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Sistemas de ecuaciones
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SISTEMAS DE ECUACIONES
E
n las unidades previas se han trabajado los contenidos relativos a los polinomios y las ecuaciones. Es esperable que el alumnado ya se haya familiarizado con el lenguaje algebraico y no le resulte difícil el estudio de esta nueva unidad, en la que se trabajarán los sistemas de ecuaciones lineales, su clasificación en función del número de soluciones que poseen, así como los métodos de reducción, sustitución, igualación y gráfico para su resolución. De nuevo se puede recurrir a la representación de las ecuaciones que constituyen el sistema dado a través de balanzas, tal y como se hizo en unidades previas. Las balanzas trabajan el concepto de igualdad físicamente, apoyándose en el principio de equilibrio de masas en ambos platos y facilitan la comprensión de conceptos tales como la transposición de miembros y la simplificación de ecuaciones. Las actividades de la unidad han sido diseñadas con el objetivo de despertar el interés del alumnado y propiciar el aprendizaje a partir de sus descubrimientos y experiencias personales, procurando que este resulte significativo, que no sea almacenado mecánicamente, sino que se integre a su estructura lógica de manera permanente. El proceso de generalización es esencial en el estudio del álgebra. La realización de actividades encaminadas a expresar lo general favorece en gran medida el proceso de simbolización y manipulación de expresiones algebraicas. A lo largo de la unidad encontraremos multitud de problemas extraídos del mundo que nos rodea y cuya resolución requiere de una modelización algebraica de la situación, así como la aplicación de los contenidos estudiados relativos a la resolución de sistemas, seguida de una interpretación de los resultados obtenidos. En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL) El lenguaje algebraico permite expresar lo general utilizando símbolos. Estos aumentan su funcionalidad y permiten expresar las relaciones con mayor precisión y simplicidad, mezclar información sobre distintos entes, obtener nuevas propiedades del objeto modelizado que finalmente han de ser expresadas en nuestro lenguaje.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) La comprobación de que las soluciones obtenidas en la resolución de un sistema de ecuaciones efectivamente lo son permite repasar la jerarquía de las operaciones aritméticas que fueron estudiadas en la primera unidad del libro.
Competencia digital (CD) El uso de GeoGebra nos permite acompañar la resolución de los sistemas con su representación gráfica. Esto resulta muy útil para visualizar el número de soluciones y su relación con la posición relativa de las rectas cuyas ecuaciones constituyen el sistema dado.
Competencias sociales y cívicas (CSC) La modelización matemática ayuda a entender problemas y situaciones que se presentan tanto en otras ciencias como en nuestra vida cotidiana. Permite una profunda comprensión de situaciones reales y favorece la toma de decisiones con una actitud crítica. En la sección de Matemáticas vivas se modelizan los procesos de investigación mediante modelos algebraicos.
Competencia aprender a aprender (CAA) La relación entre la expresión algebraica de los sistemas y su número de soluciones o la posición relativa de las rectas que representan supone que los alumnos adquirirán conocimientos más complejos que la resolución puramente operativa. Ayuda a pensar, inducir, deducir, analizar, generalizar y extrapolar.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE) En la resolución de los problemas propuestos se modeliza algebraicamente la situación, se interpreta la solución obtenida y, cuando es posible, se emplea para realizar previsiones, análisis y toma de decisiones sobre la realidad modelizada. El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Unidades didácticas
128
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
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Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: ❚❚ Conocer los conceptos de ecuación lineal con dos incógnitas y sus soluciones. ❚❚ Identificar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, así como sus representaciones gráficas. ❚❚ Comprobar si un par de números dados son solución de una ecuación y de un sistema de dos incógnitas. ❚❚ Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales en función del número de soluciones que posean. ❚❚ Emplear los métodos de sustitución, igualación y reducción en la resolución de sistemas. ❚❚ Obtener gráficamente la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ❚❚ Utilizar los sistemas de ecuaciones como herramienta para resolver problemas. ❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando sistemas de ecuaciones.
Atención a la diversidad Los alumnos difieren en sus habilidades para procesar ideas y en sus ritmos de aprendizaje. Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.
Material complementario En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre sistemas de ecuaciones lineales, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos. Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales pueden acceder a las lecciones 1236 y 1319 de la web www.mismates.es. PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Sistemas de ecuaciones lineales
Criterios de evaluación 1. Conocer los conceptos de ecuación y sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales como herramienta para resolver problemas.
Estándares de aprendizaje evaluables 1.1. Reconoce si un par de números (x, y) son solución de una ecuación lineal dada. 1.2. Reconoce si un par de números (x, y) son solución de un sistema de ecuaciones lineales dado. 2.1. Plantea sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.
Relación de actividades del libro del alumno 1-3, 35-38 4-6, 40, 50 CM1 8, 39, 54-69 Matemáticas vivas 1a, 2 Trabajo cooperativo
Competencias clave CL CMCT CSC CAA CSIEE
Número de soluciones de un sistema
3. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones que posean.
3.1. Determina si un sistema de dos ecuaciones 9-17 lineales es incompatible, compatible determinado 41-43, 53 o compatible indeterminado, según las relaciones que satisfacen los coeficientes y los términos independientes de las ecuaciones que lo forman.
CL CMCT CAA
Métodos de resolución de sistemas Método de sustitución Método de igualación Método de reducción
4. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas empleando distintos métodos.
4.1. Emplea el método de sustitución, el de igualación o el de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
18-23 44-46 48, 49 Matemáticas vivas 3a-c
CL CMCT CD CSC CAA CSIEE
Resolución de sistemas: método gráfico
5. Resolver, utilizando el método gráfico, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
5.1. Asocia las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas con los puntos de una recta. 5.2 Relaciona la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales con la posición relativa de las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema. 5.3 Emplea el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones. 6.1 Resuelve problemas de la geometría plana empleando sistemas de ecuaciones lineales.
24, 32
CL CMCT CD CSC CAA CSIEE
6. Traducir al lenguaje algebraico relaciones lineales geométricas para resolver problemas procedentes de la geometría plana.
Unidades didácticas
129
26, 28-30, 52 25, 27, 31, 47, 51 Matemáticas vivas 1b 33, 34
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
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Sistemas de ecuaciones
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Ideas previas Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A Propuesta de Evaluación B
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Número de soluciones de un sistema
3. Métodos de resolución de sistemas • Método de sustitución • Método de igualación • Método de reducción
4. Resolución de sistemas: método gráfico
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Comprende y resuelve problemas
Practica+
MisMates.es Lecciones 1236 y 1319 de la web www.mismates.es
Matemáticas en el día a día Contenido WEB. Mezclas
Vídeo. Resolución de sistemas
GeoGebra. Resolución gráfica de sistemas
¿Qué tienes que saber? • Número de soluciones de un sistema • Métodos de resolución de sistemas
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas Investigación • Toma de decisiones en la modelización de los procesos de resolución de problemas
Trabajo cooperativo. Tarea cuya estrategia es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson
Avanza Sistemas de ecuaciones no lineales
Cálculo mental Estrategia para resolver sistemas mediante el reparto proporcional
UnidadesUnidades didácticasdidácticas
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Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
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Sugerencias didácticas
5
Los alumnos repasarán en esta unidad conceptos y procedimientos que conoce de cursos anteriores y que serán necesarios para la resolución de sistemas formados por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES
En las siguientes secciones no sólo se presentan varios procedimientos de resolución, sino que se estudia cuidadosamente qué sistemas carecen de solución, cuáles tienen sólo una y cuáles tienen más de una.
Las aleaciones son combinaciones de dos o más elementos, alguno de los cuales es un metal. Por ejemplo, el bronce utilizado para la fabricación de monedas o la construcción de instrumentos musicales es una aleación de cobre y estaño.
S
IDEAS PREVIA
lenguaje ❚ Traducción al nciados, algebraico de enu relaciones propiedades o
matemáticas. de ❚ Simplificación braicas. expresiones alge ecuaciones ❚ Resolución de de primer grado. ión de rectas ❚ Representac en el plano.
Si en una pieza de bronce cuya masa es 100 g, designamos con x los gramos de cobre y con y los de estaño, podemos expresar esta relación como x + y = 100. Si la aleación consta de un 78 % de cobre y un 22 % de estaño, entonces: 22 22x = 78y
Pero lo más importante de esta unidad es que los alumnos aprendan a modelizar matemáticamente situaciones de la vida cotidiana planteando sistemas de ecuaciones lineales, cuyas soluciones resuelven los problemas propuestos.
Para calcular la cantidad de gramos de cobre y de estaño que componen la pieza, debemos resolver un sistema de ecuaciones lineales: x+ y = 100 ⎪ ⎫ ⎬ 22 x − 78 y = 0 ⎪ ⎪ ⎭
REPASA LO QUE SABES Contenido WEB. MEZCLAS
1. Expresa algebraicamente estos enunciados, designando con x la
edad de Ana y con y la de Ángel. a) La edad de Ángel menos la cuarta parte de la de Ana.
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se describe de forma detallada en que consiste un tipo de problema clásico en el que se emplea la resolución de un sistema de ecuaciones: los problemas de mezclas. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
b) La suma de las edades de ambos dentro de 3 años. 2. Simplifica esta expresión agrupando los términos semejantes.
(3x + y − 4) − 5(3x − 2y) + 17 3. Resuelve estas ecuaciones.
x
a)
5
−
x 12
=
x + 10
b)
7
2( x + 3) 5
+
2x 3
= 7( x − 10 )
4. Representa gráficamente las rectas cuyas ecuaciones son: a) y = 2x
[
b) y = 2x + 2
c) y = 2x − 2
]
Matemáticas en el día a día
mac3e16
Los problemas de mezclas, es decir, aquellos en los que se combinan productos de calidades y precios distintos pueden resolverse mediante sistemas de ecuaciones, obteniendo así soluciones a cuestiones económicas o científicas.
83
Repasa lo que sabes Soluciones de las actividades 1. Expresa algebraicamente estos enunciados, designando con x la edad de Ana y con y la de Ángel. a) La edad de Ángel menos la cuarta parte de la de Ana. b) La suma de las edades de ambos dentro de 3 años. 1 a) y − x b) x + 3 + y + 3 = x + y + 6 4 2. Simplifica esta expresión agrupando los términos semejantes. (3x + y − 4) − 5(3x − 2y) + 17 3x + y − 4 − 15x + 10y + 17 = −12x + 11y + 13 3. Resuelve estas ecuaciones. x x + 10 x a) − = 5 12 7
b)
a) 49 x = 60 x + 600 → 11x = −600 → x = −
2( x + 3) 5
+
2x 3
= 7( x −10 )
600
11 b) 6(x + 3) + 10x = 105(x − 10) → 16x + 18 = 105x − 1 050 → 89x = 1 068 → x = 12 4. Representa gráficamente las rectas cuyas ecuaciones son: a) y = 2x a)
Y
b) y = 2x + 2
c) y = 2x − 2
b)
c)
Y
Y
2 1 O
Unidades didácticas
1 1
X
O
1
131
X
O
1
X
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
1. Sistemas de ecuaciones lineales 5
Aprenderás a…
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
●
Identificar sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Rafael ha puesto varias tuercas cuadradas y hexagonales y algunos tornillos en una balanza.
●
Reconocer si un par de números (x, y) es solución de una ecuación y de un sistema lineal con dos incógnitas.
Al colocarlos, la balanza está equilibrada.
●
Plantear sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.
1
Determina cuáles de los siguientes pares de números son soluciones de la ecuación lineal: 5x − 3y = 2 a) x = 1, y = 1 d) x = 5, y = 6 b) x = −1, y = −2 e) x = −2, y = −4 c) x =
Si cada tornillo pesa 1 g, ¿cuál es el peso de cada una de las tuercas?
2
5 2
,y=0
f) x = 0, y = −
Para resolver el problema, designamos con x e y el peso, en gramos, de cada tuerca cuadrada y cada tuerca hexagonal, respectivamente, y planteamos esta ecuación:
0
0,5
1
1,5
2
y
3
2
1
0
−1
3
Podemos deducir, pues, que la ecuación tiene infinitas soluciones, aunque no todas tienen sentido en el contexto del problema. Una ecuación lineal con dos incógnitas, x e y, es una igualdad que puede expresarse de la forma ax + by = c, donde: ❚ a y b son números reales conocidos, llamados coeficientes de la ecuación.
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
Presta atención
Copia en tu cuaderno y completa las tablas de modo que cada par de números (x, y) sea una solución de la ecuación lineal que se indica. a) x + y = 11 b) 2x − y = 4 x
O
−3
O
3
O
x
−5
O
0
3
O
y
16
O
11
O
6
y
O
−10
O
O
6
4
A partir de los resultados del ejercicio anterior, averigua la solución del sistema de ecuaciones lineales: ⎫ 2 x + y = 11 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2 x − y = 14 ⎭ ⎪
5
Comprueba si el par de números x = −3, y = 5 es una solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
❚ c es otro número real conocido denominado término independiente. Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de números (x0, y0) que, al sustituirlo por x e y, verifica la igualdad: ax0 + by0 = c
⎫ a) 2 x + 3 y = 9 ⎪ ⎪ ⎬ 3 x + 2 y = 2⎪ ⎪ ⎭
Si quitamos de cada platillo la mitad de su contenido, la balanza permanece en equilibrio y la ecuación resultante es:
6
2x + y = 3
7
En este caso, para resolver el problema, planteamos un sistema de ecuaciones lineales:
⎫ x+ y = 2⎪ ⎪ ⎬ 2 x + 5 y = 19 ⎪ ⎪ ⎭
b) 3 x − 2 y = p ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 4y = q⎭ ⎪
Calcula los valores de a y b para que el par de números x = 3, y = 2 sea solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ a) 3 x + ay = 17 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ bx + 2 y = 19 ⎭ ⎪
⎫ 2x + y = 3⎪ ⎪ ⎬ 3 x + 4 y = 7⎪ ⎪ ⎭
b)
Halla los valores de p y q en cada sistema de ecuaciones lineales, de modo que x = 2, y = 3 sean su solución. a) x + y = p ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − y = q⎭ ⎪
A continuación, Rafael dispone una segunda colocación en la balanza como muestra la figura.
2
x = 1, y = 0 x = 1, y = 1 x = 8, y = 6 x = 5, y = −2
2x + y = 3 3x − 4y = 0 x−y=1 2x + y = 8
Cualquier par de números (x, y) que verifiquen la ecuación constituyen una solución. Por ejemplo: x
3
Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación lineal de la primera columna con una solución de la segunda.
4x + 2y = 6
Si sumamos o multiplicamos un mismo valor no nulo a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente, es decir, otra ecuación que tiene las mismas soluciones.
5
Actividades
Sistemas de ecuaciones
⎫ b) 2 x + ay = −2 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 5x −3y = b ⎭ ⎪
DESAFÍO
Así, la solución del sistema es x = 1, y = 1, es decir, cada una de las tuercas cuadradas y hexagonales pesa 1 g.
8
Si las balanzas de la figura están equilibradas, averigua cuál es el peso de la caja.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, está formado por dos ecuaciones lineales de las que se buscan soluciones comunes. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par de números (x0, y0) que es solución de las dos ecuaciones a la vez. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen la misma solución.
84
85
Sugerencias didácticas Otra cuestión en la que merece la pena detenerse es entender el porqué al sumar o multiplicar los dos miembros de una ecuación lineal por un mismo número no nulo se obtiene una ecuación equivalente, esto es, con las mismas soluciones.
Antes de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales, es conveniente que los alumnos entiendan qué es una ecuación lineal y cuándo un par de números forman una solución de la misma. La principal dificultad suele ser comprender que una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
Soluciones de las actividades 1 Determina cuáles de los siguientes pares de números son soluciones de la ecuación lineal: 5x − 3y = 2
a) x = 1, y = 1
d) x = 5, y = 6
b) x = −1, y = −2 5 c) x = , y = 0 2 a) 5 − 3 = 2 → Es solución.
e) x = −2, y = −4 3 f) x = 0, x = − 2 d) 25 − 18 ≠ 2 → No es solución.
b) −5 + 6 ≠ 2 → No es solución. 25 c) ≠ 2 → No es solución. 2
e) −10 + 12 = 2 → Es solución. 9 f) ≠ 2 → No es solución. 2
Unidades didácticas
132
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
2 Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación lineal de la primera columna con una solución de la segunda.
2x + y = 3 3x − 4y = 0 x − y = 1 2x + y = 8
x = 1, y = 0 x = 1, y = 1 x = 8, y = 6 x = 5, y = −2
2x + y = 3 → x = 1, y = 1
x − y = 1 → x = 1, y = 0
3x − 4y = 0 → x = 8, y = 6
2x + y = 8 → x = 5, y = −2
3 Copia en tu cuaderno y completa las tablas de modo que cada par de números (x, y) sea una solución de la ecuación lineal
que se indica. a) x + y = 11 a) x −5 −3 0 3 y
16
14
11
8
5
b) 2x − y = 4 b) x −5
−3
0
3
5
−14
−10
−4
2
6
y
6
4 A partir de los resultados del ejercicio anterior, averigua la solución del sistema de ecuaciones lineales:
2 x + y = 11 ⎫⎪⎪ ⎬ 2 x − y = 14 ⎪⎪⎭ x = 5, y = 6 5 Comprueba si el par de números x = −3, y = 5 es una solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) b) x + y = 2 ⎪⎫⎪ 2 x + 3 y = 9 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ 3 x + 2 y = 2 ⎪⎭ 2 x + 5 y = 19 ⎪⎭ a) −6 + 15 = 9 b) −3 + 5 = 2 −9 + 10 ≠ 2 → No es solución. −6 + 25 = 19 → Es solución. 6 Halla los valores de p y q en cada sistema de ecuaciones lineales, de modo que x = 2, y = 3 sean su solución.
a) b) 3 x − 2 y = p ⎫⎪⎪ x + y = p ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ x − y = q ⎪⎭ x + 4 y = q ⎪⎭ ⎪⎧ p = 5 ⎪⎧ p = 0 a) b) 6 − 6 = p ⎪⎫⎪ 2 + 3 = p ⎪⎫⎪ ⎬ → ⎪⎨ ⎬ → ⎪⎨ ⎪ ⎪⎪⎩ q = −1 ⎪ ⎪⎪⎩ q = 14 2 − 3 = q ⎪⎭ 2 + 12 = q ⎪⎭ 7 Calcula los valores de a y b para que el par de números x = 3, y = 2 sea solución de los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales. a) b) 2 x + ay = −2 ⎫⎪⎪ 3 x + ay = 17 ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ bx + 2 y = 19 ⎪⎭ 5 x − 3 y = b ⎪⎭ ⎪⎧ a = 4 ⎪⎧ a = −4 a) b) 6 + 2a = −2⎪⎫⎪ 9 + 2a = 17 ⎪⎫⎪ ⎬ → ⎪⎨ ⎬ → ⎪⎨ ⎪ ⎪⎪⎩ b = 5 ⎪ ⎪⎪⎩ b = 9 3b + 4 = 19 ⎪⎭ 15 − 6 = b ⎪⎭
Desafío 8 Si las balanzas de la figura están equilibradas,
averigua cuál es el peso de la caja. Según las dos primeras escenas del dibujo: 1 3 ⎪ 2 x + y = 2⎫ ⎪ ⎬→ 4y = 2→ y = → x = ⎪ 2 x = 3 y ⎪⎭ 2 4 3 1 7 Como 4 ⋅ + = el peso de la caja es 3,5 g. 4 2 2
Unidades didácticas
133
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
2. Número de soluciones de un sistema 5
Aprenderás a… ●
Identificar sistemas de ecuaciones lineales compatibles e incompatibles.
●
Determinar si un sistema de ecuaciones lineales compatible es determinado o indeterminado.
5
Actividades
Sistemas de ecuaciones
2. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA
9
Clasifica los siguientes sistemas según sean compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. ⎫ ⎫ c) 3 x − y = 4 ⎪ a) 2 x + 3 y = 14 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ x + y = 0⎭ 4 x + 6 y = 28 ⎭ ⎪ ⎪ ⎫ ⎫ b) 2 x − y = 4 ⎪ d) 2 x + y = 39 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ 2x − y = 8⎪ 6 x + 3 y = 30 ⎪ ⎪ ⎭ ⎭
10
Calcula el valor de p para que sea incompatible el sistema de ecuaciones lineales: ⎫ 10 x + py = 3 ⎪ ⎪ ⎬ 15 x + 2 y = 1 ⎪ ⎪ ⎭
11
Halla p y q en cada sistema de modo que sean compatibles indeterminados. ⎫ ⎫ a) 5 x − 4 y = 15 ⎪ b) 4 x − 2 y = 18 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ px −12 y = q ⎪ px + y = q ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭
12
Considera el sistema de ecuaciones lineales:
13
Halla p, q y r, para que sea compatible indeterminado con una de sus soluciones: x = 1, y = 1 el siguiente sistema: ⎫ 3 x + 4 y = p⎪ ⎪ ⎬ 9 x + qy = r ⎪ ⎪ ⎭
14
Añade a cada una de las siguientes ecuaciones lineales otra ecuación tal que los sistemas resultantes sean compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. a) x + y = 3 c) 2x + 3y = 1 b) 2x − y = −4 d) 5x − 3y = 2
15
Encuentra una ecuación lineal en la que el coeficiente de x sea 7, de modo que forme un sistema compatible indeterminado junto con: 3x − 6y = 12
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Considera la ecuación lineal: 3x + 2y = 1 a) Comprueba que los pares de números (1, −1) y (−1, 2) son soluciones de la ecuación. b) Determina otra ecuación que forme con la anterior un sistema de ecuaciones lineales cuya única solución sea x = 1, y = −1. c) Encuentra otra ecuación tal que el sistema formado con la primera tenga como soluciones los pares de números: (1, −1) y (−1, 2)
Lorena compró 3 kg de fresas y 4 kg de naranjas en la frutería de su barrio y pagó en total 13 €. De camino a casa, Lorena se encontró a su vecina Ana, que había comprado en la misma frutería 2 kg de fresas y 1 kg de naranjas y había pagado 7 €. ¿Puede Ana averiguar el precio del kilo de cada fruta? Para resolver el problema de Ana, podemos plantear un sistema de ecuaciones lineales. Si x e y son, respectivamente, el precio del kilo de fresas y de naranjas, entonces: ⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ 2x + 4 y = 7 ⎪ ⎪ ⎭ Este sistema solo tiene una solución: x = 3, y = 1, es decir, Lorena y Ana pagaron las fresas a 3 €/kg y las naranjas a 1 €/kg. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible cuando tiene solución. Si los coeficientes del sistema no son proporcionales, la solución es única; en este caso se dice que el sistema es compatible determinado. Al llegar a la esquina de su casa, Lorena se detuvo a charlar con su vecino Juan, que también había comprado fruta. Él llevaba 6 kg de fresas y 8 kg de naranjas, por lo que había pagado 26 €. ¿Puede Juan determinar el precio de cada kilo de fruta? Planteamos el nuevo problema mediante un sistema de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas: ⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ 6 x + 8 y = 26 ⎪ ⎪ ⎭ Este sistema tiene infinitas soluciones porque está formado por dos ecuaciones lineales equivalentes, es decir, cada par de números que es solución de la primera ecuación lo es también de la segunda. Juan no puede determinar el precio de la fruta pues hay infinitas soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Esto sucede si las ecuaciones son equivalentes, es decir, si sus coeficientes y términos independientes son proporcionales. Ya en el ascensor de su casa, Lorena coincide con otro vecino, Iván, que ha comprado 3 kg de fresas y 4 kg de naranjas que le han costado 15 €. ¿Puede Lorena averiguar el precio de cada kilo de fruta en este caso? Una vez más, planteamos el problema mediante un sistema de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas: ⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x + 4 y = 15 ⎭ ⎪
⎫ ⎪ 2x + y = 5⎪ ⎬ px − 3 y = q ⎪ ⎪ ⎭ a) Determina los valores de p y q para los que el sistema es compatible indeterminado. b) Sin tener en cuenta el valor de q, ¿para qué valores de p el sistema es compatible determinado?
DESAFÍO 17
Este sistema no tiene solución porque está formado por dos ecuaciones lineales cuyo primer miembro coincide, pero no así el segundo, es decir, un par de números que es solución de la primera ecuación no puede serlo de la segunda. No es posible calcular el precio de la fruta con estos datos.
Plantea dos sistemas de ecuaciones que permitan resolver el enigma de la figura, sabiendo que cada grupo de tres círculos alineados suma 15. Comprueba que los sistemas planteados tienen una única solución porque son sistemas compatibles determinados.
Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no tiene solución. Esto sucede si los coeficientes de las ecuaciones son proporcionales entre sí, pero no lo son con respecto a los términos independientes.
86
87
Sugerencias didácticas En la práctica, lo más conveniente es examinar los coeficientes y los términos independientes de las ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones para discriminar de qué tipo es. Puede resultar muy interesante proponer a los alumnos que planteen sistemas de ecuaciones de invención propia que resulten ser compatibles o incompatibles, o que tengan una solución fijada previamente.
Tras repasar los conceptos sobre las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales, en esta página se introducen nuevos términos para clasificar los sistemas según tengan o no solución y según el número de soluciones. Es importante que los alumnos conozcan el significado de la palabra compatible para que asocien este término con un sistema que se puede resolver. De igual modo, si comprenden el significado del concepto determinado lo asociarán con un sistema que solo tiene una solución.
Soluciones de las actividades 9 Clasifica los siguientes sistemas según sean compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles.
a) 2 x + 3 y = 14 ⎫⎪⎪ b) 2 x − y = ⎬ ⎪ 2x − y = 4 x + 6 y = 28 ⎪⎭ a) Compatible indeterminado
c) 3 x − y = 4 ⎫⎪⎪ d) 2 x + y = 39 ⎫⎪⎪ 4 ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎬ 8 ⎪⎪⎭ x + y = 0 ⎪⎪⎭ 6 x + 3 y = 30 ⎪⎪⎭ c) Compatible determinado
b) Incompatible
d) Incompatible
10 Calcula el valor de p para que sea incompatible el sistema de ecuaciones lineales:
10 x + py = 3 ⎪⎫⎪ ⎬ 15 x + 2 y = 1 ⎪⎪⎭
El sistema es incompatible si:
Unidades didácticas
10 5
=
p 2
≠
3 1
→ 20 = 5 p → p = 4
134
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
11 Halla p y q en cada sistema de modo que sean compatibles indeterminados.
a) b) 4 x − 2 y = 18 ⎪⎫⎪ 5 x − 4 y = 15 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ px −12 y = q ⎪⎭ px + y = q ⎪⎭ ⎧⎪ p = 15 −4 15 5 −4 p = −60 ⎫⎪⎪ a) El sistema es compatible indeterminado si: = = → ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ q = 45 −4 q = −180 ⎪⎪⎭ q p −12 ⎪⎧ p = −2 4 −2 18 −2 p = 4 ⎪⎫⎪ b) El sistema es compatible indeterminado si: = = → ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ q = −9 −2q = 18 ⎪⎪⎭ 1 q p 2 x + y = 5 ⎪⎫⎪ 12 Considera el sistema de ecuaciones lineales: ⎬ px − 3 y = q ⎪⎪⎭ a) Determina los valores de p y q para los que el sistema es compatible indeterminado. b) Sin tener en cuenta el valor de q, ¿para qué valores de p el sistema es compatible determinado? ⎧⎪ p = −6 1 5 2 a) El sistema es compatible indeterminado si: = = → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ q = −15 p −3 q 1 2 ≠ → p ≠ −6 b) El sistema es compatible determinado si: p −3 13 Halla p, q y r, para que sea compatible indeterminado con una de sus soluciones: x = 1, y = 1 el siguiente sistema:
3 x + 4 y = p ⎫⎪⎪ ⎬ 9 x + qy = r ⎪⎪⎭
Si x = 1, y = 1 es una solución sustituimos en la primera ecuación: 3 + 4 = p → p = 7 ⎪⎧ q = 12 3 4 7 3q = 36 ⎪⎫⎪ Para que el sistema sea compatible indeterminado: = = → ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ r = 21 3r = 63 ⎪⎪⎭ r 9 q 14 Añade a cada una de las siguientes ecuaciones lineales otra ecuación tal que los sistemas resultantes sean compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. a) x + y = 3
b) 2x − y = −4
c) 2x + 3y = 1
Respuesta abierta, por ejemplo: a) x + y = 3⎫⎪⎪ 2 x + 2 y = 3 ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎪ 2 x + 2 y = 6 ⎪⎪⎭ x − y = 1⎪⎭ b) 2 x − y = −4 ⎪⎫⎪ 2 x − 2 y = −4 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ x + y = 4 ⎪⎪⎭ 4 x − 2 y = −8 ⎪⎪⎭ c) 2 x + 3 y = 1 ⎪⎫⎪ 2 x + 3 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ x + 3 y = 0 ⎪⎪⎭ 6 x + 9 y = 3⎪⎪⎭ d) 5 x − 3 y = 2 ⎪⎫⎪ 15 x − 3 y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ x + 3 y = 2 10 x − 6 y = 4
d) 5x − 3y = 2
x + y = 3 ⎫⎪⎪ ⎬ x + y = 0 ⎪⎪⎭ 2 x − y = −4 ⎪⎫⎪ ⎬ 2 x − y = 0 ⎪⎭⎪ 2 x + 3 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ 2 x + 3 y = 0 ⎪⎪⎭ 5 x − 3 y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ 5 x − 3 y = 0 ⎪⎪⎭
15 Encuentra una ecuación lineal en la que el coeficiente de x sea 7, de modo que forme un sistema compatible indetermi-
nado junto con: 3x − 6y = 12
El sistema ha de ser de la forma:
3 x − 6 y = 12⎫⎪⎪ ⎬ 7 x + ay = b ⎪⎪⎭
Este sistema es compatible indeterminado si:
3 7
=
−6 a
=
12 b
La ecuación lineal buscada es: 7x − 14y = 28
Unidades didácticas
135
→
⎧⎪ a = −14 3a = −42 ⎫⎪⎪ ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ b = 28 3b = 84 ⎪⎪⎭
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
16 Considera la ecuación lineal: 3x + 2y = 1
a) Comprueba que los pares de números (1, −1) y (−1, 2) son soluciones de la ecuación. b) Determina otra ecuación que forme con la anterior un sistema de ecuaciones lineales cuya única solución sea x = 1, y = −1. c) Encuentra otra ecuación tal que el sistema formado con la primera tenga como soluciones los pares de números: (1, −1) y (−1, 2) a) Sustituyendo: 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) = 1 y 3 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 = 1 b) Respuesta abierta, por ejemplo: x + y = 0 c) El sistema tiene más de una solución si es compatible indeterminado. Esto ocurre si las ecuaciones son equivalentes, por ejemplo: 6x + 4y = 2
Desafío 17 Plantea dos sistemas de ecuaciones que permitan resolver el enigma de la figura, sabiendo que cada grupo de tres círculos
alineados suma 15. Comprueba que los sistemas planteados tienen una única solución porque son sistemas compatibles determinados.
⎫⎪⎪ ⎧⎪ 3 x + y = 11 ⎧⎪ x = 2 3 x + y + 4 = 15 → ⎪⎨ ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ 4 x + y = 13 ⎪⎪⎩ y = 5 4 x −1+ y + 3 = 15 ⎪⎪⎭ ⎪⎧ y + 2 z = 11 ⎪⎧ y = 5 2 z + 2 + y + 2 = 15 ⎪⎫⎪ → ⎪⎨ ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ y + 3 z = 14 ⎪⎪⎩ z = 3 3 z + y + 1 = 15
Unidades didácticas
136
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
3. Métodos de resolución de sistemas 5
Aprenderás a… ●
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de sustitución, igualación y reducción.
5
Actividades
Sistemas de ecuaciones
3. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
18
Resuelve estos sistemas por el método de sustitución. a)
Para resolver el problema de Lorena y Ana planteábamos el sistema de ecuaciones lineales: ⎪ 3 x + 4 y = 13 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ 2x + y = 7 ⎭ ⎪ Este sistema es compatible determinado porque sus coeficientes no son proporcionales. Vamos a resolverlo por tres procedimientos distintos.
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2 Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y resolvemos.
3x + 4(7 − 2x) = 13 3x + 28 − 8x = 13 −5x = −15 → x = 3 y=7−2⋅3→y=1
20
⎫ ⎫ a) x + y = 18 ⎪ b) x + 2 y = −7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ 2 x − y = 12 ⎪ 2 x + 3 y = −7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ Resuelve por el método de reducción los sistemas propuestos.
21
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 4 ( x + y ) + 2 = 3(1− x ) − y ⎭ ⎪
a) 3( x − y ) + 2 y = 10 + x
3( x + y ) −
y
Resuelve este sistema de ecuaciones lineales: ⎫ ⎪ x−y +4 − =3 ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎬ 3( x − 2 y + 1) 51 ⎪ ⎪ ⎪ − = ⎪ 5 10 ⎪ ⎭
x+y 2
5x −3y 4
Solución
⎫ 13 − 3 x ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 4 ⎪ y = 7−2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ y =
13 − 3 x
= 7−2x 4 13 − 3x = 28 − 8x 5x = 15 → x = 3 y=7−2⋅3→y=1
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema e igualar las expresiones obtenidas.
mac3e17
22
Método de reducción 1 Determinamos ecuaciones equivalentes en las que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos.
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = 8 − 2x⎭ ⎪
b) 3( x + y ) − 2( x − y ) = −26
EJERCICIO RESUELTO
}
Método de igualación
3 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las primeras expresiones obtenidas.
⎫ b) 3 x − 2 y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ x + 4 y = −23 ⎪ ⎪ ⎭
Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra.
2 Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación.
⎫ x + 3 y = 12 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 4 x + 7 y = 13 ⎭ ⎪
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.
⎫ a) x + y = 20 ⎪ ⎪ ⎬ x − y = −2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ 3 x + 4 y = 13 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ y = 7−2x⎭ ⎪
1 Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.
b)
19
Método de sustitución
3 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en la primera expresión.
⎫ x + y = 11 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x + 2 y = 24 ⎭ ⎪
⎫ 13 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ −8 x − 4 y = −28 ⎭ ⎪ 3x + 4 y =
2 Sumamos las ecuaciones y resolvemos la que resulta.
−5x = −15 → x = 3
3 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema.
3 ⋅ 3 + 4y = 13 9 + 4y = 13 4y = 4 → y = 1
Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ ⎫ b) x −1 y a) x y ⎪ ⎪ + = 2⎪ + = 4⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 3 4 ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ x x y y + 2 ⎪ ⎪ + = 1⎪ − = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 15 4 4 6 ⎭ ⎭
DESAFÍO 23
Resuelve este sistema de ecuaciones lineales: ⎫ x + y + 2z = 6 ⎪ ⎪ ⎪ x + 3 z = 13 ⎪ ⎬ ⎪ y − 2 z = −7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
El método de reducción consiste en hallar un sistema de ecuaciones lineales equivalente tal que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos y sumar ambas ecuaciones para reducirlas a una única ecuación.
Observa que puedes emplear el método de sustitución, despejando x e y en las dos últimas ecuaciones.
Utilizando los tres métodos, obtenemos la solución del sistema: x = 3, y = 1
88
89
Sugerencias didácticas En esta sección los alumnos repasarán los tres métodos algebraicos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que ya estudiaron el curso anterior: método de sustitución, método de igualación y método de reducción.
Vídeo. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS En el ejercicio resuelto se resuelve, paso a paso, un sistema de ecuaciones lineales con paréntesis y denominadores. Siguiendo las indicaciones que van apareciendo, los alumnos pueden ver el proceso a seguir para resolver sistemas de ecuaciones como este.
Es aconsejable que los alumnos aprendan a decidir qué método les conviene emplear para resolver cada uno de los sistemas propuestos.
Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación de este tipo de ejercicio o como recurso para que los alumnos repasen la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Merece la pena insistir en el llamado método de reducción, por ser la versión elemental del denominado método de Gauss, que es el más eficaz al tratar, en cursos posteriores: sistemas con más incógnitas y más ecuaciones.
Soluciones de las actividades 18 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución.
a) b) x + 3 y = 12⎪⎫⎪ x + y = 11 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ 3 x + 2 y = 24 ⎪⎭ 4 x + 7 y = 13⎭⎪ a) y = 11 − x → 3x + 2(11 − x) = 24 → x = 2 → y = 9 b) x = 2 − 3y → 4(2 − 3y) + 7y = 13 → 5y = 5 → y = −1 → x = 5
Unidades didácticas
137
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
19 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.
a) b) x + 2 y = −7 ⎪⎫⎪ x + y = 18 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ 2 x − y = 12⎪⎭ 2 x + 3 y = −7 ⎭⎪ a) y = 18 − x ⎪⎫⎪ ⎬ → 18 − x = 2 x −12 → 3 x = 30 → x = 10 → y = 8 ⎪⎪⎭ y = 2 x −12 b) x = −7 − 2 y ⎫⎪⎪ −7 − 3 y ⎪ → y = −7 → x = 7 −7 − 3 y ⎬⎪ → −7 − 2 y = x = 2 ⎪⎪ ⎪⎭ 2 20 Resuelve por el método de reducción los sistemas propuestos.
a) b) 3 x − 2 y = 1 ⎪⎫⎪ x + y = 20 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ x − y = −2⎪⎭ x + 4 y = −23 ⎪⎭ a) 2x = 18 → x = 9 → 9 + y = 20 → y = 11 b) 6 x − 4 y = −2 ⎫⎪⎪ ⎬ → 7 x = −21 → x = −3 → −3 + 4 y = −23 → 4 y = −20 → y = −5 ⎪⎪⎭ 6 x + 4 y = −23 21 Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
⎫⎪⎪ a) b) 3( x + y ) − 2( x − y ) = −26 ⎫⎪⎪ 3( x − y ) + 2 y = 10 + x ⎬ ⎬ ⎪ 3( x + y ) − y = 8 − 2 x ⎪⎪⎭ 4 ( x + y ) + 2 = 3(1− x ) − y ⎪⎭ a) 2 x − 5 y = 10 ⎪⎫⎪ ⎬ → y = 2 x −10 → 7 x + 5(2 x −10 ) = 1 → 17 x = 51 → x = 3 → y = −4 ⎪ 7 x + 5 y = 1 ⎪⎭ b) 5 x + 5 y = −26 ⎪⎫⎪ ⎬ → x = −5 y − 26 → 5(−5 y − 26 ) + 2 y = 8 → −23 y = 138 → y = −6 → x = 4 ⎪⎪⎭ 5 x + 2 y = 8 22 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales.
⎫⎪ ⎫⎪ x y a) b) x −1 y + = 2 ⎪⎪ + = 4 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 4 2 3 3 ⎬ ⎬ ⎪⎪ ⎪ y y +2 x x + = 1⎪⎪ − = 0 ⎪⎪⎪ ⎪⎭ 4 ⎪⎭ 6 15 4 132 264 60 a) 3 x + 12 y = 12 ⎪⎫⎪ −12 x + 48 y = 48 ⎪⎫⎪ → 3x + = 12 → x = ⎬ → −37 y = −132 → y = ⎬→ ⎪ ⎪ 37 37 37 4 x + 15 y = 60 ⎪⎭ −12 x − 45 y = −180 ⎪⎭ 116 140 b) 4 x − 4 + 3 y = 48 ⎪⎫⎪ 4 x + 3 y = 52 ⎪⎫⎪ 16 x + 12 y = 208 ⎪⎫⎪ → y = ⎬→ ⎬ → 34 x = 232 → x = ⎬→ ⎪ 6 x − 4 y = 8 ⎪⎭⎪ 18 x −12 y = 24 ⎪⎭⎪ 17 17 6 x − 4 y − 8 = 0 ⎪⎭
Desafío 23 Resuelve este sistema de ecuaciones lineales:
x + y + 2 z = 6 ⎫⎪⎪ ⎪ x + y + 3 z = 13 ⎪⎬ ⎪ y − 2 z = −7 ⎪⎪⎪⎭
Observa que puedes emplear el método de sustitución, despejando las incógnitas x e y en las dos últimas ecuaciones. x + y + 2 z = 6 ⎪⎫⎪ ⎧⎪ x = 13 ⎪ x = 13 − 3 z ⎫⎪⎪ x + y + 3 z = 13 ⎬ → → 13 − 3 z + 2 z − 7 + 2 z = 6 → z = 0 → ⎪⎨ ⎬ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ y = −7 y = 2 z − 7 ⎪⎪⎭ x + y − 2 z = −7 ⎪⎪⎭
Unidades didácticas
138
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
4. Resolución de sistemas: método gráfico 5
4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: MÉTODO GRÁFICO
Aprenderás a… ●
Relacionar las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas con los puntos de una recta.
●
Estudiar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones según su representación gráfica.
●
Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
5
Actividades
Sistemas de ecuaciones 24
Consideremos la ecuación que planteábamos para expresar el gasto que hizo Lorena en la frutería: 3x + 4y = 13
Copia en tu cuaderno y asocia cada ecuación lineal de la primera columna con la pareja de puntos de la segunda columna que le corresponde.
Algunas son:
(−1, 1) y (2, 0) (1, 2) y (0, −1) (−1, −1) y (1, 1) (2, 0) y (1, 1)
r: 3x − y = 1 s: x − y = 0 t: x + y = 2 u: x + 3y = 2
Sabemos que esta ecuación tiene infinitas soluciones dadas por un par de números (x, y) que verifican su expresión. Y
28
Clasifica los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterior según el número de soluciones que tenga cada uno.
29
Representa la recta asociada a la ecuación x + 2y = 3. a) Determina el valor de a si el sistema de ecuaciones ⎫ x + 2y = 3⎪ ⎪ es incompatible. lineales ⎬ ⎪ 3 x + ay = 8 ⎭ ⎪ b) Halla los valores de b y c para que el sistema de ⎫ x + 2 y = 3⎪ ⎪ ecuaciones lineales ⎬ sea compatible bx + 4 y = c ⎪ ⎪ ⎭ indeterminado.
(–1, 4)
x
−1
3
5
y
4
1
−0,5
Si asociamos cada solución a un punto del plano (x, y), podemos representar la ecuación mediante una recta.
O
25
(3, 1)
1 1
(5; –0,5)
X
⎫ a) 3 x − y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ x − y = 0⎪ ⎪ ⎭
3x + 4y =13
Del mismo modo, si representamos las dos ecuaciones lineales de un sistema, podemos hallar la solución gráficamente. En el caso de Ana, el sistema es: ⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ y = 7⎭ ⎪
Y 3x + 4y =13
2x +
26 (3, 1)
1
Las dos rectas son secantes, se cortan en el punto (3, 1).
O
El sistema tiene una única solución:
En el problema de Juan:
⎫ e) x + 3 y = 2 ⎪ ⎪ ⎬ x − y = 0⎪ ⎪ ⎭
⎫ c) 3 x − y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 3 y = 2⎭ ⎪
⎫ f) x + y = 2 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − y = 0⎭ ⎪
⎫ x − 2 y = −2 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 2 y = 6⎭ ⎪
El sistema tiene infinitas soluciones.
O
31
La suma de dos números es igual a 10, y su diferencia vale 6. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar dichos números y resuélvelo por el método gráfico.
32
Encuentra una ecuación lineal con dos incógnitas que tenga por soluciones:
Y
1
3x + 4y = 13
Las dos rectas son coincidentes, tienen todos los puntos en común.
⎫ x − 2 y = −2 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − 2 y = −4 ⎭ ⎪
b)
Y
Y
⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ 6 x + 8 y = 26 ⎪ ⎪ ⎭
II
1 1
O
X
1
X
X
1
27
6x + 8y = 26
Resuelve por el método gráfico estos sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ a) x + 3 y = 5 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − 3 y = −7 ⎭ ⎪
En el caso de Iván, el sistema es: ⎫ 3 x + 4 y = 13 ⎪ ⎪ ⎬ 3 x + 4 y = 15 ⎪ ⎪ ⎭
b)
1 2
⎫ ⎪ x − y = −1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 1 ⎪ y = −1⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎭
e)
⎫ c) x − 2 y = −2 ⎪ ⎪ ⎬ x − 4 y = −8 ⎪ ⎪ ⎭
El sistema no tiene solución. mac3e18
f)
⎫ ⎪ x−y =1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ x + y = −1⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎭
1 −
2 1
1
−1
y
1
−2
x
6
0
y
0
8
Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones obtenidas a partir de las tablas anteriores.
⎫ d) x − y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 3 y = 5⎭ ⎪
−x +
Las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común.
x
Halla otra ecuación lineal con dos incógnitas cuyas soluciones sean:
1 O
Considera el sistema de ecuaciones lineales: ⎫ x + py = 3 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3x + 6 y = q⎭ ⎪ a) Halla el valor de p sabiendo que la representación gráfica del sistema son dos rectas paralelas. b) Calcula el valor de q si la recta asociada a la ecuación 3x + 6y = q pasa por el punto (1, 1).
Indica de forma razonada cuál es la resolución gráfica de cada sistema.
a)
2x + y = 7
30
⎫ d) x + 3 y = 2 ⎪ ⎪ ⎬ x + y = 2⎪ ⎪ ⎭
⎫ b) 3 x − y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ x + y = 2⎪ ⎪ ⎭
I
X
1
x = 3, y = 1
Dibuja las rectas r, s, t y u del ejercicio anterior y resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.
33
⎫ x − 2 y = −2 ⎪ ⎪ ⎬ − x + 2 y = −2 ⎪ ⎪ ⎭
Determina las coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados están situados sobre las rectas asociadas a estas ecuaciones lineales: a) r: x + y = 2 b) r: −x + y = 1 s: 2x − y = 1 s: −x − y = −7 t: x + 2y = 0 t: −x − 5y = 11
DESAFÍO
Si la representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales son:
34
❚ Dos rectas secantes, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte determinan la solución del sistema.
Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro es el punto en el que se cortan las medianas. Representa gráficamente las rectas asociadas a las siguientes ecuaciones lineales:
❚ Dos rectas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado y todos los puntos de la recta tienen como coordenadas sus soluciones.
3x + 2y = 17
3x − 2y = 1
y=1
Halla las coordenadas del baricentro del triángulo determinado por estas rectas.
❚ Dos rectas paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.
90
91
Sugerencias didácticas La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales puede ayudar a los alumnos a clasificarlos correctamente. Así como dos rectas del plano admiten tres posibles posiciones relativas: se cortan en un punto, son paralelas o coinciden, los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se clasifican, atendiendo a la naturaleza de sus soluciones, en tres tipos.
GeoGebra. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS En este recurso aparece la representación gráfica del sistema propuesto como ejemplo, pero moviendo los deslizadores que corresponden a los coeficientes y a los términos independientes de las rectas pueden verse fácilmente los otros dos ejemplos de la misma página. Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de este método de resolución, pero también puede ser utilizado directamente por los alumnos para resolver o comprobar todos los ejercicios de la página de actividades.
Es conveniente que para aplicar con eficacia el método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones lineales los alumnos recuerden la representación de rectas en el plano. También es importante insistir en que no es necesario utilizar la misma escala en ambos ejes, pues se trata de problemas de naturaleza afín y no métrica.
Soluciones de las actividades 24 Copia en tu cuaderno y asocia cada ecuación lineal de la primera columna con la pareja de puntos de la segunda columna
que le corresponde. r: 3x − y = 1 → (1, 2) y (0, −1)
r: 3x − y = 1 s: x − y = 0 t: x + y = 2 u: x + 3y = 2 Unidades didácticas
(−1, 1) y (2, 0) (1, 2) y (0, −1) (−1, −1) y (1, 1) (2, 0) y (1, 1)
s: x − y = 0 → (−1, −1) y (1, 1) t: x + y = 2 → (2, 0) y (1, 1) u: x + 3y = 2 → (−1, 1) y (2, 0)
139
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
25 Dibuja las rectas r, s, t y u del ejercicio anterior y resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) 3 x − y = 1 ⎪⎫⎪ c) 3 x − y = 1⎪⎫⎪ e) x + 3 y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ x − y = 0 ⎪⎪⎭ x + 3 y = 2⎪⎪⎭ x − y = 0 ⎪⎪⎭ b) 3 x − y = 1 ⎪⎫⎪ d) x + 3 y = 2 ⎪⎫⎪ f) x + y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ x − y = 0 ⎪⎪⎭ x + y = 2⎪⎪⎭ x + y = 2 ⎪⎪⎭ ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜⎜ , ⎟ → x = 1 , y = 1 r a) L as rectas se cortan en el punto Y s ⎝⎜ 2 2 ⎟⎠ 2 2
u 1 O
X
1
t
⎛3 5⎞ 5 3 b) Las rectas se cortan en el punto ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟ → x = , y = ⎝4 4⎠ 4 4 ⎛ 1 1⎞ 1 1 c) Las rectas se cortan en el punto ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟ → x = , y = ⎝ 2 2⎠ 2 2 d) Las rectas se cortan en el punto (2, 0) → x = 2, y = 0 ⎛ 1 1⎞ 1 1 e) Las rectas se cortan en el punto ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟ → x = , y = ⎝ 2 2⎠ 2 2 f) Las rectas se cortan en el punto (1, 1) → x = 1, y = 1
26 Indica de forma razonada cuál es la resolución gráfica de cada sistema.
⎫⎪ x − 2 y = −2 ⎪⎫⎪ II x − 2 y = −2 ⎪ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎭⎪ x + 2 y = 6 x − 2 y = −4 I
a) Y
b)
Y
1 O
1 1
O
X
1
X
a) Al ser dos rectas paralelas, la resolución gráfica del apartado a) corresponde al sistema proporcionales pero los términos independientes no lo son.
II
porque los coeficientes son
b) La solución del apartado b) es el punto (2, 2). Esta resolución gráfica corresponde al sistema
I
.
27 Resuelve por el método gráfico estos sistemas de ecuaciones lineales.
a) x + 3 y = 5 ⎪⎫⎪ ⎬ x − 3 y = −7 ⎪⎭⎪
c) x − 2 y = −2 ⎪⎫⎪ ⎬ x − 4 y = −8 ⎪⎭⎪
a)
c)
⎪⎫ x − y = 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 ⎬ ⎪ 1 − x + y = −1⎪⎪⎪ ⎪⎭ 2 ⎪⎫ b) 1 d) x − y = 1 ⎪⎫⎪ f) x − 2 y = −2 ⎪⎫⎪ x − y = −1⎪⎪ ⎬ ⎬ ⎪⎪ x + 3 y = 5 ⎪⎪⎭ − x + 2 y = −2 ⎪⎪⎭ 2 ⎬ ⎪ 1 − x + y = −1⎪⎪⎪ ⎪⎭ 2 Y •
1 O
Y
e) 1
e)
•
1 1
X
O
Y 1
X
1
O
2
X
x = −1, y = 2 x = 4, y = 3 El sistema tiene infinitas soluciones. Unidades didácticas
140
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
b)
d)
Y
f)
Y
5
Y
•
1 O
1 X
1
O
1
•
1
X
O
2
X
x = 2, y = 2 x = 2, y = 1 El sistema no tiene solución. 28 Clasifica los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterior según el número de soluciones que tenga cada uno.
a) Sistema compatible determinado
c) Sistema compatible determinado
e) Sistema compatible indeterminado
b) Sistema compatible determinado
d) Sistema compatible determinado
f) Sistema incompatible
29 Representa la recta asociada a la ecuación x + 2y = 3.
x + 2 y = 3 ⎫⎪⎪ ⎬ es incompatible. 3 x + ay = 8 ⎪⎪⎭ bx + 2 y = 3 ⎪⎫⎪ b) ¿Para qué valores de b y c el sistema de ecuaciones lineales ⎬ es compatible indeterminado? bx + 4 y = c ⎪⎪⎭ Y a) El sistema es incompatible si las rectas son paralelas, si los coeficientes de las ecuaciones son proporcionales: a = 6 a) Determina el valor de a si el sistema de ecuaciones lineales
1
O
1
b) El sistema es compatible indeterminado si las rectas son coincidentes, si los coeficientes de las ecuaciones y los términos independientes son proporcionales: b = 2 y c = 6
X
30 Considera el sistema de ecuaciones lineales:
x + py = 3 ⎪⎫⎪ ⎬ 3 x + 6 y = q ⎪⎪⎭
a) Halla el valor de p sabiendo que la representación gráfica del sistema son dos rectas paralelas. b) Calcula el valor de q si la recta asociada a la ecuación 3x + 6y = q pasa por el punto (1, 1). a) Las rectas son paralelas si los coeficientes de las ecuaciones son proporcionales: p = 2 b) Si la recta pasa por el punto (1, 1) entonces: 3 + 6 = q → q = 9 31 La suma de dos números es igual a 10, y su diferencia vale 6. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que permita de-
terminar dichos números y resuélvelo por el método gráfico. ⎪ x + y = 10 ⎫ ⎪ ⎬ x−y =6 ⎪ ⎪ ⎭ Y
•
1 O
1
X
x = 8, y = 2
Unidades didácticas
141
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
32 Encuentra una ecuación lineal con dos incógnitas que tenga por soluciones:
x
1
−1
y
1
−2
Halla otra ecuación lineal con dos incógnitas cuyas soluciones sean: x
6
0
y
0
8
Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones obtenidas a partir de las tablas anteriores. Respuesta abierta, por ejemplo, para la primera tabla puede ser la ecuación: 3x − 2y = 1 y para la segunda: 4x + 3y = 24
Y •
El sistema de ecuaciones lineales es: 3 x − 2 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ 4 x + 3 y = 24 ⎪⎪⎭
1 O
X
1
Y su solución es: x = 3, y = 4
33 Determina las coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados están situados sobre las rectas asociadas a estas ecua-
ciones lineales: a) r: x + y = 2
b) r: −x + y = 1
s: 2x − y = 1 s: −x − y = −7 t: x + 2y = 0 t: −x − 5y = 11 r s a) Y
b) s
r
Y
t
•A
•A
1
2
O •C
X
4
t
•B
• B
O
X
2 C
• ⎛ 2 1⎞ ⎛ 8 5⎞ ⎛ 23 9 ⎞ A(1, 1), B(4, −2), C ⎜⎜⎜ ,− ⎟⎟⎟ A(3, 4), B ⎜⎜⎜ − ,− ⎟⎟⎟ , C ⎜⎜⎜ ,− ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎝5 5⎠ ⎝ 3 3⎠ 2⎠
Desafío 34 Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro es
el punto en el que se cortan las medianas.
Representa gráficamente las rectas asociadas a las siguientes ecuaciones lineales:
3x + 2y = 17 3x − 2y = 1 y = 1
Halla las coordenadas del baricentro del triángulo determinado por estas rectas. Y •
B • 1
•
O
1
Unidades didácticas
•
X
El baricentro es el punto (3, 2).
142
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
¿Qué tienes que saber? ¿QUÉ
5
?
Actividades
tienes que saber
Sistemas de ecuaciones lineales Ten en cuenta
35
Número de soluciones de un sistema
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible cuando tiene solución. ❚ Si los coeficientes del sistema no son proporcionales, la solución es única y es compatible determinado. ❚ Si las ecuaciones tienen sus coeficientes y términos independientes proporcionales, el sistema tiene infinitas soluciones, es un sistema compatible indeterminado. Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no tiene solución. Esto sucede si los coeficientes de las ecuaciones son proporcionales entre sí, pero no los términos independientes.
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y comprueba el resultado por el método gráfico. a)
⎫ x − 3 y = −6 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ −3 x + 9 y = 18 ⎭ ⎪
⎫ b) x − 3 y = −3 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 2 y = 2⎭ ⎪
a) El sistema es compatible indeterminado −3 −6 1 porque: = = −3 9 18
⎫ c) x − 3 y = −3 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − 3 y = 3⎭ ⎪ Y
36
–3x + 9y = 18 x – 3y = –6
Gráficamente, comprobamos que las rectas coinciden, el sistema tiene infinitas soluciones.
1 O
b) El sistema es compatible determinado 1 −3 porque: ≠ 1 2 Por el método gráfico, podemos comprobar que la solución es única.
X
1
Y
X
37
x + 2y = 2
c) El sistema es incompatible 1 −3 −3 porque: = ≠ 3 1 −3
Y
x
−3
−1
1
3
5
y
O
O
O
O
O
x – 3y = –3
x
O
O
O
O
O
y
−3
−1
1
3
5
2
38 O
X
2
⎫ a) x − y = 0 ⎪ ⎪ ⎬ x + y = 2⎪ ⎪ ⎭ b) 2 x − y = 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 8 x − 4 y = 4⎭ ⎪ ⎫ c) 2 x + y = 9 ⎪ ⎪ ⎬ 6 x + 3 y = 30 ⎪ ⎪ ⎭
Escribe una ecuación lineal equivalente a 2x + 3y = 5 en la que: a) El término independiente sea 20. b) El coeficiente de x sea 3. c) El coeficiente de y sea
Gráficamente, obtenemos dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución.
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en compatibles e incompatibles y, en el primer caso, indica si son determinados o indeterminados.
Copia y completa las tablas de modo que cada par de números (x, y) sea una solución de la ecuación lineal que se indica. a) 3x − 2y = 5
(0, 1)
El punto de corte en (0, 1) indica que la solución es: x = 0, y = 1
41
39 x – 3y = 3
2 3
❚ El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. ❚ El método de reducción consiste en hallar un sistema de ecuaciones equivalente tal que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos y sumar ambas ecuaciones para reducirlas a una única ecuación.
Halla la solución de este sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por tres ⎫ x − 3 y = −3 ⎪ ⎪ métodos distintos: ⎬ ⎪ x + 2y = 2⎭ ⎪ Método de sustitución ⎫ x = 3 y − 3⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 2y = 2 ⎭ ⎪ (3y − 3) + 2y = 2
Método de igualación ⎫ x = 3 y − 3⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x = −2 y + 2 ⎭ ⎪ 3y − 3 = −2y + 2
5y = 5
5y = 5
y=1
y=1
x=3⋅1−3
x=3⋅1−3
40
Método de reducción ⎫ x − 3 y = −3 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ − x − 2 y = −2 ⎭ ⎪ −5y = −5 y=1 x − 3 ⋅ 1 = −3 x−3=−3
x=0 x=0 x=0 La solución del sistema es: x = 0, y = 1, ya que, al sustituir estos números en las incógnitas de las ecuaciones, se verifican las igualdades.
f)
⎫ 2 x −10 y = 6 ⎪ ⎪ ⎬ 5 x − 25 y = 15 ⎪ ⎪ ⎭
Determina los valores de p y q para los que el ⎫ px + 2 y = 3 ⎪ ⎪ sistema de ecuaciones ⎬ es compatible 2 x + py = q ⎪ ⎪ ⎭ indeterminado.
Métodos de resolución de sistemas 44
.
Resuelve estos sistemas por el método de sustitución. ⎫ y = 4⎪ ⎪ ⎬ x −3y = 4⎪ ⎪ ⎭ ⎫ x − y = 29 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2 x + y = 13 ⎭ ⎪ c) 2 x + 5 y = −6 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x + y = 17 ⎭ ⎪
a) 3 x −
Calcula el valor de a para que x = 3, y = 3 sea una solución de la ecuación lineal: 5x − 2y = a
b)
Plantea un sistema de ecuaciones lineales que refleje la situación de las balanzas.
⎫ d) 2 x − 3 y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ x − 2 y = 2⎪ ⎪ ⎭ ⎫ e) 2 x + 5 y = 8 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 4 x − 3 y = −10 ⎭ ⎪ f) 2 x + 4 y = −1⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 5x −3y = 4 ⎭ ⎪
Halla la solución de los siguientes sistemas por el método de igualación.
Copia y empareja cada sistema de ecuaciones lineales con una solución. ⎫ 3 x − y = 5⎪ ⎪ ⎬ x − y = 3⎪ ⎪ ⎭ ⎪ 2x + y = 4⎫ ⎪ ⎬ ⎪ 5 x − 2 y = 1⎭ ⎪ ⎫ x + 2 y = 4⎪ ⎪ ⎬ 3 x + 2 y = 0⎪ ⎪ ⎭ ⎫ x + y = 8⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 2 y = 12 ⎭ ⎪
⎪ = 0⎫ ⎪ ⎬ ⎪ x + 3 y = 9⎭ ⎪
43
Métodos de resolución de sistemas
❚ El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y sustituir esta expresión en la otra.
⎫ x + 7 y = 11 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 7 x + 49 y = 66 ⎭ ⎪
Escribe un sistema formado por dos ecuaciones lineales, una de ellas 7x − 3y = 1, de forma que sea: a) Compatible determinado. b) Incompatible. c) Compatible indeterminado.
45
Ten en cuenta
d)
e) x
42
b) 2x − 5y = 9
x – 3y = –3
1
Número de soluciones de un sistema
Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación lineal de la primera columna con una solución de la segunda. 4x − y = 3 x=3ey=3 5x − 2y = 0 x=1ey=1 x+y=6 x=2ey=1 x − 3y = −1 x=2ey=5
2 O
5
Finales
x=4ey=4 46
⎫ a) 2 x + 5 y = 20 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 4 x + 5 y = 10 ⎭ ⎪
⎫ d) 2 x − 3 y = −24 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x − 2 y = 16 ⎭ ⎪
b) 6 x + y = 17 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 9 x − y = 13 ⎭ ⎪
e) 11x − 2 y = 16 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 11x − 3 y = 13 ⎭ ⎪
⎫ c) 2 x + 6 y = −10 ⎪ ⎪ ⎬ x + 2 y = −3 ⎪ ⎪ ⎭
⎫ f) 2 x + 4 y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ 5 x − 3 y = −4 ⎪ ⎪ ⎭
Resuelve por el método de reducción estos sistemas.
x = −2 e y = 3
⎫ a) − x + 5 y = 33 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x + 7 y = 55 ⎭ ⎪
x=1ey=2
b) 6 x + 7 y = 13 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2 x + 9 y = 11 ⎭ ⎪
⎫ d) x − 2 y = 0 ⎪ ⎪ ⎬ 3x + 2y = 0⎪ ⎪ ⎭ e) 2 x − 3 y = 18 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x − 2 y = 17 ⎭ ⎪
⎫ c) 2 x + 7 y = 9 ⎪ ⎪ ⎬ 5 x + 3 y = 8⎪ ⎪ ⎭
⎫ f) 2 x + 3 y = 2 ⎪ ⎪ ⎬ 4 x + 9 y = 5⎪ ⎪ ⎭
x = 1 e y = −2
92
93
Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: ❚❚ Clasificar un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas según el número de soluciones que tiene. ❚❚ Resolver analítica o gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.
Actividades finales Soluciones de las actividades 35 Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación lineal de la primera columna con una solución de la segunda.
4x − y = 3 x + y = 6 x = 3 e y = 3 x = 2 e y = 1 5x − 2y = 0 x − 3y = −1 x = 1 e y = 1 x = 2 e y = 5 4x − y = 3 → x = 1 e y = 1 x + y = 6 → x = 3 e y = 3 5x − 2y = 0 → x = 2 e y = 5 x − 3y = −1 → x = 2 e y = 1 36 Copia y completa las tablas de modo que cada par de números (x, y) sea una solución de la ecuación lineal que se indica.
a) 3x − 2y = 5 a) x −3 −1 1 3 y
−7
−4
−1
2
b) 2x − 5y = 9 b) x −3
5 5
y
−3
2
7
12
17
−1
1
3
5
37 Escribe una ecuación lineal equivalente a 2x + 3y = 5 en la que:
a) El término independiente sea 20.
b) El coeficiente de x sea 3.
a) 8x + 12y = 20
b) 3 x +
Unidades didácticas
9 2
y =
15 2
143
c) El coeficiente de y sea c)
4 9
x+
2 3
y =
2 3
.
10 9
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
38 Calcula el valor de a para que x = 3, y = 3 sea una solución de la ecuación lineal: 5x − 2y = a
Si x = y = 3 → 15 − 6 = a → a = 9 39 Plantea un sistema de ecuaciones lineales que refleje la situación de las balanzas.
x + 2 y = 190 ⎪⎫⎪ ⎬ x + 2 y = 140 ⎪⎪⎭
40 Copia y empareja cada sistema de ecuaciones lineales con una solución.
⎫ 3 x − y = 5⎪ 2 x + y = 4 ⎪⎫⎪ x + 2 y = 4 ⎪⎫⎪ x + y = 8 ⎪⎫⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ x − y = 3⎪ 5 x − 2 y = 1⎪⎪⎭ 3 x + 2 y = 0 ⎪⎪⎭ x + 2 y = 12⎪⎪⎭ ⎪ ⎭ x = 4 e y = 4 x = −2 e y = 3 x = 1 e y = 2 x = 1 e y = −2 3 x − y = 5 ⎪⎫⎪ x + 2 y = 4 ⎪⎫⎪ ⎬ → x = 1 e y = −2 ⎬ → x = −2 e y = 3 3 x − y = 3⎪⎪⎭ 3 x + 2 y = 0 ⎪⎪⎭ 2 x + 2 y = 4 ⎪⎫⎪ x + 2 y = 8 ⎪⎫⎪ ⎬ → x = 1 e y = 2 ⎬ →x=4ey=4 5 x − 2 y = 1 ⎪⎪⎭ x + 2 y = 12⎪⎪⎭ 41 Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en compatibles e incompatibles y, en el primer caso, indica si son determinados o indeterminados. a) c) e) x x − y = 0 ⎪⎫⎪ 2 x + y = 9 ⎪⎫⎪ = 0 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ x + y = 2⎪⎭ 6 x + 3 y = 30 ⎪⎭ x + 3 y = 9 ⎪⎭ b) d) 2 x − y = 1 ⎪⎫⎪ x + 7 y = 11 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ 8 x − 4 y = 4 ⎪⎭ 7 x + 49 y = 66 ⎪⎭
f) 2 x −10 y = 6 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎪ 5 x − 25 y = 15 ⎭⎪
Son compatibles determinados los sistemas de a) y e), compatibles indeterminados los de b) y f), e incompatibles los de c) y d). 42 Escribe un sistema formado por dos ecuaciones lineales, una de ellas 7x − 3y = 1, de forma que sea:
a) Compatible determinado.
b) Incompatible.
c) Compatible indeterminado.
Respuesta abierta, por ejemplo: a) 7 x − 3 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎪ 7 x + 3 y = 2 ⎪⎭
b) 7 x − 3 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎪ 7 x − 3 y = 0 ⎪⎭
c) −7 x − 3 y = −1⎪⎫⎪ ⎬ ⎪ −7 x + 3 y = −1⎪⎭
px + 2 y = 3 ⎪⎫⎪ ⎬ es compatible indeterminado. 2 x + py = q ⎪⎪⎭ ⎪⎧ p = −2 → q = −3 p 2 3 3 p = ±2 ⎪⎫⎪ El sistema es compatible indeterminado si: = = → ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ p = −2 → q = −3 3 p = 2q ⎪⎪⎭ 2 p q 44 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución. a) 3 x − y = 4 ⎪⎫⎪ c) 2 x + 5 y = −6 ⎪⎫⎪ e) 2 x + 5 y = 8 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ x − 3 y = 4 ⎪⎪⎭ 3 x + y = 17 ⎪⎪⎭ 4 x − 3 y = −10 ⎪⎪⎭ 43 Determina los valores de p y q para los que el sistema de ecuaciones
b) x − y = 29 ⎪⎫⎪ d) 2 x − 3 y = 1 ⎪⎫⎪ f) 2 x + 4 y = −1⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪ x − 2 y = 2 ⎪⎪⎭ 5 x − 3 y = 4 ⎪⎪⎭ 2 x + y = 13 ⎭⎪ a) y = 3 x − 4 → x − 3(3 x − 4 ) = 4 → x = 1 → y = −1 b) y = 13 − 2 x → x − (13 − 2 x ) = 29 → x = 14 → y = −15 c) y = 17 − 3 x → 2 x + 5(17 − 3 x ) = −6 → x = 7 → y = −4 d) x = 2 + 2 y → 2(2 + 2 y ) − 3 y = 1 → y = −3 → x = −4 Unidades didácticas
144
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
e) y =
5
8−5y
→ 16 −10 y − 3 y = −10 → y = 2 → x = −1 2 5x − 4 20x −16 1 1 f) y = → 2x + = −1→ x = → y = − 3 3 2 2 45 Halla la solución de los siguientes sistemas por el método de igualación. ⎫ a) 2 x + 5 y = 20 ⎪⎫⎪ c) 2 x + 6 y = −10 ⎪⎫⎪ e) 11x − 2 y = 16 ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ ⎪ 4 x + 5 y = 10 x + 2 y = −3 11x − 3 y = 13 ⎪ ⎭ b) 6 x + y = 17 ⎪⎫⎪ d) 2 x − 3 y = −24 ⎪⎫⎪ f) 2 x + 4 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ 9 x − y = 13 x − 2 y = 16 5 x − 3 y = −4 a) 5 y = 20 − 2 x ⎪⎫⎪ ⎬ → 20 − 2 x = 10 − 4 x → 2 x = −10 → x = −5 → y = 6 ⎪⎪⎭ 5 y = 10 − 4 x b) y = 17 − 6 x ⎫⎪⎪ ⎬ → 17 − 6 x = 9 x −13 → 15 x = 30 → x = 2 → y = 5 ⎪⎪⎭ y = 9 x −13 c) x = −5 − 3 y ⎫⎪⎪ ⎬ → 5 + 3 y = 3 + 2 y → y = −2 → x = 1 ⎪ x = −3 − 2 y ⎪⎭ d) 3 y − 24 ⎪⎫⎪ x = ⎪ → 3 y − 24 = 16 + 2 y → y = −56 → x = −96 ⎬ 2 ⎪⎪ 2 x = 16 + 2 y ⎪⎪⎭ e) 11x = 16 + 2 y ⎫⎪⎪ ⎬ → 16 + 2 y = 13 + 3 y → y = 3 → x = 2 ⎪⎪⎭ 11x = 13 + 3 y f) 1− 4 y ⎫⎪⎪ x = ⎪ 2 ⎪⎪ → 1− 4 y = 3 y − 4 → 5 − 20 y = 6 y − 8 → y = 1 → x = − 1 ⎬ 3 y − 4 ⎪⎪ 5 2 2 2 x = ⎪⎪ 5 ⎪⎭ 46 Resuelve por el método de reducción estos sistemas.
⎫ a) − x + 5 y = 33 ⎪⎫⎪ c) 2 x + 7 y = 9 ⎪⎫⎪ e) 2 x − 3 y = 18 ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎭⎪ ⎪⎪⎭ ⎪ 3 x + 7 y = 55 5 x + 3 y = 8 3 x − 2 y = 17 ⎪ ⎭ b) 6 x + 7 y = 13⎪⎫⎪ d) x − 2 y = 0 ⎪⎫⎪ f) 2 x + 3 y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪ 3 x + 2 y = 0 ⎪⎪⎭ 4 x + 9 y = 5 ⎪⎪⎭ 2 x + 9 y = 11 ⎭⎪ a) −3 x + 15 y = 99 ⎪⎫⎪ ⎬ → 22 y = 154 → y = 7 → x = 2 ⎪⎭⎪ 3 x + 7 y = 55 b) −6 x + 27 y = −13⎪⎫⎪ ⎬ → −20 y = −20 → y = 1 → x = 1 ⎪⎭⎪ −6 x − 27 y = −33 c) −10 x + 35 y = −45 ⎫⎪⎪ ⎬ → 29 y = 29 → y = 1 → x = 1 ⎪⎪⎭ −10 x − 36 y = −16 d) 3 x − 2 y = 0 ⎫⎪⎪ ⎬→ 4x = 0 → x = 0 → y = 0 ⎪ 3 x + 2 y = 0 ⎪⎭ e) −6 x − 9 y = −54 ⎫⎪⎪ ⎬ → −5 y = 20 → y = −4 → x = 3 ⎪ −6 x + 4 y = −34 ⎪⎭ 1 1 f) −4 x − 6 y = −4 ⎪⎫⎪ ⎬ → 3y = 1→ y = → x = ⎪ 3 2 −4 x + 9 y = −5 ⎪⎭ Unidades didácticas
145
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5 5
Sistemas de ecuaciones
Actividades
Sistemas de ecuaciones 47
Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ a) 3 x + y = 5 ⎪ ⎪ ⎬ x + 2 y = 5⎪ ⎪ ⎭ b) 2 x + 3 y = 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + y = 0⎭ ⎪
48
⎫ c) 4 x + y = 5 ⎪ ⎪ ⎬ x + y = 2⎪ ⎪ ⎭ d) ⎪ x + 2 y = 14 ⎫ ⎪ ⎬ 2x − y = 3 ⎪ ⎪ ⎭
⎫ b) 4 x − 3 y = 29 ⎪ ⎪ ⎬ 2 x + y = 17 ⎪ ⎪ ⎭
b) Todo sistema homogéneo.
⎫ c) 3 x − y = 8 ⎪ ⎪ ⎬ 4 x − 3 y = −1⎪ ⎪ ⎭ ⎫ d) x + y = 11⎪ ⎪ ⎬ 2x − y = 4 ⎪ ⎪ ⎭
indeterminado
es
c) El par x = 0, y = 0 es una solución de cualquier sistema homogéneo. d) Todo sistema indeterminado. 54
homogéneo
es
compatible
Alberto dispone de 36 billetes de 5 € y de 10 € por un valor total de 240 €. ¿Cuántos billetes de 5 € tiene Alberto? ¿Y de 10 €?
61
En una tienda han mezclado 8 kg de té de fresa con 2 kg de té de cereza con un coste de 132,40 €. Calcula el precio del kilo de cada variedad de té si al mezclar 1 kg de cada una el precio es de 18,20 €.
62
¿Qué cantidad de oro con una ley de 875 milésimas hay que fundir con otro de 975 milésimas de ley para obtener un lingote de 1 kg de peso y una ley de 900 milésimas?
63
Al mezclar dos disoluciones con unas densidades de 3 0,7 g/cm y 1,3 g/cm3, respectivamente, se ha obtenido otra disolución con una densidad de:
2x − y
55
Calcula los valores de p y q para que este sistema de ecuaciones tenga como solución: x = 1, y = 1
56
⎫ px + qy = 3 p ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 px − qy = 2 ⎭ ⎪
Con dos camiones se han realizado 34 viajes para transportar 115 t de aluminio. ¿Cuántos viajes hizo cada camión si su capacidad de carga es de 3 t y 4 t, respectivamente?
64
Gonzalo compró ayer 3 libros y 5 bolígrafos, que le costaron 65 €. Hoy ha vuelto a la librería a por 5 libros y 3 bolígrafos más y ha pagado 103 €. Averigua el precio de cada libro y de cada bolígrafo.
65
Observa las rectas representadas y escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea la indicada en cada caso. 66
57
1 O
X
1
a) x = 3, y = 1
b) x = 0, y = −2
58
La edad de Eva y la tercera parte de la edad de su hija suman 52 años. Hace 3 años la edad de Eva era el quíntuplo de la de su hija. ¿Cuántos años tienen?
59
En un test de 20 preguntas se obtienen 0,5 puntos por cada respuesta correcta, mientras que se restan 0,25 puntos por cada error. Si la nota de Elías ha sido un 5,5 y no dejó ninguna pregunta sin contestar, ¿cuántos aciertos y errores tuvo?
c) x = 4, y = 0
Comprueba gráficamente que este sistema de ecuaciones no tiene solución. ⎫ x − 2y = 1 ⎪ ⎪ ⎬ 5 x −10 y = 20 ⎪ ⎪ ⎭
Encuentra dos números tales que el doble del primero menos la tercera parte del segundo sea igual a 12, mientras que el triple del primero más la mitad del segundo dé como resultado 6.
67
Al sumar 3 al numerador y al denominador de una 1 fracción irreducible, se obtiene , mientras que, si se 2 resta 1 al numerador y al denominador, el resultado 1 es . Halla la fracción. 3
68
Adela se ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 12 %. Su amiga Marta ha adquirido otro abrigo cuyo precio inicial era 20 € más caro que el de Adela; sin embargo, como tenía una rebaja del 18 %, solo ha tenido que pagar 12,80 € más que su amiga. ¿Cuál era el precio de cada abrigo?
EJERCICIO RESUELTO
}
Los ahorros de Alba, Eva y Luis suman 51 €. Si Alba regalase 3 € a Luis, y Eva le diese 5 € a Alba y 3 € a Luis, los tres amigos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada uno?
Solución Si x e y indican los euros que tienen Alba y Eva, respectivamente, entonces:
Halla la cantidad de disolución que hay que tomar de cada clase para conseguir una mezcla de 60 cm3.
Y
52
Se desea mezclar un vino de 5,50 €/L con otro que cuesta 4 €/L, de modo que la mezcla tenga un precio de 4,50 €/L; ¿cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 L a ese precio?
0,9 g/cm3
⎫ ⎪ = x −1⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎬ ⎪ 2x − y ⎪ ⎪ 3x − =5 ⎪ ⎪ 5 ⎭ ⎫ c) x+y 2y − x ⎪ ⎪ = ⎪ 7 5 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3x − y 5x − 2y ⎪ ⎪ + =2 ⎪ ⎪ 5 7 ⎭
51
compatible
5
Finales
60
Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ a) x − y y 1 ⎪ ⎪ − = ⎪ 3 4 24 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + y 5y 1⎪ − =− ⎪ ⎪ 2 3 12 ⎪ ⎭ b)
50
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes de las ecuaciones son todos nulos. Razona cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas. a) Todo sistema homogéneo es compatible.
Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado. ⎫ a) 2 x + y = 16 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x −3y = 1 ⎭ ⎪
49
53
Al comienzo
Si se mezclan cantidades iguales de dos aguas de colonia, el producto final sale a un precio de 5 €/L; sin embargo, si se mezclan 6 L de la primera con 10 L de la segunda, el precio de la colonia resultante es de 4,25 €/L. Determina el precio de cada tipo de agua de colonia.
51 − x − y
x−3
y
51 − x − y + 3 = = 54 − x − y
x−3+5= =x+2
y−5
54 − x − y
y−5−3= =y−8
54 − x − y + 3 = = 57 − x − y
Eva da 3 € a Luis
x+2
Luis
⎫ ⎪ x + 2 = y −8 ⎪ ⎬ ⎪ y − 8 = 57 − x − y ⎭ ⎪ Simplificamos y resolvemos: ⎪ ⎪ x − y = −10 ⎫ ⎪ ⎪ → x = y −10 ⎫ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ x + 2 y = 65 ⎭ x + 2 y = 65 ⎪ ⎪ ⎭
2 L de leche 1 barra de pan 1 kg de manzanas 2 barras de pan 3 L de leche 1 L de leche 1 barra de pan 2 kg de manzanas
Viernes
y
Eva da 5 € a Alba
Julia ha ido anotando sus compras en el supermercado.
Jueves
Eva
x
Como al final los tres amigos tendrían la misma cantidad de dinero, podemos plantear este sistema:
Jorge tiene varias jaulas para sus conejos. Si coloca 4 conejos en cada una de ellas, se quedan 5 conejos sin jaula, mientras que, si pone 5 conejos en cada una, queda una jaula con 3 plazas libres. ¿Cuántos conejos y cuántas jaulas tiene Jorge?
Lunes
Alba
Alba regala 3 € a Luis
(y − 10) + 2y = 65 → 3y − 10 = 65 → 3y = 75 → y = 25 Luego, x = 25 − 10 = 15 Por tanto: Alba tiene 15 €; Eva, 25 €; y Luis, 51 − 15 − 25 = 11 €. 69
El lunes, el importe de las compras fue de 3,70 €; el jueves, de 4,10 €; y el viernes, de 4 €. Plantea un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean el precio del litro de leche, de la barra de pan y del kilo de manzanas.
Los embalses de Alarcón, Buendía y Entrepeñas tienen acumulados 3 180 hm3 de agua en cierto mes del año. Si se transvasasen 100 hm3 del embalse de Entrepeñas al de Buendía y después 160 hm3 del de Entrepeñas y 270 hm3 del de Buendía al de Alarcón, los tres embalses quedarían con la misma cantidad de agua. ¿Cuántos hm3 de agua tienen cada uno?
94
95
47 Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuaciones lineales.
a) c) 4 x + y = 5 ⎪⎫⎪ 3 x + y = 5 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ x + 2 y = 5 ⎪⎪⎭ x + y = 2 ⎪⎪⎭ b) d) x + 2 y = 14 ⎫⎪⎪ 2 x + 3 y = 1 ⎫⎪⎪ ⎬ ⎬ x + y = 0 ⎪⎪⎭ 2 x − y = 3 ⎪⎪⎭ a) Y
c)
Y
•
1 O
1
X
1
•
O
1
X
x = 1, y = 2 x = 1, y = 1 b) Y
d)
Y •
•1
O
1 1
O
X
1
X
x = −1, y = 1 x = 4, y = 5 Unidades didácticas
146
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
48 Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado.
a) 2 x + y = 16 ⎪⎫⎪ b) 4 x − 3 y = 29 ⎪⎫⎪ c) 3 x − y = 8 ⎪⎫⎪ d) x + y = 11⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ x − 3 y = 1 ⎪⎪⎭ 2 x + y = 17 ⎪⎭⎪ 4 x − 3 y = −1⎪⎪⎭ 2 x − y = 4 ⎪⎪⎭ a) y = 16 − 2 x → x − 3(16 − 2 x ) = 1 → x = 7 → y = 2 b) y = 17 − 2 x → 4 x − 3(17 − 2 x ) = 29 → x = 8 → y = 1 c) −9 x − 3 y = 24 ⎫⎪⎪ ⎬ → 5 x = 25 → x = 5 → 15 − y = 8 → y = 7 ⎪ −4 x + 3 y = 1 ⎪⎭ d) 2 x + y = 11⎪⎫⎪ ⎬ → 3 x = 15 → x = 5 → 5 + y = 11 → y = 6 ⎪ 2 x − y = 4 ⎭⎪ 49 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales.
⎪⎫⎪ ⎪⎫ 2 y − x ⎪⎫⎪ 2x − y x+y b) c) = x −1⎪⎪ = ⎪⎪ ⎪ ⎪ 4 24 ⎪ 5 ⎪⎪ 3 5 7 ⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ 2x − y 1⎪ x + y 5y 3x − y 5x − 2y 3x − − = − ⎪⎪⎪ =5 + =2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭ ⎪⎭ 2 3 12 ⎪⎭ 5 5 7
a) x − y
−
y
=
1
a) 8( x − y ) − 26 y = 1 ⎫⎪ ⎪⎬ → 8 x −14 y = 1 ⎪⎫⎪⎬ → 2 x = 2 → x = 1 → 8 −14 y = 1 → y = 1 ⎪ 6 x −14 y = −1⎪⎪⎭ 2 6( x + y ) − 20 y = −1⎪⎭ b) 12 x − 2 y = 5 x − 5 ⎪⎫ −3 x − y = −5 ⎪⎫ ⎪⎬ → ⎪⎬ → 10 x = 20 → x = 2 → −6 − y = −5 → y = −1 x + y = 25 ⎪⎪⎭ x − 2 x + y = 25 ⎪⎪⎭ 13 15 ⎫⎪⎪ 12 x − 29 y = 0 ⎫⎪⎪ −92 x − 69 y = 0 ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬→ ⎬ 46 x −17 y = 70 ⎪⎪⎭ −92 x + 34 y = −140 ⎪⎪⎭ 21x − 7 y + 25 x −10 y = 70 ⎪⎪⎭ → −35 y = −140 → y = 4 → 4 x −12 = 0 → x = 3
c) 25 x + 5 y = 14 y − 7 x
50 Calcula los valores de p y q para que este sistema de ecuaciones tenga como solución: x = 1, y =1
px + qy = 3 p ⎪⎫⎪ ⎬ 3 px − qy = 2 ⎪⎭⎪
Si x = 1, y = 1 es la solución del sistema entonces: 2 p − q = 0 ⎫⎪⎪ 3 p + q = 3 p ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → −p = −2 → p = 2 → 4 − q = 0 → q = 4 3 p − q = 2 ⎪⎪⎭ −3 p + q = −2 ⎪⎪⎭ 51 Observa las rectas representadas y escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea la indicada en cada caso. Y
1 O
X
1
a) x = 3, y = 1 b) x = 0, y = −2 c) x = 4, y = 0 ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ a) x − y = 2 ⎪ b) x − 2 y = 2 ⎪ c) x − 2 y = 4 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ x + y = 4 x − 2 y = 4 x + 2 y = 4
Unidades didácticas
147
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
52 Comprueba gráficamente que este sistema de ecuaciones no tiene solución. Y 5 x −12 y = 1 ⎪⎫
⎪⎬ 5 x −10 y = 20 ⎪⎭⎪
1 O
1
X
Las rectas son paralelas, por tanto, el sistema es incompatible. 53 Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes de las ecuaciones son todos nulos. Ra-
zona cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas. a) Todo sistema homogéneo es compatible. b) Todo sistema compatible indeterminado es homogéneo. c) El par x = 0, y = 0 es una solución de cualquier sistema homogéneo. d) Todo sistema homogéneo es compatible indeterminado. a) Verdadera porque x = 0, y = 0 es una solución de todos los sistemas homogéneos. 2 x − 2 y = 1 ⎪⎫⎪ ⎬ es compatible indeterminado, pero no es homogéneo. 2 x − 4 y = 2 ⎪⎪⎭ c) Verdadera, porque a ⋅ 0 + b ⋅ 0 = 0 para cualesquiera coeficientes a y b. b) Falsa. Por ejemplo, el sistema
d) Falsa. Por ejemplo, el sistema homogéneo tiene a x = 0, y = 0 como única solución. 54 Alberto dispone de 36 billetes de 5 € y de 10 € por un valor total de 240 €. ¿Cuántos billetes de 5 € tiene Alberto? ¿Y de
10 €? Sean x e y el número de billetes de 5 € y de 10 €, respectivamente. 5 x + 10 y = 36 ⎪⎫⎪ − x + 2 y = 36 ⎪⎫⎪ ⎬ → − y = −12 → y = 12 → x + 12 = 36 → x = 24 ⎬→ 5 x + 10 y = 240 ⎪⎪⎭ − x − 2 y = −48 ⎪⎪⎭ Alberto tiene 24 billetes de 5 € y 12 billetes de 10 €. 55 Con dos camiones se han realizado 34 viajes para transportar 115 t de aluminio. ¿Cuántos viajes hizo cada camión si su
capacidad de carga es de 3 t y 4 t, respectivamente? Sean x e y el número de viajes realizados por cada tipo de camión, respectivamente. 3 x + 4 y = 34 ⎫⎪⎪ −3 x − 3 y = −102 ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → y = 13 → x + 13 = 34 → x = 21 3 x + 4 y = 115 ⎪⎪⎭ −3 x + 4 y = 115 ⎪⎪⎭ El camión de 3 t efectuó 21 viajes y el de 4 t hizo 13 viajes. 56 Gonzalo compró ayer 3 libros y 5 bolígrafos, que le costaron 65 €. Hoy ha vuelto a la librería a por 5 libros y 3 bolígrafos
más y ha pagado 103 €. Averigua el precio de cada libro y de cada bolígrafo. Sean x e y los precios de cada libro y de cada bolígrafo, respectivamente. 3 x + 5 y = 65 ⎪⎫⎪ −15 x − 25 y = −325 ⎪⎫⎪ ⎬→ ⎬ → −16 y = −16 → y = 1 → 3 x + 5 = 65 → x = 20 5 x + 3 y = 103⎪⎪⎭ −15 x + 29 y = −309 ⎪⎪⎭ Cada libro costó 20 € y cada bolígrafo costó 1 €. 57 Encuentra dos números tales que el doble del primero menos la tercera parte del segundo sea igual a 12, mientras que el
triple del primero más la mitad del segundo dé como resultado 6. ⎪⎫ 1 2 x − y = 12⎪⎪ ⎪⎪ 6 x − y = 36 ⎫⎪⎪ 3 ⎬ → 12 x = 48 → x = 4 → 24 − y = 36 → y = −12 ⎬→ ⎪⎪ 6 x + y = 12 ⎪⎪⎭ 1 3 x + y = 6 ⎪⎪ ⎪⎭ 2
Unidades didácticas
148
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
58 La edad de Eva y la tercera parte de la edad de su hija suman 52 años. Hace 3 años la edad de Eva era el quíntuplo de la
de su hija. ¿Cuántos años tienen? Sean x e y las edades de Eva y de su hija, respectivamente. ⎫⎪ 1 ⎪⎪ 3 x + 5 y = 156 ⎪⎫ −3 x −15 y = −156 ⎪⎫ x + y = 52 ⎪⎬ → ⎪⎬ → −16 y = −192 → y = 12 → x − 60 = −12 → x = 48 ⎬→ 3 ⎪⎪ 3 x − 5 y = −12⎪⎪⎭ −3 x −15 y = −36 ⎪⎪⎭ x − 3 = 5( y − 3) ⎪⎪⎭ Eva tiene 48 años, y su hija, 12 años. 59 En un test de 20 preguntas se obtienen 0,5 puntos por cada respuesta correcta, mientras que se restan 0,25 puntos por
cada error. Si la nota de Elías ha sido un 5,5 y no dejó ninguna pregunta sin contestar, ¿cuántos aciertos y errores tuvo? Sean x e y el número de respuestas correctas y de errores de Elías, respectivamente. 2 x + y = 20 ⎪⎫⎪ 0,5 x + 0,25 y = 20 ⎪⎫⎪ ⎬→ ⎬ → 3 x = 42 → x = 14 → 14 + y = 20 → y = 6 2 x − y = 22⎪⎪⎭ 0,5 x − 0,25 y = 5,5 ⎪⎪⎭ Elías acertó 14 respuestas y cometió 6 errores. 60 Se desea mezclar un vino de 5,50 €/L con otro que cuesta 4 €/L, de modo que la mezcla tenga un precio de 4,50 €/L;
¿cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 L a ese precio? Sean x e y el número de litros de cada tipo de vino, respectivamente. −4 x − 4 y = −1 200 ⎫⎪⎪ 5,5 x + 4 y = 300 ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → 1,5 x = 150 → x = 100 → 100 + y = 300 → y = 200 5,5 x + 4 y = −1 350 ⎪⎪⎭ 5,5 x + 4 y = 1 350 ⎪⎪⎭ La mezcla está formada por 100 L del vino que cuesta 5,50 €/L y 200 L del que cuesta 4 €/L. 61 En una tienda han mezclado 8 kg de té de fresa con 2 kg de té de cereza con un coste de 132,40 €. Calcula el precio del
kilo de cada variedad de té si al mezclar 1 kg de cada una el precio es 18,20 €. Sean x e y el precio de cada tipo de té, respectivamente. 8 x + 2 y = 132, 4 ⎫⎪⎪ −4 x − y = −66,2⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → −3 x = −48 → x = 16 → 16 + y = 18,2 → y = 2,2 8 x + 2 y = 18,2 ⎪⎪⎭ −4 x + y = −18,2 ⎪⎪⎭ Cada kilo del té de fresa cuesta 16 €, y cada uno del té de cereza, 2,20 €. 62 ¿Qué cantidad de oro con una ley de 875 milésimas hay que fundir con otro de 975 milésimas de ley para obtener un
lingote de 1 kg de peso y una ley de 900 milésimas? Sean x e y el número de gramos de cada tipo de oro, respectivamente. 0,875 x + 0,975 y = 1 ⎫⎪⎪ −875 x − 875 y = −875 ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → 100 y = 25 → y = 0,25 → x + 0,25 = 1 → x = 0,75 0,875 x + 0,975 y = 0,9 ⎪⎪⎭ −875 x + 975 y = −900 ⎪⎪⎭ Hemos de fundir 750 g de oro de la primera ley con 250 g de oro de la segunda ley. 63 Al mezclar dos disoluciones con unas densidades de 0,7 g/cm3 y 1,3 g/cm3, respectivamente, se ha obtenido otra disolu-
ción con una densidad de: 0,9 g/cm3. Halla la cantidad de disolución que hay que tomar de cada clase para conseguir una mezcla de 60 cm3. Sean x e y el número de centímetros cúbicos de cada tipo de disolución, respectivamente. 0,7 x + 1,3 y = 60 ⎫⎪⎪ −7 x −17 y = −420 ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → 6 y = 120 → y = 20 → x + 20 = 60 → x = 40 0,7 x + 1,3 y = 54 ⎪⎪⎭ −7 x + 13 y = −540 ⎪⎪⎭ Hemos de mezclar 40 cm3 de la primera disolución con 20 cm3 de la segunda. 64 Si se mezclan cantidades iguales de dos aguas de colonia, el producto final sale a un precio de 5 €/L; sin embargo, si se
mezclan 6 L de la primera con 10 L de la segunda, el precio de la colonia resultante es de 4,25 €/L. Determina el precio de cada tipo de agua de colonia. Sean x e y el precio de cada tipo de colonia, respectivamente. 6 x + 10 y = 10 ⎪⎫⎪ −6 x −16 y = −60 ⎪⎫⎪ ⎬→ ⎬ → 4 y = 8 → y = 2 → x + 2 = 10 → x = 8 6 x + 10 y = 68 ⎪⎪⎭ −6 x + 10 y = −68 ⎪⎪⎭ La primera colonia cuesta 8 €/L, mientras que la segunda cuesta 2 €/L. Unidades didácticas
149
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5
Sistemas de ecuaciones
65 Jorge tiene varias jaulas para sus conejos. Si coloca 4 conejos en cada una de ellas, se quedan 5 conejos sin jaula, mientras
que, si pone 5 conejos en cada una, queda una jaula con 3 plazas libres. ¿Cuántos conejos y cuántas jaulas tiene Jorge? Sean x el número de conejos e y el de jaulas. ⎪ x = 4 y + 5⎫ ⎪ ⎬ → 4 y + 5 = 5 y − 3 → y = 8 → x = 37 x = 5 y − 3⎪ ⎪ ⎭ Jorge tiene 37 conejos y 8 jaulas. 66 Julia ha ido anotando sus compras en el supermercado.
2 L de leche 1 barra de pan 1 kg de manzanas 2 barras de pan 3 L de leche 1 L de leche 1 barra de pan 2 kg de manzanas
Lunes
Jueves Viernes
El lunes, el importe de las compras fue de 3,70 €; el jueves, de 4,10 €; y el viernes, de 4 €. Plantea un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas sean el precio del litro de leche, de la barra de pan y del kilo de manzanas. Denotamos por x el precio del litro de leche, por y el de la barra de pan y por z el del kilo de manzanas. 2 x + 2 y + 2 z = 3,70 ⎫⎪⎪ ⎪ 3 x + 2 y + 2 z = 4,10 ⎬ ⎪⎪ 3x + 2 y + 2z = 4 ⎪⎪⎭
67 Al sumar 3 al numerador y al denominador de una fracción irreducible, se obtiene
rador y al denominador, el resultado es
1 3
1 2
, mientras que si se resta 1 al nume-
. Halla la fracción.
1 ⎪⎫⎪ ⎪ 2 x + 6 = y + 3⎪⎫⎪ 2 x + 3 = y ⎪⎫⎪ y + 3 2 ⎪⎪ ⎬→ ⎬ → 2 x + 3 = 3 x − 2 → x = 5 → 10 + 3 = y → y = 13 ⎬→ 3 x − 3 = y −1⎪⎪⎭ 3 x − 2 = y ⎪⎪⎭ x −1 1 ⎪⎪ = ⎪ y −1 3 ⎪⎪⎪⎭ x+3
=
La fracción es:
5
13 68 Adela se ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 12 %. Su amiga Marta ha adquirido otro abrigo cuyo precio inicial era 20 € más caro que el de Adela; sin embargo, como tenía una rebaja del 18 %, solo ha tenido que pagar 12,80 € más que su amiga. ¿Cuál era el precio de cada abrigo? Sean x e y el precio de los abrigos de Adela y de Marta, respectivamente. 0,82 y = 0,88 x + 20 ⎫⎪⎪ ⎬ 0,82 y = 0,88 x + 12,8 ⎪⎪⎭ 0,82( x + 20 ) = 0,88 x + 12,8 → 0,82 x + 16, 4 = 0,88 x + 12,8 → 0,06 x = 3,6 → x = 60 → y = 80 El abrigo de Adela costaba 60 €, y el de Marta, 80 €. 69 Los embalses de Alarcón, Buendía y Entrepeñas tienen acumulados 3 180 hm3 de agua en cierto mes del año. Si se
transvasasen 100 hm3 del embalse de Entrepeñas al de Buendía y después 160 hm3 del de Entrepeñas y 270 hm3 del de Buendía al de Alarcón, los tres embalses quedarían con la misma cantidad de agua. ¿Cuántos hm3 de agua tienen cada uno? Sean x e y los hm3 de agua que tienen los embalses de Alarcón y de Buendía, respectivamente. ⎫⎪⎪ x − 2 y = −600 ⎫⎪⎪ x + 430 = y −170 ⎬→ ⎬ → 3 y = 3690 → y = 1 230 → x −1 230 = −600 → x = 630 x + 2 y = 3090 ⎪⎪⎭ y −170 = 2920 − x − y ⎪⎪⎭ El embalse de Alarcón tiene 630 hm3, el de Buendía, 1 230 hm3, y el de Entrepeñas: 3 180 − 630 − 1 230 = 1 320 hm3
Unidades didácticas
150
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
5
Matemáticas vivas 5
MATEMÁTICAS VIVAS Al principio de una investigación, un detective solo conoce ciertos hechos que relacionan a los posibles sospechosos.
2
Para resolver el caso, el detective debe identificar al autor del suceso de que se trate y presentar un informe que debe estar fundado en las pruebas pertinentes.
5
Un directivo de una empresa ha encargado a un detective la resolución de un caso de robo que ha tenido lugar en su oficina. Ha desaparecido un sobre con su salario, que asciende a 12 000 €, y que se hallaba en la caja fuerte de su despacho. Las primeras sospechas recaen sobre dos de sus empleados, Andrés y Julio.
En un sistema de ecuaciones ocurre algo similar. Según las condiciones del problema que se plantee, podemos conocer relaciones entre dos o más incógnitas (valores desconocidos).
Un tercer empleado ha podido ver cómo uno de los sospechosos merodeaba por el despacho del directivo cuando se produjeron los hechos. Para mantener oculta su identidad, le ha hecho llegar una nota anónima al detective con el siguiente contenido:
Para resolver el problema, debemos hallar las soluciones del sistema y comprobar que los resultados verifican las ecuaciones planteadas.
. A J ➢ L A J ➢ L . . ➢ D ,
COMPRENDE 1
Investigación
RELACIONA
Observa la situación de la siguiente viñeta.
Imagina que eres el detective y descubre al autor del robo.
MODELIZA
REFLEXIONA 3
Para resolver un caso, un detective puede seguir distintos procedimientos según el delito o el suceso que se haya producido. Cuando tienes que hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, también puedes elegir, entre los métodos de resolución, aquel que resulte más apropiado por la sencillez de las operaciones que hay que realizar. Observa estos sistemas de ecuaciones y decide cuál es la forma más sencilla de resolver cada uno de ellos. ⎫ a. 3 x + y = 5 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ x + 2 y = 5⎭ ⎪
⎫ b. 6 x + 5 y = 36 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 3 x − 2 y = −18 ⎭ ⎪
⎫ c. y = x −1 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ y = − x + 5⎭ ⎪
ARGUMENTA
O TRABAJ IVO RAT COOPE a. Plantea un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que permita saber cuántos goles han marcado Manuel y Santiago en los partidos de los recreos.
MODELIZA
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
b. Halla las soluciones del sistema planteado y compruébalas por el método gráfico con el programa GeoGebra.
RESUELVE
UTILIZA LAS TIC
96
97
Investigación Sugerencias didácticas En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. La toma de decisiones en la modelización de los procesos de resolución de problemas es uno de los estándares de aprendizaje evaluables de los alumnos de este curso. Por esto, la sección pretende que los alumnos aprendan a interpretar y sean capaces de tomar decisiones y comunicar matemáticamente los diversos problemas con los que se van a encontrar. En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Modeliza, Utiliza el lenguaje matemático, Resuelve, Utiliza las TIC o Argumenta. En las actividades de comprensión deberán modelizar un problema mediante un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y utilizarán el programa GeoGebra para representarlo. En las actividades de relación los alumnos jugarán a ser detectives, reconocerán un caso de investigación, reunirán pruebas y aclararán un misterio. Para terminar, en las actividades de reflexión deberán decidir y argumentar cuál de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales estudiados en la unidad es el más adecuado, en cada caso, para resolver los sistemas que se presentan. En este nivel de complejidad será necesario identificar los métodos de sustitución, reducción e igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson. Para desarrollar esta tarea, los alumnos descifrarán un código de una caja de seguridad a partir de unos datos. Cada alumno pensará la solución individualmente. Después elaborarán una respuesta común con un compañero de equipo y, finalmente, las dos parejas de cada grupo buscarán la respuesta final. Uno miembro de cada equipo expondrá la solución.
Unidades didácticas
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Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
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Sistemas de ecuaciones
Soluciones de las actividades Comprende 1 Observa la situación de la siguiente viñeta.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que permita saber cuántos goles han marcado Manuel y Santiago en los partidos de los recreos. b) Halla las soluciones del sistema planteado y compruébalas por el método gráfico con el programa GeoGebra. a) Llamamos x al número de goles marcados por Manuel e y a los marcados por Santiago, el sistema que hay que resolver para saber cuántos goles han marcado cada uno es: x + y = 10 ⎫⎪⎪ ⎬ ⎪ x = 2 y + 1⎪⎭ b) Aplicando el método de sustitución: x + y = 10 ⎪⎫⎪ ⎬ 2 y + 1+ y = 10 → 3 y = 9 → y = 3 → x = 7 ⎪⎪⎭ x = 2 y + 1 Manuel ha marcado 7 goles y Santiago 3 goles.
Relaciona 2 Un directivo de una empresa ha encargado a un detective la resolución de un caso de robo que ha tenido lugar en su
oficina.
Ha desaparecido un sobre con su salario, que asciende a 12 000 €, y que se hallaba en la caja fuerte de su despacho. Las primeras sospechas recaen sobre dos de sus empleados, Andrés y Julio.
Un tercer empleado ha podido ver cómo uno de los sospechosos merodeaba por el despacho del directivo cuando se produjeron los hechos.
Para mantener oculta su identidad, le ha hecho llegar una nota anónima al detective con el siguiente contenido:
00 €. 3 veces el de Julio asciende a 13 3 más rés And de o ari sal el es vec 2 ➢ La suma de Andrés menos de Julio más 5 veces el salario de ➢ La suma de 4 veces el salario o del directivo. 1 900 € es igual al doble del salari elevado. rón es el que tiene el salario más ➢ De los dos sospechosos, el lad
Imagina que eres el detective y descubre al autor del robo.
Unidades didácticas
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Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sistemas de ecuaciones
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Llamamos x al salario de Andrés e y al de Julio, el sistema que hay que resolver para saber quién cometió el robo es: ⎫⎪⎪ 2 x + 3 y = 13300 ⎫⎪⎪ 2 x + 3 y = 13300 ⎬ ⎬→ 5 x + 4 y = 25 900 ⎪⎪⎭ 4 y + 5 x −1 900 = 2 ⋅12000 ⎪⎪⎭ Aplicando el método de reducción: −10 x + 15 y = −66 500 ⎪⎫⎪ ⎬ → 7 y = 14 700 → y = 2 100 → 2 x + 3 ⋅ 2 100 = 13 300 → x = 3500 −10 x −18 y = −51 800 ⎪⎪⎭ Como 3 500 > 2 100, el ladrón ha sido Andrés.
Reflexiona 3 Para resolver un caso, un detective puede seguir distintos procedimientos según el delito o el suceso que se haya produ-
cido.
Cuando tienes que hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, también puedes elegir, entre los métodos de resolución, aquel que resulte más apropiado por la sencillez de las operaciones que hay que realizar.
Observa estos sistemas de ecuaciones y decide cuál es la forma más sencilla de resolver cada uno de ellos. a) 3 x + y = 5 ⎪⎫⎪ b) 6 x + 5 y = 36 ⎪⎫⎪ c) y = x −1 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ x + 2 y = 5 3 x − 2 y = −18 y = − x + 5 a) Para resolver este sistema el método más sencillo es el de sustitución porque podemos despejar una de las incógnitas con coeficiente 1 y sustituirla en la otra ecuación obteniendo una simple ecuación de primer grado. b) En este caso, el método más sencillo es el de reducción. Multiplicando la segunda ecuación por −2 el sistema se reduce simplemente a una ecuación de primer grado. c) Para resolver este sistema el método más sencillo es el de igualación porque ya está despejada la misma incógnita en ambas ecuaciones y basta con igualar los otros dos términos.
Trabajo cooperativo
Sean x e y el número de billetes de 50 € y de 10 €, respectivamente. 50 x + 10 y = 2750 ⎪⎫⎪ −50 x + 10 y = −2750 ⎪⎫⎪ ⎬→ ⎬ → 40 x = 1080 → x = 27 → 27 + y = 167 → y = 140 50 x + 10 y = 2167 ⎪⎪⎭ −10 x −10 y = −1670 ⎪⎪⎭ En la caja hay 27 billetes de 50 € y 140 de 10 €, por tanto la clave de la caja es: 2 7 1 4 0
Unidades didácticas
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Sistemas de ecuaciones
Avanza. Sistemas de ecuaciones no lineales 5
Sugerencias didácticas
Sistemas de ecuaciones
AVANZA
En esta sección se introducen algunos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas no lineales. Son algunos casos particulares muy sencillos, que geométricamente se corresponden con decidir si se cortan o bien dos cónicas o bien una cónica y una recta.
Sistemas de ecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel en el que alguna de sus ecuaciones tiene una expresión algebraica de grado mayor que 1. Para resolver estos sistemas, se pueden utilizar los mismos métodos que los empleados para los sistemas de ecuaciones lineales. ⎫ xy = 2 ⎪ ⎪ Por ejemplo, para resolver este sistema: ⎬ x2 + y 2 = 5⎪ ⎪ ⎭ El método más adecuado para hallar las soluciones es el de sustitución. ⎫ 2⎪ 1 Despejamos una de las incógnitas y = ⎪ ⎪ en una de las ecuaciones: x⎬ ⎪ ⎪ x2 + y 2 = 5 ⎪ ⎪ ⎭ 2 2 Sustituimos la expresión obtenida ⎞ ⎛ 2 4 =5 x 2 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 5 → x 2 + en la otra ecuación: ⎜⎝ x ⎟⎠ x2
3 Resolvemos la ecuación:
2
5±
p=
4 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en la primera expresión:
9
2
4
=
x1 = 2 → y1 =
A1. Halla las soluciones de estos sistemas. ⎫ ⎫ a) x 2 − xy = 6 ⎪ c) 2x − 3 = y ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ x + y =1⎭ 2 x2 − 8 x + 9 = y ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ d) ⎪ 7− 4x = y⎪ 5 x − y = 2⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ 2 x2 − 8 x + 9 = y ⎪ 3 x2 − x + 1 = y ⎪ ⎭ ⎭
CÁLCULO MENTAL
2
5±3 2 2 2
x2 = −2 → y 2 =
b)
No es necesario que los alumnos aprendan ningún método de resolución distinto pero sí es conveniente que disciernan cuál es el más adecuado para este tipo de sistemas, habitualmente el de sustitución.
x + 4 = 5x → x − 5x + 4 = 0 → p − 5p + 4 = 0 4
2
⎧ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2 ⎪ 1 →⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ p2 = 1 → x = 1 → x = ±1
=1 2 −2
x3 = 1 → y 3 = = −1
2 1
x 4 = −1 → y 4 =
=2 2 −1
Con el ejemplo resuelto y la realización de los ejercicios propuestos se puede comprobar también que el número de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales varía según el grado y el tipo de ecuaciones que lo forman, pero siempre se expresan por parejas.
= −2
A2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. ⎫ ⎫ c) 1 1 ⎪ a) x + y = 2 ⎪ ⎪ + = 5⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ x y x2 + y 2 = 2 x ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ 1 1 b) x − y = 2 ⎪ ⎪ ⎪ − = 1⎪ ⎬ ⎪ 2 2 ⎪ y x ⎪ ⎪ ⎭ x + y = 74 ⎭ ⎪
Estrategia para resolver SISTEMAS MEDIANTE EL REPARTO PROPORCIONAL
Dos hermanos deciden ahorrar juntos durante un año para comprar un videojuego. Finalmente, consiguen reunir 84 €. Si el mayor aportó el triple que el menor, ¿qué cantidad ahorró cada uno? Para resolver este problema, podemos plantear un sistema de ecuaciones lineales. Si x es la cantidad que ahorró el hermano pequeño e x la que reunió el mayor: ⎪ y = 3x⎫ ⎪ ⎬ ⎪ x + y = 84 ⎭ ⎪ Ahora bien, también podemos resolverlo si repartimos proporcionalmente los 84 € ahorrados en cuatro partes: la correspondiente al hermano pequeño y las tres del mayor. 21 ⋅ 1 = 21 € del hermano pequeño
84 : 4 = 21
21 ⋅ 3 = 63 € del hermano mayor
CM1. La suma de las edades de un padre y su hijo es 40 años. Si la edad del padre es el cuádruplo de la del hijo, averigua cuántos años tiene cada uno.
CM2. Juan reparte 600 € entre sus tres hijos. Al mayor le entrega el triple que al pequeño, y a este, la mitad que al mediano; ¿qué cantidad recibe cada uno?
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Soluciones de las actividades A1. Halla las soluciones de estos sistemas. 2 5x −y = a) x − xy = 6 ⎫⎪⎪ b) ⎬ 2 ⎪ x + xy = 1 ⎪⎭ 3x − x + 1 =
2 ⎪⎫⎪ ⎬ y ⎪⎪⎭
2 x − 3 = y ⎪⎫⎪ 7 − 4 x = y ⎪⎫⎪ d) ⎬ ⎬ 2 2 x − 8 x + 9 = y ⎪⎭⎪ 2 x − 8 x + 9 = y ⎪⎪⎭ c)
2
a) y = 1− x → x − x (1− x ) = 6 → 2 x − x − 6 = 0 → x = 2
2
x1 = 2 → y1 = −1
x2 = −
3 2
→ y2 =
1± 7 4
⎧⎪ x = 2 ⎪⎪ 1 →⎨ ⎪⎪ x = − 3 ⎪⎪⎩ 2 2
5 2
b) y = 5 x − 2 → 3 x − x + 1 = 5 x − 2 → 3 x 2 − 6 x + 3 = 0 → 3( x −1)2 = 0 → x = 1 → y = 3 2
c) 2 x 2 − 8 x + 9 = 2 x − 3 → 2 x 2 −10 x + 12 = 0 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → x =
5 ±1 2
x1 = 3 → y1 = 3
⎪⎧ x = 3 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x = 2 ⎩ 2
x2 = 2 → y 2 = 1
d) 2 x 2 − 8 x + 9 = 7 − 4 x → 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 → 2( x −1)2 = 0 → x = 1 → y = 3
Unidades didácticas
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Sistemas de ecuaciones
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A2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x + y = 2 ⎪⎫⎪ b) x − y = 2 ⎪⎫⎪ ⎬ ⎬ 2 2 x + y = 2 x ⎪⎪⎭ x 2 + y 2 = 74 ⎪⎪⎭
⎪⎫ c) 1 1 + = 5 ⎪⎪ ⎪⎪ x y ⎬ ⎪ 1 1 − = 1⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭ y x
a) y = 2 − x → x 2 + (2 − x )2 = 2 x → 2 x 2 − 6 x + 4 = 0 → x 2 − 3 x + 2 = 0 → x =
3±1 2
x1 = 2 → y1 = 0
⎧⎪ x = 2 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x = 1 ⎩ 2
x2 = 1 → y 2 = 1
b) y = x − 2 → x 2 + ( x − 2)2 = 74 → 2 x 2 − 4 x − 70 = 0 → x 2 − 2 x − 35 = 0 → x =
2 ± 12 2
x1 = 7 → y1 = 5
⎪⎧ x = 7 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x = −5 ⎩ 2
x2 = −5 → y 2 = −7
c)
1 y
= 5−
1 x
→
1 x
−5 +
1 x
= 1 → 1− 5 x + 1 = x → 6 x = 2 → x =
1 3
→
1 y
= 5−3 → y =
1 2
Cálculo mental. Estrategia para resolver sistemas mediante el reparto proporcional Sugerencias didácticas Como cierre de la unidad se tratan los repartos proporcionales para resolver problemas clásicos, de los que aparecían en los libros de aritmética elemental del siglo pasado. Se pueden plantear en forma de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, una de las cuales es de la forma y = mx, donde m es conocido, pero se reducen a un reparto en partes proporcionales.
Soluciones de las actividades CM1. La suma de las edades de un padre y su hijo es 40 años. Si la edad del padre es el cuádruplo de la del hijo, averigua cuántos años tiene cada uno. Si repartimos proporcionalmente los 40 años en 5 partes (las 4 del padre y 1 del hijo): 40 : 5 = 8 Entonces la edad del hijo es 8 años, y la del padre, el cuádruple: 8 ⋅ 4 = 32 años. CM2. Juan reparte 600 € entre sus tres hijos. Al mayor le entrega el triple que al pequeño, y a este, la mitad que al mediano; ¿qué cantidad recibe cada uno? Si repartimos proporcionalmente los 600 € en 6 partes (las 3 del mayor, las 2 del mediano y 1 del pequeño): 600 : 6 = 100 Entonces el mayor recibe 3 ⋅ 100 = 300 €, el mediano 2 ⋅ 100 = 200 €, y el pequeño, 100 €.
Unidades didácticas
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Sistemas de ecuaciones
PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEBA A
1. Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:
3 x − 2 y = −1⎪⎫⎪ ⎬ 3 x − 2 y = 2 ⎪⎭⎪
⎫ x +1 ⎪ ⎪ ⎪ → x + 1 = 3x − 2 → x + 1 = 6 x − 4 → 5x = 5 → x = 1→ y = 3 − 2 → y = 1 ⎬ 2 ⎪ 2 y = 3 x − 2⎪ ⎪ ⎪ ⎭ y =
2. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:
x = 13 − 3 y → 3(13 − 3 y ) + 4 y = 24 → −5 y = −15 → y = 3 → x = 13 − 9 → x = 4
3. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:
3 x + 4 y = 24 ⎫⎪⎪ ⎬ 3 x + 3 y = 13 ⎪⎪⎭ 2 x + 5 y = 9 ⎫⎪⎪ ⎬ 5 x − 2 y = 8 ⎪⎪⎭
−10 x + 25 y = 45 ⎫⎪⎪ ⎬ → 29 y = 29 → y = 1 → 2 x + 5 = 9 → 2 x = 4 → x = 2 −10 x + 24 y = −16 ⎪⎪⎭
4. Resuelve gráficamente y clasifica el sistema de ecuaciones lineales:
3 x + y = 4 ⎫⎪⎪ ⎬ 3 x + y = 2 ⎪⎪⎭
x = 1, y = 1
Y
El sistema es compatible determinado.
1
•
O
1
X
5. Un hijo pide dinero a sus padres para comprar posters. Va a comprarlos a la tienda más cercana, en la que sólo hay posters de dos precios: unos cuestan 6 € y los otros 4 €. Si recibió 36 € y compró 8 posters, ¿cuántos compró de cada precio?
Si el hijo compró x posters de 6 € e y posters de €, entonces:
⎪ ⎪ 6x + 4y = 8 ⎫ −6 x − 6 y = −48 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬→ ⎬ → −2 y = −12 → y = 6 → x + 6 = 8 → x = 2 ⎪ 6 x + 4 y = 36 ⎪ −6 x + 4 y = 36 ⎪ ⎪ ⎭ ⎭
Luego compró 2 posters de 6 € y 6 posters de 4 €.
Unidades didácticas
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Sistemas de ecuaciones
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PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEBA B
1. Resuelve el siguiente sistema:
3 x − 5 y = −2 ⎪⎫⎪ ⎬ 2 x + 3 y = 24 ⎪⎭⎪
⎫ 19 x −15 y = −6 ⎪ ⎪ ⎬ → 19 x = 114 → x = 6 → 12 + 3 y = 24 → 3 y = 12 → y = 4 10 x + 15 y = 120 ⎪ ⎪ ⎭
2. Calcula los vértices del triángulo cuyos lados están situados sobre las rectas asociadas a las ecuaciones lineales: x − 2y = 0, x + 2y = 4, x + y = 0 Las coordenadas de los vértices son las soluciones de los sistemas formados por los tres pares de ecuaciones asociadas a las rectas que contienen a los lados.
⎫ ⎫ ⎪ x − 2 y = 0⎪ x = 2y ⎪ ⎪ ⎬→ ⎬ → 2y = 4 − 2 y → 4 y = 4 → y = 1 → x = 2 → (2,1) ⎪ ⎪ x + 2y = 4⎪ x = 4 − 2 y ⎪ ⎭ ⎭
⎫ ⎪ ⎪ x + 2y = 0⎫ x = −y ⎪ ⎪ ⎬→ ⎬ → − y = 4 − 2 y → y = 4 → x = −4 → (−4, 4 ) ⎪ x + 2 y = 4⎪ x = 4 − 2 y ⎪ ⎪ ⎭ ⎭
⎫ ⎫ x + 2y = 0⎪ x = −y ⎪ ⎪ ⎪ ⎬→ ⎬ → − y = −2 y → y = 0 → x = 0 → (0,0 ) ⎪ x − 2 y = 0⎪ x = −2 y ⎪ ⎪ ⎭ ⎭
3. Escribe una ecuación de modo que el sistema que resulta de añadir a dicha ecuación la siguiente: 7x − 5y = 11 sea incompatible. Basta tomar la ecuación que se obtiene con los mismos coeficientes de x e y pero cuyo término independiente se distinto de 11. Por ejemplo: 7x − 5y = 10 4. Calcular las edades de dos hermanos que se llevan 9 años sabiendo que dentro de 6 años la edad del mayor será doble que la del menor. Sean x e y las edades de los hermanos, entonces: ⎫ ⎪ ⎪ − x + 2 y = −9 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬→ ⎬ → − y = −3 → y = 3 → x − 3 = 9 → x = 6 ⎪ x + 6 = 2( y + 6 ) ⎪ −x − 2 y = 6 ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ x−y =9
Por tanto, el hermano mayor tiene 12 años, y el menor, 3 años.
5. Un abuelo quiere repartir dinero entre sus nietos. Si les diera 30 € a cada uno le sobrarían 60 €, pero para darnos 50 € a cada uno le faltan 100 €. ¿Cuántos nietos tiene el abuelo? ¿Qué cantidad de dinero quiere repartir? Sean x el número de nietos e y la cantidad en euros que quiere repartir, entonces:
⎫ y = 30 x + 60 ⎪ ⎪ ⎬ → 30 x + 60 = 50 x −100 → 20 x = 160 → x = 8 → y = 240 + 60 = 300 y = 50 x −100 ⎪ ⎪ ⎭
El abuelo tiene 8 nietos y quiere repartir 300 € entre ellos.
Unidades didácticas
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