1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

1

Sistemas de ecuaciones. 1.

Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´asicos: Operaciones b´asicas con polinomios. Resoluci´on de ecuaciones de primer grado. Resoluci´on de ecuaciones de segundo grado. Ser´ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.

2.

Sistemas de ecuaciones.

Definici´on: Un sistema de ecuaciones de n ecuaciones con m inc´ognitas ser´a un conjunto de n ecuaciones y el n´umero total de inc´ognitas de todas las ecuaciones ser´a m.

Por ejemplo: x+y =2 2x + 3y = 5

)

Ser´a un sistema de 2 ecuaciones con dos inc´ognitas. x+y+z =2 2x + 3y + 3z = 5 2x = 1 3x + 2z = 4 Ser´a un sistema de 4 ecuaciones con 3 inc´ognitas.

        

Definici´on: Se llama grado de un sistema al producto de los grados de las ecuaciones que lo forman. Por ejemplo: x+y =2 2x + 3y = 5

)

La primera ecuaci´on es de grado 1, al igual que la segunda. El grado de este sistema ser´a 1. x2 + y = 2 2x + 3y 3 = 5

)

La primera ecuaci´on es de grado 2. 3 el de la segunda. El grado de este sistema ser´a 2 · 3 = 6.

2 SISTEMAS DE ECUACIONES.

2

Definici´on: Una soluci´on de un sistema de ecuaciones con n inc´ognitas son n n´umeros reales que se asocian a cada inc´ognita, tales que al sustituir dichos n´umeros por las inc´ognitas a las que se asocian se verifican las ecuaciones. Por ejemplo: x+y =0 2x + 3y = 0

)

Tiene por soluci´on x = 0 e y = 0, ya que si se sustituyen las inc´ognitas en las ecuaciones se verifican las igualdades. 3x − 2y = 6 9x + 4y = 108

)

Tiene por soluci´on x = 8 e y = 9, ya que si se sustituyen las inc´ognitas en las ecuaciones se verifican las igualdades.

´ sus soluciones: Seg´un el n´umero de soluciones, los sistemas de ecuacioClasificaci´on de los sistemas segun nes se clasifican en: Incompatibles: No tienen soluci´on. Compatibles indeterminados: Tienen infinitas soluciones. Compatibles determinados: Tienen un n´umero finito de soluciones. Es decir, tienen una o varias soluciones pero no infinitas.

Nota: Un sistema de ecuaciones compatible determinado tendr´a, como m´aximo, tantas soluciones como indique el grado del sistema.

Por ejemplo: 3x − 2y = 6 9x + 4y = 108

)

Tiene por una soluci´on dada por x = 8 e y = 9. Por lo que ser´a un sistema compatible determinado. x+y =6 x + y = 108

)

x+y =7 x2 + y 2 = 25

)

Es un sistema incompatible y no tiene soluci´on.

Es compatible determinado y posee 2 soluciones: {x = 3, y = 4} y {x = 4, y = 3}.

´ GRAFICA ´ 3 INTERPRETACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.

3

´ grafica ´ Interpretacion de los sistemas de ecuaciones.

3.

Sea, por ejemplo el sistema de ecuaciones: x+y =3 2x + y = 4

)

La soluci´on de este sistema de ecuaciones viene dada por {x = 1, y = 2}. Cada ecuaci´on se puede representar gr´aficamente en un sistema de ejes de coordenadas. En el caso de un sistema de grado 1, sus ecuaciones son l´ıneas rectas. Por lo que para dibujarlo s´olo hay que: ❶ Se toma la primera ecuaci´on y se calcula el valor de la y cuando x = 0. x + y = 3 → 0 + y = 3; y = 3, por lo que para x = 0, y = 3

❷ Se toma la primera ecuaci´on y se calcula el valor de la x cuando y = 0.

x + y = 3 → x + 0 = 3; x = 3, por lo que para x = 3, y = 0

❸ Se representan gr´aficamente ambos puntos y se unen con una recta. Se puede ver en la figura 1.

4 3 2 x+y =3

1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 Figura 1: Recta representada por x + y = 3. ❹ ´Idem con la segunda ecuaci´on. 2x + y = 4 → 2x + 0 = 4; x = 2, por lo que para x = 2, y = 0 2x + y = 4 → 2 · 0 + y = 4; y = 4, por lo que para x = 0, y = 4 Se puede ver en la figura 2.

❺ La soluci´on de la ecuaci´on es el punto de corte de las dos rectas. En este caso {x = 1, y = 2} como se aprecia en la 2.

Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el m´etodo gr´afico: 1. x+y =0 2x + y = 0 Sol.: {x = 0, y = 0}

)

4 SISTEMAS EQUIVALENTES.

4

4 {x = 1, y = 2}

3 2

x+y =3

1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 2x + y = 4 -3 -4 Figura 2: Corte de las rectas 2x + y = 4 y x + y = 3.

2. 3x + 2y = 3 2x − y = 2

)

Sol.: {x = 1, y = 0}

3. 3x + 2y = 3 6x + 4y = 3

)

Sol.: ¡¡No tiene soluci´on!!

4.

Sistemas equivalentes.

Definici´on: Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Al igual que en las ecuaciones convencionales, hay dos reglas que sirven para obtener un sistema equivalente a partir de otro: Regla de la suma: Si a una ecuaci´on se le suma o resta otra ecuaci´on del mismo, resulta otro sistema equivalente al inicial. Si a una ecuaci´on se le suma o resta un mismo n´umero o expresi´on en los dos miembros de la ecuaci´on, resulta otro sistema equivalente.

Regla del producto: Si se multiplican los dos miembros de una ecuaci´on del sistema por un n´umero distinto

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

5

de cero, resulta un sistema equivalente al dado.

Por ejemplo, en el siguiente sistema se hacen una serie de transformaciones, usando las reglas anteriores, sobre un sistema para obtener otros equivalentes: x+y =2 2x + 3y = 5

)

Se multiplica la primera ecuaci´on por 2 →

2x + 2y = 4 2x + 3y = 5

2x + 2y = 4 2x + 3y − (2x + 2y) = 5 − 4

Se resta la primera ecuaci´on a la segunda →

)

)

2x + 2y = 4 → y=1

)

En este caso, la sucesi´on de transformaciones que se han realizado conllevan a obtenci´on del valor de la inc´ognita y. Con estas reglas se puede resolver un sistema de ecuaciones de una forma sencilla. Antes de leer el siguiente apartado, piensa una forma de resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando las reglas vistas anteriormente: 5x − 3y = 4 2x + y = 6

5.

)

Sistemas de ecuaciones lineales.

Definici´on: Un sistema de ecuaciones formado por ecuaciones de primer grado se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Evidentemente los sistemas de ecuaciones lineales tendr´a grado 1. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: 5x − 3y = 4 2x + y = 6

5.1.

)



5x − 3y + z = 4   2x + y + z = 6  2x + 2y + z = 6 

´ de sistemas de ecuaciones lineales por el metodo ´ Resolucion de Gauss.

A este m´etodo tambi´en se le denomina m´etodo escalonado de resoluci´on de ecuaciones. Definici´on: En un sistema escalonado de ecuaciones hay en cada ecuaci´on una inc´ognita menos que en la anterior. Por ejemplo:



5x −3y +z = 4   y +z = 6  z = 6 

Ser´ıa un ejemplo de sistema de ecuaciones escalonado. Para resolver un sistema escalonado s´olo hay que sustituir cada inc´ognita en la ecuaci´on anterior: 





5x −3y +z = 4  5x −3y +z = 4  5x −3y +z = 4     y +z = 6 → y +6 = 6 → y = 6−6 →    z = 6  z = 6  z = 6 

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

6



5x −3y +z = 4  5x −3 · 0 +6 = 4  y = 0 → y = 0  z = 6  z = 6 5x

y

= = z =

    

5x →

2 x = − 5 0 → y = 0   6 z = 6

 −2  

= 4−6 y = 0 z = 6    

    

→

  

En el m´etodo de Gauss hay que aplicar la regla de la suma y del producto para conseguir escalonar nuestro sistema. El m´etodo es sencillo: 1o Se coloca primera la ecuaci´on m´as sencilla, para trabajar menos en los pasos siguientes. Se entender´a por m´as sencilla la que tenga los coeficientes m´as peque˜nos: 3x −3y 4x +2y x +2y

+5z +z −2z

 = 7  x +2y = 15 → 3x −3y  = 6 4x +2y

−2z +5z +z

 = 6  = 7  = 15

2o Se eliminan las ‘x’ por debajo de la primera ecuaci´on. Para ello se multiplica la primera ecuaci´on por el coeficiente de la ‘x’ que se desea eliminar y la otra ecuaci´on por el coeficiente de la ‘x’ de la primera ecuaci´on. Finalmente se restan las dos ecuaciones. Por ejemplo, para eliminar el 3x de la segunda ecuaci´on del sistema anterior s´olo hay que multiplicar por 3 la primera ecuaci´on...: x + 2y − 2z = 6 × 3 → 3x + 6y − 6z = 18 ...ahora se multiplica la segunda ecuaci´on por 1 (que es el coeficiente de la x en la primera ecuaci´on)...: 3x − 3y + 5z = 7 × 1 → 3x − 3y + 5z = 7 ...finalmente se restan las dos ecuaciones obtenidas: 3x − 3y + 5z − (3x + 6y − 6z) = 7 − (18) → −9y + 11z = −11 Por lo que quedar´a el sistema: x +2y −9y 4x +2y

−2z +11z +z

 = 6  = −11  = 15

Hay que fijarse que nos quedamos s´olo con la ecuaci´on final a la hora de colocarla en el sistema. De forma id´entica se elimina el 4x de la tercera ecuaci´on: Para eliminar el 4x de la tercera ecuaci´on del sistema anterior s´olo hay que multiplicar por 4 la primera ecuaci´on...: x + 2y − 2z = 6 × 4 → 4x + 8y − 8z = 24 ...ahora se multiplica la tercera ecuaci´on por 1 (que es el coeficiente de la x en la primera ecuaci´on)...: 4x + 2y + z = 15 × 1 → 4x + 2y + z = 15 ...finalmente se restan las dos ecuaciones obtenidas: 4x + 2y + z − (4x + 8y − 8z) = 15 − (24) → −6y + 9z = −9 Por lo que quedar´a el sistema: x +2y −9y −6y

−2z +11z +9z

 = 6  = −11  = −9

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

7

3o Se repiten los pasos 2 y 3 con el resto de las inc´ognitas hasta conseguir escalonar el sistema. Evidentemente la primera ecuaci´on no se usar´a en el resto de los c´alculos pues volver´ıan a aparecer las x que se hab´ıan eliminado. Para eliminar el −6y que es el monomio que “estorba” para escalonar el sistema, se multiplica la segunda ecuaci´on por −6 , la tercera por −9 y se restan ambas ecuaciones: −9y + 11z = −11 × −6 → 54y − 66z = 66 Restando:

−6y + 9z = −9 × −9 → 54y − 81z = 81 54y − 66z − (54y − 81z) = 66 − 81 → 15z = −15

Por lo que ya se tiene el sistema escalonado:

x +2y −9y

−2z +11z +15z

 = 6  = −11  = −15

Resolviendo el sistema escalonado anterior se obtiene que la soluci´on del sistema es x = 4, y = 0 y z = −1.

5.2.

´ de sistemas por sustitucion. ´ Resolucion

El m´etodo de sustituci´on se puede emplear para resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones, al contrario que el m´etodo de Gauss que s´olo se usar´a para resolver sistemas lineales. El m´etodo de sustituci´on ser´a conveniente usarlo en sistemas de ecuaciones con pocas ecuaciones. Si el sistema tiene muchas ecuaciones, es m´as conveniente usar el m´etodo de Gauss. La idea b´asica del m´etodo de sustituci´on consiste en despejar una inc´ognita de una de las ecuaciones y sustituirla en las otras ecuaciones. Por ejemplo se va a resolver el sistema: x +2y = 7 2x −y = −1

)

Se comienza despejando una de las inc´ognitas de una de las ecuaciones, por ejemplo, la x de la primera ecuaci´on: x + 2y = 7; x = 7 − 2y

Se sustituye la expresi´on obtenida para la x en la otra ecuaci´on:

2x − y = −1; 2 (7 − 2y) −y = −1 |

{z x

}

En este caso se obtiene una ecuaci´on de primer grado que se puede resolver: −15 ; y=3 −5 Con este valor obtenido para la y, sustituyendo en la expresi´on que se hab´ıa obtenido para la x, se puede obtener el valor de la x: x = 7 − 2y = 7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1 2(7 − 2y) − y = −1; 14 − 4y − y = −1; −4y − y = −1 − 14; −5y = −15; y =

Por lo que las soluciones de este sistema son x = 1 e y = 3.

´ DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. 6 RESOLUCION

6.

8

´ de sistemas de ecuaciones no lineales. Resolucion

En este caso el sistema de ecuaciones tendr´a un grado distinto a 1. Estos sistemas se resolver´an, en general, usando el m´etodo de sustituci´on. Por ejemplo, se resolver´a el sistema: x2 +2y = 7 2x −2y = −4

)

Hay que despejar una inc´ognita de una de las ecuaciones, por ejemplo, la y de la primera ecuaci´on. Se procurar´a elegir una inc´ognita f´acil de despejar: x2 + 2y = 7; y =

7 − x2 2

Se sustituye la expresi´on obtenida para la y en la otra ecuaci´on: 2x − 2y = −4; 2x − 2

7 − x2 = −4 2 } | {z y

Se resuelve la ecuaci´on resultante: 2x − 2

7 − x2 = −4; 2x − (7 − x2 ) = −4; 2x − 7 + x2 = −4; x2 + 2x − 3 = 0 2

Es una ecuaci´on de segundo grado, aplicando la f´ormula: √ p −2 + 22 − 4 · 1 · (−3) −b + b2 − 4ac = =1 x= 2a 2·1 √ p −b − b2 − 4ac −2 − 22 − 4 · 1 · (−3) x= = = −3 2a 2·1 Para las soluciones obtenidas para la x se obtienen los valores de la y sustituyendo en la expresi´on obtenida para la y: 7 − 12 7 − x2 = =3 Para x = 1 → y = 2 2 2 7 − (-3)2 7−x = = −1 Para x = −3 → y = 2 2

7.

´ de problemas usando sistemas. Resolucion

La resoluci´on de problemas usando sistemas se puede clasificar casi como un arte y no existe un m´etodo general para resolver sistemas. En general, s´olo se pueden dar unas orientaciones para resolver sistemas: Hay que dar nombre a lo que se nos pida calcular en los problemas. En general ser´an las inc´ognitas. En el problema se expresar´a una forma de relacionar las inc´ognitas. A partir de estas relaciones se construir´a el sistema de ecuaciones a resolver. En f´ısica u otras materias la relaci´on puede estar dada por una o varias f´ormulas f´ısicas.

8 ACTIVIDADES.

9

Una vez resuelto el problema habr´a que verificar si las soluciones obtenidas satisfacen el problema. Por ejemplo, se va a tratar de resolver el siguiente problema: Se han vendido 84 art´ıculos a dos precios distintos, unos a 45 euros y otros a 36 euros. En total se han obtenido 3105 euros.¿Cu´antos art´ıculos de cada clase se han vendido? Soluci´on: Empezamos dando nombres: Se llamar´an x a el n´umero de art´ıculos de una clase e y a los de la otra. Se sabe que en total hay 84 art´ıculos, o lo que es lo mismo: x + y = 84 Adem´as, el total de euros obtenidos son: Lo que se han vendido de una clase: 45x M´as lo que se han vendido de la otra: 36y Que en total suman 3105 euros: 45x + 36y = 3105 Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver ser´a: x + y = 84 45x + 36y = 3105



Resolviendo el sistema por cualquiera de los m´etodos anteriormente indicados se obtiene que x = 9 e y = 75.

Otro ejemplo: Halla dos n´umeros reales que cumplen la siguiente propiedad: su suma coincide con su producto y con su cociente. Damos nombres a las inc´ognitas: x ser´a uno de los n´umeros y y ser´a el otro. La suma de ambos es igual a su producto: x + y = x · y La suma de ambos es igual a su cociente: x + y = xy El sistema a resolver ser´a:  x+y =x·y x + y = xy Se resuelve por sustituci´on: Despejando la x de la primera ecuaci´on: x + y = x · y → x − x · y = −y → x(1 − y) = −y → x =

−y 1−y

Se sustituye en la segunda ecuaci´on y se resuelve la ecuaci´on resultante: x+y =

x −y −y 1 −y −1 −y 1 1−y → +y = → +y = → + = −y → = −y → y 1−y 1−yy 1−y 1−y 1−y 1−y 1−y 1 = −y → y = −1

Por lo que x ser´a: x=

8.

1 −y = 1−y 2

Actividades. 1.

a) x + 2y + z = 9 x − y − z = −10 2x − y + z = 5

    

8 ACTIVIDADES.

10

b) 

3x + 4y − z = 3   3x − 3y + z = −8  x − y + 2z = −6 

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

)

2x − 11y = −11 23x + y = 1 b)

)

3x + 5 = 2y + 1 x − 9 = 1 − 5y

Nota: Antes empezar a resolver el sistema pasar las inc´ognitas a un lado y los n´umeros al otro. c) )

x+1 3 +y =1 x−3 4 + 2y = 1

d) )

x 3 x 2

− −

y 2 y 4

x−1 2 2x−1 2

+ −

y+1 4 =1 2y+1 6 =1

x+3 2 1−x 2

+ −

y+3 4 2−y 6

=4 =2

3. Resuelve: a) )

b) =1 =1

)

x−y+3 = 0 x2 + y 2 = 5

)

4. Resuelve los siguientes sistemas de segundo grado: a)

b) x+y =1 xy + 2y = 2

)

8 ACTIVIDADES.

11

c) 3x + 2y = 0 x(x − y) = 2(y 2 − 4)

)

d) 2x + y = 3 xy − y 2 = 0

)

5. La edad de un padre es el cu´adruple de la de su hijo, pero dentro de 16 a˜nos ser´a solamente el doble. ¿Cu´al es la edad actual de cada uno? 6. Un comerciante compra 50kg de harina y 80kg de arroz, por los que tiene que pagar 66,10 euros; pero consigue un descuento del 20 % el el precio de la harina y un 10 % en el precio de arroz. De esta forma paga 56,24 euros. ¿Cu´ales son los precios primitivos de cada art´ıculo? 7. En cinco platos se han repartido 100 alb´ondigas. Los platos 1o y 2o tienen un total de 52; el 2o y el 3o , 43; el 3o y el 4o , 34; el 4o y el 5o , 30. ¿Cu´antas alb´ondigas hay en cada plato? 8. Un campo de f´utbol tiene el doble de largo que de ancho. Si el a´ rea del campo de f´utbol es 5000m2 , ¿cu´ales son las dimensiones del campo? 9. Un pastor, para tener 20 ovejas, necesita tener, las que tiene, otras tantas como las que tiene y la mitad de las que tiene. ¿Cu´antas tiene? 10. Cien alumnos se han examinado de matem´aticas y f´ısica. Aprueban ambas asignaturas 27. El n´umero de alumnos de los que aprueban s´olo matem´aticas es el doble de los que aprueban s´olo f´ısica. ¿Cu´antos alumnos han aprobado s´olo matem´aticas? ¿Y s´olo f´ısica? Se sabe que ning´un alumno ha suspendido las dos asignaturas.