¨ THEORETISCHE PHYSIK INSTITUT FUR
Quantenmechanik
Skriptum zur Vorlesung Wintersemester 2013/2014
Prof. Dr. U. Motschmann Dr. T. Bagdonat Priv-Doz. Dr. S. Simon Dr. H. Kriegel
Braunschweig, 2014
Inhaltsverzeichnis I
Verhalten der Quanten
7
1
Quanten sind anders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2
Doppelspalt-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1
Interferenzexperiment mit Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Interferenzexperiment mit Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Interferenzexperiment mit Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.4
Ein anderes Elektronenexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
II Grenzen der klassischen Physik
15
1
Etappen der Herausbildung der klassischen theoretischen Physik . . . . . . . . . . . . . .
15
2
Entdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
Klassisch nicht erkl¨ arbare Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1
Stabile Struktur der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Linienspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Exakte Gleichheit der Atome desselben Elementes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.4
Photoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.5
Schwarz-K¨ orper-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.6
Spezifische W¨ armekapazit¨at fester K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.7
Radioaktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
III Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
27
1
Experimente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2
Br¨ uckenbau zwischen Teilchen- und Wellentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1
Eikonalgleichung der geometrischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
29
4
INHALTSVERZEICHNIS
3
Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4
Konzept f¨ ur die Materiefeldgleichung (Schr¨odinger-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . .
35
IV Wellenmechanik
39
1
Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2
Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3
Operatoren und Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4
Das Ehrenfestsche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5
Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6
Die zeitfreie Schr¨ odinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7
Grenzbedingungen f¨ ur die Wellenfunktion ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.1
¨ Ubergangsbedingungen an einem Potentialsprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.2
¨ Ubergangsbedingung an einem δ-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.1
Ein Teilchen im Potentialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.2
Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
8.3
Das Wasserstoff-Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Der Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
9.1
Die Richtungsquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
9.2
Kommutatoren des Bahndrehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8
9
V Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
77
1
Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2
Dirac-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.1
Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.2
Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.3
Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.4
Messung einer Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Kompatible Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3
VI Darstellungen 1
95
Begriff der Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.1
95
Darstellung eines Zustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
5
1.2
Darstellung eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1.3
Spektraldarstellung eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1.4
Darstellung eines Erwartungswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2
Darstellungswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3
Ortsdarstellung und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.1
Eigenfunktionensystem des Ortsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.2
Eigenfunktionensystem des Impulsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3
Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4
Orts- und Impulsdarstellung der Schr¨odinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5
Translationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4
5
Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.1
Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator, Besetzungszahloperator . . . . . . . . 105
4.2
Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Wiederbesuch des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1
Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2
Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3
Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6
Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . 112
7
Erg¨ anzung: Umkehrtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
VII
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
117
1
Schr¨ odinger-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2
Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3
Dirac-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VIII St¨ orungstheorie 1
2
125
Station¨ are St¨ orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1.1
Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.2
Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Zeitabh¨ angige St¨ orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.1
¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.2
Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6
IX
INHALTSVERZEICHNIS 2.3
Fermi’s Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.4
Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Drehimpuls und Spin
151
1
Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2
Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3
Stern-Gerlach-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4
Paulische Spinmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5
Zur Theorie des Elektronenspins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6
Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
X
Quantenmechanischer Messprozess 1
2 XI
163
Pr¨ aparation eines Quantensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.1
Reine Zust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.2
Gemischte Zust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3
Statistischer Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.4
Vertr¨ agliche Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.5
Nichtvertr¨ agliche Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Quanten-Zeno-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Verschr¨ ankung
171
1
Zusammengesetzte quantenmechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2
Verschr¨ ankte Zust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3
EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
XII
Dekoh¨ arenz (Decoherence)
177
1
Schr¨ odingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2
¨ Zerst¨ orung von Uberlagerungszust¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Satz
Bilder
OLAF Zεlεsnik @ LATEX2ε (MiKTeX 1.20e & WinEdt 5.1) ¨ Uberarbeitung: Willi Fr¨ ohlke (TeXMakerX 2.1) ¨ Uberarbeitung: Hendrik Kriegel
Thorsten Bagdonat Michael Dorn Willi Fr¨ohlke
Fehler melden an: Uwe Motschmann (u.motschmann(at)tu-bs.de)
Kapitel I
Verhalten der Quanten
1
Quanten sind anders
In seinem Buch Sechs physikalische Finger¨ ubungen widmet Richard P. Feyman einen Abschnitt auch den Quanten [R. Feynman, Sechs physikalische Finger¨ ubungen, Piper, 2002] Am DoppelspaltExperiment macht er deutlich, dass in der Quantenwelt Ph¨anomene auftreten, die zun¨achst einmal in krassem Widerspruch zu unserer Alltagserfahrung stehen. Das liegt aber nur daran, dass wir makroskopische Beschreibungsweisen und Gesetze einfach nur herunter skalieren, aber das geht schief. Die Quanten haben eigene Gesetze, was aber nicht heißt, dass es keine Br¨ ucken zwischen der Makros- und Mikrowelt gibt. Und diesen Br¨ ucken zu folgen ist ebenso interessant, wie die Quantenwelt selbst.
2
Doppelspalt-Experimente
Klassische Mechanik:
Verhalten makroskopischer K¨orper
Elektrodynamik:
Verhalten elektromagnetischer Wellen, Strahlung, Licht, insbesondere Interferenz
Quantenmechanik:
Verhalten von Materie, insbesondere auf atomarer Ebene, ahnelt nichts von dem, was unmittelbarer Erfahrung zug¨anglich; z.B: ¨ Licht verh¨ alt sich wie Teilchen - u.U. Elektronen verhalten sich wie Wellen - u.U. aber immerhin verhalten sich Elektronen wie Licht. . .
Schwierigkeit:
Verst¨ andnis f¨ ur derartiges Problem
Problem:
alle unmittelbare Erfahrung durch große Gegenst¨ande
Wesen der QT:
unergr¨ undlich, Geheimnis; aber immerhin ist erstaunlich praktikabler Umgang m¨oglich
Experimente:
. . . mit Gewehrkugeln, . . . mit Wellen . . . mit Elektronen
Interferenz:
P1 + P2 6= P12
8
2.1
I. Verhalten der Quanten
Interferenzexperiment mit Kugeln
Abb.: Interferenzexperiment mit Kugeln (Feynman)
• Kugeln mit breiter Winkeldivergenz
• Kugeln ideal, unzerst¨ orbar, bleiben im Kugelfang oder Detektor stecken
• Detektor beweglich in x-Richung
• Experimentelle Beantwortung der Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel, die ¨ durch die Offnungen dringt, an einer Position x am Kugelfang ankommt?
• Wahrscheinlichkeit P (x) =
n(x) N
in bestimmter Zeit
• P12 Kugeln entweder durch 1 oder durch 2 • P1 geschlossen, Kugeln nur durch 1 • P2 geschlossen, Kugeln nur durch 2 • P1 + P2 = P12
2.2 Interferenzexperiment mit Wasserwellen
2.2
Interferenzexperiment mit Wasserwellen
Abb.: Interferenzexperiment mit Wasserwellen (Feynman)
• Flaches Wasserbecken • x-verschiebbarer Detektor am Absorber mit Intensit¨at I (Quadrat der Amplitude h) • Intensit¨ at ist kontinuierliche Gr¨ oße, keine ’Klumpung’ wie Kugeln • I12 : beide L¨ ocher offen • I1 : 1 offen, 2 geschlossen • I2 : 2 offen, 1 geschlossen • I1 + I2 6= I12 • Interferenz: Maxima bei Phasengleichheit, Minima bei Phasendifferenz π • I1 = |h1 |2
,
I2 = |h2 |2
,
I12 = |h1 + h2 |2
9
10
2.3
I. Verhalten der Quanten
Interferenzexperiment mit Elektronen
Abb.: Interferenzexperiment mit Elektronen (Feynman) • Elektronenkanone aus Wolframdraht auf negativem Potential • x-verschiebbarer Detektor wie Geigerz¨ahler • Z¨ ahlung durch Ticks am Geigerz¨ ahler: Mittlere Rate n(x) • Rate gr¨ oßer oder kleiner, Gr¨ oße der Ticks (Latust¨arke) bleibt immer gleich • Tick = Ankunft eines
Klumpen : Elektronen treffen immer in identischen Klumpen auf
• keine Halb-Ticks • Experimentelle Beantwortung der Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ElektronenKlumpen auf den Detektor x trifft? Dazu z¨ahlen der durchschnittlichen Ticks bei x • P12 : 1 und 2 offen • P1 : 1 offen, 2 geschlossen,
P2 vice-versa
Analyse des Experimentes: 1. Elektronen treffen als Klumpen auf 2. These A • Jedes Elektron kommt etweder durch 1 oder durch 2 • Unterteilung der Elektronen in zwei Klassen: Elektronen durch 1 bzw. Elektronen durch 2
2.4 Ein anderes Elektronenexperiment
11
• Elektronen durch 1 ? Dazu 2 schließen ⇒ Tick-Rate P1 • Elektronen durch 2 ? Dazu 1 schließen ⇒ Tick-Rate P2 • 1 und 2 offen: P12 offensichtlich nicht P1 + P2 sondern Interferenz • folglich obige These falsch, denn dann m¨ ussten sich Wahrscheinlichkeiten addieren 3. These B • Manche Elektronen gehen erst durch 1, dann auf ’verschlungenem’ Weg durch 2. Durch Abdecken von 2 wird Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein urspr¨ unglich durch 1 laufendes Elektron ge¨ andert. • Somit: Es gibt x, wo sehr wenige Elektronen auftreffen, wenn 1 und 2 offen sind. Abdecken von 2 l¨ asst durch 1 kommende Elektronen ansteigen • Aber: Es gibt andere x, wo sehr viele Elektronen auftreffen, wenn 1 und 2 offen sind, z.B. x=0. Abdecken von 2 l¨ asst jetzt durch 1 kommende Elektronen abnehmen. These B somit auch nicht erfolgreich, da Beliebigkeit in Absinken oder Ansteigen der Elektronenzahl bei Abdecken ¨ einer Offnung.
2.4
Ein anderes Elektronenexperiment
Abb.: Interferenzexperiment mit Elektronen und zus¨atzlicher Elektronenbeobachtung (Feynman) • zus¨ atzliche Pr¨ ufung von These A • Ausnutzen der Streuung von Licht durch elektrische Ladung ( Sichtbarmachen des Weges des Elektrons) • Platzieren einer Lichtquelle
12
I. Verhalten der Quanten
• Elektron durch 2, dann Lichtblitz bei A erwartet
Ergebnisse des Experimentes: 1. Bei jedem Tick im Detektor ist gleichzeitig ein Lichtblitz zu sehen - entweder nahe 1 oder nahe 2, nie gleichzeitig - unabh¨ angig von Detektorposition x. • Schlussfolgerung: Bei Beobachtung der Elektronen kommen diese entweder durch 1 oder 2. Experiment legt nahe, dass These A wahr ist. 2. Variation f¨ ur viele x ergibt P10 und P20 . P10 sehr ¨ahnlich P1 , P20 sehr ¨ahnlich P2 • Schlussfolgerung: Keine verschlungenen Wege, da P1 durch Abdeckung von 2 und P2 durch Abdeckung von 1 erhalten wurde. Beobachtung der Elektronen best¨atigt den erwarteten Weg. Elektronen durch 1 verteilen sich gleich, unabh¨angig ob 2 offen oder geschlossen ist - wenn das Elektron beobachtet wird. 3. Gesamtwahrscheinlichkeit unabh¨angig vom Weg durch 1 oder 2 : Ignorieren der Lichtblitze und 0 Z¨ ahlen aller Ticks ergibt P12 = P10 + P20 6= P12 0 4. Wenn die Lichtquelle ausgeschaltet wird, gilt wieder P12 statt P12 .
• Schlussfolgerung: Wenn Elektronen beobachtet werden, ist ihre Verteilung anders. • Bef¨ urchtung: Beobachtung st¨ ort Elektronen und f¨ uhrt zur beobachteten Ver¨anderung. Ergebnisse des Experimentes mit schwacher Lichtquelle 1. Wiederholung des Experimentes mit schw¨acherer Lichtquelle um St¨orung zu verringern. 2. Lichtblitze werden nicht schw¨ acher, allerdings gibt es Ticks im Detektor ohne Lichtblitz, d.h. Elektronen sind vorbeigeflogen, ohne gesehen zu werden. • Schlussfolgerung: Licht ist auch klumpig ⇒ Photonen. Abschw¨ achung verringert nicht die Gr¨oße der Photonen, sondern ihre Anzahl (Emissionsrate). 0 3. P10 ,P20 , P12 = P10 + P20 s.o., zus¨ atzlich P12 f¨ ur unbeobachtete Elektronen (kein Lichtblitz registriert). D.h. Interferenz nur f¨ ur unbeobachtete Elektronen!
Ergebnisse des Experimentes mit r¨ oterem Licht 1. Wiederholung des Experimentes mit Photonen geringerer Energie (r¨otere Photonen, Mikrowellen, Radiowellen, . . . ) ¨ 2. zun¨achst keine Anderung bei Energieverringerung der Photonen 3. Wenn die Wellenl¨ ange des Lichtes die Gr¨oßenordnung des Abstandes 1-2 erreicht, wird Lichtblitz so ausgedehnt, dass er nicht mehr 1 oder 2 zugeordnet werden kann. D.h. der Weg des Elektrons 0 kann nicht mehr beobachtet werden und P12 geht in P12 u ¨ber
2.4 Ein anderes Elektronenexperiment
13
Zusammenfassung des Standpunktes zu These A und These B: Frage: Stimmt es oder stimmt es nicht, dass das Elektron entweder durch 1 oder durch 2 kommt?
Antwort: Wird eine Vorrichtung benutzt, mit der bestimmt wird, ob das Elektron durch 1 oder durch 2 kommt, dann kann man sagen, es passiert 1 oder 2. Wird eine derartige Vorrichtung nicht benutzt, darf man nicht sagen, das Elektron geht durch 1 oder 2 ; das Elektron nimmt alle Wege. ¨ Wie weit lassen sich diese Uberlegungen treiben? Elektronen ⇒ Atome ⇒ Molek¨ ule ⇒ Fullerene ⇒ Viren ⇒ . . . (⇒ Schr¨odis cat)???
14
I. Verhalten der Quanten
Kapitel II
Grenzen der klassischen Physik
1
Etappen der Herausbildung der klassischen theoretischen Physik
Mechanik:
Newtonsche Mechanik begr¨ undet im 17 Jh. gelangte Ende 18. Jh, Anfang 19. Jh. zum Abschluß
Elektrodynamik :
1864: Maxwell-Gleichungen 1870: Theorie des Lichtes
T hermodynamik :
1842: 1. Hauptsatz von Mayer 1860: Statistische Thermodynamik von Maxwell 1867: 2. Hauptsatz von Clausius 1900: Statistische Thermodynamik von Gibbs
2
Entdeckungen
Chemie des 19. Jh.:
Materie besteht aus Atomen und Molek¨ ulen 1865: Loschmidtsche Zahl L = 6, 025 × 1023 mol−1
Elektron:
1886: Kanalstrahlen (Goldstein)
Radioaktivit¨ at:
1896: Becquerel
Strahlung des Schwarzen K¨ orpers“: ”
1899: Messungen durch Lummer & Pringsheim
Atommodell:
1911: Rutherford
16
3
II. Grenzen der klassischen Physik
Klassisch nicht erkl¨ arbare Erscheinungen
An der Wende zum 20. Jh. waren folgende Erscheinungen im Rahmen der klassischen Theorie nicht zu erkl¨ aren. 1. Stabile Struktur der Atome 2. Emmission und Absorption atomarer Strahlung in Form von Linienspektren 3. Exakte Gleichheit aller Atome desselben Elements 4. Photoelektrischer Effekt 5. Frequenzspektrum der Schwarz-K¨orper-Strahlung 6. Spezifische W¨ armekapazit¨ at von Gasen und Festk¨orpern und ihre Temperaturabh¨angigkeit bei tiefen Temperaturen cV −→ 0. T →0
7. Radioaktivit¨ at Einige dieser Probleme sollen im folgenden noch genauer erkl¨art werden.
3.1
Stabile Struktur der Atome
Die Elektronen im Rutherfordschen Atommodell m¨ ussen auf ihren Bahnen um den Atomkern zentripetal beschleunigt sein. Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, daß jede beschleunigte Ladung Energie ausstrahlt. Die Elektronen w¨ urden also st¨ andig Energie verlieren, sich auf spiralf¨ormigen Bahnen dem Kern n¨ ahern und in diesen st¨ urzen, denn nach dem Larmorschen Theorem gilt: dt U = −
2 1 e2 2 hv˙ i 3 4πε0 c3
(II.1)
¨ Die charakteristische Zeit daf¨ ur w¨ are τ ∼ 10−10 s (vgl. UA).
3.2
Linienspektren
Die beobachtbare atomare Strahlung sollte ein kontinuierliches Spektrum darstellen, so wie es im Bereich der Bremsstrahlung innerhalb des R¨ ontgenspektrums vorzufinden ist. Linien sind klassisch unverst¨andlich; die kinetische Energie sollte proportional zur Lichtintensit¨at sein.
3.3
Exakte Gleichheit der Atome desselben Elementes
Wenn die Elektronen auf Bahnen um den Kern kreisen wie die Planeten des Sonnensystems, sollte jedes Atom individuell sein. Die exakte Gleichheit ist klassisch unverst¨andlich.
3.4
Photoelektrischer Effekt
L¨ aßt man Licht auf eine Metallplatte fallen, so werden aus dem Metall Elektronen ausgel¨ost. Die Anzahl der austretenden Elektronen ist proportional zur Lichintensit¨at, ihre kinetische Energie aber proportional der Frequenz und unabh¨ angig von seiner Intensit¨at. Nach der Maxwellschen Theorie ist dies unverst¨ andlich.
3.5 Schwarz-K¨ orper-Strahlung
3.5
17
Schwarz-Ko ¨rper-Strahlung
Ein Schwarzer K¨ orper hat ein Absorptionsverm¨ogen a = 1. Ein solcher K¨orper l¨aßt sich n¨aherungsweise als Hohlraum mit thermisch isolierten W¨anden realisieren, in dessen Wand ein kleines Loch gebohrt wurde. Die Schw¨ achung des Strahls infolge der bei jeder Reflexion auftretenden Absorption f¨ uhrt zu a = 1. Die Schwarz-K¨orper-Strahlung wird deshalb auch Hohlraumstrahlung genannt. Die Strahlungsdichte der Hohlraumstrahlung ist unabh¨angig von der Art des Materials und der Oberfl¨ achenbeschaffenheit der W¨ande. Die experimentell meßbare Strahlungsdichte muß daher eine universelle, ω abh¨angige allein von der Temperatur T und der Frequenz f = 2π Funktion sein, die aus allgemeinen physikalischen Prinzipien herzuleiten sein m¨ ußte. T2 > T1 T1
Folgende experimentellen Befunde liegen vor: u
• Wiensches Verschiebungsgesetz: F¨ ur das spektrale Maximum gilt Tωˆ = const. R • Stefan-Boltzmann-Gesetz: u = uω dω ∝ T 4 s dabei ist u die Energiedichte [u] = W m2 1
3.5.1
2
Klassische Theorie der Schwarz-K¨ orper-Strahlung
In der klassischen Physik gilt der Gleichverteilungssatz. Demnach betr¨agt die mittlere kinetische Energie je Freiheitsgrad 12 kB T , wenn das die Freiheitsgrade tragende System mit einem Reservoir der Temperatur T gekoppelt ist. Beispiel: Ideales Gas = b System von N freien Teilchen; 3 Dimensionen; Gesamtenergie U=
3 N kB T 2
(II.2)
F¨ ur Teilchen in einem Potential Vb tr¨ agt auch die mittlere potentielle Energie zur Gesamtenergie bei. ur die mittlere Insbesondere kommt beim harmonischen Oszillator noch einmal 12 kB T je Freiheitsgrad f¨ potentielle Energie hinzu. Beispiel: N eindimensionale Harmonische Oszillatoren; Gesamtenergie 1 1 U = hTbi + hVb i = N kB T + N kB T = N kB T 2 2 Hierin erkennen wir auch den Virialsatz f¨ ur harmonische Schwingungen hTbi = hVb i wieder.
(II.3)
18
II. Grenzen der klassischen Physik
Welcher Zusammenhang besteht aber nun zur Hohlraumstrahlung? Wie z¨ahlt man deren Freiheitsgrade und welche Relation ergibt sich f¨ ur deren kinetische und potentielle Energie? Das Strahlungsfeld besteht aus einer zu ermittelnden Zahl von Wellentypen, die der Teilchenzahl vergleichbar ist. Jeder Wellentyp hat zwei unabh¨angige Polarisationsrichtungen, die den drei Translationen eines Teilchens vergleichbar sind. Wir zerlegen das Strahlungsfeld in die einzelnen m¨ oglichen Wellentypen (=Wellenmoden); jeder Wellentyp kann 0 L x angeregt sein und entspricht einem Freiheitsgrad. In einer Dimension ist etwa ein Wellentyp m¨ oglich, wie er in der nebenstehenden Abbildung dargestellt ist.
t0
t1
Wir nehmen die W¨ande des Hohlraums als ideal leitend an, so daß dort immer Knoten des elektrischen Feldes vorliegen. Ein Wellentyp ist dann eine stehende r¨aumliche Struktur. Allerdings kann die Amplitude zeitlich oszillieren, wie in den nebenstehenden Abbildungen f¨ ur die Zeitpunkte t0 , t1 und t2 skizziert. Die Amplitude q(t) verh¨alt sich gerade wie ein harmonischer ¨ Oszillator (weitere Einzelheiten dazu s. UA). Jede Wellenmode ist deshalb wie ein einziger harmonischer Oszillator beschreibbar. Insbesondere kann ihr die mittlere Energie kB T zugeschrieben werden.
F¨ ur das Abz¨ahlen der Moden betrachten wir einen w¨ urfelf¨ ormigen Hohlraum als besonders einfache Geometrie. Die Wellenmoden sind dann analytisch einfach angebbar und damit auch abz¨ahlbar. Die W¨ande des Hohlraums seien metallisch 0 L x und ideal leitend (σ → ∞). Als Randbedingung f¨ ur das elektrische Feld E ergibt sich dann Ek = 0. D. h. im Hohlraum gibt es nur stehende elektromagnetische Wellen. Mit dieser Randbedingung sind die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum
t2
∂x × E
= −∂t B
(II.4)
∂x × H
= ∂t D
(II.5)
∂x E
=
0
(II.6)
∂x B
=
0
(II.7)
D
= ε0 E
(II.8)
B
= µ0 H
(II.9)
zu l¨ osen. Es folgt ∂x × ∂x × E ∂x (∂x E) −∂x2 E | {z }
= −ε0 µ0 ∂t2 E = −
1 2 ∂ E c2 t
(II.10) r mit c =
1 ε0 µ0
(II.11)
=0
und schließlich die bekannte Vakuum-Wellen-Gleichung 1 2 2 ∂x − 2 ∂t E = 0 . c
(II.12)
L¨ osung sind ebene Wellen mit der Dispersionsrelation k2 =
ω2 , c2
k = (k1 , k2 , k3 ),
k = |k| =
q
k12 + k22 + k32
(II.13)
3.5 Schwarz-K¨ orper-Strahlung
19
und der Polarisationsbedingung k · E = 0, k⊥E. Die Randbedingungen schr¨anken nun die L¨osungsvielfalt ein. Nur transversale ebene Wellen von der Form E(x, t) ∝ sin(kx)
(II.14)
π k1 = m1 , m1 = 0, 1, 2, · · · L π k2 = m2 , m2 = 0, 1, 2, · · · L π k3 = m3 , m3 = 0, 1, 2, · · · L
(II.15)
mit
sind erlaubt. Da an den Hohlraumw¨ anden Knoten auftreten, ist auch anschaulich klar, daß ganzzahlige Vielfache der halben Wellenl¨ ange die Gesamtausdehnung des Hohlraums ergeben; umgestellt folgt nun wegen ki = 2π λi λ1 λ2 λ3 m1 = L; m2 = L; m3 = L (II.16) 2 2 2 Die Dispersionsrelation geht u ¨ber in q cπ ω = ck = m21 + m22 + m23 (II.17) L Jedem Tripel nat¨ urlicher Zahlen (m1 , m2 , m3 ) entsprechen zwei Wellenmoden (Freiheitsgrade); Zwei, da es zu jedem erlaubten ω zwei unabh¨ angige Polarisationsrichtungen gibt. F¨ ur den Vergleich mit den experimentellen Befunden ist es nun notwendig, die Anzahl der Moden in einem Frequenzintervall dω anzugeben. ω ist offensichtlich proportional zum Radius m im vom m1 , m2 , m3 aufgespannten Raum. Wir bezeichnen
m :=
q
m21 + m22 + m23
m2
(II.18)
cπ cπ m, dω = dm (II.19) L L m ist nat¨ urlich i. A. keine ganze Zahl mehr. Liegen nun in einem Intervall dm gen¨ ugend viele Moden, so spielt die diskrete Struktur des m-Raumes keine wesentliche Rolle und die m1 , m2 , m3 k¨onnen kontinuierlich betrachtet werden. F¨ ur nicht zu kleine m ist dies gew¨ahrleistet. Die kleinen m spielen aber in der Gesamtbilanz keine Rolle.
m
dm
ω=
ϕ
Die Anzahl der Moden in einem Volumenelement dm1 , dm2 , dm3 bei m1 , m2 , m3 ist N (m1 , m2 , m3 )dm1 dm2 dm3 = 2 dm1 dm2 dm3
.
m1
(II.20)
Die Zwei ergibt sich aus den zwei m¨ oglichen Polarisationen. Im m-Raum gehen wir von kartesischen zu Kugelkoordinaten u ¨ber; dann gilt dm1 dm2 dm3 = m2 sin ϑ dm dϑ dϕ
.
(II.21)
F¨ ur alle Moden, die in einem Intervall dm liegen, ist u ¨ber ϕ und θ abzuintegrieren: π
π
Z2
Z2
N (m)dm = 2
dϕ 0
sinϑ dϑ m2 dm
,
(II.22)
0
π N (m)dm = 2 m2 dm 2
.
(II.23)
20
II. Grenzen der klassischen Physik
Die Anzahl der Moden in einem Frequenzintervall dω ist dann 3 L ω 2 dω N (ω)dω = π cπ
.
(II.24)
Auf jede Mode entf¨ allt nun die mittlere Energie kB T . So ergibt sich die Gesamtenergie U im Hohlraum zu Z∞ Z∞ kB T U = kB T N (ω)dω = L3 3 2 ω 2 dω (II.25) c π 0
0
3
bzw. die Energiedichte u = U/L zu Z∞ u=
kB T 2 ω dω c3 π 2
.
(II.26)
0
Unter Benutzung von Rayleigh-Jeans-Gesetz
Z∞ uω dω
u=
(II.27)
0
u
lesen wir die spektrale Energiedichte uω zu uω =
ω2 kB T c3 π 2
ab (Rayleigh-Jeans-Gesetz). Der Faktor dendichte n(ω) = N (ω)/V .
(II.28) ω2 c3 π 2
entspricht der Mo-
Die klassisch berechnete spektrale Energiedichte stimmt nur f¨ ur kleine Frequenzen (ω) mit dem Experiment u ur ¨berein. F¨ wachsende (ω) w¨achst (uω ) unbegrenzt an. Die Energiedichte Z∞ uω dω → ∞
u=
(II.29)
0
divergiert. Die klassische Theorie bewirkt eine Ultraviolett-Katastrophe.
3.5.2
Plancksche Hypothese (1900)
Ein Vorschlag Plancks zur Beseitigung der UV-Katastrophe stellt die Geburtsstunde der Quantenmechanik dar. Plancks Ansatzpunkt f¨ ur eine Ab¨ anderung war der Gleichverteilungssatz; die Modendichte findet keine Ab¨ anderung. Rufen wir uns den Gleichverteilungssatz f¨ ur einen harmonischen Oszillator noch einmal in Erinnerung. Seine mittlere Energie je Freiheitsgrad betr¨agt kB T , wenn er sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Reservoir der Temperatur T befindet. Diese Formel kam folgendermaßen zustande. Die Energiezust¨ ande, die ein eindimensionaler (ein Freiheitsgrad) harmonischer Oszillator der Frequenz ω einnehmen kann, sind p2 ω2 2 ε(p, q) = + q . (II.30) 2 2 Bei Kopplung mit einem Reservoir der Temperatur T ist die Wahrscheinlichkeit P , daß ein bestimmter Wert ε eingenommen wird, proportional zum Boltzmann-Faktor, also P ∝e
−
ε(p,q) kB T
.
(II.31)
3.5 Schwarz-K¨ orper-Strahlung
21
Das Reservoir sind die W¨ ande des Hohlraums. Die mittlere Energie hεi des Oszillator ist dann R hεi =
Zum Ausrechnen ist es geschickt β =
1 kB T
−
ε(p,q)
ε(p, q)e kB T dpdq R − ε(p,q) e kB T dpdq
.
(II.32)
einzuf¨ uhren und umzuschreiben zu
d ln hεi = − dβ
Z
e−βε dpdq
.
(II.33)
Es folgt hεi = −
d ln dβ
Z∞
e−β
p2 2
Z∞ dp
−∞
−∞
r
r
e−β
ω2 2
q2
dq
.
(II.34)
Mit v= und
β p, 2
Z∞
x=
2
e−v dv =
β
√
ω2 q 2
(II.35)
π
(II.36)
−∞
l¨ aßt sich dies umschreiben zu r 2 1 d = − d ln 1 q ln hεi = − dβ β β ω2 dβ βω
(II.37)
2
hεi =
d 1 ln (βω) = = kB T dβ β
.
(II.38)
Plancks Ab¨ anderung besteht nun darin, daß die Oszillatoren ( = b Wellenmoden) nur noch diskrete Energiewerte εl mit εl = l~ω, l = 0, 1, 2, ..., ~ = const. (II.39) annehmen k¨ onnen. Das Strahlungsfeld tauscht mit den W¨anden des Hohlraums Energie nur portioniert aus. Die Portionen oder Quanten sind ~ω. Die Wahrscheinlichkeit P , daß ein Energiewert εl bei Kopplung mit dem Reservoir angenommen wird, ist nach wie vor proportional zum Boltzmann-Faktor P ∝e
−k
εl BT
.
(II.40)
Die mittlere Energie hεi ist analog ε
− k lT B l=0 εl e P∞ − k εlT B l=0 e
P∞ hεi =
.
(II.41)
Zur Auswertung schreiben wir wiederum ∞
hεi = −
X d ln e−βεl dβ l=0
.
(II.42)
22
II. Grenzen der klassischen Physik
Nun gilt
∞ X
e−βl~ω =
l=0
und somit hεi = −
∞ X
e−β~ω
l
1 1 − e−β~ω
=
l=0
(II.43)
d d 1 = ln ln 1 − e−β~ω dβ 1 − e−β~ω dβ ~ω ~ωe−β~ω = β~ω −β~ω 1−e e −1 ~ω . hεi = ~ω e kB T − 1
hεi =
(II.44) (II.45) (II.46)
Die spektrale Energiedichte uω erh¨ alt man durch Multiplikation mit der Modendichte ω 2 /c3 π 2 zu uω =
ω2 ~ ω3 hεi = ~ω c3 π 2 c3 π 2 e k B T − 1
.
(II.47)
Diese Funktion stimmt mit dem Experiment u ¨berein. ~ω
• F¨ ur ~ω kB T gilt e kB T ' 1 +
~ω kB T
und somit hεi =
~ω 1+
~ω kB T
uω =
−1
= kB T
(II.48)
ω2 kB T c3 π 2
(II.49)
• Das Wiensche Verschiebungsgesetz leitet sich aus dem Planckschen Strahlungsgesetz wie folgt ab. F¨ ur das spektrale Maximum gilt ∂ω uω = 0 (II.50) bzw. ∂x
x3 =0 ex − 1
mit
x = ~ω/kB T
,
(II.51)
also 3x2 (ex − 1) − x3 ex = 0 3 − 3e
−x
(II.52)
−x=0 .
(II.53)
~ˆ ω = 2, 82 . kB T
(II.54)
Die numerisch bestimmte Wurzel lautet x ˆ=
• Das Stefan-Boltzmann-Gesetz nimmt nun die Form U u= = V
Z∞
~ uω dω = 3 2 c π
0
~ (kB T )4 u= 3 2 c π ~4
Z∞ 0
Z∞ 0
e
dω
(II.55)
−1
4 x3 dx π 2 kB T4 = ex − 1 15 c3 ~3 | {z } =π 4 /15
an.
ω3 ~ω kB T
(II.56)
3.6 Spezifische W¨ armekapazit¨ at fester K¨ orper
23
Das Wiensche Verschiebungsgesetz und das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefern zwei unabh¨angige Gleichungen f¨ ur kB und ~; damit sind kB und ~ experimentell bestimmbar. Die heute g¨ ultigen Werte lauten: 2π~
=
h = kB
3.6
=
6, 62606876(52) · 10−34 Js J 1, 3806503(24) · 10−23 K
(II.57) (II.58)
Spezifische W¨ armekapazit¨ at fester K¨ orper
Hier tritt ein ¨ ahnliches Problem auf wie bei der Hohlraumstrahlung. Die klassische Vorstellung gilt nur f¨ ur hohe Temperaturen, versagt aber f¨ ur niedrige Temperaturen.
3.6.1
CV
Nebenstehende Abbildung zeigt den experimentellen Verlauf (durchgezogene Linie) und das klassische Ergebnis (gestrichelte Linie). Die spezifische W¨ arme cV ist definiert durch cV = ∂U ∂T V .
T
Klassische Theorie
Die Atome f¨ uhren Schwingungen um ihre Ruhelage aus. Die Temperatur ist ein Maß f¨ ur die hiermit verbundene kinetische Energie. Die mittlere kinetische Energie je Freiheitsgrad betr¨agt 12 kB T . Wenn die Auslenkungen der Atome nicht zu groß sind, verhalten sie sich wie harmonische Oszillatoren. Die potentielle Energie je Freiheitsgrad betr¨agt dann im Mittel ebenfalls 21 kB T . Im realen K¨ orper sind die Oszillationen miteinander verkoppelt. Die Entkopplung ist jedoch auf folgende Art m¨ oglich: Koordinatenz¨ ahlung Auslenkung aus Gleichgewicht
1. Oszillator x1 x2 x3
Kinetische Energie
Tb =
3N X mi i=1
Potentielle Energie
Vb (x1 , .., x3N ) = Vb0 +
2. Oszillator x4 x5 x6
2
... ...
x˙ 2i
(II.59)
3N 3N X 1 X (∂xi Vb )xi + (∂xi ∂xj Vb )xi xj 2 i=1 i,j=1
(II.60)
Diese Reihenentwicklung wird um die Potentialminima ausgef¨ uhrt, so daß ∂xi Vb = 0 gilt. Außerdem b b schreiben wir aij = ∂xi ∂xj V und setzen V0 = 0. Gesamtenergie
U=
3N X mi i=1
Hauptachsentransformation
2
x˙ 2i
xi =
3N 1 X + aij xi xj 2 i,j=1
3N X r=1
Sir qr
√
mi q˙i = pi
(II.61)
(II.62)
24
II. Grenzen der klassischen Physik
Folglich gilt 3N X 1
U=
2
i=1
p2i
ω2 + i qi2 2
.
(II.63)
Der feste K¨ orper aus N Atomen kann als 3N ungekoppelte harmonische Oszillatoren aufgefaßt werden. Dann gilt U = 3N hεi. (II.64) Wegen hεi = 12 kB T + 12 kB T folgt U = 3N kB T und
cV =
∂U ∂T
(II.65)
= 3N kB
.
(II.66)
V
Diese als Dulong-Petit-Gesetz bekannte Relation gilt aber nur f¨ ur hohe Temperaturen.
3.6.2
Verbesserung des Modells durch Einstein (1907)
Einstein setzt in seinem Modell voraus, daß alle Oszillatoren die gleiche Frequenz ω haben. Die mittlere Energie je Oszillator sei wie im Hohlraum gem¨aß (II.46) ~ω
hεi = e
~ω kB T
.
(II.67)
−1
Zugrunde liegen hier die gleichen Vorstellungen wie bei der Hohlraumstrahlung. Die Energie der Oszillatoren ist quantisiert: εl = l~ω (II.68) Damit ergibt sich aus (II.64) ~ω
U = 3N e
~ω kB T
(II.69)
−1
und cV =
∂U ∂T
V
cV = 3N kB
Sei D =
~ω kB ,
~ω
− B~ωT 2 e kB T = −3N ~ω k~ω 2 e kB T − 1
~ω kB T
(II.70)
~ω
2
e kB T
~ω
e kB T − 1
2
.
(II.71)
dann ist cV = 3N kB
D T
2 h
cV = 3N kB
D
eT D
e 2T
D 2T
2
D
D
e 2T − e− 2T
1 sinh2
i2
(II.72)
.
(II.73)
(Dulong-Petit)
(II.74)
D 2T
Als Grenzf¨ alle folgen: D T cV = 3N kB
3.7 Radioaktivit¨ at D T
25
D 1 D ≈ e 2T 2T 2 2 D D cV = 3N kB e− T → 0 T
(II.75)
sinh
(II.76)
¨ Die Ubereinstimmung mit dem Experiment ist qualitativ gegeben, aber nicht sehr gut. Eine befriedigende Theorie wurde 1912 durch Debye entwickelt. Der Quantisierungsgedanke blieb unver¨andert, aber ω=const. wurde aufgegeben. F¨ ur verschiedene ω ergeben sich dann verschiedene Modendichten ¨ahnlich wie im Hohlraum. CV
Experiment Einstein
D T
3.7
Radioaktivit¨ at
Der spontane Zerfall von Atomkernen, die eine gewisse Zeit stabil vorlagen ist klassisch nicht erkl¨ arbar. Im Rahmen der Quantentheorie gab Gamow sp¨ater eine Erkl¨arung aufgrund des Tunneleffektes.
26
II. Grenzen der klassischen Physik
Kapitel III
Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0) Bei einigen unter II.3 behandelten Ph¨ anomenen wurde offensichtlich, dass bis dahin sichere Wellenerscheinungen nun einer Teilchenbeschreibung bedurften, um die Ergebnisse verst¨andlich machen zu k¨onnen. Die Schwarz-K¨ orper-Strahlung und der Photoelektrische Effekt konnten im Bild elektromagnetischer Wellen nicht erkl¨ art werden. Erst eine Teilchenvorstellung - das Photon - schien brauchbar. Mit dem Photon und ahnlichen Teilchen, die eine verschwindende Ruhemasse haben (m0 = 0), werden wir uns in der Vorlesung ¨ aber nicht weiter besch¨ aftigen. Umgekehrt gibt es Experimente mit Teilchen, die offensichtlich Wellencharakter hatten. Einige sollen genannt sein, denn genau solche Teilchen mit nichtverschwindender Ruhemasse (m0 6= 0) stehen im Fokus der Vorlesung.
1
Experimente • 1927, Davisson u. Germer: Bragg-Reflexion von Elektronen an Ni-Einkristalloberfl¨ achen
Θ
Θ
d
• 1928, Thomson u.a.: Debye-Scherrer-Ringe durch Beugung von Elektronen an polykristallinem Material • 1929, Stern Kristallbeugungsexperimente mit monoenergetischen Strahlen von He-Atomen und H2 -Molek¨ ulen, Best¨ atigung der de Broglie-Beziehung • a ¨hnliche Beugungsexperimente mit Protonenstrahlen, langsamen Neutronenstrahlen wie sie in heutigen Kernreaktoren erzeugt werden. Die Experimente zeigen klar, dass die Wellenstruktur nicht auf Elektronen beschr¨ankt ist, sondern dass es sich um eine allgemeine Eigenschaft materieller Objekte handelt.
2
Bru ¨ ckenbau zwischen Teilchen- und Wellentheorie
Die dualistischen Ergebnisse sind im Rahmen der klassischen Theorien nicht geeignet beschreibbar. Bei scheinbar offensichtlichen Teilchenexperimenten versagt die Teilchentheorie (Mechanik), und bei scheinbar offensichtlichen Wellenexperimenten versagt die Wellentheorie (Elektrodynamik), w¨ahrend die jeweils andere Theorie besser zur Interpretation geeignet scheint.
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
28
Eine neue Theorie, die beides umfaßt, muß erraten“ werden. Um dieses Erraten“ zu erleichtern, suchen ” ” wir nach Ans¨ atzen f¨ ur Teilchenbeschreibungen in der Elektrodynamik sowie f¨ ur Wellenbeschreibungen in der Mechanik. Innerhalb der Elektrodynamik ist es die geometrische Optik, die mit ihren Strahlen die Trajektorien von Teilchen assoziiert. Innerhalb der Mechanik ist es die Hamilton-Jacobi-Beschreibung, die mit ihrer Wirkungsfunktion eine Wellenfront assoziiert.
2.1
Eikonalgleichung der geometrischen Optik
Um die geometrische Optik anwenden und von der Ausbreitung eines Strahls sprechen zu k¨onnen, ist es notwendig, dass die Eigenschaften des optischen Mediums zeitunabh¨angig und r¨aumlich nur schwach ver¨ anderlich innerhalb einer Wellenl¨ ange λ sind. Somit gilt ∂t ε = 0,
ε , λ
|∂x ε|
∂t µ = 0,
|∂x µ|
µ λ
.
(III.1)
Die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Medium ∂x × H = ∂t D, ∂x × E = −∂t B,
∂x B = 0
(III.2)
∂x D = 0
(III.3)
und die Materialgleichungen D = ε0 εE,
B = µ0 µH,
(isotrop)
(III.4)
ergeben ∂x2 E −
n2 2 ∂ E = −∂x (E∂x ln ε) − ∂x ln µ × ∂x × E c2 t
.
Die rechte Seite ist aber von der Ordnung O λ1 w¨ahrend die linke Seite O Wellengleichung wie in homogenen und isotropen Isolatoren ∂x2 E −
n2 2 ∂ E=0 . c2 t
(III.5) 1 λ2
ist. Folglich gilt die
(III.6)
Es gilt aber trotzdem n = n(x) wegen n2 = ε(x)µ(x). Im streng homogenen Medium folgt die gut bekannte L¨osung Ej = Ej0 ei(kx−ωt)
(III.7)
mit der Dispersionsbeziehung k2 =
n2 2 ω c2
und k ≡ |k| =
2π λ
(III.8)
.
(III.9)
Weiterhin schreiben wir
2π ; (III.10) λ0 k0 , λ0 stellen die Wellenzahl bzw. Wellenl¨ange dar, die die Welle im Vakuum annehmen w¨ urde. Jetzt f¨ uhren wir noch den Einheitsvektor der Ausbreitungsrichtung ˆs ein und k¨onnen dann schreiben k = nk0 ,
k0 =
k = kˆs = k0 nˆs
(III.11)
2.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
29
und Ei = Ei0 eik0 (nˆs x−ct) ,
i = 1, 2, 3
(III.12)
Die Gr¨ oße L = nˆs x ist die optische Wegl¨ ange oder das Eikonal . Im schwach inhomogenen Medium wird nun f¨ ur den optischen Weg allgemein L(x) angesetzt und die Amplitude wird ebenfalls variabel zugelassen, so dass Ei = Ei0 (x)eik0 (L(x)−ct)
(III.13)
zu schreiben ist. Die reelle Amplitude wird substituiert durch A = ln Ei0 , so dass Ei = eA(x)+ik0 (L(x)−ct)
(III.14)
in die Wellengleichung einzusetzen ist. Es folgt ∂x Ei = ∂x A + ik0 ∂x L eA+ik0 (L−ct) n o ∂x2 Ei = ∂x2 A + ik0 ∂x2 L + (∂x A + ik0 ∂x L)2 eA+ik0 (L−ct)
(III.15) (III.16)
und somit ∂x2 Ei −
n o n2 2 2 2 2 2 2 2 2 A + ik ∂ L + (∂ A) + 2ik ∂ A∂ L − k (∂ L) + k n ∂ E = ∂ eA+ik0 (L−ct) = 0 0 x 0 x x x i x 0 0 t x c2 (III.17)
Wir benutzen nun die schwache Abh¨ angigkeit von A und L von x. Mathematisch wird dies durch λ0 → 0 beschrieben, was gerade dem Bild der geometrischen Optik entspricht. So folgt die Eikonalgleichung der geometrischen Optik 2 ∂ x L = n2 , (III.18) bzw. ∂x L = n, oder
ZP2 L=
∂x L = nˆs ZP2
nˆs dx = P1
(III.19)
n ds
.
(III.20)
P1
Die optische Wegl¨ ange L ist damit wie eine Trajektorie auffaßbar, entlang der sich die Photonen quasimechanisch ausbreiten. Beweis: siehe M. Kline, J.W. Kay, Electromagnetic theory and geom. Opt., p. 70-72
2.2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
Im Fokus der Hamilton-Jacobi-Theorie steht die Wirkungsfunktion S, auch Hamiltonsche Prinzipalfunktion oder Erzeugende 1 genannt. Diese Funktion ist u ¨ber die Lage- und Impulskoordinaten eines Teilchens hinaus interpretierbar, und man kann ihr z. B. Phasenfl¨achen zuschreiben, die eine Assoziation zum Wellenbild herstellen. Wir rufen uns die wichtigen Schritte der Theorie in Erinnerung und setzen dazu bei den Hamiltonschen Kanonischen Gleichungen p˙k = −∂qk H, q˙k = ∂pk H (III.21) 1 Erzeugende
bzgl. der kanonischen Transformationen, auf die hier nicht eingegangen werden soll.
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
30 mit H(pk , qk , t) =
X
q˙k pk − L(qk , q˙k , t)
(III.22)
k
an. Zugrunde liegt diesen Gleichungen das Hamiltonsche Prinzip Zt
Zt L dt = δ
δ
t0
t0
! X
dt0 = 0 .
q˙k pk − H
(III.23)
k
Der Integrand ist nicht eindeutig festgelegt; eine additive totale zeitliche Ableitung einer Funktion S ist ohne Einflußauf das Extremum, solange die Variationen bei t0 , t verschwinden. Wir setzen X
q˙k pk − H =
k
dS dt
,
(III.24)
wobei S = S(qk , t, qk0 , t0 ) ist. Bei t0 und t verschwinden die Variationen der qk0 , qk beim Hamilton-Prinzip immer. Ausf¨ uhren der totalen Ableitung ergibt X X q˙k pk − H(qk , pk , t) = ∂qk S · q˙k + ∂t S . (III.25) k
k
Vergleich der Koeffizienten von q˙k ergibt pk = ∂qk S
(III.26)
und es verbleibt ∂t S + H(qk , pk , t) = 0
.
(III.27)
Zusammengefaßt folgt die Hamilton-Jacobi-Gleichung ∂t S + H(qk , ∂qk S, t) = 0 .
(III.28)
S hat die Dimension einer Wirkung; sie wird durch diese partielle Differentialgleichung 1. Ordnung bestimmt. Bemerkung: Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung l¨ost man mit der CharakteristikenMethode. Die Charakteristiken der Hamilton-Jacobi-Gleichung sind gerade die Hamiltonschen Gleichungen. Von besonderem Interesse ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit abh¨ angt, also ∂t S + H(qk , ∂qk S) = 0 (III.29) gilt. Der Separationsansatz S(qk , t) = W (qk ) − βt,
β = const.
(III.30)
f¨ uhrt auf H(qk , ∂qk W ) = β
.
(III.31)
Wenn das System konservativ ist, ist eine der Integrationskonstanten die Energie U . Dann gilt U = β und somit H(qk , ∂qk W ) = U . (III.32)
2.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik
31
Soweit die Erinnerung an die Hamilton-Jacobi-Theorie. S und W sollen nun interpretiert werden f¨ ur ein System aus einem Teilchen, bei dem H nicht explizit von der Zeit abh¨ angt, also S(x, t) = W (x) − U t . (III.33) S=const. beschreibt Fl¨ achen im R3 , die sich ausbreiten. Die Fl¨ achen k¨ onnen wir als Wellenfronten auffassen. W =const. beschreibt feststehende Fl¨ achen im R3
W=b+Udt W=a+Udt
Ein Wert S=const. der Wirkungsfunktion wandert im laufe der Zeit von einer W -Fl¨ ache zur anderen.
W=b W=a
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfronten S=const. folgt u ¨ber dS = 0 aus dS = ∂x Sdx + ∂t Sdt =
S(dt)=b
(III.34)
|∂x S|ds + ∂t Sdt = 0
S(dt)=a
zu vs =
∂t S U ds =− = , dt |∂x S| ∂x W v s = vs ˆs,
S(0)=a
(III.35)
∂x S |∂x S|
ˆs =
S(0)=b
(III.36)
Das Teilchen bewege sich im Potential Vb . Dann gilt H= und weiter
p2 + Vb , 2m
pi = ∂qi S = ∂xi W
1 2 (∂x W ) + Vb = U 2m 2 (∂x W ) = 2m(U − Vb ) = 2mTb = p2 ,
(III.37)
(III.38) p = |p| .
(III.39)
Es folgt vs = p
U 2mTb
=
U U = , p mvT
vT = Teilchengeschwindigkeit.
(III.40)
Besonders beachten wollen wir hier die Analogie in den Gleichungen zur Wirkungsausbreitung und der Eikonalgleichung der Geometrischen Optik, die die Strahlausbreitung beschreibt: 2
(∂x W ) = p2
,
(III.41)
2
.
(III.42)
(∂x L) = n2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung wird mitunter auch als die Eikonalgleichung des Materiefeldes bezeichnet. Zusammenfassend zu diesem Abschnitt ist festzustellen, dass die Hamilton-Jacobi-Theorie neben der Teilchengeschwindigkeit vT eine weitere charakteristische Geschwindigkeit vS beinhaltet: U vS = q 2m(U − Vb )
(III.43)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
32
r vT =
2 (U − Vb ) m
(III.44)
Die Vermutung liegt nahe, dass diese Geschwindigkeiten mit der Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit ihr Gegenst¨ uck im Wellenbild finden. Wir weisen noch auf folgenden interessanten Zusammenhang hin: v S · vT =
U m
bzw.
m vS vT = U
(III.45)
Man vergleiche mit m · c2 = U . Insbesondere gilt f¨ ur ein freies Teilchen (Vb ≡ 0) r U p vS = = , 2m 2m also vS =
3
r vT = 1 vT 2
2U p = m m
.
(III.46)
(III.47)
Materiewellen
Nach den Vorbereitungen in den beiden vorhergehenden Abschnitten, in denen die Teilchentrajektorien in Form der Eikonalgleichung aus den Maxwell-Gleichungen auf der einen Seite und Wellenfronten aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung f¨ ur ein Teilchen auf der anderen Seite ableitet wurden, soll nun der n¨ achste Schritt zur Zusammenf¨ uhrung gegangen werden. Wir betrachten dazu ein kr¨ aftefreies Teilchen (z.B. ein Elektron). Wir suchen nach einer Beschreibung, die der Dualit¨ at gerecht wird, also sowohl der Korpuskel- als auch der Wellenvorstellung Rechnung tr¨ agt. 1. Versuch: Teilchen durch ebene Welle beschreiben: Ψ(x, t) = A · ei(k x−ωt) , kkv T ,
A = const.
(III.48)
v T : Teilchengeschwindigkeit
(III.49)
2π (III.50) λ Die ebene Welle ist jedoch unendlich ausgedehnt und eine ¨aquivalenz zur Lokalit¨at des Teilchens ist nicht vorstellbar. k = |k|
2. Versuch: Teilchen durch ein Wellenpaket beschreiben: Z 0 0 Ψ(x, t) = A(k 0 )ei[k x−ω(k )t] d3 k 0
(III.51)
Die spezielle Struktur der r¨ aumlichen Verteilung wird durch die spezielle Wahl von A(k 0 ) bestimmt. F¨ ur eine ebene Welle w¨ are A(k 0 ) eine δ-Funktion bei k. Wir betrachten jetzt ein A(k 0 ), das auch in einer Umgebung von k nicht verschwindet.
3 Materiewellen
33
In der Umgebung von k kann ω(k 0 ) entwickelt werden: ω(k 0 ) = ω(k) + ∂k ω(k 0 − k) .
Die Substitution k 00 = k 0 − k liefert Z 00 00 Ψ(x, t) = A(k 00 +k)ei[(k +k)x−ω(k)t−∂k ωk t] d3 k 00 (III.53) Z Ψ(x, t) =
˜ 00 )eik00 (x−∂k ωt) d3 k 00 ei(k x−ω(k)t) A(k
˜ t)ei(k x−ω(k)t) Ψ(x, t) = A(x,
.
A(k’)
(III.52)
(III.54) (III.55)
Wir f¨ uhren noch folgende Umformung durch: Mit kˆ := k/k und kˆ · kˆ = 1 folgt ω k x − ω(k) t = kˆ k x − ω kˆ kˆ t = kˆ k x − kˆ t k ωˆ . (III.56) = k x− kt k
vP h =
ω ˆ · k, k
k
(x,t)
Dieses Paket besteht aus einer Tr¨ agerwelle ei(k(x−vP h t)) mit der Phasengeschwindigkeit
k’
(III.57)
und einer Amplitude A(x, t), die die Tr¨agerwelle moduliert und damit die r¨ aumliche Lokalisierung des Wellenpaketes beschreibt.
x
Die Einh¨ ullende A bewegt sich aber mit der Gruppengeschwindigkeit v G = ∂k ω
.
(III.58)
Nun stellen wir die Verbindung zu den Teilchenparametern her. Es ist naheliegend, die Gruppengeschwindigkeit mit der Teilchengeschwindigkeit v T zu identifizieren und die Phasengeschwindigkeit mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v S der Wirkungsfl¨achen S=const : vG
= vT
(III.59)
vP h
= vS
(III.60)
Betragsbildung liefert
wobei
vG
= vT
(III.61)
vP h
= vS
(III.62)
ω k
und
vPh =
vG = ∂k ω.
Die letzte Formel ergibt sich aus vG =
∂ω ∂ω ∂k ∂ω ˆ = = k ∂k ∂k ∂k ∂k
.
(III.63)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
34
Setzen wir die aus der Mechanik bekannten Gr¨oßen ein, so folgt p m
,
(III.64)
ω p = k 2m
.
(III.65)
∂k ω =
Elimination von
p m
ergibt eine Differentialgleichung f¨ ur ω(k) zu ∂k ω = 2
ln ω = 2 ln k + ln
ω k
(III.66)
dk dω =2 ω k 1 ln = Integrationskonstante. 2µ
1 , 2µ
(III.67) (III.68)
mit der L¨ osung ω(k) =
k2 2µ
(Dispersionsrelation kr¨aftefreier Materiewellen).
(III.69)
Diese Beziehung oben wiederum eingesetzt liefert p k = µ m
bzw.
p=
m ·k µ
(III.70)
und wegen U=
p2 2m
(III.71)
folgt U=
m2 2 1 m k = ·ω µ2 2m µ
.
(III.72)
Hier erkennen wir schon die de Broglie-Beziehung p = ~k, wenn man
m µ
U = ~ω
,
(III.73)
= ~ setzt.
Wir k¨ onnen jetzt wieder zu Vektoren u ¨bergehen und erhalten ω(k) =
~ 2 k , 2m
p = ~k,
U = ~ω =
p2 2m
.
(III.74)
Der Ansatz eines Wellenpaketes Ψ(x, t) zur Beschreibung der Dualit¨at scheint erfolgversprechend. Der tats¨ achliche Erfolg ist daran zu messen, ob eine Materiefeldgleichung f¨ ur Ψ zu finden ist.
4 Konzept f¨ ur die Materiefeldgleichung (Schr¨ odinger-Gleichung)
4
35
Konzept fu odinger-Gleichung) ¨ r die Materiefeldgleichung (Schr¨
F¨ ur die Konstruktion der Schr¨ odinger-Gleichung stehen folgende Anhaltspunkte zur Verf¨ ugung. 1. Linearit¨ at: Interferenzerscheinungen machen es notwendig, dass Ψ1 + Ψ2 eine L¨osung ist, falls Ψ1 und Ψ2 L¨ osungen sind. 2. Homogenit¨ at: Materie hat keine Senken oder Quellen. 3. Einfachheit: Die Differentialgleichungen der Mechanik und Elektrodynamik sind von 2. Ordnung. Es wird versucht, f¨ ur die Schr¨ odinger-Gleichung auch auf h¨ohere Ordnungen zu verzichten. 4. Grenzf¨ alle: Als gewisse Grenzf¨ alle sollen die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Eikonalgleichung des Materiefeldes sowie die Erhaltung des Materieflusses enthalten sein. Dies f¨ uhrt auf folgenden Ansatz: a + ba ∂xa + b0 ∂t + cab ∂xa ∂xb + ck0 ∂xa ∂t + c00 ∂t2 Ψ = 0
(III.75)
Alle Koeffizienten sind Funktionen von x und t: a = a(x, t),
b0 = b0 (x, t)
usw.
(III.76)
Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Wir zerlegen in Real- und Imagin¨arteile: a = a0 + ia00 ,
b0 = b00 + ib000
Ψ(x, t) = A(x, t)eiG(x,t) ,
usw.
(III.77)
reell
(III.78)
A, G
Zwischenrechnungen:
∂xa ∂xb Ψ ∂t2 Ψ ∂xa ∂t Ψ
∂xa Ψ
=
(∂xa A + i∂xa G · A) eiG
(III.79)
∂t Ψ
=
(∂t A + i∂t G · A) eiG
(III.80)
(∂x ∂x A + i∂xa ∂xb G · A + i∂xa G∂xb A + i∂xa A∂xb G − ∂xa G∂xb G · A) eiG a b 2 = ∂t2 A + i∂t2 G · A + 2i∂t G · ∂t A − (∂t G) A eiG =
=
(∂xa ∂t A + i∂xa ∂t G · A + i∂xa G∂t A + i∂xa A∂t G − ∂xa G∂t G · A) eiG
(III.81) (III.82) (III.83)
Realteil: 1 1 1 ∂x A − b00a ∂xa G + b00 ∂t A − b000 ∂t G + c0ab ∂xa ∂xb A − c0ab ∂xa G∂xb G A a A A 1 1 1 − c00ab ∂xa ∂xb G − c00ab ∂xa G ∂xb A − c00ab ∂xa A∂xb G + c0k0 ∂xa ∂t A − c0k0 ∂xa G∂t G A A A 1 1 1 2 − c00k0 ∂xa ∂t G − c00k0 ∂xa G ∂t A − c00k0 ∂xa A∂t G + c000 ∂t2 A − c000 (∂t G) A A A 1 − c0000 ∂t2 G − 2c0000 ∂t G ∂t A = 0 A
a0 + b0a
(III.84)
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
36 Imagin¨ arteil:
1 1 1 ∂xa A + b0a ∂xa G + b00 ∂t G − b000 ∂t A + c0ab ∂xa ∂xb G + c0ab ∂xa G ∂xb A A A A 1 00 1 00 0 0 0 1 + cab ∂xa A∂xb G + cab ∂xa ∂xb A − cab ∂xa G∂xb G + ck0 ∂xa ∂t G + ck0 ∂xa G ∂t A A A A 1 0 1 00 1 00 0 2 0 + ck0 ∂xa A∂t G + ck0 ∂xa ∂t A − ck0 ∂xa G∂t G + c00 ∂t G − c00 2∂t G ∂t A A A A 2 00 1 2 00 + c00 ∂t A − c00 (∂t G) = 0 A
a00 + b00a
(III.85)
Die Anhaltspunkte (1.-3.) sind damit eingearbeitet. Es ist nun der Vergleich mit den Grenzf¨allen vorzunehmen. • Die dimensionslose Phase G soll im Grenzfall kleiner Wellenl¨angen mit dem Eikonal S des Materiefeldes, das der Hamilton-Jacobi-Gleichung gen¨ ugt, verkn¨ upft werden. Da S die Dimension einer Wirkung hat, liegt im Grenzfall die Entsprechung G(x, t) =
1 S(x, t) ~
(III.86)
nahe. • Die Hamilton-Jacobi-Gleichung f¨ ur ein Teilchen im Potential Vb (x) lautet ∂t S +
2 1 ∂x S + Vb (x) = 0 2m
(III.87)
2 ~2 ∂x G + Vb = 0 2m
(III.88)
bzw. ~∂t G +
Diese Gleichung wird als ein Grenzfall erwartet. • Die Erhaltung des Materieflusses wird durch eine Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Dichte ρ(x, t) und die Flußdichte j(x, t) beschrieben. Sie lautet ∂t ρ + ∂x j = 0 . Die Flußdichte ist wiederum j = ρ · vT = ρ
p ρ = ∂x S m m
(III.89)
.
(III.90)
Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet damit ∂t ρ +
1 ρ 1 ∂x (ρ∂x S) = ∂t ρ + ∂x2 S + ∂x ρ∂x S = 0 . m m m
(III.91)
Als Zusammenhang zwischen der Dichte ρ und dem Materiefeld Ψ ist Ψ∗ Ψ = A2 = const. · ρ
(III.92)
naheliegend. Dann sollte im Grenzfall 2A∂t A +
A2 2 ~ ~∂ G + 2A∂x A∂x G = 0 m x m
(III.93)
4 Konzept f¨ ur die Materiefeldgleichung (Schr¨ odinger-Gleichung)
37
bzw.
~2 1 1 ~2 2 − ~ ∂t A − ∂x G − ∂x A · ∂x G = 0 A 2m mA gelten. Diese Gleichung wird somit als zweite Grenzfallgleichung erwartet.
(III.94)
Wenn man nun die Koeffizienten des Ansatzes wie folgt w¨ahlt a0 = V
b0k = 0
c0kl = −
~2 δkl 2m
b00k = 0 c00kl = 0
c000 = 0
c0000 = 0
b00 = 0 c0k0 = 0
b000 = −~
(III.95)
c00k0 = 0
(III.96)
a00 = 0
(III.97)
so reduziert sich der Realteil auf ~2 ~∂t G − 2m
∂x2 A − (∂x G)2 A
! +V =0
(III.98)
und der Imagin¨ arteil auf −~
~2 2 ~2 ∂x A ∂t A − ∂x G − ∂x G = 0 . A 2m m A
Die Grenzfallgleichungen werden damit bereits weitgehend dargestellt bis auf den Term ersten Gleichung. Im Grenzfall λ → 0 wird aber ∂2A 2 x ∂x G A 2 da G = k x − ωt und ∂x G = k 2 = Grenzfall konsistent.
2π 2 λ
(III.99) 1 2 A ∂x A
in der
(III.100)
→ ∞ gilt. Die obige Koeffizientenwahl ist also mit dem
Setzen wir die ermittelten Koeffizienten in den Ansatz ein, so folgt die Schr¨odinger-Gleichung − i~∂t Ψ −
~2 2 ∂ Ψ + Vb Ψ = 0 2m x
(III.101)
f¨ ur das komplexe Materiefeld Ψ. Bemerkungen: ¨ • Die Uberlegungen des Abschnitts sind keine Herleitung der Schr¨odinger-Gleichung. Unser Konzept k¨ onnte falsch sein, insbesondere (3.) ist nicht scharf faßbar. Vielleicht ist obige Gleichung doch zu einfach. • Die Brauchbarkeit der Schr¨odinger-Gleichung hat sich bisher an einer Vielzahl von Anwendungen herausgestellt. Die L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung stimmen hochpr¨azise mit experimentellen Aussagen u ¨berein. • Unklar ist zun¨ achst noch die Interpretation von Ψ.
38
III. Dualismus von Teilchen und Wellen (m0 6= 0)
Kapitel IV
Wellenmechanik
1
Grundgleichung
Als Grundgleichung der Wellenmechanik wird die Schr¨odinger-Gleichung postuliert: HΨ = i~∂t Ψ .
(IV.1)
Sie ist das Axiom der Wellenmechanik. Die Gr¨oßen haben folgende Bezeichnungen und Eigenschaften: Ψ(x, t) ~2 H = − 2m ∂x2 + Vˆ Vˆ (x, t) h ~ = 2π m
Wellenfunktion, komplex, gesucht. Hamilton-Operator, gegeben. Potential, reell, gegeben. Planck-Wirkungsquantum Masse des Teilchens
In der Vorlesung werden haupts¨ achlich Ein-Teilchen-System behandelt. Dann gilt in kartesischen Koordinaten x = (x1 , x2 , x3 ) , ∂x = (∂x1 , ∂x2 , ∂x3 ) .
2
Interpretation der Wellenfunktion
Die Interpretation von Ψ war lange Zeit ein Gegenstand heftiger Kontroversen. Heute vertreten die Physiker mehrheitlich die unten angegebene Form der Interpretation. Die Auseinandersetzung u ¨ber die Interpretation der Quantentheorie generell ist nach wie vor in vollem Gange. Die heutige Interpretation geht auf Max Born (1926) zur¨ uck, die durch die Kopenhagener-Schule um Niels Bohr weiter ausgebaut wurde. Born schlug vor 2
|Ψ(x, t)| dV
(IV.2)
als Wahrscheinlichkeit zu betrachten, dass durch Ψ(x, t) beschriebene Teilchen zur Zeit t bei x im Volumen dV = dx1 dx2 dx3 zu finden, also 2 P (x, t)dV = |Ψ(x, t)| dV . (IV.3) Damit diese Deutung stimmt, muss Z
2
|Ψ(x, t)| dV = 1
(IV.4)
gelten, also das Teilchen mit Sicherheit irgendwo im Universum sein. Ψ muss eine quadratisch integrable Funktion sein. Sie muss insbesondere f¨ ur |x| → ∞ gen¨ ugend schnell abfallen.
40
IV. Wellenmechanik
¨ Die Phasen der komplexen Wellenfunktion Ψ scheinen in dieser Uberlegung keine Rolle zu spielen. Dies trifft allerdings nicht zu. Wir betrachten zwei L¨ osungen Ψ1 (x, t) = R1 eiθ1 und Ψ2 (x, t) = R2 eiθ2 . Da die Schr¨odinger-Gleichung linear ist, ist auch Ψ = Ψ1 + Ψ2 L¨ osung. Dann gilt 2 2 2 |Ψ(x, t)| = |Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t)| = R1 (x, t)eiθ1 (x,t) + R2 (x, t)eiθ2 (x,t)
(IV.5)
2 = eiθ1 R1 + R2 ei(θ2 −θ1 )
(IV.6)
= R12 + R22 + R1 R2 ei(θ2 −θ1 ) + R1 R2 e−i(θ2 −θ1 )
(IV.7)
= R12 + R22 + 2R1 R2 cos (θ2 − θ1 ) .
(IV.8)
Ein insgesamt wirkender Phasenfaktor geht nicht ein, jedoch die relative Phase θ2 − θ1 . Diese beschreibt gerade die Interferenz. Es ist noch zu zeigen, dass die Normierungsbedingungen f¨ ur jeden Zeitpunkt erf¨ ullt ist, wenn sie f¨ ur t = 0 erf¨ ullt ist. Es ist ∂t P (x, t) = ∂t Ψ∗ · Ψ + Ψ∗ ∂t Ψ 1 ~2 2 ˆ ∂t Ψ = − ∂x + V Ψ i~ 2m 1 ~2 2 ˆ ∂ t Ψ∗ = − − ∂x + V Ψ∗ (Vˆ = Vˆ ∗ ) i~ 2m 1 ~2 2 ∗ ~2 2 ∗ 1 ∂t P = − − ∂ Ψ ·Ψ +Ψ − ∂ Ψ i~ 2m x i~ 2m x =
~ ∂x ∂x Ψ∗ · Ψ − Ψ∗ ∂x Ψ i2m
(IV.9) (IV.10) (IV.11) (IV.12) (IV.13)
Wir definieren jetzt die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j=
~ Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂x Ψ∗ i2m
,
(IV.14)
woraus ∂t P = −∂x j
(IV.15)
∂t P + ∂x j = 0
(IV.16)
bzw. folgt. Die Wahrscheinlichkeit gen¨ ugt einer Kontinuit¨atsgleichung. Anwendung des Gaußschen Satzes liefert Z I dt P dV + j dS = 0 . (IV.17) V
S
S ist die Oberfl¨ ache von V und liegt im Unendlichen. Dort ist aber j = 0, so dass Z dt
|Ψ|2 dV = 0
gilt. Diese Eigenschaft untermauert die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Ψ-Funktion.
(IV.18)
2 Interpretation der Wellenfunktion
41
Wenn die Schr¨ odinger-Gleichung gel¨ ost ist und somit auch P (x, t) bekannt ist, k¨onnen Erwartungswerte physikalischer Gr¨ oßen bestimmt werden. F¨ ur den Erwartungswert hf i einer Gr¨oße f (x) gilt allgemein Z hf i = f (x)P (x, t)dV. (IV.19) Im Vorgriff auf sp¨ atere Verallgemeinerungen schreiben wir um zu Z hf i = Ψ∗ (x, t)f (x)Ψ(x, t)dV
.
(IV.20)
F¨ ur die Berechnung des Erwartungswertes hpi des Impulses eines Teichens, kann diese Formel nicht unmittelbar angewandt werden. Zun¨ achst gilt p = mv = m
dx dt
.
(IV.21)
Nun folgt Z Z d d hxi = m Ψ∗ xΨdV = m (∂t Ψ∗ · xΨ + Ψ∗ x∂t Ψ) dV dt dt Z ~2 2 1 ~2 2 − ∂x + V Ψ∗ xΨ − Ψ∗ x − ∂x + V Ψ dV = −m i~ 2m 2m Z o n 1 −~2 = −m ∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ dV i~ 2m Z n o ~ = ∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ dV . 2i
hpi = m
Der Integrand l¨ aßt sich umformen in ∂x2 Ψ∗ · xΨ − Ψ∗ x∂x2 Ψ = ∂x ∂x Ψ∗ Ψ ⊗ x − Ψ∗ ∂x Ψ ⊗ x − Ψ∗ Ψδ + 2Ψ∗ ∂x Ψ mit
1 δ = δij = 0 0
0 1 0
0 0 1
.
(IV.22) (IV.23) (IV.24) (IV.25)
(IV.26)
(IV.27)
Somit folgt unter Verwendung des Gaußschen Satzes und der gleichen Argumentation wie oben Z Z ~ ~ ∗ hpi = 2Ψ ∂x ΨdV = Ψ∗ ∂x ΨdV . (IV.28) 2i i Dadurch wird nahegelegt, dass der Impuls durch den Operator p=
~ ∂x i
(IV.29)
darzustellen ist. Dies l¨ aßt sich sofort verallgemeinern zu Z ~ hf (p)i = Ψ∗ (x, t)f ( ∂x )Ψ(x, t)dV i z. B. hp2 i =
Z
Ψ∗ (−~2 ∂x2 )ΨdV
.
,
(IV.30)
(IV.31)
42
IV. Wellenmechanik
Wir gehen noch weiter und definieren f¨ ur einen beliebigen Operator A die Eigenschaft Z hAi = Ψ∗ AΨdV ,
(IV.32)
wobei A vom Ort, Impuls und ggf. weiteren Teilchen- oder Systemparametern abh¨angen kann. Kommen wir noch einmal zum Impulsoperator p = ~i ∂x zur¨ uck. Die Schr¨odinger-Gleichung (III.101) k¨ onnen wir damit auch schreiben als ! p2 + Vˆ (x) Ψ(x, t) = i~∂t Ψ(x, t) . (IV.33) 2m Aufgrund der Analogie zur Hamilton-Funktion eines Teilchens liegt es nahe, die Gr¨oße 2 ~ p2 ~2 2 ˆ i ∂x ˆ H= +V = + Vˆ = − ∂ +V 2m 2m 2m x
(IV.34)
als Hamilton-Operator zu bezeichnen und die Schr¨odinger-Gleichung in der Form HΨ = i~∂t Ψ
(IV.35)
zu schreiben. Damit ist auch der Weg vorgezeichnet, die Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur Mehrteilchensysteme und komplexere Systeme zu verallgemeinern. Sie gilt in der angegebenen Form mit dem entsprechenden Hamilton-Operator des Systems. Ψ ist dann das Materiefeld des Gesamtsystems. Bei einem N-TeilchenSystem ersetzen wir die Teilchenkoordinaten x → x1 , x2 , . . . , xN
N N = x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , . . . , xN 1 , x2 , x3
= x1 , x2 , . . . , x3N = xk , 1
dV → dV . . . dV
N
= dx1 . . . dx3N
k = 1, . . . , 3N
;
(IV.36)
.
Der Phasenraum“ umfaßt offensichtlich nur die Ortskoordinaten der Teilchen. Seine Dimension ist halb ” so groß wie die des klassischen Phasenraumes.
3
Operatoren und Kommutatoren
In der Quantenmechanik wird eine physikalische Gr¨oße durch einen Operator repr¨asentiert. Ein Operator kann dabei durchaus eine Funktion wie in der klassischen Mechanik sein. Als Beispiel sind Ort x oder das Potential Vb (x) zu nennen, in dem sich ein Teilchen bewegt. Der Impuls p hingegen ist wie in IV.2 dargelegt durch einen Differentialoperator in der Form p=
~ ∂x i
(IV.37)
darzustellen. Der Hamilton-Operator f¨ ur ein Teilchen der Masse m ergibt sich zu H=−
~2 2 b ∂ + V (x) 2m x
(IV.38)
und ist eine Kombination der genannten Operatoren. Operatoren sind allgemeinere Abbildungen als multiplikative Funktionen. Einer der wichtigen Unterschiede ist, dass zwei Operatoren i. a. nicht mehr unabh¨angig von der Reihenfolge ihrer Wirkung das gleiche Resultat erzeugen. Exemplarisch betrachten wir dazu zwei Operatoren A und B, die wir speziell A=x (IV.39)
3 Operatoren und Kommutatoren
43
~ ∂x i w¨ ahlen, und nacheinander auf Ψ wirken lassen. Es folgt B=p=
(IV.40)
~ ~ ABΨ = x ∂x Ψ = x∂x Ψ , i i BAΨ =
(IV.41)
~ ~ ∂x xΨ = ((∂x x)Ψ + x∂x Ψ) i i
,
(IV.42)
somit (AB − BA)Ψ = i~Ψ oder AB − BA = i~I
.
Definition: Die Gr¨ oße [A, B] := AB − BA heißt Kommutator der Operatoren A und B. I ist der identische Operator . Der Kommutator ist selbst wieder ein Operator; um dies zu unterstreichen wird ggf. der identische Operator I angef¨ ugt. Insbesondere gilt [xa , xb ] = 0,
[pa , pb ] = 0,
~ Iδab , i
[pa , xb ] =
a, b = 1, 2, 3.
(IV.43)
Zur Beschreibung eines quantenmechanischen Vielteilchensystems benutzen wir die generalisierten Koordinaten qk und Impulse pk , die nat¨ urlich Operatoren darstellen. Dann gelten analog die Kommutatoroder Vertauschungsregeln [qk , ql ] = 0,
[pk , pl ] = 0,
[pk , ql ] =
~ δkl I i
,
(IV.44)
wobei k, l = 1, 2, ..., f f¨ ur ein System mit f Freiheitsgraden. Ist A ein Operator, der funktional von den p’s und q’s abh¨ angt, also A = A (p1 , · · · , pf , q1 , · · · , qf ) (IV.45) oder kurz geschrieben A = A(pk , ql ) ,
(IV.46)
dann gilt [qk , A] = i~∂pk A [pk , A] = −i~∂qk A
,
(IV.47) .
(IV.48)
Beweisskizze: A wird in eine Potenzreihe nach pk und qk entwickelt. Die Kommutatorregeln f¨ ur die Potenzen der pk und qk sind durch vollst¨ andig Induktion zu beweisen (¨ uA). Insbesondere gilt f¨ ur A = H [qk , H] = i~∂pk H [pk , H] = −i~∂qk H
,
(IV.49) .
(IV.50)
Hier bietet sich der Vergleich mit der klassischen Mechanik an. In Poisson-Klammern-Schreibweise lauten die Hamiltonschen Gleichungen {qk , H} = ∂pk H = q˙k , (IV.51)
44
IV. Wellenmechanik {pk , H} = −∂qk H = p˙k
,
(IV.52)
wobei die Poisson-Klammern wie folgt definiert sind: X {A, B} := (∂qk A∂pk B − ∂pk A∂qk B)
(IV.53)
k
4
Das Ehrenfestsche Theorem
A sei der einer physikalischen Gr¨ oße zugeordnete Operator. Dann gilt nach (IV.32) f¨ ur den Mittelwert Z hAi = Ψ∗ AΨdV . (IV.54)
Zeitliche Differentiation liefert dhAi = dt
Z
∂t Ψ∗ AΨdV +
Z
Ψ∗ A∂t ΨdV +
Z
Ψ∗ ∂t AΨdV
.
(IV.55)
Einsetzen der Schr¨ odinger-Gleichung ∂ t Ψ∗ = −
1 HΨ∗ , i~
∂t Ψ =
1 HΨ i~
(IV.56)
ergibt dhAi 1 =− dt i~
Z
1 HΨ AΨdV + i~ ∗
Z
Ψ∗ AHΨdV + < ∂t A >
Der erste Term der rechten Seite wird umgeformt zu Z Z Z ~2 ∗ 2 ∗ HΨ AΨdV = − ∂x Ψ AΨdV + V Ψ∗ AΨdV 2m Z Z ~2 =− Ψ∗ ∂x2 AΨdV + Ψ∗ V AΨdV 2m Z = Ψ∗ HAΨdV (2× partiell integriert) .
.
(IV.57)
(IV.58)
(IV.59) (IV.60)
So folgt dhAi 1 = dt i~
Z
Ψ∗ [A, H]ΨdV + h∂t Ai .
(IV.61)
Wir wenden diese Form jetzt auf A = qk und A = pk an, die nicht explizit zeitabh¨angig sind. Dann ergibt sich Z dhqk i 1 = Ψ∗ [qk , H]ΨdV (IV.62) dt i~ Z dhpk i 1 = Ψ∗ [pk , H]ΨdV . (IV.63) dt i~ Die Kommutatoren werden durch die in IV.3 ausgerechneten Ausdr¨ ucke (IV.49) und (IV.50) ersetzt mit dem Ergebnis Z dhqk i = Ψ∗ ∂pk HΨdV = h∂pk Hi (IV.64) dt
5 Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation dhpk i =− dt
Z
45
Ψ∗ ∂qk HΨdV = −h∂qk Hi .
(IV.65)
Diese Bewegungsgleichungen f¨ ur die Mittelwerte der Koordinaten qk und der kanonisch konjugierten Impulse pk eines Quantensystems stellen das Ehrenfestsche Theorem dar. Es ist allgemein nicht richtig zu sagen, dass die Mittelwerte hqk i und hpk i den Gesetzen der klassischen Mechanik gehorchen. Die Mittelwerte hqk i und hpk i gen¨ ugen den klassischen Bewegungsgleichungen nur in dem Maße, wie man auf der rechten Seite die Mittelwerte der Funktionen durch die Funktionen der Mittelwerte ersetzen kann, d. h. h∂pk H(ql , pm )i durch ∂hpk i H(hql i, hpm i) (IV.66) usw. Das gilt streng aber nur, wenn H ein Polynom h¨ochstens zweiten Grades in pk und qk ist. N¨aherungsweise ist das Ersetzen gerechtfertigt, wenn die Schwankungen um die Mittelwerte hqk i und hpk i klein sind, d. h. bei makroskopischen Systemen.
5
Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
Bevor wir die wohl bekannteste Beziehung der Quantentheorie - die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation - ableiten, sollten einige Vorbetrachtungen vorangestellt werden. Im Abschnitt III.3 haben wir ein Teilchen durch ein Wellenpaket dargestellt. Unser Ansatz (III.51) war Z 0 0 (IV.67) Ψ(x, t) = A(k 0 )ei[k x−ω(k )t] dk10 dk20 dk30 . Wir interessieren uns jetzt f¨ ur die r¨ aumliche Struktur und setzen deshalb t = 0. Außerdem ist eine eindimensionale Betrachtung ausreichend, also Z 0 Ψ(x) = A(k 0 )eik x dk 0 . (IV.68) Ψ ist die Fouriertransformierte von A. Wir w¨ahlen 0
2
A(k 0 ) = A0 e−α(k −k0 )
.
(IV.69)
Die Breite beim Abfall der spektralen Intensit¨at |A|2 auf 1/e ergibt sich zu 2 ∆k = √ 2α
.
(IV.70)
Die Substitution k = k 0 − k0 liefert
1/e
Z Ψ(x) = A0
2
e−αk eikx dk eik0 x
.
(IV.71) k
Das k-Integral ergibt Z e
−αk2 +ikx
Z dk
= Z
x2
2
e−α(k−i 2α ) dk e− 4α x
002
x2
e−αk dk 00 e− 4α Z 0002 x2 1 = √ e−k dk 000 e− 4α α r π − x2 = e 4α . α =
(IV.72)
46
IV. Wellenmechanik
Somit folgt r Ψ(x) = A0 Damit ist
π − x2 ik0 x e 4α e α
.
(IV.73)
π x2 |Ψ(x)|2 = A20 e− 2α α
(IV.74)
ein um x = 0 lokalisiertes Wellenpaket. Die Breite des Wellenpaketes messen wir dort, wo die Intensit¨ at auf 1/e abgefallen ist: √ ∆x = 2 · 2α . (IV.75) Folglich gilt die Relation ∆k · ∆x = 4 .
(IV.76)
2
| |
Der exakte Wert der rechten Seite ist nicht wichtig, da bei der Breitenmessung sowieso eine gewisse Willk¨ ur gegeben ist. Wichtig ist die Gr¨oßenordnung ∆k · ∆x = O(1) .
(IV.77)
1/e
F¨ ur eine ebene Welle gilt insbesondere ∆k → 0. Somit ist ∆x → ∞; eine ebene x Welle ist nicht lokalisierbar und somit haben wir sie auch nicht zur Beschreibung eines lokalisierten Teilchens herangezogen. Betrachten wir noch die de Broglie-Beziehung p = ~k
,
(IV.78)
so erhalten wir ∆p · ∆x = O(~) .
(IV.79)
Die Unsch¨ arfen des Ortes und des Impulses eines ein Teilchen darstellende Wellenpaketes sind somit nicht unabh¨ angig, sondern beziehen sich aufeinander. Extremf¨ alle: Ebene Welle: δ-Impuls:
∆k → 0, ∆x → ∞ ∆k → ∞, ∆x → 0
Wir leiten nun die Unbestimmtheitsrelationen f¨ ur ein eindimensionales Ein-Teilchen-Problem aus der Schr¨ odinger-Gleichung ab. Dazu wird die Varianz des eindimensionalen Ortsoperators x bzw. des eindimensionalen Impulsoperators p eingef¨ uhrt u ¨ber rD rD E E ∆x :=
(x − hxiI)
2
,
2
(p − hpiI)
∆p :=
F¨ı¿œr einen beliebigen Operator A gilt entsprechend D E 2 ∆A2 := (A − hAiI) ,
.
(IV.80)
(IV.81)
bzw: ∆A :=
rD
2
(A − hAiI)
E
.
(IV.82)
5 Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
47
Es ergibt sich ∆x2
=
hx2 − 2xhxi + hxi2 Ii
2
=
hx2 i − 2hxihxi + hxi2
∆x2
=
hx2 i − hxi2
∆x
2
∆p
=
2
2
hp i − hpi
(IV.83) .
(IV.84)
Als Abk¨ urzungen benutzen wir die Operatoren A = x − hxiI,
B = p − hpiI
.
(IV.85)
Es gilt ~ [A, B] = [x, p] = − I, hA2 i = ∆x2 , hB 2 i = ∆p2 i
(IV.86)
. Ψ sei die Wellenfunktion des Systems. Mit Φ := AΨ + iλBΨ,
λ reell
(IV.87)
gilt J(λ)
Z
dxΦ∗ Φ ≥ 0
Z
dx(AΨ + iλBΨ)∗ (AΨ + iλBΨ)
:= = Z =
(IV.88)
dx (AΨ)∗ (AΨ) + λ2 (BΨ)∗ (BΨ) + iλ(AΨ)∗ (BΨ) − iλ(BΨ)∗ (AΨ) .
Ziel ist es nun, die Operatoren A und B so in ihren Positionen zu ver¨andern, dass sie immer zwischen Ψ∗ und Ψ stehen. Multiplikative Operatoren sind einfach umzustellen, Differentialoperatoren werden durch partielle Integration in Position gebracht. F¨ ur die Summanden gilt dann Z dx(AΨ)∗ (AΨ)
Z =
dxAΨ∗ AΨ
Z
= Z
dx(BΨ)∗ (BΨ)
= = =
Z Z
dx(AΨ)∗ (BΨ)
=
dx(BΨ)∗ (AΨ)
=
dxΨ∗ A2 Ψ = hA2 i = ∆x2 Z ~ ~ dx − ∂x − hpi Ψ∗ ∂x − hpi Ψ i i Z ~ ~ dxΨ∗ ∂x − hpi ∂x − hpi Ψ i i Z dxΨ∗ B 2 Ψ = hB 2 i = ∆p2 Z dxΨ∗ ABΨ Z dxΨ∗ BAΨ .
(IV.89)
(IV.90) (IV.91) (IV.92)
Zusammengefasst folgt J(λ) = ∆x2 + λ2 ∆p2 + iλh[A, B]i = ∆x2 + λ2 ∆p2 + iλh[x, p]i ≥ 0.
(IV.93)
48
IV. Wellenmechanik
Das Minimum von J wird angenommen bei ∂λ J = 0 = 2λ∆p2 + ih[x, p]i , d. h. λ = −i
h[x, p]i 2∆p2
(IV.94)
.
(IV.95)
Eingesetzt ergibt sich ∆x2 −
h[x, p]i2 h[x, p]i2 + ≥0 4∆p2 2∆p2
.
(IV.96)
Daraus folgt schließlich 1 ∆x2 ∆p2 + h[x, p]i2 ≥ 0 4 1 ∆x2 ∆p2 ≥ − h[x, p]i2 4 1 ∆x2 ∆p2 ≥ ~2 4 ~ ∆x∆p ≥ 2
(IV.97) (IV.98) (IV.99) (IV.100)
Diese Beziehung ist wie folgt zu interpretieren: Bei der gleichzeitigen Bestimmung des Ortes x und des Impulses p eines Teilchens existiert eine Genauigkeitsgrenze, die nicht unterschritten werden kann. Je genauer der Ort x bestimmt wird, desto ungenauer ist der Impuls p bekannt und umgekehrt. F¨ ur ein klassisches Teilchen sind nat¨ urlich Ort und Impuls bei gleichzeitiger Messung beliebig genau bestimmbar. Die Genauigkeitsgrenze ist apparativ, aber nicht prinzipiell gegeben. Die Unbestimmtheitsrelation tr¨ agt gerade dem Dualismus Rechnung. Ein quantenmechanisches ”Teilchen” erscheint in dem einen Experiment mehr als Welle, in dem anderen Experiment mehr als Teilchen. Betrachten wir noch einmal die Beugungsexperimente mit freien Elektronen. Die Elektronen zeigen Welleneigenschaften und sind deshalb prinzipiell nicht lokalisierbar (∆x 6= 0). Ihr Impuls entspricht nicht einem singul¨ aren Wert, da f¨ ur ein Wellenpaket mehrere Wellenl¨angen und damit Impulsanteile u ¨berlagert sind. W¨ urde im Grenzfall der Impuls tats¨achlich scharf bestimmt werden k¨onnen (∆p → 0), h¨ atte dies ∆x → ∞ zur Folge. Das Elektron w¨ urde sich in diesem Grenzfall wie eine ebene Welle verhalten, diese hat gerade eine scharfe Wellenl¨ ange und damit einen scharfen Impuls, ist aber nicht lokalisierbar.
6
Die zeitfreie Schr¨ odinger-Gleichung
Wir betrachten ein Ein-Teilchen-System, das durch das station¨are Potential Vˆ (x) und somit durch die Schr¨ odinger-Gleichung i~∂t Ψ(x, t) = HΨ(x, t) (IV.101) mit H=−
~2 2 ˆ ∂ + V (x) 2m x
(IV.102)
bestimmt ist. Der Hamilton-Operator ist somit f¨ ur ein station¨ares Potential explizit zeitunabh¨angig. Wir l¨osen die Schr¨ odinger-Gleichung mit dem Separationsansatz Ψ(x, t) = ϕ(x) · T (t)
(IV.103)
6 Die zeitfreie Schr¨ odinger-Gleichung und erhalten
49
~2 2 ∂x ϕ + Vˆ · ϕ T 2m ∂t T 1 ~2 2 i~ = − ∂x ϕ + Vˆ · ϕ = U (= const) T ϕ 2m
i~ϕ∂t T =
−
(IV.104) (IV.105)
woraus zum einen
Ut Ut ∂t T (IV.106) = U , T = T0 e−i ~ = e−i ~ T (wir setzen T0 = 1, da konstante Faktoren zu ϕ geschlagen werden k¨onnen) und zum anderen ~2 2 ˆ − (IV.107) ∂ + V ϕ = Hϕ = U ϕ 2m x
i~
folgt. Die Gleichung f¨ ur ϕ ist die zeitfreie Schr¨odinger-Gleichung. Sie ist eine Eigenwert-Gleichung f¨ ur den Hamilton-Operator H. U ist ein Eigenwert und ϕ ist eine Eigenfunktion. I.a. hat H mehrere Eigenwerte und Eigenfunktionen, also Hϕn = Un ϕn , n = 1, 2, . . . (IV.108) Das Ausrechnen der Eigenwerte und Eigenfunktionen ist eine der Hauptaufgaben der Quantenmechanik. Analytisch funktioniert die L¨ osung nur f¨ ur relativ einfache Hamilton-Operatoren. F¨ ur komplexe H’s sind zahlreiche N¨ aherungsmethoden entwickelt worden. Wegen ∂t |ϕ|2 = ∂t |Ψ|2 = 0 heißen die L¨osungen station¨ ar. Da Z Z 2 |ϕ| dV = |Ψ|2 dV = 1 (IV.109) gilt, kommen f¨ ur die ϕn quadratisch integrierbare Funktionen in Frage. Offensichtlich f¨ ugt sich das mathematische Problem bestens in das Kalk¨ ul des Hilbertraumes L2 (V ) ein. Da Z Z (Hϕ1 )∗ ϕ2 dV = ϕ∗1 Hϕ2 dV (IV.110) gilt, ist H ein hermitescher oder selbstadjungierter Operator, H = H + . Beweis der Hermitezit¨ at von H: • Vˆ ist hermitesch, da dieser Operator als Faktor wirkt. • Es verbleibt zu zeigen, dass der Laplace-Operator ∂x2 ≡ 4 hermitesch ist. Nach der zweiten Greenschen Integralformel (vgl. Skript Rechenmethoden (3.80)) gilt f¨ ur zwei beliebige skalare Funktionen Φ1 (x) und Φ2 (x) Z Z (Φ1 4Φ2 − Φ2 4Φ1 ) dV = (Φ1 ∂n Φ2 − Φ2 ∂n Φ1 ) dS , (IV.111) V
S
wobei ∂n Φ die Ableitung von Φ in Richtung der Normalen von dS bedeutet. Auf der Oberfl¨ ache S des Volumens V , d.h. am Rand des Volumens, der auch im Unendlichen liegen kann, verschwinden aber Φ1 und Φ2 . Somit gilt Z Z Φ1 4Φ2 dV = 4Φ1 Φ2 dV (IV.112) V
bzw.
Z V
q.e.d.
Φ∗1 4Φ2 dV
V
Z = V
(4Φ1 )∗ Φ2 dV
.
(IV.113)
50
IV. Wellenmechanik
Wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren (und damit auch von H) sind: 1. Alle Eigenwerte Un sind reell. Die Menge der Un heißt Spektrum. 2. Die Eigenfunktionen ϕn bilden ein Orthogonalsystem. Sie sind normierbar und k¨onnen als Orthonormalsystem betrachtet werden, also Z ϕ∗m ϕn dV = δmn . (IV.114) 3. Das Orthonormalsystem der Eigenfunktionen ist vollst¨andig. Eine beliebige Funktion Ψ(x, t) kann nach den ϕn ‘s entwickelt werden: X i Ψ(x, t) = An ϕn (x) e− ~ Un t . (IV.115) n
Damit bildet das System der ϕn ’s eine Basis. Wir werden sp¨ater bei der abstrakten Formulierung der Quantenmechanik noch gewisse Erweiterungen vornehmen, die insbesondere das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte einschließen.
7
Grenzbedingungen fu ¨ r die Wellenfunktion ψ
7.1
¨ Ubergangsbedingungen an einem Potentialsprung F
R0
Vˆ I
n
Vˆ I 6= Vˆ II
h Vˆ II
h
• Willk¨ urliche Festlegung von n • Quasi-Zylinder-Bereich Frage: Wie verh¨ alt sich die Wellenfunktion ψ an einem Potentialsprung, d.h. wenn Vˆ I 6= Vˆ II ? Ausgangspunkt sei die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte ∂t P + ∂x j = 0 mit P = |ψ|2 ψ ∗ ~i ∂x ψ
(IV.116) ψ ~i ∂x ψ ∗
− 1 m 2 1 ∗ = Re(ψ pψ) . m
j=
(IV.117) (IV.118)
¨ 7.2 Ubergangsbedingung an einem δ-Potential
51
Integration u ¨ber den Quasi-Zylinder ergibt Z Z ∂t P dV + jdS = 0
(IV.119) Z
∂t P F · 2h + jnI · F − jnII · F +
jdS = 0 .
(IV.120)
M antel
L¨ asst man nun H¨ ohe und Radius des Quasi-Zylinders gegen Null gehen, so ergibt sich h→0
:
jnI = jnII
(IV.121)
bzw. R0 → 0
:
jnI = jnII
.
(IV.122)
Mit Gleichung (IV.118) folgt dann ψ I = ψ II
(IV.123)
und ∂n ψ I = ∂n ψ II
.
(IV.124)
Die Wellenfunktion und ihre Normalen-Ableitung sind stetig an Potentialspr¨ ungen.
7.2
¨ Ubergangsbedingung an einem δ-Potential Vˆ (x) = Vˆ0 δ(x − x0 ) h 1
h x0
2
x
Integration der SGL u ¨ber die Unstetigkeitsstelle: ~2 2 ˆ i~∂t ψ = − ∂ + V0 δ(x − x0 ) ψ 2m x Z2 Z2 Z2 ~2 2 i~∂t ψdx = − ∂x ψdx + Vˆ0 δ(x − x0 )ψdx 2m 1 1 1 ~2 =− ∂x ψ − ∂x ψ + Vˆ0 ψ(x0 ) 2m 2 1 ! ~2 ∂x ψ lim : 0=− − ∂x ψ + Vˆ0 ψ(x0 ) h→0 2m x0 +0 x0 −0
(IV.125)
(IV.126)
(IV.127) (IV.128)
Somit ergibt sich die Sprungbedingung ∂x ψ(x0 + 0) − ∂x ψ(x0 − 0) =
2m ˆ V0 ψ(x0 ) . ~2
(IV.129)
52
IV. Wellenmechanik
Vˆ ψ
ψ
x x0
8 Anwendungen
8.1
Anwendungen Ein Teilchen im Potentialkasten ∞ Vˆ (x) = 0 ∞
x 0 ist eine Folge der HUR. Es ist nicht m¨oglich, das System gleichzeitig bei x = 0 und p = 0 und damit U = 0 vorzufinden. Stattdessen sind x und p mit Varianzen ∆x und ∆p verbunden, so dass mindestens U=
∆p2 mω 2 + ∆x2 2m 2
(IV.209)
gilt. Es soll nun das minimale U bestimmt werden unter der HUR als Nebenbedinung. Die HUR wird im Grenzfall ~ (IV.210) ∆x∆p − = 0 2
8.2 Harmonischer Oszillator
61
betrachtet. Mit dem Lagrange-Multiplikator λ setzen wir an eine Funktion F (∆p, ∆x, λ) zu ∆p2 mω 2 ~ (IV.211) F (∆p, ∆x, λ) = + ∆x2 − λ ∆x∆p − 2m 2 2 und variieren: ∆p ∂F = − λ∆x = 0 ∂∆p m ∂F = mω 2 ∆x − λ∆p = 0 ∂∆x ∂F ~ = −∆x∆p + = 0 ∂λ 2
(IV.212) (IV.213) (IV.214)
Multiplikation der ersten Gleichung mit ∆p, der zweiten mit ∆x und Differenzbildung liefert ∆p2 = mω 2 ∆x2 m
.
(IV.215)
Einarbeitung der dritten Gleichung ergibt ∆p2 = m2 ω 2
~2 1 4 ∆p2
~ 2 2 ∆p 1 ~ ∆x2 = 2 2 = m ω mω 2 ∆p2 = mω
(IV.216) (IV.217) (IV.218)
und schließlich
1 ~ω 1 ~ω ~ω + = . (IV.219) 2 2 2 2 2 Beim so bestimmten extremalen U handelt es sich offensichtlich um ein Minimum. Die HUR erlaubt ∆x und ∆p beliebig groß, was U beliebig großwerden l¨asst. U=
Somit kann die Energie den Wert ~ω/2 nicht unterschreiten: ~ω 2
U≥
.
(IV.220)
3. Wiederbesuch des Grundzustandes im Potentialkasten Es liegt nahe, den Grundzustand der Energie im Potentialkasten U1 =
π 2 ~2 2ma
ebenfalls als Folge der HUR zu diskutieren. Hier ist die Energie ausschließlich kinetisch: U=
p2 2m
.
(IV.221)
Exakt bestimmt kann p nicht sein, insbesondere p = 0 ist nicht m¨oglich. Mindestens muss also U=
∆p2 2m
(IV.222)
gelten. Die minimale Impuls-Varianz ∆p wird bei maximaler Orts-Varianz ∆x und der HUR als Nebenbedingung erreicht. Allerdings setzt die Endlichkeit des Potentialkastens eine weitere Randbedingung. Wir sch¨ atzen ab, dass ∆x maximal von der Skalenl¨ange a ist, also ∆x . a
.
(IV.223)
62
IV. Wellenmechanik
Wir betrachten wiederum die Grenzf¨alle und benutzen die Gleichungen statt der Ungleichungen. Mit den Lagrange-Multiplikatoren λ und µ setzen wir ∆p2 ~ F (∆p, ∆x, λ, µ) = − λ ∆x∆p − − µ (∆x − a) (IV.224) 2m 2 und variieren: ∂F ∂∆p ∂F ∂∆x ∂F ∂λ ∂F ∂µ
∆p − λ∆x = 0 m
(IV.225)
= −λ∆p − µ = 0
(IV.226)
=
= −∆x∆p +
~ =0 2
(IV.227)
= −∆x + a = 0 .
(IV.228)
Die letzten beiden Gleichungen liefern bereits ~ 2a ∆x = a
∆p =
und somit U=
(IV.229) (IV.230)
1 π 2 ~2 ~2 = 8ma2 4π 2 2ma2
.
(IV.231)
Bis auf den Faktor 1/4π 2 wurde die minimal m¨ogliche Energie bereits getroffen. Offensichtlich haben wir ∆x zu großz¨ ugig abgesch¨ atzt. Setzen wir ∆x .
a 2π
(IV.232)
kommt als minimale Energie genau der Grundzustand U1 heraus. 4. Vergleich des quantisierten und des klassisches Harmonischen Oszillators • Annahme: in beiden F¨ allen steht dem Harmonischen Oszillator eine bestimmte Gesamtenergie zur Verf¨ ugung. Im Falle des quantisierten Harmonischen Oszillators muss U mit einem bestimmten Eigenwert Un zusammenfallen. • klassisch: U begrenzt die maximale Elongation
Vˆ U
xmax Vˆ = U Tˆ = 0
Vˆ = 0 Tˆ = U
Vˆ = U Tˆ = 0
x
8.3 Das Wasserstoff-Atom
63
• quantisiert: Aufenthaltswahrscheinlichkeit verschwindet nicht jenseits des Ortes, der durch U = Vˆ festgelegt ist.
Vˆ |ψ(x, t)|2 6= 0
|ψ|2
U0 (z. B.) x xmax 8.3
Das Wasserstoff-Atom
Das Wasserstoff-Atom ist einer der wichtigsten Spezialf¨alle des Zentralpotentials Vˆ (x), das nur von r = p x21 + x22 + x23 abh¨ angt. Es handelt sich um ein Zwei-Teilchen-System. Der Hamilton-Operator nimmt die Form H=
p21 2m1
+
p22 2m2
+ Vˆ (|r1 − r2 |)
(IV.233)
an. Es bietet sich nun an, Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten einzuf¨ uhren:
RS =
m1 r1 + m2 r2 , m1 + m2
P S = p1 + p2 ,
p=
r = r1 − r2 m1 p2 − m2 p1 m1 + m2
-
(IV.234)
r1 - r 2 +
.
(IV.235)
r2
r1
Es folgt H=
p2 P 2S + + Vˆ (|r|) , 2M 2µ
0
(IV.236)
mit der Gesamtmasse M = m1 + m2 und der reduzierten Masse µ=
m1 · m2 m1 + m2
(IV.237) .
(IV.238)
Wir begeben uns nun ins Schwerpunktsystem, wo P s = 0 gilt. Dann verbleibt H=
p2 + Vˆ (|r|) . 2µ
(IV.239)
F¨ ur das H-Atom gilt bekanntlich m1 m2 , so dass M → m1 ,
µ → m2
und p → p2
(IV.240)
gilt. Das Schwerpunktsystem stimmt mit dem Kernsystem fast u ¨berein und wir k¨onnen r1 = 0,
r2 = −r
(IV.241)
64
IV. Wellenmechanik
setzen. Es ist nun folgendes Eigenwertproblem zu l¨osen: 2 ~ Hχ = − ∂r2 + Vˆ (r) χ = U χ 2µ mit
,
(IV.242)
1 e2 Vˆ (r) = − und den Eigenfunktionen χ(r) . 4πε0 r
(IV.243)
Es liegt nahe, die Differentialgleichung in Kugelkoordinaten zu l¨osen, d. h. x1
= r sin θ cos ϕ
(IV.244)
x2
= r sin θ sin ϕ
(IV.245)
x3
= r cos θ
(IV.246)
Der Laplace-Operator ∂r2 lautet 1 1 ∂r r2 ∂r + 2 Λ 2 r r 1 1 Λ= ∂ϕ2 ∂θ sin θ∂θ + sin θ sin2 θ ∂r2 = 4 =
(IV.247) .
(IV.248)
Die Randbedingungen im Unendlichen fordern ein hinreichend schnelles Abklingen der Eigenfunktionen, so dass die Normierung m¨ oglich ist. Wir beschr¨anken uns zun¨achst auf die gebundenen Zust¨ande. 1. Schritt: Separation χ(r) = R(r)Y (θ, ϕ) 2
Hχ = −
(IV.249)
2
~ 1 ~ 1 ∂r r2 ∂r R · Y − RΛY + Vˆ RY = U RY 2 2µ r 2µ r2
.
(IV.250)
Division durch RY f¨ uhrt auf den alleinigen Winkelterm ΛY /Y , der absepariert werden kann und deshalb konstant ist. Wir setzen ΛY = −λY (IV.251) mit der Separationskonstanten −λ. Als Radialanteil verbleibt 1 2µ λ ∂r r2 ∂r R + 2 (U − Vˆ )R − 2 R = 0 . 2 r ~ r
(IV.252)
2. Schritt: Winkelanteil ΛY =
1 1 2 ∂ϕ Y = −λY ∂θ sin θ∂θ + sin θ sin2 θ
(IV.253)
Separation: Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) 1 Θ 2 ∂θ sin θ∂θ Θ · Φ + ∂ϕ Φ = −λΘΦ sin θ sin2 θ
(IV.254)
Die Differentialgleichung zerf¨ allt bei Einf¨ uhrung einer weiteren Separationskonstanten −m2 in ∂ϕ2 Φ + m2 Φ = 0
(IV.255)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
65 1 m2 ∂θ sin θ∂θ Θ + λ − Θ=0 . sin θ sin2 θ
(IV.256)
Die L¨ osung f¨ ur Φ lautet Φ = eimϕ
.
(IV.257)
Die Eindeutigkeitsbedingung Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π) fordert m = 0, ±1, ±2, . . .
(IV.258)
m heißt magnetische Quantenzahl . Normieren wir noch, so folgt 1 Φm = √ eimϕ 2π
.
(IV.259)
Der Θ-Anteil wird mit der Substitution ξ = cos θ
(IV.260)
∂θ = − sin θ∂ξ
(IV.261)
2
sin θ∂θ = −(1 − ξ )∂ξ in ∂ξ (1 − ξ 2 )∂ξ Θ + λ −
m2 1 − ξ2
(IV.262)
Θ=0
(IV.263)
transformiert. Diese Differentialgleichung ist gut bekannt. Es handelt sich um die zugeordnete Legendresche Differentialgleichung . Bei ξ = ±1 tritt offensichtlich eine Singularit¨at in der Differentialgleichung auf. Regul¨ are L¨ osungen ergeben sich f¨ ur λ = l(l + 1),
l = 0, 1, 2, . . .
(IV.264)
und die L¨ osungen sind abgesehen von der Normierung die zugeordneten Legendreschen Funktionen Plm (ξ), d. h. s Θm l (θ)
2l + 1 (l − |m|)! |m| · P (cos θ) , 2 (l + |m|)! l
=
(−1)
(ξ)
=
(1 − ξ 2 )
Pl (ξ)
=
1 dl 2 (ξ − 1)l 2l l! dξ l
|m|
Pl
m+|m| 2
|m| 2
d|m| Pl (ξ) dξ |m|
(zugeordnete Leg. Fkt.),
(Legendre Polynom).
(IV.265) (IV.266) (IV.267)
Der ausf¨ uhrliche Beweis findet sich vielfach in der mathematischen Literatur. Wir beschr¨anken uns deshalb hier auf die Beweisidee. Die zugeordnete Legendresche Differentialgleichung wird dann mit einem Potenzreihenansatz gel¨ ost. Regul¨are L¨osungen ergeben sich nur, wenn die Potenzreihe nach endlich vielen Gliedern abbricht. Abbruchkriterium ist gerade λ = l(l + 1). Die l‘s heißen Nebenquantenzahlen oder Drehimpulsquantenzahlen. Die l‘s und m‘s sind nicht beliebig frei w¨ ahlbar. Wenn wir vereinbaren, dass l = 0, 1, 2, . . .
(IV.268)
l¨ auft, dann folgt aus der Konstruktion der zugeordneten Legendreschen Funktionen |m|
Pl
∝
d|m|+l 2 (ξ − 1)l dξ |m|+l
,
(IV.269)
66
IV. Wellenmechanik |m|
dass f¨ ur Pl
6≡ 0 |m| + l ≤ 2l
(IV.270)
gelten muss, also m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
.
(IV.271)
Auf die Drehimpuls- und magnetischen Quantenzahlen kommen wir noch einmal zur¨ uck, wenn die Drehimpulsquantisierung besprochen wird. Die L¨ osung f¨ ur den gesamten Winkelanteil ergibt sich schließlich zu s m+|m| 2 2l + 1 (l − |m|)! imϕ |m| (−1) √ Ylm (θ, ϕ) = e Pl (cos θ) . 2 (l + |m|)! 2π
(IV.272)
Die Ylm (θ, ϕ) heißen Kugelfl¨ achenfunktionen. Sie bilden ein Orthonormalsystem auf der Einheitskugel des R3 , also im L2 (Ω): Z2πZπ 0
0
Ylm∗ Ylm sin θ dθ dϕ = δmm0 δll0 0
.
(IV.273)
0
3. Radialanteil: 2µ 1 2 ∂ r ∂ R + U+ r r r2 ~2
e2 4πε r | {z0 }
~2 l(l + 1) 2µ r2 | {z }
−
Coulomb-Potential
R=0
(IV.274)
Zentrifugalpotential
Wir betrachten U < 0; dies f¨ ahrt auf die sogenannten gebundenen Zust¨ ande. Als Abk¨ urzungen benutzen wir 2µ 2µ e2 1 2B = 2 (IV.275) − 2 = 2 U, r0 ~ ~ 4πε0 Folglich gilt 2 1 2B l(l + 1) ∂r2 R + ∂r R + − 2 + − R=0 . r r0 r r2
(IV.276)
Zun¨ achst vereinfachen wir durch die Koordinatentransformation r r0
(IV.277)
∂r =
2 ∂ρ r0
(IV.278)
∂r2 =
4 2 ∂ r02 ρ
(IV.279)
ρ=2 und erhalten
bzw.
4 2 2 2 2 1 2B 2 (l + 1)l 4 R=0 ∂ R + ∂ R + − + − ρ r02 ρ ρ r0 r0 r02 ρ r0 ρ2 r02
(IV.280)
2 1 ε (l + 1)l R=0 R00 + R0 + − + − ρ 4 ρ ρ2
(IV.281)
mit µ e2 ε = Br0 = 2 ~ 4πε0
s
~2 1 = 2µ −U
r
µ c √ α 2 −U
,
(IV.282)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
67
α=
1 e2 ' 4πε0 ~c 137
.
(IV.283)
α ist die sogenannte Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante. Wir betrachten diese Differentialgleichung jetzt f¨ ur die Grenzf¨alle ρ → ∞ und ρ → 0 und interessieren uns insbesondere f¨ ur die L¨ osungen, die nicht divergieren. F¨ ur ρ → ∞ geht die Differentialgleichung u ¨ber in 1 R00 − R = 0 4
(IV.284)
mit den L¨ osungen ρ
R = e± 2
,
(IV.285)
wovon hier nur ρ
R = e− 2
(IV.286)
brauchbar ist. F¨ ur ρ → 0 geht die Differentialgleichung u ¨ber in 2 l(l + 1) R00 + R0 − R=0 . ρ ρ2
(IV.287)
Dies ist die Eulersche Differentialgleichung , bei der der Ansatz R = ργ
(IV.288)
2 l(l + 1) γ γ(γ − 1)ργ−2 + γργ−1 − ρ =0 , ρ ρ2
(IV.289)
γ(γ − 1) + 2γ − l(l + 1) = γ(γ + 1) − l(l + 1) = 0
(IV.290)
zum Ziel f¨ uhrt. Eingesetzt folgt
woraus folgt. Als L¨ osung f¨ ur γ folgt γ=l
und γ = −l − 1
,
(IV.291)
wovon die zweite divergent ist und f¨ ur uns somit unbrauchbar; es verbleibt also R = ρl
.
(IV.292)
F¨ ur die vollst¨ andige Differentialgleichung u ¨berlagern wir beide Grenzfall-L¨osungen mit einem Potenzreihenansatz: ∞ ρ X aν ρν (IV.293) R = ρl e− 2 ν=0
Dann folgt R
0
∞ X ρ 1 ν+l−1 ν+l = (l + ν)aν ρ − aν ρ e− 2 2 ν=0 ∞ X ρ 1 = (l + ν + 1)aν+1 − aν ρl+ν e− 2 2 ν=−1
mit der Vereinbarung aν ≡ 0 f¨ ur ν < 0.
(IV.294) (IV.295)
68
IV. Wellenmechanik
Weiterhin folgt R
00
R00
∞ X
(
1 = (l + ν + 1)(l + ν)aν+1 − aν (l + ν) ρl+ν−1 2 ν=−1 ) ρ 1 1 + − (l + ν + 1)aν+1 + aν ρl+ν e− 2 2 4 ∞ X ρ 1 = (l + ν + 2)(l + ν + 1)aν+2 − aν+1 (l + ν + 1) + aν ρl+ν e− 2 4 ν=−2
Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich liefern 1 1 (l + ν + 2)(l + ν + 1)aν+2 −aν+1 (l + ν + 1) + aν + 2 (l + ν + 2)aν+2 − aν+1 − 4 2 1 aν + εaν+1 − l(l + 1)aν+2 = 0 , 4 aν+2 =
(l + ν + 1) + 1 − ε aν+1 (l + ν + 2)(l + ν + 1) + 2(l + ν + 2) − l(l + 1)
.
(IV.296) .
(IV.297)
(IV.298)
(IV.299)
Indextransformiert ν + 1 → ν folgt die Rekursionsformel aν+1 l+ν+1−ε l+ν+1−ε = = aν (l + ν + 1)(l + ν) + 2(l + ν + 1) − l(l + 1) (ν + 1)(ν + 2l + 2) die sich im Limes wie
aν+1 1 −→ aν ν→∞ ν
,
(IV.300)
(IV.301)
verh¨ alt. Wir vergleichen dies mit eρ =
∞ X
Cν ρν =
ν=0
∞ X 1 ν ρ ν! ν=0
1 1 Cν+1 ν! = ∼ = Cν (ν + 1)! ν+1 ν
(IV.302)
.
(IV.303)
Die Potenzreihe verh¨ alt sich wie eρ und R(ρ) ist damit nicht quadratintegrierbar. Zur Gew¨ ahrleistung der Quadratintegrierbarkeit muss die Potenzreihe abbrechen, so dass ein Polynom entsteht. Es muss gelten κ ρ X R(ρ) = ρl e− 2 a ν ρν (IV.304) ν=0
aκ+1 = 0 ,
(IV.305)
l+κ+1−ε=0
(IV.306)
bzw. ε=l+κ+1=n
.
(IV.307)
Wegen κ = 0, 1, . . . gilt n = l + 1, l + 2, . . .. Eingesetzt folgt mit r ε=
µ 1 e2 1 √ = 2 ~ 4πε0 −U
Un = −
r
µc2 α √ =n 2 −U
µ 1 e4 1 µc2 α2 = − 2 ~2 (4πε0 )2 n2 2 n2
.
(IV.308) (IV.309)
8.3 Das Wasserstoff-Atom
69
Die Sommerfeldsche Polynom-Methode f¨ uhrt in beeindruckender Weise auf die Energieniveaus des H-Atoms. n heißt Hauptquantenzahl . Die Energieniveaus des H-Spektrums sind entartet, d. h. zu einem Niveau geh¨oren mehrere Zust¨ ande. Um die Entartung auszurechnen, sortieren wir die Z¨ahlweise um: Bisherige Z¨ ahlweise: l &
=
0, 1, 2, . . .
κ =
0, 1, 2, . . .
n
y
= l + 1, l + 2, . . .
Jetzt wird der Hauptquantenzahl n das Primat gegeben: n =
1, 2, 3, . . .
Hauptquantenzahl
y
l
=
0, 1, . . . , n − 1
&
m
=
−l, −l + 1, . . . , l − 1, l
Drehimpulsquantenzahl Magnetische Quantenzahl
F¨ ur ein festes l ergeben sich somit 2l + 1 magnetische Zust¨ande. F¨ ur ein festes n gibt es 0, . . . , n − 1 Drehimpulszust¨ ande. Zusammen ergeben sich n−1 X
(2l + 1) = n2
(IV.310)
l=0
Zust¨ ande f¨ ur ein festes n. Die Entartung ist n2 -fach. Ber¨ ucksichtigt man noch Elektronenspins, ist die Entartung sogar 2n2 . In der Spektroskopie sind folgende Bezeichnungen u ¨blich: n=
1 2 3 .. .
K-Schale des Atoms L-Schale des Atoms M-Schale des Atoms .. .
l=
0 1 2 3 4 .. .
s (scharf) p (prinzipal) d (diffus) f (fundamental) g (alphabetisch) .. .
m=
0 1 2 .. .
σ π δ .. .
Da in die Energieniveaus die reduzierte Masse µ eingeht, ergibt sich ein geringer Effekt der Kernmasse auf die Spektren: m1 · m2 m2 µ= = . (IV.311) m2 m1 + m2 1+ m 1 Auf diese Weise wurde 1932 das Deuterium von Urey u. a. entdeckt. Die radialen Eigenfunktionen nehmen die Form ρ
R(ρ) = e− 2 ρl
κ X ν=0
a ν ρν
(IV.312)
70
IV. Wellenmechanik
an. Aus der Rekursionsformel entnehmen wir, dass die aν ‘s von n und l abh¨angen. Beim Polynom-Anteil handelt es sich gerade um die verallgemeinerten Laguerre-Polynome L2l+1 n+l , so dass man schreibt 1 2 Rnl (ρ) = p 3 2 a0 n
s
(n − l − 1)! − ρ l 2l+1 e 2 ρ Ln+l (ρ) [(n + l)!]3
(IV.313)
mit =
4πε0
ρ
=
2
Lj (ρ)
=
di dρi
(i)
r r0
~2 µe2
Bohrscher Radius, µ → m2 ) , s r 2µ e4 1 2 2µ µ 1 = = 2r −U 2 = 2r r 2 2 2 2 ~ ~ 2 ~ (4πε0 ) n na0 dj eρ j (ρj e−ρ ) . dρ
ao
('
(IV.314) ,
(IV.315) (IV.316)
Die erste Radialfunktion lautet damit r 2 R10 (r) = − p 3 e− a0 a0
.
(IV.317)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ∗ P (r) = r2 R10 R10
hat ihr Maximum bei r
∂r P = 0 = ∂r (r2 e−2 a0 ) = (2r − r2
(IV.318) 2 −2 ar 0 )e a0
(IV.319)
d. h. bei r = a0 ; a0 entspricht gerade dem Bohrschen Radius, wenn µ = m2 . Die Eigenwerte der gebundenen Zust¨ande (U < 0) lassen sich im Energieniveau-Schema darstellen. Betrachten wir nun den Fall U > 0 noch etwas genauer. In der Gleichung f¨ ur den Radialanteil R ist jetzt mit umgekehrten Vorzeichen zu substituieren: +
1 2µ = 2U r02 ~
.
(IV.320)
Dann folgt 2 ∂r2 R + ∂r R + r
1 2B l(l + 1) + − 2 r0 r r2
R=0 .
(IV.321)
Asymptotisch (r → ∞) gilt ∂r2 R + Die asymptotischen L¨ osungen
1 R=0 . r02 r
R = e±i r0
(IV.322)
(IV.323)
sind periodisch und damit im bisherigen Sinn nicht normierbar. Es erfolgt damit auch keine Selektion diskreter Eigenwerte U , sondern dieser Anteil des Spektrums ist kontinuierlich; alle r0 und damit alle U > 0 sind erlaubt. Offensichtlich ist R(U > 0) ∈ / L2 (0, ∞). Da erst durch die Hinzunahme der Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums das Eigenfunktionensystem des H-Atoms vollst¨andig ist, k¨onnen wir diese Anteile nicht einfach ignorieren. Folgende Auswege sind m¨ oglich.
8.3 Das Wasserstoff-Atom
U >0
71
ungebundene Zust¨ande, kontinuierliches Spektrum
n=∞
U =0
n=3 U 0 ∃N (ε), so dass kΨm − Ψn k < ε f¨ ur m, n > N , und es existiert ein Grenzwert |Ψi, der wieder im Hilbertraum liegt. Orthogonalit¨ at: |Ψi und |χi heißen orthogonal, wenn hΨ|χi = 0
(V.13)
gilt, wobei |Ψi = 6 |nulli und |χi = 6 |nulli gelten soll. Fassen wir die genannten Eigenschaften des Hilbertraumes zusammen, kommen wir zu folgender Definition. Ein vollst¨ andiger, normierter, linearer Vektorraum, in dem die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt wird, heißt Hilbertraum. Bemerkungen: 1. Der duale Hilbertraum wird auch dualer Kovektorraum oder konjugierter Raum genannt. Dementsprechend sind bra-Vektoren die Kovektoren zu ket-Vektoren oder die konjugierten Vektoren. 2. Die Bezeichnungen bra und ket sind aus bracket abgeleitet. 3. Der bra-ket-Formalismus des Hilbertraumes ist besonders bei den Physikern in Gebrauch. In der Mathematik werden die Elemente des Hilbertraumes (Vektoren) einfach Ψ, χ, ξ, . . . bezeichnet und das Skalarprodukt mit (Ψ, χ). Diese Notation kommt ohne den dualen Raum aus. Beispiele f¨ ur einen Hilbertraum • L2 (G) G ⊂ Rn , |f i = f (x), x ∈ G L2 (G) = {f : f (x) : G → C1 , f messbar, L
Z
|f |2 dV < ∞}
(V.14)
G
Skalarprodukt: hg|f i = L
R G
g ∗ (x)f (x)dV
• L2 (−∞, ∞) G = R1 , |f i = f (x) 1
1
Z∞
L2 (−∞, ∞) = {f : f (x) : R → C , f messbar, L
|f |2 dx < ∞}
(V.15)
−∞
Skalarprodukt: hg|f i = L
R∞ −∞
g ∗ (x)f (x)dx.
F¨ ur die in der Physik auftretenden Funktionen kann h¨aufig das Lebesgue-Integral durch das Riemann-Integral ersetzt werden.
80
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
• l2 ∞
xn ∈ C, |ξi = {xn }n=0 ( ∞ {xn }n=0
l2 =
1
, xn ∈ C ,
∞ X
) 2
|xn | < ∞
(V.16)
n=0
Skalarprodukt: hη|ξi =
2.2
P∞
n=0
yn∗ xn
Operatoren im Hilbertraum Operator: Wenn jedem |Ψi ∈ HR ein |χi ∈ HR zugeordnet ist, dann schreibt man die Zuordnungsvorschrift ˆ |χi = A|Ψi (V.17) und nennt Aˆ Operator.
Im weiteren betrachten wir nur lineare Operatoren, f¨ ur die ˆ 1 |Ψ1 i + c2 |Ψ2 i) = c1 A|Ψ ˆ 1 i + c2 A|Ψ ˆ 2i A(c
(V.18)
gilt. Es gelten folgende Eigenschaften (mit |nulli als neutrales Element der Addition): ˆ • Aˆ = ˆ 0 falls ∀|Ψi A|Ψi = |nulli ˆ falls hΨ|A|Ψi ˆ ˆ • Aˆ = B = hΨ|B|Ψi
∀|Ψi ∈ HR
ˆ=B ˆ + Aˆ • Aˆ + B ˆ + Cˆ = Aˆ + (B ˆ + C) ˆ • (Aˆ + B) ˆ Cˆ = A( ˆB ˆ C) ˆ • (AˆB) ˆB ˆ + C) ˆ = AˆB ˆ + AˆCˆ • A( ˆ B] ˆ = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ 6= ˆ • [A, 0 i. a. ˆ ˆ • Wenn |χi = A|Ψi und B|χi = |Ψi
ˆ = Aˆ−1 , AˆB ˆ=B ˆ Aˆ = Iˆ ∀|χi, |Ψi, dann ist B
Ein Operator Aˆ kann gegebenenfalls auf eine Teilmenge des HR - den Definitionsbereich von Aˆ - eingeschr¨ ankt sein. ˆ der angewendet auf |Ψi gerade |χi erzeugt, als Formal kann A, Aˆ = c|χihΨ| mit
c = kΨk−2
(V.19)
geschrieben werden, denn ˆ |χi = A|Ψi = c|χihΨ|Ψi = |χi .
(V.20)
Adjungierter Operator: ˆ wenn gilt Aˆ+ ist der adjungierte Operator zu A, ˆ ∗ hΨ|Aˆ+ |χi = hχ|A|Ψi
.
(V.21)
2.2 Operatoren im Hilbertraum
81
Die Zuordnung, die Aˆ im Hilbertraum beschreibt, wird von Aˆ+ im dualen Hilbertraum beschrieben, denn mit ˆ |ξi = A|Ψi (V.22) folgt hΨ|Aˆ+ |χi = hχ|ξi∗ = hξ|χi
(V.23)
hΨ|Aˆ+ = hξ| .
(V.24)
und somit
Die Konjugation eines Vektors ist damit konsistent, da + ˆ |ξi+ = A|Ψi = hξ| = hΨ|Aˆ+ also
+ ˆ A|Ψi = hΨ|Aˆ+
,
.
(V.25)
(V.26)
Es gelten die Eigenschaften (Aˆ+ )+ ˆ+ (cA) ˆ + (Aˆ + B) ˆ + (AˆB)
= Aˆ
(V.27)
= c Aˆ+ ˆ+ = Aˆ+ + B ˆ + Aˆ+ = B
(V.28)
∗
(V.29) (V.30)
Bemerkung: Die Konjugation von Vektoren wird mitunter auch als Adjungation bezeichnet. Wir trennen die Bezeichnungen hier und reservieren Adjungation f¨ ur die Operatoren. Selbstadjungierte Operatoren: Wenn Aˆ+ = Aˆ gilt, heißt Aˆ selbstadjungiert oder hermitesch. Dynamische Variable: ˆ beschrieEine dynamische Variable ist eine physikalische Gr¨oße L, die durch einen Operator L ˆ existiert eine Bewegungsgleichung der Form ben wird. F¨ ur L ˆ L|Ψi = |Ψ0 i .
(V.31)
Observable: Eine Observable ist eine dynamische Variable, die direkt beobachtbar ist, reelle Messwerte liefert und durch einen hermiteschen Operator beschrieben wird (vgl. Axiom Nr. 2). Sp¨ater werden wir die Definition einer Observablen noch erg¨anzen. (Das Eigenvektorsystem einer Observablen ist vollst¨ andig.) Unit¨ are Operatoren: ˆ heißt unit¨ ˆ auf |Ψ1 i und |Ψ2 i, also Ein Operator U ar, wenn bei Anwendung von U ˆ |Ψ1 i = |χ1 i U
(V.32)
ˆ |Ψ2 i = |χ2 i , U
(V.33)
hχ1 |χ2 i = hΨ1 |Ψ2 i .
(V.34)
das Skalarprodukt erhalten bleibt:
82
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
F¨ ur unit¨ are Operatoren gilt ˆ+ = U ˆ −1 U
,
(V.35)
denn ˆ +U ˆ |Ψ2 i = hΨ1 |Ψ2 i ; hχ1 |χ2 i = hΨ1 |U
(V.36)
ˆ +U ˆ = Iˆ U
(V.37)
also muß gelten und somit ˆ+ = U ˆ −1 U
2.3
.
(V.38)
Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
ˆ wenn es einen ket |ei gibt, so daß Eine Zahl a ∈ C ist ein Eigenwert des Operators A, ˆ = a|ei A|ei
(V.39)
gilt. |ei heißt Eigenvektor oder Eigenket. Mit |ei ist auch λ · |ei Eigenvektor, da ˆ 0 i = A(λ|ei) ˆ ˆ = λa|ei = aλ|ei = a|e0 i , A|e = λA|ei
(V.40)
|e0 i := λ|ei .
(V.41)
mit
Ein selbstadjungierter Operator Aˆ = Aˆ+ hat nur reelle Eigenwerte, denn aus ˆ = a|ei A|ei
(V.42)
folgt a=
ˆ ∗ ˆ he|Aˆ+ |ei he|A|ei he|A|ei = = = a∗ he|ei he|ei he|ei
.
(V.43)
ˆ die zu verschiedenen Eigenwerten geh¨oren, sind Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators A, orthogonal. Denn aus ˆ 1i = A|e ˆ 2i = A|e
a1 |e1 i a2 |e2 i,
a1 6= a2
folgt ˆ 1 i = he2 |Aˆ+ |e1 i = he1 |A|e ˆ 2 i∗ = a∗2 he1 |e2 i∗ = a2 he2 |e1 i a1 he2 |e1 i = he2 |A|e (a1 − a2 )he2 |e1 i = he2 |e1 i =
(V.44)
0
(V.45)
0 .
(V.46)
Entartung eines Eigenwertes: Gibt es zu einem Eigenwert a N linear unabh¨angige Eigenvektoren, so heißt a N -fach entartet. Dann gilt ˆ i i = a|ei i i = 1, . . . , N . A|e (V.47) Eine Linearkombination der Eigenvektoren |ei i ist wieder Eigenvektor, denn f¨ ur X |˜ ei = λi |ei i , λi ∈ C i
(V.48)
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
83
gilt ˆ ei = Aˆ A|˜
X
λi |ei i =
i
X
ˆ ii = λi A|e
i
X
λi a|ei i = a
X
i
λi |ei i = a|˜ ei .
(V.49)
i
Die |ei i spannen den Eigenraum von a auf. Sie m¨ ussen nicht immer unmittelbar orthogonal sein; sie sind aber per definitionem linear unabh¨angig und k¨onnen damit mit dem Schmidtschen Verfahren orthonormiert werden. Dann gilt hei |ei0 i = δii0 . (V.50) F¨ ur verschiedene an sind die Eigenvektoren sowieso orthonormal. Zusammenfassend gilt heni |en0 i0 i = δnn0 δii0
.
(V.51)
ˆ Das Spektrum kann diskret sein, Die Menge aller Eigenwerte eines Operators Aˆ heißt Spektrum von A. die M¨ achtigkeit eines Kontinuums annehmen oder beide Anteile enthalten. Projektionsoperatoren: |ai sei ein normierter Eigenvektor von Aˆ zum nichtentarteten Eigenwert a, also ˆ = a|ai und ha|ai = 1 . A|ai
(V.52)
Pˆa = |aiha|
(V.53)
Der Operator
heißt Projektionsoperator auf den Unterraum HRa des Hilbertraumes HR; HRa wird von |ai aufgespannt. Anwendung von Pˆa auf einen beliebigen Zustand |Ψi ergibt Pˆa |Ψi = |aiha|Ψi = c · |ai .
(V.54)
|Ψi wird auf |ai projiziert. Projektionsoperatoren haben zwei charakteristische Eigenschaften. 1. Pˆa ist selbstadjungiert; Pˆa = Pˆa+ , da def
∗
hψ|Pˆa+ |χi = hχ|Pˆa |ψi∗ = (hχ|aiha|ψ) = hχ|ai∗ ha|ψ ∗ def
= ha|χiψ|ai = hψ|aiha|χi ⇒
Pˆa+ = |aiha| = Pˆa
(V.55) (V.56)
.
(V.57)
Merkhilfe: Pˆa+ = |ai ha|aiha| = |aiha| = Pˆa | {z }
.
(V.58)
=1
Pˆa+ = (|aiha|)+ = (ha|)+ (|ai)+ = |aiha| = Pˆa
.
(V.59)
2. Pˆa2 = Pˆa , da Pˆa2 = |ai ha|aiha| = |aiha| = Pˆa | {z } =1
.
(V.60)
84
V. Axiomatischer Aufbau der Quantenmechanik
Eigenwerte eines Projektionsoperators Pˆ : Sei p ein Eigenwert und |pi ein Eigenvektor von Pˆ . Dann gilt Pˆ |pi = p|pi
.
(V.61)
Erneute Anwendung von Pˆ ergibt Pˆ 2 |pi = pPˆ |pi = p2 |pi .
(V.62)
Die Differenz zur vorhergehenden Gleichung ergibt (Pˆ 2 − Pˆ )|pi = |nulli = (p2 − p)|pi .
(V.63)
Somit muß gelten p2 − p = p(p − 1) = 0
,
(V.64)
was die Eigenwerte p1 = 1,
p2 = 0
(V.65)
ergibt. W¨ ahrend der Projektionsoperator Pˆa = |aiha|
(V.66)
eine Projektion in einen eindimensionalen Unterraum vornimmt, lassen sich auch Projektionsoperatoren konstruieren, die in mehrdimensionale Unterr¨aume projizieren. Wir betrachten N orthonormierte kets |e1 i, |e2 i, . . ., |eN i mit hei |ej i = δij . (V.67) Die |ei i spannen einen N -dimensionalen Unterraum auf. Dann ist PˆN =
N X
|ei ihei |
(V.68)
i=1
ein Projektionsoperator, der in den N -dimensionalen Unterraum projiziert. Basis: Ein Satz von Vektoren |bi i, i = 1, 2, . . . , n, . . . heißt Basis des Hilbertraumes, wenn die |bi i linear unabh¨ angig sind und der Satz vollst¨andig ist. D.h., jeder Vektor |Ψi muß sich darstellen lassen in der Form X |Ψi = ci |bi i . (V.69) i
Ein Satz von Vektoren |ei i, i = 1, 2, . . . , n, . . . heißt Orthonormalbasis, wenn die |ei i eine Basis bilden und wenn gilt hei |ej i = δij . (V.70) Mit Hilfe einer Orthonormalbasis l¨ aßt sich der Identische Operator Iˆ darstellen als X Iˆ = |ei ihei | .
(V.71)
i
Es gilt ˆ |Ψi = I|Ψi =
X i
|ei ihei |Ψi =
X i
ci |ei i
(V.72)
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Operatoren
85
mit ci = hei |Ψi; ein beliebiger Vektor |Ψi wird nach der Basis |ei i entwickelt. Wenn der Satz |ei i nicht vollst¨ andig ist, geht Iˆ u ¨ber in einen Projektionsoperator auf den entsprechenden Unterraum. Erg¨ anzung zur Definition einer Observablen: Das System der Eigenvektoren einer Observablen ist vollst¨andig. Damit kann dieses System als Orthonormalbasis dargestellt werden. Zur Verdeutlichung sei hier wiedereinmal die Analogie zur linearen Algebra im = hΨ|A|Ψi Z Z 0 = dp dp hΨ|p0 ihp0 |A(ˆ p)|pihp|Ψi Z Z = dp0 dp Ψ∗ (p0 )A(p)δ(p0 − p)Ψ(p) Z = dp Ψ∗ (p)A(p)Ψ(p) .
(VI.53)
Das Matrixelement von Aˆ = A(ˆ p) mit zwei beliebigen Elementen |gi und |f i des Hilbertraumes berechnet sich zu ˆ i = hg|A(ˆ hg|A|f p)|f i Z Z 0 ˆ hg|A|f i = dp dp hg|p0 ihp0 |A(ˆ p)|pihp|f i
(VI.54)
Mit (VI.48) und (VI.52) folgt
3.3
ˆ i = hg|A|f
Z
dp0
Z
ˆ i = hg|A|f
Z
dp g ∗ (p)A(p)f (p) .
dp g ∗ (p0 )A(x)δ(p0 − p)f (p) (VI.55)
Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
Die Ortszust¨ ande |xi werden nach den Impulszust¨anden |pi entwickelt: Z |xi = dp|pihp|xi .
(VI.56)
3.3 Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
101
Skalarproduktbildung ergibt hx0 |xi = δ(x0 − x) =
Z
dphx0 |pihp|xi .
(VI.57)
Wir vergleichen diese Beziehung mit der bekannten Integraldarstellung der δ-Funktion in der Form Z 0 1 0 δ(x − x) = dk eik(x −x) . (VI.58) 2π Ausnutzung der de Broglie-Relation p = ~k liefert Z 0 i 1 dp e ~ p(x −x) δ(x0 − x) = 2π~
.
(VI.59)
Durch Vergleich liest man ab hx0 |pihp|xi =
1 i p(x0 −x) 1 i px0 − i px e~ = e~ e ~ 2π~ 2π~
bzw. hx|pi = √
i 1 e ~ px 2π~
.
(VI.60)
(VI.61)
hx|pi entspricht gerade der kontinuierlichen) unit¨aren Transformationsmatrix Ulλ mit l = x und n (linear o √ i/~ xp . Somit gilt λ = p oder U = {Uxp } = 1/ 2π~ e |xi = √ sowie |pi = √
1 2π~
1 2π~
Z
Z
i
dp|pie− ~ px
i
dx|xie ~ px
(VI.62)
.
(VI.63)
Die Darstellungen der Zust¨ ande gehen durch eine Fouriertransformation auseinander hervor. F¨ ur einen beliebigen Zustand |Ψi folgt damit hx|Ψi = √ bzw.
1 2π~
1 Ψ(x) = √ 2π~
Z
Z
i
dphp|Ψie ~ px
i
dpΨ(p)e ~ px
(VI.64)
.
(VI.65)
Die Umkehrung lautet Ψ(p) = √
1 2π~
Z
i
dxΨ(x)e− ~ px
.
(VI.66)
Mittels dieser Relation l¨ aßt sich der Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung eines Operators Aˆ herstellen. ˆ Ortsdarstellung von A: ˆ Impulsdarstellung von A:
ˆ hx0 |A|xi ˆ . hp0 |A|pi
102
VI. Darstellungen
Aˆ kann sowohl von x ˆ als auch pˆ abh¨ angen. Doppeltes Einf¨ ugen der Vollst¨andigkeitsrelation Z Iˆ = dp|pihp|
(VI.67)
ergibt ˆ hx0 |A|xi =
Z
dp0
=
ˆ dphx0 |p0 ihp0 |A|pihp|xi i
0
0
i
e ~ p x 0 ˆ e− ~ px hp |A|pi √ dp √ dp 2π~ 2π~ Z Z 0 0 i 1 0 0 ˆ (p dp dphp |A|pie ~ x −px) 2π~
Z =
Z
0
Z
(VI.68)
bzw. die Umkehrrelation ˆ hp0 |A|pi
=
1 2π~
Z
dx0
Z
i
0
0
− ~ (p x −px) ˆ dxhx0 |A|xie
.
(VI.69)
Diese Zusammenh¨ ange wenden wir an, um die Ortsdarstellung des Impulsoperators und die Impulsdarstellung des Ortsoperators zu berechnen. Ortsdarstellung des Impulsoperators: 0
hx |ˆ p|xi = = = = =
Z Z 0 0 i 1 0 dp dphp0 |ˆ p|pie ~ (p x −px) 2π~ Z Z 0 0 i 1 dp0 dppδ(p0 − p)e ~ (p x −px) 2π~ Z 0 i 1 dp p e ~ p(x −x) 2π~ Z 0 i 1 ~ ∂x0 dp e ~ p(x −x) 2π~ i −i~∂x0 δ(x0 − x) .
(VI.70)
Dies ist keine Diagonalmatrix. Das Ergebnis ist zu verallgemeinern f¨ ur Potenzen und Funktionen von pˆ: n ~ ∂x0 δ(x0 − x) (VI.71) hx0 |ˆ pn |xi = i ~ 0 ∂x0 δ(x0 − x) . (VI.72) hx |A(ˆ p)|xi = A i Impulsdarstellung des Ortsoperators: 0
hp |ˆ x|pi = = = = =
Z Z 0 0 i 1 0 dx dxhx0 |ˆ x|xie− ~ (p x −px) 2π~ Z Z 0 0 i 1 dx0 dx x δ(x0 − x)e ~ (px−p x ) 2π~ Z 0 i 1 dx x e− ~ x(p −p) 2π~ Z 0 i 1 ~ − ∂p0 dx e− ~ x(p −p) 2π~ i i~∂p0 δ(p0 − p) .
(VI.73)
3.3 Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsdarstellung
103
Ausdehnung auf Potenzen und Funktionen von x ˆ liefert hp0 |ˆ xn |pi = (i~∂p0 )n δ(p0 − p)
(VI.74)
hp0 |A (ˆ x) |pi = A(i~∂p0 )δ(p0 − p) .
(VI.75)
Die Kombination der Darstellung von Zust¨anden |Ψi und Operatoren Aˆ ergibt schließlich f¨ ur ˆ x) −Aˆ = A(ˆ Z
ˆ hx |A|Ψi = 0
Z =
ˆ hp |A|Ψi =
0 ˆ dxA(x)δ(x − x)Ψ(x)
(VI.76)
A(x0 )Ψ(x0 )
= 0
ˆ dxhx0 |A|xihx|Ψi
Z Z
=
ˆ dphp0 |A|pihp|Ψi 0 ˆ dp{A(i~∂ p0 )δ(p − p)}Ψ(p)
(VI.77)
= A(i~∂p0 )Ψ(p0 ) ˆ p) −Aˆ = A(ˆ ˆ hp0 |A|Ψi = =
Z
ˆ dphp0 |A|pihp|Ψi
Z
dpA(p)δ(p0 − p)Ψ(p)
(VI.78)
= A(p0 )Ψ(p0 ) ˆ hx0 |A|Ψi =
Z
ˆ dxhx0 |A|xihx|Ψi Z ~ ∂x0 δ(x0 − x)Ψ(x) = dxA i ~ ∂x0 Ψ(x0 ) = A i
(VI.79)
Das Matrix-Element von A(ˆ p) in Ortsdarstellung bzw. von A(ˆ x) in Impulsdarstellung, jeweils gebildet mit beliebigen Elementen |gi und |f i des Hilbertraumes, berechnet sich zum einen zu Z Z hg|A(ˆ p)|f i = dx0 dx hg|x0 ihx0 |A(ˆ p)|xihx|f i Z Z ~ 0 ∗ 0 = dx dx g (x )A ∂x0 δ(x0 − x)f (x) i Z ~ ∗ = dx g (x)A ∂x0 f (x) (VI.80) i und zum anderen zu Z hg|A(ˆ p)|f i =
dp
Z
dp hg|p0 ihp0 |A(ˆ p|pihp|f i
Z
dp g ∗ (p0 )A (i~ ∂p0 ) δ(p0 − p)f (p)
Z
dp0
Z
dp g ∗ (p)A (i~ ∂p0 ) f (p) .
= =
0
(VI.81)
104
VI. Darstellungen
F¨ ur den Spezialfall A(ˆ p) = pˆ
(VI.82)
folgt insbesondere Z
~ dx g ∗ (x) ∂x f (x) , i
hg|ˆ p|f i =
(VI.83)
was uns in den vorherigen Kapiteln, die vollst¨andig in Ortsdarstellung verfasst sind, veranlasst hat, in (IV.29) den Impulsoperator als ~i ∂x einzuf¨ uhren. Analog folgt der Ortsoperator x ˆ in Impulsdarstellung wegen Z dp g ∗ (p)i~ ∂p f (p)
hg|ˆ x|f i =
(VI.84)
zu i~ ∂p .
3.4
Orts- und Impulsdarstellung der Schro ¨dinger-Gleichung
Die zeitfreie Schr¨ odinger-Gleichung in abstrakter Form ˆ H|ϕi = U |ϕi,
2 ˆ = pˆ + Vˆ (ˆ x) H 2m
(VI.85)
ist in eine konkrete Darstellung zu u uhren. ¨berf¨ Ortsdarstellung: Projektion auf |x0 i und Einf¨ ugen der Vollst¨andigkeitsrelation ergibt Z ˆ dxhx0 |H|xihx|ϕi = U hx0 |ϕi Z ˆ dxhx0 |H|xiϕ(x) = U ϕ(x0 )
=
( dx
1 2m
~ ∂x0 i
2
(VI.87)
1 hx0 |ˆ p2 |xi + hx0 |Vˆ (ˆ x)|xi 2m 2 1 ~ ∂x0 δ(x0 − x) + Vˆ (x) δ(x0 − x) 2m i
ˆ hx0 |H|xi =
Z
(VI.86)
(VI.88) (VI.89)
) δ(x − x) + Vˆ (x) δ(x − x) ϕ(x) 0
(
0
1 2m
~ ∂x0 i
2
) 0 ˆ + V (x ) ϕ(x0 )
= U ϕ(x0 )
(VI.90)
= U ϕ(x0 )
(VI.91)
3.5 Translationsoperator
105
Impulsdarstellung: Projektion auf |p0 i und Einf¨ ugen der Vollst¨andigkeitsrelation ergibt Z ˆ dphp0 |H|pihp|ϕi = U hp0 |ϕi Z ˆ dphp0 |H|piϕ(p) = U ϕ(p0 ) ˆ hp0 |H|pi = =
Z dp
3.5
(VI.92) (VI.93)
1 0 2 hp |ˆ p |pi + hp0 |Vˆ (ˆ x)|pi 2m p2 δ(p0 − p) + Vˆ (i~∂p0 ) δ(p0 − p) 2m
p2 δ(p0 − p) + Vˆ (i~∂p0 ) δ(p0 − p) ϕ(p) = 2m 02 p ˆ 0 + V (i~∂p ) ϕ(p0 ) = 2m
(VI.94) (VI.95)
U ϕ(p0 )
(VI.96)
U ϕ(p0 )
(VI.97)
Translationsoperator
ˆ Wir f¨ uhren hier einen Operator ein – den Translationsoperator D(ξ) – mit dessen Hilfe das gesamte System der Eigenvektoren des Ortsoperators x ˆ, also die Orthonormalbasis {|xi}, aus einem Eigenvektor ˆ |x = 0i ≡ |0i aufgebaut werden kann. D(ξ) bewirkt folgendes: ˆ D(ξ)|xi = |x + ξi
(VI.98)
ˆ 1 )D(ξ ˆ 2 ) = D(ξ ˆ 1 + ξ2 ) . D(ξ
(VI.99)
Dann gilt
Die L¨ osung dieser Funktionalgleichung lautet i ˆ D(ξ) = e− ~ ξpˆ ,
(VI.100)
wobei pˆ der Impulsoperator ist. Ein beliebiger Eigenvektor |xi ergibt sich damit aus i
ˆ |xi = D(x)|0i = e− ~ xpˆ|0i .
(VI.101)
¨ {Weiteres siehe UA}
4 4.1
Besetzungszahldarstellung Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator, Besetzungszahloperator
Wir f¨ uhren zun¨ achst einen Operator a ˆ als Linearkombination von x ˆ und pˆ ein: r mω 1 a ˆ= x ˆ + i√ pˆ . 2~ 2m~ω
(VI.102)
a ˆ ist nicht hermitesch, denn es gilt +
a ˆ =
r
mω 1 x ˆ − i√ pˆ . 2~ 2m~ω
(VI.103)
106
VI. Darstellungen
a ˆ+ heißt Erzeugungsoperator , a ˆ heißt Vernichtungsoperator . Das Produkt a ˆ+ a ˆ heißt Besetzungsˆ. N ˆ ist hermitesch. Es gilt zahloperator N r r mω mω 1 1 + ˆ √ √ N =a ˆ a x ˆ−i pˆ x ˆ+i pˆ (VI.104) ˆ= 2~ 2~ 2m~ω 2m~ω 1 1 ˆ = mω x N ˆ2 + pˆ2 + i (ˆ xpˆ − pˆx ˆ) . 2~ 2m~ω 2~
(VI.105)
Der letzte Term wird durch die Kommutatorrelation [ˆ x, pˆ] = i~Iˆ
(VI.106)
ˆ benutzt werden. Da ersetzt. Als Basis f¨ ur die Darstellung soll jetzt das System der Eigenvektoren von N ˆ ˆ N hermitesch ist, sind die Eigenvektoren orthogonal; im n¨achsten Abschnitt werden wir sehen, daß N mit einer Observablen kompatibel und damit das Eigenvektorsystem vollst¨andig ist.
4.2
Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators
ˆ betrachten wir jetzt das EigenZur Bestimmung der Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren von N wertproblem ˆ |ni = n|ni . N (VI.107) n sind die Eigenwerte, |ni die normierten Eigenfunktionen. Es werden nun diverse Eigenschaften der n und |ni abgeleitet. Aus ˆ |ni = hn|ˆ n = n∗ = hn|N a+ a ˆ|ni = kˆ a|nik2
(VI.108)
n≥0
(VI.109)
folgt da kˆ a|nik2 ≥ 0
.
(VI.110)
Aus dem Kommutator [ˆ x, pˆ] l¨ aßt sich der Kommutator [ˆ a, a ˆ+ ] berechnen zu [ˆ a, a ˆ+ ]
= a ˆa ˆ+ − a ˆ+ a ˆ r r 1 1 mω mω x ˆ + i√ pˆ x ˆ − i√ pˆ = 2~ 2~ 2m~ω 2m~ω r r mω 1 mω 1 − x ˆ − i√ pˆ x ˆ + i√ pˆ 2~ 2~ 2m~ω 2m~ω i i ~ˆ = (−ˆ xpˆ + pˆx ˆ−x ˆpˆ + pˆx ˆ) = 2 I 2~ 2~ i = Iˆ .
(VI.111)
ˆa ˆa=a ˆ =a ˆ − I) ˆ N ˆ=a ˆ+ a ˆa ˆ = (ˆ aa ˆ+ − I)ˆ ˆa ˆ+ a ˆ−a ˆ=a ˆ(ˆ a+ a ˆ − I) ˆ(N
(VI.112)
Damit ergibt sich
bzw. ˆa ˆ = −ˆ ˆ, a N ˆ−a ˆN a = [N ˆ]
.
(VI.113)
4.2 Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators
107
Analog folgt ˆa ˆ =a ˆ + I) ˆ N ˆ+ = a ˆ+ a ˆa ˆ+ = a ˆ+ (ˆ a+ a ˆ + I) ˆ+ (N
(VI.114)
bzw. ˆ, a [N ˆ+ ] = a ˆ+
.
(VI.115)
Anwendung auf |ni ergibt ˆa ˆ − I)|ni ˆ ˆ = (n − 1)ˆ N ˆ|ni = a ˆ (N =a ˆ(n − 1)I|ni a|ni ,
(VI.116)
d. h. a ˆ|ni ist Eigenvektor zum Eigenwert n − 1. Eigenvektor zum Eigenwert (n − 1) ist aber auch |n − 1i. Also sind beide proportional a ˆ|ni = c · |n − 1i . (VI.117) |ni und |n − 1i seien normiert, dann folgt hn|ˆ a+ a ˆ|ni = hn − 1|c∗ c|n − 1i = |c|2 hn − 1|n − 1i = |c|2 = kˆ a|nik2 = n Folglich gilt |c| =
.
√
(VI.119)
n
.
(VI.120)
Von einem m¨ oglichen Phasenfaktor sehen wir ab und setzen √ c= n und somit a ˆ|ni =
√
(VI.118)
n|n − 1i .
(VI.121)
(VI.122)
Wiederholte Anwendung von a ˆ ergibt a ˆ2 |ni = .. . p
a ˆ |ni =
√
nˆ a|n − 1i =
p
n(n − 1)|n − 2i (VI.123)
p n(n − 1) · · · (n − p + 1)|n − pi .
F¨ ur p = n folgt a ˆn |ni =
√ n!|0i .
(VI.124)
|0i ist hier aber nicht der Nullvektor, sondern der normierte Eigenvektor zum Index n = 0. Es gilt hier also h0|0i = 1 . (VI.125) Er beschreibt einen physikalischen Systemzustand - das Quantenvakuum. Die weitere Anwendung von a ˆ auf |0i f¨ uhrt dann tats¨ achlich zum Nullvektor, den wir mit |nulli kennzeichnen wollen und dessen Norm verschwindet hnull|nulli = knullk2 = 0 . (VI.126) Das dies so sein muß, folgt aus kˆ a|nik2 = n
(VI.127)
f¨ ur n = 0, also kˆ a|0ik2 = 0
;
(VI.128)
108
VI. Darstellungen
der Vektor, dessen Norm verschwindet, ist aber der Nullvektor, also a ˆ|0i = |nulli .
(VI.129)
Wir folgern, daß der Zustand |0i zum Eigenwert n = 0 der normierbare und damit physikalische Zustand ˆ ist. Da die Eigenwerte aber um 1er-Schritte voneinander entfernt sind, gilt f¨ ur die Eigenwerte von N n = 0, 1, 2, . . .
(VI.130)
ˆa Analog ergibt die Anwendung von N ˆ+ auf |ni ˆa ˆ + I)|ni ˆ ˆ = (n + 1)ˆ N ˆ+ |ni = a ˆ + (N =a ˆ+ (n + 1)I|ni a+ |ni .
(VI.131)
ˆ |n + 1i = (n + 1)|n + 1i N
(VI.132)
a ˆ+ |ni = d · |n + 1i .
(VI.133)
Wegen folgt
|ni und |n + 1i sind wiederum normiert, was auf hn|ˆ aa ˆ+ |ni = =
|d|2 hn + 1|n + 1i = |d|2 ˆ ˆ |ni + 1 = n + 1 hn|(ˆ a+ a ˆ + I)|ni = hn|N
also |d| =
√
(VI.134) ,
(VI.135)
n+1
(VI.136)
n+1
(VI.137)
f¨ uhrt, und bei Außerachtlassen einer Phase d= ergibt. So erh¨ alt man a ˆ+ |ni =
√
√
n + 1|n + 1i .
(VI.138)
Wiederholte Anwendung von a ˆ+ produziert a ˆ+2 |ni = .. . +p
a ˆ
|ni =
p (n + 1)(n + 2)|n + 2i (VI.139) p (n + 1) · · · (n + p)|n + pi .
F¨ ur n = 0 ergibt sich insbesondere a ˆ+p |0i = bzw. umbenannt p → n a ˆ+n |0i =
p
p!|pi
(VI.140)
n!|ni .
(VI.141)
√
Der n-te Eigenzustand l¨ aßt sich somit aus dem Grundzustand n = 0 (niedrigster Zustand) durch wiederholte Anwendung des Erzeugungsoperators a ˆ+ generieren: 1 +n |ni = √ a ˆ |0i . n!
(VI.142)
Aus der Konstruktion der Eigenvektoren |ni ist klar, das ihre Gesamtheit ein Orthonormalsystem bildet. Zum Test pr¨ uft man leicht, daß hm|ni = δmn (VI.143)
5 Wiederbesuch des harmonischen Oszillators
109
¨ Beweis mit vollst¨ gilt (UA, andiger Induktion). Offen bleibt z. Zt. noch die Vollst¨andigkeit. ˆ k¨onnen wir wie folgt symboliDie Eigenwerte n und Eigenzust¨ ande |ni des Besetzungszahloperators N sieren. a
a null
a
a 0
1
2
n
0
1
2
n
a
a
a
Bemerkungen: ˆ sind nicht entartet. 1. Die Eigenwerte des Besetzungszahloperators N Beweis: ˆ ist mit dem Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators H ˆ = ~ω(N ˆ + 1 I) ˆ verN 2 ˆ ˆ tauschbar (vgl. VI.5). Damit haben N und H das gleiche Eigenfunktionensystem. ˆ sind bekanntlich nicht entartet. Die Eigenwerte von N ˆ stimmen mit Die Eigenwerte von H ˆ bis auf eine multiplikative und eine additive Konstante u den Eigenwerten von H ¨berein. ˆ ebenfalls nicht entartet. Damit sind die Eigenwerte von N ˆ m¨oglich. Vgl. dazu Nolting, Quantenmechanik. Es ist auch ein Beweis ohne die Verwendung von H ˆ . Zum 2. Es gibt keine nichtganzzahligen Eigenwerte n + a (0 < a < 1) des Besetzungzahloperators N Beweis vgl. Nolting, Quantenmechanik.
5
Wiederbesuch des harmonischen Oszillators
Den in Abschnitt IV.8.2 behandelten eindimensionalen harmonischen Oszillator wollen wir noch einmal im Lichte verschiedener Darstellungen betrachten. Die abstrakte Formulierung des Problems lautet in zeitfreier SGL ˆ H|ϕi = U |ϕi
(VI.144)
mit 2 2 ˆ = pˆ + mω x H ˆ2 2m 2
5.1
.
(VI.145)
Ortsdarstellung
Die Projektion auf die Eigenvektoren |xi des Ortsoperators x ˆ ergibt ˆ hx|H|ϕi =
Z
ˆ 0 i hx0 |ϕi = U hx|ϕi dx0 hx|H|x | {z } | {z } ϕ(x0 )
Z =
ϕ(x)
ˆ 0 iϕ(x0 ) = U ϕ(x) . dx0 hx|H|x
(VI.146)
110
VI. Darstellungen
Wir benutzen pˆ2 mω 2 2 + x ˆ |x0 i 2m 2 1 mω 2 hx|ˆ p2 |x0 i + hx|ˆ x2 |x0 i 2m | {z } 2 | {z } 2 x02 δ(x−x0 ) ( ~i ∂x ) δ(x−x0 ) 2 1 ~ mω 2 02 ˆ xx0 ∂x δ(x − x0 ) + x δ(x − x0 ) ≡ H 2m i 2
ˆ 0 i = hx| hx|H|x =
=
(VI.147)
und erhalten ˆ hx|H|ϕi = =
Z
ˆ xx0 ϕ(x0 ) dx0 H ( ) 2 Z mω 2 02 ~ 1 0 0 0 ∂x δ(x − x ) + x δ(x − x ) ϕ(x0 ) dx 2m i 2
(VI.148) (VI.149)
woraus die bekannte Schr¨ odinger-Gleichung des harmonischen Oszillators der Wellenmechanik zu 1 2 2 mω 2 2 ~ ∂x + x ϕ(x) = U ϕ(x) (VI.150) − 2m 2 folgt.
5.2
Impulsdarstellung
Die Projektion auf die Eigenvektoren |pi des Impulsoperators pˆ ergibt Z ˆ ˆ 0 i hp0 |ϕi = U hp|ϕi hp|H|ϕi = dp0 hp|H|p | {z } | {z } ϕ(p0 )
Z =
ϕ(p)
ˆ 0 iϕ(p0 ) = U ϕ(p) . dp0 hp|H|p
(VI.151)
Hier benutzen wir ˆ 0i = hp|H|p =
pˆ2 mω 2 2 + x ˆ |p0 i 2m 2 02 p mω 2 2 ˆ pp0 δ(p − p0 ) + (i~∂p ) δ(p − p0 ) ≡ H 2m 2
hp|
(VI.152)
und erhalten ˆ hp|H|ϕi =
Z
ˆ pp0 ϕ(p0 ) dp0 H 02 Z p mω 2 2 0 0 0 δ(p − p ) + (i~∂p ) δ(p − p ) ϕ(p0 ) = dp 2m 2
woraus die Schr¨ odinger-Gleichung des harmonischen Oszillators in Impulsdarstellung zu 2 p mω 2 2 2 − ~ ∂p ϕ(p) = U ϕ(p) 2m 2
(VI.153) (VI.154)
(VI.155)
¨ folgt. Der explizite Nachweis der Aquivalenz von Orts- und Impulsdarstellung ist an diesem Beispiel besonders einfach, da der Hamiltonoperator in pˆ und x ˆ bis auf einen Skalenfaktor symmetrisch ist.
5.3 Besetzungszahldarstellung
5.3
111
Besetzungszahldarstellung
Ausgehend von der abstrakten Darstellung 2 pˆ mω 2 2 ˆ H|ϕi = + x ˆ |ϕi = U |ϕi 2m 2
(VI.156)
ˆ um und stellen H ˆ mittels a ˆ dar. schreiben wir H ˆ und a ˆ+ bzw. N Aus Abschnitt VI.4.1 u ¨bernehmen wir (VI.105) 1 1 ˆ = mω x N ˆ2 + pˆ2 + i (ˆ xpˆ − pˆx ˆ) 2~ 2m~ω 2~ {z } |
(VI.157)
ˆ − 1 Iˆ ˆ = 1 H N ~ω 2
(VI.158)
ˆ . ˆ = ~ω(N ˆ + 1 I) H 2
(VI.159)
− 12 Iˆ
und finden
bzw.
ω erweist sich hier als Oszillatorfrequenz. Als Basis f¨ ur die Darstellung soll jetzt das System der Eigenˆ benutzt werden. Da [H, ˆ N ˆ ] = 0, ist das Eigenvektorensystem von N ˆ auch vollst¨andig. vektoren von N Die abstrakte Eigenwertgleichung wird nun nach |n0 i projiziert. Es folgt X ˆ ˆ hn0 |H|ϕi = hn0 |H|nihn|ϕi = U hn0 |ϕi
(VI.160)
n
bzw. X
ˆ n0 n ϕn = U ϕn0 H
(VI.161)
n
mit
1 ˆ n0 n = hn0 |H|ni ˆ H = ~ω(n + )δn0 n 2
.
(VI.162)
Kompakt k¨ onnen wir schreiben ˆ ϕ = Uϕ , H wobei die Matrix
1 2
0 ˆ = ~ω H 0
0 3 2
0
(VI.163)
0 0 5 2
..
(VI.164)
.
und der Spaltenvektor
ϕ0 ϕ = ϕ1 .. .
(VI.165)
eingef¨ uhrt werden. Verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren markieren wir mit dem Index j in der Form Uj und ϕj . Zu l¨ osen ist somit das algebraische Problem
ˆ − Uj Iˆ ϕj = 0 . H
(VI.166)
112
VI. Darstellungen
Die Eigenwerte ergeben sich aus ˆ − Uj Iˆ = 0 , det H
ˆ 00 − Uj H
(VI.167)
ˆ 11 − Uj · · · = 0 H
(VI.168)
zu 1 ˆ Uj = Hjj = ~ω j + 2 Die Eigenvektoren in normierter Form lauten dann 0 0 ϕj = 1 0 .. .
.
,
(VI.169)
(VI.170)
wobei die 1 an der j-ten Position steht; Die Z¨ahlung beginnt mit der nullten Position. Konkret heißt das 1 0 0 1 ϕ0 = 0 , ϕ1 = 0 , usw. (VI.171) .. .. . .
6
Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
Der in Abschnitt VI.2 beschriebene allgemeine Darstellungswechsel wird hier konkret durchgef¨ uhrt, konkret in zweifacher Hinsicht: Zum einen wird speziell die Schr¨odinger-Gleichung des harmonischen Oszillators betrachtet, und zum anderen werden die beiden genannten speziellen Darstellungen ineinander u uhrt. ¨berf¨ Wir starten mit der abstrakten zeitfreien Schr¨odinger-Gleichung ˆ H|ϕi = U |ϕi
(VI.172)
1ˆ ˆ = 1 pˆ2 + m ω 2 x H ˆ2 = ~ω(ˆ a+ a ˆ + I) 2m 2 2
(VI.173)
und erzeugen zun¨ achst die Besetzungszahldarstellung durch Projektion auf einen beliebigen Vektor |ni aus der Orthonormalbasis des Besetzungszahloperators, woraus ˆ hn|H|ϕi = U hn|ϕi X 0 0 ˆ hn|H|n ihn |ϕi = U hn|ϕi
(VI.174) (VI.175)
n0
X
ˆ nn0 ϕn0 H
= U ϕn
(VI.176)
n0
folgt. Wir markieren noch die verschiedenen Eigenwerte und Eigenvektoren in der vereinbarten Weise mit einem oberen Vektor-Index: X ˆ nn0 ϕj 0 = Uj ϕj H (VI.177) n n n0
6 Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
113
Die Ortsdarstellung ergab sich analog durch Projektion der abstrakten Formulierung auf einen beliebigen Vektor |xi aus der Orthonormalbasis des Ortsoperators, woraus Z Z
ˆ hx|H|ϕi =
U hx|ϕi
(VI.178)
ˆ 0 ihx0 |ϕi = dx0 hx|H|x
U hx|ϕi
(VI.179)
U ϕ(x)
(VI.180)
ˆ dx0 H(x, x0 )ϕ(x0 )
=
folgte. Verschiedene Eigenwerte und zugeh¨orige Eigenvektoren markieren wir in gleicher Weise wie bei der Besetzungszahldarstellung: Z ˆ dx0 H(x, x0 )ϕj (x0 ) = Uj ϕj (x) . (VI.181) Entsprechend Abschnitt VI.2 entwickeln wir jetzt die Eigenvektoren ϕj (x) in Ortsdarstellung mit Hilfe der Eigenvektoren ϕjn in Besetzungszahldarstellung, also X X ϕj (x) = hx|ϕj i = hx|nihn|ϕj i = hx|niϕjn . (VI.182) n
n
Die ϕjn werden als bekannt angenommen, die ϕj (x) sind zu berechnen. Die gesuchten Koeffizienten hx|ni entsprechen gerade den Elementen Ulλ = hl|λi der unit¨aren Transformation aus Abschnitt VI.2 Im jetzigen Fall ist der erste Index kontinuierlich (l → x) und der zweite diskret (λ → n). Zur Bestimmung der hx|ni gehen wir sukzessiv vor und schreiben die ersten Eigenvektoren explizit auf. X ϕ0 (x) = hx|niϕ0n = hx|0i (VI.183) n 1
ϕ (x)
=
X hx|niϕ1n = hx|1i
(VI.184)
n
.. . ϕj (x)
=
X hx|niϕjn = hx|ji
(VI.185)
n
Wegen der speziellen Gestalt der Eigenvektoren ϕjn in Besetzungszahldarstellung sind die Transformationskoeffizienten hx|ji bereits unmittelbar die Eigenvektoren ϕj (x) in Ortsdarstellung. Wir beginnen mit der Bestimmung von hx|0i und betrachten dazu das Element hx|ˆ a|0i. Wegen a ˆ|0i = |nulli
(VI.186)
hx|ˆ a|0i = 0 .
(VI.187)
mω 1 x ˆ + i√ pˆ 2~ 2mhω
(VI.188)
gilt Mit
r a ˆ=
liefert dies
r
mω i hx|ˆ x|0i + √ hx|ˆ p|0i = 0 . 2~ 2mhω
(VI.189)
Einf¨ ugen von Iˆ =
Z
dx0 |x0 ihx0 |
(VI.190)
114
VI. Darstellungen
ergibt weiter r
mω 2~
Z
dx0 hx|ˆ x|x0 ihx0 |0i + √
i 2mhω
Z
dx0 hx|ˆ p|x0 ihx0 |0i = 0 .
(VI.191)
Aus Abschnitt VI.3.1 bzw. VI.3.3 u ¨bernehmen wir die Glg. (VI.38) und (VI.70) hx|ˆ x|x0 i = x0 δ(x − x0 ) hx|ˆ p|x0 i =
(VI.192)
~ ∂x δ(x − x0 ) i
(VI.193)
und erhalten mit r
mω 2~
Z
dx0 x0 δ(x − x0 )hx0 |0i + √ r
~ 2mhω
Z
dx0 ∂x δ(x − x0 )hx0 |0i = 0
~ mω xhx|0i + √ ∂x hx|0i = 0 2~ 2mhω
(VI.194)
(VI.195)
eine ¨ außerst einfache Differentialgleichung f¨ ur hx|0i. Wie in Abschnitt IV.8.2 substituieren wir r r mω 4 mk ξ= x= x (k = mω 2 ) (VI.196) 2 ~ ~ und erhalten (ξ + ∂ξ ) hx|0i = 0 ,
(VI.197)
dhx|0i = −ξdξ hx|0i
(VI.198)
mit der L¨ osung lnhx|0i = hx|0i =
−
ξ2 +c 2
B0 · e−
ξ2 2
(VI.199) .
Die Integrationskonstante legen wir dadurch fest, daß ϕ0 (x) normiert sein muß, also r Z Z ξ2 ~ 0 2 2 dξe− 2 2 = 1 , dx|ϕ (x)| = B0 mω r mω 1 √ B02 = , ~ π r mω 1 − ξ2 √ e 2 . hx|0i = 4 ~ 4π
(VI.200)
(VI.201) (VI.202) (VI.203)
Die Berechnung der weiteren Eigenvektoren ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . erfolgt mit Hilfe des Erzeugungsoperators a ˆ+ . Wegen |1i = a ˆ+ |0i .. . 1 +j |ji = √ a ˆ |0i j!
(VI.204)
(VI.205)
folgt 1 1 hx|ji = √ hx|ˆ a+j |0i = √ j! j!
Z
dx0 hx|ˆ a+j |x0 ihx0 |0i .
(VI.206)
6 Transformation der Besetzungszahldarstellung in die Ortsdarstellung
115
Nun gilt aber +
0
hx|ˆ a |x i = hx|ˆ a+j |x0 i =
r
mω 0 ~ ∂x δ(x − x0 ) x −√ 2~ 2m~ω j r mω 0 ~ ∂x δ(x − x0 ) x −√ 2~ 2m~ω
(VI.207) (VI.208)
woraus r hx|1i = hx|1i =
mω ~ x− √ ∂x hx|0i 2~ 2m~ω
(VI.209)
1 √ (ξ − ∂ξ ) hx|0i 2
(VI.210)
bzw. hx|ji
=
1 1 √ √ (ξ − ∂ξ )j hx|0i j! 2j
(VI.211)
folgt. Wir k¨ onnen damit die Eigenfunktionen ϕj (x) in Ortsdarstellung angeben zu j
ϕ (x) = hx|ji = p
1
j
√ (ξ − ∂ξ ) e π
2j j!
2
− ξ2
r 4
mω ~
.
(VI.212)
p Bis auf den Faktor 4 mω ¨quivalent ~ heißen diese Funktionen Hermitesche Funktionen. Mathematisch a ist die Schreibweise r
j
ϕ (x) = hx|ji =
4
r =
4
ξ2 2 mω (−1)j p e 2 ∂ξj e−ξ √ j ~ 2 j! π
(VI.213)
mω (−1)j − ξ2 p √ e 2 Hj (ξ) , ~ 2j j! π
(VI.214)
wobei Hj (ξ) die in Abschnitt IV.8.2 angegebenen Hermiteschen Polynome sind. Die L¨ osung wurde jetzt auf einem v¨ ollig anderem Weg gefunden: Die recht einfache L¨osung in Besetzungszahldarstellung wurde durch eine unit¨ are Transformation in Ortsdarstellung gebracht. Die Hermitesche Funktionen wurden reproduziert, ohne die Sommerfeldsche Polynommethode zu bem¨ uhen. Die Interpretation der Eigenvektoren in Orts- und Besetzungsdarstellung weichen nat¨ urlich voneinander ab; die ϕ’s sind Wahrscheinlichkeitsamplituden in ihren jeweiligen R¨aumen. Somit ist ihre Interpretation wie folgt vorzunehmen: • |hx|ϕj i|2 dx = |ϕj (x)|2 dx ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, ein Teilchen der Energie Uj im Intervall [x, x + dx] anzutreffen. • |hn|ϕj i|2 = |ϕjn |2 ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, ein Teilchen der Energie Uj im Besetzungszustand |ni vorzufinden, d. h. im Zustand n angeregter Energiequanten. Diese Wahrscheinlichkeit ist 1, wenn n = j Quanten angeregt sind, oder sie ist 0, wenn n 6= j Quanten angeregt sind.
116
7
VI. Darstellungen
Erg¨ anzung: Umkehrtransformation
Transformation der Ortsdarstellung in die Besetzungszahldarstellung Hier sind die Eigenfunktionen in Ortsdarstellung ϕj (x) gegeben und zu berechnen sind die Eigenfunktionen in Besetzungszahldarstellung ϕjn . Es ist zu bilden Z ϕjn = hn|ϕj i = dxhn|xihx|ϕj i (VI.215) Z ϕjn = dxhn|xiϕj (x) , (VI.216) und die Koeffizienten hn|xi sind zu berechnen. Ber¨ ucksichtigt man zum einen, daß ϕjn = δjn
(VI.217)
gilt und zum anderen, daß die Hermiteschen Funktionen ein Orthonormalsystem bilden, also daß Z 0 dxϕj (x)ϕj (x) = δj 0 j (VI.218) gilt, so folgt hn|xi = ϕn (x) = hx|ni .
(VI.219)
Kapitel VII
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen Bisher haben wir nur station¨ are Quantenzust¨ande untersucht, die durch die zeitfreie Schr¨odinger-Gleichung ˆ H|ϕi = U |ϕi
(VII.1)
beschrieben werden. Jetzt sollen auch zeitlich ver¨anderliche Quantensysteme untersucht werden, die durch die allgemeine Schr¨ odinger-Gleichung ˆ H|ψi = i~dt |ψi (VII.2) erfaßt werden. Die zeitliche Entwicklung wird durch zwei verschiedene Methoden beschrieben, die von zwei unterschiedlichen Vorstellungen ausgehen. Die erste Vorstellung - das sogenannte Schr¨ odinger-Bild - geht davon aus, daß sich die Zustandsvektoren im Hilbertraum zeitlich ver¨andern k¨onnen, also |Ψ(t)i. Die zweite Vorstellung - das sogenannte Heisenberg-Bild - geht davon aus, daß die Zustandsvektoren zeitlich unver¨ anderlich sind und die Dynamik des Systems durch die Operatoren getragen wird. Ein drittes Bild das sogenannte Dirac-Bild - kombiniert die beiden vorherigen Bilder.
1
Schr¨ odinger-Bild
Die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems wird durch die Angabe des Zustandsvektors zu jedem Zeitpunkt t beschrieben. Es gilt |Ψi = |Ψ(t)i .
(VII.3)
Sei das System bei t1 durch |Ψ(t1 )i und bei t2 durch |Ψ(t2 )i charakterisiert, so nehmen wir an, es existiere ˆ (t2 , t1 ), der die beiden Vektoren ineinander u ein Operator U uhrt: ¨berf¨ ˆ (t2 , t1 )|Ψ(t1 )i |Ψ(t2 )i = U
(VII.4)
ˆ heißt Zeitentwicklungsoperator . F¨ ˆ muß offensichtlich gelten: U ur U ˆ (t, t) = Iˆ • U ˆ (t3 , t1 ) = U ˆ (t3 , t2 )U ˆ (t2 , t1 ) • U ˆ ist unit¨ ˆ+ = U ˆ −1 • U ar; U Die Unitarit¨ at ist zu fordern, damit ein normierter Zustand |Ψ(t1 )i w¨ahrend der Zeitentwicklung auch normiert bleibt: kΨ(t2 )k2
=
ˆ + (t2 , t1 )U ˆ (t2 , t1 )|Ψ(t1 )i hΨ(t2 )|Ψ(t2 )i = hΨ(t1 )|U
=
hΨ(t1 )|Ψ(t1 )i = kΨ(t1 )k2
.
(VII.5)
118
VII.
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
F¨ ur infinitesimale Zeit¨ anderungen t2 = t1 + dt = t + dt gilt |Ψ(t + dt)i = |Ψ(t)i + dt dt |Ψ(t)i + . . . ˆ (t + dt, t)|Ψ(t)i = {U ˆ (t, t) + dtkˆ + . . .}|Ψ(t)i = U =
(VII.6)
ˆ |Ψ(t)i + dt k|Ψ(t)i + ...
mit ˆ (t0 , t)|t0 =t kˆ = dt0 U
.
(VII.7)
ˆ dt |Ψ(t)i = k|Ψ(t)i .
(VII.8)
Koeffizientenvergleich liefert
ˆ gilt Wegen der Unitarit¨ at von U Iˆ =
ˆ (t + dt, t)U ˆ + (t + dt, t) U = (Iˆ + dt kˆ + . . .)(Iˆ + dt kˆ+ + . . .) ˆ + ... , = Iˆ + dt (kˆ+ + k)
(VII.9)
woraus kˆ+ = −kˆ
(VII.10)
folgt; kˆ ist ein antihermitescher Operator. Vergleich mit der Schr¨odinger-Gleichung liefert i ˆ kˆ = − H ~
.
(VII.11)
ˆ betrachStatt der zeitabh¨ angigen Schr¨ odinger-Gleichung kann man auch eine Bewegungsgleichung f¨ ur U ten. Einsetzen von ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i |Ψ(t)i = U (VII.12) liefert ˆU ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i = i~dt U ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i H
(VII.13)
ˆU ˆ (t, t0 ) = i~dt U ˆ (t, t0 ) H
(VII.14)
ˆ (t0 , t0 ) = Iˆ . U
(VII.15)
bzw. die Operatorgleichung
mit der Anfangsbedingung
Dieses Anfangswertproblem kann mit Hilfe der sukzessiven Approximation gel¨ost werden. Zun¨achst wird die Differentialgleichung in eine Integralgleichung u uhrt: ¨berf¨ ˆ (t, t0 ) = Iˆ − i U ~
Zt
ˆ 1 )U ˆ (t1 , t0 ) . dt1 H(t
(VII.16)
t0
Wiederholtes Einsetzen liefert ˆ (t, t0 ) = Iˆ − i U ~
Zt t0
ˆ 1) − i dt1 H(t ~
Zt t0
i Zt1 ˆ 1) − ˆ 2 )U ˆ (t2 , t0 ) dt1 H(t dt2 H(t ~ t0
(VII.17)
1 Schr¨ odinger-Bild
119
und schließlich ˆ (t, t0 ) U
=
=
i Iˆ − ~ Iˆ +
Zt
2 Z t 3 Zt1 i i ˆ ˆ ˆ dt1 dt2 H(t1 )H(t2 ) + − ... dt1 H(t1 ) + − ~ ~ t0
t0
t0
n ∞ X i − ~ n=1
tZ n−1
Zt1
Zt
(VII.18)
t0
t0
t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2 ) . . . H(t ˆ n) . dtn H(t
dt2 . . .
dt1
Offensichtlich gilt f¨ ur die Zeitargumente t ≥ t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tn ≥ t0
.
(VII.19)
Das Produkt der Hamilton-Operatoren muß gerade entsprechend dieser Zeitordnung ausgef¨ uhrt werden. Um dies sicherzustellen, f¨ uhrt man den Dysonschen Zeitordnungsoperator TˆD ein u ¨ber ( ˆ 0 )B(t ˆ 00 ) A(t t0 > t00 0 ˆ 00 ˆ ˆ (VII.20) TD A(t )B(t ) = ˆ 00 )A(t ˆ 0) B(t t00 > t0 . Außerdem wollen wir alle oberen Zeitintegrationsgrenzen bis t ausdehnen, m¨ ussen den n-ten Summanden 1 dann aber um n! korrigieren. F¨ ur n = 2 gilt z. B. Zt1
Zt dt1 t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2) = 1 dt2 H(t 2
Zt dt1 t0
t0
Zt
ˆ 1 )H(t ˆ 2) . dt2 H(t
(VII.21)
t0
=
t2
t2
dt1 t0
1 dt2 (. . .) = 2
Zt
Zt dt1
t0
t0
t1
Zt1
Zt
dt2 (. . .) t0
t0
t
t1
ˆ 1 ) und H(t ˆ 2 ) z. T. verletzt. Wir schauen uns Allerdings ist in dieser Gleichung die Zeitordnung von H(t die rechte Seite genauer an. Wir spalten die Integration auf in Zt
Zt dt1
t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2) = dt2 H(t
t0
Zt1
Zt dt1 t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2) + dt2 H(t
t0
Zt
Zt dt1
t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2) . dt2 H(t
(VII.22)
t1
Im rechten Term ist die Zeitordnung verletzt, da dort t2 ≥ t1 gilt. Also muß es f¨ ur die gesamte rechte Seite heißen Zt Zt1 Zt Zt ˆ 1 )H(t ˆ 2 ) + dt1 dt2 H(t ˆ 2 )H(t ˆ 1) . dt1 dt2 H(t (VII.23) t0
t0
t0
t1
Unter Anwendung von TˆD lassen sich beide Teile wieder zusammenfassen zu TˆD
Zt
Zt dt1
t0
t0
ˆ 1 )H(t ˆ 2) . dt2 H(t
(VII.24)
120
VII.
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
Dann folgt weiter n Zt Zt ∞ n o X 1 i ˆ 1 ) . . . H(t ˆ n) ˆ (t1 , t0 ) = Iˆ + dt1 dt2 . . . dtn TˆD H(t U − ~ n! n=1 t0 t0 n t Z ∞ X 1 i ˆ 0 ) − = TˆD Iˆ + dt0 H(t . n! ~ n=1
(VII.25)
t0
Die Aufsummation liefert formal i
ˆ (t, t0 ) = TˆD e− ~ U
Rt t0
ˆ 0) dt0 H(t
.
(VII.26)
Die Konvergernz der Reihe ist damit nat¨ urlich nicht automatisch gesichert, sondern ist im konkreten Fall ˆ nicht explizit von der Zeit abh¨angt, kann die Integration ausgef¨ gesondert zu betrachten. Wenn H uhrt werden, und es ergibt sich ˆ (t, t0 ) = e− ~i (t−t0 )Hˆ . (VII.27) U
2
Heisenberg-Bild
Das Heisenberg-Bild betrachtet die Zustandsvektoren als zeitlich unver¨anderlich. Es gilt |Ψi = |Ψ(t0 )i ,
(VII.28)
wobei t0 die Anfangszeit ist. Die Dynamik des Systems wird hier durch die Operatoren getragen. Grundiˆ (t, to ) dee ist, daß der im Schr¨ odinger-Bild vom Zustandsvektor abgespaltene Zeitentwicklungsoperator U jetzt den Operatoren zugeschlagen“ wird. ” ¨ Um beim Ubergang vom Schr¨ odinger-Bild zum Heisenberg-Bild Klarheit in der Notation zu haben, wollen wir sowohl die Zust¨ ande und ggf. auch die Operatoren mit einem Index S bzw. H versehen. Folgender Zusammenhang wird eingef¨ uhrt. ˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i = U ˆ (t, t0 )|ΨH i , |ΨS (t)i = U
(VII.29)
ˆ (t, t0 )AˆH U ˆ + (t, t0 ) AˆS = U
(VII.30)
ˆ gilt dann f¨ ur beliebige Operatoren Aˆ und Zust¨ ande |Ψi. Wegen der Unitarit¨at von U ˆ + (t, t0 )|ΨS i , |ΨH i = U
(VII.31)
ˆ+
ˆ (t, t0 ) . AˆH = U (t, t0 )AˆS U
(VII.32)
F¨ ur AˆH findet man durch Zeitdifferentiation folgende Bewegungsgleichung: dt AˆH dt AˆH
ˆ + AˆS U ˆ) dt (U + ˆ AˆS U ˆ +U ˆ + AˆS dt U ˆ +U ˆ + ∂t AˆS U ˆ = dt U
=
(VII.33) .
(VII.34)
Da im Schr¨ odinger-Bild die Dynamik des Systems durch die Zust¨ande |ΨS (t)i getragen wird, kann eine Zeitabh¨ angigkeit des Operators AˆS nur eine explizite ¨außere Zeitabh¨angigkeit darstellen; um dies zu markieren, haben wir ∂t statt dt benutzt. Aus dem Schr¨odinger-Bild u ¨bernehmen wir ˆ dt U
=
ˆ+ dt U
=
i ˆ ˆ − H SU ~ i ˆ+ ˆ U HS ~
(VII.35) (VII.36)
3 Dirac-Bild
121
und erhalten dt AˆH
=
dt AˆH
=
dt AˆH
=
dt AˆH
=
i ˆ+ ˆ ˆ ˆ ˆ + AˆS H ˆSU ˆ) + U ˆ + ∂t AˆS U ˆ (U HS AS U − U ~ i ˆ+ ˆ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ + AˆS U ˆU ˆ +H ˆSU ˆ) + U ˆ + ∂t AˆS U ˆ (U HS U U AS U − U ~ i ˆ ˆ ˆ H ) + ∂t0 AˆH (HH AH − AˆH H ~ i ˆ [HH , AˆH ] + ∂t0 AˆH . ~
(VII.37) (VII.38) (VII.39) (VII.40)
Wir vereinbaren, daß ∂t0 nur auf eine explizite Zeitabh¨angigkeit von AˆS wirkt. F¨ ur konservative Systeme wurde im vorhergehenden Abschnitt wegen ˆS = 0 ∂t H ˆ =e U
(VII.41)
ˆS − ~i (t−t0 )H
(VII.42)
gefunden. Dann folgt ˆ H = e ~i (t−t0 )Hˆ S H ˆ S e− ~i (t−t0 )Hˆ S = H ˆS H
.
(VII.43)
Somit gilt aber auch ˆH = dt H
i ˆ ˆH ] = 0 . [HH , H ~
(VII.44)
Die Gesamtenergie ist eine Konstante der Bewegung. Die Erwartungswerte sind im Heisenberg-Bild nat¨ urlich gleich denen im Schr¨odinger-Bild, da hAˆS i = = = =
3
hΨS (t)|AˆS |ΨS (t)i ˆ + AˆS U ˆ |ΨH i hΨH |U hΨH |AˆH |ΨH i hAˆH i .
(VII.45) (VII.46) (VII.47) (VII.48)
Dirac-Bild
Das Dirac-Bild wird auch Wechselwirkungs-Bild genannt und stellt eine zweckm¨aßige Kombination aus Schr¨odinger- und Heisenberg-Bild dar. Ausgangspunkt ist das Schr¨ odinger-Bild, in dem gilt i ˆ dt |ΨS (t)i = − H S |ΨS (t)i ~
(VII.49)
ˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i , |ΨS (t)i = U
(VII.50)
woraus unmittelbar
ˆ =−iH ˆSU ˆ dt U ~ folgte. Der Hamilton-Operator wird nun in der Form ˆS = H ˆ S0 + H ˆ SW H
(VII.51)
(VII.52)
und der Zeitentwicklungsoperator in der Form ˆ (t, t0 ) = U ˆ 0 (t, t0 )U ˆ W (t, t0 ) U
(VII.53)
122
VII.
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
ˆ 0 nur durch H ˆ 0 herbeizuf¨ angesetzt. Ziel des Ansatzes ist es, die Zeitentwicklung in U uhren und die in S W W ˆ ˆ U durch HS . Als Anfangsbedingung ist festgelegt ˆ 0 (t0 , t0 ) = U ˆ W (t0 , t0 ) = Iˆ . U
(VII.54)
ˆ k¨ Mit dem Ansatz f¨ ur U onnen wir jetzt schreiben ˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i = U ˆ 0 (t, t0 )U ˆ W (t, t0 )|ΨS (t0 )i . |ΨS (t)i = U
(VII.55)
F¨ ur den rechten Ausl¨ aufer f¨ uhren wir den neuen Zustandsvektor ˆ W (t, t0 )|ΨS (t0 )i |ΨD (t)i = U
(VII.56)
ein. |ΨD i ist gerade charakteristisch f¨ ur das Dirac-Bild. Wie man sieht, gilt |ΨD (t0 )i = |ΨS (t0 )i .
(VII.57)
ˆ 0 und U ˆ W zu ermitteln. Es wird definiert, daß U ˆ 0 der Gleichung Nun sind die Operatoren U ˆ0 = − i H ˆ 0U ˆ0 dt U ~ S
(VII.58)
gehorchen soll. Die Gleichung ist i. a. durch sukzessive Approximation zu l¨osen. Besonders einfach ist die ˆ 0 = 0, wo gilt L¨ osung f¨ ur ∂t H S ˆ 0 (t, t0 ) = e− ~i (t−t0 )Hˆ S0 . U (VII.59) ˆ 0 von H ˆ S abgetrennt werden kann. Es vebleibt die Z. B. ist das ein Zweckm¨ aßigkeitsargument, wie H S W ˆ Bestimmungsgleichung f¨ ur U abzuleiten. Aus ˆSU ˆ ˆ =−iH dt U ~
(VII.60)
folgt ˆ 0U ˆW + U ˆ 0 dt U ˆW = − i H ˆ S0 + H ˆ SW U ˆ 0U ˆW dt U ~ i ˆ0 ˆ0 ˆW i ˆW ˆ0 ˆW 0 W 0 ˆ ˆ ˆ U dt U = − dt U + HS U U − H U U ~ ~ S | {z }
(VII.61) (VII.62)
=0
ˆW = − i U ˆ 0+ H ˆ SW U ˆ 0U ˆW dt U ~
.
(VII.63)
Mit der Definition W ˆD ˆ 0+ H ˆ SW U ˆ 0, H =U
0 ˆD ˆ 0+ H ˆ S0 U ˆ0 H =U
(VII.64)
folgt
bzw.
ˆWU ˆW ˆW = − i H dt U ~ D
(VII.65)
i ˆW dt |ΨD (t)i = − H |ΨD (t)i . ~ D
(VII.66)
ˆ 0 wird durch H ˆ 0 bestimmt und die von U ˆ W durch H ˆW. Damit ist das Ziel erreicht: Die Dynamik von U S D Bemerkungen:
3 Dirac-Bild
123
ˆ W ist i. d. R. explizit zeitabh¨angig, selbst wenn H ˆ W nicht explizit zeitabh¨angig ist. • H D S W ˆ • Die Gleichung f¨ ur U ist deshalb durch sukzessive Approximation zu l¨osen. ˆ W nicht explizit zeitabh¨angig ist, kann die L¨osung f¨ ˆ W durch sukzessive • Wenn H ur U S ˆ Approximation umgangen werden. Im Schr¨odinger-Bild ist U (t, t0 ) unmittelbar angebbar ˆ 0 (t, t0 ) unmittelbar angebbar. Es folgt somit und im Dirac-Bild ist U ˆ W (t, t0 ) = U ˆ 0+ (t, t0 )U ˆ (t, t0 ) U
(VII.67)
als geschlossen angebbare L¨ osung. ˆ der im Schr¨odinger-Bild h¨ochstens eine explizite Zeitabh¨angigkeit F¨ ur einen allgemeinen Operator A, aufweisen darf, definieren wir jetzt v¨ ollig analog zum Heisenberg-Bild ˆ 0+ AˆS U ˆ0 AˆD = U
.
(VII.68)
Als dynamische Gleichung f¨ ur AˆD folgt dann dt AˆD dt AˆD dt AˆD dt AˆD
ˆ 0+ AˆS U ˆ0 + U ˆ 0+ AˆS dt U ˆ0 + U ˆ 0+ ∂t AˆS U ˆ0 = dt U i ˆ 0+ ˆ 0 ˆ ˆ 0 i ˆ 0+ ˆ ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0+ ˆ ˆ 0 U HS AS U − U AS HS U + U ∂t AS U = ~ ~ i ˆ 0+ ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0+ ˆ ˆ 0 i ˆ 0+ ˆ ˆ 0 ˆ 0+ ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0+ ˆ ˆ 0 U HS U U AS U − U AS U U HS U + U ∂t AS U = ~ ~ i ˆ0 ˆ = [H , AD ] + ∂t0 AˆD . ~ D
Die Zeitentwicklung im Dirac-Bild wird somit durch zwei Anteile getragen: ˆ 0 bzw H ˆ 0 bewirkt die Zeitentwicklung der Operatoren. • H S D ˆ W bewirkt die Zeitentwicklung der Zustandsvektoren. ˆ W bzw H • H D S
(VII.69) (VII.70) (VII.71) (VII.72)
124
VII.
Zeitliche Entwicklung von quantenmechanischen Systemen
Zusammenfassung der Bilder Schr¨ odinger
Heisenberg
Dirac
ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i |ΨS (t)i = U
|ΨH i = |Ψ(t0 )i
ˆ W (t, t0 )|Ψ(t0 )i |ΨD (t)i = U
ˆS = H ˆ0 + H ˆW H S S
ˆH = U ˆ +H ˆSU ˆ H
ˆ0 = U ˆ 0+ H ˆ 0U ˆ 0, H ˆW = U ˆ 0+ H ˆWU ˆ0 H D S D S
AˆS
ˆ + AˆS U ˆ AˆH = U
ˆ 0+ AˆS U ˆ0 AˆD = U
dt AˆS = ∂t AˆS
ˆ H , AˆH ] + ∂ 0 AˆH dt AˆH = ~i [H t
ˆ 0 , AˆD ] + ∂ 0 AˆD dt AˆD = ~i [H t D
i
ˆ (t, t0 ) = TˆD e− ~ U
Rt t0
ˆ S dt0 H
Rt
0
ˆ 0 (t, t0 ) = TˆD e− ~ t0 Hˆ S dt U Rt W 0 i ˆ W (t, t0 ) = TˆD e− ~ t0 Hˆ D dt U i
Spezialisierung auf konservative Systeme: Schr¨ odinger
Heisenberg
Dirac
ˆS = 0 ∂t H
ˆH = H ˆS H
ˆ0 = H ˆ 0, H ˆ W 6= H ˆW H D S D S
ˆ = e− ~i (t−t0 )Hˆ S U ˆW U
ˆ 0 = e− ~i (t−t0 )Hˆ S0 U ˆ = e ~i (t−t0 )Hˆ S0 e− ~i (t−t0 )Hˆ S ˆ 0+ U =U
0
Kapitel VIII
Sto ¨rungstheorie ˆ ist von fundamentaler Bedeutung f¨ Die Kenntnis der Eigenwerte Uj des Hamilton-Operators H ur das Verst¨ andnis quantenmechanischer Systeme und f¨ ur die Interpretation von Messungen an diesen Systemen. Strenge analytische L¨ osungen des Eigenwert-Problems sind aber nur f¨ ur einfache Hamilton-Operatoren, die meist idealisierte Modellsysteme beschreiben, m¨oglich. Bei realen quantenmechanischen Systemen sind strenge L¨ osungen in der Regel nicht zu finden. Zu brauchbaren L¨osungen f¨ uhrt dann ggf. folgendes ˆ des realen Systems wird aufgespalten in einen Anteil H ˆ 0 und einen Verfahren: Der Hamilton-Operator H ˆ ˆ ˆ Anteil H1 , genannt St¨ orung. F¨ ur H0 sei das Eigenwertproblem gel¨ost und H1 st¨ore dieses Eigenwertˆ = H ˆ0 + H ˆ1 problem nur schwach. Dann ist es m¨ oglich, mit N¨aherungsverfahren das reale Problem H zu l¨ osen. Es gibt zahlreiche N¨ aherungsverfahren; die Auswahl ist vom konkreten Problem abh¨angig zu machen.
1
Station¨ are St¨ orungstheorie
Hier betrachten wir einen zeitunabh¨ angigen Hamilton-Operator ˆ =0 . ∂t H
(VIII.1)
ˆ1 = 0 . ∂t H
(VIII.2)
Insbesondere gelte
1.1
Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode
Wir schreiben den Hamilton Operator in der Form ˆ =H ˆ 0 + λH ˆ1 H
,
(VIII.3)
Ungestört ^ (H0 )
wobei der Parameter λ aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden eingef¨ ugt wurde. Wir gehen davon aus, daß das ungest¨orte Problem (nullte Ordnung) gel¨ ost ist, also ˆ 0 |ϕj i = U0j |ϕj i H 0 0
(VIII.4)
Gestört ^ ^ ( H = H0 + H1 ) ^
Uj ϕj 0
gilt. j z¨ ahlt die Eigenwerte und Eigenfunktionen. Die |ϕj0 i bil- ϕ i 0 ˆ 1 sei hinreichend den eine Orthonormalbasis. Die St¨ orung λH klein, so daß sich die Eigenwerte und Eigenfunktionen des gest¨orten Problems nur wenig ver¨ andern.
U0j
U0i
Ui
ϕj
ϕi
F¨ ur die gest¨ orten Eigenwerte und Eigenfunktionen wird nun eine Reihenentwicklung nach Potenzen von λ vorgenommen. Dabei ist zu unterscheiden, ob das Problem nullter Ordnung Entartung aufweist oder nicht.
126
VIII.
St¨ orungstheorie
1. Nichtentartete Energie-Eigenwerte nullter Ordnung Es wird angesetzt Uj = U0j +
∞ X
λn Unj
(VIII.5)
n=1
|ϕj i = |ϕj0 i +
∞ X
λn |ϕjn i
(VIII.6)
n=1
ur n = 1, 2, . . . gefordert. |ϕj i ist i. a. nicht normiert. Das Energie-Eigenwertund hϕjn |ϕj0 i = 0 f¨ Problem stellt sich dann dar in der Form ∞ ∞ ∞ X X X ˆ 0 + λH ˆ1 H λn |ϕjn i = λm Umj λn |ϕjn i . (VIII.7) n=0
m=0
n=0
Nun wird ein Koeffizientenvergleich bzgl. gleicher λ-Potenzen durchgef¨ uhrt. Es folgt ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕj i = |nulli λ0 : H 0 ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕj i = −H ˆ 1 |ϕj i + U1j |ϕj i λ1 : H 1 0 0 ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕj i = −H ˆ 1 |ϕj i + U1j |ϕj i + U2j |ϕj i λ2 : H 2 1 1 0
(VIII.8)
.. . λn
:
n X ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕj i = −H ˆ 1 |ϕj i + H Umj |ϕjn−m i n n−1 m=1
Jede Gleichung wird jetzt mit hϕj0 | multipliziert. Alle linken Seiten der Gleichung verschwinden, da ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕj i = hnull|ϕj i = 0 hϕj0 | H (VIII.9) n n gilt. Es verbleibt λ1 λ2 .. . λn
ˆ 1 |ϕj i + U1j 0 = −hϕj0 |H 0 ˆ 1 |ϕj i + U2j : 0 = −hϕj0 |H 1
:
(VIII.10) :
ˆ 1 |ϕj i + Unj 0 = −hϕj0 |H n−1
bzw. ˆ 1 |ϕj i . Unj = hϕj0 |H n−1 Unmittelbar ausrechnen l¨ aßt sich aus dieser Beziehung aber nur U1j zu ˆ 1 |ϕj i , U1j = hϕj0 |H 0
(VIII.11)
ur n > 1 werden die noch nicht bekannten |ϕjn−1 i ben¨otigt. Formal l¨aßt sich da |ϕj0 i bekannt ist. F¨ sogar Uj angeben. So folgt Uj
=
∞ X
ˆ1 λn Unj = U0j + hϕj0 |H
Uj
=
ˆ1 U0j + hϕj0 |λH
ˆ 0 |ϕj i + = hϕj0 |H
λn |ϕjn−1 i
n=1
n=0
Uj
∞ X
∞ X
ˆ 1 |ϕj i λm |ϕjm i = U0j + hϕj0 |λH
m=0 ˆ 1 |ϕj i hϕj0 |λH
ˆ ji . = hϕj0 |H|ϕ
(VIII.12)
1.1 Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode
127
Benutzt wurde hϕj0 |ϕj0 i = hϕj0 |ϕj i = 1 .
(VIII.13)
Die Beziehung (VIII.12) ist aber nur die Reproduktion des urspr¨ unglichen gest¨orten Eigenwertproblems. Zum Ausrechnen von Uj wird das noch unbekannte |ϕj i ben¨otigt. Wir wenden uns jetzt der Berechnung der Eigenfunktionen |ϕj i bzw. deren Anteilen |ϕjn i zu. Wir kehren noch einmal zu den aus dem Koeffizientenvergleich gewonnenen Gleichungen (VIII.8) zur¨ uck und multiplizieren jetzt mit dem bra hϕi0 | aber nicht mit hϕj0 |. Somit folgt n X ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕjn i = −hϕi0 |H ˆ 1 |ϕj i + hϕi0 | H Umj hϕi0 |ϕjn−m i n−1 m=1
(U0i − U0j ) hϕi0 |ϕjn i
= und weiter hϕi0 |ϕjn i =
(VIII.14)
n ˆ 1 |ϕj i X hϕi0 |H hϕi |ϕj i n−1 − Umj 0 n−m U0j − U0i U − U 0j 0i m=1
.
Multiplikation dieser Beziehung mit |ϕi0 i, Summation u ¨ber i und Beachtung von X X |ϕjn i = |ϕi0 ihϕi0 |ϕjn i = |ϕi0 ihϕi0 |ϕjn i i
liefert
( |ϕjn i =
X i6=j
(VIII.15)
(VIII.16)
i6=j
n ˆ 1 |ϕj i X hϕi0 |H hϕi |ϕj i n−1 − Umj 0 n−m U0j − U0i U − U 0j 0i m=1
) |ϕi0 i .
(VIII.17)
Da auf der rechten Seite nur Terme bis maximal der Ordnung |ϕjn−1 i auftreten, k¨onnen die |ϕjn i rekursiv berechnet werden. Exemplarisch anwenden wollen wir diese Rekursion f¨ ur die Berechnung der Korrektur 2. Ordnung des Energie-Eigenwertes. Wir u ¨bernehmen zun¨achst aus (VIII.10) ˆ 1 |ϕj i U2j = hϕj0 |H 1
(VIII.18)
und weiter aus (VIII.17) ( |ϕj1 i
=
X i6=j
und erhalten U2j =
) ˆ 1 |ϕj i hϕi0 |H 0 − 0 |ϕi0 i U0j − U0i
j ˆ i 2 X hϕ0 |H 1 |ϕ0 i i6=j
U0j − U0i
.
(VIII.19)
(VIII.20)
Abschließend zu diesem Abschnitt soll die Normierung der gest¨orten Zust¨ande untersucht werden. Bereits beim Ansetzen der Potenzreihe f¨ ur den gest¨orten Zustand j
|ϕ i =
∞ X
λn |ϕjn i
(VIII.21)
n=0
stellten wir fest, daß |ϕj i nicht normiert ist. Die Zust¨ande nullter Ordnung wurden als normiert vorausgesetzt, also kϕj0 k = 1 ∀j , (VIII.22) und außerdem sollte hϕjn |ϕj0 i = 0
∀n>0
(VIII.23)
128
VIII.
St¨ orungstheorie
gelten. Wir betrachten jetzt St¨ orungen bis zur zweiten Ordnung in den Zust¨anden. Dann gilt |ϕj i = |ϕj0 i + λ|ϕj1 i + λ2 |ϕj2 i .
(VIII.24)
Die Norm ebenfalls bis λ2 betrachtet folgt zu kϕj k2 = hϕj |ϕj i = hϕj0 |ϕj0 i + λhϕj0 |ϕj1 i + λhϕj1 |ϕj0 i + λ2 hϕj1 |ϕj1 i + λ
2
hϕj0 |ϕj2 i
2
+λ
(VIII.25)
hϕj2 |ϕj0 i
bzw. kϕj k2 = 1 + λ2 kϕj1 k2
.
(VIII.26)
Offensichtlich ist kϕj k2 6= 1 und eine Renormierung ist erforderlich. Wir f¨ uhren die Renormierungskonstante Z ein durch 1 Z = kϕj k−2 = j j . (VIII.27) hϕ |ϕ i Den renormierten Eigenzustand nennen wir |ϕj i und es gilt √ , kϕj k = 1 . |ϕj i = Z|ϕj i
(VIII.28)
Die Renormierungskonstante soll nun bis zur 2. Ordnung in λ genauer ausgewertet werden. Zun¨ achst gilt wegen X hϕi |H ˆ 1 |ϕj i 0 0 |ϕj1 i = |ϕi i (VIII.29) U0j − U0i 0 i6=j
die Gleichung hϕj1 |ϕj1 i
X X hϕi0 |H ˆ 1 |ϕj i∗ hϕi |H ˆ 1 |ϕj i 0 0 0 0 0 = hϕi0 |ϕi0 i U0j − U0i0 U0j − U0i 0 i6=j i 6=j
=
X |hϕi |H ˆ 1 |ϕj i|2 0
i6=j
0
(VIII.30)
(U0j − U0i )2
bzw. hϕj |ϕj i = 1 + λ2
X |hϕi |H ˆ 1 |ϕj i|2 0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
=
1 Z
.
(VIII.31)
F¨ ur angenommene kleine λ kann approximiert werden 1
Z= 1+
λ2
P
i6=j
ˆ 1 |ϕj i|2 |hϕi0 |H 0 (U0j −U0i )2
≈ 1 − λ2
X |hϕj |H ˆ 1 |ϕj i|2 0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
.
(VIII.32)
Die rechte Seite kann aber auch ausgedr¨ uckt werden in der Form ∂Uj /∂U0j , da j ˆ i 2 X i| |hϕ | H |ϕ ∂Uj ∂ 1 0 0 ˆ 1 |ϕj i + λ2 = U0j + λhϕj0 |H 0 ∂U0j ∂U0j U0j − U0i i6=j
=
1 − λ2
X |hϕj |H ˆ 1 |ϕi i|2 0
i6=j
0
(U0j − U0i )2
.
(VIII.33)
.
(VIII.34)
Folglich gilt f¨ ur die Renormierungskonstante Z=
∂Uj ∂U0j
Ohne Beweis geben wir an, daß dieses Ergebnis sogar f¨ ur beliebige Ordnungen der St¨orungsentwicklung gilt.
1.1 Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode
129
2. Entartete Energie-Eigenwerte in nullter Ordnung Wir untersuchen nun den Fall der R-fachen Entartung des Eigenwertes U0j . Die gest¨orten Eigenwerte Uj brauchen dabei keinerlei Entartung zu zeigen. Aber zun¨achst gilt ˆ 0 |ϕjr i = U0j |ϕjr i H 0 0 mit
, r = 1, . . . , R
(VIII.35)
0 0
hϕj0 r |ϕjr 0 i = δjj 0 δrr 0
. (VIII.36) n o Die |ϕjr 0 i, r = 1, . . . , R spannen den Eigenraum von U0j auf. Nun wissen wir allerdings aus Abo n i, r = 1, . . . , R schnitt V.2.3, daß eine Basis im Eigenraum nicht eindeutig bestimmt ist. Wenn |ϕjr 0 eine Orthonormalbasis im Eigenraum zu U darstellt, ist jede aus einer unit¨ a ren Transformation 0j n o hervorgehende Basis mes und es gilt
|ϕ˜jr 0 i, r = 1, . . . , R
ebenfalls wieder eine Orthonormalbasis des Eigenrau-
|ϕ˜jr 0 i=
R X
0
0
cjr r |ϕjr 0 i ,
(VIII.37)
r 0 =1 0
wobei die cjr r die Koeffizienten der unit¨aren Transformationsmatrix darstellen. Welche |ϕ˜jr 0 i die geeignetsten sind, werden wir anschließend ermitteln. Weiterhin ist zu bemerken, daß es im Entartungsfall nicht mehr so leicht m¨ oglich ist, geschlossene Formeln f¨ ur eine beliebige Ordnung anzugeben. Wir betrachten deshalb zun¨achst nur die 1. Ordnung. Wenn in 1. Ordnung die Entartung ¨ aufgehoben ist, geht es weiter wie im nichtentarteten Fall. Die Uberlegungen legen folgenden Ansatz nahe Ujr
= U0j + λU1jr + · · ·
jr
|ϕ i = =
|ϕ˜jr 0 i R X
+
λ|ϕjr 1 i
(VIII.38)
+ ···
0
0
jr cjr r |ϕjr 0 i + λ|ϕ1 i + · · ·
(VIII.39)
r 0 =1
Mit diesen Reihen gehen wir in das allgemeine Eigenwertproblem ˆ 0 + λH ˆ 1 |ϕjr i = Ujr |ϕjr i H
(VIII.40)
ein und erhalten aus dem Koeffizientenvergleich bis zur 1. Ordnung λ0 :
R X 0 0 ˆ 0 − U0j Iˆ H cjr r |ϕjr 0 i = |nulli
(VIII.41)
r 0 =1
λ1 :
R R X X 0 0 0 jr 0 r jr ˆ 0 − U0j Iˆ |ϕjr i = −H ˆ1 H c |ϕ i + U cjr r |ϕjr 1jr 1 0 0 i
(VIII.42)
r 0 =1
r 0 =1 00
ur die 1. OrdMultiplikation mit hϕjr 0 | bringt die linken Seiten zum Verschwinden. Insbesondere f¨ nung erhalten wir jetzt λ1 :
R n o 0 X 00 0 jr r ˆ jr hϕjr =0 . 0 |H1 |ϕ0 i − U1jr δr 00 r 0 c
(VIII.43)
r 0 =1 0
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die cjr r . Die L¨osbarkeitsbedingung (S¨ nakularo 0 gleichung) liefert die U1jr . Mit den cjr r ist dann auch die bevorzugte Orthonormalbasis |ϕ˜jr 0 i
130
VIII.
St¨ orungstheorie
ˆ 1 diagonalisiert. Die Freiheit der Wahl einer Orthonormalbasis im des Eigenraumes bekannt, die H ˆ 1 in die SpektraldarEigenraum ist also offensichtlich genutzt worden, um die Darstellung von H stellung zu transformieren. Die S¨ akulargleichung n o 00 0 ˆ jr det hϕjr (VIII.44) 0 |H1 |ϕ0 i − U1jr δr 00 r 0 = 0 liefert R L¨ osungen f¨ ur die Energiekorrekturen erster Ordnung U1jr . Tats¨achlich verschiedene U1jr heben damit die entsprechende Entartung von U0j auf. Beispiel:
0. Ordnung
1. Ordnung U0j + λ U 1j1 nicht entartet
U0j R=3: 3-fach entartet
U0j + λ U 1j2 = U0j + λ U 1j3 2-fach entartet
Es folgen die Energie-Eigenwerte bis zur 1. Ordnung Ujr = U0j + λU1jr
.
(VIII.45)
F¨ ur jeden Wert U1jr lassen sich aus dem oben angegebenen linearen Gleichungssystem die unit¨ aren 0 Transformationskoeffizienten cjrr berechnen. Damit ist auch die im Eigenraum von U0j transformierte Orthonormalbasis R X 0 0 |ϕ˜jr i = cjr r |ϕjr (VIII.46) 0 0 i r 0 =1
bekannt. Ist die Entartung in 1. Ordnung vollst¨andig aufgehoben, ist weiter vorzugehen, wie im nichtentarteten Fall. Sind gewisse bis zur 1. Ordnung korrigierte Energieniveaus weiterhin entartet, ist f¨ ur diese das Verfahren zu wiederholen. Bemerkungen: 1. Die Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode wird nur selten u ¨ber die 2. Ordnung hinaus angewendet, da die Formeln zunehmend unhandlicher werden. Praktisch ist die Methode nur f¨ ur ˆ 1 geeignet. wirklich kleine St¨ orungen λH ˆ 1 nicht klein sein. Hauptsache, die Reihenentwicklungen konver2. Grunds¨ atzlich muß λH gieren. 3. Es gibt andere Methoden, die der Rayleigh-Schr¨odinger-Methode ¨ahnlich sind und jeweils ihre eigenen Vorz¨ uge haben. Beispiele sind die Wigner-Brillouin-Methode, die ResolventenMethode u. a.
1.1 Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode
131
Anwendungsbeispiel: Linearer Stark-Effekt • H-Atom im ¨ außeren elektrischen Feld
E = E 0 e3
e3 e2
Unter dem Einfluß des elektrischen Feldes verschieben sich die Energieeigenwerte des H-Atoms.
e1 E
ˆ1 • Aufstellen von λH Betrachtet wird das Ruhesystem des Protons. Die Kraft des a¨ußeren elektrischen Feldes auf das Elektron ist dann K = qE = −eE = −eE0 e3 (e > 0) . (VIII.47) ¨ Uber
ˆ1 K = −∂x λH
(VIII.48)
ˆ 1 = eE0 x3 λH
(VIII.49)
folgt .
Wir setzen nun λ = eE0
ˆ1 = x H ˆ3
,
.
(VIII.50)
• Grundzustand (j = 1) 2
– 0. Ordnung: U01 = − µc2
α2 12 ,
nicht entartet (ohne Spin) l=0
,
m=0
ˆ 1 |ϕ1 i – 1. Ordnung: U11 = hϕ10 |H 0 ¨ Ubergang zur Ortsdarstellung ˆ 1 |ϕ1 i hϕ10 |H 0
Z =
dV
0
Z
ˆ 1 |xihx|ϕ1 i dV hϕ10 |x0 ihx0 |H 0
(VIII.51)
ˆ 1 |xi = x3 hx0 |xi = x3 δ(x0 − x) hx0 |H = x3 δ(x01 − x1 )δ(x02 − x2 )δ(x03 − x3 ) Z 1 ˆ 1 |ϕ1 i = hϕ10 |H dV ϕ1∗ 0 0 (x)x3 ϕ0 (x)
(VIII.52) (VIII.53)
Erinnerung: ϕjlm (x) = Rjl (r)Ylm (ϑ, ϕ) (vgl. Abschnitt IV.8.3) j
:
Hauptquantenzahl
l
:
Drehimpulsquantenzahl
m
:
magnetische Quantenzahl
r 1 −2 ϕ10 (x) ≡ ϕ100 (x) = R10 (r)Y00 (ϑ, ϕ) = p 3 e− a0 √ 4π a0 Z 2r 4 1 U11 = 3 e− a0 r cos ϑr2 sin ϑ drdϑdϕ = 0 a0 4π
(VIII.54) (VIII.55)
132
VIII.
St¨ orungstheorie
wegen Zπ cos ϑ sin ϑdϑ = 0
(VIII.56)
0
• Erster angeregter Zustand (j = 2) – 0. Ordnung: U02 = 14 U01 , 4-fach entartet (ohne Spin) Z¨ ahlung: r=1 = b {l = 0, m = 0}
;
r=2 = b {l = 1, m = 0} ; r=3 = b {l = 1, m = +1} ; r=4 = b {l = 1, m = −1} n o 00 ˆ 1 |ϕ2r0 i − U12r δr00 r0 = 0 – 1. Ordnung: det hϕ2r | H 0 0 00
0
ˆ 2r Abk¨ urzung: σr00 r0 = hϕ2r 0 |H1 |ϕ0 i Erinnerung: ϕ21 0 (x)
200
≡ϕ
(x)
=
210 ϕ22 (x) 0 (x) ≡ ϕ
=
211 ϕ23 (x) 0 (x) ≡ ϕ
=
21−1 ϕ24 (x) 0 (x) ≡ ϕ
=
1
r 2− a0
r 1 e− 2a0 √ 4π 2a0 r r 1 1 3 r R21 (r)Y10 (ϑ, ϕ) = √ √ 3 e− 2a0 cos ϑ a 4π 3 2a0 0 r ! 1 1 3 r − 2ar 1 sin ϑeiϕ R21 (r)Y1 (ϑ, ϕ) = √ √ 3 e 0 − 8π 3 2a0 a0 ∗ R21 (r)Y1−1 (ϑ, ϕ) = ϕ23 0
R20 (r)Y00 (ϑ, ϕ)
=√
3
(VIII.57) (VIII.58) (VIII.59) (VIII.60)
Die Mehrzahl der σ’s verschwindet:
σ11 =
ˆ 21 hϕ21 0 |H1 |ϕ0 i
Zπ ∝
sin ϑ dϑ cos ϑ = 0
(VIII.61)
sin ϑ dϑ cos3 ϑ = 0
(VIII.62)
sin ϑ dϑ sin2 ϑ cos ϑ = 0
(VIII.63)
0
ˆ 22 σ22 = hϕ22 0 |H1 |ϕ0 i
Zπ ∝ 0
ˆ 23 σ33 = hϕ23 0 |H1 |ϕ0 i
Zπ ∝ 0
ˆ 24 σ44 = hϕ24 0 |H1 |ϕ0 i = ˆ 23 σ13 = hϕ21 0 |H1 |ϕ0 i
0 Z2π
∝
(VIII.64) dϕ eiϕ = 0
(VIII.65)
dϕ e−iϕ = 0
(VIII.66)
0
ˆ 24 σ14 = hϕ21 0 |H1 |ϕ0 i
Z2π ∝ 0
1.1 Rayleigh-Schr¨ odinger-Methode
σ23 =
133 Z2π
ˆ 23 hϕ22 0 |H1 |ϕ0 i
∝
dϕ e+iϕ = 0
(VIII.67)
dϕ e−iϕ = 0
(VIII.68)
dϕ e−2iϕ = 0
(VIII.69)
0
Z2π
ˆ 24 σ24 = hϕ22 0 |H1 |ϕ0 i
∝ 0
Z2π
ˆ 24 σ34 = hϕ23 0 |H1 |ϕ0 i
∝ 0
ˆ 1 folgt Wegen der Hermitizit¨ at von H σ31 = σ41 = σ32 = σ42 = σ43 = 0 .
(VIII.70)
Nicht verschwindend ist nur das Element σ12 bzw. σ21 : Z 1 1 1 r − ar r 22 ˆ σ12 = hϕ21 | H |ϕ i = 2 − e 0 r cos2 ϑ r2 dr sin ϑ dϑ dϕ 1 0 0 3 a0 8 4π a0 a0 4 Zπ Z∞ r 1 2π r r r = a0 2− e− a0 d cos2 ϑ sin ϑ dϑ 8 4π a0 a0 a0 0 0 {z }| {z } | II
Zπ I:
cos2 ϑ sin ϑ dϑ = −
Z
0
Z∞ II :
n −βr
r e
dr
dn = (−1) dβ n n
Z∞
0
σ12
I
π 1 2 cos ϑ 2 = − (−1 − 1) = cos ϑ d(cos ϑ) = − 3 0 3 3 3
e−βr dr = (−1)n
n! dn 1 = n+1 dβ n β β
0
1 2 48 − 120 ˆ 22 = hϕ21 (2 · 4! − 5!) = a0 = −3a0 0 |H1 |ϕ0 i = a0 16 3 24 ∗ σ21 = σ12 = −3a0
(VIII.71) (VIII.72)
S¨ akulardeterminante: −U12r −3a0 0 0
−3a0 −U12r 0 0
0 0 −U12r 0
0 0 0 −U12r
2 2 = U12r − 9a20 U12r =0
(VIII.73)
Folglich: U121 = −3a0
,
U122 = 3a0
,
U123 = 0
,
U124 = 0
(VIII.74)
Die Entartung wird teilweise aufgehoben: 0. Ordnung
1. Ordnung - µ c2 α2 /8 +3a0 eE0 - µ c2 α2 /8 (2-fach entartet) - µ c2 α2 /8 -3a 0 eE0
- µ c2 α /8 2
Korrespondierende Eigenfunktionen |ϕ˜jr 0 i= 4 X r 0 =1
P
r0
0
0
cjr r |ϕjr 0 i: 0
(σr00 r0 − U1jr δr00 r0 ) cjr r = 0
(j = 2)
(VIII.75)
134
VIII.
St¨ orungstheorie
r = 1:
3a0 −3a0 0 0
U121 = −3a0
−3a0 3a0 0 0
0 0 3a0 0
211 c 0 c221 0 =0 0 c231 3a0 c241 | {z }
(VIII.76)
≡c1
1 1 1 c1 = √ 2 0 0
(VIII.77)
1 21 |ϕ˜21 |ϕ0 i + |ϕ22 0 i= √ 0 i 2
(VIII.78)
y
y r = 2:
−3a0 −3a0 0 0
U122 = +3a0
−3a0 −3a0 0 0
0 0 −3a0 0
212 0 c c222 0 =0 0 c232 −3a0 c242 | {z }
(VIII.79)
≡c2
1 1 −1 c1 = √ 2 0 0
(VIII.80)
1 21 |ϕ˜22 |ϕ0 i − |ϕ22 0 i= √ 0 i 2
(VIII.81)
y
y r = 3:
U123 = 0
0 −3a0 0 0
−3a0 0 0 0
213 c 0 0 c223 0 0 =0 0 0 c233 0 0 c243 | {z }
(VIII.82)
≡c3
y
y
0 0 c3 = 1 0
(VIII.83)
23 |ϕ˜23 0 i = |ϕ0 i
(VIII.84)
r = 4 analog: 0 0 c4 = 0 1 y
24 |ϕ˜24 0 i = |ϕ0 i
(VIII.85)
(VIII.86)
1.2 Variationsverfahren
135
R¨ uck¨ ubersetzung in die urspr¨ unglichen ϕjlm : 1 √ |ϕ200 i + |ϕ210 i 2 1 √ |ϕ200 i − |ϕ210 i |ϕ˜22 0 i = 2 211 |ϕ˜23 i = |ϕ i 0
(VIII.89)
|ϕ˜24 0 i
(VIII.90)
|ϕ˜21 0 i =
21−1
= |ϕ
(VIII.87) (VIII.88)
i
Energieniveaus mit den entsprechenden Zust¨anden: 0. Ordnung
|ϕ200 i, |ϕ210 i |ϕ211 i, |ϕ21−1 i
1. Ordnung l=0 & l=1, m=0 l=1, m=+ - 1
j=2
l=0 & l=1, m=0
1.2
√1 2
|ϕ200 i − |ϕ210 i
|ϕ211 i, |ϕ21−1 i √1 2
|ϕ200 i + |ϕ210 i
Variationsverfahren
ˆ des quantenmechanischen Systems kein St¨oranteil“ H ˆ 1 in einfacher WeiWenn vom Hamiltonoperator H ” se abgespalten werden kann, eignet sich ein Variationsverfahren i. a. besser zur n¨aherungsweisen L¨ osung des Energieeigenwertproblems. Zun¨ achst betrachten wir den Grundzustand des Systems mit der Energie Umin . Satz: F¨ ur einen beliebigen normierten Vektor |χi des Hilbertraumes gilt ˆ hχ|H|χi ≥ Umin
.
(VIII.91)
ˆ j i = Uj |ϕj i . H|ϕ
(VIII.92)
Beweis: ˆ Es gilt |ϕj i seien die Eigenvektoren von H.
ˆ Die Gesammtheit der |ϕj i bildet eine Orthonormalbasis. Die Spektraldarstellung von H lautet dann Z X ˆ H= Uj |ϕj ihϕj | . (VIII.93) Die Darstellung von |χi lautet |χi =
Z X
|ϕj ihϕj |χi .
(VIII.94)
Es folgt 1 = hχ|χi =
Z X
|hχ|ϕj i|2
(VIII.95)
136
VIII.
St¨ orungstheorie
weiter gilt ˆ H|χi = = ˆ hχ|H|χi =
Z X ˆ ji hϕj |χiH|ϕ Z X hϕj |χiUj |ϕj i Z X Z X 0 0 hχ|ϕj ihϕj |χiUj hϕj |ϕj i | {z } j
=
j0
(VIII.96) (VIII.97) (VIII.98)
=δ(j,j 0 )
Z X |hχ|ϕj i|2 Uj
(VIII.99)
j
≥
Z X |hχ|ϕj i|2 Umin = Umin
q. e. d.
(VIII.100)
j
Auf diesen Satz wird ein Variationsverfahren aufgebaut. Der Zustandsvektor des Grundzustandes wird gesch¨ atzt, wobei in der Sch¨ atzung freie Parameter αi enthalten sind, also |χ, α1 , . . . , αi , . . .i .
(VIII.101)
Diese freien Parameter werden so bestimmt, daß ˆ αi i = minimal hχ, αi |H|χ,
(VIII.102)
wird. Notwendige Bedingung daf¨ ur ist, daß ˆ αi i = 0 . ∂αk hχ, αi |H|χ,
(VIII.103)
Das so gewonnene |χi ist dann n¨ aherungsweise der Grundzustand |χi ≈ |ϕGrundzustand i .
(VIII.104)
Ein spezielles Verfahren ist das Ritzsche Variationsverfahren. Hier wird der lineare Ansatz |χ, αi i =
q X
αk |Ψk i
(VIII.105)
k=1
mit vorgegebenen |Ψk i gemacht. Die notwendige Bedingung f¨ ur ein Minimum f¨ uhrt auf ein lineares ˆ αi i eine Bilinearform darstellt. Gleichungssystem f¨ ur die αk , da hχ, αi |H|χ, Anwendung: Berechnung der Energie des Grundzustandes des H-Atoms ˆ = H
p ˆ2 e2 1 − 2µ 4πε0 rˆ
(VIII.106)
¨ Ubergang zur Ortsdarstellung:
ˆ αi i = F (αi ) ≡ hχ, αi |H|χ,
Z
Z
ˆ 0 ihx0 |χ, αi i dV 0 hχ, αi |xihxHx 2 Z ~ 2 e2 1 ∗ = dV χ (x, αi ) − ∂x − χ(x, αi ) 2µ 4πε0 r dV
(VIII.107) (VIII.108)
1.2 Variationsverfahren
137
mit ∂x2 =
1 1 ∂r r2 ∂r + 2 Λ 2 r r
(VIII.109)
Annahme: Der Grundzustand ist radialsymmetrisch y χ(x, αi ) = R(r, αi )Y mit
Z
Es verbleibt
Z F (αi ) =
Y ∗ Y sin ϑ dϑ dϕ = 1
,
(VIII.110)
ΛY = 0 .
2 e2 1 ~ 1 2 ∂ r ∂ − R(r, αi ) r dr R∗ (r, αi ) − r r 2µ r2 4πε0 r
(VIII.111)
(VIII.112)
1. Ansatz R = c · e−αr
(VIII.113)
Berechnung der Normierungskonstanten aus Z∞ 1=
2 2
R r dr = c 0
y
R
=
2
Z∞
r2 e−2αr = c2
√ 2 α3 e−αr
(VIII.115)
2
= −α∂r r R = −2αrR + α r R
F (α)
= =
2 2
2 ~ 1 e2 1 −αr 2 2 r2 dr e−αr − (−2αr + α r ) − e 2µ r2 4πε0 r ∞ 2 Z 4~ 8α re−2αr dr 2µ 4α3
(VIII.114)
0
2
∂r r ∂r R
2 (2α)3
(VIII.116)
Z
(VIII.117)
0
~2 −4α 2µ 5
Z∞
r2 e−2αr dr
(VIII.118)
0 2
e −4α 4πε0 3
Z∞
re−2αr dr
0
F (α)
= =
∂α F (α) α y
Umin
2 2 2! 1 ~2 1 5~ 3 e − 4α − 4α 8α4 2µ 4α2 2µ 8α3 4πε0 4α2 ~2 2 e2 α − α 2µ 4πε0
~2 e2 α− =0 µ 4πε0 e2 µ 1 = = 2 4πε0 ~ a0 2 2 2 2 1 ~2 e µ e µ = F( ) = − 2 a0 2µ 4πε0 ~ 4πε0 ~2 2 2 µ e = − 2 2~ 4πε0 =
(VIII.119) (VIII.120)
(VIII.121) (VIII.122) (VIII.123) (VIII.124)
138
VIII.
St¨ orungstheorie
Der Vergleich mit Uj = −
µ 2~2
e2 4πε0
2
1 j2
(VIII.125)
¨ liefert exakte Ubereinstimmung f¨ ur j = 1. 2. Ansatz (zum Vergleich): 2 2
R = c · e−α
r
(VIII.126)
Bereitstellung einiger Integrale: Z∞ e 0 Z∞
−βr 2
=
Z∞ e
−βr 2
√ p π −1/2 d( βr) = β 2
(VIII.127)
0 2 −βr 2
r e 0 Z∞
dr
1 √ β
∂ = − ∂β
dr
2
r4 e−βr dr
= −
∂ ∂β
0
√
Z∞ e 0 Z∞
−βr 2
dr =
π 1 −3/2 β 2 2
(VIII.128)
√
π 1 3 −5/2 β 2 22
2
r2 e−βr dr =
(VIII.129)
0
Z∞
2
r e−βr dr
=
Z∞ p Z∞ p 2 1 1 −βr 2 √ re−r dr βre d( βr) = √ β β
0
0
(VIII.130)
0
Z∞
Z2π
=
1 1 β 2π
re−r dr
(VIII.131)
=
∞ 2 Z 2 1 1 1 1 1 π= e−x dx = β 2π β 2π 2β
(VIII.132)
dϕ 0
2
0
∞
Berechnung der Normierungskonstanten aus Z∞ 1
=
2 2
2
R r dr = c 0
1 R
√ 1 π = c2 √ 8 2 α3 s √ 8 2α3 −α2 r2 √ e = π ∂r R
2
Z∞
∂r r ∂r R
√ 2 −2α2 r 2
r e 0
2
=c
π1 1 √ 2 2 23 α 3
(VIII.134) (VIII.135)
= −2α2 rR 2
(VIII.136) 3
2 2
2 3
2
(VIII.137)
4 4
(VIII.138)
= −2α ∂r r R = −6α r R − 2α r (−2α rR) 2 2
(VIII.133)
4 4
2 2
= −6α r R + 4α r R = (−6α r + 4α r )R
1.2 Variationsverfahren
F (α)
139
=
√ 2 Z∞ 2 2 ~ 8 2α3 e2 1 −α2 r2 √ r2 dr e−α r − (−6α2 + 4α4 r2 ) − e 2µ 4πε0 r π
=
√ Z∞ 2 2 48 2α5 ~2 √ r2 e−2α r dr π 2µ
(VIII.139)
0
0
√ Z∞ 2 2 32 2α7 ~2 r4 e−2α r dr − √ π 2µ
(VIII.140)
0
√ Z∞ 2 2 8 2α3 e2 − √ r e−2α r dr π 4πε0 0 √ √ 5 2 32 2α7 ~2 π 3 48 2α ~ π 1 2 −3/2 √ √ = (2α ) − (2α2 )−5/2 π 2µ 2 2 π 2µ 2 4 √ 8 2α3 e2 1 − √ π 4πε0 2 2α2 √ 2 48 ~ 2 96 ~2 2 8 2 1 e2 = α − α − α 8 2µ 32 2µ 4 π 4πε0 √ 2 2 e2 ~2 α = 3 α2 − √ 2µ π 4πε0
Umin
= = =
Umin
=
∂α F (α)
=
α
=
√ ~2 2 e2 6 α− =0 2µ π 4πε0 √ √ 1 2 2 e2 µ 2 2 √ √ = 4πε0 ~2 3 π a0 3 π
√ ! 1 2 2 √ F a0 3 π √ 2 2 √ 2 2 2 ~2 e µ 4·2 2 2 e µ 2 2 √ 3 − √ 2µ 4πε0 ~4 9π ~2 3 π π 4πε0 2 2 e µ 4 8 − 4πε0 ~2 3π 3π 2 2 e µ 4 − 4πε0 ~2 3π
(VIII.141)
(VIII.142) (VIII.143)
(VIII.144) (VIII.145)
(VIII.146) (VIII.147) (VIII.148) (VIII.149)
Beim exakten Minimalwert der Energie ist 4/3π durch 1/2 zu ersetzen; der approximierte Wert unterscheidet sich nur recht wenig davon. Das Variationsprinzip kann auch auf die Berechnung angeregter Zust¨ande angewendet werden. Es ist dann sicherzustellen, daß der Ansatz f¨ ur den angeregten Zustand auf dem Grundzustand senkrecht steht. Sei |χ1 i der oben ermittelte normierte Grundzustand. |χ2 i sei zun¨achst ein von |χ1 i linear unabh¨angiger Ansatz f¨ ur den angeregten Zustand, der jedoch i. a. nicht orthogonal zu |χ1 i ist. Durch Anwendung des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens kommt man jedoch leicht zu einem Orthogonalen |χ0 2 i. Es ergibt sich |χ0 2 i = |χ2 i − hχ1 |χ2 i|χ1 i . (VIII.150)
140
VIII.
St¨ orungstheorie
Wie man leicht sieht gilt hχ1 |χ0 2 i = 0 .
(VIII.151)
Nun ist |χ2 i bzw. |χ0 2 i so zu bestimmen, daß ˆ 0 2 i = minimal hχ0 2 |H|χ
(VIII.152)
wird. Das Verfahren l¨ aßt sich beliebig fortsetzen. Sei |χ3 i zun¨achst ein von |χ1 i, |χ0 2 i linear unabh¨angiger Vektor. Nun sichert |χ0 3 i = |χ3 i − hχ0 2 |χ3 i|χ0 2 i − hχ1 |χ3 i|χ1 i , (VIII.153) daß |χ0 3 i sowohl orthogonal zu |χ1 i als auch zu |χ0 2 i ist. Jetzt ist ˆ 0 3 i = minimal hχ0 3 |H|χ
(VIII.154)
zu erreichen usw.
2 2.1
Zeitabh¨ angige St¨ orungstheorie ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten
Wir betrachten nun quantenmechanische Systeme, die durch einen Hamiltonoperator von der Form ˆ =H ˆ0 + H ˆ 1 (t) H
(VIII.155)
beschrieben werden, wobei ˆ0 = 0 ∂t H
,
ˆ 1 6= 0 ∂t H
(VIII.156)
gelte. Das ungest¨ orte Problem sei gel¨ ost, d. h. das Eigenwertproblem ˆ 0 |ϕj i = U0j |ϕj i H 0 0
(VIII.157)
liefert die Eigenwerte U0j und Eigenvektoren |ϕj0 i, die als bekannt angenommen werden k¨onnen. ˆ 1 (t) kann etwa durch ein zeitlich ver¨anderliches elektromagnetisches Feld Die zeitabh¨ angige St¨ orung H ˆ 1 (t) erst zur Zeit t0 eingeschaltet wird; hervorgerufen werden. Wir gehen davon aus, daß die St¨orung H ˆ vorher wirke nur H0 . Nach einer gewissen Zeit wird die St¨orung wieder abgeschaltet. Es ergibt sich nun folgendes Problem: Wenn bei t ≤ t0 das quantenmechanische System in einem Zustand |ϕi0 i vorliegt, ˆ 1 (t) diesen Zustand; es kommt zur Zeitentwicklung des Systems. Nach Abschalten der dann ver¨ andert H St¨ orung befindet sich das System i. a. in einem anderen Zustand. In diesem Abschnitt soll die Frage beantwortet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit das System vom Zustand |ϕi0 i in einen Zustand |ϕf0 i u achst eine St¨ orung wirkt und dann eine Messung erfolgt. ¨bergeht, wenn zun¨
ˆ0 H ↓ |ϕi0 i
ˆ0 + H ˆ 1 (t) H ˆ0 H ↓ −→ Pif =?
↓ |ϕf0 i
¨ 2.1 Ubergangswahrscheinlichkeiten
141
F¨ ur die Behandlung dieses Problems ist das Dirac- oder Wechselwirkungsbild besonders geeignet (vgl. Abschnitt VII.3). Wir identifizieren die Operatoren und Zust¨ande wie folgt: 0 ˆD H ˆ SW H
=
W ˆD H ˆ0 U
ˆW
U
(VIII.158)
=
ˆ S0 ≡ H ˆ0 H ˆ1 H
=
ˆ 0+ H ˆ SW U ˆ0 = U ˆ 0+ H ˆ 1U ˆ0 U
(VIII.160)
=
e− ~ (t−t0 )H0
=
− ~i
|ΨD (t)i =
(VIII.159) ˆ
i
Rt
(VIII.161)
W HD dt0
t0 TˆD e W ˆ U (t, t0 )|ϕi i
(VIII.162) (VIII.163)
0
Nach Axiom Nr. 4 ist die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t bei einer Messung den Zustand |ϕf0 i zu erhalten Pif = |hϕf0 |ΨD (t)i|2
.
(VIII.164)
ˆ W |ϕi i|2 Pif = |hϕf0 |U 0
.
(VIII.165)
Daraus ergibt sich
ˆ W |ϕi i. Zun¨achst erhalDie Aufgabe besteht offensichtlich in der Berechnung der Matrix-Elemente hϕf0 |U 0 ten wir Rt W 0 i ˆ W |ϕi0 i = hϕf |TˆD e− ~ t0 Hˆ D dt |ϕi0 i . hϕf0 |U (VIII.166) 0 ˆ 1 gegen¨ ˆ 0 hinreichend schwach ist, so daß U ˆ W bzw. die eNun wird gefordert, daß die St¨ orung H uber H Funktion in eine Reihe entwickelt und nach endlich vielen Gliedern abgebrochen werden kann. Tats¨achlich betrachten wir nur das erste Glied und beschr¨anken uns somit ¨ahnlich wie im Abschnitt VIII.1 auf St¨ orungen 1. Ordnung. So sei die Approximation ˆW
U
i (t, t0 ) = Iˆ − ~
Zt
W 0 ˆD H dt
(VIII.167)
t0
m¨ oglich mit der Konsequenz ˆ W |ϕi i hϕf0 |U 0
i =− ~
Zt
ˆ W |ϕi idt0 hϕf0 |H D 0
.
(VIII.168)
t0
Wir setzen i 6= f voraus, damit der identische Operator keinen Beitrag leistet. Das Matrix-Element des Integranden ergibt sich nun zu W ˆD |ϕi0 i = hϕf0 |H
= = =
ˆ 0+ H ˆ 1U ˆ 0 |ϕi0 i hϕf0 |U i ˆ ˆ − i (t−t0 )H ˆ0 i hϕf |e ~ (t−t0 )H0 H |ϕ0 i 1e ~
0 ˆ0f ˆ − i (t−t0 )U ˆ0i i f ~i (t−t0 )U hϕ0 |e H1 e ~ |ϕ0 i i f ˆ (t−t0 )(U0f −U0i ) i ~ e hϕ0 |H1 |ϕ0 i
(VIII.169) (VIII.170) (VIII.171) (VIII.172)
Unter Benutzung von 1 (U0f − U0i ) ~ ¨ folgt f¨ ur die sogenannte Ubergangswahrscheinlichkeit 1. Ordnung 2 t Z 0 1 f ˆ 0 i iωf i (t −t0 ) 0 Pif = 2 hϕ0 |H1 (t )|ϕ0 ie dt ~ ωf i =
t0
(VIII.173)
.
(VIII.174)
142
2.2
VIII.
St¨ orungstheorie
Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
Als Anwendungsbeispiel der zeitabh¨ angigen St¨orungstheorie betrachten wir den ¨außerst wichtigen Fall der Wechselwirkung eines quantenmechanischen Ein-Elektronen-Systems mit einer elektromagnetischen Welle. Ein derartiges quantenmechanisches System ist z. B. das Wasserstoffatom.
E, B ∝ ei(kx−ωt) + cc.
e3 x
(cc. meint konjugiert komplex“) ”
e2 e1
Wir betrachten das Ruhesystem des Kerns. In nullter Ordnung sind die Eigenwerte und Eigenfunktionen bekannt. Sie folgen aus dem ungest¨ orten Problem ˆ 0 = 1 pˆ2 + Vˆ H 2m
.
(VIII.175)
Die St¨ orung werde jetzt durch eine transversale elektromagnetische Welle verursacht. Sie wird dargestellt durch ihr Vektorpotential A und es gilt B = ∂x × A
,
E = −∂t A
,
∂x A = 0
(Coulomb-Eichung)
.
(VIII.176)
Ein skalares Potential, das ein longitudinales elektrisches Feld beschreiben w¨ urde, tritt nicht auf. Die Hamiltonfunktion dieses Systems lautet dann H=
2 1 p − qA + Vˆ 2m
.
(VIII.177)
F¨ ur eine Elektron gilt q = −e (e > 0). Das Potential Vˆ hat mit der Welle nichts zu tun. F¨ ur schwache Felder kann der quadratische Term (∝ A2 ) vernachl¨aßigt werden und wir schreiben H=
p2 q + Vˆ − pA 2m m
.
(VIII.178)
ˆ in Die Welle wird klassisch betrachtet, so daß sich aus der Hamiltonfunktion H der Hamiltonoperator H der Form p ˆ2 q ˆ = H + Vˆ − p ˆA (VIII.179) 2m m ergibt. So ist offensichtlich ˆ 1 (t) = − q p H ˆA(t) . (VIII.180) m F¨ ur die Welle fordern wir lineare Polarisation mit dem Polarisationsvektor n, so daß gilt n o A(t) = n A0 ei(k x−ωt) + A∗0 e−i(k x−ωt) .
(VIII.181)
Aus der Eichgleichung folgt n⊥k. Da das Feld A am Ort des Elektrons interessiert, ist im weiteren f¨ ur x der Ortsoperator x ˆ zu benutzen.
2.2 Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
143
¨ Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns nun der Berechnung der Ubergangswahrscheinlichkeit Pif , verursacht durch die Einstrahlung der beschriebenen elektromagnetischen Welle zu. Zun¨achst gilt
Pif
=
1 ~2
=
1 ~2
=
1 ~2
2 t Z ˆ 1 (t0 )|ϕi0 ieiωf i t0 dt0 hϕf |H 0 0 2 Zt n o q 0 0 0 f f ik x ∗ ik x iωf i t 0 ˆ i −iωt ˆ i iωt pnA0 e |ϕ0 ie hϕ0 |ˆ pnA0 e |ϕ0 ie + hϕ0 |ˆ e dt m 0 Zt q f ik x ˆ i i(ωf i −ω)t0 0 hϕ |ˆ dt m 0 pnA0 e |ϕ0 i e
(VIII.182)
(VIII.183)
(VIII.184)
0
q pnA∗0 e−ik xˆ |ϕi0 i + hϕf0 |ˆ m
Zt
ei(ωf i +ω)t
0
0
2 0 dt
,
(VIII.185)
wobei o. B. d. A. t0 = 0 gesetzt wurde. Die Zeitintegrale ergeben Zt
ω
e
i(ωf i ∓ω)t0
0
∓ω
fi ωf i ∓ω sin t ei(ωf i ∓ω)t − 1 2 dt = = ei 2 t ωf i ∓ω i(ωf i ∓ ω) 2
0
sin 1/2(ωf i − ω)t 1/2(ωf i − ω)
(VIII.186)
sin 1/2(ωf i + ω)t 1/2(ωf i + ω) fi fi-
fi+
Die beiden Zeitintegrale sind stark lokalisiert und u ¨berlappen sich nur ¨außerst schwach. Der bei der Bildung des Betragsquadrates in Pif auftretende Produktterm aus beiden Zeitintegralen kann deshalb vernachl¨ assigt werden. So verbleibt Pif
=
1 ~2
q 2 f pnA0 eik xˆ |ϕi0 i hϕ0 |ˆ m
1 + 2 ~
(
ωf i −ω t 2 ωf i −ω 2
sin
q 2 f pnA∗0 e−ik xˆ |ϕi0 i hϕ0 |ˆ m
(
)2
ωf i +ω t 2 ωf i +ω 2
sin
)2 .
(VIII.187)
¨ Die beiden Anteile in der Ubergangswahrscheinlichkeit haben eine unterschiedliche Bedeutung. Der erst Term ( ) 2 sin ωf i −ω t 2 1 q f abs ik x ˆ i 2 Pif = 2 hϕ0 |ˆ (VIII.188) pnA0 e |ϕ0 i ωf i −ω ~ m 2 abs beschreibt einen Absorptionsprozeß. Pif ist offenbar besonders groß, wenn die Wellenfrequenz ω = ωf i = U0f −U0i ~
erf¨ ullt.
144
VIII.
St¨ orungstheorie
Aus ω > 0 bzw. ωf i > 0 folgt U0f > U0i . Damit ist klar, daß es sich um einen Absorptionsprozeß handeln muß. Der zweite Term ( ) 2 sin ωf i +ω t 2 1 q f em ∗ −ik x ˆ i 2 pnA0 e Pif = 2 hϕ0 |ˆ |ϕ0 i (VIII.189) ωf i +ω ~ m 2 em beschreibt einen Emissionsprozeß. Pif wird maximal bei ω = −ωf i =
Absorption U0f U0i Emission U0i U0f
U0i −U0f ~
.
Hier gilt ωf i < 0, wodurch wiederum ω > 0 erf¨ ullt ist. Ein spontaner Emissionsprozeß wird durch diesen Term jedoch nicht beschrieben, sondern nur der durch die eingestrahlte Welle stimulierte Emissionsprozeß. Ein nachdr¨ uckliches Argument f¨ ur die Interpretation der beiden Terme liefert die in dieser Vorlesung nicht behandelte Quantenelektrodynamik. Innerhalb dieser wird auch das hier noch klassisch betrachtete Strahlungsfeld quantisiert. A0 geht dann u ur ein Photon und A∗0 entsprechend in ¨ber in einen Vernichtungsoperator Aˆ0 f¨ + ˆ einen Erzeugungsoperator A0 . Die weitere Aufgabe besteht nun darin, die Matrixelemente hϕf0 |ˆ pnA0 e+ik xˆ |ϕi0 i f ∗ −ik x ˆ i |ϕ0 i weiter zu vereinfachen. Zun¨achst kann A0 bzw. A∗0 vor und hϕ0 |ˆ pnA0 e das Skalarprodukt gezogen werden, da es sich um konstante Faktoren handelt. Die Terme e±ik xˆ werden in der sogenannten Dipol-N¨ aherung ber¨ ucksichtigt.
Dipoln¨ aherung: x ˆ beschreibt den Ort des Elektrons. Damit ist |ˆ x| in der Gr¨oßenordnung der Atomausdehnung, also |ˆ x| ∼ 1 ˚ A = 10−10 m. k beschreibt den Wellenzahlvektor der eingestrahlten Welle mit |k| = 2π/λ. Betrachten wir den sichtbaren Spektralbereich, dann gilt die Gr¨oßenordnung λ ∼ 500 nm= 5 · 10−7 m. Somit gilt kx ˆ ∼ 2π
10−10 ∼ 10−3 5 · 10−7
(VIII.190)
und es kann approximiert werden in der Form e±ik xˆ = Iˆ ± ik x ˆ ± ...
(VIII.191)
Die 1“ beschreibt die elektrische Dipolstrahlung w¨ahrend ik x ˆ“ die magnetische Dipolstrah” ” lung oder die elektrische Quadrupolstrahlung ergibt. Wir beschr¨anken uns hier auf die elektrische Dipolstrahlung und setzen e±ik xˆ ≈ Iˆ . (VIII.192) Weiter auszuwerten ist das verbleibende Element hϕf0 |ˆ p n|ϕi0 i. Wir befinden uns im Dirac-Bild und benutzen deshalb i ˆ dˆ x p ˆ=m = m [H ˆ] . (VIII.193) 0, x dt ~ ˆ 0 ist sowieso Den Index D“ zur Bezeichnung des Dirac-Bildes an p ˆ und x ˆ haben wir dabei unterdr¨ uckt; H ” in allen Bildern gleich. Damit folgt i ˆ 0, x p n|ϕi0 i = m nhϕf0 |[H ˆ ]|ϕi0 i hϕf0 |ˆ ~ x y i ˆ 0x ˆ 0 )|ϕi0 i = m nhϕf0 |(H ˆ−x ˆH ~ U0f − U0i = mi nhϕf0 |ˆ x|ϕi0 i ~ = miωf i nhϕf0 |ˆ x|ϕi0 i .
(VIII.194) (VIII.195) (VIII.196) (VIII.197)
2.2 Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Welle
145
Nun wird das Dipol-Matrixelement x|ϕi0 i df i = hϕf0 |qˆ
(VIII.198)
eingef¨ uhrt. Diese Definition liegt nahe, denn in Ortsdarstellung folgt Z df i = dV ϕf0 ∗ (x)qxϕi0 (x) .
(VIII.199)
Man vergleiche dies mit der klassischen Definition des Dipolmomentes 1 . Somit ergibt sich abs Pif
em Pif
(
=
2 ωf2 i 2 |A0 | n df i 2 ~
(
=
2 ωf2 i 2 |A0 | n df i 2 ~
ωf i −ω t 2 ωf i −ω 2
)2
ωf i +ω t 2 ωf i +ω 2
)2
sin
sin
(VIII.200)
.
(VIII.201)
2
Die Amplitude |A0 | wird im weiteren ersetzt durch die Strahlungsintensit¨at I(ω) bei der Frequenz ω. I(ω) ist identisch mit dem Betrag des zeitgemittelten Poyntingvektors |π(t)|. Die Elektrodynamik liefert den Zusammenhang 1 1 π =E×H = E × B = − ∂t A × ∂x × A , (VIII.202) µ0 µ0 woraus mit A =
A0 ei(k x−ωt) + A∗0 e−i(k x−ωt)
(VIII.203)
A =
2n |A0 | cos (k x − ωt + ϕ)
(VIII.204)
∂t A = ∂x × A =
2ωn |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
(VIII.205)
−2k × n |A0 | sin (k x − ωt + ϕ)
(VIII.206)
zun¨ achst π
= =
1 2 ωn × (k × n) |A0 | sin (k x − ωt + ϕ) µ0 1 2 4 ωk |A0 | sin (k x − ωt + ϕ) µ0 4
(VIII.207) (VIII.208)
folgt. Einarbeitung der Vakuum-Dispersionsrelation k ≡ |k| =
ω √ = ε0 µ0 ω c
(VIII.209)
ergibt r ε0 k 2 2 π=4 ω |A0 | sin (k x − ωt + ϕ) , µ0 k
(VIII.210)
woraus durch zeitliche Mittelung r ε0 k 2 2 1 π(t) = 4 ω |A0 | µ0 k 2
(VIII.211)
r ε0 2 2 I(ω) = 2 ω |A0 | µ0
(VIII.212)
folgt. Wir erhalten
1 z. B.
im Skript Klassische Feldtheorie“, Gleichung IV.15 ”
.
146
VIII.
St¨ orungstheorie
2 ¨ Umstellen nach |A0 | und einsetzen in die Ubergangswahrscheinlichkeit liefert
abs Pif
em Pif
2.3
r
=
1 2
r
=
1 2
2 ε0 1 ωf2 i n df i I(ω) µ0 ~2 ω 2
(
2 ε0 1 ωf2 i I(ω) n d f i µ0 ~2 ω 2
(
ωf i −ω t 2 ωf i −ω 2
)2
ωf i +ω t 2 ωf i +ω 2
)2
sin
sin
(VIII.213)
.
(VIII.214)
Fermi’s Goldene Regel
abs ¨ Wir diskutieren nun die Zeit- und Frequenzabh¨angigkeit der Ubergangswahrscheinlichkeiten Pif bzw. em abs em Pif . Die Formeln werden nur f¨ ur Pif aufgeschrieben. Durch die Ersetzung ω → −ω folgt Pif .
Das Verhalten des zeitabh¨ angigen Terms ist sehr selektiv. Er wird sogar δ-artig, denn eine Darstellung der δ-Funktion hat die Form 2 1 sin xε 1 . (VIII.215) δ(x) = lim x π ε→0 ε ε Somit folgt mit ε =
2 t
(
ωf i −ω t 2 ωf i −ω 2
sin
)2
(
=
t 2t 2
(
=
1 2t ε
−→
t 1 2 = ε →∞
ωf i −ω t 2 ωf i −ω t 2
sin
ωf i −ω ε ωf i −ω ε
sin
)2 (VIII.216)
)2
2tπδ(ωf i − ω) .
(VIII.217) (VIII.218)
¨ Folglich kommt es zu einem Ubergang i → f nur, wenn ωf i ≈ ω erf¨ ullt ist. Es ist dann von Vorteil, die abs ¨ Ubergangsrate dPif /dt einzuf¨ uhren, und man erh¨alt Fermi’s Goldene Regel abs dPif = dt
r
2 ε0 π n df i I(ωf i )δ(ωf i − ω) . 2 µ0 ~
(VIII.219)
2.4 Auswahlregeln
2.4
147
Auswahlregeln
ˇ Goldener Regel auftretende Dipol-Matrixelement Das in FermiZs x|ϕi0 i ≡ qξ df i = hϕf0 |qˆ
(VIII.220)
kann f¨ ur bestimmte Kombinationen von Ausgangs- und Endzust¨anden (i bzw. f ) verschwinden. Dann ¨ ¨ ¨ gibt es derartige Uberg¨ ange nicht. Die erlaubten Uberg¨ ange, d. h. die Uberg¨ ange mit nichtverschwindendem Dipolmatrixelement bezeichnet man als ausgew¨ahlt. Sie folgen bestimmten Auswahlregeln. Einige Auswahlregeln sollen f¨ ur das Wasserstoffatom abgeleitet werden. Anfangszustand |ϕi0 i = b Endzustand
|ϕf0 i
= b
Quantenzahlen ni , li , mi
(VIII.221)
Quantenzahlen nf , lf , mf
(VIII.222)
In Ortsdarstellung ergibt sich nun
x|ϕi0 i = ξ ≡ hϕf0 |ˆ
Z∞
r2 dr
0
Zπ
Z2π sin ϑdϑ
0
mf ∗
dϕ Rn∗ f lf Ylf
i x Rni li Ylm i
.
(VIII.223)
0
Mit
r sin ϑ cos ϕ x = r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ
(VIII.224)
und den Ausdr¨ ucken f¨ ur Ylm aus (IV.272) folgt Z∞
Z2π sin ϑ cos ϕ m i sin ϑ sin ϑdϑ ei(mi −mf )ϕ sin ϕ dϕ ξ = Rnf lf Rni li r3 dr Plf f Plm i cos ϑ 1 0 0 0 {z }| {z }| {z } |
Zπ
≡ξr
≡ξ
≡ξ
ϑ
.
(VIII.225)
ϕ
Am einfachsten sind die Komponenten von ξ ϕ zu berechnen: • ξ ϕ1 : Z2π ξ ϕ1
=
ei(mi −mf )ϕ cos ϕdϕ
0
=
1 2
Z2π e 0
i(mi −mf +1)ϕ
1 dϕ + 2
Z2π
ei(mi −mf −1)ϕ dϕ
0
1 1 = 2πδmf mi +1 + 2πδmf mi −1 2 2 = π δmf mi +1 + δmf mi −1 ;
(VIII.226)
es gilt die Auswahlregel ∆m = mf − mi = ±1
.
(VIII.227)
148
VIII.
St¨ orungstheorie
• ξ ϕ2 : Z2π ξ ϕ2
=
ei(mi −mf )ϕ sin ϕdϕ
0
Z2π
=
1 2i
=
π δmf mi +1 − δmf mi −1 i
e
i(mi −mf +1)ϕ
1 dϕ − 2i
0
Z2π
ei(mi −mf −1)ϕ dϕ
0
;
(VIII.228)
es gilt ebenfalls ∆m = mf − mi = ±1
.
(VIII.229)
• ξ ϕ3 : Z2π ξ ϕ3 =
ei(mi −mf )ϕ dϕ = 2πδmi mf
;
(VIII.230)
0
es gilt die Auswahlregel ∆m = mf − mi = 0 .
(VIII.231)
F¨ ur die Auswertung der Komponenten von ξ ϑ sind einige Eigenschaften der Legendre-Polynome auszunutzen. Ohne Rechnung geben wir an, daß die Auswahlregel ∆l = lf − li = ±1
(VIII.232)
folgt. Der Radialanteil ξr verschwindet nicht systematisch; es ergibt sich keine weitere Auswahlregel. ¨ ange, die den Auswahlregeln ∆l = ±1, ∆m = 0, ±1 nicht gehorchen, sind verboten. Alle anderen Uberg¨
2.4 Auswahlregeln
149
Bemerkungen: • Die in Abschnitt VIII.2 behandelte zeitabh¨angige St¨orungstheorie in 1. N¨aherung beschreibt nur Ein-Photonen-Prozesse in Absorption oder Emission. Ein-Photon-Absorption
Ein-Photon-Emission
f
i
hω
hω i
f
• Zur Beschreibung von Zwei-Photonen-Prozessen bedarf es der N¨aherung 2. Ordnung. Zwei-Photonen-Absorption h ω2
Zwei-Photonen-Emission
f
h ω2
h ω1
i
h ω1 i
f
Raman-Streuung h ω2 f h ω1 i
• F¨ ur Mehr-Photonen-Prozesse gilt entsprechendes.
150
VIII.
St¨ orungstheorie
Kapitel IX
Drehimpuls und Spin Im Abschnitt III.9 wurde der Bahndrehimpuls ˆ =x ˆ×p ˆ L
(IX.1)
eines Teilchens untersucht und die Vertauschungsregeln ˆi, L ˆ j ] = − ~ εijk L ˆk [L i
(IX.2)
ˆ 2 , L] ˆ =0 [L
(IX.3)
gefunden, aus denen sich weiterhin berechnet. Es galten die Eigenwertgleichungen ˆ 2 |l, mi = L ˆ 3 |l, mi = L
~2 l(l + 1)|l, mi
(IX.4)
~m|l, mi
(IX.5)
mit den Drehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, 2, . . . und den magnetischen Quantenzahlen m = −l, . . . , +l. Die Eigenfunktionen |l, mi ergaben in der in Abschnitt IV.9 benutzten Ortsdarstellung die Kugelfl¨ achenfunktionen Ylm . Die abgeleiteten Vertauschungsregeln beruhen letztendlich auf der Isotropie des Raumes. Es sollen deshalb im weiteren allein die Vertauschungsregeln zur Charakterisierung eines beliebigen Drehimpulses - also nicht nur des Bahndrehimpulses - herangezogen werden. Zur Unterscheidung bezeichnen wir diesen mit ˆ Es wird somit gefordert, daß J. ~ [Jˆ1 , Jˆ2 ] = − Jˆ3 i
,
~ [Jˆ2 , Jˆ3 ] = − Jˆ1 i
,
~ [Jˆ3 , Jˆ1 ] = − Jˆ2 i
(IX.6)
gilt und folglich auch ˆ =0 [Jˆ2 , J]
1
.
(IX.7)
Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
Es werden jetzt die Eigenwerte der beiden Observablen untersucht. Zur Anwendung kommen ausschließlich die Kommutatoren (IX.6) und (IX.7). Vorkenntnisse vom Bahndrehimpuls werden nicht herangezogen. Zun¨ achst werden einige Hilfsformeln f¨ ur Operatoren und Kommutatoren bereitgestellt, die sp¨ater ben¨ otigt werden. Dazu f¨ uhren wir die beiden Hilfsoperatoren Jˆ+ Jˆ−
≡ Jˆ1 + iJˆ2 ≡ Jˆ1 − iJˆ2
(IX.8) (IX.9)
152
IX.
Drehimpuls und Spin
ein. Dann gilt Jˆ1
=
Jˆ2
=
1 ˆ (J+ + Jˆ− ) 2 1 ˆ (J+ − Jˆ− ) 2i
(IX.10) (IX.11)
sowie (Jˆ+ )+ = Jˆ−
(Jˆ− )+ = Jˆ+
,
.
(IX.12)
F¨ ur Jˆ+ und Jˆ− lassen sich folgende Kommutator-Relationen ableiten: [Jˆ3 , Jˆ+ ]
= Jˆ3 (Jˆ1 + iJˆ2 ) − (Jˆ1 + iJˆ2 )Jˆ3 = [Jˆ3 , Jˆ1 ] + i[Jˆ3 , Jˆ2 ] ~ ~ = − Jˆ2 + i Jˆ1 = ~Jˆ+ i i ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ [J3 , J− ] = [J3 , J1 ] − i[Jˆ3 , Jˆ2 ] = − Jˆ2 − i Jˆ1 = −~Jˆ− i i [Jˆ+ , Jˆ− ] = [Jˆ+ , Jˆ1 ] − i[Jˆ+ , Jˆ2 ] = i[Jˆ2 , Jˆ1 ] − i[Jˆ1 , Jˆ2 ] = 2~Jˆ3 [Jˆ2 , Jˆ+ ] = [Jˆ2 , Jˆ− ] = 0
(IX.13) (IX.14) (IX.15) (IX.16)
Weiterhin berechnen wir Jˆ2
Jˆ− Jˆ+ Jˆ+ Jˆ−
1 1 = Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 = (Jˆ+ Jˆ− + Jˆ− Jˆ+ ) − (−Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ ) + Jˆ32 4 4 1 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (J+ J− + J− J+ ) + J3 = ~J3 + J− J+ + Jˆ32 = −~Jˆ3 + Jˆ+ Jˆ− + Jˆ32 = 2 ˆ = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 + ~I) ˆ = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 − ~I)
(IX.17) (IX.18) (IX.19)
Nun wenden wir uns den Eigenwertgleichungen zu. Die allgemeinste Form lautet Jˆ2 |a, bi = Jˆ3 |a, bi =
a|a, bi
(IX.20)
b|a, bi .
(IX.21)
Wegen der Kompatibilit¨ at liegt ein gemeinsames Eigenvektor-System vor. Die Eigenwerte von Jˆ2 bezeichnen wir mit a. Dieser Eigenwert ist reell; mehr wissen wir zun¨achst nicht. a benutzen wir auch, um den zugeh¨ origen Eigenvektor zu markieren. Die Eigenwerte von Jˆ3 bezeichnen wir mit b, das ebenfalls reell ist und auch als Markierung f¨ ur den zugeh¨origen Eigenvektor verwendet wird. Die Eigenwerte sollen jetzt umskaliert werden. Zun¨achst ziehen wir aus b und a das Wirkungsquantum bzw. sein Quadrat heraus, so dass der verbleibende Faktor einheitenfrei wird: a = ~2 α b = ~m
(IX.22) .
(IX.23)
Dabei sind α und m reelle Zahlen. α schreiben wir wiederum um in α = j(j + 1)
.
(IX.24)
Da sich α in K¨ urze als nichtnegativ herausstellen wird, ist j als reell anzunehmen und der Zusammenhang zwischen α und j ist eindeutig. Statt der Markierungen a und b f¨ ur die Eigenvektoren wollen wir jetzt j und m verwenden und wir schreiben Jˆ2 |j, mi = Jˆ3 |j, mi =
aj |j, mi
(IX.25)
bm |j, mi .
(IX.26)
1 Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
153
|j, mi sei normiert. Noch ist nicht klar, ob j und m diskrete oder kontinuierliche Indizes darstellen. Wir werden ihre Eigenschaften durch die Anwendung von Operatormethoden herauspr¨aparieren. Aus der Eigenwertgleichung f¨ ur Jˆ2 folgt unmittelbar aj
= hj, m|Jˆ2 |j, mi = hj, m|Jˆ12 |j, mi + hj, m|Jˆ22 |j, mi + hj, m|Jˆ32 |j, mi
(IX.27)
= hj, m|Jˆ1+ Jˆ1 |j, mi + hj, m|Jˆ2+ Jˆ2 |j, mi + hj, m|Jˆ3+ Jˆ3 |j, mi = kJˆ1 |j, mik2 + kJˆ2 |j, mik2 + kJˆ3 |j, mik2 ≥ 0 .
(IX.29)
(IX.28) (IX.30)
Dann l¨ aßt sich aj immer in der Form aj = ~2 j(j + 1)
mit
j≥0
(IX.31)
darstellen. Bisher ist j noch reell m¨ oglich. Wir k¨onnen also vorl¨aufig schreiben Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)|j, mi j ≥ 0, reell Jˆ3 |j, mi = ~m|j, mi m reell .
(IX.32) (IX.33)
Wir stellen nun eine Relation zwischen j und m her. Dazu wird Jˆ+ Jˆ− und Jˆ− Jˆ+ auf |j, mi angewendet. Es folgt h i ˆ |j, mi = ~2 [j(j + 1) − m(m + 1)] |j, mi Jˆ− Jˆ+ |j, mi = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 + ~I) (IX.34) h i ˆ |j, mi = ~2 [j(j + 1) − m(m − 1)] |j, mi . Jˆ+ Jˆ− |j, mi = Jˆ2 − Jˆ3 (Jˆ3 − ~I) (IX.35) Projektion auf hj, m| und Beachtung der Adjungiertheit von Jˆ+ und Jˆ− zueinander liefert hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi = hj, m|(Jˆ+ )+ Jˆ+ |j, mi = kJˆ+ |j, mik2 = ~2 [j(j + 1) − m(m + 1)] ≥ 0 hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi = hj, m|(Jˆ− )+ Jˆ− |j, mi = kJˆ− |j, mik2 = ~2 [j(j + 1) − m(m − 1)] ≥ 0
(IX.36) (IX.37)
Die gewonnenen Ungleichungen lassen sich auswerten und ergeben j(j + 1) − m(m + 1) j(j + 1) − m(m − 1)
=
j 2 + j − m2 − m = (j + m)(j − m) + j − m
=
(j − m)(j + m + 1) ≥ 0
=
j 2 + j − m2 + m = (j + m)(j − m) + j + m
=
(j + m)(j − m + 1) ≥ 0
(IX.38) (IX.39)
Die erste Ungleichung ist erf¨ ullt, wenn (a) j−m≥0 y
m≤j y
oder
& &
j+m+1≥0
(IX.40)
−j−1≤m
(IX.41)
−j − 1 ≤ m ≤ j
(IX.42)
154
IX.
Drehimpuls und Spin
(b) j−m≤0 y
&
j≤m
j+m+1≤0
(IX.43)
m ≤ −j − 1
(IX.44)
&
j ≤ m ≤ −j − 1
y
(IX.45)
Wegen j ≥ 0 ist (b) auszuschließen. Die zweite Ungleichung ist erf¨ ullt, wenn (c) j+m≥0 y
&
−j ≤ m
j−m+1≥0
(IX.46)
m≤j+1
(IX.47)
&
−j ≤ m ≤ j + 1
y
(IX.48)
oder (d) j+m≤0 y
&
m ≤ −j y
j−m+1≤0
(IX.49)
j+1≤m
(IX.50)
&
j + 1 ≤ m ≤ −j
(IX.51)
Wegen j ≥ 0 ist (d) auszuschließen. Der Durchschnitt aus (a) und (c) ergibt −j ≤m≤j
.
(IX.52)
Damit ist eine Relation zwischen j und m gefunden. Im folgenden werden weitere Eigenschaften von j untersucht. F¨ ur m = j gilt wegen (IX.36) kJˆ+ |j, jik = 0 .
(IX.53)
Jˆ+ |j, ji = |nulli .
(IX.54)
kJˆ− |j, −jik = 0
(IX.55)
Jˆ− |j, −ji = |nulli .
(IX.56)
Folglich ist
Analog folgt f¨ ur m = −j aus (IX.36) und somit
F¨ ur m < j wenden wir auf Jˆ+ |j, mi die Operatoren Jˆ2 und Jˆ3 an und erhalten unter Beachtung der Kommutatorregeln von (IX.16), (IX.32), (IX.13) und (IX.33) Jˆ2 Jˆ+ |j, mi = Jˆ+ Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ+ |j, mi Jˆ3 Jˆ+ |j, mi = ~Jˆ+ + Jˆ+ Jˆ3 |j, mi = ~(m + 1)Jˆ+ |j, mi .
(IX.57) (IX.58)
1 Eigenwerte von Jˆ2 und Jˆ3
155
Folglich ist Jˆ+ |j, mi Eigenvektor von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und von Jˆ3 zum Eigenwert ~(m + 1). Jˆ+ |j, mi beschreibt einen Drehimpulszustand zu den Quantenzahlen (j, m + 1). Jˆ+ |j, mi muß deshalb zu |j, m + 1i proportional sein: Jˆ+ |j, mi = cm |j, m + 1i . (IX.59) Jˆ+ bewegt auf der m-Leiter somit die Eigenvektoren um eine ganze Sprosse nach oben. p-fache Anwendung ergibt p Jˆ+ |j, mi = c |j, m + pi (IX.60) mit einer geeigneten Normierungskonstanten c, die hier aber nicht weiter wichtig sei. Unklar ist hier noch, ob es auch Zwischensprossen gibt, oder ob die Sprossen kontinuierlich auf der m-Leiter vorhanden sind. Dieses Aufsteigen endet aber, wenn die oberste Sprosse m + p = j erreicht ist. Wegen (IX.54) f¨ uhrt eine weitere Anwendung von Jˆ+ auf der m-Leiter nicht auf eine h¨ohere Eigenvektor-Sprosse. F¨ ur nichttriviale quantenmechanische Zust¨ ande muss also immer gelten m+p≤j
(IX.61)
bzw. p = 0, 1, 2, . . . , j − m
.
(IX.62)
p |j, mi die Operatoren Jˆ2 und Jˆ3 an und erhalten Unter Beachtung dieser Bedingung wenden wir auf Jˆ+ p p−1 Jˆ2 Jˆ+ |j, mi = Jˆ+ Jˆ2 Jˆ+ |j, mi = . . . p p = Jˆ+ Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ+ |j, mi p p−1 Jˆ3 Jˆ+ |j, mi = ~Jˆ+ + Jˆ+ Jˆ3 Jˆ+ |j, mi p−2 2 2 ˆ = ~Jˆ+ + Jˆ+ J3 + Jˆ+ ~Jˆ+ Jˆ+ |j, mi p−2 2 2 ˆ = 2~Jˆ+ + Jˆ+ J3 Jˆ+ |j, mi
(IX.63)
.. . = =
p p ˆ p~Jˆ+ + Jˆ+ J3 |j, mi
p |j, mi . ~(m + p)Jˆ+
(IX.64)
p Somit ist Jˆ+ |j, mi Eigenvektor zu Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und Eigenvektor von Jˆ3 zum Eigenwert ~(m + p).
Nun gehen wir von Jˆ− |j, −ji = |nulli aus und betrachten m > −j. Auf Jˆ− |j, mi werden Jˆ2 und Jˆ3 angewendet und es folgt Jˆ2 Jˆ− |j, mi = Jˆ− Jˆ2 |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ− |j, mi Jˆ3 Jˆ− |j, mi = Jˆ− Jˆ3 − ~Jˆ− |j, mi = ~(m − 1)Jˆ− |j, mi .
(IX.65)
(IX.66) (IX.67)
Somit ist Jˆ− |j, mi Eigenvektor von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j + 1) und Eigenvektor von Jˆ3 zum Eigenwert ~(m − 1). Jˆ− |j, mi muß deshalb zu |j, m − 1i proportional sein: Jˆ− |j, mi = dm |j, m − 1i .
(IX.68)
Jˆ− bewegt auf der m-Leiter somit die Eigenvektoren um eine ganze Sprosse nach unten. q-fache Anwendung ergibt q Jˆ− |j, mi = d |j, m − qi . (IX.69)
156
IX.
Drehimpuls und Spin
Das Absteigen endet aber, wenn die tiefste Sprosse m − q = −j erreicht ist. Wegen (IX.56) f¨ uhrt eine weitere Anwendung von Jˆ− nicht auf eine tiefere Eigenvektor-Sprosse. F¨ ur nichttriviale quantenmechanische Zust¨ ande muss also gelten m − q ≥ −j , (IX.70) bzw. q = 0, 1, 2, . . . , m + j
.
(IX.71)
q Unter Beachtung dieser Bedingung wenden wir auf Jˆ− die Operatoren Jˆ2 und Jˆ3 an und erhalten q q ˆ2 q Jˆ2 Jˆ− |j, mi = Jˆ− J |j, mi = ~2 j(j + 1)Jˆ− |j, mi q q Jˆ3 Jˆ− |j, mi = ~(m − q)Jˆ− |j, mi .
(IX.72) (IX.73)
q Somit sind die Vektoren Jˆ− |j, mi mit q = 0, 1, 2, . . . , j +m Eigenvektoren von Jˆ2 zum Eigenwert ~2 j(j +1) und Eigenvektoren von Jˆ3 zu den Eigenwerten ~(m − q).
Zwischenbilanz: Gehen wir von einem Eigenvektor |j, mi mit j und m in den bisher erlaubten Bereichen aus, dann erzeugen p Jˆ+ |j, mi p = 1, 2, . . . , j − m (IX.74) und q Jˆ− |j, mi
q = 1, 2, . . . , j + m
(IX.75)
p = j − m bzw. q = j + m neue nichttriviale Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3 . Somit gilt m=j−p
,
(IX.76)
und m = −j + q
.
(IX.77)
Substrahieren wir die beiden Gleichungen, so gilt p + q = 2j
,
(IX.78)
q − p = 2m
.
(IX.79)
addieren wir sie, ergibt sich
Da p und q ganzzahlig sind und oben bereits j ≥ 0 und −j ≤ m ≤ j gezeigt wurde, erh¨alt man f¨ ur j und m folgende m¨ oglichen Werte: j
=
m
=
1 3 0, , 1, , 2, . . . 2 2 −j, −j + 1, . . . , j
(IX.80) .
(IX.81)
ˆ2, L ˆ 3 bekannt sind, Neben den ganzzahligen Quantenzahlen j und m, die bereits vom Bahndrehimpuls L sind halbzahlige Quantenzahlen ebenfalls erlaubt. Ob es quantenmechanische Systeme mit halbzahligen Drehimpulsquantenzahlen gibt und welche halbzah¨ ligen Quantenzahlen realisiert sind, muß das Experiment entscheiden. Die Uberlegungen bisher erlauben nur, daß es derartige Systeme geben k¨onnte.
2 Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3
2
157
Eigenvektoren von Jˆ2 und Jˆ3
Wir betrachten einen Eigenvektor |j, mi als vorgegeben. F¨ ur festes j k¨onnen aus Jˆ+ |j, mi = cm |j, m + 1i Jˆ− |j, mi = dm |j, m − 1i Jˆ+ |j, ji = |nulli
(IX.82) (IX.83) (IX.84)
Jˆ− |j, −ji = |nulli
(IX.85)
alle 2j + 1 normierten Eigenvektoren des zugeh¨origen Unterraumes konstruiert werden. Imgrunde sind nur noch die cm und dm zu berechnen. Normbildung liefert kJˆ+ |j, mik = |cm | =
q
+ ˆ hj, m|Jˆ+ J+ |j, mi =
q
hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi .
(IX.86)
Aus dem vorhergehenden Abschnitt u ¨bernehmen wir hj, m|Jˆ− Jˆ+ |j, mi = ~2 (j − m)(j + m + 1)
.
(IX.87)
Es folgt cm = ~
p
j−m
p j+m+1
.
(IX.88)
Von einem Phasenfaktor sehen wir ab. Analog gilt kJˆ− |j, mik = |dm | =
q hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi
(IX.89)
mit hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi = ~2 (j + m)(j − m + 1)
(IX.90)
und somit p j + m j − m + 1 = cm−1
(IX.91)
p
p j − m j + m + 1|j, m + 1i
(IX.92)
p p Jˆ− |j, mi = ~ j + m j − m + 1|j, m − 1i
(IX.93)
dm = ~
p
p-fache Iteration von Jˆ+ |j, mi = ~ und q-fache Iteration von
liefern die p + q = 2j weiteren Eigenvektoren, um den 2j + 1-dimensionalen Unterraum f¨ ur ein festes j aufzuspannen. Schließlich kann der Satz von Eigenvektoren |j, mi aus |j, ji durch wiederholtes Absteigen mittels Jˆ− oder aus |j, −ji durch wiederholtes Aufsteigen mittels Jˆ+ gewonnen werden. Es gelten die Rekursionsformeln: s |j, mi = s |j, mi =
1 (j + m)! (2j)! (j − m)!
1 (j − m)! (2j)! (j + m)!
1ˆ J− ~
j−m
1ˆ J+ ~
j+m
|j, ji
(IX.94)
|j, −ji .
(IX.95)
158
3
IX.
Drehimpuls und Spin
Stern-Gerlach-Effekt
Ein quantenmechanisches Ein-Teilchen-System der Ladung q und der Masse µ im Potential Vˆ (ˆ x) und im außeren Magnetfeld B wird durch den Hamilton-Operator ¨ ˆ = H
ˆ2 (ˆ p − qAI) + Vˆ (ˆ x) 2µ
(IX.96)
ˆ u beschrieben. F¨ ur schwache Felder (Vernachl¨assigung von Termen ∝ A2 ) geht H ¨ber in ˆ = H
p ˆ2 q ˆ + Vˆ (ˆ x) − LB 2µ 2µ
(IX.97)
ˆ wird auf diese Weise ein magnetisches ¨ (vgl. UA, Normaler Zeemann-Effekt). Dem Bahndrehimpuls L Moment µ ˆL u ¨ber q ˆ µ ˆL = (IX.98) L 2µ ˆ 3 die Eigenwert-Gleichung zugeordnet. Da f¨ ur die ausgezeichnete Komponente L ˆ 3 |l, mi = ~m|l, mi L gilt, folgt auch µ ˆL3 |l, mi =
,
m = −l, . . . , +l
(IX.99)
q ~m|l, mi ≡ µB m|l, mi . 2µ
F¨ ur Elektronen ist µB = 927 · 10−26
(IX.100)
J eV = 5, 788 · 10−5 T T
(IX.101)
und heißt Bohrsches Magneton. In einem inhomogenen Magnetfeld B(x) = (0, 0, B(x)) wirkt auf das System die Kraft K = ∂x (mµB B) .
(IX.102)
Bei einer Messung sind m = −l, . . . , +l Indikationen zu erwarten. Wenn kein Bahndrehimpuls (l = 0) vorliegt, wirkt auch keine Kraft. Beim Stern-Gerlach-Versuch wird ein Strahl von Alkali-, Wasserstoff-, Silber-, Kupfer-, oder Goldatomen durch ein stark inhomogenes Magnetfeld geleitet. Alle genannten Atome haben ein Valenzelektron und sind damit in guter N¨ aherung Ein-Teilchen-Systeme. Im Grundzustand, in dem sich ein Valenzelektron unter den gegebenen Bedingungen u ¨berwiegend befindet, gilt aber l = m = 0 (s-Zustand). Es liegt kein Bahndrehimpuls und damit auch kein magnetisches Moment vor. Im Experiment kommt es jedoch zu einer Aufspaltung in zwei Teilstrahlen.
monochromatischer Ag-Strahl inhomogenes Magnetfeld
Schirm
Vom Bahndrehimpuls kann das magnetische Moment nicht stammen. Es wurde experimentell nachgewiesen, daß das magnetische Moment auch nicht vom Atomrumpf (bzw. Atomkern beim Wasserstoffatom) kommt: Bei Ag + u. a. Ionen tritt kein Stern-Gerlach-Effekt auf.
4 Paulische Spinmatrizen
159
Schlußfolgerung: Das Elektron besitzt ein magnetisches Eigenmoment - genannt Spin - vekoppelt mit einem Eigendrehimpuls, der nichts mit der Bahnbewegung zu tun hat. Es gilt j=
1 2
1 1 m = − ,+ 2 2
;
.
(IX.103)
Um zum Ausdruck zu bringen, daß der Spin und nicht ein allgemeiner Drehimpuls betrachtet wird, ersetzt man die allgemeine Drehimpulsquantenzahl j durch die Spinquantenzahl s j→s=
1 2
,
(IX.104)
die magnetische Quantenzahl m durch die magnetische Spinquantenzahl ms m → ms =
1 1 ,− 2 2
,
(IX.105)
und die Operatoren entsprechend Jˆ2 → Sˆ2
4
,
Jˆ3 → Sˆ3
,
usw.
(IX.106)
Paulische Spinmatrizen
Die beiden Spinzust¨ ande s = 12 , ms =
1 2
bzw. s = 12 , ms = − 12 werden mit 1 1 1 1 | , i und | , − i 2 2 2 2
(IX.107)
markiert. Es gelten die Eigenwertgleichungen 1 1 3 1 1 1 Sˆ2 | , ms i = ~2 + 1 | , ms i = ~2 | , ms i 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 Sˆ3 | , ms i = ~m| , ms i = ± ~| , ms i , 2 2 2 2
(IX.108) (IX.109)
wobei h 12 , ms | 12 , ms i = 1, h 12 , 12 | 12 , − 12 i = 0 gilt. Die Vertauschungsregeln (IX.6) u ¨bertragen sich zu h h h i i i ~ ~ ~ Sˆ1 , Sˆ2 = − Sˆ3 , Sˆ2 , Sˆ3 = − Sˆ1 , Sˆ3 , Sˆ1 = − Sˆ2 . (IX.110) i i i F¨ ur Sˆ+ und Sˆ− folgt aus Abschnitt IX.2 r r 1 1 1 1 Sˆ+ | , ms i = ~ − ms + ms + 1| , ms + 1i 2 2 2 2 r r 1 1 1 1 Sˆ− | , ms i = ~ + ms − ms + 1| , ms − 1i 2 2 2 2 1 1 Sˆ+ | , i = |nulli 2 2 1 1 1 1 Sˆ+ | , − i = ~| , i 2 2 2 2 1 1 1 1 Sˆ− | , i = ~| , − i 2 2 2 2 1 1 Sˆ− | , − i = |nulli 2 2
(IX.111) (IX.112) (IX.113) (IX.114) (IX.115) (IX.116)
160
IX.
Drehimpuls und Spin
Wie man sieht, gilt 2 2 Sˆ+ = Sˆ− =0 .
(IX.117)
Die Spin-Eigenzust¨ ande | 12 , 12 i und | 21 , − 12 i spannen einen 2-dimensionalen Unteraum des Hilbertraumes auf und bilden eine Orthonormalbasis. Unter Benutzung dieser Basis erh¨alt man f¨ ur die Operatoren folgende Darstellungen: S2 S+ S− S1 S2 S3
1 3 1 1 0 = h , ms |Sˆ2 | , m0s i = ~2 0 1 2 2 4 1 1 0 1 = h , ms |Sˆ+ | , m0s i = ~ 0 0 2 2 1 1 0 0 = h , ms |Sˆ− | , m0s i = ~ 1 0 2 2 1 Sˆ+ + Sˆ− 1 0 = h , ms | | , ms i = 2 2 2 ˆ ˆ S+ − S− 1 0 1 | , ms i = = h , ms | 2 2i 2 1 1 ~ 1 = h , ms |Sˆ3 | , m0s i = 2 2 2 0
~ 2
~ 2
0 −1
0 1
0 i
(IX.118) (IX.119) (IX.120) 1 0 −i 0
(IX.121) (IX.122) (IX.123)
Die Paulischen Spin-Matrizen sind nun u ¨ber σi =
2 S ~ i
(IX.124)
zu σ1 =
0 1
1 0
,
σ2 =
0 +i
−i 0
0 1
,
σ3 =
1 0
0 −1
(IX.125)
definiert. Zusammen mit I=
1 0
(IX.126)
bilden die Paulischen Spin-Matrizen eine Basis im Raum der 2 × 2-Matrizen. Analog zu den Matrizen definiert man die Paulischen Spin-Operatoren σ ˆ zu σ ˆ=
2ˆ S ~
.
(IX.127)
Die Operatoreigenschaften u urlich auf die Matrizen. So gilt z. B. ¨bertragen sich nat¨ σ 2+ = σ 2− = 0 ,
(IX.128)
σ ± = σ 1 ± iσ 2
(IX.129)
wobei
ist, oder h i 2 σ1 , σ2 = − σ3 i
etc.
(IX.130)
5 Zur Theorie des Elektronenspins
5
161
Zur Theorie des Elektronenspins
Durch den Spin ist die Anzahl der unabh¨angigen Variablen, die das Elektron beschreiben, erh¨oht worden: ˆ der sich im Unterˆ tritt der Eigendrehimpulsoperator S, Neben Orts- und Impulsoperator x ˆ bzw. p ˆ auch nicht auf x ˆ und p ˆ zur¨ uckf¨ uhren l¨aßt. Damit ist klar, daß die schied zum Bahndrehimpulsoperator L Schr¨ odinger-Gleichung in der bis jetzt benutzten Form den Spin nicht zu beschreiben vermag. Es stellt sich heraus, daß der Spin in der relativistischen Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung, der sogenannten Dirac-Gleichung, streng beschrieben wird. Die Dirac-Gleichung wird im Rahmen der Fortsetzungsvorlesung Quantenmechanik II“ behandelt. Hier soll sie nur angegeben, aber nicht ausge” wertet werden. Die Dirac-Gleichung hat die Form (γ j pj − mc)Ψ = 0.
.
(IX.131)
Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. pj ist der vierdimensionale Impulsoperator pj =
~ (∂x1 , ∂x2 , ∂x3 , ∂ct ) i
,
(IX.132)
γ j sind die 4 × 4-Dirac-Matrizen und Ψ ist die vierdimensionale Wellenfunktion Ψ = (Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , )T
.
(IX.133)
Die Dirac-Gleichung liefert neben dem Spin selbst auch einen Wechselwirkungsterm zwischen dem Spin und dem Bahndrehimpuls des Elektrons - die sogenannte Spin-Bahn-Kopplung . Die Spin-Bahn-Kopplung macht die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nicht nur von der Hauptquantenzahl n, sondern auch von der Drehimpulsquantenzahl l abh¨ angig. Die damit verbundene Aufspaltung der Energieniveaus f¨ uhrt auf die Feinstruktur des Spektrums. Die Niveauaufspaltung wird maßgeblich durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α festgelegt. Zwischen der Schr¨ odinger-Gleichung und der Dirac-Gleichung ist die Pauli-Gleichung angesiedelt. Sie ist eine nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Gleichung. Die Pauli-Gleichung hat die Form ˆ Ψ = i~∂t Ψ H
(IX.134)
und sieht damit formal aus wie die Schr¨odinger-Gleichung. Allerdings ist der Pauli-Hamilton-Operator kein skalarer Operator mehr sondern der 2 × 2-Matrizen-Operator 1 2 ˆ ˆ H= (ˆ p − qA) + V (ˆ x) δ + µB σ B , (IX.135) 2µ wobei σ ein dreidimensionaler Vektor“ ist, bei dem die 3 Komponenten die Paulischen Spinmatrizen ” darstellen. Ψ ist zweikomponentig Ψ+ Ψ= (IX.136) Ψ− und erfaßt gerade die beiden Spinquantenzahlen ms = + 21 und ms = − 21 .
6
Pauli-Prinzip
Mit der Einf¨ uhrung des Spins kommt zu den bisherigen Quantenzahlen (Hauptquantenzahl n, Drehimpulsquantenzahl l, magnetische Quantenzahl m) noch die Spinquantenzahl ms hinzu. Die Anzahl der m¨ oglichen Zust¨ ande und ggf. die Entartung von Energieniveaus erh¨oht sich damit um den Faktor 2. F¨ ur eine bestimmte Kombination n, l, m, ms gilt das Pauli-Prinzip oder Ausschließungsprinzip:
162
IX.
Drehimpuls und Spin
Zwei Elektronen eines quantenmechanischen Systems k¨onnen nie in allen Quantenzahlen u ¨bereinstimmen. Dieses Prinzip ist nicht n¨ aher begr¨ undbar; es ist eine Erfahrungstatsache und wird f¨ ur Mehrelektronensysteme zum Axiom erhoben. Es gilt nicht nur f¨ ur Elektronen, sondern f¨ ur alle Teilchen mit halbzahligem Spin - die sogenannten Fermionen. F¨ ur Teilchen mit ganzzahligem Spin - die sogenannten Bosonen - gilt das Ausschließungsprinzip nicht. In Bosonen-Systemen k¨onnen sich beliebig viele Teilchen (z. B. Photonen oder Phononen) im gleichen Zustand befinden.
Kapitel X
Quantenmechanischer Messprozess ¨ Zur Illustration der nachfolgenden Uberlegungen wird ein Modellsystem herangezogen, das an das WasserstoffAtom angelehnt ist, wir nennen es “abger¨ ustetes H-Atom“. Es bestehe nur aus den beiden niedrigsten Niveaus mit den Energie-Eigenwerten U1 und U2 .
U2
|200i, |21-1i, |210i, |211i
U1
|100i
U1 ist nicht entartet, U2 ist 4-fach entartet. Die Zust¨ande |n l mi werden durch die Hauptquantenzahl n (n = 1, 2), die Drehimpulsquantenzahl l (l = 0, . . . , n − 1) und die magnetische Quantenzahl m (m = −l, . . . , l) festgelegt. Der Spin wird nicht betrachtet. Der Hilbertraum des Modellsystems ist damit 5-dimensional. Der Eigenraum zum Energieeigenwert U1 ist 1-dimensional, der zu U2 4-dimensional.
1 1.1
Pr¨ aparation eines Quantensystems Reine Zust¨ ande
Axiom Nr. 4 besagt, dass bei der Messung einer Observablen A ein Eigenwert an mit der Wahrscheinlichkeit P (an ) = |hn|Ψi|2 (X.1) gemessen wird, wenn sich das System vor der Messung im Zustand |Ψi befand. Aber wie kann man den Zustand |Ψi festlegen und das System damit pr¨aparieren? Ein Messprozess selbst beinflusst das System und legt den Zustand des Systems fest. Ausgehend von einem beliebigen Zustand |Ψi befindet sich das System nach der Messung im Zustand |ni, falls an als Messgr¨ osse angezeigt wird. Eine sofortige weitere Messung von A (“quasi-gleichzeitig“) muss nat¨ urlich wieder an liefern; also ist zu fordern P (an )
=
1
P (am )
=
0
(X.2) f¨ ur m 6= n .
(X.3)
Folglich muss nach der ersten Messung |Ψi = |ni
(X.4)
gelten; |Ψi wurde durch die erste Messung auf |ni projiziert. Wenn an nicht entartet ist, ist das System damit eindeutig pr¨ apariert. Es befindet sich im wohlbekannten Zustand |ni. Im Sinne des Axioms Nr. 4 ist also f¨ ur eine weitere Messung nun |Ψi = |ni. In diesem nichtentarteten Fall ist |ni ein so genannter reiner Zustand.
164
X. |Ψi
Zustand: Messwert:
1. Messung
−→
Quantenmechanischer Messprozess |ni an
2. Messung
−→
|ni an
Energie-Messung am abger¨ usteten H-Atom: Die Energiemessung ergebe als Messergebnis den Eigenwert U1 . Dann befindet sich das System im reinen Zustand |100i. Wenn die Energiemessung allerdings den Eigenwert U2 ergibt, ist unklar in welchem Zustand sich das System befindet. Es k¨ onnte |200i oder |21-1i oder |210i oder |211i oder eine beliebige normierte Linearkombination sein. Sicher ist nur, dass der Zustand im Eigenraum von U2 liegt. Ein solcher nur teilweise bekannter Zustand heisst gemischter Zustand.
1.2
Gemischte Zust¨ ande
Wenn bei einer Messung ein entarteter Eigenwert ar angezeigt wird, befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im Eigenraum von ar und alle Zust¨ande in diesem Eigenraum sind m¨oglich. Das System befindet sich dann in einem sog. gemischten Zustand. Auch sofortige wiederholte Messung der gleichen Observablen liefert zwar wiederum den Messwert ar , aber zu einer eindeutigen Pr¨aparation des Systems k¨ ame es dadurch nicht. Eine eindeutige Pr¨aparation ist dennoch m¨oglich, n¨amlich durch die Messung anderer kompatibler Observablen. Dies wird in nachfolgenden Abschnitten beschrieben. Zun¨ achst wird die Handhabung von Gemischen - d.h. Gemischen von Zust¨anden, nicht etwa Gemischen von Systemen - untersucht. Wir nehmen an, das System kann sich in den Zust¨anden |Ψ1 i, |Ψ2 i, . . . , |Ψα i, . . . befinden. Die Zust¨ ande |Ψα i m¨ ussen nicht gleichberechtigt sein, sondern die Zahlen p1 , p2 , . . . , pα , . . . sollen die Zust¨ ande wichten. Es soll gelten X pα = 1
,
0 ≤ pα ≤ 1
.
α
Dann ist pα die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass das System im Zustand |Ψα i vorliegt. Weiterhin wird angenommen hΨα |Ψα i = 1 . Orthogonalit¨ at wird i.a. nicht vorausgesetzt, hΨα |Ψβ i = 6 0 . Der Erwartungswert einer Observablen A beschrieben durch den hermiteschen Operator Aˆ ist f¨ ur ein Gemisch wie folgt zu konstruieren. Der quantenmechanische Erwartungswert im Zustand |Ψα i ist bekanntlich ˆ α = hΨα |A|Ψ ˆ αi . hAi (X.5) Diese Ergebnisse sind nun mit den Gewichten pα klassich zu mitteln, also X ˆ = ˆα hAi pα hAi α
ˆ = hAi
X
ˆ αi . pα hΨα |A|Ψ
(X.6)
α
¨ Das Gemisch ist eine inkoh¨ arente Uberlagerung reiner Zust¨ande, die verschiedenen |Ψα i interferieren nicht. Die quantenmechanische Erwartungswertbildung hingegen geschieht mittels Wahrscheinlichkeitsamplituden und f¨ uhrt zu Interferenztermen.
1.3 Statistischer Operator
165
Messung des entarteten Energieeigenwertes U2 am abger¨ usteten H-Atom: Das System befindet sich nach Messung von U2 in einem gemischten Zustand. Alle Zust¨ande seien gleich gewichtet, also p200 = p21−1 = p210 = p211 =
1 4
.
Folglich ist der Energie-Mittelwert o 1n ˆ ˆ ˆ ˆ h200|H|200i + h21 − 1|H|21 − 1i + h210|H|210i + h211|H|211i 4 1 = {U2 + U2 + U2 + U2 } = U2 . 4 Der Mittelwert des Drehimpuls-Quadrates ist o 1n ˆ 2 |200i + h21 − 1|L ˆ 2 |21 − 1i + h210|L ˆ 2 |210i + h211|L ˆ 2 |211i h200|L 4 3 1 . = ~2 {0 + 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2} = ~2 4 2
1.3
Statistischer Operator
F¨ ur eine einheitliche Handhabung von reinen und gemischten Zust¨anden ist es vorteilhaft, den statistischen Operator ςˆ einzuf¨ uhren: X ςˆ := |Ψα ipα hΨα | . (X.7) α
Der statistische Operator des reinen Zustandes ist als Spezialfall in der Definition enthalten. Das Gemisch wird zu einem reinen Zustand, wenn p1 = 1,
p2 = p3 = . . . = 0
gilt. Der Superscript 1 ist dann u ussig und es schreibt sich f¨ ur den reinen Zustand ¨berfl¨ ςˆ = |ΨihΨ| .
(X.8)
Der Erwartungswert einer Observablen A berechnet sich dann aus ˆ = Sp ςˆAˆ hAi .
(X.9)
Beweis: {|bk i} sei ONB. Sp ςˆAˆ = =
Z X ˆ ki hbk |ˆ ς A|b Zk X X k
=
X
=
X
=
ˆ hAi
ˆ ki hbk |Ψα ipα hΨα |A|b
α
pα
α
Z X ˆ k ihbk |Ψα i hΨα |A|b k
ˆ αi p hΨα |A|Ψ α
α
Eigenschaften des statistischen Operators:
q.e.d.
166
X.
Quantenmechanischer Messprozess
• ςˆ = ςˆ+ • Sp(ˆ ς ) = 1, denn Z Z X X X hbk |ˆ ς |bk i = pα hbk |Ψα ihΨα |bk i k
α
k
=
X
=
X
=
X
=
1
Z X p hΨα |bk ihbk |Ψα i α
α
k
pα hΨα |Ψα i
α
pα
α
q.e.d.
• Sp ςˆ2 ≤ 1, denn Sp ςˆ2
= =
Z X hbk |ˆ ς 2 |bk i Zk X X X α
k
β
=
XX
=
XX
=
XX α
β
≤
X
α
α
pα pβ hΨα |Ψβ i
β
α
Z X hΨβ |bk ihbk |Ψα i k
α β
α
β
p p hΨ |Ψ ihΨβ |Ψα i
β
p
α
=
pα pβ hbk |Ψα ihΨα |Ψβ ihΨβ |bk i
pα pβ |hΨα |Ψβ i|2 | {z } ≤1
X
β
p
β
1
q.e.d.
(X.10)
Die Matrixelemente ςik von ςˆ in der Darstellung mit einer ONB {|bi i} bilden die sog. Dichtematrix ςik = hbi |ˆ ς |bk i .
(X.11)
Die Diagonalelemente sind nichtnegativ, denn ςii
= =
hbi |ˆ ς |bi i X pα hbi |Ψα ihΨα |bi i α
=
X
pα |hbi |Ψα i|2 ≥ 0
q.e.d.
α
Wenn die Zust¨ ande |Ψα i zeitabh¨ angig sind, also |Ψα (t)i, so wird auch ςˆ zeitabh¨angig. Im folgenden wird die Bewegungsgleichung f¨ ur ςˆ (t) abgeleitet. Die Betrachtung erfolgt im Schr¨odinger-Bild. Voraussetzung: Im Zeitintervall (t0 , t) bleibt das System sich selbst u ort. ¨berlassen und wird nicht gest¨ Dann gilt dt pα
0 ˆ (t, t0 ) |Ψα (t0 )i . |Ψ (t)i = U α
=
1.4 Vertr¨ agliche Messungen
167
Weiter gilt ςˆ (t0 )
X
=
pα |Ψα (t0 )ihΨα (t0 ) |
,
α
=
X
ςˆ (t)
=
X
ςˆ (t)
ˆ (t, t0 ) ςˆ (t0 ) U ˆ + (t, t0 ) = U
ςˆ (t)
pα |Ψα (t)ihΨα (t) |
α
ˆ (t, t0 ) |Ψα (t0 )ihΨα (t0 ) |U ˆ + (t, t0 ) pα U
α
.
Differentiation liefert dt ςˆ
ˆ dt U
=
ˆ+ + U ˆ ςˆ (t0 ) dt U ˆ+ ςˆ (t0 ) U
.
Bekanntlich gilt ˆ =H ˆU ˆ i~dt U
,
woraus folgt ˆU ˆ ςˆ (t0 ) U ˆ+ − U ˆ ςˆ (t0 ) U ˆ +H ˆ i~dt ςˆ = H ˆ ˆ i~dt ςˆ = H ςˆ (t) − ςˆ (t) H h i ˆ ςˆ i~dt ςˆ = H, .
(X.12)
Diese Gleichung heisst auch von-Neumann-Gleichung. Sie ist das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung.
1.4
Vertr¨ agliche Messungen
Es soll nun die Frage behandelt werden, wie ein sich in einem gemischten Zustand befindliches System weiter zu behandeln ist, um es schliesslich eindeutig zu pr¨aparieren, d.h. in einen reinen Zustand zu u uhren. ¨berf¨ Betrachten wir zun¨ achst das abger¨ ustete H-Atom, das bei einer Messung der Energie den Eigenwert U2 lieferte und damit in einem gemischten Zustand vorliegt. Die Entartung l¨asst sich reduzieren, wenn Drehimpuls gemessen wird. Ist das Ergebnis der Drehimpuls-Messung l = 0, ist ein reiner Zustand bereits erreicht, denn nur |200i ist m¨oglich. Ist das Ergebnis der Drehimpuls-Messung aber l = 1, liegt wiederum ein Gemisch aus |21 − 1i, |210i, |211i vor. Diese Entartung l¨asst sich nun ˆ 3 gemessen wird. vollst¨ andig aufheben, wenn zus¨ atzlich noch die Bahndrehimpuls-Komponente L Als Ergebnis ergibt sich |21 − 1i oder |210i oder |211i. In jedem Fall liegt dann ein reiner Zustand vor und das System ist eindeutig pr¨apariert. Wichtig ist, dass die drei nacheinander ausgef¨ uhrten Messungen vertr¨ aglich sind, d.h. dass bei den Messungen u ¨berhaupt die gleichen Eigenvektoren ˆ 3 miteinander kommutieren und damit ˆ L ˆ 2 und L erreicht werden. Das ist aber der Fall, da H, vertr¨ aglich sind und ein gleiches Eigenvektor-System besitzen: h i h i h 2 i ˆ L ˆ2 = 0 , ˆ L ˆ3 = 0 , ˆ ,L ˆ3 = 0 . (X.13) H, H, L Um diese Vertauschbarkeit zu verdeutlichen, betrachten wir in Ortsdarstellung die Operatoren (vgl. (IV.354), (IV.352) und (IV.250)): ˆ3 L
=
ˆ2 L
=
ˆ H
=
~ ∂ϕ i
(X.14)
1 1 ∂θ sin θ∂θ + ∂2 sin θ sin 2 θ ϕ ~2 1 ~2 1 2 − ∂ r ∂ + V (r) − Λ r r 2µ r2 2µ r2 −~2 Λ = −~2
(X.15) (X.16)
168
X.
Quantenmechanischer Messprozess
Die Vertauschbarkeit ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Schwarz. Pr¨ aparation des abger¨ usteten H-Atoms: ˆ H
|Ψi −→ oder |Ψi
ˆ H
−→
|100i
ist bereits reiner Zustand
|2 . . .i
Gemisch aus 4 Zust¨anden ˆ2 L
|2 . . .i oder
−→
|2 . . .i
−→
ˆ2 L
|200i
reiner Zustand
|21 . . .i
Gemisch aus 3 Zust¨anden ˆ3 L
|21 . . .i oder
−→
|21 . . .i oder
3 −→
|21 . . .i
3 −→
ˆ L
ˆ L
|21 − 1i
rein
|210i
rein
|211i
rein
Die Verallgemeinerung liegt nun auf der Hand. F¨ ur eine eindeutige Pr¨aparation eines Systems in einen reinen Zustand sind hinreichend viele Observable in die Messung einzubeziehen, wobei diese Observable untereinander vertr¨ aglich sein m¨ ussen. Durch die Nacheinanderausf¨ uhrung der Messung aller vertr¨aglicher Observablen wird die Entartung immer weiter eingeschr¨ankt bis schliesslich ein reiner Zustand vorliegt. Man sagt, dass ein vollst¨ andiger Satz von vertr¨aglichen Observablen notwendig ist, um ein System in einen reinen Zustand zu pr¨ aparieren.
1.5
Nichtvertr¨ agliche Messungen
F¨ ur zwei Observable, die nicht vertauschbar sind, gibt es kein gemeinsames Eigenvektorsystem. Es ist somit nicht m¨ oglich, nicht vertauschbare Observablen gleichzeitig (oder quasi-gleichzeitig) zu messen. Exemplarisch betrachten wir h i ˆ2, L ˆ3 = − ~ L ˆ1 . L (X.17) i ˆ 3 , dann wird ein Ausgangszustand |Ψi auf einen Eigenvektor von L ˆ 3 projiziert. F¨ Misst man L ur eiˆ 2 kann man den sich einstellenden Messwert nur mit der ne unmittelbar darauffolgende Messung von L ˆ 3 ) wird Wahrscheinlichkeit gem¨ ass Axiom Nr. 4 erhalten. Der urspr¨ ungliche Zustand (Eigenzustand von L ˆ 2 zunichte gemacht, denn es stellt sich ein Eigenzustand von L ˆ 2 ein und der ist nicht bei der Messung von L ˆ3. L ˆ 2 und L ˆ 3 lassen sich nicht gleichzeitig messen - genauer gesagt, gleichzeitig ein Eigenzustand von L nicht gleichzeitig scharf messen. Die Unsch¨arfe wird gerade durch die Heisenberg’sche Unsch¨arferelation bestimmt, die in Gleichung (IV.100) f¨ ur x ˆ und pˆ forumuliert wurde und sich auf beliebige nichtkommutierende Observable verallgemeinern l¨ asst.
2
Quanten-Zeno-Effekt
Betrachtet werde ein quantenmechanisches diskretes System, dass unmittelbar nach der Messung der Observablen A zur Zeit t0 im nichtentarteten Eigenzustand |ai vorliegt. Das System ist somit eindeutig pr¨ apariert. Der Eigenwert sei a. Das quantenmechanische System wird als ein zeitabh¨angiges System betrachtet; es darf sogar eine explizite ˆ (t) vorliegen. Dann entwickelt sich das System zeitlich und die zeitliche (¨ aussere) Zeitabh¨ angigkeit H ˆ (t, t0 ) beschrieben, wobei U ˆ durch H ˆ bestimmt Entwicklung wird durch einen Zeitentwicklungsoperator U
2 Quanten-Zeno-Effekt
169
wird. Es gilt im Schr¨ odinger-Bild ˆ (t, t0 ) |ai . |Ψ (t)i = U (X.18) ˆ (t, t0 ) stetig aus dem identischen Operator Iˆ F¨ ur t > t0 wird |Ψ (t)i i.a. kein Eigenzustand von Aˆ sein. Da U hervorgeht, bewegt sich |Ψ (t)i stetig von |ai weg. Wird nun Aˆ in kurzen Abst¨anden wiederholt gemessen, bevor sich |Ψ (t)i weit von |ai entfernt hat und nahe an andere Eigenzust¨ande |a0 i gelangt, so ist die Wahrscheinlichkeit hoch (nahe bei 1), wiederum a zu messen: P (a) = |ha|Ψ (t) |2 ≤ 1
.
(X.19)
∼
Der Zustand |Ψ (t)i wird dann durch die Messung wieder auf |ai zur¨ uckprojiziert. Durch wiederholte Messung kann somit die dynamische Entwicklung eines quantenmechanischen Systems vollst¨andig unterbunden werden. Das Quantensystem wird in seinem Zustand |ai eingefroren“. Man nennt dies den ” Quanten-Zeno-Effekt. Zenon (490 - 430 BC), griechischer Philosoph, der das Paradoxon von Achilles und der Schildkr¨ ote formuliert hat, nachdem jegliche Bewegung logisch unm¨oglich sein sollte. In der klassischen Mechanik ist der Zeno-Effekt unm¨oglich; der Quanten-Zeno-Effekt ist demgegen¨ uber keine Paradoxie. Er ist experimentell nachgewiesen und eine direkte Folge der Besonderheiten des Messprozesses in der Quantenphysik. Beispiel: Ein Quantensystem besitze die beiden Eigenzust¨ande |ai und |a0 i.
|a0 i
|Ψ (t)i
α (t) |ai |Ψ (t)i dreht sich entsprechend α (t) stetig aus |ai heraus. Wenn t gen¨ ugend klein ist, gilt P (a) 0
P (a )
= =
|ha|Ψ (t)i|2 = cos2 α (t) , 0
(X.20)
2
2
|ha |Ψ (t)i| = sin α (t) ,
cos α (t) sin α (t),
wenn α π/2
(X.21) ,
P (a) P (a0 )
(X.23)
Die Gesamtdynamik des Systems wird damit durch zwei Anteile bestimmt: Dynamik I: Dynamik II:
ˆ (t, t0 ) bzw. H ˆ (t) U Messprozess |Ψ (t)i
−→ Projizieren oder Kollaps“ ”
(X.22)
|ai
170
X.
Quantenmechanischer Messprozess
Kapitel XI
Verschr¨ ankung 1
Zusammengesetzte quantenmechanische Systeme
Betrachtet werde ein System, das aus zwei Untersystemen zusammengesetzt ist. Die Untersysteme werden mit A und B bezeichnet. A und B stehen in Verbindung und wechselwirken miteinander. Beispiele:
A
B
• System aus zwei Teilchen • System aus zwei Photonen • System aus Atom und Photon • System aus einem Atom mit einem Bahnfreiheitsgrad und einem Spinfreiheitsgrad An den jeweiligen einzelnen Untersystemen k¨onnen getrennt voneinander Messungen durchgef¨ uhrt werden. Der Einfachheit halber betrachten wir Modell-Untersysteme, die sich je nur in 2 nichtentarteten Zust¨ anden befinden k¨ onnen. Folgende Bezeichnungen werden eingef¨ uhrt: Untersystem A |1i |2i
Untersystem B |ui |vi
Am Untersystem A wird eine bestimmte Observable gemessen (die nicht weiter spezifiziert werden soll) und als Eigenzust¨ ande ergeben sich |1i oder |2i. Am Untersystem B wird i.a. eine andere Observable gemessen und als Eigenzust¨ ande ergeben sich |ui oder |vi. Alle Zust¨ande sind normiert und es gilt h1|2i =
0 ,
(XI.1)
hu|vi =
0 .
(XI.2)
Alle Zust¨ande seien rein. Nun werden die beiden Untersysteme zusammen als ein System (Gesamtsystem) betrachtet. Bei einer Doppelmessung sind folgende Kombinationen m¨oglich: (1 u), (1 v), (2 u), (2 v).
172
XI.
Verschr¨ ankung
Die Zust¨ ande des Gesamtsystems nach einer Doppelmessung werden nun folgendermassen definiert: |1ui := |1i|ui
(XI.3)
|1vi := |1i|vi
(XI.4)
|2ui := |2i|ui
(XI.5)
|2vi := |2i|vi
(XI.6)
Die rechten Seiten stellen sog. Produktzust¨ande dar. Konjugation wird definiert durch |1ui+ := h1u| := hu|h1|
(XI.7)
h1u|2vi := h1|2ihu|vi
(XI.8)
usw. Skalarprodukte werden definiert durch
usw., also untersystemweise“. ” Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems ergibt sich dann als Linearkombination (Superposition): |Ψi = c1u |1ui + c1v |1vi + c2u |2ui + c2v |2vi .
(XI.9)
Die c’s sind komplexe Zahlen. Befindet sich das System in einem allgemeinen Zustand |Ψi, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Doppelmessung z.B. Untersystem A im Zustand |1i zu erhalten und Untersystem B im Zustand |ui gegeben durch P (1, u)
= |h1u|Ψi|2
(XI.10) 2
= |c1u h1u|1ui + c1v h1u|1vi + c2u h1u|2ui + c2v h1u|2vi|
(XI.11)
= |c1u h1|1ihu|ui + c1v h1|1ihu|vi + c2u h1|2ihu|ui + c2v h1|2ihu|vi|2
(XI.12)
= |c1u |2
(XI.13)
.
Das System geht in diesem konkreten Fall mit der angegebenenWahrscheinlichkeit in |1ui u ¨ber: |Ψi −→ |1ui .
(XI.14)
Wird nur am Untersystem A gemessen und stellt sich dort z.B. der Zustand |1i ein, dann gilt f¨ ur den Gesamtzustand: |Ψi −→ |Ψ0 i = =
c01u |1ui + c01v |1vi |1i (c01u |ui
+
c01v |vi)
(XI.15) .
(XI.16)
|Ψ0 i ist hier ein Produktzustand und muss nat¨ urlich normiert sein.
2
Verschr¨ ankte Zust¨ ande
Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems wurde im Abschnitt XI.1 in der Form |Ψi = c1u |1ui + c1v |1vi + c2u |2ui + c2v |2vi
(XI.17)
dargestellt. Hierin sind u.a. auch Zust¨ ande enthalten, die sich nicht als Produktzust¨ande schreiben lassen, z.B. 1 |Ψi = √ (|1ui + |2vi) . (XI.18) 2
3 EPR-Paradoxon Offensichtlich ist
173
1 |Ψi = √ (|1i|ui + |2i|vi) 2
(XI.19)
nicht faktorisierbar. Solche nicht faktorisierbaren Zust¨ande heissen verschr¨ankte Zust¨ande. Man sagt dann auch, die beiden Untersysteme sind verschr¨ankt. F¨ ur einen solchen verschr¨ankten Zustand kann man insbesondere nicht mehr sagen, das Untersystem A befindet sich im Zustand |1i (oder |2i) und das Untersystem B im Zustand |ui (oder |vi). Weder Untersystem A noch Untersystem B haben einen bestimmten Zustand; ihre Zust¨ ande sind in bestimmter Weise u ¨berlagert und miteinander korreliert. Nun werden Messungen am System ausgef¨ uhrt, dass sich in einem verschr¨ankten Zustand befindet. Exemplarisch betrachten wir 1 (XI.20) |Ψi = √ (|1ui + |2vi) . 2 Zun¨ achst wird die zugeh¨ orige Observable des Untersystems A gemessen. Das Untersystem A wird damit auf |1i oder |2i projiziert. Das Gesamtsystem geht dann u ¨ber in (a) |Ψi −→ |1ui oder (b) |Ψi −→ |2vi . Das Untersystem B befindet sich dann im Zustand |ui unter der Bedingung, dass Untersystem A im Zustand |1i angelangt ist. Das Untersystem B kann sich aber auch im Zustand |vi befinden, unter der Bedingung, dass Untersystem A im Zustand |2i angelangt ist. Wir wollen nun der Einfachheit halber voraussetzen, dass die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Eintreten von |1i oder |2i gleich sind, also 1/2 und ebenso die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur |ui oder |vi auch gleich 1/2 sind. In einem klassischen System w¨are dann die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, das System z.B. in |1vi vorzufinden, 12 · 21 = 14 . Im o.g. Quanten-Fall ist jedoch die Wahrscheinlichkeit 0, das System bei |1vi vorzufinden, wenn es sich vor der Messung im verschr¨ankten Zustand befand. Im Verschr¨ ankungs-Fall kommen bedingte Wahrscheinlicheiten zur Anwendung, im faktorisierbaren Fall kom¨ men unabh¨ angige Wahrscheinlichkeiten zur Anwendung. Diese Uberlegung hat weitreichende Konsequenzen. Geht z.B. Untersystem B bei einer Messung an diesem Untersystem in Zustand |vi u ¨ber, so geht automatisch Untersystem A in Zustand |2i u ¨ber, ohne dass dort direkt gemessen wird.
3
EPR-Paradoxon
EPR steht f¨ ur Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen, die 1935 ein Gedankenexperiment vorschlugen, das von den Autoren zuungunsten der Quantentheorie konzipiert wurde. Hier wird eine modifizierte Version dieses Gedankenexperiments vorgestellt. Das Gedankenexperiment mutet zun¨ achst seltsam an und kann zun¨ achst durchaus Zweifel an der Quantentheorie aufkommen lassen. Mittlerweile ist das Gedankenepxeriment jedoch als reales Experiment verwirklicht worden - und die Quantentheorie wurde bestens best¨ atigt. Betrachtet wird ein Versuchsaufbau wie in der Abbildung dargestellt. Im Zentrum der Anordnung wird ein Paar von Photonen erzeugt, die in entgegengesetzte Richtung entlang z davon fliegen. Dieses Photonenpaar stellt das quantenmechanische System dar. Jedes einzelne Photon ist ein Untersystem. Die Photonenquelle ist so beschaffen, das sie u ¨ber einen speziellen atomaren Prozess
174
XI.
Verschr¨ ankung
x
x
y
Quelle Analysator I
y Analysator II
Die Quelle erzeugt zwei verschr¨ ankte Photonen, die in positive und negative z-Richtung fliegen. Die Analysatoren sind parallel ausgerichtet und messen die Polarisationsrichtung der Photonen. Die der Polarisationsrichtung entsprechende Observable sei PR und der zugeh¨orige Operator PˆR . PˆR habe f¨ ur das Untersystem Linkes Photon“ zwei reine Eigenzust¨ande: |xi und |yi. F¨ ur das Untersystem Rechtes ” ” Photon“ gilt das gleiche. Der allgemeine Zustand des Gesamtsystems ist dann |Ψi = cll |xxi + clr |xyi + crl |yxi + crr |yyi ,
(XI.21)
wobei entsprechend der Definition in Kapitel XI |xxi = |xil |xir ,
|xyi = |xil |yir
etc.
(XI.22)
gilt.
die beiden Photonen verschr¨ ankt. Die Verschr¨ankung besteht darin, dass die Polarisationen der beiden Photonen im gleichen quantenmechanischen Zustand sind. Es werden mit gleicher H¨aufigkeit immer nur die Messwertpaare (x, x) oder (y, y) registriert. x und y bezeichnen die jeweils gemessenen Polarisationsrichtungen. Der verschr¨ ankte Zustand ist 1 |Ψi = √ (|xxi + |yyi) 2
.
(XI.23)
In |xxi steht das linke x f¨ ur das nach links fliegende Photon, das auf den Analyator I trifft und das rechte x f¨ ur das nach rechts fliegende Photon, das auf Analysator II trifft. F¨ ur |yyi gilt entsprechendes. Wir k¨ onnen weder f¨ ur das linke noch f¨ ur das rechte Photon sagen, das es in x- oder in y-Richtung polarisiert ist. W¨ aren beide Photonen x-polarisiert, dann w¨ urde |Ψi = |xxi
(XI.24)
gelten. So ist es aber nicht; die Photonen werden in keinem bestimmten Polarisationszustand x oder y erzeugt, sondern in dem verschr¨ ankten Zustand. Daf¨ ur sorgt der atomare Prozess in der Quelle. Die Projektion in eine bestimmte Polarisationsrichtung erfolgt beim Messprozess, d.h. wenn ein Photon auf einen Analysator trifft. Wenn das linke Photon beim Messprozess am Analysator I in x projiziert wird, wird auch das rechte Photon in x projiziert. Nun stellen wir uns vor, der Abstand des rechten Analysators II von der Quelle sei geringf¨ ugig gr¨osser als der des linken. Ausserdem seien die Abst¨ ande gross, z.B. einige Km. Das linke Photon wird dann zuerst gemessen, also in x oder y projiziert. Das rechte Photon zeigt dann unmittelbar danach den gleichen Messwert. ¨ Paradoxon: Wie kann das rechte Photon so schnell (also mit Uberlichtgeschwindigkeit) von der Projektion des linken Photons erfahren haben? Einstein sprach von spukhafter Fernwirkung“ und zweifelte die Vollst¨andigkeit der Quantentheorie an. ”
3 EPR-Paradoxon
175
Die Antwort ist aber: Die verschr¨ ankten Photonen bilden bis zur Messung ein gemeinsames Gesamtsystem korrelierter Untersysteme, auch wenn sie weit voneinander entfernt sind, und wissen immer voneinan” der“. Solche Quantensysteme sind nicht lokal! Nun ja: Man k¨ onnte den Verdacht hegen, vielleicht wird den Photonen bei ihrer Erzeugung doch schon eine gemeinsame Polarisationsrichtung aufgepr¨agt, die uns aber verborgen bleibt. Die Polarisation w¨are dann ugelten Experimenten konnte aber widerlegt werden, dass es eine sog. verborgene Variable. Mit ausgekl¨ verborgene Variable gibt. Bei Existenz verborgener Variable m¨ usste die sog. Bell’sche Ungleichung gelten. F¨ ur die Situation der verschr¨ ankten Photonen ist die Bell’sche Ungleichung aber verletzt.
176
XI.
Verschr¨ ankung
Kapitel XII
Dekoh¨ arenz (Decoherence) In diesem Kapitel soll die Frage er¨ ortert werden, warum zwischen Quantenobjekten und klassischen Objekten (Makroobjekten) unterschieden wird und zwei unterschiedliche Theorien zur Anwendung kommen. Wann und wie gehen denn Quantenobjekte in Makroobjekte (und vice versa) u ¨ber? Gibt es eine Schnittstelle? Ist sie eine Frage der Ausdehnung; sind Quanten eben klein und klassische Objekte groß? Die Gr¨ oße kann es aber nicht wirklich sein, denn das Quantenobjekt Supraleiter“ hat makroskopische Ausdehnung! ” Also woran liegt es, dass z.B. Katzen oder die Orbits von Planeten nicht durch eine Schr¨odinger-Gleichung beschrieben werden? Zum Begriff Dekoh¨ arenz: Koh¨ arenz := Interferenz-F¨ ahigkeit eines Systems in einer Superposition. Dekoh¨ arenz := keine Interferenz-F¨ahigkeit bei Superposition.
1
Schr¨ odingers Katze
Schr¨ odinger hat Mitte der dreißiger Jahre die Frage nach dem Verh¨altnis von Quantenobjekten und Makroobjekten in einem Gedankenexperiment auf die Spitze getrieben, dass den Namen Schr¨odingers ” Katze“ erhielt. In diesem Gedankenexperiment verbindet er Zust¨ande von Quantenobjekten unmittelbar mit Zust¨ anden von Makroobjekten (z.B. einer Katze). Die typische Eigenschaft von Quanten ist bekanntlich, dass sie sich in beliebigen Zust¨ anden befinden k¨onnen. Auf Eigenzust¨ande werden diese allgemeinen ¨ Zust¨ ande erst bei einer Messung projiziert. Die Ubertragung der allgemeinen Zust¨ande von Quantenobjekten auf Makroobjekte f¨ uhrt zu seltsamen Erscheinungen. Gedankenexperiment: • Radioaktive Substanz + Geiger-Z¨ahler + Hammer + Giftampulle + Katze in einer isolierten Box • Radioaktive Substanz sei so beschaffen, dass im Mittel ein Zerfall pro Stunde • Bei einem Zerfall spricht Geigerz¨ahler an und l¨ost einen Mechanismus aus, u ¨ber den der Hammer die Giftampulle zerschl¨ agt und die Katze stirbt. Problem: • Radioaktive Substanz ist ein Quantensystem, z.B. Atom • Als Observable wird der Zerfall zˆ betrachtet • zˆ hat zwei nichtentartete Eigenzust¨ande
178
XII.
Dekoh¨ arenz (Decoherence)
|2i |1i Atom ist nicht zerfallen (1 Teilchen) |2i Atom ist zerfallen (2 Teilchen) |1i ˆ betrachtet • Als Observable der Katze wird K ˆ hat ebenfalls zwei Eigenzust¨ • K ande |ti |ti tot |li lebend |li • |1i und |li korrespondieren unmittelbar miteinander, ebenso wie |2i und |ti ˆ beschrieben • Zeitentwicklung des Quantensystems wird durch den Zeitentwicklungsoperator U • Bei t = 1 h gilt f¨ ur den Atom-Zustand |ΨA (t)i des Quantensystems im Schr¨odinger-Bild ˆ (t, 0) |1i , |ΨA (t)i = U wenn zur Startzeit t = 0 das Atom als nicht zerfallen pr¨apariert wurde |2i
• Nun sei z.B. bei t = 1h |Ψ (t)i |1i |ti
• Zustand der Katze bei t = 1h |Ψk (t)i |li ¨ • Uberlagerungszust¨ ande einer gleichzeitig lebenden und toten Katze sind nicht bekannt
2
¨ Zerst¨ orung von Uberlagerungszust anden ¨
Auf das Paradoxon mit Schr¨ odingers Katze gibt es zwei Versionen der Erkl¨arung. ¨ Altere Version (Kopenhagener Schule):
(XII.1)
¨ 2 Zerst¨ orung von Uberlagerungszust¨ anden
179
• Grundidee: Allgemeine Quantenzust¨ande werden bei einer Messung einer Observablen des Systems auf einen Eigenzustand projiziert; Sprachgebrauch nach der Kopenhagener Schule ist Reduktion auf einen Eigenzustand oder Kollaps in einen Eigenzustand hinein. • Messung von zˆ liefert entweder |1i oder |2i mit den angenommenen Wahrscheinlichkeiten von je 1/2 ˆ liefert entweder |li oder |ti ebenfalls mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2 • Messung von K ˆ bedeutet aber, man muss in der Box nachschauen • Messung von K ¨ • Erl¨ osung“ der Katze aus ihrem Uberlagerungszustand wird damit vom Beobachter(!) abh¨angig ” • Erkl¨ arung ist nicht f¨ ur jedermann befriedigend Neuere Version (Dekoh¨ arenz): • Grundidee: Makroobjekte sind nicht wirklich von ihrer Umgebung isolierbar, Quantenobjekte schon; die unvermeidbare Wechselwirkung von Makroobjekten mit ihrer Umgebung wirkt wie eine Vielzahl von Messungen, die die Interferenz-F¨ahigkeit zerst¨ort • F¨ ur Modellsysteme bestehend aus einem Quantenobjekt + Umgebung kann eine Zeit ausgerechnet ¨ werden, ab der die Interferierbarkeit von Uberlagerungszust¨ anden verloren geht • Zeit heißt Dekoh¨ arenz-Zeit tD ∼ wobei T Temperatur des Systems, m Masse des Systems • F¨ ur Makrosysteme ist tD extrem kurz.
1 T ·m
,
(XII.2)
