SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tema 5.-
! SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ! TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS ! MÉTODO DE GAUSS
Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Muchas preguntas en ingeniería, física, matemáticas, economía y otras ciencias se reducen al problema de resolver un sistema lineal. El interés en la solución de esos sistemas es muy antiguo, como lo demuestra el Problema del ganado de Arquímedes. Veamos un problema donde interviene un sistema lineal, del que se ocuparon los matemáticos de hace ochocientos años. Nuestra historia es acerca de Leonardo Pisano, matemático italiano (cerca 1175-1250), mejor conocido como Fibonacci. Durante sus viajes, aprendió la “nueva aritmética” árabe, que después presentó al Occidente es su famoso libro Liber abaci. Dice la leyenda que el emperador Federico II de Sicilia invitó a Fibonacci y a otros sabios a participar en una especie de torneo de matemáticas, en el que plantearon varios problemas. Uno de ellos era el siguiente:
Tres hombres poseen una sola pila de monedas, y sus partes son 1/2, 1/3 y 1/6. Cada uno toma algo de dinero de la pila hasta que no queda nada. El primero regresa 1/2 de lo que tomó tomó, el segundo 1/3 y el tercero 1/6. Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre que cada uno posee lo que le corresponde. ¿Cuá Cuánto dinero habí había en la pila original, y cuá cuánto tomó tomó cada uno de esa pila? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Arquí Arquímedes (287-212 a.C.) es considerado el matemá matemático y fí físico má más grande de la antigü antigüedad, así así como uno de los matemá matemáticos má más importantes en la historia de la humanidad. Creció Creció en Siracusa, una població población griega en Sicilia. Pheidias su padre, fue astró ó nomo. Despué é s de estudiar matemá astr Despu matemáticas en Alejandrí Alejandría, Egipto, Arquí Arquímedes regresó regresó a Siracusa, donde permaneció permaneció el resto de su vida. Fue asesinado por un soldado, cuando la ciudad cayó cayó en poder de los romanos. Leonardo Pisano (cerca 1175-1250) es má más conocido por su apodo Fibonacci. Fibonacci. Jugó Jugó un rol muy importante al revivir las matemá matemáticas antiguas y realizó realizó importantes contribuciones propias. Fibonacci nació nació en Italia pero fue educado en África del Norte donde su padre ocupaba un puesto diplomá diplomático. Viajó Viajó mucho acompañ acompañando a su padre, así así conoció conoció las enormes ventajas de los sistemas matemá matemáticos usados en esos paí países. Liber abaci,, publicado en el 1202 despué después de retornar a Italia, esta basado en trozos de aritmé aritmética y álgebra que Fibonacci habí había acumulado durante sus viajes. Liber abaci introduce el sistema decimal Hindú Hindú-Ará -Arábico y usa los nú números ará arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber abaci permite la introducció introducción de los nú números de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en dí día. El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno perió periódico dedicado al estudio de las matemá matemáticas que llevan estas series. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Ejemplo introductorio: modelos lineales en economía y en ingeniería Era final del verano de 1949. El profesor de Harvard, Wassily Leontief, estaba introduciendo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en el computador Mark II de la universidad. Las tarjetas contení contenían informació información sobre la economí economía de Estados Unidos y representaban un total de 250000 piezas de informació información producidas por la Agencia de Estadí Estadísticas del Trabajo de E.U.A. tras dos añ años de intensa labor. Leontief habí había dividido la economí economía estadounidense en 500 “sectores” sectores”, tales como la industria del carbó carbón, la industria automovilí automovilística, comunicaciones y así así sucesivamente. Para cada sector, habí había escrito una ecuació ecuación lineal que describí describía có cómo éste distribuí distribuía sus salidas hacia otros sectores de la economí economía. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Debido a que el Mark II, uno de los computadores má más grandes de aquella época, no podí podía manejar los sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incó incógnitas, Leontief destiló destiló el problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incó incógnitas. Programar el computador Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief habí había requerido varios meses de esfuerzo y él estaba ansioso por ver cuá cuánto le llevarí llevaría al computador resolver el problema. El Mark II zumbó zumbó y parpadeó parpadeó durante 56 horas antes de producir finalmente una solució solución. Leontief, quien obtuvo el premio Nobel de Economí Economía 1973, abrió abrió la puerta a una nueva era en modelos matemá matemáticos en economí economía. Sus esfuerzos en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos significativos de los computadores para analizar lo que entonces era un modelo matemá matemático a gran escala. Desde ese tiempo, los investigadores en muchos otros campos han usado computadores para analizar modelos matemá matemáticos. Debido a las cantidades masivas de datos implicados, los modelos generalmente son lineales; esto es, se describen con sistemas de ecuaciones lineales.
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La importancia del álgebra lineal para las aplicaciones se ha elevado en proporció proporción directa al incremento en la potencia de có cómputo. Con cada nueva generació generación de hardware y software se dispara una demanda de mayor capacidad. La ciencia de cómputo está está así así intrincadamente ligada al álgebra lineal, a travé través del crecimiento explosivo del procesamiento en paralelo y de los cá cálculos en gran escala. Los cientí científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho má más complejos que los que podí podían imaginarse hace algunas dé décadas. ¡Hoy, el álgebra lineal tiene quizá quizás más valor potencial para los estudiantes en muchos campos cientí científicos y de negocios que cualquier otra materia de matemá matemáticas! He aquí aquí algunas de las aplicaciones en distintas áreas. ! Prospecció Prospección petrolera. Cuando un barco busca depó depósitos petrolí petrolíferos mar adentro, sus computadores resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales independientes diariamente. Los datos sí sísmicos para las ecuaciones se obtienen de ondas de choque bajo el agua producidas por medio de explosiones con cañ cañones de aire. Las ondas rebotan en rocas bajo la superficie y se miden con geó geófonos sujetos a cables de una milla de largo tras del barco. ! Programació Programación lineal. Hoy en dí día muchas decisiones gerenciales importantes se toman con base en modelos de programació programación lineal que utilizan cientos de variables. La industria de la aviació aviación, por ejemplo, usa programas lineales que organizan las tripulaciones para los vuelos, registran la ubicació ubicación del aparato aé aéreo o planean los diversos programas de servicios de apoyo tales como el mantenimiento y las operaciones de terminal. ! Redes elé eléctricas. Los ingenieros utilizan un software de simulació simulación para diseñ diseñar circuitos elé eléctricos y microchips que incluyen millones de transistores. El software depende de té técnicas de álgebra lineal y de sistemas de ecuaciones lineales. 6 Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
" incógnitas: " coeficientes: " términos independientes: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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" Expresión vectorial: donde: " Expresión matricial: donde:
" Escribir en forma vectorial y matricial el sistema:
" Escribir en forma matricial y en la forma usual el sistema de ecuaciones lineales cuya expresió expresión vectorial es:
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son una solució solución de (1) si considerando:
se satisfacen las m ecuaciones del sistema.
Sistema homogéneo."
" " Todo sistema homogé homogéneo tiene al menos una solució solución: la solució solución trivial o impropia Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Subespacio vectorial de las soluciones de un sistema homogéneo.Sh , el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo (4) es un subespacio vectorial de Relación entre los conjuntos solución de un sistema de ecuaciones lineales (S) y su sistema homogéneo asociado (Sh) .-
: es una solución de un sistema (1) : conjunto de las soluciones del sistema homogéneo (4) asociado al sistema (1)
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-EJEMPLO.-
S no es subespacio vectorial. ¿Por qué qué?
Sh es subespacio vectorial. ¿Por qué qué?
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Matriz de coeficientes
Matriz ampliada
" Sistema incompatible: no tiene soluciones
" Sistema compatible determinado: tiene una única solución
" Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones
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TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS A : matriz de coeficientes del sistema AM : matriz ampliada del sistema n : número de incó incógnitas del sistema
" " " Para sistemas homogé homogéneos
" " Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
Si
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y
incógnitas principales ecuaciones principales nro. incógnitas NO principales, tambié también denominadas incógnitas libres : Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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-EJEMPLO.-
" " "
incó incógnitas principales ecuaciones principales
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SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tiene las mismas soluciones. ¿Cómo conseguir sistemas equivalentes?
Si las matrices ampliadas de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, entonces los sistemas son equivalentes. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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MÉTODO DE GAUSS En esta secció sección estudiamos el mé método que utilizamos normalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y que se suele denominar eliminació eliminación gaussiana. gaussiana. Matemá Matemáticos chinos usaron un mé método de eliminació eliminación similar para sistemas de ecuaciones lineales aproximadamente en el 250 a.C. El proceso se desconoció desconoció en la cultura occidental hasta el siglo XIX, cuando un famoso matemá matemático alemá alemán, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), lo descubrió descubrió. Un ingeniero alemá alemán, Wilhelm Jordan (1842-1899), popularizó popularizó el algoritmo en un texto de 1888 sobre geodesia.
Obtener un sistema equivalente de discusión y resolución inmediatas (en caso de ser compatible). Conseguir una matriz equivalente a la matriz ampliada AM del sistema ( 1 ) en forma escalonada. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Si denominamos entrada principal de una fila a la entrada diferente de cero que está más a la izquierda en una fila no nula, diremos que una matriz está en forma escalonada si tiene las siguientes tres propiedades: 1.- Todas las filas diferentes de cero están arriba de cualquier fila nula. 2.- Cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de una fila superior. 3.- Todas las entradas de una columna que están debajo de una entrada principal son cero.
RECORDAR Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Teorema de la matriz invertible.invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. 1.- A es una matriz invertible. 2.- A es una matriz regular. 3.- A es equivalente por filas a la matriz In , es decir: . 4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes. 5.- Los vectores columna de A generan . 6.- Los vectores columna de A forman una base de . 7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes. 8.- Los vectores fila de A generan . 9.- Los vectores fila de A forman una base de . 10.- AT es una matriz invertible. 11.- Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A · B = In. 12.- Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C · A = In. 13.- r ( A ) = n.. 14.. 15.- El sistema homó homógeneo A · x = 0 tiene solamente la solució solución trivial. 16.- El sistema A · x = b es siempre compatible determinado y la solució solución viene dada por: x = A-1 · b.. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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El teorema de la matriz invertible divide el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n en dos clases disjuntas: (I)
las matrices invertibles (regulares o no singulares) y
(II) las matrices no invertibles (singulares). (singulares). Cada enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz cuadrada de orden n invertible. La negació negación de un enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz singular cuadrada de orden n . Por ejemplo, una matriz singular cuadrada de orden n no es equivalente por filas a In , no es de rango n,, y tiene columnas linealmente dependientes. dependientes La fuerza del teorema de la matriz invertible radica en las conexiones que establece entre tantos conceptos importantes, como la independencia lineal de las columnas (filas) de una matriz A y la existencia de soluciones para ecuaciones de sistemas lineales de la forma A ! x = b.. Sin embargo, se debe subrayar que el teorema de la matriz invertible se aplica solamente a matrices cuadradas. cuadradas. Por ejemplo, si las columnas de una matriz 4 " 3 son linealmente independientes, no podemos usar el teorema de la matriz invertible para sacar conclusiones acerca de la existencia o no existencia de soluciones de ecuaciones de la forma A ! x = b . Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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Matriz de coeficientes Matriz ampliada CONCEPTOS Definiciones preliminares
Sistema de ecuaciones lineales
Concepto de solución
Sol. homogénea Sol. general
Coeficientes Incógnitas Términos independientes
FORMAS DE EXPRESIÓN CLASIFICACIÓN
Algebraica Vectorial Matricial (In)Homogéneo (In)Compatible (In)Determinado
RESOLUCIÓN
Teorema de Rouché-Frobenius Incógnitas principales
Sistemas equivalentes Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Método de Gauss Método de Jordan 21
