Propiedades de los sistemas (con ecuaciones) Linealidad: Para verificar si un sistema es lineal requerimos que le sistema sea homogéneo y aditivo es decir, cumplir con la superposición. Método: Dada una entrada o señal , podemos tener otra señal arbitraria en paralelo , después a cada una la multiplicamos por un escalar y las sumamos; decimos que este , conjunto es una NUEVA entrada multiplicada por un escalar “a” produce Ahora pensemos que si una señal de entrada , y por otro lado, otra señal multiplicada por un escalar “b” produce una salida una salida , entonces Si las señales fueran lineales la salida esperada seria
Comencemos con un ejemplo. sea Lineal
Verifica que
Obsérvese, la salida es el cuadrado de la entrada. 1. Suponemos otra señal similar a esta, por lo tanto tendremos con índice 1 y 2. 2. Ambas las multiplicamos por un escalar y al final las sumamos, esto es la entrada con índice 3 3. Operamos y comparamos con la salida esperada, si no se parece no es lineal. Si
, Por escalar “a” es
,
Así también
, Por escalar “b” es
Que si
entonces
Y si hacemos operaciones tendríamos como resultado
Que es diferente a lo que se esperaba
=
Por lo tanto este sistema no cumple con la linealidad. INVARIANCIA Una entrada , produce una salida ahora consideremos una segunda , que será la versión desplazada de , entrada , y la salida de la entrada 2 es
Si observamos que su salida 2 es una réplica de la salida 1 desplazada, para todo “t” y cualquier función, entonces la señal es INVARIANTE en tiempo.
Segundo ejemplo para verificar Linealidad e invariancia: |
|,
|
|,
0
∞
Solución. Probar linealidad
|
|,
|
|,
|
|,
Donde Que esperando este resultado
|
|
¿Pregunta es lo mismo? :
|
tenemos |
|
|
?
|
|
|
|
Resolvamos numéricamente: supóngase a=b=1, entrada1=2, entrada2=‐1 |2
1|
?
|2|
| 1| NO es igual. No es Lineal.
Probando si es invariante.
Desplazamos la entrada:
|
|
y su salida es |
|
|
Pero obsérvese que se esperaría esto
|
Que en general no es lo mismo. Por lo tanto tampoco es invariante. Estabilidad Con respecto al comportamiento entrada‐salida, se fija un límite al sistema y se espera que la magnitud de la entrada no crezca hasta traspasar la barrera propuesta, si se pasa se consideraría INESTABLE y si se mantiene dentro de los limites es ESTABLE. Ejemplo. Probando estabilidad Para
|
| 0
∞
De antemano reflexionamos que n puede ser un poco menos de infinito, entonces ¿que tan grande puede ser? Supóngase que la entrada es una secuencia “escalón” con magnitud A Obsérvese gráficamente la entrada y su salida
Por lo tanto, la salida es muy grande y por lo tanto es inestable. Causalidad Si la salida no precede a la entrada, por ejemplo si existe una salida en n=‐1 (antes del cero), y que se supone que nuestra primer muestra debe empezar en n=0.
Ejercicios: 1.0 Determina en cada sistema si es causal, lineal, invariante y estable a) y(n)= x(n + 1) b) y(t)= x(t ‐ 4) c)
,
0
d) y(t)=kx(t) e) f) g) 4 h) sin 5 i) cos 2 3 j) Por el alumno
Secuencias Una señal continua puede convertirse en una señal discreta muestreando la señal, con un periodo T definido.
Por supuesto el tiempo de muestreo es fijo.
Secuencia Impulso (unitario)
Secuencia constante (magnitud A)
Secuencia escalon (unitario)
Secuencia Lineal
Secuencias y desplazamientos especiales (Se requiere habilidad matemática de determinados desplazamientos para análisis y diseño) Podemos tener desplazamientos de impulsos o de escalones que son los más comunes. 1, 1, 0, 0,
Y la descripción general de cualquier secuencia, con impulsos:
La notación de la secuencia de impulsos entonces para la siguiente figura de forma general es 2 2 3 1 2 1 2 2
Aplicación en EXAMEN1 Examen tipo 1 Parte Teórica: 1. Define sistema(4 ideas) y presenta clasificación (3) 2. Menciona las propiedades básicas de los sistemas (4) y explica c/u. con un ejemplo. 3. Define señal(3 ideas) 4. Presenta clasificación de señales. Nombre, grafica y explicación con ECUACION NECESARIA, donde exista. (11) 5. Presenta las funciones básicas a utilizar. Nombre, grafica y ecuación. (8) Parte Práctica: 6. Convierte una señal continua a discreta y viceversa. 7. Verifica si el sistema dado es lineal, invariante, estable y causal. 8. Identifica las señales presentadas y comprueba de que tipo son y porque. 9. Presenta la notación de secuencias de las graficas presentadas. 10. Presenta en MATLAB lo mismo de la práctica a mano.
