das Niveau eines Tanks mit einer Dreipunktregelung nicht, wenn Zu- und Ablaufventil geschlossen sind. Das Niveau kann sich in diesem Beispiel nur ändern, wenn Störgrössen eine Veränderung des Niveaus bewirken. Bei Zweipunktreglern verändert sich aber der Istwert für jeden Wert der Stellgrösse (ausser an den Grenzen des Arbeitsbereichs). Wenn bei einem Bügeleisen die Heizung abgeschaltet wird, kühlt sich das Bügeleisen ab, bis die Heizung von neuem eingeschaltet wird. Es entsteht somit ein Auf und Ab des Istwerts. Das Auf und Ab kann durch folgende Grössen charakterisiert werden:

Schwingspanne : Bereich zwischen dem untersten und dem obersten Wert der Schwingung nach

dem Einschwingen

Schwingungsdauer : Zeit zwischen zwei Maximalwerten Schaltfrequenz : Anzahl Schaltvorgänge pro Zeiteinheit

Aufgaben Aufgabe 1: Laderegelung eines Speichers

Ein Wasserturm soll mit einer Zweipunktre-

gelung ausgerüstet werden. Die Zweipunktregelung mit Hysterese schaltet die Förderpumpe ein und aus. Wegen der Lebensdauer der Pumpe soll die Einschaltfrequenz bei maximalem Wasserverbrauch kleiner als 2 pro Stunde sein. Der Spitzenverbrauch der Gemeinde betrage ca. 100m3 pro Stunde. Die Förderleistung der Pumpe beträgt 200m3/h. Wie gross muss das Reservoir im Wasserturm sein? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Wasserstands.

Aufgabe 2: Verhalten einer Regelstrecke, die mit Schaltstellung EIN als Integrator, mit Schaltstellung AUS als PT1 reagiert. Ein Bügeleisen werde über ein Bimetallthermometer geregelt. Das Bimetallthermometer schaltet den Heizstromkreis und habe eine Schalthysterese von 5°C. Für das Bügeleisen gelten folgende Gleichungen: dT ◦ Aufheizen: dt = 40 C/min; wobei T die Bügeleisentemperatur ist. dT ◦ Abkühlen: dt = (20 − T ) ∗ 0.1 C/min Simulieren Sie die Zweipunktregelung des Bügeleisens und bestimmen Sie damit die Schwingspanne, die Schwingungsdauer und die Schaltfrequenz. Dokumentieren und kommentieren Sie Ihre Simulationsresultate!

5.3

Stetige Regeleinrichtungen: Der PID-Regler

5.3.1 Einleitung Die PID-Regler mit den Varianten P, PI, PD, I-Regler sind die am meisten angewendeten Regler. Ziele des folgenden Kapitels:

ˆ

Sie können das Blockschema eines PID-Reglers zeichnen und die Elemente benennen

29

ˆ

Sie können die Veränderung des Zeitverhaltens bei Änderung der Reglerparameter angeben.

In diesem Kapitel werden die Regler eingeführt. Im folgenden Kapitel werden die verschiedenen Aspekte des geschlossenen Regelkreises behandelt. Den Regelungen liegt generell folgendes Blockdiagramm zu Grunde:

Abbildung 31: allgemeines Blockdiagramm des Regelkreises

Die Bezeichnungen der deutschen Bücher sind auf diese Bezeichnungen zu übersetzen (w = r,

xw

= e, y = u, z = d, x = y).

5.3.2 Qualitative Beschreibung der PID-Regelung Das Verhalten von Regelungen soll im folgenden am Beispiel einer Niveauregelung grob charakterisiert werden. Der Zuuss kann durch eine Pumpe mit variabler Drehzahl beeinusst werden.

aktuell:

Je mehr das Istniveau unter dem Sollniveau liegt (je grösser die Regelabweichung ist),

desto mehr muss gepumpt werden. d.h.

e ↑⇒ y ↑

Die momentane Abweichung des Istwerts vom Sollwert (Regelabweichung) bestimmt die Stellgrösse bei t1.

nachtragend:

Je mehr in letzter Zeit das Istniveau unter Sollniveau war, desto mehr pumpen

' Je mehr in letzter Zeit'



´

edτ

Das Integral der Regelabweichung bestimmt die Stellgrösse bei t1.

voraushaltend:

Je schneller das Niveau fällt, desto mehr pumpen de dt Die Ableitung der Regelabweichung bestimmt die Stellgrösse bei t1. 'Je schneller fällt'↔

5.3.3 P-Regler Gleichung:

u(t) = Kp e(t) Eigenschaften:

Abbildung 32: statische Kennlinie des P-Reglers mit beschränkter Stellgrösse

30

Regelsinn = Vorzeichen der Verstärkung

uh : Stellbereich Xp : Proportionalband, Xp =

Kp

uh Kp

t Abbildung 33: Sprungantwort des P-Reglers

Eigenschaften der Regelung: ˆ

sofort wirkend

ˆ

bleibende Regelabweichung bei andauernder Störung

ˆ

Stellgrösse immer korrigierend, d.h. der Regler beehlt nie heizen, wenn zu heiss

Realisierung: ˆ

mechanisch: Hebel

ˆ

elektrisch: Operationsverstärker

ˆ

pneumatisch: Luftbalg über mech. Balken

ˆ

Digitalrechner:up (kT )

= Kp .e(kT )

, mit T = Abtastzeit

Anwendung: ˆ

einfache Regelkreise ohne spezielle Güteanforderungen (stationäre Regelfehler spielen keine Rolle)

ˆ

Systeme mit vernachlässigbarer Eigendynamik

ˆ

Regelkreise mit Integratoren in Regelstrecke

5.3.4 I-Regler Gleichung:

ˆt ui (t) = Ki

e(τ )dτ 0

Eigenschaften:

ˆ

dynamisch

ˆ

u(t) nur konstant, falls e(t)=0, t>tx

ˆ

Nachstellzeit

Tn

=

1 Ki

31

Sprungantwort:

Abbildung 34: Sprungantwort des I-Reglers,

KIR = Ki

Eigenschaften der Regelung: ˆ

verzögert wirkend

ˆ

keine bleibende Regelabweichung für normale Störungen (nicht quadratisch oder steiler ansteigende)

ˆ

Phasenverschiebung -90° für alle Frequenzen, darum verzögerte Wirkung .

Realisierung: ˆ

elektrisch: Operationsverstärker mit Kapazität in der Rückführung

ˆ

pneumatisch: Düse/Prallplatte mit Balg (veraltet)

ˆ

rechnerisch: Summe in Digitalrechnern:

ui (kT ) = Ki T

∑k i=0

Anwendung: ˆ

einfache Regelungen, selten

5.3.5 PI-Regler Gleichung:

1 u(t) = Kp (e(t) + Tn

ˆt e(τ )dτ ) 0

Eigenschaften:

ˆ

dynamisch

ˆ

u(t) nur konstant, falls e(t)=0

ˆ

bessere Phasenlage bei Frequenzen > 1/Tn als bei I-Regler

32

e(iT )

mit T = Abtastzeit

Abbildung 35: Sprungantwort des PI-Reglers

Eigenschaften der Regelung: ˆ

sofort wirkend (P-Teil)

ˆ

keine bleibende Regelabweichung (I-Teil)

Realisierung:

elektrisch:

Digitalrechner

u(kT ) = uk = Kp ek + Ki T

k ∑

ei

i=0

Anwendung: ˆ

am meisten gebrauchter Regler

ˆ

einfache Regelungen ohne spezielle Güteanforderungen

ˆ

kann auch bei Signalen mit grossem Rauschen gut eingesetzt werden

5.3.6 PD-Regler Gleichung:

u(t) = Kp (e(t) + Tv

de(t) ) dt

real mit Filter (PT1)

ef (t) + Tf

def (t) = e(t) dt

u(t) = Kp (e(t) + Tv

33

def (t) ) dt

Eigenschaften:

ˆ

dynamisch, sofort wirkend

ˆ

u konstant falls Ableitung null, d.h. keine Änderung

ˆ

bei Verstärkung 'nervös'

Eigenschaften der Regelung: ˆ

empndliche Regelung, gute Signalqualität nötig, Filter richtig einsetzen

ˆ

bleibende Regelabweichung möglich

ˆ

wirkt stabilisierend

Realisierung:

elektrisch:

oder Digitalrechner

u(kT ) = uk = Kp ek + KD

ek − ek−1 T

Anwendung: ˆ

für Regelstrecken, die bereits Integratoren enthalten

ˆ

für Regelstrecken, die beschleunigt werden müssen, d.h. träge Regelstrecken

ˆ

für Regelstrecken mit 'Schwungmasse'

ˆ

wird selten eingesetzt

5.3.7 PID-Regler Gleichung:

1 y(t) = Kp [e(t) + Tn

ˆ

beachte Filter bei D-Teil Eigenschaften:

ˆ

P + I + D

34

e(τ )dτ + Tv

def ] dt

Abbildung 36: Sprungantwort des PID-Reglers

Realisierung:

elektrisch:

oder Digitalrechner

u(kT ) = uk = Kp ek + Ki T

k ∑ i=0

ei + KD

ek − ek−1 T

Anwendung: ˆ

überall wo die anderen nicht genügen;

aber Achtung: ein schlecht eingestellter PID-Regler ist schlechter als ein schlecht eingestellter Poder PI-Regler !

Übung Erstellen Sie ein Vensim-Modell für einen PID-Regler mit den Parametern Krp (Verstärkung), Tn (Nachstellzeit) und Tv (Vorhaltezeit). Dokumentieren Sie die Sprungantwort für Krp=2, Tn=10s und Tv=1s. Kopieren Sie die Regelstrecke TtPT1 aus der letzten Übung und schliessen Sie den Regelkreis. Sollwert w=1. Wie reagiert der Regelkreis, wenn Sie Krp ändern? Wie auf Änderung von Tn?

6 Dynamik des Regelkreises, Stabilität Lernziele:

ˆ

Sie kennen eine Stabilitätsdenition

ˆ

Sie kennen ein Gütekriterium

35

6.1

Einleitung

Es ist das Ziel einer Regelung, das statische und dynamische Verhalten der Ausgänge einer Regelstrecke so zu verändern, dass sie den Anforderungen des Prozesses genügen. Zur Charakterisierung des Verhaltens gibt es verschiedene Eigenschaften, die in diesem Kapitel behandelt werden sollen. Von vorrangiger Bedeutung ist die Stabilität. Sie soll im ersten Abschnitt behandelt werden. Die Stabilität ist eine grundlegende Voraussetzung, bevor überhaupt über die Einstellung und Optimierung von Regelkreisen diskutiert werden kann. Denn ein instabiler Regelvorgang ist oensichtlich unbrauchbar. Das Ziel dieses Abschnitts ist es, dass Sie den Stabilitätsbegri kennen und an einem Beispiel erklären können

6.2

Stabilität

Betrachten Sie folgende Antwortfunktionen eines geschlossenen Regelkreises:

stabil : abklingende Schwingung

oszillatorisch instabil ("aufklingende" Schwingung)

Dauerschwingung, Stabilitätsgrenze

monoton instabil: Signal geht sofort nach unendlich, bzw. in die Sättigung (Stellglied am Anschlag). Ursache meist verkehrter Regelsinn

Tabelle 5: Antwortfunktionen eines Regelkreises

Die Stabilitätsdenition eines Übertragungsgliedes mit dem Eingang u(t) und dem Ausgang y(t) bezieht sich auf einen Arbeitspunkt (u0, y0) eines Systems. Ein System oder Übertragungsglied wird stabil genannt, wenn zu jeder beschränkten Eingangsgrössenabweichung

∆u(t)=u(t)

- u0 die zugehörige Ausgangsgrössenabweichung

∆y(t)=y(t)

- y0

ebenfalls beschränkt ist. 'Beschränkt' bedeutet, dass die Grösse nicht gegen unendlich geht. Betrachtet man nur noch Abweichungen vom Arbeitspunkt, lässt sich das vereinfacht so sagen:

Ein System ist stabil, wenn bei beschränktem Eingang auch der Ausgang beschränkt bleibt. Diese Denition wird BIBO-Stabilität genannt (bounded input bounded output).

36

Ein Übertragungsglied heisst (asymptotisch) stabil, wenn seine Sprungantwort h(t) für einem festen Wert M mit M