Mess- und Regelungstechnik

Skript zur Vorlesung Mess- und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. Christoph Ament Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Stand: Juni 20...
Author: Adam Geier
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Skript zur Vorlesung

Mess- und Regelungstechnik

Prof. Dr.-Ing. Christoph Ament Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik

Stand: Juni 2017

Gliederung und Literatur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 0-1

0

Gliederung

1

Einführung: Worum soll es gehen?............................................................... 1-1 1.1

Die Grundaufgabe..................................................................................... 1-1

1.2

Sichtweisen.............................................................................................. 1-4

1.3

Entwurfsverfahren .................................................................................... 1-7

Teil A: Dynamische Systeme 2

3

4

5

6

Beschreibung durch das Blockschaltbild ...................................................... 2-1 2.1

Beispiele zum Aufstellen des Blockschaltbildes ............................................. 2-1

2.2

Häufig verwendete Übertragungsglieder ...................................................... 2-4

2.3

Nichtlineare Glieder und Linearisierung ....................................................... 2-5

2.4

Numerische Simulation auf Basis des Blockschaltbildes (Simulink) ................. 2-6

Beschreibung im Zeitbereich ........................................................................ 3-1 3.1

Differentialgleichungen .............................................................................. 3-1

3.2

Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter Systeme .............................. 3-3

Beschreibung im Bildbereich ........................................................................ 4-1 4.1

Laplace-Transformation ............................................................................. 4-1

4.2

Lösung von Differentialgleichungen ............................................................ 4-7

4.3

Übertragungsfunktion ............................................................................... 4-8

4.4

Exkurs: Signale im Bildbereich ................................................................. 4-10

Beschreibung durch den Frequenzgang ....................................................... 5-1 5.1

Definition ................................................................................................. 5-1

5.2

Ortskurve ................................................................................................ 5-2

5.4

Bode-Diagramm ....................................................................................... 5-4

Analyse von Systemeigenschaften ............................................................... 6-7 6.1

Definition der Stabilität.............................................................................. 6-7

6.2

Stabilitätsbedingungen .............................................................................. 6-8

6.3

Pol-Nullstellen-Plan ................................................................................... 6-8

6.4

Stabilitätskriterium nach Hurwitz .............................................................. 6-13

6.5

Stabilitätskriterium nach Nyquist .............................................................. 6-14

Teil B: Messsysteme 7

Sensoren ...................................................................................................... 7-1 7.1

Grundlagen des Messens ........................................................................... 7-1

7.2

Messprinzipien mit Sensorbeispielen ........................................................... 7-5

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Gliederung und Literatur

8

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 0-2

Signalwandlung ............................................................................................ 8-1 8.1

Filterung mittels Operationsverstärker ........................................................ 8-1

8.2

Analog-Digital-Umsetzer ............................................................................ 8-4

9

Messfehler und deren Korrektur................................................................... 9-1 9.1

Grundlagen zu Messfehlern ........................................................................ 9-1

9.2

Zufällige Messfehler .................................................................................. 9-2

9.3

Statische Messfehler ................................................................................. 9-3

9.4

Dynamische Messfehler ............................................................................. 9-6

Teil C: Regelungssysteme 10

Aufbau von Regelungssystemen ............................................................. 10-1

10.1

Struktur einer Regelung .......................................................................... 10-1

10.2

Struktur einer Steuerung ......................................................................... 10-2

10.3

Zwei-Freiheitsgrade-Struktur ................................................................... 10-3

10.4

Führungs- und Störverhalten ................................................................... 10-4

10.5

Zusammenfassung der Entwurfsziele ........................................................ 10-6

11

Entwurf des Reglers ................................................................................ 11-1

11.1

Struktur des PID-Reglers ......................................................................... 11-1

11.2

Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols ..................................... 11-2

11.3

Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms ........................................... 11-4

11.4

Algebraischer Reglerentwurf durch Polvorgabe........................................... 11-9

12

Entwurf der Steuerungseinrichtung ........................................................ 12-1

12.1

Trajektorienplanung ................................................................................ 12-1

12.2

Vorsteuerung ......................................................................................... 12-1

12.3

Störgrößenaufschaltung .......................................................................... 12-2

13

Kaskadenregelung .................................................................................. 13-1

14

Realisierung von Regelungen ................................................................. 14-1

14.1

Analoge Reglerrealisierung ...................................................................... 14-1

14.2

Digitale Reglerrealisierung ....................................................................... 14-2

14.3

Automatische Code-Generierung .............................................................. 14-3

15

Aktoren ................................................................................................... 15-1

15.1

Digital-Analog-Umsetzer .......................................................................... 15-1

15.2

Leistungsverstärkung .............................................................................. 15-3

15.3

Aktorprinzipien ....................................................................................... 15-4

Anhang A

Häufige Übertragungsglieder .......................................................................... 1

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Gliederung und Literatur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 0-3

Literatur •

Föllinger, O: Regelungstechnik: Einführung in die Methoden und ihre Anwendung, 12. Auflage, VDE Verlag, 2016 (49,90 €)



Föllinger, O: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, 10. Auflage, VDE Verlag, 2011 (29,95 €)



Lunze, J.: Regelungstechnik 1 – Systemtheorietische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen, Springer, 10. Auflage, 2014 (39,99 €)



Lunze, J.: Regelungstechnik 2 – Mehrgrößensysteme. Digitale Regelung, Springer, 8. Auflage, 2014 (49,99 €)



Lunze, J.: Automatisierungstechnik – Methoden für die Überwachung und Steuerung kontinuierlicher und ereignisdiskreter Systeme, Springer, überarbeitete Auflage, 2012 (59,95 €)



Unbehauen, H.: Band 1: Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Fuzzy-Regelsysteme, Vieweg, 15. Auflage, 2008 (42,99 €)



Unbehauen, H.: Band 2: Zustandsregelung, digitale und nichtlineare Regelsysteme, Vieweg, 9. Auflage, 2007 (42,99 €)



Puente León, F., Kiencke, U.: Messtechnik – Systemtheorie für Ingenieure und Informatiker, 9. Auflage, Springer Vieweg, 2012 (39,95 €)



Goodwin, G.C., Greabe, S.F., Salgado, M.E.: Control System Design, Addison Wesley, 2000



Nise, N. S.: Control Systems Engineering, Wiley Text Books; 6th edition, 2011

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1. Einführung

1 1.1

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-1

Einführung: Worum soll es gehen? Die Grundaufgabe

Zuerst soll die Struktur der Grundaufgabe aus einem Beispiel heraus entwickelt werden: Bsp. 1-1: Vorlaufbehälter Der Füllstand im nebenstehend gezeigten Tank soll immer auf einer konstanten Sollhöhe gehalten werden – auch wenn immer wieder in unregelmäßigen Abständen Flüssigkeit entnommen wird. Dies könnte ein Vorlaufbehälter in einem verfahrenstechnischen Prozess sein, es könnte aber auch einfach der Wasserbehälter eines WC sein. Wie könnte diese Aufgabe automatisch gelöst werden? Dazu müsste zunächst der Füllstand erfasst werden. Ein Füllstandsmesser auf Basis eines Schwimmers könnte diese Aufgabe übernehmen (siehe nachstehendes Bild). Weiterhin muss eine Möglichkeit geschaffen werden, auf den Tank geeignet einzuwirken, d.h. Flüssigkeit nachfüllen zu können. Für die Dosierung könnte ein Ventil in den Zulauf eingebaut werden. Schließlich muss eine geeignete Verbindung zwischen Füllstandsmessung und Ventil geschaffen werden, die z.B. dann das Ventil öffnet, wenn der gemessene Füllstand unter den Sollwert fällt. Dies könnte durch den im Bild schematisch dargestellten Hebel erreicht werden.

Typisch ist in diesem Beispiel auch, dass das physikalische System, also der Tank, einer Störung unterliegt: Hier wird in nicht absehbarer Weise Flüssigkeit entnommen – was die Korrektur erst notwendig macht!

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1. Einführung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-2

Das Zusammenspiel der Komponenten des Beispiels lässt sich verallgemeinern: Komponente in Bsp. 1-1

Allgemeine Bezeichnung

Allgemeine Aufgabe

Tank

Strecke

Physikalisches System, dessen dynamisches Verhalten korrigiert werden soll.

Füllstandsmesser

Sensor (Messeinrichtung)

Erfassung von physikalischen Größen der Strecke

Ventil

Aktor (Stelleinrichtung)

Eingriff in die Strecke, um Korrekturen umzusetzen

Hebel

Controller

Bestimmung des geeigneten Eingriffs in die Strecke (auf Basis der gemessenen Größen und bekannter Sollgrößen, im Rahmen der Möglichkeiten des Aktors).

Regelkreis Im Zusammenspiel dieser Komponenten entsteht ein Regelkreis:

Diese Darstellung wird auch als Blockschaltbild bezeichnet. Die Pfeile beschreiben die Wirkrichtung der Signale zwischen den als Blöcken dargestellten Komponenten. Im Regelkreis werden folgende Signale eingeführt: Größe

Aufgabe

Stellgröße u

Signal, mit dem der Controller auf die Strecke einwirken kann (Eingang der erweiterten Strecke)

Messgröße y

Signal, mit dem der aktuelle Zustand der Strecke erfasst werden kann (Ausgang der erweiterten Strecke)

Führungsgröße w

Über dieses Signal wird dem Controller ggf. von außen mitgeteilt, in welchem Zustand sich die Strecke befinden soll (auch Referenz- oder Sollgröße)

Störung z

Äußere Störung, die auf die Strecke einwirkt. Diese kann naturgemäß nicht beeinflusst werden und ist häufig unbekannt.

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1. Einführung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-3

Für den Entwurf des Controllers (vgl. Abschnitt 1.2) werden Sensor und Aktor oft gedanklich der Strecke zugeordnet. Im Sinne der Klarheit soll dies als erweiterte Strecke bezeichnet werden (vgl. auch obiges Blockschaltbild). Man kann den Sensor und Aktor auch als Schnittstellen zwischen der „physikalischen Welt“ – mit dem physikalischen System der Strecke – und der „cyber Welt“ – hier im Controller zusammengefasst – verstehen. Für ersteres wird man die Werkzeuge eines Ingenieurs, für letzteres die eines Informatikers benötigen. Der Ingenieur-Informatiker verbindet also beide Welten! Wir werden uns in Teil C der Vorlesung mit Regelungssystemen und deren Entwurf genauer beschäftigen. Steuerung Es müssen nicht in jedem Fall alle Komponenten des Regelkreises eingesetzt werden. Wird auf die Schnittstelle der Sensoren verzichtet, erhält man die Struktur einer Steuerung (siehe Bild). Aufgrund der fehlenden Rückkopplung der Strecke kann die Steuerung ggf. nicht auf Störungen der Strecke reagieren.

Messsystem Wird andererseits auf die Schnittstelle der Aktoren verzichtet, ergibt sich ein reines Messsystem. Die bisherige Funktion des Controllers geht in eine Sensorsignalverarbeitung über. Das System kann zum reinen Messen, zum Speichern („Loggen“) von Messdaten bzw. zum Monitoring oder zur Diagnose der Strecke verwendet werden. Im Teil C der Vorlesung werden wir Messsysteme genauer betrachten.

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1. Einführung

1.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-4

Sichtweisen

Die Sicht der Automatisierungstechnik Bisher wurde noch nicht diskutiert, ob der „Controller“ durch ein technisches System oder durch einen Mensch realisiert werden soll. Hier hat die Automatisierungstechnik eine klare Zielsetzung: Definition: „Die Automatisierungstechnik ist ein fachübergreifendes Teilgebiet der Technik und eine Ingenieurwissenschaft, die alle Maßnahmen behandelt, Maschinen oder Anlagen zu automatisieren, also selbständig und ohne Mitwirkung von Menschen betreiben zu können.“ [Wikipedia] Der Begriff leitet sich also vom Ziel ab: Es soll der selbständige Betrieb eines Prozesses erreicht werden. Eine häufige Motivation dazu ist es, die Arbeitskraft eines Menschen ersetzen zu wollen, um z.B. die damit verbundenen Kosten zu reduzieren. Je nach Anwendung können aber auch andere Gründe im Vordergrund stehen: Der Schutz des Menschen in gefährlichen oder gesundheitsschädlichen Umgebungen oder die Verbesserung von Qualität, Energieeffizienz oder Ausbringung eines Produktionsprozesses. Im vorstehenden Beispiel 1-1 wurde mit der selbständigen Befüllung eines Vorlaufbehälters eine Automatisierung dieses Prozesses erreicht. Die dort gefundene Struktur ist also auch für die Automatisierung von Prozessen geeignet. Häufig wird diese Struktur mehrfach ineinander geschachtelt: Auf diese Weise entstehen mehrere Ebenen der Automatisierung (auch Automatisierungspyramide). Das Bild eine Automatisierung mit drei Ebenen:

Typisch ist, dass die Stellgröße ui+1 der Führungsgröße wi der jeweils darunterliegenden Ebene entspricht. Dadurch entsteht eine Hierarchie, in der die unteren, prozessnahen Ebenen eine höhere Dynamik besitzen und operative Aufgaben übernehmen, während die oberen, prozessfernen Ebenen langsamer reagieren und strategische Aufgaben verfolgen. Man kann den Ebenen Funktionen zuordnen und erhält so z.B. die im Bild rechts gezeigte Automatisierungspyramide. Die Methoden der Automatisierungstechnik umfassen die Mess- und Regelungstechnik wie auch die Produktionsinformatik (einschließlich Kommunikation, Echtzeitfähigkeit), MenschMaschine-Schnittstellen oder die Sicherheit. Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

1. Einführung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-5

Gegenstand dieser Vorlesung sind die beiden folgenden Gebiete: Definition: Die Regelungstechnik ist eine Wissenschaft, die sich mit der gezielten, selbsttätigen Beeinflussung dynamischer Systeme befasst. Definition: „Die Messtechnik befasst sich mit Geräten und Methoden zur Bestimmung (Messung) physikalischer Größen wie beispielsweise Länge, Masse, Kraft, Druck, elektrische Stromstärke, Temperatur oder Zeit. Wichtige Teilgebiete der Messtechnik sind die Entwicklung von Messsystemen und Messmethoden sowie die Erfassung, Modellierung und Reduktion (Korrektur) von Messabweichungen und unerwünschten Einflüssen. Dazu gehört auch die Justierung und Kalibrierung von Messgeräten sowie die korrekte Reduktion der Messungen auf einheitliche Bedingungen.“ [Wikipedia]

Die Sicht der Informatik Aus Sicht der Informatik steht das informationsverarbeitende System des Controllers im Zentrum der Betrachtung. Eine wichtige Anforderung ist die Signalverarbeitung in Echtzeit mit beherrschbaren Verzugszeiten (auch: Latenzen oder Totzeiten). Kann der Controller nicht schnell genug reagieren, wird die Funktion gefährdet und das Gesamtsystem kann beispielsweise instabil werden. Klassische Prozessleitsysteme sind zentral realisiert und basieren meist auf einem Mikroprozessor. Messsignale müssen vom Prozess bzw. Stellsignale in den Prozess kommuniziert werden. Dazu können Feldbus-Systeme verwendet werden, die ebenfalls entsprechende Anforderungen hinsichtlich der Echtzeit erfüllen müssen. Demgegenüber verlagern eingebettete Systeme die Signalverarbeitung näher an die Sensorik und Aktorik des Prozesses. Diese basieren i.d.R. auf Mikrocontrollern, die es heute ermöglichen, auch komplexe Algorithmen für geringe Kosten umzusetzen und so z.B. im PKW oder in Smartphones zur Verfügung zu stellen. Definition: „Der Ausdruck eingebettetes System bezeichnet einen elektronischen Rechner oder auch Computer, der in einen technischen Kontext eingebunden (eingebettet) ist. Dabei übernimmt der Rechner entweder Überwachungs-, Steuerungs- oder Regelfunktionen oder ist für eine Form der Daten- bzw. Signalverarbeitung zuständig, beispielsweise beim Verbzw. Entschlüsseln, Codieren bzw. Decodieren oder Filtern.“ [Wikipedia] Eine Weiterentwicklung sind cyber-physikalische Syteme, die durch Vernetzung z.B. von eingebetteten Systemen entstehen. Es kann so eine weniger hierarchische Automatisierungsstruktur entstehen, in die auch Instanzen der Betriebs- oder Unternehmsebene eingebunden werden können. Definition: „Ein cyber-physisches System bezeichnet den Verbund informatischer, softwaretechnischer Komponenten mit mechanischen und elektronischen Teilen, die über eine Dateninfrastruktur, wie z. B. das Internet, kommunizieren. Ein cyber-physisches System ist durch seinen hohen Grad an Komplexität gekennzeichnet. Die Ausbildung von cyber-physischen Systemen entsteht aus der Vernetzung eingebetteter Systeme durch drahtgebundene oder drahtlose Kommunikationsnetze.“ [Wikipedia]

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1. Einführung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-6

Die Sicht der Kybernetik Die Kybernetik stellt die Strecke in den Mittelpunkt der Betrachtung. Sie zielt darauf ab, eine generalisierte Beschreibung (ein Modell) der Strecke zu finden, um auf dieser Basis allgemeine Entwurfsverfahren für den Controller zu finden – unabhängig davon von welcher Natur die Strecke ist. Definition: „Kybernetik – die allgemeine, formale Wissenschaft von der Struktur, den Relationen und dem Verhalten dynamischer, insbesondere komplexer Systeme, die gewisse allgemeine Eigenschaften und Verhaltensweisen realer Systeme aus den verschiedensten Bereichen der Wirklichkeit widerspiegeln. [...] Die allgemeine Kybernetik gewinnt wesentliche Erkenntnisse aus realen Systemen, abstrahiert daraus gewisse Modelle (kybernetische Systeme), die dann theoretisch und unabhängig von irgendwelchen Anwendungen untersucht werden, und gibt die neu gewonnenen Einsichten als Verbesserung an die Anwendungen zurück.“ [Brockhaus] Zum Begriff: „Kybernetik ist nach ihrem Begründer Norbert Wiener (* 26. November 1894 in Columbia, Missouri; † 18. März 1964 in Stockholm) die Wissenschaft der Steuerung und Regelung von Maschinen, lebenden Organismen und sozialen Organisationen und wurde auch mit der Formel ‚die Kunst des Steuerns‘ beschrieben. Der Begriff als solcher wurde Mitte des 20. Jahrhunderts nach dem Vorbild des englischen cybernetics (‚Regelungstechniken‘) in die deutsche Sprache übernommen. Der englische Begriff wiederum ist ein Kunstwort, gebildet aus dem substantivierten griechischen Adjektiv κυβερνητικός ‚steuermännisch‘, welches sich aus den entsprechenden Subjektiven κυβερνήτης ‚Steuermann‘ und κυβέρνησις ‚Leitung‘, ‚Herrschaft‘ ableitet.“ [Wikipedia] Originalzitat: „Wie gesagt, bedeutet Kybernetik etymologisch die Lehre von Informationsübertragung und Kontrolle bei Maschinen wie bei lebendigen Wesen. Bei Maschinen kommen viele kybernetische Fragen vor, besonders bei den sehr komplizierten Systemen, die in den letzten Zeiten bei der Raketentechnik benützt wurden. Bei lebendigen Wesen, sind kybernetische Betrachtungen unentbehrlich, nicht nur für das Studium der bewussten Tätigkeit bei Tieren und Menschen, sondern auch für das Verständnis von jenen homöostatischen Vorgängen, die diejenigen Gleichgewichte erhalten, die für das Leben unentbehrlich sind. Ähnliche Gleichgewichtsprobleme kommen häufig bei volkswirtschaftlichen und soziologischen Problemen vor. Mit der Zeit werden diejenigen Einflüsse hinzugenommen, die von der Kybernetik kommen, sich widersetzt mit den denjenigen, die aus anderen Gebieten der Systemtheorie [stammen.]“

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1. Einführung

1.3

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-7

Entwurfsverfahren

Nachdem die Struktur eines zur Automatisierung von Prozessen geeigneten Regelkreises im letzten Abschnitt definiert wurde, bleibt die wesentliche Frage zu klären, wie der Controller entworfen werden kann. Es lassen sich zwei Vorgehensweisen unterscheiden: •

Erfahrungsbasierter Entwurf: Gibt auf Basis von Erfahrungen (oder Handlungswissen) vor, wie die Strecke in welcher Situation anzusteuern ist. Dieses wird direkt als Controller implementiert. Ein solcher Controller kann auch durch Test und Verbesserung (empirisch) weiterentwickelt werden. Dieses Vorgehen kann bei einfachen und ungefährlichen Systemen sowie geringen Anforderungen effizient sein, wird darüber hinaus aber versagen.



Modellbasierter Entwurf: Dem Gedanken der Kybernetik folgend wird zunächst ein Modell der Strecke entwickelt. Dann werden Methoden zum Entwurf des Controllers angewendet, die einen auf die Strecke zugeschnittenen Controller bestimmen. Dieses Verfahren ist bei komplexeren Strecken bzw. höheren Anforderungen geeignet.

Das nachfolgende Bild stellt die Vorgehensweise beim modellbasierten Entwurf dar, die auch als Rapid Control Prototyping bezeichnet werden kann. Als Modell entsteht dabei eine „Kopie“ des realen Systems. Diese Kopie erlaubt eine (ungefährliche) Analyse und Simulation der Strecke sowie des Gesamtsystems. Für die Rückwandlung zum realen System stehen heute Methoden der automatischen Code-Generierung zur Verfügung.

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1. Einführung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 1-8

Zusammenfassung der Schritte 1 bis 6: Schritt 1 – Als Abbild der realen Strecke entsteht ein Streckenmodell. Dieser oft langwierige Prozess der Modellbildung eröffnet die nachfolgenden Möglichkeiten eines modellbasierten Entwurfs des Controllers. Schritt 2 – Die Analyse der Strecke zeigt z.B. ob die Strecke stabil oder schwingungsfähig ist. Der nachfolgende Entwurf kann darauf abgestimmt werden. Schritt 3 – Entwurfsmethoden werden angewendet, um einen Controller zu entwerfen. Schritt 4 – In der Simulation kann das Zusammenspiel von Strecke und Controller getestet werden; bei Defiziten kann der Entwurf in Schritt 2 modifiziert werden. Schritt 5 – Der entworfene Controller muss jetzt in ein reales System transformiert werden. Eine Methode dazu ist die automatische Code-Generierung: Dabei wird das Controller-Modell automatisch in ausführbaren Code für den Ziel-Controller übersetzt. Vor der Übersetzung wird das Streckenmodell durch die Schnittstellen (Ein- und Ausgänge) zur Strecke ersetzt. Schritt 6 – Test des realen Gesamtsystems.

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2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-1

Teil A: Dynamische Systeme 2 Beschreibung durch das Blockschaltbild 2.1

Beispiele zum Aufstellen des Blockschaltbildes

Beispiel 2-1: Füllen eines Behälters

q(t)

h(t)

Eingangsgröße:

q(t)

Zufluss (Volumen/Zeit)

Ausgangsgröße:

h(t)

Füllstandshöhe

Parameter:

A

Querschnittsfläche

Darstellung im Blockschaltbild:

1/A q

h

Beispiel 2-2: Erweiterung des Behälters um einen Ablauf

q(t)

Vereinfachende (!) Annahme: q ab (t ) = K ⋅ h(t )

mit Parameter K als Proportionalitätsfaktor

h(t) qab(t)

Darstellung im Blockschaltbild:

1/A h

q

qab

K

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2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-2

Beispiel 2-3: RC-Glied

R

C

uR(t)

ue(t)

ua(t)

Darstellung im Blockschaltbild:

ue

Eingangsgröße:

ue(t)

Ausgangsgröße:

ua(t)

Parameter:

R

Widerstand

C

Kapazität

1 RC ua

uR ua

1

Beispiel 2-4: Erweiterung des Behälters um einen Schwimmer

y(t)

Eingangsgröße:

q(t)

Ausgangsgröße:

y(t)

Parameter: A Querschnittsfläche Tank

q(t)

a Querschnittsfläche Schwimmer m Masse Schwimmer

ρ Dichte Wasser

h(t) qab(t)

Darstellung im Blockschaltbild:

aρg m

1/A h

q

qab

K

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.. y

1

. y

1 y

2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-3

Beispiel 2-5: Zuleitung q = konstant Ta

Te

Eingangsgröße:

Ta

Temperatur der Flüssigkeit am Anfang

Ausgangsgröße:

Te

Temperatur der Flüssigkeit am Ende

Parameter:

q

Volumenfluss

L, a

Länge und Querschnitt des Rohres

Darstellung im Blockschaltbild:

La q Ta

Te

Beispiel 2-6: Pendel

Eingangsgröße:

keine

Ausgangsgröße:

ϕ

Winkel

Parameter:

L

Pendellänge

m

Pendelmasse

g

Erdbeschleunigung

Darstellung im Blockschaltbild:

..

ϕ

1

.

1

ϕ

g L sin ϕ

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ϕ

2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

2.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-4

Häufig verwendete Übertragungsglieder

Die Glieder 1) bis 7) der folgenden Übersicht werden im Anschluss einzeln vorgestellt. Elementare, lineare Übertragungsglieder 1) Proportionalglied

y(t ) = K ⋅ u(t )

(P-Glied)

2) Integrierglied (I-Glied)

3) Differenzierglied (D-Glied)

4) Summierglied

K u

y

t

y(t ) = K ⋅ ∫ u(τ )dτ 0

y(t ) = K ⋅

d u(t ) dt

K u

y

K u

y(t ) = ±u1 (t ) ± u2 (t )

y

u1

(S-Glied)

y ( ) u2

5) Totzeitglied

y(t ) = K ⋅ u(t − Tt )

(Tt-Glied)

( )

Tt

K u

y

Zusammengesetzte, lineare Übertragungsglieder 6) Verzögerungsglied 1. Ordnung

Ty (t ) + y(t ) = K ⋅ u(t )

(PT1-Glied)

7) Verzögerungsglied 2. Ordnung

K

T

u

(t ) + 2dTy (t ) + y(t ) = K ⋅ u(t ) T 2y

(PT2-Glied)

y

d T

K u

y

Nichtlineare Übertragungsglieder 8) Kennlinienglied

y(t ) = F (u(t ))

u

F(u)

(KL-Glied)

9) Multiplizierglied

u2

y(t ) = K ⋅ u1(t ) ⋅ u2(t )

(M-Glied)

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y

K u1

y

2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-5

Zusammenfassung: Blockschaltbilder •

beschreiben Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge (Eingangs-Ausgangs-Beziehungen) in einer allgemeinen Form,



sind unabhängig von der physikalischen Domäne des betrachteten Systems,



sind insbesondere bei komplexen Systemen übersichtlicher als die Darstellung durch Gleichungen,



lassen schrittweise aufbauen und verifizieren und



sind u. a. die Basis für numerische Simulationen (siehe Abschnitt 1.4).

2.3

Nichtlineare Glieder und Linearisierung

Arbeitspunkt Technische Anlagen und überhaupt dynamische Systeme sollen häufig in einem stationären Zustand betrieben werden, bei dem die Ausgangsgrößen des Systems auf ihrem Sollwert sind. Diesen gewünschten Betriebszustand bezeichnet man gewöhnlich als Arbeitspunkt. Der Arbeitspunkt ist somit ein spezieller stationärer Zustand, bei dem die Ausgangsgrößen ihre Sollwerte annehmen. [aus: Föllinger, Regelungstechnik] Linearisierung im Arbeitspunkt Jede zeitveränderliche Größe x(t) des Systems kann ersetzt werden durch ihren entsprechenden Arbeitspunkt x0 zuzüglich einer Abweichung ∆x(t) von diesem Arbeitspunkt: x(t ) = x 0 + ∆x(t )

Arbeitet das System in der Nähe des gewünschten Betriebszustandes, kann erwartet werden, dass die Abweichung ∆x(t) vom Arbeitspunkt klein ist. Wird das System im Arbeitspunkt linearisiert, sind die Abweichungen zwischen dem nichtlinearen und dem linearen Modell in der Umgebung des Arbeitspunktes klein. Linearisierung eines Kennliniengliedes Gegeben ist eine nichtlineare Kennlinie: y(t ) = F (u(t ))

Übergang zu Abweichungen vom Arbeitspunkt: y 0 + ∆y(t ) = F (u0 + ∆u(t ))

Entwicklung in eine Taylorreihe bis zum linearen Glied:

y 0 + ∆y(t ) = F (u0 ) +

∂f (u) ∂u u

⋅ ∆u(t ) + (höhere Terme) 0

Mit y 0 = F (u0 ) und unter Vernachlässigung höherer Terme gilt also:

∆y(t ) =

Darstellung im Blockschaltbild:

u

∂f (u) ∂u u

F(u)

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⋅ ∆u(t )

∂F(u) ∂u u0

0

y

Linearisierung

∆u

∆y

2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

2.4

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-6

Numerische Simulation auf Basis des Blockschaltbildes (Simulink)

Hintergrund: Matlab und Simulink •

Matlab (von „Matrix Laboratory“) ist eine Interpreter-Programmiersprache, die speziell für numerische Algorithmen entwickelt wurde.



Insbesondere sind alle Variablen als Matrizen vordefiniert und die Befehle auf die Verarbeitung von Matrizen bzw. Vektoren ausgelegt, so dass auch sehr große Datenfelder bzw. -listen schnell bearbeitet werden können.



Für spezielle Aufgabenstellungen (Regelungstechnik, Signal- oder Bildverarbeitung, ...) kann der Befehlsumfang durch entsprechende Toolboxen erweitert werden.



Eine solche Toolbox ist auch „Simulink“, welche die graphische Modellierung dynamischer Systeme als Blockschaltbild erlaubt. Diese Modelle können dann numerisch simuliert und analysiert werden.

Start •

Zunächst „matlab“ starten. Nachdem der Prompt „>>“ des Matlab-Interpreters erschienen ist, startet man Simulink mit dem Befehl „simulink“.



Es erscheint das nachfolgend gezeigte Fenster mit der Bibliothek der in Simulink vordefinierten Übertragungsblöcke.

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2. Beschreibung durch das Blockschaltbild

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 2-7

Modellierung •

Es muss zuerst ein neues Arbeitsblatt geöffnet werden (z. B. mit dem Icon „weißes Blatt“ im oben gezeigten Fenster)



Nun können Blöcke aus dem Bibliotheks-Fenster per Maus auf das Arbeitsblatt geschoben werden. Die Ein- und Ausgänge der Blöcke können dort per Maus verbunden werden.



Doppelklicken Sie einen Block, um seine Parameter zu definieren oder die Anzeige eines „Scope“ zu öffnen.



Um einen vorhandenen Block auf dem Arbeitsblatt zu duplizieren, klicken Sie ihn mit der rechten Maustaste an und positionieren das Duplikat entsprechend.



Verwenden Sie ebenfalls die rechte Maustaste, um von einer vorhandenen Signalverbindung einen neuen Abzweig zu erstellen!

Simulation •

Sie starten die numerische Simulation mit dem „Play“-Button (schwarzes Dreieck) im Kopf des Arbeitsblattes (siehe Bild).



Im Menü „Simulation“, Untermenü „Configuration Parameter …“ können Sie die Parameter der numerischen Simulation festlegen, z. B. o

Start- und Endzeitpunkt,

o

Integrationsverfahren,

o

Fehlermaße, welche die Güte der numerischen Simulation festlegen

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3. Beschreibung im Zeitbereich

3 3.1

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-1

Beschreibung im Zeitbereich Differentialgleichungen

Aufstellen der Differentialgleichungen: Die Darstellung eines Systems durch sein Blockschaltbild (siehe Kapitel 2) oder durch seine Differentialgleichungen ist gleichwertig. Der erste Schritt ist immer die Modellbildung, in dem die Systembeschreibung aus den physikalischen Gleichungen abgeleitet wird. Je nach physikalischer Domäne stehen unterschiedliche physikalische Gesetze zur Verfügung, z.B.: •

Mechanische Systeme: Newtonsche Bewegungsgleichung



Elektrische Systeme: Strom-Spannungsbeziehungen elektrischer Bauteilen, Kirchhoffsche Knoten- und Spannungsregeln



Systeme aus der Verfahrenstechnik oder Biologie: Bilanzgleichungen für Stoffmassen oder -volumen

Bei der Modellbildung wird man immer nur einen Ausschnitt des Gesamtsystems in vereinfachender Weise erfassen. Diese Reduktion ist zwangsläufig subjektiv und orientiert sich an der Zielstellung: Möchte ich beispielsweise eine Temperaturregelung entwerfen, konzentriere ich mich bereits bei der Modellbildung nur auf thermische Eigenschaften des Systems. Liegt bereits ein Blockschaltbild vor, kann dieses in die (gleichwertige) Darstellung durch seine Differentialgleichungen umgewandelt werden. Dazu •

werden bei komplexen Blockschaltbildern am besten Hilfsgrößen eingeführt (z.B. für die Ausgänge von Summiergliedern),



wird das Blockschaltbild entgegen der Signalflussrichtung durchlaufen und die Funktionsbeziehungen der Blöcke ausgewertet.

Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: Gegeben ist die DGL in der Form

a n y (n) (t ) +  + a1 y (t ) + a0 y(t ) = b0 u(t ) + b1 u(t ) +  + bm u (m) (t ) mit an ≠ 0 und ai , bi ∈ IR . 1. Schritt: Lösung der homogenen DGL

an y (n)(t ) +  + a1 y (t ) + a0 y(t ) = 0 Bestimme aus der zugehörigen charakteristischen Gleichung

a n s n +  + a1 s + a0 = 0 die Lösungen (Wurzeln) s1,  , sn . Der allgemeine Lösungsansatz ist y h (t ) =

n

∑ Ck

k =1

mit folgendem Ansatz für yk(t): Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

y k (t )

3. Beschreibung im Zeitbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-2

Fall 1: die Wurzel sk ist von allen anderen Wurzeln verschieden: y k (t ) = e sk t

Fall 2: die Wurzel sk tritt ρ-fach auf: yi (t ) = t i −1 ⋅ e sk t mit i=1, 2, ..., ρ

Spezialfall 3: System mit der Ordnung n = 2 (mit s1 = δ 1 + jω1 , s2 = δ 2 − jω2 ): a) reell, verschieden ( ω1 = 0, δ 1 ≠ δ 2 ):

y1(t ) = eδ1t , y2(t ) = eδ 2t

b) reell, gleich ( ω1 = 0, δ 1 = δ 2 ):

y1(t ) = eδ1t , y2(t ) = t ⋅ eδ1t

c) konjugiert komplex ( ω1 = ω 2 ≠ 0 ):

y1(t ) = eδ1t ⋅ cos ω1t , y2(t ) = eδ 2t ⋅ sin ω1t

mit C1, C2 ∈ IR 2. Schritt: Bestimmung einer partikulären Lösung für die inhomogene DGL Fall 1: Der Eingang u(t) ist ein Polynom in t: u(t ) = u0 + u1t + u2 t 2 +  + u p t p •

Ansatz für die partikuläre Lösung: y p (t ) = q0 + q1t + q2 t 2 +  + q p t p



In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!)



Koeffizienten qi bestimmen

Fall 2: Der Eingang u(t) ist nicht in spezieller Form gegeben: „Variation der Konstanten“ •

Ansatz für die partikuläre Lösung: y p (t ) =

n

∑ C k (t ) y k (t )

k =1



In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!)



Funktionen Ck(t) daraus bestimmen

3. Schritt: Allgemeine Lösung der DGL Homogene und partikuläre Lösung werden superponiert: y(t ) = y h (t ) + y p (t )

4. Schritt: Lösung des Anfangswertproblems Die n Konstanten Ck werden aus den n gegebenen Anfangsbedingungen y(0) = y p (0) +

y (0) = y p (0) + (0) = y  p (0) + y

n

∑ Ck

k =0

n

∑ Ck

k =0 n

∑ Ck

k =0

... bestimmt.

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y k (0) =y 0

y k (0) =y 0 k (0) =y 0 y

3. Beschreibung im Zeitbereich

3.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-3

Übertragungsverhalten linearer, zeitinvarianter Systeme

Gewichtsfunktion und Faltung: Das Übertragungsverhalten eines Systems beschreibt die Übertragung eines Signals u(t) am Systemeingang auf den Systemausgang y(t) bei verschwindenden Anfangsbedingungen.

u

g(t)

y

Bei linearen und zeitinvarianten Systemen (s. Abschnitt 2.2.2) kann die Verknüpfung von u(t) und y(t) durch das Faltungsintegral charakterisiert werden: t

∫ g(t − τ ) ⋅ u(τ ) dτ

y(t ) =

0

Darin ist g(t) die Gewichtsfunktion, die das Übertragungsverhalten des Systems in eindeutiger und vollständiger Weise quantifiziert. Durch die Substitution τ ′ = t − τ lässt sich das Faltungsintegral auch in der folgenden Form schreiben:

y(t ) =

t

∫ g(τ ′) ⋅ u(t − τ ′) dτ ′

0

Die Gewichtsfunktion gibt also an, mit welchem Gewicht g(τ) der Wert der Eingangsfunktion u vom zurückliegenden Zeitpunkt (t-τ) in den Wert der Ausgangsfunktion y zum aktuellen Zeitpunkt t eingeht. Abkürzend kann das Faltungsintegral auch als y(t ) = g(t ) ∗ u(t )

geschrieben werden; man sagt „g(t) gefaltet mit u(t)“. Wie oben beschrieben ist diese Operation kommutativ: g(t ) ∗ u(t ) = u(t ) ∗ g(t )

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3. Beschreibung im Zeitbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-4

Voraussetzungen an das System:



Jedes lineare und zeitinvariante dynamische System wird durch seine Gewichtsfunktion g(t) vollständig beschrieben.



Damit ein System technisch realisierbar ist, muss es kausal sein.



Linearität – Für lineare Systeme gelten die beiden folgenden Prinzipien: 1. Superpositionsprinzip: y(t ) = g(t ) ∗ [u1 (t ) + u2 (t )] = g(t ) ∗ u1 (t ) + g(t ) ∗ u2 (t )

Das bedeutet, dass die Wirkung aus der Summe zweier Ursachen der Überlagerung der separaten Wirkungen der beiden Einzelursachen entspricht. Zur Analyse komplexer linearer Systeme können also separate Wirkungen bestimmt werden, die anschließend zu einer Gesamtwirkung addiert werden. 2. Verstärkungsprinzip: y(t ) = g(t ) ∗ [α u(t )] = α [g(t ) ∗ u(t )]

Dieses Prinzip lässt sich leicht experimentell überprüfen: Wird z.B. die Amplitude des Eingangssignals verdoppelt, so muss sich daraufhin die Amplitude des Ausgangssignals ebenfalls verdoppeln, wenn es sich um ein lineares System handelt. Ein lineares System kann durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden. •

Zeitinvarianz – Das System ist invariant gegenüber Zeitverschiebungen. D.h. sein Systemverhalten hängt nicht vom absoluten Zeitpunkt ab. Um die Zeitinvarianz eines Systems zu nachzuweisen, ist zu zeigen, dass aus y(t ) = g(t ) ∗ u(t ) der Zusammenhang y(t − τ ) = g(t ) ∗ u(t − τ ) für eine beliebige Zeit-

verschiebung τ folgt. Ein zeitinvariantes System wird durch eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben.



Kausalität – Der Ausgang y(t0) eines kausalen Systems hängt nur vom Verlauf der Eingangsgröße u(t) für Zeiten t ≤ t0 ab. Für die Gewichtsfunktion kausaler Systeme gilt: g(t ) = 0 für t < 0 .

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3. Beschreibung im Zeitbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-5

Sprungantwort: An den Systemeingang u(t) wird ein Einheitssprung σ(t) angelegt: 0 für t < 0 u(t ) = σ (t ) =  1 für t ≥ 0

Die dann am Ausgang y(t) des Systems gemessene „Antwort“ ist die Sprungantwort h(t). Mit Hilfe des Faltungsintegrals gilt: h(t ) =

t

τ ) dτ = (t− ∫ g(τ ) ⋅ σ 

0

=1

t

∫ g(τ ) dτ

0

Die Sprungantwort ist also das zeitliche Integral der Gewichtsfunktion. Das System ist durch seine Sprungantwort vollständig charakterisiert.

Impulsantwort: Am Systemeingang u(t) wird nun ein Einheitsimpuls δ(t) angelegt. Dieser kann formal als zeitliche Differentiation des Einheitssprungs definiert werden:

δ (t ) =

d σ (t ) Daraus folgt: σ (t ) = dt

t

∫ δ (τ ) dτ

0

Damit dieser integrale Zusammenhang gilt, muss der Einheitsimpuls im Zeitpunkt τ = 0 eine Fläche von 1 auf unendlich kleiner Zeitbasis besitzen. Dies kann als Grenzwert definiert aber nicht technisch realisiert werden. Die Antwort des Systems am Ausgang y(t) ist dann die Impulsantwort. Für die Auswertung der Faltung t

∫ g(τ ) ⋅ δ (t − τ ) dτ

= g(t )

0

wird die so genannte Ausblend-Eigenschaft des Einheitsimpulses (s. nachfolgende Rechenregel 5a) genutzt. Die Gewichtsfunktion g(t) kann also als Impulsantwort interpretiert werden!

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3. Beschreibung im Zeitbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 3-6

Rechenregeln für die δ - und σ -Funktion:

1. Addition

2. Multiplikation

a δ (t ) + b δ (t ) = (a + b) δ (t )

a) f (t ) δ (t ) = f (0) δ (t )

mit a, b: Konstanten

mit f (t ) stetig in t = 0 b) f (t ) δ (t − t 0 ) = f (t 0 ) δ (t − t 0 ) mit f (t ) stetig in t = t0

d (f (t ) δ (t )) = f (0) δ(t ) c) dt = f(t ) δ (t ) + f (t ) δ(t ) 4. Integration

3. Differentiation

d σ (t ) = δ (t ) dt

t

a)

∫ δ (τ ) dτ

= σ (t )

−∞

b)

t2

∫ δ (τ

t1

1 für t1 < t < t 2 − t ) dτ =  0 sonst

5. Faltung ∞

a)





f (τ ) δ (t − τ ) dτ

−∞

f (t ) ∗ δ (t )

=

∫ δ (τ ) f (t − τ ) dτ

−∞

= δ (t ) ∗ f (t )

= f (t ) = f (t ) ∞

b)

f (t ) ∗ σ (τ )

= σ (t ) ∗ f (t )

=

∫ f (τ ) dτ 0

c) d)

f (t ) ∗ δ (t − t0 ) = f (t − t0 ) t2

∫ f (τ ) δ (t − τ ) dτ

t1

f (t ) für t1 < t < t 2 =  0 sonst

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4. Beschreibung im Bildbereich

4

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-1

Beschreibung im Bildbereich

4.1

Laplace-Transformation

Lösung einer DGL mit Hilfe der Laplace-Transformation:

DGL in y(t) mit Anfangsbedingungen

Lösung einer DGL

Zeitbereich (Variable t) Bildbereich (Variable s)

Ergebnis: y(t) 3

Laplace-Trafo Y(s) = L {y(t)}

Laplace-Rücktrafo y(t) = L-1 {Y(s)}

1

Algebraische Gln. in s für Y(s)

2 Lösung einer algebr. Gln.

Ergebnis: Y(s)



Die Lösung einer algebraischen Gleichung (Schritt 2) ist einfacher als die Lösung einer DGL.



Allerdings sind eine Laplace-Transformation (Schritt 1) und eine Laplace-Rücktransformation (Schritt 3) erforderlich.



Dieser „Umweg“ wird durch tabellierte Korrespondenzen attraktiv (siehe Seiten 3-2 bis 3-4).



Im Allgemeinen ist die Rücktransformation am aufwändigsten, da die Lösung Y(s) aufgespalten und in Teilen rücktransformiert werden muss.

Definition: Die Laplace-Transformation wandelt die Zeitfunktion f(t) in eine Bildfunktion F(s) um. Die Transformation ist durch das uneigentliche Laplace-Integral ∞

F (s) =



0

f (t ) e − st dt



definiert. Darin ist t die Integrationsvariable und s eine komplexe Variable. Das Ergebnis des Integrals hängt daher nur von s ab. Die untere Integrationsgrenze ist wird als „0–“ bezeichnet, um zu verdeutlichen, dass es sich um einen linksseitigen Grenzwert in 0 handelt, der Funktionswerte in t = 0 mit erfasst, falls z.B. f(t) = δ(t) gilt.

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4. Beschreibung im Bildbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-2

Konvergenz: Man kann die Frage stellen, für welche Werte s das Integral konvergiert und die LaplaceTransformation also existiert. Dazu die Laplace-Transformation der e-Funktion als Beispiel: Für f (t ) = eαt mit beliebigem, komplexem α gilt nach Definition ∞

F (s) =



eαt e − st dt =

0−





0−



  1 1 (vgl. S.4-5, Korr. 6). e −(s −α )t  = e −(s −α )t dt =  α −α − − s s ( ) − 0 

sofern Re(s – α) > 0 bzw. Re s > Re α ist. Dieser Konvergenzbereich ist nebenstehend graphisch dargestellt.

s-Ebene

α

Allgemein kann gezeigt werden, dass das Laplace-Integral absolut konvergent in einer rechten Halbebene der s-Ebene ist: ∞

F (s) =



0

f (t ) e − st dt < +∞



Der Konvergenzbereich kann im Grenzfall die gesamte s-Ebene umfassen (z.B. für f (t ) = e −t

2

2

) oder der Bereich kann leer sein (z.B. für f (t ) = e +t ). Die Bildfunktion F(s) ist eine holomorphe Funktion (synonym: analytische oder reguläre Funktion), d.h. sie ist in jedem Punkt komplex differenzierbar und kann in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Kausale Systeme: Der Integrationsbereich des Laplace-Integrals schließt keine negativen Zeiten t < 0 ein. Ist die Zeitfunktion f(t) beispielsweise eine Gewichtsfunktion eines dynamischen Systems, wird deutlich, dass nur kausale Systeme durch die Laplace-Transformation abgebildet werden können. Diese Beschränkung entfällt im Prinzip bei der zweiseitigen Laplace-Transformation ∞

F (s) =



f (t ) e − st dt ,

−∞

allerdings erkauft man sich das um den Preis, dass sich der Konvergenzbereich auf einen Streifen in der komplexen s-Ebene reduziert (s. Tabelle unten).

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4. Beschreibung im Bildbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-3

Stabile Systeme: Betrachtet man statt der gesamten s-Ebene nur die imaginäre Achse mit s = jω, kann man die Frage stellen, welche Voraussetzungen die Zeitfunktion f(t) besitzen muss, um in diesem Bereich absolute Konvergenz zu erreichen. Es muss gelten: ∞

F (s) =



f (t ) e − jωt dt =

−∞





f (t ) e − jωt dt =

−∞





f (t ) dt < +∞

−∞

Diese Forderung ist für stabile Systeme erfüllt (s. S. 5-2). D.h. für stabile Systeme ist die Konvergenz auf der imaginären Achse gegeben. In diesem Fall existiert das Fourier-Integral als Sonderfall des Laplace-Integrals mit s = jω oder s = j2πf: ∞

F (ω ) =



f (t ) e − jωt dt



F (f ) =

oder:



f (t ) e − j 2πft dt

−∞

−∞

Die Schreibweise in f ist im Bereich der Signalverarbeitung üblich und daher mit aufgeführt. Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation: Die Fourier-Transformation wird in der Signalverarbeitung verwendet, um nichtkausale Systeme behandeln zu können (Vorauss. Stabilität), während die Laplace-Transformation geeignet ist, instabile Systeme der Regelungstechnik zu beschreiben (Vorauss. Kausalität).

System instabil s-Ebene

System stabil s-Ebene

System nichtkausal Nur zweiseitige Laplace-Transf. möglich (aber kleiner Konvergenzbereich) s-Ebene

Zweiseitige Laplace-Transf. oder Fourier-Transf. möglich Signalverarbeitung s-Ebene

System kausal Einseitige Laplace-Transf. möglich Regelungstechnik

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Einseitige Laplace-Transf. oder Fourier-Transf. möglich

4. Beschreibung im Bildbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-4

Rechenregeln der Laplace-Transformation:

Bezeichnung

Originalfunktion f(t) für t ≥ 0

Bildfunktion F(s)

1.

c1 f1 (t ) ± c 2 f2 (t ) ± 

c1 F1 (s) ± c 2 F2 (s) ± 

Linearität (Superposition)

2.

Ähnlichkeit

3.

mit Konstanten c1 , c 2 ,  f (at ) mit a > 0

1 s F  a  a

Verschiebung im Zeitbereich

f (t − a) σ (t − a) mit a > 0

e − a s F (s)

4.

Verschiebung im Bildbereich

e − a t f (t )

F (s + a)

5.

Differentiation im Zeitbereich

df (t ) dt

mit a beliebig, komplex

s F (s) − f (0)

d 2 f (t )

s 2 F (s) − s f (0) − f(0)

dt 2

s k F (s) − s k − 1 f (0) − 

d k f (t ) dt

6.

Differentiation im Bildbereich

k

− s f (k − 2) (0) − f (k − 1) (0) dF (s) ds

−t ⋅ f (t )

(−1) k ⋅ t k ⋅ f (t )

7.

8.

9.

Integration im Zeitbereich Integration im Bildbereich Faltung im Zeitbereich

10. Faltung im Bildbereich

t

ds k

1 ⋅ F (s) s

∫ f (τ ) dτ

0



f (t ) t f1 (t ) ∗ f2 (t ) =

d k F (s)

∫ F (ω) dω s

∫ f1 (t − τ ) f2 (τ ) dτ

f1 (t ) ⋅ f2 (t )

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F1 (s) ⋅ F2 (s)

1 2πj

c + j∞

∫ F1 (s − ω) F2 (ω) dω

c − j∞

4. Beschreibung im Bildbereich

Bezeichnung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-5

Originalfunktion f(t) für t ≥ 0 und Bildfunktion F(s)

lim f (t ) = lim s ⋅ F (s)

11. Anfangswert

t →0

s→∞

lim f (t ) = lim s ⋅ F (s)

12. Endwert

t →∞

13. Parsevalsche Gleichung





f 2 (t ) =

0

s →0

1 2π



∫ F ( jω)

2



−∞

Korrespondenzen der Laplace-Transformation: (nach Unbehauen, Regelungstechnik 1) Nr.

Zeitfunktion f(t) für t ≥ 0

Laplace-Transformierte F(s)

Für t < 0 gilt f(t) = 0. Dies kann durch Multiplikation mit dem Einheitssprung zusammengefasst werden: f (t ) ⋅ σ (t )

δ (t )

1

1

(Einheitsimpuls) 2 3

s2 2

t2

s3 1

tn n!

5 6

s

1

t e − at

8

(s + a)2 2

t 2 e − at

9

(s + a )3 n!

t n e − at

10

(s + a)n +1 a s (s + a)

1 − e − at

1 2

a

(e

− at

− 1 + at

n +1

1 s+a

e − at

7

12

1

t

4

11

1 s

1 (ergibt Einheitssprung)

)

(1 − at ) e −at

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1

s 2 (s + a) s

(s + a)2

4. Beschreibung im Bildbereich

Nr.

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-6

Zeitfunktion f(t) für t ≥ 0

Laplace-Transformierte F(s)

Für t < 0 gilt f(t) = 0. Dies kann durch Multiplikation mit dem Einheitssprung zusammengefasst werden: f (t ) ⋅ σ (t ) 13

14

15

16

sin ω0t

2

ω0

s + ω02 s

cos ω0t

2

s + ω02

ω0

e − at sin ω0t

(s + a)2 + ω02 s+a

e − at cos ω0t

(s + a)2 + ω02

17

1 t  f  a  a

F (as) für a > 0

18

e at f (t )

F (s − a)

19

f (t − a) für t > a ≥ 0 0 für t < a

e − as F (s)

−t f (t )

dF (s) ds

20 21

d n F (s)

(− t )n f (t )

22 f1(t ) f2 (t )

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ds n

1 2πj

c + j∞

∫ F1(p) F2 (s − p) dp

c − j∞

4. Beschreibung im Bildbereich

4.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-7

Lösung von Differentialgleichungen

Laplace-Rücktransformation Gegeben ist die folgende Funktion im Bildbereich:

G(s) =

−T s Z(s) ⋅e t N(s)

Vorgehensweise zur Rücktransformation: •

Totzeit Tt zunächst unberücksichtigt lassen.



Falls Grad Z(s) ≥ Grad N(s) : Polynomdivision mit dem Rest R(s) führt auf:

Z(s) R(s) = Z * (s) + N(s) N(s)

Rücktransformation von Z * (s) mittels Korr. 1:

L−1 {1} = δ (t )



Faktorisierung des Nenners N(s) (ggf. mit Hilfe der Polynomdivision)



Ansatz zur Partialbruchzerlegung: a) einfacher Pol:

c s+a

b) ρ-facher Pol:

cρ c1 c2  + + + s + a (s + a)2 (s + a)ρ

c) konjugiert komplexer Pol: •



c1 s + c 2

s

2

+ αs + β

Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ci der Partialbruchzerlegung: o

entweder: Koeffizientenvergleich für s0, s1, s2, …

o

oder: spezielle Werte für s einsetzen (insbesondere die Pole)

Rücktransformation: a) nach Korr. 6:

 1  − at L− 1   =e s + a

für t ≥ 0

b) nach Korr. 7:

  n!   = t n ⋅ e − at L− 1  n +1     (s + a) 

für t ≥ 0

c) Quadratische Ergänzung des Nenners und dann nach Korr. 13:

  ω0   L− 1  = e − at ⋅ sin(ω 0 t ) für t ≥ 0 2 2   ( s a ) ω + + 0  

sowie nach Korr. 14:

  s+a   L− 1  = e − at ⋅ cos(ω 0 t ) für t ≥ 0 2 2    ( s + a ) + ω 0  



Einzeltransformationen zu g(t) superponieren.



Ggf. Berücksichtigung der Totzeit nach Verschiebungsregel (3):   −T s L− 1 e t ⋅ G(s) = g(t − Tt ) ⋅ σ (t − Tt )  

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4. Beschreibung im Bildbereich

4.3

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-8

Übertragungsfunktion

Analog zur Definition im Zeitbereich beschreibt das Übertragungsverhalten eines Systems auch im Bildbereich die Übertragung eines Signals U(s) am Systemeingang auf den Systemausgang Y(s) bei verschwindenden Anfangsbedingungen.

U(s)

G(s)

Y(s)

Bei linearen und zeitinvarianten Systemen kann der Ausgang Y(s) aus der Multiplikation des Eingangs U(s) mit einer Übertragungsfunktion G(s) bestimmt werden: Y (s) = G(s) ⋅ U(s)

Die Übertragungsfunktion G(s) beschreibt daher das Übertragungsverhalten eines Systems im Bildbereich eindeutig und vollständig. Der Vergleich mit der Darstellung des Übertragungsverhaltens im Zeitbereich mit Hilfe des Faltungsintegrals (s. Abschnitt 2.2) zeigt, dass die Übertragungsfunktion G(s) die LaplaceTransformierte der Gewichtsfunktion g(t) ist: G(s) = L{g(t )}

Rationale Übertragungsfunktionen Lineare, zeitinvariante Übertragungsglieder ohne Totzeit werden durch die rationale Übertragungsfunktion

G(s) =

b0 + b1 s +  + bm s m a0 + a1 s +  + an s n

mit reellen Konstanten ai und bi beschrieben. •

Die Nullstellen des Nenners werden als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet.



Von einem realen System spricht man, falls m 0 wird durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben: G(s) =

b0 + b1 s +  + bm s m a0 + a1 s +  + an s

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n

⋅e

−Tt s

4. Beschreibung im Bildbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-9

Übertragungsfunktionen von Grundschaltungen:

1. Serienschaltung Y1 = G1 ⋅ U , U(s) G1(s)

Y1(s)

Y2 = G1 ⋅ G2 ⋅ U   

Y2(s)

G2(s)

Y2 = G2 ⋅ Y1

G(s) = G1(s) ⋅ G2 (s) G(s)

2. Parallelschaltung Y1 = G1 ⋅ U ,

Y = Y1 + Y2 = G1U + G2U

Y1(s) G1(s) +

U(s)

Y2 = G2 ⋅ U

= (G1 + G2 ) ⋅ U 

Y(s)

+

G(s) = G1 (s) + G2 (s)

G2(s) Y2(s)

G(s)

3. Rückkopplung Y1 = G1 ⋅ U , Y2 = G2 ⋅ Y1 , Y = Y1 U(s)

Y1(s)

U1(s)

Y(s)

G1(s) (+)

U1 = U ± Y2 Y1 = G1 ⋅ (U ± G2Y1 ) ,

Y1  G1 ⋅ G2 ⋅ Y1 = G1U Y2(s) G2(s)

G(s)

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Y (s) =

G1 (s) U(s) 1  G1 (s)G2 (s)    G(s)

4. Beschreibung im Bildbereich

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 4-10

4. Verlegen von Blöcken U1(s)

U1(s)

G(s) Y(s)

Y(s) G(s) U2(s)

U2(s)

G(s)

Y = G ⋅ (U1 + U2 ) = GU1 + GU2 U1(s)

U1(s)

Y(s)

G(s)

G(s)

Y(s)

U2(s)

G-1(s)

U2(s)

Y(s)

Y(s) G(s)

U(s)

U(s)

G(s)

U(s) G-1(s)

U(s)

4.4

Exkurs: Signale im Bildbereich

Im Bildbereich können auch abschnittsweise definierte Signalverläufe dargestellt werden, die nicht stetig oder differenzierbar sein müssen. Beispiel 4-2: Abschnittsweise definierter Signalverlauf

1

u(t)

0

1

2

3

4

t

Mit wachsender Zeit t lässt sich aus dem Diagramm ablesen: u(t ) = σ (t − 1) − (t − 2) ⋅ σ (t − 2) + (t − 3)σ (t − 3)

Mit Hilfe der Verschiebungsregel (Regel 3) sowie mit den Korrespondenzen 2 und 3 erhält man im Bildbereich eine geschlossene Darstellung: U(s) =

1 −s 1 − 2s 1 − 3s e − e + e 2 s s s2

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5. Beschreibung durch den Frequenzgang

5 5.1

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-1

Beschreibung durch den Frequenzgang Definition

Ein lineares, zeitinvariantes System wird durch ein harmonisches Signal angeregt. In komplexer Schreibweise lautet das Eingangssignal

u(t ) = u0 ⋅ e

jωt

mit der komplexen Amplitude u0 und der Kreisfrequenz ω. Ist das System zusätzlich stabil (s. Kapitel 5), so ist das Ausgangssignal nach dem Abklingen der Wirkungen der Anfangsbedingungen ebenfalls ein harmonisches Signal:

y(t ) = A(ω) ⋅ u0 ⋅ e

j(ωt + ϕ(ω))

Das Verhältnis A(ω) der Amplituden zwischen Aus- und Eingang sowie die Phasendifferenz ϕ(ω) zwischen Aus- und Eingang definieren den Frequenzgang:

G( jω) = A(ω) ⋅ e

ϕ(ω)

Bei harmonischer Anregung u(t) gilt also für den Systemausgang:

y(t ) = G( jω ) ⋅ u(t ) Diese Betrachtung wurde ausschließlich im Zeitbereich durchgeführt. Es kann gezeigt werden (s. Vorlesung!), dass der Frequenzgang stabiler Systeme aus der Übertragungsfunktion im Bildbereich bestimmt werden kann:

G( jω) = G(s) s = jω

Beispiel 5-1: Harmonische Anregung eines Feder-Masse-Schwingers

u(t)

Die vertikale Position u(t) des Aufhängepunktes eines Feder-Masse-Schwingers wird bewegt, um das System anzuregen. Die Anregung u(t) ist ein harmonisches Signal. Die vertikale Position der Masse y(t) wird gemessen.

y(t)

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5. Beschreibung durch den Frequenzgang

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-2

Messungen:

ω = T=



ω

=

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

2,0

10,0

31,42

15,71

10,47

7,85

6,28

5,24

4,49

3,14

0,63

A(ω) ≈

φ(ω) ≈

A(ω)dB ≈

5.2

Ortskurve

Die Ortskurve ist der Kurvenzug, der vom Frequenzgang G(jω) in der komplexen Ebene geschrieben wird, wenn die Anregungsfrequenz ω im Bereich 0 ≤ ω ≤ ∞ variiert wird. Beispiel 5-1 (Fortsetzung): Ortskurve

j Im

1

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2

Re

5. Beschreibung durch den Frequenzgang

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-3

Anfang und Ende der Ortskurve für rationale Frequenzgänge: Gegeben ist der Frequenzgang eines dynamischen Systems G( jω ) =

mit

m 0 : Das Totzeitglied führt zu einer mit der Frequenz ω linear wachsenden negativen Phasendrehung. Daher kann kein Eintrittswinkel berechnet werden und die Ortskurve läuft spiralförmig in den Ursprung ein.

Verlauf der Ortskurve •

Bei reinen Verzögerungsgliedern ( m = 0 ) ist der Amplituden- und Phasenverlauf monoton fallend. Das bedeutet für die Ortskurve, dass sie im Uhrzeigersinn um den Ursprung läuft und mit wachsender Frequenz ω immer näher an den Ursprung herankommt.

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5. Beschreibung durch den Frequenzgang

5.4

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-4

Bode-Diagramm

Definition Das Bode-Diagramm ist eine graphische Darstellung des Frequenzgangs G(jω) getrennt nach •

Amplitudenverlauf A(ω) und



Phasenverlauf ϕ(ω)

über der Kreisfrequenz ω. Die Kreisfrequenz ω wird logarithmisch aufgetragen. Die Amplitude wird ebenfalls logarithmisch in Dezibel (dB) dargestellt: AdB (ω ) = 20 ⋅ log A(ω )

Bode-Diagramme häufig verwendeter Übertragungsglieder Die Bode-Diagramme häufig verwendeter Übertragungsglieder sind in Kapitel 1 (Seiten 1-5 bis 1-11) dargestellt. Für alle Glieder bis auf das Totzeit-Glied kann ein asymptotischer Amplituden- und Phasenverlauf angegeben werden, der ein schnelles, überschlägiges Zeichnen der Bode-Diagramme ermöglicht. Rechenregeln Serienschaltung: Für die Reihenschaltung von n Übertragungsgliedern mit G( jω ) = G1 ( jω ) ⋅  ⋅ G n ( jω ) können der Amplituden- und Phasenverläufe addiert werden: AdB (ω ) = AdB,1 (ω ) +  + AdB, n (ω ) , ϕ(ω ) = ϕ1 (ω ) +  + ϕ n (ω )

Inversion: Das Bode-Diagramm eines inversen Übertragungsgliedes mit G( jω) = G1−1 ( jω) erhält man aus der Spiegelung des Amplituden- und Phasenverlaufs an der 0db bzw. 0°-Linie: AdB (ω ) = − AdB,1 (ω ) , ϕ(ω ) = −ϕ1 (ω )

Beispiel 5-1 (Fortsetzung): Bode-Diagramm Beispiel 5-3: Konstruktion des Bode-Diagramms Gegeben ist folgendes System:

u

mit

G1 ( jω ) = 1 + 2 jω

G1(s) und

G2 ( jω ) =

G2(s) 10 (1 + 10 jω )(1 + 0,2 jω )

Zeichnen Sie die asymptotischen Amplituden- und Phasenverläufe.

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y

5. Beschreibung durch den Frequenzgang

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-5

A(ω)dB +20

0

–20

–40

–60

0,01

2

3

5

8

2

3

5

8

0,1

2

3

5

8

2

3

5

8

1

2

3

5

8

2

3

5

8

10

2

3

5

2

3

5

100

φ (ω)

0,01

0,1

1

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10

100

5. Beschreibung durch den Frequenzgang

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 5-6

A(ω)dB +20

0

–20

–40

–60

0,01

2

3

5

8

2

3

5

8

0,1

2

3

5

8

2

3

5

8

1

2

3

5

8

2

3

5

8

10

2

3

5

2

3

5

100

φ (ω)

0,01

0,1

1

Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

10

100

6. Analyse von Systemeigenschaften

6 6.1

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-7

Analyse von Systemeigenschaften Definition der Stabilität

Beispiel 6-1: Stabilitätseigenschaften eines Pendels Im Bild wird ein Pendel der Länge L mit einer punktförmigen Masse m in zwei verschiedenen Winkelpositionen dargestellt.

Die (nichtlineare) Differentialgleichung des Pendels mit einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung d lautet:

ϕ(t ) + dϕ(t ) +

g sin ϕ(t ) = 0 L

Das System soll für die folgenden 3 speziellen Fälle hinsichtlich seiner Stabilität untersucht werden:

System 1 – Linearisierung im unteren Arbeitspunkt ϕ 0 = 0 :

ϕ(t ) + dϕ(t ) +

g ϕ(t ) = 0 L

System 2 – Ungedämpftes Pendel (d = 0), linearisiert im unteren Arbeitspunkt:

ϕ(t ) +

g ϕ(t ) = 0 L

System 3 – Linearisierung im oberen Arbeitspunkt ϕ 0 = π :

ϕ(t ) + dϕ(t ) −

g ϕ(t ) = 0 L

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6. Analyse von Systemeigenschaften

6.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-8

Stabilitätsbedingungen Stabilitätsdefinition

Stabilitätsbedingung im Zeitbereich (Gewichtsfunktion)

(asymptoDer Ausgang des nicht antisch) stabil geregten Systems klingt nach einer beliebigen Anfangsauslenkung asymptotisch auf Null ab:

im Bildbereich (für rationale Übertragungsglieder)

Die Gewichtsfunktion klingt asymptotisch auf Null ab:

Falls alle Pole der Übertragungsfunktion G(s) in der linken komplexen Ebene liegen.

lim g(t ) = 0

t →∞

lim y(t ) = 0

t →∞

grenzstabil

Der Ausgang des nicht angeregten Systems bleibt nach einer beliebigen Anfangsauslenkung für wachsende Zeiten t in endlichen Grenzen:

Falls alle Pole der Übertragungsfunktion G(s) in der linken komplexen Ebene oder auf der imaginären Achse liegen, wobei die Pole auf der imaginären Achse alle einfach sind.

Die Gewichtsfunktion bleibt für wachsende Zeiten t in endlichen Grenzen:

lim g(t ) ≤ C < ∞

t →∞

lim y(t ) ≤ C < ∞

t →∞

instabil

Der Ausgang des nicht angeregten Systems strebt nach einer beliebigen Anfangsauslenkung mit wachsender Zeit t gegen Unendlich:

Die Gewichtsfunktion strebt mit wachsender Zeit t gegen Unendlich:

Falls mindestens ein Pol der Übertragungsfunktion G(s) in der rechten komplexen Ebene liegt oder ein mehrfacher Pol auf der imaginären Achse vorhanden ist.

lim g(t ) → ∞

t →∞

lim y(t ) → ∞

t →∞

6.3

Pol-Nullstellen-Plan

Im Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) werden die Pole (Symbol: „x“) und Nullstellen (Symbol: „o“) einer rationalen Übertragungsfunktion graphisch in der komplexen Ebene dargestellt. Daraus lassen sich die wesentlichen dynamischen Eigenschaften (wie Stabilität oder Schwingungsfähigkeit) direkt ablesen. Polkonfiguration und Zeitverhalten PN-Bild

Zeitverhalten (homogenes System nach Anfangsauslenkung) Im

1 0.8 0.6

y(t) 2.5

Pole auf reeller Achse Re{sk}0

0.4 0.2

12 10

0

Re

-0.2 -0.4 -0.6

8 6

instabil

4 2

-0.8 -1 -3.5

0

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

1.5

Im

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t

4

y(t) ein Pol mit

1 0.8

4 3.5 3

0.6

Re{sk}=0

0.4 0.2

2.5 2 1.5

0

Re

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

1 0.5

grenzstabil

0

t

-0.5 -1 -2

0.5

Im

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y(t) konj. komplexes Polpaar

1.5

1

2.5 2 1.5

0.5

1 0.5

0

Re

-0.5

-1

0

asymptotisch stabil

t

-0.5 -1

-1.5 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

-1.5

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y(t)

Im konj. komplexes Polpaar

1.5

1

0.5

3

2

1

0

0

Re

-0.5

-1

-1.5 -1

0

grenzstabil

t

-1

-2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3

Im

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y(t)

1.5

konj. komplexes Polpaar

1

0.5

30

20

10

0

Re

-0.5

0

instabil

-1

t

-10

-20 -1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-30

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0

5

10

15

6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-10

Beispiel 6-2: Feder-Masse-Dämpfer-System Das dynamische Verhalten des Feder-MasseDämpfer-Systems in nebenstehendem Bild soll analysiert werden.

(nach Lunze: Regelungstechnik 1)

Eingangsgröße ist die vertikale Position u(t) der Aufhängung; als Ausgangsgröße y(t) wird die vertikale Position der Masse m0 definiert. Die Modellbildung ist auf Basis der Bewegungsgleichungen für m1 1 (t ) = c1 (u(t ) − x1 (t )) + c 2 (y(t ) − x1 (t )) m1 x

und für m0 m0 y(t ) = c 2 (x1 (t ) − y(t )) + d (x 2 (t ) − y (t ))

sowie mittels der Kräftebilanz im Punkt P 0 = c 0 (u(t ) − x 2 (t )) + d (y (t ) − x 2 (t ))

möglich. Im zugehörigen Simulink-Blockschaltbild werden drei Subsysteme und deren Wechselwirkung deutlich: Masse m1 und Federn c1, c2

Masse m0

Dämpfer d und Feder c0

Für die Parameter m0 = m1 = c 0 = c1 = c 2 = d = 1 lautet die zugehörige Übertragungsfunktion: G(s) =

s 3 + 3s + 1 s 5 + s 4 + 4s 3 + 3s 2 + 3s + 1

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6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-11

Zugehöriger PN-Plan (Matlab-Funktion pzmap):

Sprungantwort h(t) des Systems (Matlab-Funktion Step):

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6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-12

Systemantwort auf die aufklingende, harmonische Anregung u(t ) = e δt sin(ωt ) (mit δ = 0,16109267731304, ω = 1,75438095978372, mittels Matlab-Funktion lsim):

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6. Analyse von Systemeigenschaften

6.4

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-13

Stabilitätskriterium nach Hurwitz

(nach A. Hurwitz, 1895) Für das System mit der rationalen Übertragungsfunktion (ohne Totzeit)

G(s) =

b0 + b1 s +  + bm s m a0 + a1 s +  + an s n

soll geprüft werden, ob es (asymptotisch) stabil ist. Haben Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion keine gemeinsamen Nullstellen, kann die Stabilitätsuntersuchung auf Basis der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms

p(s) = a0 + a1 s +  + an s n durchgeführt werden. Zur Eindeutigkeit wird a0 > 0 vorausgesetzt (gegebenenfalls mit „– 1“ multiplizieren!).

Notwendige Bedingung: Ist das System (asymptotisch) stabil, so müssen alle Koeffizienten ai des charakteristischen Polynoms vorhanden und positiv sein: ai > 0 für i = 1,..., n

Sobald dies für ein ai nicht erfüllt ist, kann das System also auch nicht stabil sein!

Hinreichende Bedingungen: Das System ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn zusätzlich zur notwendigen Bedingung die nachfolgend aufgeführten hinreichenden Bedingungen erfüllt sind:

n=

Hinreichende Bedingungen

2

– keine weiteren Bedingungen –

3

a1 a2 − a0 a3 > 0

4

a1 (a2 a3 − a1 a4 ) − a0 a32 > 0

5

a3 a4 − a2 a5 > 0 und

(a1 a2 − a0 a3 ) (a3 a4 − a2 a5 ) − (a1 a4 − a0 a5 )2 > 0

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6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-14

Eine allgemeine Formulierung der hinreichenden Bedingungen für Systeme beliebiger Ordnung n liefert das folgende Hurwitz-Schema. (Für Systeme der Ordnung n ≤ 5 sind die Bedingungen äquivalent zu den vorstehenden.) Aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung wird die folgende Determinante mit n Zeilen und n Spalten gebildet:

a1 a0 0 Hn = 0 0 0 

a3 a2 a1 a0 0 0 

a5 a4 a3 a2 a1 a0 

a7 a6 a5 a4 a3 a2 

      

Man bildet daraus zusätzlich alle „linken oberen“ Unterdeterminanten, also:

H1 = a1 ,

H2

a = 1 a0

a3 , a2

a1

H3 = a0 0

a3

a2 a1

a5

a4 , usw. a3

Das System (mit a0 > 0 ) ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn alle Determinanten positiv sind: H1 > 0 , H2 > 0 , H3 > 0 , ... , H n > 0

6.5

Stabilitätskriterium nach Nyquist

Mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums wird das Stabilitätsverhalten von rückgekoppelten Systemen untersucht, die folgende Form haben: u

G0(s)

y

Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ist G0(s), sie kann auch eine Totzeit beinhalten. Die Stabilitätsaussage wird für den geschlossenen Kreis (rückgekoppeltes System) getroffen! Idee Aus dem Blockschaltbild erhält man als Übertragungsfunktion: G0 (s) Y (s) = U(s) 1 + G0 (s)

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6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-15

Damit das rückgekoppelte System stabil ist, müssen die Pole si dieser Übertragungsfunktion in der negativen Halbebene liegen – das sind die Lösungen aus 1+ G0(si) =0. D.h. sie liegen immer links der Stabilitätsgrenze (mit steigendem ω). Diese Orientierung muss bei einer Abbildung mit G0(s) erhalten bleiben: Die Pole des rückgekoppelten Systems werden mit G0(si) alle in –1 abgebildet, und die Stabilitätsgrenze j ω entspricht mit G0(jω) der Ortskurve zu G0. Folglich muss der „kritische Punkt“ –1 wiederum links der Orktskurve liegen.

Für den Beweis muss die Abbildung der komplexen Funktion G0(s) genau diskutiert werden! Nyquistkriterium in Ortskurvendarstellung Ist die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G0(s) stabil und besitzt die Ortskurve keine „zu komplizierte“ Gestalt, dann ist der geschlossene Kreis genau dann stabil, wenn die Ortskurve den kritischen Punkt –1 links liegen lässt. Beispiele [aus: Unbehauen, Regelungstechnik I]:

stabil

stabil

instabil

instabil

stabil

instabil

stabil

instabil

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6. Analyse von Systemeigenschaften

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 6-16

Nyquistkriterium im Bode-Diagramm Folgende Zusammenhänge bilden die Ortskurve in das Bode-Diagramm ab: •

Der Einheitskreis in der Ortskurve (A(ω) = 1) entspricht der 0dB-Linie im Amplitudenverlauf des Bode-Diagramms.



Die negative reelle Achse in der Ortskurve (ϕ(ω) = –180°) entspricht der –180°-Linie im Phasenverlauf des Bode-Diagramms.



Der kritische Punkt –1 in der Ortskurvendarstellung entspricht also einer der Amplitude AdB = 0 dB und der Phase ϕ = –180° im Bode-Diagramm.

Im einfachen (und durchaus häufigen) Fall, dass die Ortskurve den Einheitskreis nur einmal schneidet, lässt sich das Nyquistkriterium leicht auf die Darstellung im Bode-Diagramm anwenden: Die Frequenz, bei der die Ortskurve den Einheitskreis schneidet wird als Durchtrittsfrequenz ωD bezeichnet. Dies entspricht dem Schnitt des Amplitudenverlaufs mit der 0dB-Linie im BodeDiagramm. Das System ist genau dann stabil, wenn die Phase in diesem Punkt gilt:

ϕ(ωD) > –180° Im stabilen Fall wird im Punkt der Durchtrittsfrequenz die Phasendifferenz zu –180° als Phasenreserve ϕR bezeichnet:

ϕR = ϕ(ωD) – (–180°) Stabiler Fall

Instabiler Fall

ω = ωD

Einheitskreis

-1

ϕR

-1

ϕ(ωD)

ω = ωD

ϕ(ωD) G(jω)

G(jω)

0dB

0dB





ϕ(ω)

ϕ(ω) ϕ(ωD) -180°

Einheitskreis

ϕR

-180° ϕ(ωD)

ωD

ω

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ωD

ω

7. Sensoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-1

Teil B: Messsysteme 7 7.1

Sensoren Grundlagen des Messens

In diesem Abschnitt werden wesentliche Begriffe der Messtechnik eingeführt. Einige Definitionen wurden von Wikipedia übernommen. Messung Eine Messung ist das Ausführen von geplanten Tätigkeiten zu einer quantitativen Aussage über eine Messgröße durch Vergleich mit einer Einheit. Dabei ist die Messgröße jene physikalische Größe, der die Messung gilt. Die Bezeichnungen für die Messtechnik werden für Deutschland in der DIN-Norm DIN 1319 definiert. Man spricht übrigens von Messung und nicht von Vermessung; letzteres ist ein Synonym für die Geodäsie. Die „Wissenschaft vom Messen und ihre Anwendung“ wird als Metrologie bezeichnet. Messmittel, -einrichtung und -gerät Ein Messmittel ist gemäß der Norm DIN 1319-2 ein Messgerät, eine Messeinrichtung, ein Normal, ein Hilfsmittel oder Referenzmaterial, das bzw. die zur Ausführung einer Aufgabe in der Messtechnik notwendig ist. Geräte zum Zählen (z. B. in der digitalen Messtechnik), zur Kalibrierung, Justierung oder Prüfung sind ebenfalls Messmittel. Zu den Hilfsmitteln zählen auch begleitende Dokumente oder Programme. Die Qualität der Messmittel wird durch regelmäßige Messmittelüberwachung sichergestellt. Messmittel für Prüfungen werden auch als Prüfmittel bezeichnet. Eine Messeinrichtung ist in den „Grundlagen der Messtechnik“ in DIN 1319 als „Gesamtheit aller Messgeräte und zusätzlicher Einrichtungen zur Erzielung eines Messergebnisses“ definiert. Messgeräte dienen zur Bestimmung geometrischer oder physikalischer Größen. Eichung und Kalibration Eichung ist die vom Gesetzgeber vorgeschriebene Prüfung eines Messgerätes auf Einhaltung der zugrundeliegenden eichrechtlichen Vorschriften, insbesondere der Eichfehlergrenzen nach dem Mess- und Eichgesetz. In Deutschland ist die Eichung nach dem Eichgesetz eine hoheitliche Aufgabe. Mit einem Eichzeichen wird die voraussichtliche Einhaltung für die Gültigkeitsdauer der Eichung bestätigt. Eichungen werden in der Bundesrepublik Deutschland von den Landeseichämtern und staatlich anerkannten Prüfstellen unter fachlicher Aufsicht durch die Physikalisch-Technische Bundesanstalt durchgeführt. Eine Eichung ist eine gesetzlich vorgeschriebene und auf nationale Standards verweisende Kalibrierung mit einer entsprechenden Kennzeichnung des geeichten Objekts. Oft wird der Begriff Eichung falsch für Kalibrierung verwendet. Die Prüfung von Messgeräten, bei welcher das Verfahren die gesetzlichen Vorgaben formal nicht erfüllt, oder für die es keine Eichpflicht nach dem Eichgesetz gibt, ist dann eine Kalibrierung, wenn ansonsten ein zuverlässig reproduzierbarer Vergleich mit einem geeigneten Normal durchgeführt wird. Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

7. Sensoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-2

Messen metrischer Größen Eine metrische Größe zu messen heißt, ihre Ausprägung quantitativ zu erfassen. Dafür wird die Messgröße mit einer zuvor vereinbarten Maßeinheit – dem Normal (engl. measurement standard) – verglichen: Messgröße = Zahlenwert · Maßeinheit Der Zahlenwert der Messgröße gibt dabei an, wie oft in der Messgröße die Maßeinheit enthalten ist. [aus: Puente León, Messtechnik] Metrisches Einheitensystem Ein metrisches Einheitensystem, kurz metrisches System, ist ein Einheitensystem mit dem Meter als Basiseinheit für die Länge einer Strecke. Das erste metrische Einheitensystem wurde 1793 in Frankreich im Zuge der französischen Revolution eingeführt und wird heute in fast allen Ländern verwendet. Es löste auf den Menschen bezogene Maße (z.B. „Elle“ oder „Fuß“) und regionale Maße (z.B. „Bremer Elle“) ab. Damit wurde eine einfache und internationale Vergleichbarkeit erreicht. Im Unterscheid zu anderen Einheitensystemen werden im metrischen Einheitensystem sehr große oder sehr kleine Werte strikt als dezimale Vielfache oder dezimale Bruchteile angegeben. Dazu dient ein System von Vorsätzen für Maßeinheiten: Vorsätze Vorsatz

Zeichen

Faktor

Vorsatz

Zeichen

Faktor

Dezi

d

10–1

Deka

da

101

Zenti

c

10–2

Hekto

h

102

Milli

m

10–3

Kilo

k

103

Mikro

µ

10–6

Mega

M

106

Nano

n

10–9

Giga

G

109

Piko

p

10–12

Tera

T

1012

Femto

f

10–15

Peta

P

1015

Atto

a

10–18

Exa

E

1018

Zepto

z

10–21

Zetta

Z

1021

Yokto

y

10–24

Yotta

Y

1024

Heute ist das Internationale Einheitensystem oder SI (Système international d’unités) das am weitesten verbreitete Einheitensystem für physikalische Größen. Es beruht auf den nachfolgend definierten sieben Basiseinheiten.

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7. Sensoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-3

SI-Basiseinheiten Basiseinheit

Definition [aus: Puente León, Messtechnik]

Meter

Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in einem Intervall von (1/299 792 458) Sekunden durchläuft. Die Meterdefinition weist der Lichtgeschwindigkeit c0 einen festen Wert zu. Diese Fundamentalkonstante kann somit nicht mehr gemessen werden, sie ist jetzt exakt vorgegeben. Hieraus folgt, dass die Längeneinheit von der Zeiteinheit Sekunde abhängt.

Kilogramm

Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

Sekunde

Die Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.

Ampere

Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern mit je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10−7 Newton hervorrufen würde.

Kelvin

Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Temperaturdifferenzen dürfen auch in Grad Celsius, mit dem Einheitenzeichen °C, angegeben werden.

Mol

Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

Candela

Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlungsstärke in dieser Richtung 1/683 Watt durch Steradiant beträgt.

Die drei Basiseinheiten Kilogramm, Sekunde und Kelvin sind unabhängig von anderen Basiseinheiten definiert, während die Definitionen der übrigen Basiseinheiten Abhängigkeiten von anderen Basiseinheiten aufweisen: • • •

Meter von Sekunde Mol von Kilogramm Ampere sowie Candela von Meter, Kilogramm und Sekunde

Heute wird nur noch die Einheit Kilogramm anhand eines Prototyps definiert. Alle anderen Einheiten werden über unveränderliche Naturkonstanten festgelegt Abgeleitete Einheiten Alle anderen Einheiten lassen sich daraus durch Multiplikationen und Divisionen kohärent (ohne Proportionalitätsfaktoren) ableiten und werden daher als abgeleitete Einheiten bezeichnet.

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7. Sensoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-4

Direkte und indirekte Messung Bei einer direkten Messung kann das Messergebnis unmittelbar am Messmittel abgelesen werden. Das ist z.B. bei der Längenmessung mit einem Maßband der Fall, aber auch beim Messen einer Masse mit einer Balkenwaage im direkten Vergleich zu Gewichtssteinen. Bei einer indirekten Messung das Resultat erst nach Zwischenstufen vor. Dabei werden zunächst Zwischengrößen ermittelt, die schließlich in die eigentlich gesuchte Messgröße gewandelt werden. Es entsteht eine Messkette. Eine Masse kann beispielsweise mit Hilfe einer Federwaage bestimmt werden. Dann wird zunächst die Auslenkung der Feder gemessen, bei bekannter Federkonstante auf die Gewichtskraft geschlossen und bei bekannter Erdbeschleunigung auf die entsprechende Masse berechnet. Fertigungs- und Prozessmesstechnik In der Fertigungs- oder Produktionstechnik werden Messungen durchgeführt, um aktuelle Informationen über den Zustand der Strecke zu erhalten. In der Regel werden indirekte Messungen verwendet, um die Strecke durch einen Sensor zu erfassen und das Ergebnis nach einer Sensorsignalverarbeitung nutzen zu können. Das Blockschaltbild aus Abschnitt 1.1 ist um mögliche Aufgaben der gemessenen Größen ergänzt:

Zu unterscheiden ist, ob die Messung zeitgleich während der Fertigung durchgeführt werden kann (in-line oder in-prozess) oder ob sie erst nach Abschluss eines Fertigungsschrittes z.B. in einem separaten Messraum oder Labor möglich ist (post-prozess). Wird die Messung für eine Regelung benötigt, spielt auch die Rechtzeitigkeit der Messung eine wesentliche Rolle (Echtzeitfähigkeit und geringe Totzeiten von Sensor und Signalverarbeitung).

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7. Sensoren

7.2

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 7-5

Messprinzipien mit Sensorbeispielen

Kinematische Größen Beschreiben die Eigenschaften einer Bewegung. Die Bewegung kann translatorisch oder rotatorisch sein. Durch zeitliche Differentiation können Wege in Geschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeiten in Beschleunigungen umgerechnet werden. Aber: durch die Differentiation wird Messrauschen verstärkt! Der umgekehrte ist durch zeitliche Integration möglich. Aber: Der Anfangswert (Integrationskonstante) ist unbekannt; praktisch entsteht dadurch unter Umständen eine Drift. Längen Dehnungsmessstreifen (DMS)

Wird auf Oberflächen von Bauteilen aufgeklebt und erfasst dort dehnende oder stauchende Längenänderungen. Es werden kleine Änderungen z.B. für eine Kraftmessung erfasst. Typische Struktur eines metallischen Folien-DMS mit mäanderförmigem Widerstandsdraht. Eine Längung vermindert den Querschnitt und erhöht die Länge des Drahtes. Beides erhöht den elektrischen Widerstand, der meist in einer Brückenschaltung gemessen wird.

Potentiometer (tranlatorisch)

Zwischen den Endpunkten eines linearen Schiebepotentiometers wird eine elektrische Spannung angelegt, so dass ein kontinuierlicher Spannungsteiler entsteht. Der Schieber greift die Spannung an der aktuellen Position ab. Das Potentiometer ist mit Reibung behaftet und erlaubt eine wenig präzise aber kostengünstige Positionsmessung.

Kapazitive Abstandssensoren

Die Kapazität eines Kondensators ändert sich mit einem Abstand, da

Induktive Abstandssensoren

Abstandsabhängige Induktivität einer Spule.

Pneumatische Abstandssensoren

Kleine Abstände (z.B. der Durchmesser einer Bohrung) können pneumatisch bestimmt werden: Ein Messdorn mit einer Öffnung, über die Luft ausströmt wird in die Bohrung eingeführt. Bei konstantem Druck ist der Volumenstrom der Luft ein Maß für den Bohrungsdurchmesser.

Inkrementell Wegmessung

Zählendes Messverfahren, ein Encoder zählt Striche eines Maßstabs. Dies kann optisch aber auch magnetisch geschehen.

Optische Interferometrie

Ein zählendes, berührungsloses Messverfahren: Mit Hilfe eines Interferometers werden die Perioden einer stehenden Lichtwelle gezählt. Das Verfahren ist prinzipiell sehr präzise, für die Lichtwelle (z.B. 632 nm für Rot) kann darüber hinaus die Phasenlage bestimmt werden.

Akustische Laufzeitmessung

Entfernungen können über die Laufzeit eines akustischen Signals bestimmt werden (auch mit Ultraschall). Schallgeschwindigkeit hängt stark von Temperatur und z.B. Luftdruck ab. Unterwasser geeignet.

Laufzeitmessung mit elektromagnetischen Wellen

Auch elektromagnetische Wellen können zur Laufzeitmessung verwendet werden. Satelliten-Navigationssysteme arbeiten nach diesem Prinzip. Genauigkeit nicht unter 10 cm.

• • •

der Abstand zwischen den Elektroden geändert wird, ein Dielektrikum eingebracht wird, die wirksame Plattenfläche sich ändert.

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7. Sensoren

Optische Triangulation

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Ein (Laser-)strahl erzeugt auf die Oberfläche der Referenz einen Punkt, der von einer Sensor unter einem anderen Winkel beobachtet wird. Die Lage des Punktes ist ein Maß für den Abstand. Dies kann nicht nur für einen Punkt, sondern auch für eine Linie oder eine Fläche (strukturiertes Licht, Streifenprojektion) durchgeführt werden.

Optische Speckle-Messung

Speckle-Muster entstehen durch die Beleuchtung rauer Oberflächen. Relative Verschiebungen können durch die Korrelation zweier Speckle-Bilder erfasst werden (Prinzip einer optischen Maus).

Optische Kamera

Eine optische Kamera mit entsprechender Bildauswertungssoftware kann zur Bestimmung von Abständen verwendet werden und stellt einen preiswerten berührungslosen Sensor da.

Odometrie

Bei Fahrzeugen kann der zurückgelegte Weg über die Drehung der Räder (näherungsweise) bestimmt werden.

Winkel Potentiometer (rotatorisch)

Sehr einfache, reibbehaftete Winkelmessung.

Neigungssensor

Erfasst den (oder die) Winkel zum Vektor der Erdbeschleunigungen. Wird durch Intertialsensor (s.u.) realisiert.

(Auch weitere translatorische Prinzipien sind übertragbar!)

Geschwindigkeiten Anemometer

Zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Gasen und Flüssigkeiten.

Winkelgeschwindigkeiten Tachogenerator

Die induzierte Ankerspannung eines (Gleichstrom-)Generators ist proportional zur Drehzahl.

(Winkel-)Beschleunigungen Inertialsensor

Beschleunigungen werden durch die Kraftwirkung auf eine bekannte Porbenmasse bestimmt. Diese Masse wird federnd gelagert und die Auslenkung bestimmt. Als Mikrosysteme verfügbar.

Messung von Kräften, Momenten und Massen Messung von Kräften und Momenten Dehnungsmessstreifen (DMS)

Die Wirkung von Kräften oder Momenten werden meist über die Längenänderung eines elastischen Bauteils bestimmt. Dazu muss die Elastizität (oder Federkonstante) bekannt sein. DMS werden auf die Bauteiloberfläche geklebt (Prinzip s.o.).

Piezo

Piezo-Kristalle können als Aktor oder Sensor verwendet werden. Eine äußere Kraft führt zu einer Verformung des Sensors, dies führt zu einer Änderung der Polarisation im inneren (Piezo-Effekt) und einer elektrischen Spannung.

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7. Sensoren

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Messung von Massen Balkenwaage

Die unbekannte Masse wird durch kalibrierte Wägestücke (Gewichtsnormale) aufgewogen. Auch industrielle Wägezellen (s. Bild) arbeiten nach diesem Prinzip. Anstelle der Wägestücke kann auch eine elektrisch erzeugte kompensatorische Kraft verwendet werden.

Federwaage

Bestimmung einer Masse durch die Kraftwirkung im Schwerefeld der Erde.

Messung thermodynamischer Größen Messung von Drücken Drucksensor mit Membran

Wegänderung der Membran wird gemessen.

Messung von Temperaturen Temperaturabhängiger Widerstand (z.B. PT 100)

Platin-Messwiderstände sind Temperatur-Sensoren, die als Messeffekt die Abhängigkeit des elektrischen Widerstands von der Temperatur bei Platin anwenden. Sie sind ausgelegt zum Einbau in industrielle Widerstandsthermometer oder in eine integrierte Schaltung. Sie haben weite Verbreitung gefunden und sind in der EN 60751 genormt. Durch ihre geringen Grenzabweichungen sind sie in aller Regel austauschbar ohne Neukalibrierung. [Wikipedia] PT100-Sensoren haben einen Widerstand von 100 Ω bei 0°C.

Thermoelement

Ein Thermoelement ist ein Paar metallischer Leiter aus unterschiedlichem Material, die an einem Ende verbunden sind und aufgrund des thermoelektrischen Effektes zur Temperaturmessung geeignet sind.

Messung elektrischer Größen Messung von Spannung Spannung

z.B. Mittels Drehspulmessgerät, Oszilloskop, A-D-Umsetzer

Strom

Spannung an stromdurchflossenem Shunt-Widerstand.

Impedanz

Verhältnis von Spannung zu Strom, gemessen für ein elektrisches Bauteil. Bei harmonischer Anregung (Wechselspannung) ggf. in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz.

Elektrisches Feld

Kraftwirkung auf eine Probeladung.

Magnetisches Feld

Wird ein Hall-Sensor von einem Strom durchflossen und in ein senkrecht dazu verlaufendes Magnetfeld gebracht, liefert er eine Ausgangsspannung, die proportional zum Produkt aus magnetischer Feldstärke und Strom ist (Hall-Effekt). [Wikipedia]

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8. Signalwandlung

8

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 8-1

Signalwandlung

8.1

Filterung mittels Operationsverstärker

Operationsverstärker (OPs) sind elektronische Verstärkerschaltungen, die als integrierte Bauteile zur Verfügung stehen (s. Bild). Durch geeignete Beschaltung können damit zahlreiche Aufgaben der Signalanpassung oder -filterung gelöst werden. Der OP wird mit einer symmetrischen Spannung versorgt, z.B. uS+ = +15 V und uS– = –15 V. Die Spannungsdifferenz an den Eingängen wird mit dem Faktor K verstärkt und als Ausgangsspannung uA zur Verfügung gestellt: u A = K (u+ − u− )

Übliches Schaltsymbol:

Zur Berechnung geht man vom idealen OP mit folgenden Eigenschaften aus: • • • •

Die Spannungsverstärkung des OP ist unendlich groß: K → ∞ Entsprechend liegen die Eingänge auf gleichem Potential: u– = u+ Die Eingänge „+“ und „–“ sind hochohmig, so dass kein Strom in die Eingänge fließt. Üblicher Weise wird die Spannungsversorgung uS+ und uS– nicht dargestellt.

Komparator Der Sonderfall eines unbeschalteten OPs stellt einen Komparator dar: Ist die an „+“ anliegende Eingangsspannung größer als die an „–“ anliegende Spannung, wird uA = uS+ ausgegeben, sonst uA = uS–.

Eine zusätzliche Mitkopplung über R2 führt eine Schalthysterese beim Komparator ein:

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8. Signalwandlung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 8-2

Nicht-invertierender Verstärker Eingangsspannung uE liegt an Eingang „+“ an; Gegenkopplung über R2:

Es gilt:  R  u A = 1 + 2 uE R1  

Ein Sonderfall tritt für R1 → ∞ auf: Dann erhält man die Verstärkung 1 und uA = uE. Dieser Spannungsfolger oder Impedanzwandler dient zur Verstärkung der Ströme (niederohmige Last am Ausgang, hochohmiger Eingang). Invertierender Verstärker und Addierer Eingangsspannung uE liegt über einen Spannungsteiler am Eingang „–“ an; Gegenkopplung über R2:

Es gilt: uA = −

R2 uE R1

Der invertierende Verstärker lässt sich um weitere Eingänge ergänzen, die dann summiert werden. Z.B. für 3 Eingänge:

Es gilt: u u u  u A = −R2  e1 + e2 + e3  R13   R11 R12

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8. Signalwandlung

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Tiefpass (PT1-Glied) Führt man einen Kondensator C (als Speicherelement) parallel in die Rückführung ein, lässt sich ein Tiefpass realisieren:

Es gilt im Bildbereich: U A (s) = −

1 R2 UE (s) R1 1 + R2 C s

Wird auf R2 verzichtet ( R2 → ∞ ), erhält man einen Integrator mit: U A(s) = −

1 UE (s) R1 C s

Hochpass (PD1-Glied) Führt man einen Kondensator C seriell in den Eingang ein, erhält man einen Hochpass:

Es gilt im Bildbereich: U A (s) = −

R2 R1 C s UE (s) R1 1 + R1 C s

Wird auf R1 kurz geschlossen (R1 = 0), erhält man einen Differenzierglied mit: U A (s) = −R2 C s UE (s)

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8. Signalwandlung

8.2

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Analog-Digital-Umsetzer

Die „physikalische Welt“ einschließlich der Sensoren lässt sich meist am besten analog beschreiben: Die Messgrößen werden durch zeitkontinuierliche und wertekontinuierliche Werte beschrieben. Der Controller wird heute meist auf einem digitalen Rechner implementiert: Dieser arbeitet zeitdiskret, und die Messwerte werden in einem geeigneten Zahlenformat quantisiert dargestellt. An der Schnittstelle ist also ein Analog-Digital-Umsetzer (ADU) erforderlich, der prinzipiell zwei Funktionen besitzt: Zeitliche Diskretisierung Durch Abtastung wird aus dem zeitkontinuierlichen Signal y(t) eine Zeitreihe (Folge) von Werten y(k) gewonnen. Darin ist k = 0, 1, 2, … ein Zähler über die Abtastungen. In der Regel wird eine äquidistante Abtastung angestrebt

y(k ) = y(t = k T ) mit der konstanten Abtastzeit T. Die Abtastung sollte schnell genug erfolgen, um den zeitlichen Verlauf von y(t) abbilden zu können. Bei einer Unter-Abtastung gehen Informationen verloren.

Bei Messung einer langsam veränderlichen Größe z.B. in einem Klärwerk kann eine Abtastzeit T im Bereich von Minuten ausreichend sein, bei mechatronischen System wird typischer Weise 1 ms verwendet, bei Mikrosystemen oder einem elektrischen Umrichter sind ggf. wenige µs erforderlich. Anmerkung: Von der Abtastzeit ist ggf. eine Verzugszeit (Totzeit, Latenz) der Wandlung zu unterscheiden! Quantisierung ˆ(k ) . Die Differenz zum origiDurch die Quantisierung entsteht ein stufenförmiges Signal y

nalen Signal y(t) entspricht dem Quantisierungsfehler. Nachfolgendes Bild zeigt die Quantisierung auf ganzzahlige Werte (schwarz) nach der Abtastung des Signals (rot).

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8. Signalwandlung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 8-5

Maßgeblich ist die Zahl der Quantisierungsstufen. Einfache Mikrocontroller bieten 8-bitWandler (256 Stufen), häufig werden 16-bit-Wandler (65 536 Stufen) und für anspruchsvolle Aufgaben 24-bit-Wandler (16 777 216 Stufen) verwendet. Anmerkung: Die Zahl der Bits macht keine Aussage über die tatsächliche Genauigkeit. Prinzip bedingt oder durch Störungen können niederwertige Bits nicht zuverlässig sein. Nachfolgend sollen einige Prinzipien zur Digital-Analog-Umsetzung vorgestellt werden: Parallele Wandler Die analoge Eingangsspannung uE wird parallel mit mehreren Referenzspannungen verglichen. Die Referenzspannungen können in äquidistanten Spannungsschritten durch einen Spannungsteiler zur Verfügung gestellt werden (s. Bild). Für den Vergleich werden Komparatoren verwendet. Ermöglicht eine schnelle Wandlung. Das Prinzip ist aber aufwendig, da für n Quantisierungsstufen n–1 Komparatoren benötigt werden.

Serielle Wandler Die analoge Eingangsspannung uE wird mit dem Ausgang uref eines Digital-Analog-Umsetzers vergleichen. Zum Vergleich dient wiederum ein Komparator. Auf Basis des Vergleichsergebnisses sorgt eine Steuerung dafür, dass der digitale Zahlenwert nachgeführt wird. Es entsteht eine rückgekoppelte Struktur:

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8. Signalwandlung

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Zu Nachführung kann im einfachsten Fall ein Zähler verwendet werden (Nachlauf-Umsetzer). Etwas schneller arbeitet die Steuerung nach dem Wägeprinzip: Es werden Zahlenwerte ( = Wägestücke) in gestuften Größen z.B. 20, 21, 22, 23, … so ausgewählt, dass eine bestmögliche Übereinstimmung zwischen uE und uref gefunden wird. Serielle Wandler sind weniger aufwendig, arbeiten aber langsamer. Wandler mit Zeitbasis Grundidee ist, dass die Eingangsspannung uE in ein Zeitintervall gewandelt wird. Zeiten lassen prinzipiell präzise messen und dann in einen Zahlenwert umwandeln. Die Umwandlung von uE in ein Zeitintervall kann über das Laden eines Kondensators oder über den Vergleich mit einem Sägezahn-Signal (s. Bild) erfolgen. Mit Hilfe eines Taktes und eines Zählers wird die Länge des Intervalls in den Zahlenwert umgewandelt.

Delta-Sigma-Wandler Das Eingangssignal uE wird mit dem Ausgang eines 1-bit Digital-Analog-Umsetzers vergleichen (der entweder die untere oder die obere Grenze des Wertebereichs ausgibt). Diese Differenz wird auf einen Integrator gegeben und anschließend durch einen Komparator in einen binären Bitstrom gewandelt. Dieser (hochfrequente) Bitstrom entspricht im zeitlichen Mittel dem digitalisierten Eingangssignal. Ein nachgeschaltetes digitales Filter erzeugt eine entsprechende (niederfrequente) digitale Zahldarstellung.

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9. Messfehler und deren Korrektur

9

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-1

Messfehler und deren Korrektur

9.1

Grundlagen zu Messfehlern

Die Genauigkeit eines Messgerätes ist kein klar definierter Begriff, sondern beschreibt als Oberbegriff den Grad der Übereinstimmung zwischen dem angezeigten und dem wahren Messwert. Er setzt sich zusammen aus: • •

Präzision: Unter gleichen Bedingungen werden gleiche Messwerte erreicht (geringe Streuung) Richtigkeit: Der Messwert entspricht (im Mittel) dem wahren oder richtigen Wert

Nachfolgend sind Kombinationen unterschiedlicher Präzision und Richtigkeit an einem zweidimensionalen Beispiel dargestellt:

Fehler Der Fehler quantifiziert die Abweichung zwischen gemessenem Wert ym und wahrem Wert y. Man unterscheidet den absoluten Fehler e = ym − y

und den relativen Fehler er =

ym − y . y

Vom Hersteller eines Messgerätes wird der maximale Fehler unter Normalbedingungen angegeben. Diese spezifizieren die Bedingungen, unter denen die Messung durchzuführen ist (z.B. Messbereich, Temperaturbereich).

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-2

Fehlerursachen Es kann unterschieden werden, ob die Fehlerursachen bekannt oder unbekannt sind: • •

Systematische Fehler: Die Ursache des Fehlers ist bekannt. Mit entsprechendem Aufwand ist damit prinzipiell eine Kompensation des Fehlers möglich. Zufällige Fehler: Die Ursache des Fehlers ist nicht bekannt, daher zeigt das Messergebnis eine „zufällige“ Streuung.

Diese Unterteilung ist insofern willkürlich, als mit erhöhtem Aufwand die Ursachen für zufällige Fehler gefunden werden könnten und sie dann zu systematischen Fehlern würden. Folgende Fehler können entlang der Messkette auftreten [aus: Puente León, Messtechnik]: •

Innere Störgrößen: Störgrößen treten im Messgerät selbst auf, z.B. verändern sich Parameter durch Alterung oder Verschleiß, thermische Drift durch Erwärmung des Gerätes, physikalisch bedingtes (z.B. thermisches) Rauschen von internen Signalen



Äußere Störgrößen: Störung des Messgerätes durch äußere Einflüsse. Dies könnte eine äußere Wärmestrahlung sein oder elektromagnetische Felder (z.B. ein Netzbrummen von 50 Hz).



Fehler durch Rückwirkung: Die Messeinrichtung benötigt für den Messvorgang eine Leistung, die dem Prozess entzogen wird. Dadurch verursacht der Messvorgang eine Störung des eigentlichen Prozesses. Ziel ist es daher, die benötigte Leistung möglichst gering zu halten.



Fehler durch Modellvereinfachungen: Wird die Messung im Kontext eines Modells interpretiert, können Modellvereinfachungen (Linearisierung, reduzierte Ordnung) zu Abweichungen führen.



Dynamische Fehler: Abweichungen durch das Zeitverhalten des Messsystems. Im einfachsten Fall muss z.B. abgewartet werden, bis sich ein stationärer Endwert eingestellt hat. Beobachtungsfehler: Fehler beim Ablesen oder Bedienen des Messgerätes durch den Nutzer.



9.2

Zufällige Messfehler

Zufällige Messfehler können insbesondere durch innere und äußere Störgrößen hervorgerufen werden und reduzieren die Präzision einer Messung. Korrektur: Mittelwertbildung Die Messung wird unter gleichen Versuchsbedingungen wiederholt. Anschließend wird der Mittelwert über die m durchgeführten Messungen gebildet. Dieser hat eine geringere Streuung (und damit eine bessere Präzision) als die Einzelmessung:

ym =

1 m

m

∑ yi

i =1

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-3

Stochastische Interpretation Die Störgröße und dadurch auch die Messgröße yi werden als stochastische Variable aufgefasst. Deren exakter Wert ist nicht bekannt, eine Verteilungsfunktion definiert die Wahrscheinlichkeit, mit der ein spezieller Wert eingenommen wird. Durch die Messung wird eine Stichprobe mit m Elementen gewonnen. Der Stichprobenmittelwert y m ist eine Näherung des wahren, aber unbekannten Mittelwertes µ. Ebenso ist die Stichprobenvarianz 2 Sm =

(

m 1 ⋅ ∑ yi − y m m − 1 i =1

)

2

eine Näherung der wahren, aber unbekannten Varianz σ2. Entsprechend sind Sm bzw. σ die zugehörigen Standardabweichungen. Es steht somit zusätzlich ein Maß für die Streuung bzw. für die Präzision des Prozesses zu Verfügung. Die Schätzung auf Basis der Stichprobe heißt erwartungstreu, falls gilt:

{ }

{ }

2 E y m = µ und E S m = σ2

Der zentraler Grenzwertsatz der Stochastik sagt: Die Summe aus m stochastisch unabhängigen, beliebig, aber identisch verteilten Zufallsvariablen ist für m → ∞ eine normalverteilte Zufallsvariable. Die Verteilungsfunktion normalverteilter stochastischer Variablen ist durch die Werte von µ und σ eindeutig definiert. Dies im Grenzübergang m → ∞ auch auf den oben durch Summation berechneten Stichprobenmittelwert y m übertragbar. Der Stichprobenmittelwert ist in diesem Fall normalverteilt, und für die Varianz bzw. die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes gilt:

{ }

σ 2 ym =

σ2 m

{ }

bzw. σ y m =

1 m

⋅σ

Soll also beispielsweise die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes um den Faktor 10 reduziert werden, muss die Zahl der Messungen m um Faktor 100 erhöht werden.

9.3

Statische Messfehler

Eine Sensorkennlinie ist innerhalb des Messbereichs [ua ue] durch y=f(u) definiert. Die Empfindlichkeit im Punkt u0 ist die Steigung dieser Kennlinie: S(u0 ) =

∂f(u) ∂u u0

Eine ideale Sensorkennlinie y=f(u) weist innerhalb des Messbereichs [ua ue] lineares Verhalten auf. Für die Empfindlichkeit gilt dann im gesamten Messbereich: S =

ye − ya ue − u a

mit y a = f(u a ) und y e = f(u e )

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-4

Folgende statische Messfehler können auftreten: •

Statt der idealen linearen Kennlinie besitzt der Sensor eine nichtlineare Kennlinie. Dadurch entsteht eine Abweichung (Differenz zwischen roter und blauer Kennlinie im Bild) und die Empfindlichkeit weicht lokal ab.



Es können Hysterese-Effekte auftreten, d.h. er Verlauf der Kennlinie unterscheidet sich abhängig davon, in welcher Richtung (wachsendes oder fallendes u) sie durchlaufen wird. Im Bild ist dies blau gestrichelt dargestellt.



Durch eine innere oder äußere Störung oder eine Rückwirkung kann der Verlauf der Kennlinie verändert werden. Im Bild ist die Verschiebung der nichtlinearen Kennlinie (blau) um einen konstanten Wert („Offset“) als grüne Kennlinie dargestellt.

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: inverse Sensorkennlinie Prinzipiell kann ein Kennlinienverlauf f(u) durch ihre Inverse f–1(y) kompensiert werden. Dazu muss die Kennlinie eindeutig und nicht zu „flach“ oder zu „steil“ sein. Die Inverse kann als Kalibrierkurve in der dem Sensor nachgeordneten Signalverarbeitung abgelegt werden. Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Optimierung des Messbereichs Nimmt man die Kennlinie des Sensors auf, lässt sich zunächst analysieren, in welchem Bereich die Kennlinie ein ausreichend lineares verhalten aufweist. Ist dies groß genug, kann der Sensor so abgestimmt werden, dass er nur in diesem Bereich betrieben wird. Ein Beispiel dazu ist die Herabsetzung des Messereichs durch einen proportionalen Vorfaktor S0 < 1. Damit das Gesamtübertragungsverhalten wieder stimmt wird am Sensorausgang mit S1 = S0–1 korrigiert:

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-5

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Differenzmethode Der Messeffekt ∆u wirkt zum einen positiv auf einen Sensor und zum anderen negativ auf zweiten, baugleichen Sensor. Von beiden Sensorausgängen wird die Differenz gebildet (s. Blockschaltbild). Dadurch kann ein nichtlineares Verhalten der Einzelsensoren kompensiert werden.

Korrektur einer nichtlinearen Kennlinie: Rückkopplung Eine nichtlineare Kennlinie kann über ein lineares Übertragungsglied rückgekoppelt werden:

Entsprechend dem Blockschaltbild gilt für das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems: y =

K 0 S(v ) u 1 + K 0 S(v )

Wird die Verstärkung K0 sehr groß gewählt, gilt K0 S(v) >> 1 und damit im Grenzübergang u = y. Voraussetzung für dieses Konzept ist allerdings, dass die Messeinrichtung eine Kompensation des Messgröße u ermöglicht! Korrektur einer Störung Die beiden letztgenannten Methoden können auch zur Reduktion von Störeinflüssen verwendet werden. • •

Differenzmethode: Wirkt die Störung gleichsinnig auf beide Sensoren, so ist dies eine sehr effiziente Methode, die Wirkung der Störung zu kompensieren. Rückkopplung: Dadurch kann die Wirkung einer Störung reduziert werden. Es hängt allerdings davon ab, wo die Störung wirkt (siehe auch Abschnitt 10.4).

Ist darüber hinaus die Störung explizit messbar, kann sie separat erfasst und anschließend (numerisch) direkt kompensiert werden. Im Kontext von Steuerungen wird dies auch später in Abschnitt 12.3 betrachtet.

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-6

Korrektur von Rückwirkungen Um die Rückwirkung eines Messeingriffs auf den Prozess und die damit verbundenen Fehler zu reduzieren, muss die Leistungsentnahme zur Messung verringert werden. Dies kann z.B. durch einen Messverstärker erfolgen. Beispiel: Messung eines elektrischen Stroms Soll beispielsweise ein elektrischer Strom gemessen werden, wird ein ohmscher (Shunt-)Widerstand zusätzlich in den Stromkreis eingebracht. Es wird die Spannung an diesem Widerstand gemessen, die proportional zum gesuchten Strom ist. Allerdings reduziert der ShuntWiderstand den ursprünglichen Stromfluss (=Rückwirkung). Ein Messverstärker z.B. auf Basis einer OP-Schaltung könnte sehr kleine Spannungen auflösen, so dass ein sehr kleiner Shunt-Widerstand mit entsprechend geringer Rückwirkung verwendet werden kann.

9.4

Dynamische Messfehler

Häufig ist stellt der Sensor für sich ein dynamisches System dar. Im linearen und zeitinvarianten Fall kann die Sensordynamik durch eine Übertragungsfunktion GM(s) beschrieben werden. Ein idealer Sensor besitzt keine Dynamik G M (s) = 1 ,

ein realer wird eine (unerwünschte) Sensordynamik besitzen, die z.B. zu einer Verzögerung oder zu einem Schwingen des Messsignals führt. Als Faustregel gilt, dass die Sensordynamik um Faktor 10 („eine Größenordnung“) schneller als die Dynamik der Strecke sein sollte. Dann kann der Einfluss der Sensordynamik in Bezug auf die Strecke vernachlässigt werden. Auch äußere oder innere Störungen können zu dynamischen Messfehlern führen. Als Modell kann man annehmen, dass das gemessene Signal aus der Überlagerung eines idealen (unbekannten Signals y0(t) und einer Störung z(t) entsteht: y(t ) = y 0 (t ) + z(t )

Für z(t) kann der Frequenzgang Z(jω) bestimmt werden. Man kann auf dieser Basis z.B. niederfrequente und hochfrequente Störungen unterscheiden. Beispiel: Intertialsensor Um eine Beschleunigung messen zu können, wird die Kraftwirkung auf eine bekannte Probemasse bestimmt. In einem Mikrosystem (siehe Bild) wird die Probemasse an einer Feder (mit bekannter Federkonstante) gelagert und die Federauslenkung durch einen kapazitiven Wegaufnehmer gemessen. Das gemessene Signal y(t) hat z.B. folgenden Verlauf:

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-7

Korrektur: Optimierung der Sensordynamik Als erste Korrekturmaßnahme sollte geprüft werden, ob z.B. durch eine konstruktive Änderung des Sensors seine Dynamik verbessert werden kann. So führen z.B. geringere Massen zu einer schnelleren Dynamik, oder eine Dämpfung kann eingeführt werden, um Schwingungen schneller abklingen zu lassen. Beispiel: Intertialsensor (Fortsetzung) Im Fall des Inertialsensors erkennt man eine starke Schwingungsneigung. Durch eine Erhöhung der Dämpfung um Faktor 5 erreicht man das im Bild gezeigte aperiodische Verhalten des Sensors.

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9. Messfehler und deren Korrektur

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 9-8

Korrektur: Inverse Sensordynamik Sind die Möglichkeiten zur Optimierung der Sensordynamik ausgeschöpft, kann im Rahmen der nachfolgenden Signalwandlung eine Korrektur mit Hilfe einer in Reihe geschalteten Korrekturdynamik GK(s) erfolgen. Um insgesamt eine ideale Sensordynamik zu erreichen muss gelten: G M (s) ⋅ G K (s) = 1



G K (s) =

1 G M (s)

Die Korrekturdynamik entspricht also der inversen Sensordynamik. Zu beachten, dass GK(s) häufig differenzierendes Verhalten aufweist und daher auch eine mögliche Störung z stark verstärkt. Besitzt der Sensor Totzeit-Verhalten, ist die Korrekturdynamik nicht kausal und damit nicht realisierbar. Korrektur: Filterung zur Unterdrückung von Störungen Hochfrequente Störungen (Rauschen) können durch einen Tiefpass (z.B. PT1-Glied) als Korrekturdynamik reduziert werden. Analog können niederfrequente Störungen durch einen Hochpass (z.B. PD1-Glied) herausgefiltert werden. Beispiel: Intertialsensor (Fortsetzung) Das Messsignal des optimierten Inertialsensors wird mit einem PT1-Glied mit der Übertragungsfunktion G K (s) =

1 , TK = 1ms 1 + TK s

korrigiert. Das Bild zeigt den Signalverlauf mit reduziertem Rauschen, allerdings ist das Signal dadurch leicht verzögert (z.B. Anstieg direkt nach t = 0 ms).

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10. Dynamische Korrektur

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Teil C: Regelungssysteme 10 Aufbau von Regelungssystemen Wie kann das dynamische Verhalten eines gegebenen Systems gezielt beeinflusst werden? Dazu muss eine dynamische Korrektur entworfen werden, deren Ziel es z.B. ist, ein instabiles System zu stabilisiert oder ein zu langsames Systemverhalten zu beschleunigen. Im Folgenden werden geeignete Strukturen zur dynamischen Korrektur eingeführt (Abschnitte 10.1 bis 10.3), um dafür Entwurfsziele formulieren zu können (Abschnitte 10.4 und 10.5), die in den folgenden Kapiteln 11, 12 und 13 benötigt werden.

10.1 Struktur einer Regelung Beispiel 10-1: Wohnraumheizung Nebenstehend ist das Wirkschaltbild einer Wohnraumheizung dargestellt.

Wand Fenster

Bimetallfeder

kalt auf Der Heizungsthermostat regelt den Warmwasserzu warm Zufluss in den Heizkörper in Handrad einem Zimmer. Durch die Ventil temperaturproportionale Ausdehnung einer BimetallHeizung feder und durch ein Handrad wird über eine Wippe die Ventilstellung vorgegeben. Aufgabenstellung:

a)

Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieser Wohnraumheizung. Verwenden Sie dazu die Begriffe „Handrad des Thermostaten“, „Bimetallfeder“, „Wippe“, „Ventil und Heizkörper“, „Wohnraum“ und „Fenster“.

b)

Bezeichnen Sie die Blöcke mit den passenden regelungstechnischen Begriffen.

c)

Bezeichnen Sie die Signale mit den passenden regelungstechnischen Begriffen und ihren physikalischen Größen (z.B. Strom, Druck, usw.).

Der Standard-Regelkreises Das vorstehende Beispiel führt auf die Struktur des Standard-Regelkreises, welcher im nachfolgenden Blockschaltbild dargestellt ist. Diese Struktur stellt eine Detaillierung des bereits aus Abschnitt 1.1 bekannten Regelkreises dar.

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10. Dynamische Korrektur

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Regelung Begriffsdefinition nach DIN IEC 60050-351: „Vorgang, bei dem fortlaufend eine variable Größe, die Regelgröße erfasst, mit einer anderen variablen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird. Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst.“ In dieser Struktur ist es prinzipiell möglich, ein Angleichen von Regel- und Führungsgröße zu erreichen und darüber hinaus den Folgen von Störungen oder unbekanntem Streckenverhalten entgegenzuwirken. Damit ist sie für eine dynamische Korrektur gut geeignet. Allerdings kann der Regler nur reagieren: Es muss erst eine Regeldifferenz auftreten, damit der Regler aktiv wird.

10.2 Struktur einer Steuerung Verzichtet man im Vergleich zur Regelung auf die Rückführung der Regelgröße, gelangt man zu einer einfacheren Struktur, der offenen Wirkungskette. Dies zeigt das nachstehende Blockschaltbild in schwarzer Farbe:

An die Stelle des Reglers ist jetzt die Steuereinrichtung getreten. Im Englischen werden Regler und Steuereinrichtung gleichermaßen als Controller bezeichnet, und man kann zur Unterscheidung in feedback controller bzw. feed forward controller unterscheiden. In blauer Farbe wurde im Blockschaltbild zusätzlich ein Sensor für die Störung z ergänzt, so dass die messbare Störung z* auch an die Steuerungseinrichtung gegeben werden kann. Somit ist es der Steuereinrichtung auch prinzipiell möglich, messbare Störungen zu kompensieren. Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

10. Dynamische Korrektur

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Offenbar ist es in dieser Struktur nicht möglich, auf Störungen oder unbekanntes Streckenverhalten zu reagieren, da die Ausgangsgröße y nicht erfasst wird. Kennt man aber die Strecke in ihrem dynamischen Verhalten genau, kann die Steuerungseinrichtung gezielte Vorgaben für die Stellgröße u machen. Die Struktur der Steuerung ist somit für eine direkte und schnelle dynamische Korrektur geeignet.

10.3 Zwei-Freiheitsgrade-Struktur Die beiden letzten Abschnitte haben gezeigt, dass Regelung und Steuerung jeweils Vor- und Nachteile haben. Je nach Aufgabenstellung kann die Kombination beider Ansätze zur dynamischen Korrektur sinnvoll sein. Dies ist in folgendem Blockschaltbild dargestellt und wird als Zwei-Freiheitsgrade-Struktur bezeichnet.

Regelung und Steuerung sind darin überlagert. Um eine Abstimmung zwischen Steuereinrichtung und Regler erreichen zu können, gibt die Steuereinrichtung eine Referenzgröße w* an den Soll-Istwert-Vergleich der Regelung weiter.

Beispiel 10-1: Wohnraumheizung (Fortsetzung) Aufgabenstellung: d)

Was könnte im Beispiel der Wohnraumheizung eine messbare Störung darstellen? Die Regelung wird zu einer 2-Freiheitsgrade-Struktur erweitert. Welche Aufgabe kann die Steuereinrichtung übernehmen?

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10. Dynamische Korrektur

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10.4 Führungs- und Störverhalten Betrachtet man die Blockschaltbilder von Regelung, Steuerung und 2-Freiheitsgrade-Struktur in den vorstehenden Abschnitten, so ist allen gemein, dass sie mit der Führungsgröße w und der Störung z zwei Eingänge besitzen, die auf den Ausgang der Regelgröße y wirken. Die Wirkung der Führungsgröße w auf die Regelgröße y soll als Führungsverhalten GW(s), die Wirkung der Störung z auf die Regelgröße y soll als Störverhalten GZ(s) bezeichnet. Welches Führungs- bzw. Störverhalten soll von der dynamischen Korrektur eingestellt werden? Dies wird nachfolgend analysiert. Führungsverhalten Die Regelgröße y(t) soll der Führungsgröße w(t) möglichst gut folgen! Für ein ideales Führungsverhalten müsste GW (s) = 1

gelten. Gilt zumindest für eine konstante Führungsgröße w

lim y(t ) = w ,

t →∞

wird das Gesamtsystem als stationär genau bezeichnet. Zur Betrachtung des Führungsverhaltens wird eine verschwindende Störung z(t) = 0 angenommen. Für die Struktur der Regelung gilt

und die Führungsübertragungsfunktion ist GW (s) =

G0 (s) Y (s) mit G0 (s) = GR (s) GS (s) . = W(s) 1 + G0 (s)

Darin ist G0(s) die Übertragungsfunktion des offenen Kreises. Für die Steuerung gilt entsprechend

und die Führungsübertragungsfunktion ist GW (s) = G V (s) GS (s) .

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10. Dynamische Korrektur

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Störverhalten Die Störung z(t) soll möglichst keine Wirkung auf die Regelgröße y(t) haben! Für ein ideales Störverhalten müsste daher G Z (s) = 0

gelten. Auch das wird häufig nicht realisierbar sein, so dass man auch hier abgeschwächt fordern kann, dass die Regelung stationär genau arbeitet und zumindest bei einer konstanten Störung z und für t → ∞ keine bleibende Wirkung der Störung auf die Regelgröße y erfolgen sollte. Eine dynamische Korrektur, die so entworfen wurde, dass eine Störung nur geringe Wirkung auf die Regelgröße hat, wird allgemein als robust bezeichnet. Zur Ermittlung des Störverhaltens kann angenommen werden, dass die Führungsgröße verschwindet: w(t) = 0. Für die Regelung wird der Fall von zwei additiven Störungen z1(t) und z2(t) betrachtet:

Die Störübertragungsfunktionen des geregelten Systems sind G Z1 (s) =

G S (s) Y (s) mit G0 (s) = GR (s) GS (s) = Z1 (s) 1 + G0 (s)

G Z 2 (s) =

1 Y (s) mit G0 (s) = GR (s) GS (s) . = Z 2 (s) 1 + G0 (s)

bzw.

Wird die Steuerkette in analoger Weise von zwei additiven Störungen überlagert

so gilt G Z1 (s) =

Y (s) = GS (s) Z1 (s)

bzw. G Z 2 (s) =

Y (s) =1 . Z2 (s)

Man erkennt, dass sowohl in der Regelung als auch in der Steuerung die Störübertragungsfunktionen nicht unmittelbar verschwinden. Während man aber bei der Regelung durch die Gestaltung von GR(s) Einfluss nehmen kann, sind die Störübertragungsfunktionen im Fall der Steuerung unabhängig von GR(s).

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10. Dynamische Korrektur

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10.5 Zusammenfassung der Entwurfsziele Die Forderungen für das dynamische Verhalten einer Korrektur lassen sich in den folgenden Punkten zusammenfassen [vgl. Föllinger, Regelungstechnik]: Grundforderungen sind: (I)

Das Gesamtsystem muss stabil sein.

(II)

Das Gesamtsystem muss stationär genau arbeiten, d.h. a. die Regelgröße entspricht der Führungsgröße im eingeschwungenen Zustand (Führungsverhalten, Abschnitt 10.4) und b. eine Störung führt zu keiner bleibenden Regelabweichung (Störverhalten, Abschnitt 10.4).

Erweiterte dynamische Forderungen sind: (III) Das Gesamtsystem muss genügend gedämpft sein, d.h. es soll nicht zu stark schwingen. (IV) Das Gesamtsystem muss eine gute Dynamik besitzen, d.h. es soll nicht zu langsam reagieren. Die letzte Forderung ergibt sich mit Blick auf eine praktische Umsetzung: (V)

Die dynamische Korrektur muss realisierbar sein, d.h. insbesondere: a. Das Übertragungsverhalten muss kausal sein (z.B. keine „negative Totzeit“), b. Das Übertragungsverhalten sollte nicht stark differenzierend sein (verstärkt Rauschanteile eines Signals). c. Die ausgegebene Stellgröße sollte den erlaubten Wertebereich nicht überschreiten (Stellgrößenbegrenzung).

Die Erfüllung der Forderungen stellt häufig einen Zielkonflikt dar. Durch die Wahl eines geeigneten Reglers bzw. einer geeigneten Steuereinrichtung muss ein Kompromiss gefunden werden.

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11. Reglerentwurf

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11 Entwurf des Reglers Aufbauend auf die in Abschnitt 10.1 eingeführte Struktur einer Regelung sollen Verfahren zum Entwurf des Reglers GR(s) eingeführt werden.

11.1 Struktur des PID-Reglers Parallelschaltung eines proportionalen, integrierenden und differenzierenden Regelgliedes führt zur Struktur des PID-Reglers: P-Regler: Je größer die Regeldifferenz, desto größer die Stellgröße. I-Regler: Lang andauernde Regeldifferenzen werden integriert, so dass die Stellgröße mit der Zeit anwächst (→ stationär genaues Führungsverhalten). D-Regler: Sobald die Regeldifferenz sich ändert, wird eine Stellgröße erzeugt (→ schnelle Reaktion). Übertragungsfunktion

  K 1 + T I s + T I TD s 2 K (1 + T1 s) (1 + T2 s) 1 G R (s) = K R 1 + + TD s  = R = R TI s TI s TI s   mit T1 ⋅ T2 = T I ⋅ TD , T1 + T2 = T I und der Zuordnung T1 > T2 . Das System besitzt differenzierendes Verhalten. Um den Regler besser realisieren zu können (Forderung V), ist die Erweiterung des (idealen) PID-Reglers um eine Nennerzeitkonstante zum realen PID-Regler sinnvoll: G R (s) =

K R (1 + T1 s) (1 + T2 s) TI s (1 + TN s)

Bode-Diagramm

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11. Reglerentwurf

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11.2 Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols Voraussetzung: Die empirischen Einstellregeln nach Ziegler und Nichols sind für Strecken mit rein aperiodischem Verzögerungsverhalten geeignet, die sich durch Verzögerungsverhalten evtl. in Kombination mit einer Totzeit näherungsweise modellieren lassen: GS (s) ≈

KS −T s e t 1+T s

Solche Strecken finden sich beispielsweise in verfahrenstechnischen Prozessen (z.B. thermische Vorgänge). Methode 1: Streckenidentifikation durch Betrieb im grenzstabilen Bereich Die über einen P-Regler rückgekoppelte Strecke wird im grenzstabilen Bereich betrieben. Aus diesem Experiment heraus werden die Reglerparameter bestimmt, ohne dass ein explizites Streckenmodell vorliegt. Man geht wie folgt vor: 1. Die Strecke wird zunächst mit einem reinen P-Regler betrieben. 2. Die Verstärkung KR dieses P-Reglers wird solange vergrößert, bis der geschlossene Regelkreis Dauerschwingungen ausführt. Die dabei eingestellte Reglerverstärkung wird mit KRkrit bezeichnet. 3. Die Periodendauer Tkrit der Dauerschwingung wird gemessen. 4. Man bestimmt aus KRkrit und Tkrit mit Hilfe nachstehender Tabelle die Reglerparameter. Reglertyp P-Regler

GR (s) = KR

PI-Regler

  1   G ( s ) = K 1 + R R T s  I  

Reglerparameter

  1   +T s PID-Regler G ( s) = K 1 + R R D T s  I  

KR

TI

TD

0,5 KRkrit





0,45 KRkrit

0,85 Tkrit



0,6 KRkrit

0,5 Tkrit

0,12 Tkrit

Allerdings kann der experimentelle Betrieb der Strecke gefährlich oder unmöglich sein. Dann ist die folgende Methode zu bevorzugen. Methode 2: Streckenidentifikation durch Sprungantwort Es wird die Sprungantwort der Strecke aufgezeichnet. Im Vergleich zur nachstehend dargestellten Sprungantwort der idealen Strecke G S (s) =

KS −T e t 1+T s

werden die Streckenparameter KS, T, Tt abgelesen.

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s

11. Reglerentwurf

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Nachstehende Tabelle zeigt empirisch gefundene Reglereinstellwerte, die zu einem schnellen und mäßig überschwingendem Einschwingverhalten des geschlossenen Regelkreises führen (Lunze, Regelungstechnik 1). Reglertyp

P-Regler

G ( s) = K

PI-Regler

  1   G ( s ) = K 1 + R R T s  I  

R

Reglerparameter

R

  1   +T s PID-Regler G ( s) = K 1 + R R D T s  I  

KR

TI

TD

1 T K S Tt





0,9 T K S Tt

3,33 Tt

1,2 T K S Tt

2 Tt



0,5 Tt

Beispiel 11-1: Entwurf eines PI-Reglers nach Ziegler und Nichols Für eine Strecke besitzt die folgende Übertragungsfunktion und Sprungantwort: G S (s) =

1

(s + 1)3

Bestimmen Sie Reglerparameter eines PI-Reglers nach Ziegler und Nichols mit den Methoden 1 und 2. Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-4

11.3 Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms Im offenen Kreis wird die zu entwerfende Reglerübertragungsfunktion GR(s) in Reihe zur bekannten Streckenübertragungsfunktion GS(s) eingeführt. Das Bode-Diagramm des Reglers (z.B. siehe Seite 11-1, unten) wird dem der Strecke superponiert, so dass man das BodeDiagramm des offenen Kreises erhält. Ziel ist es daher, einen Regler so zu entwerfen, dass die Forderungen an den Regelkreis (Abschnitt 10.5) im Ganzen erfüllt werden: •

Um stationäre Genauigkeit zu erreichen, muss erforderlichen falls zunächst ein IAnteil im Regler eingeführt werden (Forderung II)



Erfüllen des Nyquist-Kriteriums (Forderung I)



Zusätzlich Einstellen einer Phasenreserve (Forderung III)



Eine möglichst hohe Durchtrittsfrequenz ωD (Forderung IV)

Die entsprechende Vorgehensweise lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Ist die zu regelnde Strecke GS(s) stabil?

nein

alternativer Regerentwurf! z.B. durch die Wurzelortskurve oder durch Polvorgabe

ja Besitzt die zu regelnde Strecke GS(s) einen I-Anteil?

Design der Reglerstruktur

ja kein I-Anteil im Regler GR(s) notwendig, z.B. P-, PD-Regler

nein I-Anteil durch Regler GR(s) ergänzen, z.B. PI-, PID-Regler

Hohe dynamische Anforderungen an das geregelte System? nein

Design der Reglerparameter

kein D-Anteil notwendig, z.B. P-, PI-Regler

ja D-Anteil im Regler GR(s) sinnvoll, z.B. PD-, PID-Regler

Zeitkonstanten des Reglers so wählen, dass Durchtrittsfrequenz ωD möglichst hoch liegt, z.B. durch Kompensation der größten Streckenzeitkonstanten Reglerverstärkung so einstellen, dass die gewünschte Phasenreserve ϕR = 30°...70° eingehalten wird

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11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-5

A(ω)dB +20

0

–20

–40

–60

0,01

2

3

5

8

2

3

5

8

0,1

2

3

5

8

2

3

5

8

1

2

3

5

8

2

3

5

8

10

2

3

5

2

3

5

100

φ (ω)

0,01

0,1

1

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10

100

11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-6

Beispiel 11-2: Reglerentwurf auf Basis des Bode-Diagramms Entwerfen Sie für eine Strecke mit der Übertragungsfunktion

GS (s) =

0,1

(1 + 10s )(1 + 5s )(1 + 2s )

einen geeigneten Regler als realen PD- oder PID-Regler mit Hilfe des Bode-Diagramms, der eine Phasenreserve von 50° einstellt. Beispiel 11-3: Regelung einer Maschinenachse Eine fremderregte Gleichstrommaschine bewegt über einen Spindelvortrieb den Schlitten einer Maschinenachse an, siehe Bild: Ra

La

Ia

ω, Ma M r Spindel Ua

ea

Schlitten

J

φ

y

Elektrisches Teilsystem

Mechanisches Teilsystem

Es soll eine Regelung entwickelt werden, welche den Schlitten in eine gewünschte Position fährt. Dazu muss zuerst das dynamische Modell des Systems aus den physikalischen Gesetzen gewonnen werden. Modellbildung •

Mittels der Kirchhoffschen Maschenregel lässt sich die Spannung Ua(t) im Ankerkreis der Gleichstrommaschine als Funktion des Stroms Ia(t) bestimmen:

U a (t ) = Ra I a (t ) + La

dI a (t ) + ea (t ) dt

Darin ist Ra = 20 Ω der Widerstand und La = 200 mH die Induktivität des Ankerkreises 1. •

Dreht sich der Antrieb, wird die Spannung ea(t) induziert:

ea (t ) = c φ ω(t ) Für das Produkt aus Maschinenkonstante und Hauptfluss der Fremderregung gilt c φ = 15 Nm/A = 15 Vs. •

Bei der verlustfreien Maschine ist dies auch der Proportionalitätsfaktor zwischen Ankerstrom und mechanischem Antriebsmoment:

M a (t ) = c φ I a (t )

Entsprechend der DC-Maschine IC 410 der Firma ABB (Nennwerte: UN = 400 V, IN = 3 A, PN = 1 kW) (gerundete Werte).

1

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11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-7

Dem Antriebsmoment steht ein Reibmoment gegenüber, das proportional zur Winkelgeschwindigkeit angenommen wird:



M r (t ) = K m ω(t ) Die Momentenbilanz ist



J

dω(t ) = M a (t ) − Mr (t ) dt

mit dem Trägheitsmoment J = 10 kg m2. Mit der Steigung Ks = 0,005 m/rad der Spindel gilt schließlich für die Position des Schlittens:



t



y(t ) = K s ω(τ ) dτ 0

Blockschaltbild (in Simulink)

Alle Größen werden auf SI-Basiseinheiten normiert. Die Modellparameter werden wie folgt definiert: Ra La cPhi J Km Ks

= = = = = =

20.0; 200.0e-3; 15.0; 10.0; 2.0; 0.005;

% % % % % %

Ankerwiderstand in Ohm Ankerinduktivität in Henry (Maschinenkonstante * Hauptfluss) in Nm/A = s V eff. Trägheitsmoment von Motor & Spindel in kg m^2 Reibkraftkoeffizient in Nm s Steigung (einschl. Getriebeübersetzung) in m/rad

Für dieses System soll nun ein Regler auf Basis des Bode-Diagramms mit einer Phasenreserve von 45° entworfen werden: •

Aus den vorstehenden Gleichungen oder aus dem Blockschaltbild lässt sich folgende Übertragungsfunktion bestimmen:

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11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-8

GS (s) = • •

0,0375 3

s + 100,2s 2 + 132,5s

Das System ist einfach integrierend (Faktor s kann im Nenner ausmultipliziert werden). Daher ist kein I-Anteil im Regler erforderlich. Für die Regelung der Maschinenachse ist eine gute Dynamik sinnvoll, wir wählen daher einen PD-Regler:

GR (s) = K R (1 + TR s ) •

Durch die Zählerzeitkonstante des PD-Reglers kann die größte Streckenzeitkonstante kompensiert werden. Faktorisierung des Nenners von GS(s) ergibt:

GS (s) = •

0,0375 2,8308 ⋅ 10 −4 = s (s + 98,86 )(s + 1,34) s (1 + 0.0101s )(1 + 0,7463s )

Für den offenen Kreis gilt mit TR = 0,7463 dann GO (s) = GR (s) GS (s) =



2,8308 ⋅ 10 −4 K R . s (1 + 0.0101s )

Für GO (s) ist nun das Bode-Diagramm zu zeichnen. Dazu muss KR beliebig, aber fest gewählt werden. Häufig wählt man KR = 1, hier ist KR = 104 zur Darstellung besser geeignet:

Im Phasenverlauf ist abzulesen, dass für die Durchtrittsfrequenz ωD = 98,9 gelten muss. Im Amplitudenverlauf liest man AdB(ωD) = –30,86 dB ab. Damit ωD wirklich zur Durchtrittsfrequenz wird, muss die Amplitude um KR = +30,86 dB = 34,9 angehoben werden. Damit ist der PD-Regler vollständig bestimmt:

GR (s) = 34,9 ⋅ 10 4 (1 + 0,7463 s ) Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-9

11.4 Algebraischer Reglerentwurf durch Polvorgabe Idee Wie in Kapitel 6 bereits analysiert wurde, bestimmt die Lage der Pole eines Systems nicht nur seine Stabilität, sondern auch seine wesentlichen dynamischen Eigenschaften. Wo sollten also die Pole des über den Regler geschlossenen Regelkreises idealer Weise liegen? Möchte man die Forderungen an den Regelkreis (Abschnitt 10.5) erfüllen, erhält man per Ausschluss nebenstehenden Sektor. Gesucht ist also eine Regler-Übertragungsfunktion GR(s), die in Reihe mit der Strecke GS(s) den offenen Kreis bildet GO(s) und die Pole des geschlossenen Kreises GW(s) auf gewünschte Positionen innerhalb des Sektors legt. Dieses Entwurfsverfahren wird als Polvorgabe bezeichnet. Entwurf Auf Basis der Polvorgabe ist jetzt die Berechnung des Reglers zu formulieren und zu lösen. Die Übertragungsfunktionen von Strecke und Regler sind teilerfremde, gebrochen rationale Polynome: Strecke:

Regler:

G S (s) =

n B(s) bn s +  b1 s + b0 = A(s) an s n +  a1 s + a0

G R (s) =

n D(s) d n s R +  d1 s + d 0 = C (s) c n s nR +  c1 s + c 0

Das charakteristische Polynom p(s) des geregelten Systems lautet: p(s) = A(s) C (s) + B(s) D(s)

Es hat die Ordnung n+nR. Die Pole von p(s) sollen jetzt einer Vorgabe pR(s) entsprechen. Die Pole dieses charakteristischen Polynoms werden innerhalb eines gewünschten Sektors (s. oben) vorgegeben: ! p(s) = pR (s) = (s − sR,1 ) (s − sR,2 )  (s − sR, n + nR ) = pn + nR s n + nR +  p1s + p0

Aus dieser Bedingung werden die Koeffizienten in D(s) und C(s) für den gesuchten Regler zu bestimmen. Unter welchen Voraussetzungen kann auf diese Weise ein Regler gefunden werden? Setzt man voraus, dass die Strecke ein reales System mit bn = 0 ist und dass der Regler die Ordnung nR = n – 1 besitzt, so sind in D(s) und C(s) jeweils n Koeffizienten zu bestimmen. Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

11. Reglerentwurf

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 11-10

Das Polynom p(s) besitzt dann die Ordnung n+nR = 2n – 1. Führt man einen Koeffizientenvergleich durch, stehen (mit dem absoluten Glied) 2n Gleichungen für 2n Unbekannte zur Verfügung. Mit Hilfe der Sylvestermatrix M kann das Ergebnis als Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems bestimmt werden:

bn 0 0   c n −1   p2n −1  an                   a1  an b0  bn   c 0      ⋅ =   a0  an −1 b0  bn −1  d n −1                     a0 b0   d0   p0  0  0  M Wenngleich der so gefundene Regler die für den geschlossenen Kreis vorgegebenen Pole einstellt, neigt der Regler je nach Polvorgabe zu starkem Überschwingen und zu großen Stellgrößen. In diesem Fall sollten die (stabilen) Pole der ungeregelten Strecke nicht zu stark verschoben werden oder z. T. direkt in die Vorgabe übernommen werden.

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12. Entwurf der Steuerungseinrichtung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 12-1

12 Entwurf der Steuerungseinrichtung Im Sinne der in Abschnitt 10.3 vorgestellten Zwei-Freiheitsgrade-Struktur soll nachfolgend der Entwurf der Steuerungseinrichtung diskutiert werden.

12.1 Trajektorienplanung Bei einer raschen (z. B. sprungförmigen) Änderung der Führungsgröße w(t) ist es dem geregelten System nicht möglich, die Ausgangsgröße y(t) unmittelbar folgen zu lassen. Dadurch entstehen zeitweise sehr große Werte der Stellgröße u(t), die häufig nicht realisiert werden können. Abhilfe schafft eine vorgeschaltete Trajektorienplanung, die eine physikalisch realisierbare Trajektorie für die Führungsgröße w*(t) vom aktuellen zu einem neuen Sollwert generiert:

12.2 Vorsteuerung Eine Regelung reagiert nur, wenn die Regelabweichung von Null verschieden ist. Dadurch entsteht während der Bewegung der Führungsgröße w*(t) entlang der Trajektorie eine Regelabweichung, die auch als Schleppfehler bezeichnet wird. Kennt man die Strecke GS(s), kann diese Abweichung durch eine Vorsteuerung GV(s) kompensiert werden, so dass der Regler im idealen (störungsfreien) Fall nicht eingreifen muss (uR = 0):

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12. Entwurf der Steuerungseinrichtung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 12-2

Eine ideale Vorsteuerung wird durch G V (s) =

1 GS (s)

erreicht. Allerdings ist die Inverse der Streckenübertragungsfunktion nicht immer realisierbar. Die für Forderung V diskutierten Bedingungen müssen eingehalten werden. Daher kann z.B. eine Streckentotzeit nicht durch eine realisierbare Vorsteuerung kompensiert werden. Häufig besitzt GV(s) differenzierendes Verhalten, so dass insbesondere Forderung Vb verletzt wird. Hier gibt es aber eine Lösung: Das Signal w* am Eingang der Vorsteuerung wird nicht gemessen, sondern von der Trajektorienplanung synthetisiert. Man kann die Trajektorien(t ),  planung daher erweitern, dass sie ebenfalls die Ableitungen der Führungsgröße w (t ), w zur Verfügung stellt (siehe vorstehendes Blockschaltbild). Weiterhin muss sichergestellt werden, dass die Vorsteuerung GV(s) ein stabiles Übertragungsverhalten besitzt. Eine Realisierungsalternative, die ohne Streckeninverse auskommt, ist im nachfolgenden Blockschaltbild gezeigt:

In der Steuereinrichtung wird der geschlossene Regelkreis mit einer „Kopie“ der Strecke GS(s) simuliert. Der darin verwendete Regler G*R(s) wird gegenüber GR(s) dahingehend modifiziert, dass er nur realisierbare Stellgrößen ausgibt (z.B. durch langsamere Dynamik oder eine Begrenzung seiner Stellgröße). Stellgröße und Regelgröße dieses simulierten Regelkreises werden als uS bzw. w* ausgegeben.

12.3 Störgrößenaufschaltung Nicht messbare Störungen auf die Strecke können nicht gezielt kompensiert, sondern nur ausgeregelt werden. Sie führen zu Abweichungen der Regelgröße y und dadurch zu einer Reaktion des Reglers GR(s), der zur Korrektur die Stellgröße uR ausgibt. Eine messbare Störgröße z kann außerhalb der Reglerrückführung gezielt kompensiert werden. Eine Einrichtung zur Störkompensation GZ(s) erzeugt eine Stellgröße uZ, welche die Wirkung der Störgröße z kompensiert. Dieses Vorgehen verbessert das Störverhalten und führt im Idealfall dazu, dass keine Abweichung der Regelgröße y auftritt. Nachfolgendes Blockschaltbild zeigt die Störgrößenaufschaltung als Funktion der Steuereinrichtung: Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

12. Entwurf der Steuerungseinrichtung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 12-3

Für die ideale Störkompensation gilt GZ (s) = −

1 . GS1 (s)

Auch hier müssen die Bedingungen der Forderung V für die Realisierbarkeit eingehalten werden. Beispiel 12-4: Kompensation eines Störmoments

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13. Kaskadenregelung

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 13-1

13 Kaskadenregelung Bisher wurden nur Strukturen mit einem Controller (einschließlich einem Regler und einer Steuereinrichtung) entworfen. Eine Erweiterung erhält man, in mehrere dieser Strukturen ineinander verschachtelt. Dies wird als Kaskadenregelung bezeichnet. Nachfolgendes Blockschaltbild zeigt das Prinzip am Beispiel zweier ineinander verschachtelter Standardregelkreise (nach Abschnitt 10.1):

Innerhalb der gestrichelten Linie erkennt man den inneren Regelkreis als Standard-Regelkreis. Denkt man sich dieses System in der gestrichelten Linie und GS2(s) zur Strecke des äußeren Regelkreises zusammengefasst, besitzt auch der die Struktur des Standard-Regelkreises. Entsprechend geht man beim Entwurf von innen nach außen vor: Reglerentwurf 1. Entwurf des inneren Reglers in „üblicher“ Vorgehensweise. Wesentlich ist hierbei eine gute Dynamik, während das Führungsverhalten nicht wesentlich ist. 2. Zusammenfassen der inneren geregelten Schleife zu einem Block. 3. Entwurf des äußeren Reglers in „üblicher“ Vorgehensweise. Jetzt ist das Führungsverhalten ist wesentlich, ggf. kann z.B. ein I-Anteil eingeführt werden, um eine bleibende Regelabweichung zu vermeiden. Diskussion •

Voraussetzung für eine Kaskadenregelung ist, dass eine zusätzliche Messgröße (=Hilfsregelgröße) zur Verfügung steht.



Man kann sukzessive die Dynamik des inneren und dann die des äußeren Regelkreises verbessern. (für Forderung IV)



Störungen, die innen angreifen, können dort weitgehend ausgeregelt werden. (für Forderung II) w gutes Die Stellgröße des äuy (äußerer) Regler 2 ßeren Reglers ent- Führungsverhalten spricht der Führungsw1 = u1 größe des inneren Regy1 lers. Dies lässt sich (innerer) Regler 1 hohe auch im Sinne einer Dynamik u Hierarchie interpretieren (siehe Bild). Strecke (Prozess)



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14. Realisierung von Regelungen

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14 Realisierung von Regelungen Nach dem Entwurf der Regelung bzw. Steuerungseinrichtung und dem Test des Gesamtsystems in der Simulation (Schritte 3 und 4 im Bild aus Abschnitt 1.3) folgt als nächster Schritt 5 die Reglerrealisierung.

14.1 Analoge Reglerrealisierung PI-Regler

G R (s) = K R

PD-Regler

1 + TR s 1 , TR = RU C , K R = s RV C

Idealer PID-Regler

GR (s) = K R

[aus: Föllinger, Regelungstechnik]

RU RV

Realer PID-Regler

(1 + TR1 s )(1 + TR2 s )

TR1 = RV CV , K R

GR (s) = K R (1 + TR s ) , TR = RV C , K R =

s

1 , TR2 = RU C U = RV C U

G R (s) = K R

(1 + TR1 s )(1 + TR2 s ) s (1 + TN s )

1 1 T T R2 TR2 = − 1, CV = R2 , CU = , RU = R1 CU R2 KR R1 + R2 R1 TN

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14. Realisierung von Regelungen

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14.2 Digitale Reglerrealisierung Nachfolgend ist der digitale Standardregelkreis dargestellt: ui z.B. Digitalrechner mit A/D-Karte oder Mikrocontroller

ui

0

^ w(k) Regleralgorithmus

T

t

0

2T 3T

^ u(k)

u(k) D/A

^ y(k)

y(k)

u(t)

t 2T 3T

(erweiterte) Strecke

y(t)

Abtaster

A/D

yi

yi

(T: Abtastzeit)

Halteglied

T

0

T

t

0

2T 3T

T

t 2T 3T

Zur Wahl einer geeigneten Abtastzeit T [nach Lunze, Regelungstechnik 2]: Die Abtastzeit T ist so klein wie nötig zu wählen damit …

Die Abtastzeit T ist so groß wie möglich zu wählen damit …

… das Abtasttheorem eingehalten wird, also ωT > 2 ωmax .

… der Realisierungsaufwand möglichst klein gehalten werden kann.

Für gutes Führungsverhalten und schnelle Störunterdrückung gilt sogar ωT ≈ 6ω max  20ω max .

Es können langsamere A/D- und D/AWandler verwendet werden und die benötigte Rechenleistung sinkt.

… das zeitdiskrete System dieselben regelungstechnischen Eigenschaften besitzt wie das zeitkontinuierliche System.

… numerische Fehler vermieden werden.

Um den kontinuierlichen Regler ohne wesentliche Änderungen als zeitdiskreten Regler verwenden zu können, muss

Unterscheiden sich zwei aufeinander folgende Abtastschritte zu wenig, können z.B. bei ungünstiger Zahldarstellung zu Null gerundet werden, was zu einem fehlerhaften Regleralgorithmus führt.

ωT > 20 ωmax gelten.

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14. Realisierung von Regelungen

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 14-3

Zur Umwandlung eines zeitkontinuierlichen in einen zeitdiskreten Regler Der Regler wird zunächst im Zeitkontinuierlichen entworfen und muss nun vor der Ausführung zeitlich diskretisiert werden. Liegt die Regler-Übertragungsfunktion GR(s) vor, kann darin formal ersetzt werden:

sˆ =

z −1 (Rechteck-Intergration) oder: T

sˆ =

2 z −1 (Trapez-Intergration) T z +1

Darin ist z = e T s ein Verzögerungsoperator, der ein Signal um eine Abtastperiode T verzögert. Aus der neuen Übertragungsfunktion in z kann im Zeitbereich eine Differenzengleichung zwischen Reglerein- und -ausgang bestimmt werden. Diese wird nach dem zeitlich letzten Wert des Reglerausgangs aufgelöst, um eine Rekursion zu erhalten, die als Schleife implementiert werden kann.

14.3 Automatische Code-Generierung Bei der automatischen Code-Generierung wird der in der Simulation entworfene und getestete Controller automatisch in ausführbaren Code umgewandelt, der dann auf der Zielplattform direkt gestartet werden kann, um die reale Strecke zu steuern und zu regeln. Die Code-Generierung erfolgt meist in Teilschritten. Als Zwischenschritt wird vom Code-Generator C-Code erzeugt, der dann von einem maschinenspezifischen Compiler in ausführbaren Code übersetzt wird.

[aus: Abel, Rapid Control Prototyping] Aus Simulink heraus ist der Simulationsmodus von “Normal” auf “External” (Menü im Kopf des Simulink-Blockschaltbildes) umzuschalten. Das Zielsystem ist bei den Einstellungen („Configuration Parameters“) festzulegen. Es werden verschiedene Zielsysteme unterstützt, für die zum Teil Erweiterungen (Tollboxen) erforderlich sind, z.B.: • • •

(Industrie-)PC mit geeigneten AD- und DA-Karten Rapid-Control-Systeme der Firma dSpace Mikrocontroller-Systeme wie Arduino oder Raspberry PI

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14. Realisierung von Regelungen

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Vorteile einer automatischen Code-Generierung: •

Die Implementierung des Controllers erfolgt in einer prozessorunabhängigen, übersichtlichen Form (z.B. als Blockschaltbild oder Zustandsautomat).



Die automatische Code-Generierung spart Zeit (=kürzere Entwicklungszyklen) und erhöht die Zuverlässigkeit des Codes



Die Simulation ermöglicht einen kostengünstigen und ungefährlichen Test.



Der Entwurf ist prinzipiell auf andere Plattformen portierbar.

Der Gesamtprozess eines modellbasierten Entwurfs des Controllers mit automatischer CodeGenerierung wird auch als Rapid Control Prototyping bezeichnet.

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15. Aktoren

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15 Aktoren Die Stellgröße u am Ausgang des Reglers oder der Steuerung muss auf die Strecke einwirken können (vgl. Abschnitt 1.1). Der Aktor ermöglicht dies, indem er folgende Aufgaben übernimmt: 1. Digital-Analog-Umsetzung: Wird die Stellgröße durch einen Digitalrechner bestimmt, muss sie schließlich in eine analoge Größe umgesetzt werden. Dies ist Aufgabe eines Digital-Analog-Umsetzers (siehe Abschnitt 15.1), der im digitalen Regelkreis das Gegenstück zum Analog-Digital-Umsetzer im Sensor (Abschnitt 8.2) bildet. 2. Leistungsverstärkung: Für eine hinreichende Wirkung auf die Strecke muss eine ausreichende Leistung bereitgestellt werden. Der Regler bzw. der nachgeschaltete Digital-Analog-Umsetzer liefert ein analoges Ausgangssignal z.B. im Spannungsbereich von 0 … 10 V, das nur mit einem geringen Strom belastet werden kann. Für den Anschluss eines Verbrauchers (wie z.B. ein elektrischer Antrieb oder eine elektrische Heizung) muss evtl. eine Leistungsverstärkung ergänzt werden, um einen größeren Strom oder eine höhere Spannung bereitstellen zu können (siehe Abschnitt 15.2). 3. Umsetzung der Stellgröße in die erforderliche physikalische Größe: Für die Ansteuerung eines mechanischen Systems muss z.B. eine Kraft oder ein Moment erzeugt werden, für ein thermisches System muss eine Wärmemenge bereitgestellt werden. Abschnitt 15.3 gibt eine Übersicht über häufig verwendete Aktorprinzipien. In der praktischen Umsetzung können die drei beschriebenen Aufgaben miteinander verkoppelt gelöst werden. Es ist manchmal eine Frage der Auffassung, ob eine Komponente – wie z.B. ein elektrischer Antrieb – Teil des Aktors oder Teil der Strecke ist.

15.1 Digital-Analog-Umsetzer Der Digital-Analog-Umsetzer (DAU) besitzt analog zum ADU in Abschnitt 8.2 prinzipiell zwei Funktionen, die hier nun durch das digitale Signal vorgegeben werden: Halteglied Das digitale Signal stellt eine zeitdiskrete Wertefolge u(k) dar. Diese muss in ein zeitkontinuierliches Signal u(t) umgesetzt werden. Dazu ist ein Halteglied erforderlich, welches das analoge Ausgangssignal während des Zeitschrittes k so lange konstant hält, bis ein neuer Wert im folgenden Zeitschritt k+1 zur Verfügung steht. Das analoge Signal u(t) am Ausgang hat daher die Gestalt einer Treppenfunktion. Quantisierung Der DAU wird durch die Zahl n seiner Quantisierungsstufen charakterisiert. Sie ist auf die digitale Zahldarstellung von u(k) abzustimmen. Typisch sind 8-bit-Wandler (256 Stufen) bei Mikrocontrollern oder 16-bit-Wandler (65 536 Stufen) bei D/A-Wandlerkarten. Im Regelkreis kommt die Digital-Analog-Umsetzung der Stellgröße u im Vergleich zur Analog-Digital-Umsetzung der Messgröße y in der Regel mit einer gröberen Quantisierung aus. Denn die Anforderungen für den Regelkreis werden meist für die Mess- oder Regelgröße y

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15. Aktoren

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formuliert, während die Stellgröße u weniger relevant ist und z.B. ein Oszillieren des niederwertigsten Bits in Kauf genommen werden kann. Nachfolgend werden ausgewählte Prinzipien zu Analog-Digital-Umsetzung vorgestellt: Paralleler Wandler Durch Spannungsteiler oder Widerstandsnetzwerke können konstante Spannungen erzeugt werden. Diese werden durch Schalter abgegriffen und bilden den analogen Spannungsausgang. Dabei werden die Schalter durch den digitalen Eingang gesteuert. Ein einfaches Prinzip mit einem Spannungsteiler ist nachstehend links gezeigt. Das Bild rechts zeigt eine Variante mit einem R2R-Netzwerk [Wikipedia], das mehrere Schalter mit unterschiedlicher Gewichtung zulässt

Umsetzer dieser Bauart sind relativ aufwendig, aber schnell. Wandler mit Zeitbasis Eine Zeitperiode T wird in n Zeitscheiben geteilt, wobei n die Zahl der Quantisierungsstufen ist. Am Beginn jeder Periode wird über die Zeitspanne TE hinweg die Versorgungsspannung uS ausgegeben, danach wird für die verbleibende Zeit der Periode T der Wert 0 ausgegeben. Die Zeitspanne TE wird entsprechend des digitalen Eingangs eingestellt. Man spricht von Pulsweitemodulation (PWM).

Ein nachgeschalteter Tiefpass mittelt über die Periode hinweg und gibt als analoge Ausgangsspannung

uA =

TE uS T

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15. Aktoren

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aus. Dieser Umsetzer kann auch für hohe Auflösungen relativ einfach realisiert werden, und die meisten Umsetzer in Mikrocontrollern arbeiten nach diesem Prinzip. Durch die Tiefpassfilterung ist er langsamer als ein paralleler Wandler, seine Dynamik wird durch die Periodendauer T bestimmt. Delta-Sigma-Wandler Delta-Sigma-Wandler können auch als DAU eingesetzt werden. Der Aufbau ist dabei prinzipiell derselbe wie beim ADU in Abschnitt 8.2. Auch hier wird ein (hochfrequenter) Bitstrom generiert, der im zeitlichen Mittel dem Eingangssignal entspricht. Allerdings ist jetzt der Generator des Bitstroms (im Bild links) digital und das nachfolgende Filter (im Bild rechts) analog realisiert.

An Stelle des Integrators tritt hier eine Summation, die aus einem Speicherglied (mit dem Verzögerungsoperator z–1) und einer Rückkopplung des Ausgangs realisiert wird. Der nachfolgende digitale Komparator gibt bei einem positiven Eingangswert eine „0“, andernfalls eine „1“ als Bitstrom aus. Der Digital-Digital-Umsetzer erzeugt je nach „0“ oder „1“ den unteren bzw. den oberen Wert des Wertebereichs des digitalen Eingangs. Ähnlich wie beim zuvor beschriebenen Wandler auf Zeitbasis mittelt der nachgeschaltete Tiefpass den Bitstrom, um den analogen Ausgang uA zu erzeugen.

15.2 Leistungsverstärkung Als analoger Verstärker, der das analoge Ausgangssignal uA eines ADU für einen nachgeschalteten Verbraucher verstärkt, eignet sich ein Spannungsfolger oder Impedanzwandler, wie er bereits in Abschnitt 8.1 unter der Überschrift „nicht-invertierende Verstärker“ vorgestellt wurde. Sein großer Nachteil ist die entstehende Verlustleistung. Wir betrachten einen Verstärker, der einem ohmschen Verbraucher mit Widerstand RV eine Spannung uV zur Verfügung stellen soll, die gleich der vom Umsetzer vorgegebenen positiven Spannung uA ≥ 0 sein soll, siehe Bild links:

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15. Aktoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 15-4

Der Strom im Verbraucher ist

I=

uV RV

und für die Verlustleistung im Verstärker gilt:

P = IU =

uV (uS − uV ) RV

Das ist eine quadratische Gleichung in uV. Für eine Versorgungsspannung uS = 12 V und einen Verbrecher mit RV = 10 Ω ist die Verlustleistung P im obigen Bild (rechts) dargestellt. Man erkennt, dass die Verlustleistung P an den Rändern des Arbeitsbereichs von uV, also für 0 V und 12 V, gegen Null geht, während sie bei einer mittleren Spannung von uV = uS/2 = 6 V maximal wird. Die Alternative ist ein binärer Verstärker des PWM-Signals oder des Bitstroms: In der Regel hat die Stelleinrichtung Eigenschaften eines Verzögerungsgliedes. Daher kann man in diesem Fall auf einen separaten Tiefpass (im Blockschaltbild des Wandler auf Zeitbasis sowie des Sigma-Delta-Wandlers jeweils rechts) verzichten, das binäre Signal des Wandlers direkt verstärken und auf die Stelleinrichtung geben. Dadurch müssen nur die Ränder des Arbeitsbereichs von uV verstärkt werden. Das ist – wie gerade beim analogen Verstärker diskutiert – bei geringen Leistungsverlusten möglich. Die Frequenz des binären Signals muss oberhalb der Eckfrequenz der Stelleinrichtung liegen, um Oszillationen und dadurch auch starke Beanspruchungen der Stelleinrichtung zu vermeiden. Nachteilig ist dennoch, dass diese Frequenz häufig hörbar ist und dass Oberschwingungen in die Strecke eingebracht werden können.

15.3 Aktorprinzipien Häufig aktuiert die Stellgröße ein mechanisches System. Dazu benötigt man einen Aktor, der eine Kraft (translatorisch) oder ein Moment (rotatorisch) erzeugt. Nachstehende Tabelle gibt einen Überblick. Moment (rotatorisch) Um in einem Aktor Momente zu erzeugen, wird man in der Regel elektrische Maschinen einsetzen, die nach dem elektrodynamischen Prinzip (Lorentz-Kraft) arbeiten und grundsätzlich einen guten Wirkungsgrad besitzen. Je nach Art der Maschine ist ein auf die Maschine abgestimmter Stromrichter zur Ansteuerung erforderlich, der auch die Aufgabe der Leistungsverstärkung (Abschnitt 15.2) übernimmt. Nachfolgend sind wichtige Maschinen aufgeführt. Gleichstrommaschine

Im ruhenden Stator wird ein konstantes Magnetfeld erzeugt (durch Permanentmagnete oder elektrische Spulen mit konstantem Strom). Darin dreht sich der Rotor, dessen elektrische Spulen in Abhängigkeit des aktuellen Rotorwinkels geschaltet (kommutiert) werden. Die Gleichstrommaschine ist einfacher Aktor für kleinere Momente, eine mechanische Kommutierung unterliegt einem Verschleiß.

Drehstromasynchronmaschine

Die Spulen des ruhenden Stators werden durch einen dreiphasigen Drehstrom angeregt. Dadurch entsteht ein magnetisches Drehfeld im Inneren des Stators. Bringt man im einfachsten Fall eine leitende Welle oder einen Rotor

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15. Aktoren

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite 15-5 mit kurgeschlossenen Spulen (Kurzschlussläufer) ein, werden durch das magnetische Drehfeld Ströme induziert und der Rotor wird beschleunigt.

Drehstromsynchronmaschine

Auch hier werden die Spulen des ruhenden Stators durch einen dreiphasigen Drehstrom angeregt. Doch besitzt der Rotor ein konstantes magnetisches Feld und dreht sich synchron zur Anregung des Drehstroms. Diese Maschinen werden vornehmlich zur Energiewandlung in elektrischen Netzen verwendet, als Aktor benötigen sie einen Stromrichter.

Schrittmotor

Sind vom Prinzip her Synchronmotoren, deren Statorfeld nicht durch einen dreiphasigen Drehstrom, sondern durch externe Schaltung (Kommutierung) gesteuert wird. Sie werden häufig für Stellaufgaben in kompakter Bauform eingesetzt.

Kraft (translatorisch) Linearmotor

Ein Linearmotor (nach dem elektrodynamische Prinzip) lässt sich aus den rotatorischen Antrieben ableiten, in dem man den Stator „aufklappt“, so dass eine lineare Achse entsteht. Der Rotor wird dann zum Läufer. Häufig werden Linearantriebe auf Basis der Synchron- oder Asynchronmaschine verwendet.

Pneumatischer oder hydraulischer Zylinder

Beim pneumatischen Zylinder erzeugt von außen angelegte Druckluft einen erhöhten Kammerdruck im Inneren, der eine Kraft auf einen Stempel erzeugt und diesen somit bewegt. Man unterscheidet einfachwirkende bzw. doppeltwirkende Zylinder. Hydraulische Zylinder verwenden Hydrauliköl anstelle der Druckluft und können so höhere Kräfte erzeugen.

Elektrostatischer Aktor

Zwischen zwei Kondensatorplatten unterschiedlicher Spannung wirkt eine Kraft. Auf Basis dieses elektrostatischen Prinzips können einfache Aktoren mit geringen Kräften z.B. in Mikrosystemen realisiert werden.

Piezo-Aktor

Ein Piezo-Element besteht aus Piezokristallen, die ihre Ausdehnung ändern, wenn eine elektrische Spannung angelegt wird. Dadurch können hohe Kräfte bei kleinen Wegänderungen erzeugt werden. Dieser Piezo-Effekt kann auch in umgekehrter Wirkrichtung als Kraftsensor genutzt werden (siehe Abschnitt 7.2).

Unter Umständen wird die Kraft oder das Moment innerhalb des Aktors weiter umgewandelt, z.B. wandelt ein Spindelantrieb eine rotatorische in eine translatorische Bewegung, treibt eine Asynchronmaschine eine Pumpe oder ein Piezo-Steller steuert ein Pneumatikventil. Darüber hinaus gibt es nicht-mechanische Aktoren. Beispiele sind: • • •

Thermisch: elektrische Widerstandsheizung Optisch: LED Akustisch: Lautsprecher

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A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-1

Anhang A Häufige Übertragungsglieder 1) Proportionalglied (P-Glied) Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

y(t ) = K u(t )

h(t ) = K σ (t )

Übertragungsfunktion:

h(t)

K

G( s ) = K Symbol:

K u

y 0

Simulink:

t

Ortskurve:

zu finden in der Bibliothek: Simulink\Math\Gain Eigenschaften: Verstärkung K als „Gain“

K G(jω)

Beschreibung: • Proportionale Verstärkung des Eimgangssignals • Übertragungsglied besitzt kein „Gedächtnis“ • Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

Bode-Diagramm: mit K db = 20 log K

A(ω)dB KdB



ϕ(ω)

ω Lehrstuhl Regelungstechnik in der Ingenieurinformatik Prof. Dr.-Ing. C. Ament

A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-2

2) Integrierglied (I-Glied)

Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

t

h(t ) = K ⋅ t ⋅ σ (t )

y(t ) = K

∫ u(τ ) dτ

τ =0

Übertragungsfunktion:

G(s) =

h(t)

K s

Steigung K K

Symbol:

0

K u

y

1

t

Ortskurve:

Simulink (für K=1):

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Integrator Eigenschaften: “Initial Condition“: ein zusätzlicher, additiver Anfangswert für t = 0 Beschreibung: • Das Eingangssignal wird über die Zeit hinweg aufintegriert. • Das Ausgangssignal verändert sich nur dann nicht, falls das Eingangssignal Null ist. • Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

G(jω)

Bode-Diagramm:

A(ω)dB

-20dB/Dek.

0dB



ϕ(ω)

-90° K

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ω

A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-3

3) Differenzierglied (D-Glied)

Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

y (t ) = K u (t )

h(t ) = K ⋅ δ (t )

Übertragungsfunktion: G(s) = K s

K

Symbol:

h(t)

K u

y

Simulink (für K=1):

0

t

Ortskurve:

G(jω) Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Derivative

Beschreibung: • Das Eingangssignal wird zeitlich differenziert. • Das D-Glied verstärkt Signale hoher Frequenz stark (siehe Bode-Diagramm), daher verstärkt es in unerwünschter Weise auch Rauschen am Eingang. Seine Realisierung ist daher problematisch. • Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

Bode-Diagramm:

A(ω)dB

+20dB/Dek.

0dB

90°

ϕ(ω)

0° 1/K

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ω

A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-4

4) Summierglied (S-Glied)

Funktionalbeziehung: y(t ) = ±u1 (t ) ± u2 (t ) ± 

Übertragungsfunktion: G(s) = ±U1 (s) ± U2 (s) ± 

Symbol:

u1

y ( ) u2

( )

Simulink:

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Math\Sum Eigenschaften: unter „List of Sign“ können die Vorzeichen (+/–) definiert werden. Beschreibung: • Die Eingangssignale werden unter Berücksichtigung der Vorzeichen summiert. • Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

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A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-5

5) Totzeitglied (Tt-Glied)

Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

y(t ) = K u(t − Tt )

h(t ) = K ⋅ σ (t − Tt )

Übertragungsfunktion:

K

h(t)

K

G(s) = K e − s Tt Symbol:

K u

Tt

0

y

t

Ortskurve:

Simulink (für K=1): K

ω=0

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Transport Delay Eigenschaften: Totzeit als „Time Delay“, zusätzlich ist die Größe des Bode-Diagramm für K=1: Pufferspeichers vordefiniert, der die Funktionswerte während der Totzeit A(ω)dB sichert. Beschreibung:

0dB

• Das Totzeitglied gibt das Eingangssignal unverändert, aber um die Totzeit Tt verzögert wieder aus. • Elementares, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied

G(jω)



ϕ(ω) -57°

-90°

ω0=1/Tt

ω

Für den Phasenverlauf kann keine Asymptote angegeben werden, es müssen Stützstellen bestimmt werden:  180°    π 

ϕ(ω ) = −Tt ⋅ ω ⋅ 

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A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-6

6) Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

T y (t ) + y(t ) = K u(t )

h(t ) = K 1 − e −t / T ⋅ σ (t )

(

Übertragungsfunktion: G(s) =

)

K

K 1+T s

h(t) 0,95K

Symbol:

0,63K

K

T

u

y

0

T

2T

3T t

Ortskurve:

Simulink:

K

Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Transfer Fcn Eigenschaften: [K] als „Numerator“ und [T 1] als „Denominator“ Beschreibung: • Das Ausgangssignal y folgt dem Eingang u verzögert. Je größer die Zeitkonstante T, desto langsamer ist das System. Nach dem Einschwingen gilt y = K ⋅ u .

G(jω)

Bode-Diagramm für K=1:

0dB

-20dB/Dek.

A(ω)dB

• Lineares, zeitinvariantes Glied • Lässt sich aus elementaren Gliedern zusammensetzen:

-3dB



ϕ(ω)

-66°/Dek. -45°

K/T y

u

-90° 1/K

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ω0=1/T

ω

A. Häufige Übertragungsglieder

Vorlesung Mess- und Regelungstechnik | Seite A-7

7) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) Funktionalbeziehung:

Sprungantwort:

T 2 y(t ) + 2dT y (t ) + y(t ) = K u(t )

a) ungedämpfter Fall (d = 0): h(t ) = K (1 − cos ω 0 t ) ⋅ σ (t )

Übertragungsfunktion:

b) periodischer Fall ( 0 < d < 1 ):

G(s) =

K

h(t ) = K[1 − e − δt (cos ωt +

T 2 s 2 + 2dT s + 1

δ sin ωt )] ⋅ σ (t ) ω

c) aperiodischer Grenzfall (d = 1):

Symbol:

K u

h(t ) = K[1 − e −ω0t (1 + ω0t )] ⋅ σ (t )

d T

d) aperiodischer Fall (d > 1):

y

h(t ) = K[1 − e − δt (cosh ωt +

δ sinh ωt ] ⋅ σ (t ) ω

mit: ω0 = 1 / T , δ = dω 0 ,

Simulink:

ω = ω0 1 − d 2 , ω = ω0 d 2 − 1 Ortskurve: Zu finden in der Bibliothek: Simulink\Continuous\Transfer Fcn Eigenschaften: [K] als „Numerator“ und [T^2 2*d*T 1] als „Denominator“

K

Beschreibung: G(jω)

• Schwingungsfähiges Verzögerungsglied. Nach dem Einschwingen gilt y = K ⋅u.

Bode-Diagramm für K=1:

• Lineares, zeitinvariantes Glied

A(ω0)dB = -20 log 2d

• Lässt sich aus elementaren Gliedern zusammensetzen:

u

1/T

K/T

0dB A(ω)dB

y 0°

2d/K 1/K

-40dB/Dek.

ϕ(ω) -90°

Tangente mit (-132°/d)/Dek.

-180°

ω0=1/T

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ω