Colegio de Educación Profesional Técnica del Estado de Colima ORGANISMO PUBLICO DESCENTRALIZADO DEL GOBIERNO DEL ESTADO DE COLIMA

Plantel 061 “Prof. Gustavo Alberto Vázquez Montes” Manzanillo, Col.

Módulo: Manejo de espacios y cantidades Unidad 3. Aplicación de funciones algebraicas Actividad 02. Aplicar funciones algebraicas en el modelaje y resolución de situaciones reales de su vida cotidiana. PSP. L.A.R.M. Agustín Espíritu Romero

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS. Los métodos de solución algebraicos y numéricos, son procedimientos que ayudan a resolver con exactitud un sistema de ecuaciones, es decir, es encontrar una pareja de valores que al sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones del sistema éstas se satisfacen. En los métodos algebraicos, como su nombre lo indica, se utilizan procesos algebraicos, como son: la suma o resta de polinomios, simplificación de términos semejantes, despejes de variables, así como la sustitución de las mismas, entre otros. Métodos de Reducción. Éstos consisten en simplificar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de tal manera, que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente sustituirlo y encontrar el valor restante. Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación. Suma o resta. La gráfica de un sistema no siempre es suficiente para encontrar su solución, por ello, se requiere de utilizar métodos que permitan encontrarla con exactitud, a continuación, con los siguientes ejemplos se representará el método de suma o resta. Ejemplo 1. Un salón de belleza cobra $630 por hacer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes de Agosto registró haber efectuado 107 servicios entre reflejos y maquillaje, que representaron un ingreso de $61110. ¿Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo? Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo representa. Asignación de variables. x : Número de reflejos.

y : Número de maquillajes.

El método de suma o resta consiste en convertir el sistema de 2 x 2, en una ecuación lineal con una incógnita que puedas despejar, se logra mediante los siguientes pasos: A continuación se etiquetarán las ecuaciones del sistema para ayudar en la explicación del método.

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1. Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elijas te llevará a la misma solución). 2. Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se multiplica la ecuación A por − 450, quedando de la siguiente forma:

3. Se efectúa la reducción de términos.

Quedando así una ecuación con una incógnita. 4. Se despeja la variable para encontrar su valor.

5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de una incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla.

6. La solución x = 72 y y = 35; la interpretación de la solución es: 184 RESUELVE ECUACIONES LINEALES II El salón en el mes de Agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes. Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para comprobar que la solución es correcta. La gráfica de este sistema es la siguiente:

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Ejemplo 2. Resolver

el

sistema

por el método de suma o resta.

1. Se etiquetan las ecuaciones.

2. Se elige la variable u para eliminar, así que se requiere que ambas ecuaciones tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para ello se multiplica la ecuación A por – 5 y la ecuación B por 2, como se muestra a continuación.

3. Ahora se lleva a cabo la reducción de términos semejantes.

UE 7 4. Se despeja la ecuación.

5. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en esta ocasión se sustituirá en A y posteriormente se despejará la ecuación obtenida.

6. La solución es u = −5 y v = 4

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Sustitución. Como su nombre lo dice, el método de sustitución consiste en despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituir en la otra, a continuación se muestra el método de sustitución con los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Un hombre rema río abajo a una velocidad de 13 Km/h y río arriba 3Km/h. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río. Asignación de variables. x : Velocidad del bote en agua tranquila. y : Velocidad del río. Cuando el bote va río abajo, la velocidad que lleva el río está a su favor; la ecuación que representa esta situación es: x + y = 13 Cuando el bote va río arriba, va remando contra corriente, porque la velocidad del río hace disminuir su velocidad; la ecuación que lo describe es: x−y=3 Por lo tanto el sistema que describe al problema es:

Para resolver el sistema por el método de sustitución se seguirán los siguientes pasos:

1. Primero se etiqueta el sistema.

2. Ahora se elige una ecuación para despejar una de las variables, en este caso elegiremos despejar x en la ecuación A.

3. Como todavía no se ha transformado en una ecuación con una incógnita, se toma el despeje y se sustituye en la ecuación que no se ha utilizado, es decir, se sustituye en B.

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4. Se reducen los términos semejantes y se despeja la variable.

5. Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje que se hizo de la otra variable (paso 2), para encontrar su valor.

6. Por lo que la solución es x = 8 y y = 5 , tenemos que el bote rema a una velocidad de 8 Km/h y la velocidad del río es 3 Km/h .

Ejemplo 2. Para resolver el

sistema primero se eliminan los paréntesis y se acomoda el sistema.

Para resolverlo por el método de sustitución, se desarrollan los siguientes pasos. 1. Se etiqueta el sistema.

2. Se elige la ecuación B para despejar “y”.

3. Se sustituye el despeje en la ecuación A.

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4. Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes.

5. Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje (paso 2), y se encuentra el valor de la variable restante.

6. La solución es x = 4 y y = 9. Sustituye los valores en el sistema para que compruebes que lo satisface.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS. Los métodos de Reducción (suma o resta, sustitución e igualación) consisten en reducir el sistema de 3x3 a un sistema de 2x2, y posteriormente, reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita, la cual es despejada para encontrar el primer valor y después se va sustituyendo para encontrar el segundo y tercer valor. A continuación se desarrollarán los métodos para poder dar solución a los problemas que plantean estos sistemas de ecuaciones. Métodos de Reducción. Suma o resta. Se ejemplificará el método siguiendo el desarrollo de un ejemplo, en éste se mostrará cómo se va reduciendo el sistema de 3 x 3 a un sistema de 2 x 2, para finalmente reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita. Ejemplo. Para resolver el sistema

se seguirán los siguientes pasos:

1. Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.

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2. Elegir una de las variables para eliminar. En este caso se elige la “y” por ser la más sencilla de eliminar. 218 RESUELVE ECUACIONES LINEALES III 3. Se elige la ecuación A y C para eliminar “y” realizando la suma o resta correspondiente en cada uno de los términos.

4. Se elige la ecuación B y la ecuación C, ésta última se multiplica por dos para poder eliminar “y”.

5. Se toman las dos ecuaciones para formar un nuevo sistema. Se etiquetan de igual manera las ecuaciones del nuevo sistema.

6. Se elige la variable “x” para eliminar, multiplicando la ecuación D por 3 y la ecuación E por – 5 y procediendo a sumar o restar en cada término.

7. Se despeja la variable z.

8. Obtenido el primer valor, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema 2 x 2, en este caso elegiremos la ecuación D para llevar a cabo la sustitución para encontrar el valor de x. 219

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BLOQUE 8 9. Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema 3 x 3, para encontrar el valor de la variable restante. En este caso se elegirá la ecuación A.

Por lo que el resultado del sistema es:

El punto solución se expresa:

A continuación se tomará el mismo sistema de suma o resta para desarrollar los métodos posteriores y así puedas decidir el método que más se te facilita. Sustitución. Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación y sustituirla en las otras dos para poder construir el sistema 2 x 2, posteriormente se seguirá con el método de sustitución de 2 x 2 para encontrar el valor de la primer variable e ir sustituyendo posteriormente en las demás y así encontrar los valores de las variables faltantes. Ejemplo. Para resolver el sistema

se seguirán los siguientes pasos:

1. Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.

2. Se despeja la variable x de la ecuación C.

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3. Se sustituye el valor del despeje en la ecuación A y B, para conformar el sistema de 2 x 2.

4. Se expresa el sistema y se etiquetan las ecuaciones.

5. Se despeja la variable “z” de la ecuación E.

6. Se sustituye el despeje en la ecuación D.

7. Se sustituye el valor encontrado en el despeje del paso 5.

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BLOQUE 8 8. Se sustituyen los valores de “y” y “z” encontrados en el despeje del paso 2.

Por lo que el resultado del sistema es:

De la misma forma que fue en el método de suma o resta. Igualación. El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las tres ecuaciones para hacer dos igualaciones, de esta forma se construye el sistema 2 x 2, que posteriormente se puede resolver por el método algebraico de igualación para sistemas de 2 x 2. Método numérico de Determinantes. Éste se aplica de igual forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sólo hay un ligero cambio en la forma de resolver los determinantes de cada una de las variables y el sistema, pero prácticamente es la misma metodología.

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